KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE. Mgr. Petra Pirklová, Ph.D. kmd.fp.tul.cz Budova G, 4. patro
|
|
- Michal Zeman
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Mg. Pet Piklová, Ph.D. kmd.fp.tul.cz Budov G, 4. pto
2 SYLBUS. Mongeovo pomítání.. nltická geometie v E Vektoová funkce jedné eálné poměnné. Křivk. 4. Šoubovice - konstuktivní úloh o šoubovici. 5. Ploch. 6. Rotční ploch. 7. Šoubové ploch.
3 DOPORUČENÁ LITERTUR: KRGEROVÁ, M.: Deskiptivní geometie po technické škol. Ostv, Montnex, 997. PŘÍVRTSKÁ J.: Geometie po technik - modul 0. Libeec, TU, 004. PŘÍVRTSKÁ J.: Geometie po technik - modul 0S. Libeec, TU, 004. PECIN, V. - PŘÍVRTSKÁ J.: Geometie po technik - modul. Libeec, TU, 00. PECIN, V. - PŘÍVRTSKÁ J.: Geometie po technik - modul. Libeec, TU, 00. BÍMOVÁ, D. - PECIN, V. - PŘÍVRTSKÁ J.: Geometie po technik - modul 3. Libeec, TU, 003. POMYKLOVÁ, E.: Mtemtik po gmnázi - steeometie. Ph, Pometheus, 995. POMYKLOVÁ, E.: Deskiptivní geometie po střední škol. Ph, Pometheus, 00. URBN,.: Deskiptivní geometie I, II. Ph, SNTL, 967. VORÁČOVÁ, Š. kol.: tls geometie. Ph, cdemi, 0.
4 POŽDVKY K ZÁPOČTU: Odevzdání spávného vpcování 3 zdných sů příkldů do konce zápočtového týdne. Jejich zdání n kmd.fp.tul.cz Kted Členové kted
5 MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
6 PROMÍTÁNÍ = zobzení, pomocí něhož je možné zobzovt tojozměný euklidovský posto E 3 geometické útv v něm do ovin Pomítcí metod = metod, kteé tkové zobzení zpostředkují N zákldě pomítcích metod se pk mohou útv modelovt, studovt vzájemné vzth mezi nimi řešit ovinné postoové úloh. Dv duh pomítání: Středové pomítání Rovnoběžné pomítání
7 ROVNOBĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ - dáno ovinou (půmětn) směem s, kteý je s ní ůznoběžný s Obz bodu v postou v ovnoběžném pomítání :. bodem položíme přímku ovnoběžnou se směem pomítání s,. půsečík přímk s půmětnou je obz bodu.
8 MONGEOVO PROMÍTÁNÍ = pvoúhlé ovnoběžné pomítání n dvě k sobě kolmé půmětn Výhod - sndné řešení úloh, nevýhod - menší názonost. násn n půdosn Půmětn: půdosn (oznčení ), násn (oznčení n).
9 ZOBRZENÍ BODU bod pvoúhle pomítneme do půdosn násn z n pvoúhlý půmět do půdosn = půdos (dolní indexem ( )) pvoúhlý půmět do násn = nás (dolní index ( )) 3 0 Sdužené půmět = půdos nás jednoho bodu (o) Umístění soustv souřdnic: půsečnice půdosn násn = os (zákldnice), kldný smě dopv, půdosn = (x) násn = (z). x x (o)
10 Po zobzení obou půmětů v jedné ovině, otočíme jednu z půměten kolem os do duhé půmětn. z n 0 (o) x x (o)
11 z n z 0 x x odinál z 0 x Odinál = přímk kolmá k zákldnici spojující půdos nás jednoho bodu
12 Zobzení bodů v nákesně: B(x<0,>0,z>0), C(x<0,>0,z<0), D(x>0,>0,z<0), E(x>0,<0,z=0), E, F(x=0,<0,z>0), F n, G(x=0,<0,z=0), G B C F B G =G F E 0 D E C D
13 ZOBRZENÍ ÚSEČKY - obz úsečk = obz všech bodů, kteé leží n dné úsečce B n Skutečná velikost úsečk Délk všech úseček se při zobzování zkeslí (zkátí) používáme tzv. sklápění Sklápění pomítcí ovin úsečk do půdosn nebo do násn () d B B d (B)
14 Sestojíme kolmice v koncových bodech někteého půmětu úsečk. N kolmici nneseme souřdnici duhého půmětu tohoto bodu - získáme sklopené bod, kteé znčíme závokou npř. (). Spojením sklopených koncových bodů úsečk - skutečná délku úsečk. Sklopená úsečk se znčí čákovně. d (B) x B () B x z z B x [] z d x B z B [B] B
15 Pokud je npř. x-ová souřdnice jednoho koncového bodu kldná duhého koncového bodu záponá, je nutné tto souřdnice nnášet n kolmice v opčných poloovinách, učené násem úsečk. () x d B x B (B) B x x B
16 ZOBRZENÍ PŘÍMKY Obz přímk = přímk (pokud přímk není směu pomítání = není kolmá k někteé z půměten). Obz přímk = bod (pokud přímk náleží směu pomítání). Přímk je dosttečně učen dvěm bod. Půdos bodů leží n půdosu přímk, nás bodů leží n násu přímku. Definice: Stopník je bod, ve kteém přímk potíná půmětnu. Půdosný stopník P = bod, ve kteém přímk potíná půdosnu. Násný stopník N = bod, ve kteém přímk potíná násnu.
17 Kždý stopník má svůj půdos nás. Půdos půdosného stopníku P je totožný s půdosným stopníkem. Obdobně po násný stopník jeho nás N. Nás půdosného stopníku P půdos násného stopníku N leží vžd n zákldnici. N=N n P N P=P
18 Situce v nákesně: N P N P
19 Zvláštní poloh přímek b c d c b d n b b c c d d b c d
20 Zvláštní poloh přímek e g =g N f P =N e f P n e e g g e f f=f g
21 Příkld: Učete stopník těchto přímek. b b
22 ZOBRZENÍ DVOJICE PŘÍMEK Rovnoběžk Jsou-li dvě přímk ovnoběžné ( ni jedn není kolmá k zákldnici), pk jejich pvní i duhé půmět jsou spolu ovnoběžné ( nejsou kolmé k zákldnici). b Pokud jsou kolmé k jedné z půměten, pk se zobzí v jednom půmětu jko dv nesplývjící bod ve duhém jko dvě ovnoběžk. b
23 leží ve společné půdosně pomítcí ovině, jejich půdos splnou n s = s s s = s
24 RŮZNOBĚŽKY Půmětem dvou ůznoběžek mohou být:. Dvě dvojice ůznoběžek, jejichž půsečík leží n odinále.. Jedním je jediná přímk duhým půmětem ůznoběžk (leží-li v jedné pomítcí ovině). 3. Jedním je přímk bod, kteý n ní leží duhým ůznoběžk (je-li jedn přímk kolmá k jedné z půměten). p q L s M b T L p q M = s = T b
25 MIMOBĚŽKY Půmětem dvojice mimoběžek mohou být:. Dvě dvojice ůznoběžek, jejichž půsečík neleží n odinále.. Jedním půmětem jsou ůzné ovnoběžné přímk duhým dvojice ůznoběžek. 3. Dvojice ůznoběžek duhým půmětem je přímk bod n ní neležící (pokud je jedn přímk kolmá k jedné z půměten). p q b s p q b s
26 ZOBRZENÍ ROVINY - zobzí se jko celá půmětn pokud není pomítcí (kolmá k půmětně) - zobzí se jko přímk - pokud je pomítcí (kolmá k půmětně) n =n n Nejčstější způsob zdání ovin - pomocí stop ovin. Definice: Stop ovin je půsečnice ovin s půmětnou. Půsečnice ovin s půdosnou se nzývá půdosná stop p, s násnou násná stop n (potínjí se n zákldnici). p =p =p =n
27 Pokud je ovin zdán souřdnicemi = (x,, z ) - souřdnice znčí půsečík ovin s příslušnou souřdnicovou osou = (XYZ), X[x, 0, 0], Y[0,, 0], Z[0, 0, z ] Ted při vnášení souřdnic ovin nneseme n zákldnici souřdnici v počátku vztčíme kolmici, n kteou nneseme souřdnici x z, podle stejných pvidel jko při vnášení souřdnic bodu. z n Z n Z x X x z 0 p Y p 0 z x X Y
28 SPECIÁLNÍ POLOHY ROVINY Rovin kolmá k násně ovnoběžná s půdosnou Rovin kolmá k půdosně ovnoběžná s násnou n = p = n n n p
29 Rovin kolmá k násně Rovin kolmá k půdosně i násně n n =p p n n n n p p
30 Rovin kolmá k půdosně Rovin ovnoběžná s osou Rovin pocházející osou n n =p =n p p n n n n n p p = n = p
31 Příkld: Sestojte stop ovin =(,4,3), b=(-4,,), g=(,-4,), d=(,4, )
32 ZOBRZENÍ DVOJICE ROVIN Rovnoběžné ovin - půmět příslušných stop jsou ovnoběžné. Kždé dvě ovnoběžné ovin jsou třetí ovinou s nimi ůznoběžnou poťt ve dvou ovnoběžných přímkách. Jsou-li všk ovin ovnoběžné se zákldnicí, jejich stop jsou tké vzájemně ovnoběžné, le tto ovin nemusí být ovnoběžné. Toto bchom zjistili z třetího půmětu. Různoběžné ovin - půmět příslušných stop jsou ůznoběžné.
33 POLOHOVÉ ÚLOHY PŘÍMK V ROVINĚ Vět: Leží-li přímk v ovině, pk její stopník leží n stopách ovin. Nás násného stopníku leží n násné stopě půdos půdosného stopníku leží n půdosné stopě. n =n n N=N P N =p =n p =p P=P
34 Situce v nákesně: n N P N p P
35 Příkld: Sestojte půdos přímk ležící v ovině dné stopmi, jestliže známe její nás. n n P N P N p p
36 Příkld: Učete nás přímk, kteá leží v ovině, dné dvěm ovnoběžkmi p, q. p p q q Q M q p q p Q M
37 Příkld: Sestojte stop ovin, kteá je dán dvěm přímkmi. n p =p n =n N N N N P P P P b b b b b b b b b
38 SPECIÁLNÍ PŘÍMKY V ROVINĚ Hlvní přímk ovin Hlvní přímk ovin jsou přímk, kteé leží v dné ovině jsou ovnoběžné s půmětnou. Dv sstém hlvních přímek. Hoizontální hlvní přímk ovin (h ) jsou ovnoběžné s půdosnou fontální hlvní přímk ovin (f ) jsou ovnoběžné s násnou. Stop ovin tké hlvní přímk; hlvní přímk - ovnoběžk se stopmi
39 Hoizontální hlvní přímk n =n n h h h =p =n p =p
40 Fontální hlvní přímk f f n =n n f =p =n p =p
41 V nákesně: h p, h f n, f n h f h f p
42 SPÁDOVÉ PŘÍMKY ROVINY Spádové přímk ovin jsou přímk v ovině, kteé jsou kolmé ke stopě. Spádové přímk pvní osnov ( I s ) jsou kolmé n půdosnou stopu spádové přímk duhé osnov ( II s ) jsou kolmé n násnou stopu. N I s I s n =n n n =n N n N p =p I s P P =p =n P II s II s II s P N p =p =p =n
43 V nákesně: I s p ( I s není kolmý n násnou stopu) II s n ( II s není kolmý n půdosnou stopu) n II s I s I s p II s
44 BOD V ROVINĚ Příkld: V dné ovině, dné stopmi, je dán půdos bodu, učete jeho nás. n n f f p p
45 Příkld: Učete půdos bodu C, kteý leží v ovině dné dvěm ůznoběžkmi, b. b b C b b C C p p B B
46 ROVIN ROVNOBĚŽNÁ S DNOU ROVINOU Příkld: Bodem M, kteý neleží v ovině, veďte ovinu s ovnoběžnou s dnou ovinou. n n n s M h s N M s f P N M f s P M h s p s p p
47 PRŮSEČNICE DVOU ROVIN Příkld: Sestojte půsečnici dvou ovin s, jenž jsou zdné stopmi. n s n n s N n P N p s p p s P p
48 Je-li, půsečík někteých stop n nákesně nedostupný n s n n s n F s f f P p p s p P F s = f = f p s
49 PRŮSEČÍK PŘÍMKY S ROVINOU používáme tzv. kcí přímku. Kcí přímk = přímk ležící v dné ovině, jejíž jeden půmět splývá s půmětem přímk dné (tzn., že mjí společnou pomítcí ovinu). Sestojíme chbějící půmět kcí přímk - potíná se s dnou přímkou v půsečíku této přímk s dnou ovinou k p R p p =k
50 Příkld: Sestojte půsečík přímk s ovinou, je-li zdán stopmi. n =k n N R N P R P p k p
51 Příkld: Sestojte půsečík přímk s ovinou, kteá je zdná přímkmi s t. s t s t s t s t k =k T T S S R R
52 ROVINNÝ ŘEZ HRNOLŮ JEHLNŮ. Řez pomítcí ovinou jeden půmět řezu se zobzí jko úsečk duhý půmět řezu leží n odinálách H G E F n D C B G C H F D B E p
53 H G E F n B D C D C B G C C H F D D B B E p
54 . Řez obecnou ovinou Njdeme jeden bod řezu jko půsečík jedné (vhodné) hn těles s ovinou řezu použitím kcí přímk. Dlší bod řezu učíme pomocí osové finit u hnolů nebo středové kolinece u jehlnů. Os finit (kolinece) je půdosná stop ovin řezu (pokud podstv těles leží v půdosně) pá odpovídjících si bodů je bod n podstvě pvní bod řezu. Do duhého půmětu převedeme bod řezu po odinálách. Učíme viditelnost řezu tk, že stn řezu, kteá leží v neviditelné stěně hnolu, je neviditelná.
55 STŘEDOVÁ KOLINECE V PROSTORU Definice: Nechť ρ ρ jsou dvě ůzné ovin nechť bod S je bod, kteý neleží v žádné z těchto ovin. Pk zobzení f : ρ ρ, ve kteém je obzem libovolného bodu ρ, kde S, bod definovný vzthem = S ρ, se nzývá středová kolinece mezi ovinmi ρ ρ. Bod S = střed kolinece Půsečnici ovin ρ, ρ = os kolinece S Přímk, kteé si odpovídjí v kolineci se potínjí v smodužném bodě n ose kolinece. o
56 OSOVÁ FINIT V PROSTORU Definice: Nechť ρ ρ jsou dvě ůzné ovin nechť je dán smě s, kteý není ovnoběžný ni s jednou ovinou. Pk zobzení f : ρ ρ, ve kteém je obzem libovolného bodu ρ bod definovný vzthem s se nzývá osová finit mezi ovinmi ρ ρ. Smě s = smě finit. Půsečnice ovin ρ, ρ = os finit. s Přímk, kteé si odpovídjí v finitě se potínjí v smodužném bodě n ose finit. o
57 ŘEZ JEHLNU: Středová kolinece mezi ovinou řezu ovinou podstv. Střed kolinece - vchol jehlnu. C C B B
58 ŘEZ HRNOLU: Osová finit mezi ovinou řezu ovinou podstv. Smě finit - smě hn těles. D C D B B C 3
59 Příkld: Zobzte řez kosého čtřbokého hnolu BCDEFGH s podstvou BCD v půdosně ovinou. H G E F n D C B G C H F D B E p
60 H G E F n k N D G k N D =P C C B H F D D B E P p
61 H G E F n k B 3 N C D N D =P C B C G k C H F D D B B E p P
62 Příkld: Učete řez tojbokého jehlnu BCV s podstvou v půdosně ovinou. V n B B C p V C
63 V n N B C k =P B B k N C p B V C C P
8 Mongeovo promítání
8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou
Více9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie
9 Axonometrie Mongeov projekce má řdu předností: jednoduchost, sndná měřitelnost délek úhlů. Je všk poměrně nenázorná. Podsttnou část technických výkresů proto tvoří kromě půdorysu, nárysu event. bokorysu
VíceMongeova projekce - úlohy polohy
Mongeova projekce - úlohy polohy Mgr. František Červenka VŠB-Technická univerzita Ostrava 16. 2. 2010 Mgr. František Červenka (VŠB-TUO) Mongeova projekce - úlohy polohy 16. 2. 2010 1 / 14 osnova 1 Mongeova
VíceGEOMETRICKÉ APLIKACE INTEGRÁLNÍHO POČTU
Integální počet funkcí jedné eálné poměnné - 4. - GEOMETRICKÉ APLIKACE INTEGRÁLNÍHO POČTU PŘÍKLAD Učete plochu pod gfem funkce f ( x) = sinx n intevlu,. Ploch pod gfem nezáponé funkce f(x) se n intevlu,
VíceTechnická univerzita v Liberci. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky KŘIVKY. Pomocný učební text
Technická univezita v Libeci Fakulta příodovědně-humanitní a pedagogická Kateda matematiky a didaktiky matematiky KŘIVKY Pomocný učební text Peta Piklová Libeec, leden 04 V tomto textu si budeme všímat
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím
část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po
Více5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami
5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin
VíceVzdálenosti přímek
5..11 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 510 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy
VíceZobrazení kružnice v pravoúhlé axonometrii. osy, která je normálou roviny dané kružnice; délka hlavní poloosy je rovna poloměru
Geometie Zoazovací metody Zoazení kužnice v pavoúhlé axonometii Zoazení kužnice ležící v souřadnicové ovině Výklad v pavoúhlé axonometii lze poměně snadno sestojit půmět kužnice dané středem a poloměem,
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]
ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ
VíceVzdálenosti přímek
5..1 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 511 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy
VíceROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH
Univerzit Plckého v Olomouci Rozšíření kreditce učitelství mtemtiky učitelství deskriptivní geometrie n PřF UP v Olomouci o formu kombinovnou CZ..07/..00/8.003 ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH Mrie OŠLEJŠKOVÁ,
Více5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami
5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin
Více9.6. Odchylky přímek a rovin
9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných
Více1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Mongeovo promítání 1 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ 1.1 Základní pojmy V Mongeově promítání promítáme na dvě navzájem kolmé průmětny. Vodorovná průmětna se nazývá půdorysna a značí se, svislá průmětna se nazývá
VíceKonstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU
Konstruktivní geometrie & technické kreslení PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
VícePracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
VíceOdraz na kulové ploše Duté zrcadlo
Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. Podle oázku
VíceMongeova projekce KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Mongeova projekce ZS / 102
Mongeova projekce KG - L MZLU v Brně ZS 2008 KG - L (MZLU v Brně) Mongeova projekce ZS 2008 1 / 102 Obsah 1 Úvod 2 Zobrazení bodu 3 Zobrazení přímky 4 Určení roviny 5 Polohové úlohy Vzájemná poloha dvou
VíceAxonometrie KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS / 60
Axonometrie KG - L MZLU v Brně ZS 2008 KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 1 / 60 Obsah 1 Úvod 2 Typy axonometrií 3 Pravoúhlá axonometrie Zobrazení přímky Zobrazení roviny Polohové úlohy KG - L (MZLU
VíceZákladní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1
Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu
Více= b a. V případě, že funkce f(x) je v intervalu <a,b> záporná, je integrál rovněž záporný.
5. přednášk APLIKAE URČITÉHO INTERÁLU Pomocí integálního počtu je možné vpočítt osh ovinných útvů ojem otčních těles délk ovinných křivek. Velké upltnění má učitý integál tké ve zice chemii. eometické
VíceOdraz na kulové ploše
Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. tojúhelníků
VíceHyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná
Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem
VíceKONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE
KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceStereometrie metrické vlastnosti 01
Stereometrie metrické vlstnosti 01 Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek
VíceGeometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu. = b a. je v intervalu a, b záporná, je integrál rovněž záporný.
4. přednášk Geometické zikální plikce učitého integálu Geometické plikce. Osh ovinného útvu A. Pokud se jedná o ovinný útv omezený osou přímkmi gem spojité nezáponé unkce pk je jeho osh dán učitým integálem
VíceStereometrie metrické vlastnosti
Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE
Technická niverzit v Liberci Fklt přírodovědně-hmnitní pedgogická Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky NLYTICKÁ GEOMETRIE Pomocný čební text Petr Pirklová Liberec, listopd 2015 NLYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH
VíceDESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) ---
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- PŘÍKLA: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně
VíceAXONOMETRIE - 2. část
AXONOMETRIE - 2. část Průmět přímky K určení přímky stačí její dva libovolné průměty, zpravidla používáme axonometrický průmět a půdorys. Bod ležící na přímce se zobrazí do bodu na přímce v každém průmětu.
VíceDUM č. 11 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla
projekt GML Brno Docens DUM č. v sdě M- Příprv k mturitě PZ geometrie, nltická geometrie, nlýz, komlení čísl 4. Autor: Mgd Krejčová Dtum: 3.8.3 Ročník: mturitní ročník Anotce DUMu: Anltická geometrie v
VíceJe-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:
Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme
Více5.2.4 Kolmost přímek a rovin II
5..4 Kolmost přímek rovin II Předpokldy: 503 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty nlogické k plnimetrické větě: ným bodem lze v rovině k dné přímce vést jedinou kolmici. Vět: ným bodem lze v prostoru k
Více14 Kuželosečky v základní poloze
4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými
VícePLANIMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY PŘÍMKA A JEJÍ ČÁSTI
Předmět: Ročník: ytvořil: Dtum: MTEMTIK DRUHÝ Mg. Tomáš MŇÁK 17. květn 2012 Název zcovného celku: PLNIMETRIE ZÁKLDNÍ POJMY Plnimetie = geometie v ovině. Zákldními útvy eukleidovské geometie jsou: bod římk
VíceZadání domácích úkolů a zápočtových písemek
Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační
VíceDvěma různými body prochází právě jedna přímka.
Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma
VíceURČITÝ INTEGRÁL. Motivace:
Motivce: URČITÝ INTEGRÁL Pomocí učitého integálu můžeme vpočítt: Osh ovinného ozce. Ojem otčního těles. Délku ovinné křivk. Dlší vužití učitého integálu: ve zice, chemii, ekonomii Histoická poznámk: Deinici
VíceElementární plochy-základní pojmy
-základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),
Více1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.
1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/
Více7.5.8 Středová rovnice elipsy
758 Středová rovnice elips Předpokld: 7501, 7507 Př 1: Vrchol elips leží v odech A[ 1;1], [ 3;1], [ 1;5], [ 1; 3] elips souřdnice jejích ohnisek Urči prmetr Zdné souřdnice už n první pohled vpdjí podezřele,
Více29. OBJEMY A POVRCHY TĚLES
9. OBJEMY A POVRCHY TĚLES 9.. Vypočítejte poch kádu ABCDEFGH, jestliže ) AB =, BC = b, BH = u b) AB =, BH = u, odchylk AG EH je ϕ H G Poch kádu učíme podle zoce: S = b + c + bc ( ) c E F D b C ) A B u
Více5.2.8 Vzdálenost bodu od přímky
5..8 Vzdálenost bodu od přímky ředpokldy: 507 edgogická poznámk: Tříd počítá smosttně. tnáct minut před koncem se sejdeme n příkld 4 ), který pk řešíme společně. Vzdálenost bodů, je rovn délce úsečky,
Více3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru
3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ A B E 3 E 2 Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.1.Kartézský souřadnicový systém O počátek
VíceMongeovo zobrazení. Osová afinita
Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A
VíceBA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr
BA008 Konstruktivní geometrie pro kombinované studium Kolmá axonometrie Jan Šafařík Jana Slaběňáková přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 letní semestr 2016-2017 31. března 2017 Základní literatura
VíceLogaritmická funkce teorie
Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá
VíceZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY
ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno
VíceDeskriptivní geometrie 2
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání
Vícepůdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho
Řešené úlohy Rotační paraboloid v kolmém promítání na nárysnu Příklad: V kolmém promítání na nárysnu sestrojte tečnou rovinu τ v bodě A rotačního paraboloidu, který má ohnisko F a svislou osu o, F o, rotace;
VíceAnalytická geometrie v rovině
nltická geometrie v rovině Souřdnicová soustv v rovině Zvolme v rovině dvě nvájem kolmé přímk číselné os. růsečík O těchto přímek nveme počátek souřdnic. Vodorovnou přímku ončíme osou svislou ončíme osou
VíceMatematické metody v kartografii
Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
Více= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty
STROMTRI STROMTRI = prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty xióm je jednoduché názorné tvrzení, které se nedokazuje.
VíceA 1. x x. 1.1 V pravoúhlé axonometrii zobrazte průměty bodu A [4, 5, 8].
strana 1 1. onometrie. 1.1 V pravoúhlé aonometrii obrate průmět bodu [4, 5, 8]. 1.2 Zobrate bývající pravoúhlé průmět bodu do souřadnicových rovin. Určete souřadnice bodu, který je obraen v pravoúhlé aonometrii.
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
Více0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.
strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek
VíceKonstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44
Kótované promítání Konstruktivní geometrie - LI Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Obsah 1 Polohové úlohy 2 Spád přímky a roviny Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání
Více3.1.3 Vzájemná poloha přímek
3.1.3 Vzájemná poloh přímek Předpokldy: 3102 Dvě různé přímky v rovině mximálně jeden společný od Jeden společný od průsečík různoěžné přímky (různoěžky) P Píšeme: P neo = { P} Žádný společný od rovnoěžné
VíceRozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
VícePrincip a vlastnosti promítání. Konstruktivní geometrie a technické kresleni - L
Vlastnosti promítání Úkolem konstruktivní geometrie je zobrazení trojrozměrných předmětů ve dvojrozměrné rovině. Vlastnosti promítání Úkolem konstruktivní geometrie je zobrazení trojrozměrných předmětů
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE KOSOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání: 2012 Vypracovala:
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VícePři výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
VíceZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY
ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky
Více7 Analytická geometrie
7 Anlytiká geometrie 7. Poznámk: Když geometriké prolémy převedeme pomoí modelu M systému souřdni n lgeriké ritmetiké prolémy pk mluvíme o nlytiké geometrii neo též o metodě souřdni užité v geometrii.
VíceKótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu
Úvod Kótované promítání Každá promítací metoda má z pohledu praxe určité výhody i nevýhody podle toho, co při jejím užití vyžadujeme. Protože u kótovaného promítání jde o zobrazení prostoru na jednu rovinu,
VíceDráhy planet. 28. července 2015
Dáhy plnet Pet Šlecht 28. čevence 205 Výpočet N střední škole se zpvidl učí, že dáhy plnet jsou elipsy se Sluncem v ohnisku. Tké se učí, že tento fkt je možné dokázt z Newtonov gvitčního zákon. Příslušný
VíceRovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
VíceS T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A
S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,
Víceje pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;
1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [
Více3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.
M1 Prog4 D1 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[ 1; 1; 2] a je kolmá ke dvěma rovinám ρ : x 2y
VíceMATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Ostrv Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Vsoká škol áňská Technická univerzit
VíceZákladní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů
1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou
Více6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
VíceDeskriptivní geometrie pro střední školy
Deskriptivní geometrie pro střední školy Mongeovo promítání 1. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Obsah TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1. díl
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň 20. září 2004 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný text
VíceKÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ
KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ 2.KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ Označíme: s...směr promítání, s p k c...kóta bodu C C 1 (k c )...kótovaný průmět bodu C. pokud k c 0 (k c 0), potom bod C leží nad (pod) průmětnou p. jednotka j=1cm
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.
.4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli
VíceMongeovo zobrazení. Řez jehlanu
Mongeovo zobrazení Řez jehlanu Středová kolineace Středová kolineace Definice Geometrická příbuznost mezi útvary dvou rovin (různých nebo totožných) splňující následující podmínky Středová kolineace Definice
Více2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II
2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II Předpokldy: 020406 Př. 1: oplň tbulku. Zdání sss α < 180 c Zdání Náčrtek Podmínky sss sus usu b + b > c b + c > c + c > b b α < 180 c α + β < 180 c Pedgogická poznámk: Původní
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
Více13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
VíceVŠB-Technická univerzita Ostrava
Úvod do promítání Mgr. František Červenka VŠB-Technická univerzita Ostrava 6. 2. 2012 Mgr. František Červenka (VŠB-TUO) Úvod do promítání 6. 2. 2012 1 / 15 osnova 1 Semestr 2 Historie 3 Úvod do promítání
Více(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a
Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:
VíceSTEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...
STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,...
VíceP R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,
P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor
VíceFunkce. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce Mg. Jmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Eponenciální ovnice VY INOVACE_05 M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Eponenciální ovnice = ovnice, ve kteých se neznámá vyskytuje v eponentu
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
VíceDigitální učební materiál
Digitální učení mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo název šlony klíčové ktivity III/ Inovce zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce
Více56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
VíceVýpočet obsahu rovinného obrazce
Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh
VíceVzdálenost roviny a přímky
511 Vzdálenost roviny přímky Předpokldy: 510 Př 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti přímky od roviny, nvrhni definici této vzdálenosti Uvžovt o vzdálenosti přímky roviny můžeme pouze v přípdě,
VíceLineární nerovnice a jejich soustavy
teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VíceDeskriptivní geometrie 1
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 2. října 2006 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný
VíceIII.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E
VícePoznámka 1: Každý příklad začneme pro přehlednost do nového souboru tímto krokem:
Mongeovo promítání základní úlohy polohové (bod, přímka, rovina, bod v rovině, hlavní přímky roviny, rovina daná různoběžkami, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou) Budeme pracovat v rovině nejlépe
Více