6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

Transkript

1 KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou y 1 x osou x. P Řešení. Po nčrtnutí grfu zjistíme, že jde vlstně o úlohu n výpočet určitého integrálu (dotčený grf prboly leží nd osou x, u které le nejprve musíme nlézt integrční meze. Jde o průsečíky prboly s osou x, tedy nulové body: y 1 x, x 1 x 1 1, x b 1. P 1 1 (1 x dx x x3 3 ] 1 x j ]. 1

2 Úloh 1.. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou y x + 1 přímkou y 3 x. A P Řešení. Z obrázku je zřejmé, že meze pro výpočet njdeme jko x-ové souřdnice průsečíků obou grfů, tedy z rovnice: x x, x + x, x Dále z obrázku víme, že, x b 1. A A + P 1 1 (x + 1 dx (3 x dx x x ] 1 3x x x ] 1 x j ] j ]. A tedy dohromdy: P (A + P A j ].

3 1. Aplikce určitého integrálu v geometrii Vzorce pro obsh délku Obsh Délk křivky Explicitně Prmetricky Polárně b f(x dx y dx β ψ(tϕ (t dt 1 ϕ ρ (ϕ dϕ ϕ 1 ϕ ϕ 1 b 1 + f (x dx ϕ (t + ψ (t dt ρ (ϕ + ρ (ϕ dϕ Ploch rovinných obrzců Úloh 1.3. Grfy funkcí f g vymezily v rovině jistou konečnou plochu. Vypočtěte obsh této plochy, jestliže: f(x 4x 3 + 4x 8x, g(x x 3 x + 4x. Řešení. Nejprve musíme zjistit, zd se grfy obou funkcí vůbec protnou, jkým způsobem: Průsečíky: f(x g(x x 1 5, x, x 3 4. Situci si ilustrujeme n následujícím obrázku: A y f(x B y g(x 3

4 Ze znlosti vzájemné velikosti f(x g(x n intervlech 5,, 4 dostneme plochy oblstí A B: ( 4 ( P P A + P B f(x g(x dx + g(x f(x dx, 5 pokud bychom neznli jejich uspořádání, stčí vzít: ( 4 ( P P A + P B f(x g(x dx + f(x g(x dx, nebo dokonce 5 P 4 5 f(x g(x dx. Pro konečný výpočet použijeme prostřední vzth: ( ( (4x f(x g(x dx 3 + 4x 8x ( x 3 x + 4x dx ( 6x 3 + 6x 1x dx 3 x4 + x 3 6x + C. P ( 4 ( f(x g(x dx + f(x g(x dx 5 ] 3 ] x4 + x 3 6x x4 + x 3 6x Úloh 1.4. Vypočtěte obsh kruhu o poloměru r. Řešení. Kruh budeme uvžovt jko rovinný útvr ohrničený kružnicí o poloměru r se středem v počátku. Využijeme její prmetrický zápis kde t, β], π]. Nyní tedy podle vzorce P x ϕ(t r cos t, y ψ(t r sin t, y dx 4 ψ(tϕ (t dt

5 vypočteme obsh kruhu. Ještě si to zjednodušíme tk, že si jej vyjádříme jko čtyřnásobek obshu čtvrtkruhu (t, π/]: P 4 r sin tr( sint] dt 4r ] π t sin t cos t 4r sin t dt 4r ( π sin π cos π sin cos πr. Délk oblouku (křivky s ds x + y dt Úloh 1.5. Určete délku kružnice o poloměru r Řešení. πr] x cos t, y sin t, t, π. Objem těles Pomocí Riemnnov integrálu funkce jedné proměnné lze počítt objemy ve dvou přípdech. Těleso leží mezi rovinmi x, x b známe funkci P(x, jejíž hodnoty znmenjí obsh řezu těles rovinou kolmou k ose x. Element objemu je objem těles je V P(x x, tj. dv P(x dx, V b P(x dx. b Rotční těleso, kde osou rotce je os x které vznikne rotcí křivočrého lichoběžníku ohrničeného grfem funkce f n intervlu, b. Zde je řezem kruh o obshu πf(x] pltí V π b ] b f(x dx π y dx. 5

6 Úloh 1.6. Vypočtěte objem koule o poloměru r. Řešení. 4 3 πr3 ] Povrch rotční plochy Jde o plochy vzniklé rotcí křivky l kolem osy x. Element povrchu plochy je S πy s, tkže diferenciál povrchu plochy je ds πy ds. Je-li křivk l dán prmetricky: x ϕ(t, y ψ(t, t, β, je ϕ S π ψ(t (t ] + ψ (t ] dt, je-li křivk l dán explicitně: y f(x, x, b, je b S π f(x 1 + f (x ] dx. Úloh 1.7. Vypočtěte povrch koule o poloměru r. Řešení. 4πr ] 6

7 Cvičení Úloh 1.8. Vypočtěte obsh konečného rovinného útvru ohrničeného grfy funkcí f(x e x g(x e x přímkou x 1. Nčrtněte obrázek. e + 1 ] e Úloh 1.9 (Cvičení. Grfy funkcí f g vymezily v rovině jistou konečnou plochu. Vypočtěte obsh této plochy, jestliže: f(x 3x 4 + 6x 3 189x, g(x x 4 x x. Řešení. Nejprve musíme zjistit, zd se grfy obou funkcí vůbec protnou, jkým způsobem: Průsečíky: f(x g(x x 1 9, x x 3, x 4 7. Situci si ilustrujeme n následujícím obrázku: y f(x A B y g(x Nebudeme hledt uspořádání funkcí n intervlech 9,, 7, přímo vezmeme: ( 7 ( P P A + P B f(x g(x dx + f(x g(x dx. ( f(x g(x dx 9 ( (3x 4 + 6x 3 189x ( x 4 x x dx ( 4x 4 + 8x 3 5x dx 4 5 x5 + x 4 84x + C. 7

8 P ( 7 ( f(x g(x dx + f(x g(x dx 9 ] 4 ] 5 x5 + x 4 84x x5 + x 4 84x Úloh 1.1. Určete obsh steroidy x cos 3 t, y sin 3 t, t, π. Řešení. Máme tedy x cos3 t ϕ(t, t, π. y sin 3 t ψ(t, N následujícím obrázku je znázorněn steroid postup výpočtu (vyjdeme ze symetrie steroidy, tk vypočteme obsh obrzce A jko čtvrtinu obshu celé steroidy: A 8

9 Použijeme vzorec pro výpočet obshu plochy ohrničené grfem funkce zdné prmetricky: P A y dx ψ(tϕ (t dt cos t cos 4t sin 4 t cos t dt sin t (1 cos t sin t dt 3 16 ( sin 3 t ( 3 cos t( sin t dt ] 1 cos t, sin t cos t sin t 4 ( 1 cos 4t cos t + cos t cos 4t dt ] cos 6t + cos t ( 1 cos 4t cos t + cos 6t + cos t ( cos t cos 4t + cos 6t dt 3 (t 3 1 sin t 1 sin 4t + 1 ] π 6 sin 6t (1 cos t(1 cos 4t dt dt 3 ( ( π ( π 3 3 π A tedy celková ploch steroidy je P 4P A 3 8 π. Úloh Určete délku oblouku steroidy x cos 3 t, y sin 3 t, t, π. 9

10 Řešení. x 3 cos t sin t, x 3 cos t sin t, x + y 9 (cos 4 t sin t + sin 4 t cos t 9 sin t cos t ( sin t + cos t s 9 sin t cos t. / 3 sin t cos t dt 3 1 sin t ] π/ 3. (Funkce sin t i cos t jsou n intervlu, π nezáporné, tkže po odmocnění není třeb psát bsolutní hodnotu. Délk oblouku steroidy je s 3. (Celková délk steroidy je tedy 4s 6. Úloh 1.1. Vypočtěte objem těles vzniklého rotcí grfu funkce y x kolem osy x n intervlu 1, 1. Řešení. Vyjdeme ze vzorce pro objem těles vzniklého rotcí grfu funkce f kolem osy x: V π b f(x ] dx π x dx π x dx π y x ] x j3 ]

11 Úloh Vypočtěte objem těles vzniklého rotcí grfu funkce y sin x kolem osy x n intervlu, π. Řešení. Obdobně jko u předchozí úlohy: V π sin x dx π 1 cos x dx π x sin x]π π (π 1 π j 3 ]. y sin x π Úloh Vypočtěte povrch těles vzniklého rotcí grfu steroidy kolem osy x. Řešení. Ze symetrie steroidy vyplývá, že celkový povrch získáme jk dvojnásobek povrchu těles vzniklého rotcí prvního oblouku steroidy kolem osy x: P ( π 1π y ds ( π sin 3 t 3 sin t cos t dt sin 4 t cos t dt 1 5 π. 11