Kombinatorické hry. Michal Bulant. Masarykova univerzita. Ústav matematiky a statistiky
|
|
|
- Ondřej Malý
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Kombinatorické hry Michal Bulant Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
2 Obsah přednášky 1 Hry na odebírání kamenů 2 Nim 3 Hry na grafech 4 Součty her 5 Další hry řešitelné pomocí SG-funkce Hry Take-and-Break Otáčení mincí Dvourozměrné otáčení mincí a nim-součin Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
3 O čem je řeč? Kombinatorická hra je hra dvou hráčů s úplnou informací (žádné skryté ani simultánní tahy), bez náhody (tj. nikoliv kámen-nůžky-papír, vrhcáby, poker apod.). Hra je určena možnými stavy (pozicemi), ve kterých se může nacházet, a tím, který hráč je zrovna na tahu. Hráči se obvykle v tazích střídají do té doby, než je dosažen koncový stav pak je jeden z hráčů prohlášen za vítěze a druhý za poraženého. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
4 O čem je řeč? Kombinatorická hra je hra dvou hráčů s úplnou informací (žádné skryté ani simultánní tahy), bez náhody (tj. nikoliv kámen-nůžky-papír, vrhcáby, poker apod.). Hra je určena možnými stavy (pozicemi), ve kterých se může nacházet, a tím, který hráč je zrovna na tahu. Hráči se obvykle v tazích střídají do té doby, než je dosažen koncový stav pak je jeden z hráčů prohlášen za vítěze a druhý za poraženého. My se navíc budeme zabývat pouze hrami nestrannými (angl. impartial), kde mají oba hráči k dispozici stejné tahy (tím jsou vyloučeny např. šachy nebo dáma). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
5 Plán přednášky 1 Hry na odebírání kamenů 2 Nim 3 Hry na grafech 4 Součty her 5 Další hry řešitelné pomocí SG-funkce Hry Take-and-Break Otáčení mincí Dvourozměrné otáčení mincí a nim-součin Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
6 Jednoduchá hra na úvod 1 Hraje se s 21 kameny. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
7 Jednoduchá hra na úvod 1 Hraje se s 21 kameny. 2 Tah spočívá v odebrání jednoho, dvou nebo tří kamenů. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
8 Jednoduchá hra na úvod 1 Hraje se s 21 kameny. 2 Tah spočívá v odebrání jednoho, dvou nebo tří kamenů. 3 Hráč, který odebere poslední kámen, vyhrává ( tj. hráč, který nemůže táhnout, prohrál). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
9 Jednoduchá hra na úvod 1 Hraje se s 21 kameny. 2 Tah spočívá v odebrání jednoho, dvou nebo tří kamenů. 3 Hráč, který odebere poslední kámen, vyhrává ( tj. hráč, který nemůže táhnout, prohrál). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
10 Jednoduchá hra na úvod 1 Hraje se s 21 kameny. 2 Tah spočívá v odebrání jednoho, dvou nebo tří kamenů. 3 Hráč, který odebere poslední kámen, vyhrává ( tj. hráč, který nemůže táhnout, prohrál). Naším cílem je zjistit, jestli si některý z hráčů může vynutit vítězství. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
11 Analýza jednoduché hry Při analýze budeme postupovat zpětnou indukcí (odvozením): jsou-li na stole 1-3 kameny, pak hráč na tahu vyhrává jsou-li na stole 4 kameny, pak hráč na tahu prorává (nemá jinou možnost, než dalším tahem uvést hru do stavu, kdy jsou na stole 1-3 kameny a vyhrává tedy jeho soupeř) je-li na stole 5-7 kamenů, hráč na tahu vyhrává (může odebrat tolik kamenů, aby zbyly 4) atd. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
12 Analýza jednoduché hry Při analýze budeme postupovat zpětnou indukcí (odvozením): jsou-li na stole 1-3 kameny, pak hráč na tahu vyhrává jsou-li na stole 4 kameny, pak hráč na tahu prorává (nemá jinou možnost, než dalším tahem uvést hru do stavu, kdy jsou na stole 1-3 kameny a vyhrává tedy jeho soupeř) je-li na stole 5-7 kamenů, hráč na tahu vyhrává (může odebrat tolik kamenů, aby zbyly 4) atd. U této hry je tedy poměrně snadno vidět, že stav s 0,4,8,12,...,20 kameny jsou stav, kdy hráč na tahu prohrává. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
13 Analýza jednoduché hry Při analýze budeme postupovat zpětnou indukcí (odvozením): jsou-li na stole 1-3 kameny, pak hráč na tahu vyhrává jsou-li na stole 4 kameny, pak hráč na tahu prorává (nemá jinou možnost, než dalším tahem uvést hru do stavu, kdy jsou na stole 1-3 kameny a vyhrává tedy jeho soupeř) je-li na stole 5-7 kamenů, hráč na tahu vyhrává (může odebrat tolik kamenů, aby zbyly 4) atd. U této hry je tedy poměrně snadno vidět, že stav s 0,4,8,12,...,20 kameny jsou stav, kdy hráč na tahu prohrává. V naší hře tedy vítězí hráč, který začíná stačí v 1. tahu odebrat jeden kámen a poté postupovat tak, aby po jeho tahu zbyl počet kamenů, který je násobkem 4. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
14 Definice kombinatorické hry Definice Kombinatorická hra splňuje následující podmínky: 1 Hrají 2 hráči. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
15 Definice kombinatorické hry Definice Kombinatorická hra splňuje následující podmínky: 1 Hrají 2 hráči. 2 Je dána množina (obvykle konečná) možných tahů. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
16 Definice kombinatorické hry Definice Kombinatorická hra splňuje následující podmínky: 1 Hrají 2 hráči. 2 Je dána množina (obvykle konečná) možných tahů. 3 Pravidla hry určují pro každého hráče v každé pozici možné další tahy. Pokud pravidla nerozlišují hráče, nazývá se hra nestranná (impartial), v opačném případě partyzánská (partizan). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
17 Definice kombinatorické hry Definice Kombinatorická hra splňuje následující podmínky: 1 Hrají 2 hráči. 2 Je dána množina (obvykle konečná) možných tahů. 3 Pravidla hry určují pro každého hráče v každé pozici možné další tahy. Pokud pravidla nerozlišují hráče, nazývá se hra nestranná (impartial), v opačném případě partyzánská (partizan). 4 Hráči se ve svých tazích střídají. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
18 Definice kombinatorické hry Definice Kombinatorická hra splňuje následující podmínky: 1 Hrají 2 hráči. 2 Je dána množina (obvykle konečná) možných tahů. 3 Pravidla hry určují pro každého hráče v každé pozici možné další tahy. Pokud pravidla nerozlišují hráče, nazývá se hra nestranná (impartial), v opačném případě partyzánská (partizan). 4 Hráči se ve svých tazích střídají. 5 Hra končí ve chvíli, kdy je dosažen stav, v němž není možný další tah. Při normální hře (normal play rule) pak vyhrává hráč, který učinil poslední tah, při nuzné hře (misère play rule) takový hráč prohrává. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
19 Definice kombinatorické hry Definice Kombinatorická hra splňuje následující podmínky: 1 Hrají 2 hráči. 2 Je dána množina (obvykle konečná) možných tahů. 3 Pravidla hry určují pro každého hráče v každé pozici možné další tahy. Pokud pravidla nerozlišují hráče, nazývá se hra nestranná (impartial), v opačném případě partyzánská (partizan). 4 Hráči se ve svých tazích střídají. 5 Hra končí ve chvíli, kdy je dosažen stav, v němž není možný další tah. Při normální hře (normal play rule) pak vyhrává hráč, který učinil poslední tah, při nuzné hře (misère play rule) takový hráč prohrává. 6 (konečnost hry) Hra skončí po konečném počtu tahů bez ohledu na zahráváné tahy. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
20 P-stavy a N-stavy V analýze naší jednoduché hry na úvod jsem odvodili, že 0,4,8,...,20 jsou stavy, v nichž vyhrává Předchozí hráč (tj. hráč, který svým tahem hru do tohoto stavu dovedl). V ostatních stavech vyhrává Následující hráč. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
21 P-stavy a N-stavy V analýze naší jednoduché hry na úvod jsem odvodili, že 0,4,8,...,20 jsou stavy, v nichž vyhrává Předchozí hráč (tj. hráč, který svým tahem hru do tohoto stavu dovedl). V ostatních stavech vyhrává Následující hráč. P-stavy a N-stavy se dají u námi studovaných kombinatorických her odvodit podle následujícího (induktivního) postupu: Krok 1 Všechny koncové stavy označ jako P-stavy (v případě misère jako N-stavy). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
22 P-stavy a N-stavy V analýze naší jednoduché hry na úvod jsem odvodili, že 0,4,8,...,20 jsou stavy, v nichž vyhrává Předchozí hráč (tj. hráč, který svým tahem hru do tohoto stavu dovedl). V ostatních stavech vyhrává Následující hráč. P-stavy a N-stavy se dají u námi studovaných kombinatorických her odvodit podle následujícího (induktivního) postupu: Krok 1 Všechny koncové stavy označ jako P-stavy (v případě misère jako N-stavy). Krok 2 Všechny stavy, z nichž existuje tah do P-stavu, označ jako N-stavy. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
23 P-stavy a N-stavy V analýze naší jednoduché hry na úvod jsem odvodili, že 0,4,8,...,20 jsou stavy, v nichž vyhrává Předchozí hráč (tj. hráč, který svým tahem hru do tohoto stavu dovedl). V ostatních stavech vyhrává Následující hráč. P-stavy a N-stavy se dají u námi studovaných kombinatorických her odvodit podle následujícího (induktivního) postupu: Krok 1 Všechny koncové stavy označ jako P-stavy (v případě misère jako N-stavy). Krok 2 Všechny stavy, z nichž existuje tah do P-stavu, označ jako N-stavy. Krok 3 Označ jako P-stav takový stav, z nějž všechny možné tahy vedou do N-stavů. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
24 Plán přednášky 1 Hry na odebírání kamenů 2 Nim 3 Hry na grafech 4 Součty her 5 Další hry řešitelné pomocí SG-funkce Hry Take-and-Break Otáčení mincí Dvourozměrné otáčení mincí a nim-součin Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
25 Nejznámější odebírací hrou je Nim. V klasické variantě se hraje se třemi hromádkami kamenů (např. 5,7 a 9 kamenů). Tah spočívá ve výběru hromádky a odebrání libovolného (ale nenulového) počtu kamenů z této hromádky. Vítězí hráč, který odebere poslední kámen. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
26 Nejznámější odebírací hrou je Nim. V klasické variantě se hraje se třemi hromádkami kamenů (např. 5,7 a 9 kamenů). Tah spočívá ve výběru hromádky a odebrání libovolného (ale nenulového) počtu kamenů z této hromádky. Vítězí hráč, který odebere poslední kámen. Příklad Hru je možné si vyzkoušet na adrese (lokálně: zde) Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
27 Nejznámější odebírací hrou je Nim. V klasické variantě se hraje se třemi hromádkami kamenů (např. 5,7 a 9 kamenů). Tah spočívá ve výběru hromádky a odebrání libovolného (ale nenulového) počtu kamenů z této hromádky. Vítězí hráč, který odebere poslední kámen. Příklad Hru je možné si vyzkoušet na adrese (lokálně: zde) První analýza Jediný koncový stav je (0,0,0). Stavy s jedinou neprázdnou hromádkou jsou zřejmě N-stavy. (Tweedledum-Tweedledee strategie) Při dvou neprázdných hromádkách jsou P-stavy právě ty stavy, v nichž obě hromádky mají stejný počet kamenů. N-stavy: (1,1,1), (1,1,2), (1,1,3), (1,2,2); P-stav: (1,2,3). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
28 Jak poznat P- a N-stavy jednodušeji? Induktivní metoda popsaná dříve sice vede k řešení, ale zjistit s její pomocí, jestli je např. stav (16,27,32) P-stavem je bez pomoci počítače obtížné. Existuje přitom velmi elegantní způsob nejen pro to, jak určit P- a N-stavy, ale zároveň na určení vítězné strategie (tj. návod na určení tahu, který vede z daného N-stavu do P-stavu). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
29 Jak poznat P- a N-stavy jednodušeji? Induktivní metoda popsaná dříve sice vede k řešení, ale zjistit s její pomocí, jestli je např. stav (16,27,32) P-stavem je bez pomoci počítače obtížné. Existuje přitom velmi elegantní způsob nejen pro to, jak určit P- a N-stavy, ale zároveň na určení vítězné strategie (tj. návod na určení tahu, který vede z daného N-stavu do P-stavu). Tato metoda je založena na zápisu přirozených čísel ve dvojkové soustavě (tzv. binárním zápisu) a na operaci XOR (sčítání ve dvojkové soustavě bez přenosu). Definice (Nim-součet) Nim-součtem čísel x = (x m... x 0 ) 2 a y = (y m... y 0 ) 2 je číslo x y = z = (z m... z 0 ) 2, kde z k = x k + y k mod 2, pro k = 0,..., m. Příklad = (10000) 2 (11011) 2 = (01011) 2 = 11. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
30 Poznámka (Algebraická) Nim-součet je na množině nezáporných celých čísel komutativní a asociativní, 0 je vzhledem k této operaci neutrální prvek (0 x = x) a každý prvek je sám k sobě opačný (x x = 0). (N 0, ) je tedy komutativní grupa, kde platí tzv. zákony o krácení: x y = x z = y = z. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
31 Poznámka (Algebraická) Nim-součet je na množině nezáporných celých čísel komutativní a asociativní, 0 je vzhledem k této operaci neutrální prvek (0 x = x) a každý prvek je sám k sobě opačný (x x = 0). (N 0, ) je tedy komutativní grupa, kde platí tzv. zákony o krácení: x y = x z = y = z. Věta (Bouton, 1902) Stav (x, y, z) v Nimu je P-stavem právě tehdy, když platí x y z = 0. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
32 Poznámka (Algebraická) Nim-součet je na množině nezáporných celých čísel komutativní a asociativní, 0 je vzhledem k této operaci neutrální prvek (0 x = x) a každý prvek je sám k sobě opačný (x x = 0). (N 0, ) je tedy komutativní grupa, kde platí tzv. zákony o krácení: x y = x z = y = z. Věta (Bouton, 1902) Stav (x, y, z) v Nimu je P-stavem právě tehdy, když platí x y z = 0. Příklad Protože je = (10000) 2 (11011) 2 (100000) 2 = (01011) 2 (100000) 2 = (101011) 2 = 43, je (16, 27, 32) N-pozicí. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
33 Jak najít vítězný tah? To, že víme, že je nějaká pozice pro nás vítězná, je sice pěkné, my bychom ale chtěli vědět, jaký tah zahrát, abychom se této výhody nezbavili. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
34 Jak najít vítězný tah? To, že víme, že je nějaká pozice pro nás vítězná, je sice pěkné, my bychom ale chtěli vědět, jaký tah zahrát, abychom se této výhody nezbavili. K tomu si stačí uvědomit, co vlastně Boutonova věta říká P-stav je takový stav, že když zapíšeme počty kamenů binárně pod sebe, tak v každém sloupci bude sudý počet jedniček. Je poměrně snadno vidět, jak v takovém zápisu dospět z N-stavu do P-stavu: 16 = = = Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
35 Jak najít vítězný tah? To, že víme, že je nějaká pozice pro nás vítězná, je sice pěkné, my bychom ale chtěli vědět, jaký tah zahrát, abychom se této výhody nezbavili. K tomu si stačí uvědomit, co vlastně Boutonova věta říká P-stav je takový stav, že když zapíšeme počty kamenů binárně pod sebe, tak v každém sloupci bude sudý počet jedniček. Je poměrně snadno vidět, jak v takovém zápisu dospět z N-stavu do P-stavu: 16 = = Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
36 Jak najít vítězný tah? To, že víme, že je nějaká pozice pro nás vítězná, je sice pěkné, my bychom ale chtěli vědět, jaký tah zahrát, abychom se této výhody nezbavili. K tomu si stačí uvědomit, co vlastně Boutonova věta říká P-stav je takový stav, že když zapíšeme počty kamenů binárně pod sebe, tak v každém sloupci bude sudý počet jedniček. Je poměrně snadno vidět, jak v takovém zápisu dospět z N-stavu do P-stavu: 16 = = = Protože odebíráním kamenů čísla zmenšujeme, je třeba uvážit nejlevější sloupec, kde je lichý počet jedniček a zmenšit některé z čísel, majících v tomto sloupci jedničku (v našem případě nemáme na výběr), a toto číslo zmenšit tak, aby počty jedniček ve všech sloupcích byly sudé to je zřejmě vždy možné (za předpokladu, že je nim-součet nenulový). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
37 Důkaz Boutonovy věty Nim s jednou hromádkou je triviální, Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
38 Důkaz Boutonovy věty Nim s jednou hromádkou je triviální, se dvěma snadný (Tweedledum-Tweedledee), Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
39 Důkaz Boutonovy věty Nim s jednou hromádkou je triviální, se dvěma snadný (Tweedledum-Tweedledee), se třemi už mnohem obtížnější. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
40 Důkaz Boutonovy věty Nim s jednou hromádkou je triviální, se dvěma snadný (Tweedledum-Tweedledee), se třemi už mnohem obtížnější. Co když přidáme ještě další hromádky? Možná překvapivě je situace stejná jako v případě tří hromádek (a vlastně i v případě jedné a dvou hromádek) daný stav je P-stavem, právě když je nim-součet počtu kamenů v jednotlivých hromádkách roven 0. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
41 Důkaz tohoto tvrzení je poměrně snadný a vychází z rekurzívní definice P-stavů a N-stavů. Důkaz obecné Boutonovy věty. Krok 1 Všechny koncové stavy (z definice P-stavy) mají nim-součet roven 0 (vždyt máme jediný koncový stav (0, 0,..., 0), který splňuje 0 0 = 0. Krok 2 Z každého stavu s nenulovým nim-součtem existuje tah do stavu s nulovým nim-součtem (viz předchozí příklad). Krok 3 Každý tah ze stavu s nulovým nim-součtem vede do stavu s nenulovým nim-součtem: kdyby pro tah (x, y, z,...) (x, y, z), kde x < x, platilo x y z = 0 = x y z, pak díky pravidlu o krácení dostáváme x = x. Proto je množina stavů s nulovým nim-součtem právě množinou P-stavů. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
42 Důkaz tohoto tvrzení je poměrně snadný a vychází z rekurzívní definice P-stavů a N-stavů. Důkaz obecné Boutonovy věty. Krok 1 Všechny koncové stavy (z definice P-stavy) mají nim-součet roven 0 (vždyt máme jediný koncový stav (0, 0,..., 0), který splňuje 0 0 = 0. Krok 2 Z každého stavu s nenulovým nim-součtem existuje tah do stavu s nulovým nim-součtem (viz předchozí příklad). Krok 3 Každý tah ze stavu s nulovým nim-součtem vede do stavu s nenulovým nim-součtem: kdyby pro tah (x, y, z,...) (x, y, z), kde x < x, platilo x y z = 0 = x y z, pak díky pravidlu o krácení dostáváme x = x. Proto je množina stavů s nulovým nim-součtem právě množinou P-stavů. Zároveň je vidět, že počet vítězných tahů z N-stavu do některého P-stavu je přesně roven počtu jedniček v nejlevějším sloupci s lichým počtem jedniček (speciálně, počet vítězných tahů je vždy lichý!). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
43 Misère Nim Pokud hrajeme nuznou hru, kdy hráč, který táhne naposled, prohrává, je situace často o dost obtížnější. [Wiki] přitom uvádí, že Nim se obvykle hraje právě ve své misère variantě. Zkuste si rozmyslet, jaké jsou P-stavy a N-stavy v nuzné hře, kdy konečný stav je N-stavem a jak hrát v N-stavech, abyste si zaručili výhru. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
44 Misère Nim Pokud hrajeme nuznou hru, kdy hráč, který táhne naposled, prohrává, je situace často o dost obtížnější. [Wiki] přitom uvádí, že Nim se obvykle hraje právě ve své misère variantě. Zkuste si rozmyslet, jaké jsou P-stavy a N-stavy v nuzné hře, kdy konečný stav je N-stavem a jak hrát v N-stavech, abyste si zaručili výhru. Hraje se stejně jako v případě normální hry, dokud je alespoň na dvou hromádkách více než jeden kámen. V situaci, kdy soupeřův tah přivede hru do stavu, kdy je právě na jedné hromádce více než jeden kámen, vezměte z této hromádky tolik kamenů, aby počet hromádek s právě jedním kamenem byl lichý. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
45 Nimu podobné hry Nimble Hraje se na pásu čtverečků, očislovaném 0,1,2,.... Na každém čtverečku mohou být položeny mince (žádná, jedna i více). Tah spočívá v přesunutí jedné mince na některý čvereček s nižším číslem (lze i pokud již na něm nějaké mince jsou). Koncový stav je ve chvíli, kdy jsou všechny mince na čtverečku s číselm 0, hráč, který táhl poslední, vyhrává. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
46 Nimu podobné hry Nimble Hraje se na pásu čtverečků, očislovaném 0,1,2,.... Na každém čtverečku mohou být položeny mince (žádná, jedna i více). Tah spočívá v přesunutí jedné mince na některý čvereček s nižším číslem (lze i pokud již na něm nějaké mince jsou). Koncový stav je ve chvíli, kdy jsou všechny mince na čtverečku s číselm 0, hráč, který táhl poslední, vyhrává. Převracení želv (Turning turtles) Mince jsou náhodně poskládány do řady, některé z nich vzhůru ĺıcem, jiné rubem. Tak spočívá v otočení některé mince z ĺıce na rub a volitelně v otočení jiné mince vlevo od první (z ĺıce na rub nebo z rubu na ĺıc). Vyhrává hráč, který na konci svého tahu dosáhne stavu, že jsou všechny mince otočeny rubem vzhůru. Hru si můžete zahrát na (lokálně zde). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
47 Nimu podobné hry Nimble Hraje se na pásu čtverečků, očislovaném 0,1,2,.... Na každém čtverečku mohou být položeny mince (žádná, jedna i více). Tah spočívá v přesunutí jedné mince na některý čvereček s nižším číslem (lze i pokud již na něm nějaké mince jsou). Koncový stav je ve chvíli, kdy jsou všechny mince na čtverečku s číselm 0, hráč, který táhl poslední, vyhrává. Převracení želv (Turning turtles) Mince jsou náhodně poskládány do řady, některé z nich vzhůru ĺıcem, jiné rubem. Tak spočívá v otočení některé mince z ĺıce na rub a volitelně v otočení jiné mince vlevo od první (z ĺıce na rub nebo z rubu na ĺıc). Vyhrává hráč, který na konci svého tahu dosáhne stavu, že jsou všechny mince otočeny rubem vzhůru. Hru si můžete zahrát na (lokálně zde). Obě hry se snadno převedou na klasický Nim (promyslete!). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
48 Nimu podobné hry Mooreův Nim Nim k se hraje stejně jako klasický Nim s tím rozdílem, že hráč ve svém tahu odebírá kameny z libovolných k hromádek (z každé hromádky může odebrat jiný počet kamenů, případně neodebrat žádný), přitom musí celkově odebrat alespoň jeden kámen. Je vidět, že Nim 1 je klasický Nim. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
49 Nimu podobné hry Mooreův Nim Nim k se hraje stejně jako klasický Nim s tím rozdílem, že hráč ve svém tahu odebírá kameny z libovolných k hromádek (z každé hromádky může odebrat jiný počet kamenů, případně neodebrat žádný), přitom musí celkově odebrat alespoň jeden kámen. Je vidět, že Nim 1 je klasický Nim. Věta (Moore, 1910) Stav (x, y, z,...) je v Nim k P-stav, právě když je počet jedniček na všech místech binárního zápisu čísel x, y, z,... násobkem k + 1 (tj. x, y, z zapíšeme binárně a sčítáme bez přenosu v v soustavě o základu k + 1). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
50 Nimu podobné hry Mooreův Nim Nim k se hraje stejně jako klasický Nim s tím rozdílem, že hráč ve svém tahu odebírá kameny z libovolných k hromádek (z každé hromádky může odebrat jiný počet kamenů, případně neodebrat žádný), přitom musí celkově odebrat alespoň jeden kámen. Je vidět, že Nim 1 je klasický Nim. Věta (Moore, 1910) Stav (x, y, z,...) je v Nim k P-stav, právě když je počet jedniček na všech místech binárního zápisu čísel x, y, z,... násobkem k + 1 (tj. x, y, z zapíšeme binárně a sčítáme bez přenosu v v soustavě o základu k + 1). Příklad (Northcottova hra) Hraje se na šachovnici s bílými a černými pěšci, kteří táhnou ve sloupcích vpřed i vzad (bez přeskakování). Kdo nemůže táhnout prohrává. a a Všimněte si, že ze nejde o nestrannou hru! Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
51 Plán přednášky 1 Hry na odebírání kamenů 2 Nim 3 Hry na grafech 4 Součty her 5 Další hry řešitelné pomocí SG-funkce Hry Take-and-Break Otáčení mincí Dvourozměrné otáčení mincí a nim-součin Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
52 Už při předchozím uvažování o kombinatorických hrách bylo vidět, že prováděné myšlenky se dají docela dobře reprezentovat pomocí tzv. orientovaných grafů, kde jednotlivé stavy hry jsou reprezentovány vrcholy a tahy mezi těmito stavy tvoří (orientované) hrany. Zkoumání her na orientovaných grafech nám umožní o jednotlivých stavech hry říci více než jen to, jestli jde o P-stav nebo N-stav. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
53 Už při předchozím uvažování o kombinatorických hrách bylo vidět, že prováděné myšlenky se dají docela dobře reprezentovat pomocí tzv. orientovaných grafů, kde jednotlivé stavy hry jsou reprezentovány vrcholy a tahy mezi těmito stavy tvoří (orientované) hrany. Zkoumání her na orientovaných grafech nám umožní o jednotlivých stavech hry říci více než jen to, jestli jde o P-stav nebo N-stav. Definice Orientovaný graf je dvojice G = (V, F ), kde V je neprázdná množina vrcholů (stavů) a F je zobrazení, které každému vrcholu v V přiřadí podmnožinu F (v) H. Pro dané v je F (v) množinou následníků v, tj. vrcholů, do nichž se lze dostat jedním tahem z v. Je-li F (v) =, nazývá se stav v koncový. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
54 Už při předchozím uvažování o kombinatorických hrách bylo vidět, že prováděné myšlenky se dají docela dobře reprezentovat pomocí tzv. orientovaných grafů, kde jednotlivé stavy hry jsou reprezentovány vrcholy a tahy mezi těmito stavy tvoří (orientované) hrany. Zkoumání her na orientovaných grafech nám umožní o jednotlivých stavech hry říci více než jen to, jestli jde o P-stav nebo N-stav. Definice Orientovaný graf je dvojice G = (V, F ), kde V je neprázdná množina vrcholů (stavů) a F je zobrazení, které každému vrcholu v V přiřadí podmnožinu F (v) H. Pro dané v je F (v) množinou následníků v, tj. vrcholů, do nichž se lze dostat jedním tahem z v. Je-li F (v) =, nazývá se stav v koncový. Hra na grafu G má následující pravidla: 1. hráč začíná v předem určeném stavu v 0 a hráči se ve svých tazích střídají. Ve stavu v voĺı hráč, který je na tahu, další stav z množiny F (v). Prohrává hráč, který je na tahu ve stavu v, kde F (v) =. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
55 Sprague-Grundyho funkce Grafové hry mohou být zkoumány analogicky jako Nim prostřednictvím P- a N-stavů. Ukážeme si ale i jiný, obecnější postup pomocí tzv. Sprague-Grundyho funkce. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
56 Sprague-Grundyho funkce Grafové hry mohou být zkoumány analogicky jako Nim prostřednictvím P- a N-stavů. Ukážeme si ale i jiný, obecnější postup pomocí tzv. Sprague-Grundyho funkce. Definice (SG-funkce, SG-hodnota) Sprague-Grundyho funkce grafu G = (V, F ) je funkce g : V N 0 definovaná rekurzívně předpisem g(v) = min{n N 0 : n g(u) pro všechna u F (v)}. Alternativně, s využitím funkce mex (minimal excludant=nejmenší vyloučený; výsledkem je nejmenší nezáporné celé číslo neobsažené v argumentu funkce) můžeme úsporněji psát g(v) = mex{g(u) : u F (v)}. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
57 Analýza her pomocí SG-funkce Ukážeme, že P-stavy jsou právě stavy s SG-hodnotou 0. Krok 1 Každý koncový stav hodnotu SG-funkce rovnou 0. Krok 2 Je-li g(v) = 0, pak pro každé u F (v) platí g(u) > 0. Krok 3 Je-li g(v) > 0, pak nutně existuje u F (v), pro něž platí g(u) = 0. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
58 Analýza her pomocí SG-funkce Ukážeme, že P-stavy jsou právě stavy s SG-hodnotou 0. Krok 1 Každý koncový stav hodnotu SG-funkce rovnou 0. Krok 2 Je-li g(v) = 0, pak pro každé u F (v) platí g(u) > 0. Krok 3 Je-li g(v) > 0, pak nutně existuje u F (v), pro něž platí g(u) = 0. Zdá se, že pojem SG-funkce je ekvivalentní analýze P- a N-stavů, ale brzy si ukážeme, že konkrétní hodnota SG-funkce je významnou přidanou informací. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
59 Analýza her pomocí SG-funkce Ukážeme, že P-stavy jsou právě stavy s SG-hodnotou 0. Krok 1 Každý koncový stav hodnotu SG-funkce rovnou 0. Krok 2 Je-li g(v) = 0, pak pro každé u F (v) platí g(u) > 0. Krok 3 Je-li g(v) > 0, pak nutně existuje u F (v), pro něž platí g(u) = 0. Zdá se, že pojem SG-funkce je ekvivalentní analýze P- a N-stavů, ale brzy si ukážeme, že konkrétní hodnota SG-funkce je významnou přidanou informací. Příklad Určíme SG-hodnotu stavů v naší jednoduché odečítací hře (21 kamenů, odebíráme 1,2 nebo 3). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
60 Analýza her pomocí SG-funkce Ukážeme, že P-stavy jsou právě stavy s SG-hodnotou 0. Krok 1 Každý koncový stav hodnotu SG-funkce rovnou 0. Krok 2 Je-li g(v) = 0, pak pro každé u F (v) platí g(u) > 0. Krok 3 Je-li g(v) > 0, pak nutně existuje u F (v), pro něž platí g(u) = 0. Zdá se, že pojem SG-funkce je ekvivalentní analýze P- a N-stavů, ale brzy si ukážeme, že konkrétní hodnota SG-funkce je významnou přidanou informací. Příklad Určíme SG-hodnotu stavů v naší jednoduché odečítací hře (21 kamenů, odebíráme 1,2 nebo 3). x g(x) Tj. g(x) = x mod 4. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
61 Další příklady her Wythoffova hra Hráči sedící na stejné straně šachovnice střídavě táhnou s dámou, táhnout mohou pouze ve sloupci dolů, v řadě doleva nebo diagonálně šikmo dolů. Hráč, který táhne poslední vyhrává. Hru si můžete zahrát na (lokálně zde). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
62 Další příklady her Wythoffova hra Hráči sedící na stejné straně šachovnice střídavě táhnou s dámou, táhnout mohou pouze ve sloupci dolů, v řadě doleva nebo diagonálně šikmo dolů. Hráč, který táhne poslední vyhrává. Hru si můžete zahrát na (lokálně zde). Dvourozměrný Nim Hraje se na čtvercové síti v prvním kvadrantu, kde je rozmístěn konečný počet kamenů (i více na jednom poli). Tah spočívá v přesunu jednoho kamene bud vlevo ve stejném řádku nebo na libovolné pole v některém nižším řádku. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
63 Další příklady her Wythoffova hra Hráči sedící na stejné straně šachovnice střídavě táhnou s dámou, táhnout mohou pouze ve sloupci dolů, v řadě doleva nebo diagonálně šikmo dolů. Hráč, který táhne poslední vyhrává. Hru si můžete zahrát na (lokálně zde). Dvourozměrný Nim Hraje se na čtvercové síti v prvním kvadrantu, kde je rozmístěn konečný počet kamenů (i více na jednom poli). Tah spočívá v přesunu jednoho kamene bud vlevo ve stejném řádku nebo na libovolné pole v některém nižším řádku. Zkuste si spočítat Sprague-Grundyho funkce pro tyto hry. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
64 Plán přednášky 1 Hry na odebírání kamenů 2 Nim 3 Hry na grafech 4 Součty her 5 Další hry řešitelné pomocí SG-funkce Hry Take-and-Break Otáčení mincí Dvourozměrné otáčení mincí a nim-součin Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
65 Přirozeným způsobem, jak z kombinatorických her vytvářet hry složitější, je tzv. (disjunktní) sčítání her. Tah hráče v součtu daných her spočívá v tom, že zvoĺı jednu z daných her a v ní učiní svůj tah. Jako dobrá ilustrace tohoto pojmu poslouží klasický tříhromádkový Nim, který je součtem 3 (triviálních) jednohromádkových Nimů. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
66 Přirozeným způsobem, jak z kombinatorických her vytvářet hry složitější, je tzv. (disjunktní) sčítání her. Tah hráče v součtu daných her spočívá v tom, že zvoĺı jednu z daných her a v ní učiní svůj tah. Jako dobrá ilustrace tohoto pojmu poslouží klasický tříhromádkový Nim, který je součtem 3 (triviálních) jednohromádkových Nimů. Definice (Součet grafových her) Mějme n grafů G 1 = (V 1, F 1 ),..., G n = (V n, F n ). Součtem G = G G n grafů G 1,..., G n nazveme graf G = (V, F ), kde V = V 1 V 2 V n je množina všech n-tic (v 1,..., v n ), kde v i V i a pro vrchol v = (v 1,..., v n ) je množina následníků F (v) =F 1 (v 1 ) {v 2 } {v n } {v 1 } F (v 2 ) {v n } {v 1 } {v 2 } F (v n ) Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
67 Následující věta je významným zobecněním Boutonovy věty ukazuje, že SG-hodnotu stavu v součtu grafů dostaneme jako nim-součet SG-hodnot jednotlivých komponent. Věta (Sprague, 1936; Grundy, 1939) Mějme grafy G 1,..., G n s SG-funkcemi g 1,..., g n. Pak graf G = G 1 + G G n má Sprague-Grundyho funkci g(v 1,..., v n ) = g 1 (v 1 ) g n (v n ). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
68 Následující věta je významným zobecněním Boutonovy věty ukazuje, že SG-hodnotu stavu v součtu grafů dostaneme jako nim-součet SG-hodnot jednotlivých komponent. Věta (Sprague, 1936; Grundy, 1939) Mějme grafy G 1,..., G n s SG-funkcemi g 1,..., g n. Pak graf G = G 1 + G G n má Sprague-Grundyho funkci g(v 1,..., v n ) = g 1 (v 1 ) g n (v n ). Důkaz této věty je podobný důkazu Boutonovy věty (zkuste sami!). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
69 Následující věta je významným zobecněním Boutonovy věty ukazuje, že SG-hodnotu stavu v součtu grafů dostaneme jako nim-součet SG-hodnot jednotlivých komponent. Věta (Sprague, 1936; Grundy, 1939) Mějme grafy G 1,..., G n s SG-funkcemi g 1,..., g n. Pak graf G = G 1 + G G n má Sprague-Grundyho funkci g(v 1,..., v n ) = g 1 (v 1 ) g n (v n ). Důkaz této věty je podobný důkazu Boutonovy věty (zkuste sami!). Poznámka Důležitým důsledkem této věty je skutečnost, že každá nestranná kombinatorická hra se jako sčítanec v součtu her chová stejně jako jako hra Nim s jednou hromádkou velikosti rovné SG-funkci této hry. Jinými slovy: každá nestranná hra je ekvivalentní Nimu. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
70 Aplikace na různé hry Příklad (Součet odečítacích her) Označme G(m) tzv. odečítací hru (zobecnění naší úvodní jednoduché hry, kdy lze z hromádky odebírat 1 až m kamenů). a Snadno je vidět, že G(m) má SG-funkci rovnou g m (v) = v mod m + 1. Uvažme hru G = G(3) + G(5) + G(7) s počátečním stavem (9, 10, 14). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
71 Aplikace na různé hry Příklad (Součet odečítacích her) Označme G(m) tzv. odečítací hru (zobecnění naší úvodní jednoduché hry, kdy lze z hromádky odebírat 1 až m kamenů). a Snadno je vidět, že G(m) má SG-funkci rovnou g m (v) = v mod m + 1. Uvažme hru G = G(3) + G(5) + G(7) s počátečním stavem (9, 10, 14). Snadno vypočteme SG-funkci g((9, 10, 14)) = g 3 (9) g 5 (10) g 7 (14) = = 3. Počáteční stav je tedy N-stavem. a Obecně lze v odečítacích hrách odebírat počet kamenů, který je prvkem množiny S; zde S = {1,..., m}. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
72 Příklad (Součet odečítacích her pokr.) Podobně jako v Nimu určíme vítězné tahy podle nejlevějších jedniček v binárním zápisu, kterých je lichý počet: g 3 (9) = 1 = g 5 (10) = 4 = g 7 (14) = 6 = Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
73 Příklad (Součet odečítacích her pokr.) Podobně jako v Nimu určíme vítězné tahy podle nejlevějších jedniček v binárním zápisu, kterých je lichý počet: g 3 (9) = 1 = g 5 (10) = 4 = = Potřebnou hodnotu 5 dosáhneme odebráním jednoho kamene ze třetí hromádky, nebot pak g 7 (13) = 5. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
74 Příklad (Součet odečítacích her pokr.) Podobně jako v Nimu určíme vítězné tahy podle nejlevějších jedniček v binárním zápisu, kterých je lichý počet: g 3 (9) = 1 = g 5 (10) = 4 = = Potřebnou hodnotu 5 dosáhneme odebráním jednoho kamene ze třetí hromádky, nebot pak g 7 (13) = 5. Je zde ovšem oproti Nimu přece jen jeden rozdíl tento optimální tah není jediný, protože SG-funkce nemusí být nutně monotónní (tj. se zmenšující hodnotou argumentu se nemusí nutně zmenšovat hodnota SG-funkce) a můžeme tak generovat jedničky i na vyšších místech. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
75 Příklad (Součet odečítacích her pokr.) Podobně jako v Nimu určíme vítězné tahy podle nejlevějších jedniček v binárním zápisu, kterých je lichý počet: g 3 (9) = 1 = g 5 (10) = 4 = = Potřebnou hodnotu 5 dosáhneme odebráním jednoho kamene ze třetí hromádky, nebot pak g 7 (13) = 5. Je zde ovšem oproti Nimu přece jen jeden rozdíl tento optimální tah není jediný, protože SG-funkce nemusí být nutně monotónní (tj. se zmenšující hodnotou argumentu se nemusí nutně zmenšovat hodnota SG-funkce) a můžeme tak generovat jedničky i na vyšších místech. Např. zde je dalším vítězným tahem odebrání 3 kamenů z první hromádky, nebot pak g 3 (6) = 2 a = 0. Žádný tah v druhé hromádce ovšem již vítězný není. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
76 Plán přednášky 1 Hry na odebírání kamenů 2 Nim 3 Hry na grafech 4 Součty her 5 Další hry řešitelné pomocí SG-funkce Hry Take-and-Break Otáčení mincí Dvourozměrné otáčení mincí a nim-součin Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
77 Plán přednášky 1 Hry na odebírání kamenů 2 Nim 3 Hry na grafech 4 Součty her 5 Další hry řešitelné pomocí SG-funkce Hry Take-and-Break Otáčení mincí Dvourozměrné otáčení mincí a nim-součin Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
78 Laskerův Nim Úprava Nimu na hru typu Vezmi a rozděl je dílem E. Laskera, šachového mistra světa v letech V této hře je možné zahrát některý z tahů: klasické odebrání libovolného počtu kamenů z některé hromádky, rozdělení hromádky s alespoň dvěma kameny na dvě neprázdné hromádky. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
79 Laskerův Nim Úprava Nimu na hru typu Vezmi a rozděl je dílem E. Laskera, šachového mistra světa v letech V této hře je možné zahrát některý z tahů: klasické odebrání libovolného počtu kamenů z některé hromádky, rozdělení hromádky s alespoň dvěma kameny na dvě neprázdné hromádky. Poměrně snadno lze indukcí dokázat, že SG-funkce pro Laskerův Nim s jednou hromádkou má tvar g(4k+1) = 4k+1, g(4k+2) = 4k+2, g(4k+3) = 4k+4, g(4k+4) = 4k+3 pro k 0. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
80 Laskerův Nim Úprava Nimu na hru typu Vezmi a rozděl je dílem E. Laskera, šachového mistra světa v letech V této hře je možné zahrát některý z tahů: klasické odebrání libovolného počtu kamenů z některé hromádky, rozdělení hromádky s alespoň dvěma kameny na dvě neprázdné hromádky. Poměrně snadno lze indukcí dokázat, že SG-funkce pro Laskerův Nim s jednou hromádkou má tvar g(4k+1) = 4k+1, g(4k+2) = 4k+2, g(4k+3) = 4k+4, g(4k+4) = 4k+3 pro k 0. Příklad Vyzkoušejte si Laskerův Nim s úvodním stavem (2, 5, 7). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
81 Kayles Hra Kayles byla zmíněn H. E. Dudeneyem v The Canterbury puzzles (1958). Dva kuželkáři stojí před řadou 13 kuželek, přičemž druhá kuželka je již shozená. Oba jsou tak kvalitní, že svým hodem mohou shodit kteroukoliv kuželku nebo dvojici sousedních kuželek. Vítězem je hráč, který shodí poslední kuželku. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
82 Kayles Hra Kayles byla zmíněn H. E. Dudeneyem v The Canterbury puzzles (1958). Dva kuželkáři stojí před řadou 13 kuželek, přičemž druhá kuželka je již shozená. Oba jsou tak kvalitní, že svým hodem mohou shodit kteroukoliv kuželku nebo dvojici sousedních kuželek. Vítězem je hráč, který shodí poslední kuželku. Tato hra se dá popsat pomocí odebírání kamenů následovně: tahem je odebrání jednoho nebo dvou kamenů z jedné hromádky, kterou je poté možno rozdělit na dvě neprázdné hromádky. Hru si můžete zahrát na (lokálně zde). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
83 Kayles Hra Kayles byla zmíněn H. E. Dudeneyem v The Canterbury puzzles (1958). Dva kuželkáři stojí před řadou 13 kuželek, přičemž druhá kuželka je již shozená. Oba jsou tak kvalitní, že svým hodem mohou shodit kteroukoliv kuželku nebo dvojici sousedních kuželek. Vítězem je hráč, který shodí poslední kuželku. Tato hra se dá popsat pomocí odebírání kamenů následovně: tahem je odebrání jednoho nebo dvou kamenů z jedné hromádky, kterou je poté možno rozdělit na dvě neprázdné hromádky. Hru si můžete zahrát na (lokálně zde). Najděme SG-funkci pro hru Kayles, kde úvodní stav je hromádka s n kameny. Jediný koncový stav je prázdná hromádka, tedy g(0) = 0. Snadno g(1) = 1 a g(2) = 2. Z hromádky se třemi kameny můžeme odebrat bud 1 nebo 2 kameny (SG:1,2) nebo odebrat jeden kámen a rozdělit na dvě hromádky (SG:0). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
84 Kayles řešení Tímto postupem dopočítáme tabulku (x je číslo řádku, y sloupce) g(12x + y) Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
85 Kayles řešení Tímto postupem dopočítáme tabulku (x je číslo řádku, y sloupce) g(12x + y) Od hodnoty n = 72 je dále funkce g periodická s periodou 12, tučně jsou vyznačeny výjimky oproti hodnotám v posledním řádku. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
86 Kayles řešení Tímto postupem dopočítáme tabulku (x je číslo řádku, y sloupce) g(12x + y) Od hodnoty n = 72 je dále funkce g periodická s periodou 12, tučně jsou vyznačeny výjimky oproti hodnotám v posledním řádku. Příklad Vyřešte úvodní Dudeneyovu úlohu s dvěma hromádkami (1, 11). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
87 Plán přednášky 1 Hry na odebírání kamenů 2 Nim 3 Hry na grafech 4 Součty her 5 Další hry řešitelné pomocí SG-funkce Hry Take-and-Break Otáčení mincí Dvourozměrné otáčení mincí a nim-součin Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
88 Hry s otáčením mincí zobecňují dříve uvedenou hru Otáčení želv. V řadě je konečně mnoho mincí otočených vzhůru ĺıcovou či rubovou stranou. Tah spočívá v otočení mincí z nějaké sady podle pravidel konkrétní hry. Vždy však musí být nejpravější otáčená mince otočena z ĺıcové na rubovou stranu (podmínka konečnosti hry). To, které mince jsou otáčeny, smí záviset pouze na pozici nejpravější otáčené mince, nikoli již na jiných pozicích, předchozích tazích apod. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
89 Hry s otáčením mincí zobecňují dříve uvedenou hru Otáčení želv. V řadě je konečně mnoho mincí otočených vzhůru ĺıcovou či rubovou stranou. Tah spočívá v otočení mincí z nějaké sady podle pravidel konkrétní hry. Vždy však musí být nejpravější otáčená mince otočena z ĺıcové na rubovou stranu (podmínka konečnosti hry). To, které mince jsou otáčeny, smí záviset pouze na pozici nejpravější otáčené mince, nikoli již na jiných pozicích, předchozích tazích apod. Pro všechny takovéto hry platí zřejmě obdobný rozklad jako pro Otáčení želv stav s k ĺıci na pozicích v 1,..., v k je součtem k her, kde v každé hře (číslo i) je právě jeden ĺıc a to na pozici v i. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
90 Hry s otáčením mincí zobecňují dříve uvedenou hru Otáčení želv. V řadě je konečně mnoho mincí otočených vzhůru ĺıcovou či rubovou stranou. Tah spočívá v otočení mincí z nějaké sady podle pravidel konkrétní hry. Vždy však musí být nejpravější otáčená mince otočena z ĺıcové na rubovou stranu (podmínka konečnosti hry). To, které mince jsou otáčeny, smí záviset pouze na pozici nejpravější otáčené mince, nikoli již na jiných pozicích, předchozích tazích apod. Pro všechny takovéto hry platí zřejmě obdobný rozklad jako pro Otáčení želv stav s k ĺıci na pozicích v 1,..., v k je součtem k her, kde v každé hře (číslo i) je právě jeden ĺıc a to na pozici v i. Např. hra RLRRLRL je součtem her RL, RRRRL a RRRRRRL, proto pro určení SG-hodnoty obecné hry stačí určit SG-hodnoty her s právě jedním ĺıcem. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
91 Reprezentace her pomocí otáčení mincí Podobně jako lze hry reprezentovat pomocí Nimu, lze často hry reprezentovat i pomocí otáčení mincí. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
92 Reprezentace her pomocí otáčení mincí Podobně jako lze hry reprezentovat pomocí Nimu, lze často hry reprezentovat i pomocí otáčení mincí. U některých her je výhodnější reprezentace pomocí Nimu, u jiných je tomu naopak. Příklad (Jednoduchá úvodní odečítací hra) Mějme odečítací hru s S = {1, 2, 3}. Hru reprezentujeme pomocí n mincí očíslovaných od 1 do n, v každém tahu musí být otočena mince na pozici x z ĺıcové na rubovou stranu a dále otočena mince na pozici x 1, x 2 nebo x 3 (pokud x > 3). Zřejmě má ĺıc na pozici 1 SG-hodnotu 1, na pozici 2 hodnotu 2, atd. Řada mincí s několika hlavami pak odpovídá několika hromádkám kamenů. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
93 Reprezentace her pomocí otáčení mincí Podobně jako lze hry reprezentovat pomocí Nimu, lze často hry reprezentovat i pomocí otáčení mincí. U některých her je výhodnější reprezentace pomocí Nimu, u jiných je tomu naopak. Příklad (Jednoduchá úvodní odečítací hra) Mějme odečítací hru s S = {1, 2, 3}. Hru reprezentujeme pomocí n mincí očíslovaných od 1 do n, v každém tahu musí být otočena mince na pozici x z ĺıcové na rubovou stranu a dále otočena mince na pozici x 1, x 2 nebo x 3 (pokud x > 3). Zřejmě má ĺıc na pozici 1 SG-hodnotu 1, na pozici 2 hodnotu 2, atd. Řada mincí s několika hlavami pak odpovídá několika hromádkám kamenů. Příklad (Dvojčata) Dvojčata je velmi podobná hra převracení želv, kdy musíme otočit právě dvě mince (s obvyklou konvecní). Zde je vhodné číslovat pozice mincí od 0 dostáváme tak g(x) = x (tedy Twins jsou opět totéž, co Nim). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
94 Příklad (Falešné želvy) Tato hra má prostřednictvím mincí přirozenější reprezantaci než jako hra s hromádkami kamenů. Je podobná hře Převracení želv, máme ale povoleno otočit 1, 2 nebo 3 mince (jako obvykle s nejpravější ve směru ĺıc rub). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
95 Příklad (Falešné želvy) Tato hra má prostřednictvím mincí přirozenější reprezantaci než jako hra s hromádkami kamenů. Je podobná hře Převracení želv, máme ale povoleno otočit 1, 2 nebo 3 mince (jako obvykle s nejpravější ve směru ĺıc rub). V tomto případě se ukazuje jako výhodnější pro výpočet SG-funkce číslovat pozice mincí od 0 místo od 1. Obvyklým způsobem vypočteme pozice x : g(x): Jestli jde funkci g(x) popsat jiným obvyklým způsobem, je asi obtížné na první pohled odhalit (kromě toho, že g(x) je vždy rovno bud 2x nebo 2x + 1). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
96 Příklad (Falešné želvy) Tato hra má prostřednictvím mincí přirozenější reprezantaci než jako hra s hromádkami kamenů. Je podobná hře Převracení želv, máme ale povoleno otočit 1, 2 nebo 3 mince (jako obvykle s nejpravější ve směru ĺıc rub). V tomto případě se ukazuje jako výhodnější pro výpočet SG-funkce číslovat pozice mincí od 0 místo od 1. Obvyklým způsobem vypočteme pozice x : g(x): Jestli jde funkci g(x) popsat jiným obvyklým způsobem, je asi obtížné na první pohled odhalit (kromě toho, že g(x) je vždy rovno bud 2x nebo 2x + 1). Odpověd (opět) závisí na binárním zápisu čísel číslo nazveme odious (hnusné), pokud je počet 1 v jeho binárním zápisu lichý, je-li počet jedniček sudý nazveme ho evil (odporné). Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
97 Lze poměrně snadno (indukcí) dokázat, že g(x) = 2x + 1, pokud je 2x evil, a rovno 2x, pokud je odious. Jinými slovy, posloupnost g(x) je tvořena právě všemi odious čísly. Samotný důkaz je založen na faktu, že evil evil = odious odious = evil odious evil = evil odious = odious. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
98 Lze poměrně snadno (indukcí) dokázat, že g(x) = 2x + 1, pokud je 2x evil, a rovno 2x, pokud je odious. Jinými slovy, posloupnost g(x) je tvořena právě všemi odious čísly. Samotný důkaz je založen na faktu, že evil evil = odious odious = evil odious evil = evil odious = odious. Pokud máme nyní ĺıce na pozicích x 1,..., x n, pak, jde-li o P-pozici, (tj. g(x 1 ) g(x n )), pak nutně n musí být sudé, a navíc x 1 x n = 0 (nebot g(x) = 2x s občasným přidáním 1). P-pozice ve Falešných želvách jsou právě P-pozice v Nimu, které mají sudý počet hromádek. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
99 Pravítko Tato hra má pomocí velmi jednoduchou reprezentaci pomocí otáčení mincí. Tah spočívá v tom, že libovolný počet sousedících mincí může být otočen. Pokud číslujeme pozice od 1, splňuje SG-funkce vztah g(n) = mex{0, g(n 1), g(n 1) g(n 2),..., g(n 1) g(1)}. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
100 Pravítko Tato hra má pomocí velmi jednoduchou reprezentaci pomocí otáčení mincí. Tah spočívá v tom, že libovolný počet sousedících mincí může být otočen. Pokud číslujeme pozice od 1, splňuje SG-funkce vztah g(n) = mex{0, g(n 1), g(n 1) g(n 2),..., g(n 1) g(1)}. Z tohoto vztahu lze snadno odvodit hodnoty SG-funkce: pozice x: g(x): , tj. g(x) je nejvyšší mocnina 2 děĺıcí n. Název hry vychází z dělky značek na pravítku. Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
101 Plán přednášky 1 Hry na odebírání kamenů 2 Nim 3 Hry na grafech 4 Součty her 5 Další hry řešitelné pomocí SG-funkce Hry Take-and-Break Otáčení mincí Dvourozměrné otáčení mincí a nim-součin Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
102 Otáčení rohů Zobecníme nyní otáčení mincí přidáním dalšího rozměru. Souřadnice mincí budeme číslovat od 0 a znázorňovat ve 4. kvadrantu, podmínku, že nejpravější mince musí být otočena z ĺıce na rub nahradíme toutéž podmínkou pro minci nejvíce na jihovýchod označíme-li její souřadnice (x, y) pak kažád otáčená mince musí být v obdélníku {(a, b) : 0 a x; 0 b y} Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry / 51
Kombinatorické hry. Michal Bulant. Masarykova univerzita. Ústav matematiky a statistiky
Kombinatorické hry Michal Bulant Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky 7. 3. 2011 Michal Bulant (PřF MU) Kombinatorické hry 7. 3. 2011 1 / 59 Obsah přednášky 1 Hry
Abstrakt. V příspěvku se budeme zabývat kombinatorickými hrami s úplnou informací
Teorie her Viki Němeček Abstrakt. V příspěvku se budeme zabývat kombinatorickými hrami s úplnou informací pro dva hráče. Vysvětlíme si základní pojmy, zahrajeme si několik jednodušších her a naučíme se
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Teorie her a ekonomické rozhodování. 4. Hry v rozvinutém tvaru
Teorie her a ekonomické rozhodování 4. Hry v rozvinutém tvaru 4.1 Hry v rozvinutém tvaru Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada po sobě následujících
Algebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
5 Orientované grafy, Toky v sítích
Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost
10. DETERMINANTY " # $!
10. DETERMINANTY $ V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru nad pevným tělesem, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich
TGH13 - Teorie her I.
TGH13 - Teorie her I. Jan Březina Technical University of Liberec 19. května 2015 Hra s bankéřem Máte právo sehrát s bankéřem hru: 1. hází se korunou dokud nepadne hlava 2. pokud hlava padne v hodu N,
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
Co je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
Stromové rozklady. Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom,
Stromové rozklady Zdeněk Dvořák 25. října 2017 Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom, β je funkce přiřazující každému vrcholu T podmnožinu vrcholů v G, pro každé
Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak
1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen
Matice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
13. cvičení z PSI ledna 2017
cvičení z PSI - 7 ledna 07 Asymptotické pravděpodobnosti stavů Najděte asymptotické pravděpodobnosti stavů Markovova řetězce s maticí přechodu / / / 0 P / / 0 / 0 0 0 0 0 0 jestliže počáteční stav je Řešení:
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Studijní program Matematika, bakalářské studium Studijní program Informatika, bakalářské studium 2014, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a,
Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,
[161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p
Úvod do teorie her
Úvod do teorie her. Formy her a rovnovážné řešení Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 208 ÚTIA AV ČR Program. Definujeme 2 základní formy pro studium různých her: rozvinutou, strategickou. 2.
Conwayova teorie na příkladu hry Snort
Conwayova teorie na příkladu hry Snort Václav Vopravil Budeme hrát specifické hry, které nazýváme kombinatorické. Stručně takové hry jsou charakterizovány takto:. Hru hrají dva hráči. Tito hráči jsou tradičně
Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
Habermaaß-hra 3389A /4521N. Počítání s piráty (mini verze)
CZ Habermaaß-hra 3389A /4521N Počítání s piráty (mini verze) Počítání s piráty mini verze Vzdělávací hra pro 2 až 4 piráty ve věku od 6 do 99 let. Obsahuje variantu pro jednoho hráče. Autor: Wolfgang Dirscherl
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.
Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Václav Vopravil. (a) Hra má několik (zpravidla konečný) počet pozic. Jedna z těchto pozic se nazývá
Hry a strategické myšlení Václav Vopravil Kombinatorickými hrami budeme rozumět hry dvou hráčů (hráči se tradičně označují Levý a pravý, bílý a černý,..., stručně L a R hráč), které splňují následující
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
ANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
Teorie her(povídání ke čtvrté sérii)
Teorie her(povídání ke čtvrté sérii) Je velice obtížné definovat obecně, co je to hra. Navíc tento pojem intuitivně chápeme. Budeme se zabývat takovými hrami jako jsou šachy nebo pišqorky hrami dvou hráčů,
3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
ODDVILLE hra pro 2 4 hráče od 10 let
ODDVILLE hra pro 2 4 hráče od 10 let Obsah hry: 64 karet budov/mincí 1 karta startovního náměstí 16 karet dělníků (4 od barvy) 36 figurek (9 od barvy) 1 deska zdrojů 12 karet postav (3 od jené gildy) Hráči
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Funkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
![[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici](/thumbs/94/118721039.jpg "[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici")
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3
SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p Např: 2 2 + (-2) 4 + 0 0 + 1 1 = -3 INVERZNÍ MATICE Pro čtvercovou matici B může (ale nemusí) existovat
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Úlohy domácí části I. kola kategorie C
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,
Návody k domácí části I. kola kategorie C
61. ročník Matematické olympiády Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax 2 + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek 2 a při dělení dvojčlenem x
H {{u, v} : u,v U u v }
Obyčejný graf Obyčejný graf je dvojice G= U, H, kde U je konečná množina uzlů (vrcholů) a H {{u, v} : u,v U u v } je (konečná) množina hran. O hraně h={u, v} říkáme, že je incidentní s uzly u a v nebo
CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
Hlavolamy a teorie grafů
Hlavolamy a teorie grafů Petr Kovář 1 petr.kovar@vsb.cz 1 Vysolá škola báňská Technická univerzita Ostrava, Škola matematického modelování, 2009 Přehled přednášky Úloha hanojských věží Část 1. Co není
Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
![[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).](/thumbs/54/34227823.jpg "[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).")
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,
Generující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30
Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou
TEORIE HER
TEORIE HER 15. 10. 2014 HRA HRA Definice Hra je činnost jednoho či více lidí, která nemusí mít konkrétní smysl, ale přitom má za cíl radost či relaxaci. HRA Definice Hra je činnost jednoho či více lidí,
1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Úvod do teorie her
Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík
B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
Lineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Základy teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
Ukážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní. stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu, pak rozhodnout
Ukážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní graf má stromovou šířku nejvýše k, a je-li tomu tak, také vrátí příslušný stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu,
Bakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
= je prostý orientovaný graf., formálně c ( u, v) 0. dva speciální uzly: zdrojový uzel s a cílový uzel t. Dále budeme bez
Síť Síť je čtveřice N = ( G, s, t, c) kde G ( V, A) = je prostý orientovaný graf a každé orientované hraně ( u, v) je přiřazeno nezáporné číslo, které se nazývá kapacita hrany ( u, v), formálně c ( u,
Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
2. Test 07/08 zimní semestr
2. Test 07/08 zimní semestr Příklad 1. Najděte tříprvkový poset (částečně uspořádanou množinu), která má právě dva maximální a právě dva minimální prvky. Řešení. Takový poset je až na izomorfismus jeden:
1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus
1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus V této kapitole nadefinujeme toky v sítích, odvodíme základní věty o nich a také Fordův-Fulkersonův algoritmus pro hledání maximálního toku. Také ukážeme,
Zavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
Formální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.
Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy
KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Seriál II.II Vektory. Výfučtení: Vektory
Výfučtení: Vektory Abychom zcela vyjádřili veličiny jako hmotnost, teplo či náboj, stačí nám k tomu jediné číslo (s příslušnou jednotkou). Říkáme jim skalární veličiny. Běžně se však setkáváme i s veličinami,
Vrcholová barevnost grafu
Vrcholová barevnost grafu Definice: Necht G = (V, E) je obyčejný graf a k N. Zobrazení φ : V {1, 2,..., k} nazýváme k-vrcholovým obarvením grafu G. Pokud φ(u) φ(v) pro každou hranu {u, v} E, nazveme k-vrcholové
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
PQ-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase
-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase ermutace s předepsanými intervaly Označme [n] množinu {1, 2,..., n}. Mějme permutaci π = π 1, π 2,..., π n množiny [n]. Řekneme, že množina S
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek
Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.
9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
Cvičení Programování I. Stručné poznámky ke cvičení ze
Cvičení Programování I Cvičící: Pavel urynek, KIM, pavel.surynek@seznam.cz emestr: Zima 2005/2006 Kroužek: Matematika/59 Rozvrh: Pátek 10:40-12:10 (učebna K2) tručné poznámky ke cvičení ze 14.10.2005 1.
Těleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 1. Kolika způsoby je možno vyplnit čtvercovou tabulku 3 3 čísly,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 tak, aby součet čísel v každém čtverci
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se