TGH13 - Teorie her I.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "TGH13 - Teorie her I."

Transkript

1 TGH13 - Teorie her I. Jan Březina Technical University of Liberec 19. května 2015

2 Hra s bankéřem Máte právo sehrát s bankéřem hru: 1. hází se korunou dokud nepadne hlava 2. pokud hlava padne v hodu N, banéř vyplatí 2 N Kolik můžete požedovat za odstoupení od hry?

3 řešení Přiměřená náhrada je střední hodnota vyplacené částky tj N 1 2 N + =

4 Vězňovo dilema

5 Vězňovo dilema - vlastnosti Předpoklad, že nedojde k další hře, např. odplata. Optimální pro oba je spolupráce (remain silent). Nicméně pokud každý hledá jen svoje optimum, skončí to pro oba nejhorším způsobem. Model pro některé reálné situace (např. reklama, doping)

6 Výběrové řízení tři firmy: A-comp, B-comp, C-comp 3/4 zakázky získá druhá nejlevnější nabídka, první nabídka získá 1/4 zakázky v případě shody cen se zakázka dále děĺı strategie A-comp (kolik bude její cena): 20, 40 strategie B-comp: 20, 30, 40 strategie C-comp: 10, 50

7 hra - výběrové řízení nabídky (A,B,C) zisky (A,B,C) 20, 20, , 7.5, , 20, 50 10, 10, 0 20, 30, 10 15, 0, , 30, 50 5, 22.5, 0 20, 40, 10 15, 0, ,40, 50 5, 30, 0 40, 20, 10 0, 15, , 20, 50 30, 5, 0 40, 30, 10 0, 22.5, , 30, 50 30, 7.5, 0 40, 40, 10 15, 15, ,40, 50 20, 20, 0

8 Hra v normálním tvaru Hra v normálním tvaru je trojce množin H = (U, S, F ) množina účastníků - hráčů U = {1,..., N} množina prostorů strategíı pro účastníky S = {X 1,..., X 2 } množina výplatních funkcí hráčů F = {F 1,..., F 2 }, F i : X 1 X 2... X N R F lze chápat jako vektorovou funkci, která každému vektoru strategíı přiřazuje vektor výher Průběh hry: 1. každý hráč i U vybere svou strategii x i X i 2. vznikne vektor strategíı (x 1, x 2,..., x N ) 3. Každému hráči i U se vyplatí výhra podle výplatní funkce F i (x 1, x 2, x 3 )

9 Součet výher Dělení her podle součtu výher všech účastníků: 1. konflikt (hra) s nekonstantním součtem = součet výher závisí na volbě strategíı (př: vězňovo dilema) 2. konflikt (hra) s konstantním součtem = součet výher nezávisí na volbě strategíı (př: výběrové řízení) 3. konflikt (hra) s nulovým součtem = součet výher je nulový (př: kamen-nůžky-papír, poker, obchodní hry) Kooperativní hry jsou popsány prvním typem.

10 kámen - nůžky - papír Vlastnosti: počet hráčů N = 2, hra s nulovým součtem, konečný počet strategíı X 1 = X 2 = 3 X Y K N P K 0:0 1:-1-1:1 N -1:1 0:0 1:-1 P 1:-1-1:1 0:0

11 Šachy řečí teorie her konečné množství možných stavů (postavení) (zanedbáme historii) úplný předpis jak v každém postavení táhnout = strategie partie - každý hráč zvoĺı svou strategii a partie probíhá automaticky vyhledáním tahu pro aktuální postavení Teoreticky lze sestavit tabulku výsledků pro každou dvojici strategíı. hra s nulovým součtem (asi) Toto dohromady dává úplný popis hry šachy i bez známosti pravidel, tabulka výsledků obsahuje všechny možné partie.

12 Poznámky Příklady: kámen-nůžky-papír, intervalová hra Všichni účastníci znají možné strategie a výpletní funkce všech. (jinak hra s nedokonalou informací) Frustrující je pouze v to, že každý voĺı pouze svoji složku souboru strategíı. Pokud jsou prostory strategíı stejné a výplatní funkce nazávisí na permutaci hráčů, jedná se o symetrickou hru.

13 Klasifikace konfliktů 1. podle počtu účastníků - 2, 3, pro více účastníků - možnost tvorby koalic ano/ne 3. podle inteligence účastníků - míra neurčitosti 4. podle součtu výher 5. symetrické/nesymetrické

14 Neurčitost inteligentní účastník - vybírá strategii podle výhry neinteligentní účastník - vybírá strategii náhodně s daným rozdělením pravděpodobnosti (rozhodování při riziku), nebo vybírá podle předem neznámého rozdělení (rozhodování při neurčitosti) p - inteligentní účastník - pro p = 0 je inteligentní, pro p = 1 neinteligentní, jinak při rozhodování dělá náhodný pokus a s pravděpodobností p se bude rozhodovat jako inteligentní, s pst. (1 p) jako neinteligentní Poslední typ je model pro popis situací, kdy účastník dělá chyby nebo jedná pod časovým tlakem.

15 Maticové hry Předpoklady: N = 2, hra s nulovým součtem, konečný počet strategíı Hráči X a Y, jejich prostory strategíı X = {1,... m}, Y = {1,... n}. Výplatní funkce Z Y = Z X stačí psát pouze jednu. zápis do matice. Příklad: kámen - nůžky - papír podruhé Každé matici přísluší nějaká hra. K N P K N P 1-1 0

16 Optimální strategie Optimální strategie jsou takové, že pokud libovolný z hráčů zvoĺı jinou sníží si výhru. Přesně: Pokud Z 1 je výplatní funkce hráče 1. Pak strategie x, ỹ jsou optimální pokud Z 1 (x, ỹ) Z 1 ( x, ỹ) Z 1 ( x, y) pro všechna x X, y Y Optimální strategie se též nazávají Nashovy rovnovážné strategie nebo Nashovo ekvilibrium. levá nerovnost - největší prvek ve slupci pravá nerovnost - nejmenší prvek v řádku

17 Příklad: Hráč X vybírá maximum ve sloupci (maximalizuje svůj zisk svojí volbou strategie). Hráč Y vybírá minimum v řádku (minimalizuje soupeřův zisk svojí volbou strategie). X Y Takto definované Nashovo ekvilibrium existuje jen pokud má matice sedlový prvek.

18 Další příkady kámen - nůžky - papír - nemá sedlový bod = Nashovo ekvilibrium K N P K N P 1-1 0

19 Smíšené strategie Cíl: Popsat optimální strategie i pro maticové hry bez sedlového bodu. (např. KNP) Za smíšenou strategii ˆx označíme náhodnou veličinu s hodnotami v množině strategíı X. Každá taková náhodná veličina je určena pravděpodobnostmi ˆx i jednotlivých strategíı x i X. Přičemž ˆx i = 1. Smíšená strategie je tedy popsána vektorem pravděpodobností. Prostor smíšených strategíı ˆX je množina všech těchto náhodných veličin resp. rozdělení pravděpodobnosti. Výplatní funkce pro smíšené strategie ˆx = (ˆx 1,..., ˆx n ) T, ŷ = (ŷ 1,..., ŷ n ) T je střední hodnota: Z 1 (ˆx, ŷ) = ˆx T Aŷ = n i=1 j=1 m ˆx i A i,j ŷ j kde A je matice původní hry. Nová hra se smíšenými strategiemi se nazývá smíšené rozšíření maticové hry.

20 Základní věta o maticových hrách Pro každé smíšené rozšíření už Nashovo ekvilibrium existuje: Theorem Pro každou matici A existují vektory x ˆX, ỹ Ŷ takové, že x T Aỹ x T Aỹ x T Ay pro všechna x ˆX, y Ŷ.

Teorie her. Kapitola 1. 1.1 Základní pojmy. 1.1.1 Základní pojmy

Teorie her. Kapitola 1. 1.1 Základní pojmy. 1.1.1 Základní pojmy Kapitola 1 Teorie her Dosud jsme se věnovali jednokriteriální či vícekriteriální optimalizaci, kde ve všech úlohách byly předem pevně dané podmínky a ty se nijak neměnily v závislosti na našem rozhodnutí.

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová

Více

Teorie her. RNDr. Magdalena Hykšová, Ph.D. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Teorie her. RNDr. Magdalena Hykšová, Ph.D. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Teorie her RNDr. Magdalena Hykšová, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí,

Více

Varianty Monte Carlo Tree Search

Varianty Monte Carlo Tree Search Varianty Monte Carlo Tree Search tomas.kuca@matfyz.cz Herní algoritmy MFF UK Praha 2011 Témata O čem bude přednáška? Monte Carlo Tree Search od her podobných Go (bez Go) k vzdálenějším rozdíly a rozšíření

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209 9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů; b) dá alespoň jeden koš; c) dá nejdříve

Více

HERNÍ PLÁN A POPIS HRY

HERNÍ PLÁN A POPIS HRY Přijímané mince: 10, 20, 50 Kč Přijímané bankovky: 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000 Kč Maximální sázka do hry: 50 Kč Maximální výhra z jedné hry: 50 000 Kč Výherní podíl: 93-97 % Výplata kreditu je možná

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

HERNÍ PLÁN IVT SYNOT

HERNÍ PLÁN IVT SYNOT HERNÍ PLÁN IVT SYNOT 1 Celtic Magick Celtic Magick je hra se čtyřmi válci a 81 výherními liniemi. Hra obsahuje 10 různých symbolů. Ve hře Celtic Magick může hráč nastavit sázky v následujících krocích:

Více

Pravděpodobnost a statistika pro SŠ

Pravděpodobnost a statistika pro SŠ Pravděpodobnost a statistika pro SŠ RNDr. Blanka Šedivá, Ph.D., katedra matematiky, Fakulta aplikovaných věd Západočeské univerzity v Plzni sediva@kma.zcu.cz 28. března 2012 Počátky teorie pravděpodobnosti

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

S U P E R G A M E S HERNÍ PLÁN

S U P E R G A M E S HERNÍ PLÁN Zadávání kreditů : S U P E R G A M E S HERNÍ PLÁN Přístroj přijímá mince v hodnotě 5, 10 a 20 Kč. Akceptor bankovek přijímá bankovky dle nastavení provozovatele v hodnotách : 50,100, 200, 500, 1000 a 2000

Více

PLAY IT AGAIN: POPIS HRY Strana 1 z 10 PLAY IT AGAIN : POPIS HRY. Pohled na obrazovku při sázce 2

PLAY IT AGAIN: POPIS HRY Strana 1 z 10 PLAY IT AGAIN : POPIS HRY. Pohled na obrazovku při sázce 2 PLAY IT AGAIN: POPIS HRY Strana 1 z 10 PLAY IT AGAIN : POPIS HRY Pohled na obrazovku při sázce 2 PLAY IT AGAIN: POPIS HRY Strana 2 z 10 Pohled na obrazovku při losování PLAY IT AGAIN: POPIS HRY Strana

Více

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Opakování: Mějme náhodné veličiny X a Y uspořádané do kontingenční tabulky. Řekli jsme, že nulovou hypotézu H 0 : veličiny X, Y jsou nezávislé zamítneme, když

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování Předpoklady: 9109 Pedagogická poznámka: Tato hodina slouží jednak ke zopakování probraného, ale zejména k praktickému nácviku kombinatoriky v situaci, ve které

Více

Rozpis krajského přeboru v minivolejbale pro soutěžní období 2015 2016

Rozpis krajského přeboru v minivolejbale pro soutěžní období 2015 2016 Středočeský krajský volejbalový svaz http://stc.cvf.cz e-mail: stc-vol@seznam.cz Rozpis krajského přeboru v minivolejbale pro soutěžní období 2015 2016 modrý, červený a žlutý volejbal chlapců, dívek a

Více

Týden 14. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost

Týden 14. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 14 Přednáška PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomili jsme si nejprve, že např. pro zjištění toho, zda Bílý má nějakou strategii ve hře ŠACHY, která

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Teorie grafů zadání úloh letní semestr 2008/2009 Poslední aktualizace: 19. května 2009 Obsah Úloha číslo 1 5 Úloha číslo 2 6 Úloha číslo 3 7 Úloha číslo 4 8 Úloha číslo 5 9 Úloha číslo 6 10 Úloha číslo

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy

Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy 1. Firmy působí: a) na trhu výrobních faktorů b) na trhu statků a služeb c) na žádném z těchto trhů d) na obou těchto trzích Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy 2. Firma na trhu statků a služeb

Více

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí Matematické přístupy k pojištění automobilů Silvie Kafková 3. 6. září 2013, Podlesí Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3 Motivace Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

POPIS HRY. Apex Multi Magic. APEX MULTI MAGIC III CZ kat.2 V1.01 Minimální vklad 1 Kč Maximální vklad 100 Kč

POPIS HRY. Apex Multi Magic. APEX MULTI MAGIC III CZ kat.2 V1.01 Minimální vklad 1 Kč Maximální vklad 100 Kč POPIS HRY Apex Multi Magic APEX MULTI MAGIC III CZ kat.2 V1.01 Minimální vklad 1 Kč Maximální vklad 100 Kč Pravidla hry APEX MULTI MAGIC III CZ kat.2 V1.01 Výherní přístroj /dále jen VHP/ APEX Multi Magic

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení šablony/označení sady VY_32_INOVACE_04_M3 M 3

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení šablony/označení sady VY_32_INOVACE_04_M3 M 3 Záznamový arch Název školy: Základní škola a Mateřská škola Brno, Bosonožské nám. 44, příspěvková organizace Číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.2499 Číslo a název šablony klíčové aktivity: III/2 Inovace

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel 3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)

Více

Herní plán DIRTY MONEY

Herní plán DIRTY MONEY Herní plán DIRTY MONEY Dirty Money 1. Úvod Dirty Money je hra s pěti válci a 9 výherními liniemi. Hra obsahuje 9 různých symbolů. 2. Pravidla hry a její průběh Ve hře Dirty Money může hráč nastavit sázky

Více

GOLDEN BANK 300. Universe games, s.r.o., U Habrovky 247/11, 140 00 Praha 4. Herní plán

GOLDEN BANK 300. Universe games, s.r.o., U Habrovky 247/11, 140 00 Praha 4. Herní plán Herní plán vstup mincí: 2, 5, 10, 20 Kč případně 50 Kč vstup bankovek: 100, 200, 500, 1000 Kč případně 2000, 5000 Kč max. SÁZKA na 1 hru : 2 Kč (2 kredity) max. výhra : 300 Kč (300 kreditů) v jedné hře

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Medvídek Teddy barvy a tvary

Medvídek Teddy barvy a tvary CZ Habermaaß-hra 5878 Moje první hra Medvídek Teddy barvy a tvary Moje první hra Medvídek Teddy barvy a tvary První umísťovací hra pro 1 až 4 malé medvídky od 2 let. Autor: Christiane Hüpper Ilustrace:

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Povídání k sedmé sérii

Povídání k sedmé sérii Povídání k sedmé sérii Tato série se zabývá hrami. Pojem hra není pro řešení zadaných úloh potřeba nějak přesně vymezovat, čtenář si vystačí s intuitivní představou. Naše hry mají charakter her pro dva

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Domino jako losovací nástroj a nositel matematických idejí a struktur

Domino jako losovací nástroj a nositel matematických idejí a struktur Domino jako losovací nástroj a nositel matematických idejí a struktur Adam Płocki, Akademia Pedagogiczna, Krakow (Polsko) ABSTRACT: Práce se týká domina jako nositele a tvůrce matematických idejí a problémů.

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Věc: Rozšířené stanovisko Ministerstva financí k tzv. Kvízomatům

Věc: Rozšířené stanovisko Ministerstva financí k tzv. Kvízomatům MINISTERSTVO FINANCÍ Státní dozor nad sázkovými hrami a loteriemi Věc: Rozšířené stanovisko Ministerstva financí k tzv. Kvízomatům Podle ust. 1 odst. 1 zákona č. 202/1990 Sb., o loteriích a jiných podobných

Více

Využití společenských her k procvičování učiva

Využití společenských her k procvičování učiva Využití společenských her k procvičování učiva Odborná střední škola podnikatelská Kolín s.r.o. Jan Klíma e-mail: jan.klima@ossp.cz Klíčová slova škola hrou, společenské hry, procvičování látky, AZ kvíz,

Více

HERNÍ PLÁN SÁZKOVÉ HRY

HERNÍ PLÁN SÁZKOVÉ HRY HERNÍ PLÁN SÁZKOVÉ HRY Systém : Sada her : Min. sázka na jednu hru (dle nastavení): Max. sázka na jednu hru (dle nastavení): CLS - GAMES SYSTÉM Emotion 1 Kč 1.000 Kč Nastavený výherní podíl: 89-97 % Vložení

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Príprava hry. 1. Umístěte nový herní plán na původní, jak je zobrazeno níže. jídla na loviště

Príprava hry. 1. Umístěte nový herní plán na původní, jak je zobrazeno níže. jídla na loviště Príprava hry Herní materiál: 1 herní plán 1 deska hráče (pro 5. hráče) 10 dřevěných figurek černé barvy (pro 5. hráče) 3 černé dřevěné kostičky (2 velké, 1 malá) 4 malé kostičky ve 4 barvách 10 dřevěných

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

KAMIONEM PO EVROPĚ "Kdo si hraje, nezlobí!" Vyrobeno výrobním družstvem Eva ve spolupráci s FaF VFU BRNO Nápad: Výrobní družstvo disk Říčany

KAMIONEM PO EVROPĚ Kdo si hraje, nezlobí! Vyrobeno výrobním družstvem Eva ve spolupráci s FaF VFU BRNO Nápad: Výrobní družstvo disk Říčany KAMIONEM PO EVROPĚ "Kdo si hraje, nezlobí!" Vyrobeno výrobním družstvem Eva ve spolupráci s FaF VFU BRNO Nápad: Výrobní družstvo disk Říčany OBSAH HRY: 1. Herní plán 2. Kamiony z moduritu - 6 ks. 3. Karty

Více

Gymnázium, Praha 6, Arabská 14. předmět Programování, vyučující Tomáš Obdržálek. Počítačová hra Fotbalový Manažer. ročníkový projekt.

Gymnázium, Praha 6, Arabská 14. předmět Programování, vyučující Tomáš Obdržálek. Počítačová hra Fotbalový Manažer. ročníkový projekt. Gymnázium, Praha 6, Arabská 14 předmět Programování, vyučující Tomáš Obdržálek Počítačová hra Fotbalový Manažer ročníkový projekt Jan, 1E květen 2014 Anotace: Fotbalový Manažer je strategická hra pouze

Více

strategická desková hra pro dva hráče

strategická desková hra pro dva hráče strategická desková hra pro dva hráče Hrací potřeby: Sada 10 hracích kamenů pro každého hráče: 2 Pěšáci, 2 Rytíři, 1 Věž, 1 Zvěd, 1 Generál, 1 Katapult, 1 Lučištník, 1 Král 1 kámen se symbolem vlajky 4

Více

Evoluční teorie her. Evolutionary Game Theory

Evoluční teorie her. Evolutionary Game Theory THE: Evolutionary Game Theory Brno University of Technology Brno Czech Republic December 4, 2014 Úvod Čerpáno z: John Maynard Smith, George R. Price: The logic of animal conflict. Nature 246:15-18. Nisan

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky.

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 11 Přednáška Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomilijsmesi,ženapř.prozjištěnítoho,zdaBílýmánějakoustrategiivehřeŠACHY,

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

MAGIC FOX MULTIGAME V.2.3 CZ(750)

MAGIC FOX MULTIGAME V.2.3 CZ(750) MAGIC FOX MULTIGAME V.2.3 CZ(750) OBSAHUJE NÁSLEDUJÍCÍ HRY: HOT COINS ULTRA HEAT CRYSTAL FRUITS SPARKLING HOT WATER WORLD JOKERS DELUXE ROYAL POKER EUROPEAN POKER DELUXE FRUIT POKER TUTTI FRUTTI + HI LO

Více

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Pro všechny herní varianty platí: Nejvyšší sázka na hru: 25 bodů. Nejvyšší výhra ve hře: 25.000 bodů.

Pro všechny herní varianty platí: Nejvyšší sázka na hru: 25 bodů. Nejvyšší výhra ve hře: 25.000 bodů. Admiral Ultimate 10 C obsahuje 10 různých her (Průběh hry viz. popis hry) Xtra Hot Fruits n Royals Joker Fruits Plenty on Twenty Hot Roaring Forties American Colors Hot Chip Runner deluxe Sizzling Hot

Více

Kajot Casino Ltd. Popis hry Joker 27

Kajot Casino Ltd. Popis hry Joker 27 Joker 27 Joker 27 Popis a pravidla Joker 27 je hra se třemi kotouči. Zobrazený výsledek se skládá ze tří řad po třech symbolech (každý kotouč zobrazuje tři symboly). Náhledy Uvedený obrázek představuje

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

RED GAMES MOD elektronik, s.r.o., Bělisko 1386, Nové Město na Moravě

RED GAMES MOD elektronik, s.r.o., Bělisko 1386, Nové Město na Moravě Herní plán vstup mincí 5, 10, 20, 50 Kč vstup bankovek: 100, 200, 500, 1000, 2000 Kč případně 5000 Kč max. sázka na 1 hru: 5 Kč (5 kreditů) max. výhra: 750 Kč (750 kreditů) v jedné hře výherní podíl: 91

Více

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Mirek Kubera žák diskutuje a kriticky zhodnotí statistické informace a daná statistická sdělení, volí

Více

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s 1 Mechanická práce mechanická práce W jednotka: [W] = J (joule) skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s s dráha, kterou těleso urazilo 1 J = N m = kg m s -2 m = kg m 2 s -2 vyjádření

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití

Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití Proč Excel? Práce s Excelem obnáší množství operací s tabulkami a jejich obsahem. Jejich jednotlivé buňky jsou uspořádány do sloupců

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

5.2 POČÁTKY MATEMATICKÉ TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

5.2 POČÁTKY MATEMATICKÉ TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI 5.2 POČÁTKY MATEMATICKÉ TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI Hry v kostky Podle archeologických nálezů se hrací kostky používaly již v době před 40 tisíci lety. Nejprve se jednalo o přírodní nepravidelné předměty,

Více

HRY V NORMÁLNÍM TVARU

HRY V NORMÁLNÍM TVARU HRY V NORMÁLNÍM TVARU Příklad 6 Cournotovy modely Monopol: Monopolista vyrábí jistý druh výrobků. Nejvyšší cena, za kterou může prodat jeden kus tak, aby vyprodal veškerou produkci, je dána poptávkovou

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Magic Power vzdálené sledování finančních dat. Popis a funkce systému. Strana: 1 / 6

Magic Power vzdálené sledování finančních dat. Popis a funkce systému. Strana: 1 / 6 Popis a funkce systému Strana: 1 / 6 OBSAH Úvod... 2 Popis systému... 2 Popis systému VTZ... 4 Popis systému server... 5 Popis systému klient... 6 ÚVOD Vícemístné technické zařízení (VTZ) Magic Power lze

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k,

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, Řešení 1. série Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, kde h je počet hran, v je počet vrcholů, d je stupeň vrcholu, s je počet stěn a k je počet úhlů

Více

Algoritmy I, složitost

Algoritmy I, složitost A0B36PRI - PROGRAMOVÁNÍ Algoritmy I, složitost České vysoké učení technické Fakulta elektrotechnická v 1.01 Rychlost... Jeden algoritmus (program, postup, metoda ) je rychlejší než druhý. Co ta věta znamená??

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Navrhování experimentů a jejich analýza. Eva Jarošová

Navrhování experimentů a jejich analýza. Eva Jarošová Navrhování experimentů a jejich analýza Eva Jarošová Obsah Základní techniky Vyhodnocení výsledků Experimenty s jedním zkoumaným faktorem Faktoriální experimenty úplné 2 N dílčí 2 N-p Experimenty pro studium

Více

Vyplácení: a) Přes Hopper v mincích 10,-- Kč. b) pomocí klíčového spínače a tlačítka VÝPLATA (Handpay - funkce)

Vyplácení: a) Přes Hopper v mincích 10,-- Kč. b) pomocí klíčového spínače a tlačítka VÝPLATA (Handpay - funkce) Fruit Palace II 750 obsahuje 8 různých her (Průběh hry viz. popis hry) Sizzling Hot 750 Fruits n Royals 750 Ultra Hot 750 Supra Gems 750 Xtra Hot 750 Power Stars 750 American Poker II 750 Hi-Lo Hra 750

Více

Magnetické šipky pravidla

Magnetické šipky pravidla Magnetické šipky - určeno všem hráčům, kterým došly v průběhu večera žetony ke hraní - po výhře v magnetických šipkách hráči obdrží výherní kupón na čerpání žetonů - po výhře v magnetických šipkách si

Více

Automatizované řešení úloh s omezeními

Automatizované řešení úloh s omezeními Automatizované řešení úloh s omezeními Martin Kot Katedra informatiky, FEI, Vysoká škola báňská Technická universita Ostrava 17. listopadu 15, Ostrava-Poruba 708 33 Česká republika 25. října 2012 M. Kot

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více