PRÁCE VÝKON ENERGIE. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. PřemyslŠedivýaIvoVolf ÚVFOHradecKrálové. Předmluva 3.

Transkript

1 PRÁCE VÝKON ENERGIE Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku PřemyslŠedivýaIvoVolf ÚVFOHradecKrálové Obsah Předmluva 3 Úvod 4 1 Výpočet mechanické práce Prácevykonanástálousiloupřipřímočarémpohybu Skalárnísoučindvouvektorů Výpočetprácevykonanéměnícísesilou Jednorozměrnýpřípad Obecnývztahprovýpočetpráce Úlohy Mechanická energie Práce vykonaná tíhovou silou v homogenním tíhovém poli Země. Potenciálníenergietíhová Práce vykonaná pružinou při pružné deformaci. Potenciální energieelastická Práce vykonaná výslednicí sil působících na hmotný bod. Kinetickáenergieposuvnéhopohybu Kinetická energie tuhého tělesa otáčejícího se kolem pevné osy. Momentsetrvačnosti Kinetická energie tuhého tělesa konajícího valivý pohyb. Steinerovavěta Obecný vzorec pro výpočet kinetické energie tuhého tělesa Úlohy Přeměny mechanické energie Konzervativní síly. Zákon zachování mechanické energie Přeměny energie při působení nekonzervativních sil. Disipace mechanickéenergie Stabilní rovnovážná poloha tělesa v poli konzervativních sil Vnitřnípráce Úlohy

2 4 Výkon, příkon a účinnost 32 Úlohy Literatura 34 Výsledky úloh 35

3 Předmluva Vážení čtenáři, již od 1. ročníku fyzikální olympiády je součástí práce účastníka soutěže nejen vyřešení předložených úloh, ale také studium tzv. studijního textu. V něm poněkud jiným způsobem než v učebnicích fyziky autoři zpracovávají určité fyzikální téma. Zpravidla vycházejí ze znalostí středoškolské fyziky, doplňují je však o další poznatky, ukazují jiná, zatím nevzpomínaná využití, řeší další fyzikální problémy s vybraným tématem spojené. Čtenář řešitel olympiády by měl přečíst vždy danou kapitolu. Ta přináší buď přehled faktů již známých, třeba v jiném uspořádání, nebo nové informace, V každé kapitole jsou pak uvedeny příklady, u kterých je různě podrobné řešení. Čtenář by se měl s tužkou v ruce po prostudování každého příkladu pokusit o rekonstrukci jeho řešení provést algebraické operace, ověřit, zda mu je řešení zcela srozumitelné, zkusit si konstruovat grafy... Na závěr každé kapitoly jsou uvedeny úlohy určené k samostatnému řešení. Výsledky úloh uvedené na posledních stránkách slouží k tomu, aby se čtenář přesvědčil, zda úlohu dovedl ke správnému konci. Tatobrožurkasenedáčístjakoromán;spíšebystemělitext luštit jako detektivku a snažit se sami zjistit, zda problémy vyřešíte. A hlavně nezapomeňte: ve vaší kategorii jsou vám předkládány i takové úlohy, k jejichž řešení vám studijní text podává pomocnou ruku. Ateďužvzhůrudopráce. Autoři 3

4 Úvod Pohyby těles a jejich soustav se řídí Newtonovými zákony. Z nich můžeme pro každý konkrétní případ pohybu, u kterého známe vlastnosti působících sil, odvodit pohybové rovnice a jejich řešením zjistit přesné průběhy pohybů v závislosti na čase. Řešení pohybových rovnic však může být v praxi dosti obtížné a nás často ani nezajímá detailní průběh pohybu jednotlivých těles, ale potřebujeme spíše porovnat jejich počáteční a konečný pohybový stav. V takových případech dojdeme k výsledku jednodušeji úvahami o mechanické práci a energii. V tomto studijním textu si zopakujeme a doplníme poznatky o výpočtu mechanické práce a o změnách mechanické energie a vnitřní energie v soustavách těles při konání mechanické práce. Především se však při řešení pohybových úloh zaměříme na využití jednoho ze základních fyzikálních zákonů zákona zachování energie. Při všech úvahách budeme předpokládat použití inerciální vztažné soustavy a rychlosti mnohem menší než rychlost světla ve vakuu. Pro tíhové zrychlení volímehodnotu g=9,8m s 2. 4

5 1 Výpočet mechanické práce 1.1 Práce vykonaná stálou silou při přímočarém pohybu Působí-li na těleso, které se pohybuje přímočarým posuvným pohybem, stálá sílaf, svírající s vektorem posunutí rúhel α(obr. 1.1), pak sílafvykoná mechanickou práci W= F r cosα=fscosα. (1) Velikost vektoru posunutí r je rovna dráze s, kterou těleso urazí. Jednotka prácevsoustavěsije [W]=N m=j(joule). Podle velikosti úhlu α může být W >0 Fpro0 α <90 W=0 pro α=90 W <0 pro90 < α 180 Zevztahu(1)aobr.1.1jezřejmé,žeprácikonájensložkaF1sílyF,která jerovnoběžnásvektoremposunutíajejívelikostje F cosα.složkaf2kolmá k vektoru posunutí práci nekoná. F2 α F1 r s Obr. 1.1 Jestliže W <0,tj. α >90,říkámetaké,žesílaFprácispotřebováváa W definujeme jako práci spotřebovanou. Příklad 1. Práce různých sil Sáně,kteréisnáklademmajíhmotnost15kganacházejísevkliduna úpatísvahusesklonem β=15,vytáhnemesiloufovelikosti70nvzhůru dovzdálenosti s=8mpomocíprovazurovnoběžnéhosesvahem(obr.1.2). Součinitel smykového tření mezi sáněmi a svahem je f = 0,12. Určete práce které vykonají jednotlivé síly působící na sáně: a) síla provazu, b) tíhová síla, c) reakce svahu. 5

6 R R2 F1 F β β R1=Ft FG F2 Obr. 1.2 Řešení Sílaprovazupůsobívesměrupohybuavykonápráci W= Fs=560J. Tíhová síla působí šikmo proti směru pohybu. Od vektoru posunutí je odchýlenaoúhel90 + β.vykonátedypráci W G = F G scos(90 + β)= F G ssinβ= F 1 s= mgssinβ= 304J. (Spotřebuje práci 304 J.) Uplatní se jen pohybová složkaf1 tíhové síly. Práce tlakové složkyf2 kolmé ke směru pohybu je nulová. ReakcesvahuRmásložkuR2,kterájekolmákesvahuarušípohybový účineksílyf2,asložkur1namířenouprotipohybu.složkar1jetřecísíla, kterým svah sáně brzdí. Platí R 1 = F t = fr 2 = ff 2 = fmgcosβ. SílaRtedyvykonápráci W R = R 1 s= fmgscosβ= 136J. (Spotřebujepráci136J.) Vraťme se ještě ke vztahu(1). Někdy je účelné zapsat jej jednodušeji užitím skalárního součinu vektoru sílyfa vektoru posunutí rjako W=F r. (2) a 1.2 Skalární součin dvou vektorů V trojrozměrném prostoru je skalární součina bdvou vektorůa= a xi+ a yj+ a zk=(a x,a y,a z ), bϕ b= b xi+ b yj+ b zk=(b x,b y,b z ) definován vztahem Obr. 1.3 a b= a x b x + a y b y + a z b z. (3) 6

7 Provektorybázei=(1;0;0),j=(0;1;0)ak=(0;0;1)platí i2 =j2 =k2 =1, i j=j k=k i=0. Skalárnísoučindvoustejnýchvektorůazapisujemevýrazema2.Platí a =a= a 2 x + a2 y + a2 z, a2 =a a= a 2 x + a2 y + a2 z = a2. (4) Pro skalární součin vektorů platí zákon komutativnía b=b aa zákon distributivnía (b+c)=a b+a c. Platítakéa (kb)=k(a b), kde k je skalár. Jestliže dva nenulové vektorya,bsvírají úhel ϕ, můžeme určit velikost jejich vektorového součtu podle obr. 1.4: Současně platí (a+b) 2 =(a+bcosϕ) 2 +(bsinϕ) 2 = = a 2 + b 2 (cos 2 ϕ+sin 2 ϕ)+2abcosϕ=a 2 + b 2 +2abcosϕ. (a+b) 2 =a2 +2(a b)+b2 = a 2 +2(a b)+b 2. Srovnáním obou vztahů dostaneme a b= abcosϕ. (5) b a+b Skalární součin dvou nenulových vektorů je tedy roven součinu jejich velikostí akosinujimisevřenéhoúhlu.jerovennuleprávětehdy,když ϕ=90.pro ϕ <90 jekladnýapro ϕ >90 ajezáporný. bsinϕ ϕ ϕ bcosϕ Obr. 1.4 Úhel ϕ můžeme určit užitím vztahu a cosϕ=a b x b x + a y b y + a z b z =. (6) ab a 2 x+ a 2 y+ a 2 z b 2 x+ b 2 y+ b 2 z Užitímskalárníhosoučinumůžemeřešitiúlohyopohybechvrovině.Vní zvolímepočátekaosy x, yvztažnésoustavy.osa zjepakkolmákrovině, 7

8 všechny z-ové souřadnice vektorů jsou nulové a předcházející vzorce se zjednoduší. Příklad 2 Vypočtětepráci,kterouvykonásílaF=(20N; 8N),jejížpůsobištěse přímočařeposunezbodu A=[ 1m;1m]dobodu B=[5m;3m](obr.1.5). Jaký úhel svírá vektor síly s vektorem posunutí? y F B A ϕ x Obr. 1.5 Řešení Určímenejprvevektorposunutí r=rb ra=(6m;2m). Hledaná práce je W=F r= F x x+f y y=(20 6+( 8) 2)J=104J. Pro odchylku vektoru síly od vektoru posunutí platí: cosϕ=f r F r = 104 =0,7634, ϕ=40, Výpočet práce vykonané měnící se silou Jednorozměrný případ Budeme uvažovat o tělese pohybujícím se ve směru osy x vztažné soustavy, na které působí ve směru této osy sílaf(x)(obr. 1.6). Použitím výrazuf(x) vyjadřujeme závislost síly na souřadnici x jejího působiště. Takováto síla je určena jejísouřadnicí F x amůžemejizapsatjakof(x)=f x (x)iacharakterizovat grafem, jaký vidíme na obr

9 z kj y i A F(x) x 1 x 2 B x Obr. 1.6 Pohybmezipočátečnímbodem Aosouřadnici x 1 akonečnýmbodem B osouřadnici x 2 můžemerozdělitnavelkýpočetelementárníchposunutíodélce x,takmalých,abyvkaždémznichbylazměnasouřadnice F x mnohemmenší nežjejíhodnota F x (x)vestředu xdanéhoelementárníhoposunutí.elementární práci W, kterou vykoná sílaf(x) během tohoto elementárního posunutí, můžeme s dostatečnou přesností určit jako W F(x) r=[f x (x)i] ( xi)=f x (x) xi2 = F x (x) x. (7) Na obr. 1.7 jí číselně odpovídá plošný obsah zvýrazněného obdélníčku. F x x F x W F x (x) W x x 1 x x 2 x 1 x 2 Obr. 1.7 Obr. 1.8 Celkovoupráci W AB vykonanousilouf(x)mezibody AaBurčímepřibližně jako součet všech elementárních příspěvků W AB F x (x) x. Výpočet můžeme libovolně zpřesnit zvětšováním počtu elementárních posunutí N,čímžsezmenšíjejichvelikost x=(x 2 x 1 )/N.Tomůžemevyjádřit zápisem W AB = lim Fx (x) x. (8) N Výraz na pravé straně nazýváme určitý integrál. Abychom ho nemuseli zapisovat tak složitě, píšeme krátce W AB = x2 x1 9 F(x)dx. x

10 Hodnotaveličiny W AB,tj.určitýintegrál,májednoduchýgrafickývýznam. Číselně dává součet plošných obsahů všech elementárních obdélníčků podle obr.1.7přivelmijemnémděleníintervalu x 1,x 2,cožjeplošnýobsahobrazce omezeného grafem síly podle obr To umožňuje v jednodušších případech výpočítat určitý integrál i bez znalosti integrálního počtu. Příklad 3 Kvádrohmotnosti m,výšce vahustotě jeponořenvkapaliněohustotě 1 < tak,žejehohornípodstavajevhloubce h 1 podhladinou(obr.1.9). Jakou práci musíme vykonat, chceme-li jej zvednout tak, že dolní podstava bude vevýšce h 2 nadhladinou?nádobajetakvelká,žesevýškahladinyvytažením kvádru z vody nezmění. Řešení Zvolme osu x vztažné soustavy podle obr Pod hladinou bude kvádr nadlehčovat hydrostatická vztlaková síla. Budeme tedy muset působit silou ovelikosti ( ) F G F vz = mg V 1g=mg 1 1. Během vynořování kvádru se bude síla rovnoměrně zvyšovat až v okamžiku úplnéhovynořenídosáhnevelikosti F G = mg.závislostsvislésouřadnicesíly na souřadnici x dna podstavy znázorňuje graf na obr Obrazec omezený grafem se skládá z lichoběžníku a dvou obdélníků a celkovou práci vykonanou při zvednutí kvádru z něj určíme jako W=(F G F vz )h 1 + (F G F vz )+F G v+ F G h 2 = 2 [( ) ( ] = mg 1 1 h )v+ 1 h 2. 2 x F x F G h 2 F G F vz h 1 v v h 1 h 2 Obr. 1.9 Obr x 10

11 1.3.2 Obecný vztah pro výpočet práce Pohybuje-li se působiště síly působící na nějaké těleso po křivočaré trajektorii mezibody AaBopolohovýchvektorechr1ar2,rozdělímejinavelkýpočet velmi malých úseků. V každém z nich můžeme považovat sílu za konstantní a pohyb nahradit přímočarým posunutím r(obr. 1.11). Elementární práce vykonanásiloufnatakovémtoúsekuje W F racelouprácimezibody A a B můžeme přibližně určit jako W AB F r. Výpočet můžeme libovolně zpřesnit zvětšováním počtu úseků a zmenšováním jejich délky. Tak dostaneme dráhový integrál sílyf, pro který používáme zápis r2 FW AB F = (9) r1f dr. Ve složitějších případech se tedy při výpočtu práce neobejdeme bez znalosti integrálního počtu, což ale r r překračuje rámec tohoto studijního textu. z B r2 A r1 x y Obr

12 Úlohy 1.Bednabylaposunutapopodlazedovzdálenosti2m.Jednazesil,kteréna nipůsobily,mělavelikost12nastálýsměr.jakýúhelsvíralasesměrem posunutí,jestliževykonalaprácia)24j,b)12j,c)0j,d) 12J,e) 20J? 2.Vypočtětepráci,kterouvykonástálásílaF=(5N;4N;3N)připřímočarémposunutízbodu A=[ 1m;3m;5m]dobodu B=[3m;7m,9m]. Jaký úhel svírá síla s vektorem posunutí? 3.Lanoodélce24mahmotnosti12kg,kterévisívolnědolůzlešení,chceme vytáhnout k místu upevnění. Nakreslete graf závislosti síly F(x) na délce x vytaženého lana a určete práci, kterou musíme při vytažení vykonat. 12

13 2 Mechanická energie Každé těleso, jehož pohyb chceme studovat, je součástí nějaké soustavy těles. Do ní zahrnujeme všechna tělesa, která na uvažované těleso působí silami a pohyb nějak ovlivňují. Tak například vržené těleso se nachází v tíhovém poli Země a je brzděno okolním vzduchem. Kmitavý pohyb závaží zavěšeného na pružině popisujeme v soustavě, do které ještě patří Země, stojan, pružina a okolní vzduch. Takovou soustavu těles považujeme za izolovanou, můžeme-li působení ostatních těles na tělesa soustavy zanedbat. Soustavám těles přiřazujeme důležitou, ale dosti abstraktní veličinu, která se nazývá celková energie soustavy a má důležitou vlastnost: Celková energie izolované soustavy těles je konstantní. Tento zákon zachování energie patří mezi nejdůležitější fyzikální zákony auplatňujesevcelémvesmíruakaždéjehočásti. Není-li soustava těles izolovaná, pak práce vykonaná působením vnějších sil na tělesa soustavy je rovna změně celkové energie soustavy. Jednotka energie vsoustavěsijeprotostejnájakojednotkapráce J(joule). Energie může mít různé formy. Energie potenciální(polohová) je určena vzájemnou polohou těles soustavy. Energie kinetická(pohybová) jednotlivých těles soustavy je určena rychlostí jejich pohybu. Celková mechanická energie soustavy je součtem všech potenciálních a kinetických energií všech jejich částí. Souvisí tedy s uspořádáním těles a jejich pohyby, jak je můžeme přímo pozorovat v makroskopickém měřítku. Kromě mechanické energie mají tělesa vnitřní energii která je dána uspořádáním a chaotickým pohybem jejich molekul. Nositelem energie jsou i silová pole(gravitační, elektromagnetické). 2.1 Práce vykonaná tíhovou silou v homogenním tíhovém poli Země. Potenciální energie tíhová V homogenním tíhovém poli Země zvolme vztažnou soustavu tak, že rovina Oxy je vodorovná a kladná poloosa z směřuje vzhůru. Uvažujme o tělese o hmotnosti m,jehožtěžištěsepohybujezbodu A,kterýjevevýšce h 1 = z A dobodu B, kterýjevevýšce h 2 = z B (obr.2.1),přičemž h 1 > h 2.Takovýpohybmůžeme opět nahradit řadou velmi malých posunutí r. Elementární práce, kterou během jednoho takového posunutí vykoná tíhová síla, určíme jako W=FG r=(0,0, mg) ( x, y, z)= mg z. 13

14 Celková práce tíhové síly je pak W AB = W= mg z= mg(h 2 h 1 )=mgh 1 mgh 2. (10) Veličinu x A h 1 z O r FG (1) (2) B h 2 y Obr. 2.1 E p = mgh (11) nazýváme potenciální energie tíhová tělesa.(přesnější by bylo, kdybychom mluvili o potenciální energii soustavy Země těleso). Je rovna práci, kterou by tíhovásílavykonala,kdybysetěžištětělesapřemístilozboduvevýšce hdo boduvroviněos Oxy,kdejevýškanulová. Práce vykonaná tíhovou silou je rovna úbytku tíhové potenciální energie tělesa: W AB = E p1 E p2. (12) Ztohojezřejmé,ženezávisínatrajektorii,pokterésetěžištěpřemístízvýchozího bodu A do konečného bodu B. Pokudsetěžištěvrátízbodu Bzpětdobodu A,vykonátíhovásílapráci W BA = E p2 E p1 = mgh 2 mgh 1 = W AB. (13) Můžeme také říci, že práce spotřebovaná tíhovou silou je rovna přírůstku tíhové potenciálníenergietělesa: W BA = E p1 E p2. Celkováprácetíhovésílypouzavřenécestězbodu Adobodu Bpotrajektorii(1)azpětpotrajektorii(2)je W AB + W BA =0. Vnašíúvazejsmeměřilivýškutěžištěodroviny Oxy,kteroujsmetímzvolili jako hladinu nulové potenciální energie. Nad ní je potenciální energie 14

15 kladná, pod ní záporná. Pokud bychom zvolili jinou vodorovnou rovinu za hladinunulovépotenciálníenergieaměřilivýškyodní,změnilybyse E p1, E p2 ve vztahu(12) o tutéž hodnotu a platnost vztahu by zůstala zachována. Příklad 4 Určete, jakou práci musí vykonat lodník při vytažení lana na palubu. Lano mádélku l=45m,visívolnězpalubyvevýšce h=15mazbytekjestočen namolu.hmotnostlanaje m=36kg. Řešení Visícíčástlanamádélku l 1 =15m,hmotnost m 1 =12kgavzhledem kmolumápotenciálníenergii E p1 = m 1 gh/2.zbyteklanamávzhledemkmolu potenciálníenergii E p2 =0.Povytaženímácelélanovzhledemkmolupotenciálníenergii E p3 = mgh.prácevykonanálodníkemjerovnapřírůstkupotenciální energie lana: W= E p3 E p1 E p2 = mgh m 1 g h J. 2.2 Práce vykonaná pružinou při pružné deformaci. Potenciální energie elastická Nezatížená vodorovná pružina je jedním koncem připevněna ke svislé stěně adruhýmkekvádru,kterýležínavodorovnépodložce(obr. 2.2a).Osu x vztažné soustavy zvolíme rovnoběžnou s osou pružiny, počátek O je v místě upevnění pružiny ke kvádru. Vychýlíme-li kvádr ve směru osy x, působí na něj pružina silouf, která má opačný směr než výchylka. Velikost síly je přímo úměrná velikosti výchylky. Při natažení pružiny(obr. 2.2b) i při jejím stlačení (obr. 2.2c) platí F x = kx, (14) kde kjetuhostpružiny,kteráseudávávjednotkáchn m 1. Předpokládejme nejprve, že pružina je natažena, a výchylku kvádru zmenšímezx 1 na x 2.Vtakovémpřípadějepráce W vykonanápružinoukladná, neboť síla pružiny má stejný směr jako vektor posunutí. Práci určíme z grafu na obr. 2.2d jako plošný obsah zvýrazněného lichoběžníku. Platí tedy W 12 = kx 1+ kx 2 (x 1 x 2 )= kx kx2 2. (15) 15

16 a) b) c) O x x F F >0, F x <0 x x <0, F x >0 d) e) F x = kx kx 2 kx 1 x 1 x 2 F x F x x 2 x 1 kx 1 kx 2 x x x Veličinu Obr. 2.2 E p = 1 2 kx2 (16) nazýváme potenciální energie elastická pružiny. Je rovna práci, kterou by pružinavykonalapřipřechoduzezatíženéhostavu(x 1 = x)donezatíženého stavu(x 2 =0).Obecnějeprácevykonanápružinourovnaúbytkujejípotenciální energie: W 12 = E p1 E p2. (17) Kestejnémuvýsledkudojdemezgrafunaobr.2.2eivpřípadě,žepružina budestlačenaavýchylkukvádruzmenšímez x 1 na x 2.Takévtomtopřípadě bude mít síla pružiny stejný směr jako vektor posunutí a práce vykonaná silou pružiny bude kladná. Budeme-lideformacipružinyzvětšovatajejívýchylkuzvětšímezx 2 na x 1 vpřípaděpodleobr.2.2dneboz x 2 na x 1 vpřípaděpodleobr.2.2e,bude síla pružiny působit proti pohybu a práce vykonaná pružinou bude záporná. Pružina spotřebuje práci rovnou přírůstku její potenciální energie: W 21 = E p2 E p1 = W 12. Celkováprácevykonanápřizměněvýchylkyzx 1 na x 2 azpětzx 2 na x 1 bude nulová. 16

17 2.3 Práce vykonaná výslednicí sil působících na hmotný bod. Kinetická energie posuvného pohybu Sledujme pohyb vozíku o hmotnosti m, který je tažen bez tření po vodorovné vzduchové dráze vláknem, na kterém je zavěšeno závažíčko o hmotnosti o hmotnosti m F (obr.2.3).navozíkpůsobítíhovásílafg,reakcevzduchovéhopolštáře RasílavláknaF.Tajevýslednicívšechuvedenýchsil,neboťsílyFGaRse vzájemně ruší. Z druhého pohybového zákona plyne, že vozík koná rovnoměrně zrychlený posuvný pohyb. m as R v1 v2 FG Na dráze s vykoná sílafpráci W= Fs=mas=m v 2 v 1 t m Obr. 2.3 v1+ v 2 t= mv mv2 1, (18) kde v 1, v 2 jsouvelikostirychlostivozíkunazačátkuanakoncisledovaného úseku. Veličina E k = 1 2 mv2 (19) se nazývá kinetická energie posuvného pohybu tělesa. Při našem pokusu platí, že práce vykonaná výslednicí sil působících na vozík je rovna změně jeho kinetické energie: W= E k = E k2 E k1. (20) Bude-lipočátečnírychlostvozíkunulová(v 1 =0),pak W= 1 2 mv2 2 0=E k2. Kinetická energie vozíku je tedy rovna práci potřebné k jeho uvedení z klidu do pohybu s danou okamžitou rychlostí. V naší úvaze jsme se zabývali rovnoměrně zrychleným posuvným pohybem tělesa,přikterémseneuplatňujíjehorozměryatvar.můžemesenanějdívat 17

18 jako na rovnoměrně zrychlený pohyb hmotného bodu. Vztah(20), který jsme odvodili, platí pro pohyby hmotných bodů obecně. Práce vykonaná výslednicí sil působících na hmotný bod je rovna změně jeho kinetické energie. Důkaz je však poněkud obtížnější a vyžaduje použití infinitezimálního počtu. Uvedeme jej pro matematicky zdatnější čtenáře. Vyjdemezobr.2.4.Působí-linahmotnýbodohmotnosti mvýslednásílaf, která svírá s vektorem okamžité rychlostivúhel α, platí F= ma, Fcosα=macosα=ma t = m dv dt, kde a t jetečnézrychlení.naúsekudráhydsvykonásílafelementárnípráci dw=f dr= Fcosαds=ma t ds=m dv dt vdt=mvdv. r2 v2 v W= m vdv= m r1f dr= ana v 1 F mat α Obr. 2.4 Nacelétrajektoriisvýchozímbodem Aopolohovémvektorur1akoncovým bodem B o polohovém vektorur2 dostaneme integrací: ( ) v v2 1 = E k2 E k1. (21) 2 Příklad 5 Určete rychlost, kterou udělíme saním v příkladu 1 na str. 5. Řešení NasaněpůsobísílaprovazuF,tíhovásílaFGareakcesvahuR.Výslednice těchtosilpůsobívesměrupohybuamávelikost F výs = F F 1 R 1 = F mgsinβ fmgcosβ=15n. 18

19 Saně získají kinetickou energii, která je rovna práci výsledné síly na dráze s E k = 1 2 mv2 = F výs s=120j a budou se pohybovat rychlostí 2E k v= m =4,0m s 1. Poznámka: Práci výsledné síly jsme mohli také určit jako součet W výs = W+ W G + W R =( )J=120J. 2.4 Kinetická energie tuhého tělesa otáčejícího se kolem pevné osy. Moment setrvačnosti Tuhétělesoohmotnosti m,kteréseotáčíkolempevnéosy,simůžemepředstavitsloženézvelkéhopočtuhmotnýchbodůohmotnostech m 1, m 2... m N, obíhajícíchsestejnouúhlovourychlostí ωpokružnicíchopoloměrech r 1, r 2... r N vrovináchkolmýchkose(obr.2.5). ω v3 m 3 r 3 2r F s r 1 r 2 m 1 m 2 v2 J v1 Obr. 2.5 Obr

20 Kinetická energie tělesa je součtem kinetických energií všech těchto hmotných bodů: Veličina E k = 1 2 m iv 2 i = 1 2 m ir 2 i ω2 = 1 2 ω2 m i r 2 i =1 2 Jω2. (22) J= m i r 2 i se nazývá moment setrvačnosti tělesa vzhledem k dané ose a závisí nejen nahmotnostitělesa,aleinarozloženílátkyvzhledemkose.naobr.2.7jsou přehledně uvedeny momenty setrvačnosti některých homogenních těles vzhledem k vyznačené ose. Vzorce se odvozují užitím integrálního počtu, např. ve studijním textu[4]. Roztáčíme-li setrvačník motouzem(obr. 2.6), je to obdobný děj jako rozjíždění vozíku na vzduchové dráze a platí vztahy analogické k(18, 20). Práce vykonaná silou motouzu je rovna přírůstku kinetické energie setrvačníku: W= Fs=Fr ϕ=mϕ=e k2 E k1 = 1 2 Jω Jω2 1, (23) kde ϕjeúhlovádráhasetrvačníkuamjevelikostmomentusílyfvzhledem k ose otáčení. prstenec rot. válec koule tyč J= mr 2 J= 1 2 mr2 J= 2 5 mr2 J= 1 12 ml2 Obr Kinetická energie tuhého tělesa konajícího valivý pohyb. Steinerova věta Valivý pohyb rotačního tuhého tělesa můžeme popsat buď jako pohyb složený z otáčivého pohybu kolem osy procházející těžištěm a z posuvného pohybu této 20

21 osyvkolmémsměru(obr.2.8)nebojakosledmalýchpootočeníkolemokamžitých os rotace, které vznikají v místě dotyku tělesa s podložkou(obr. 2.9). Mezi velikostí v okamžité v rychlostivosy tělesa, úhlovou rychlostí v tělesa ω a poloměrem tělesa R je vztah v=ωr. ω R O ω Obr. 2.8 Obr. 2.9 V prvním případě určíme kinetickou energii tělesa jako součet energie posuvného pohybu a pohybu otáčivého: E k = E kpos + E krot = 1 2 mv J 0ω 2 = 1 ( m+ J ) 0 2 R 2 v 2 = 1 2 (mr2 + J 0 )ω 2, (24) kde J 0 jemomentsetrvačnostivzhledemkosejdoucítěžištěm.vdruhémpřípadě určíme kinetickou energii otáčivého pohybu kolem okamžité osy rotace: E k = 1 2 Jω2, (25) kde J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k okamžité ose rotace. PorovnánímobouvztahůdostanemeSteinerovuvětu:Jestliže J 0 jemomentsetrvačnosti tělesa vzhledem k ose procházející jeho těžištěm, pak vzhledem k rovnoběžné ose procházející ve vzdálenosti R od těžiště má těleso moment setrvačnosti J= J 0 + mr 2. (26) 2.6 Obecný vzorec pro výpočet kinetické energie tuhého tělesa Pokud pohyb tuhého tělesa není posuvný nebo otáčivý kolem pevné osy, můžeme ho v krátkém časovém intervalu považovat za složený z posuvného pohybu P 21

22 určeného pohybem těžiště a otáčivého kolem okamžité osy jdoucí těžištěm. JelivT okamžitá rychlost těžiště a ω okamžitá úhlová rychlost tělesa, má těleso kinetickou energii E k = 1 2 mv2 T +1 2 J 0ω 2. (27) Příklad 6 Země obíhá kolem Slunce po přibližně kružnicové trajektorii o poloměru r=1, msperiodou T 1 =3, sasoučasněseotáčíkolemosy procházejícíjejímstředemsperiodou T 2 = 86164s.Porovnejtekinetickou energii posuvného a otáčivého pohybu za předpokladu, že se jedná o homogenní kouliohmotnosti m=6, kgapoloměru R=6, m. Řešení E kpos = 1 2 mv2 = 1 ( ) 2 2πr 2 m =2, J, E krot = 1 2 Jω2 = mr2 T 1 ( ) 2 2π =2, J, E kpos 10 4 E krot. T 2 22

23 Úlohy 4.Tělesoohmotnosti m = 3 kg sepohybovalopřímočařepodélosy xa výslednicef(x) sil, které na něj působily, se měnila s polohou tělesa podle následující tabulky: x/m 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,0 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 F x /N a)sestrojtegrafzávislosti F x na xaurčetepráci,kterousílaf(x)vykonala mezibodyosouřadnicích x 1 =0,00max 2 =2,00m. b)jakourychlostísetělesopohybovalovboděosouřadnici x 2,jestliže vboděosouřadnici x 1 mělorychlost4,0m s 1? 5.Pružinamátuhost k = 250 N m 1.Porovnejtepráci,kteroumusíme vykonat a) abychom ji natáhli o 15 cm, b) abychom prodloužení zvětšili z15cmna30cm. 6. S jakou frekvencí musíme roztočit ocelovou kuličku o poloměru 16 mm kolem osy jdoucí jejím středem, aby měla kinetickou energii 1 J? Hustota ocelije =7800kg m Moment setrvačnosti homogenní tyče o hmotnosti m a délce l vzhledem koseprocházejícíkolmoktyči jejímstředemje J 0 = ml 2 /12.Pomocí Steinerovy věty odvoďte, že moment setrvačnosti téže tyče vzhledem k ose procházejícíkoncemtyčekolmoktyčije J= ml 2 /3. 23

24 3 Přeměny mechanické energie 3.1 Konzervativní síly. Zákon zachování mechanické energie Jako konzervativní síly označujeme takové, u nichž celková práce vykonaná pouzavřenétrajektoriijenulová.včláncích2.1a2.2jsmepoznali,žetuto vlastnost má síla tíhová a síla pružnosti(elastická). Mezi konzervativní síly nepatří síla smykového tření nebo síla odporu prostředí, které působí proti pohybu tělesa a jimi vykonaná práce je vždy záporná. UvažujmeotělesevrženémvevakuuvtíhovémpoliZemě(obr.3.1),na kterépůsobíjentíhovásíla.vbodě Avevýšce h 1 márychlostv1,potenciální energiitíhovou E p1 akinetickouenergii E k1,vbodě Bvevýšce h 2 márychlost v2,potenciálníenergiitíhovou E p2 akinetickouenergii E k2.podle(12)jepráce tíhové síly rovna úbytku tíhové potenciální energie tělesa a podle(21) je práce tíhové síly rovna změně kinetické energie tělesa: W AB = E p1 E p2 = E k2 E k1. (28) Ztohoplyneprocelkovoumechanickouenergii E m = E p + E k tělesa: E m1 = E p1 + E k1 = E p2 + E k2 = E m2. (29) Přitom nezáleží na volbě bodů A a B trajektorie. Celková mechanická energie tělesa je během celého vrhu konstantní. FG A v1 h 1 FG h 2 B v2 Obr. 3.1 Ke stejnému výsledku dojdeme i u kuličky, která kývá zavěšena na pevném vlákně(obr. 3.2), nebo u kusu ledu, který klouže po zledovatělém svahu (obr.3.3),ovšemzapředpokladu,žeodporvzduchuatřeníleduosvahjsou zanedbatelné. Na kuličku sice působí kromě tíhové síly vazebná síla vlákna, kterájiudržujenakruhovétrajektorii,aletajestálekolmákesměrupohybua práci nekoná. Také reakce svahu působící na klouzající kus ledu je stále kolmá kesměrupohybuaprácinekoná.výslednáprácejevoboupřípadechrovna prácitíhovésílyaprotoopětplatívztahy(28)a(29). 24

25 A Fv1 FG h 1 v1 R1 Fv2 FG R2 v2 B FG h 1 B h 2 FG h 2 A v1 v2 Obr. 3.2 Obr. 3.3 Zobecněním těchto poznatků dostáváme zákon zachování celkové mechanické energie: Celková mechanická energie izolované soustavy těles, ve které konají práci jen konzervativní síly, je konstantní. Příklad 7 Jakámusíbýtpočátečnívýška H horskédráhynaobr,3.4,má-livozík v bezpečně projet vertikálním kruhovým obloukem o poloměru R? Valivý odpor kol, tření v ložiskách a odpor vzduchu zanedbejte. Vozík považujte za hmotný bod. H R m Obr

26 Řešení Dostředivá síla působící na vozík v nejvyšším bodě kruhového oblouku, tedy ve výšce 2R, je výslednicí síly tíhové a síly, kterou na vozík působí kolejnice horské dráhy. Má-li síla kolejnic směřovat dolů, musí být rychlost vozíku tak velká, aby dostředivá síla byla větší než síla tíhová: mv 2 R > mg, ztoho 1 2 mv2 > mgr. 2 Hladinu nulové potenciální energie proložíme dolním bodem kruhového oblouku. Podle zákona zachování mechanické energie musí být počáteční potenciální energie vozíku rovna součtu potenciální a kinetické energie v nejvyšším boděoblouku: E p1 = E p2 + E k2, mgh= mg 2R+ 1 2 mv2 > mg 2R+ mgr 2 Počáteční výška vozíku musí být větší než 2,5R. = 5 mgr, H >2,5R Přeměny energie při působení nekonzervativních sil. Disipace mechanické energie Vraťmeseksituacímnaobr.3.1až3.3.Není-lipřivrhutělesavevzduchunebo při kývání kuličky zavěšené na vlákně odporová síla vzduchu zanedbatelná a vznikne-li při klouzání kousku ledu po svahu navíc nezanedbatelné smykové tření,jevýslednáprácedánasoučtemprácekonzervativnítíhovésíly W k,která je rovna úbytku potenciální energie tíhové, a práce nekonzervativních odporovýchsil W nk,kterájezáporná.vztah(28)musímepřepsatnatvar: Ztohoplyne W AB = W k + W nk = E p1 E p2 + W nk = E k2 E k1. (30) E m1 + W nk = E p1 + E k1 + W nk = E p2 + E k2 = E m2. (31) Protože W nk < 0,je E m1 < E m2.celkovámechanickáenergiesoustavyse působením odporových sil zmenšuje. Vzájemným působením povrchů pohybujících se těles s okolním prostředím nebo s povrchy jiných těles v místech, kde po sobě klouzají nebo na sebe narážejí, dochází k rozkmitání jejich molekul. Tělesa i prostředí se zahřívají a může docházet i k deformacím těles. Energie uspořádaného pohybu těles jako celku se tak rozptyluje na jejich částice. Tento proces se nazývá disipace energie a síly, které jej způsobují označujeme jako 26

27 síly disipativní. Vnitřní energie soustavy se zvětší o stejnou hodnotu, o jakou se zmenší její energie mechanická, v souladu s obecným zákonem zachování energie. Děje, při kterých dochází k disipaci energie jsou nevratné. Míček, který poskakuje po podlaze, ztrácí postupně svou mechanickou energii, přičemž se on i ostatní tělesa soustavy nepatrně zahřejí. Nikdy se nestane, že by tentýž míček, ležící klidně na podlaze, začal po nepatrném zahřátí sám od sebe poskakovat, přičemž by se jeho mechanická energie zvětšovala působením disipativních sil na úkor vnitřní energie soustavy. Příklad 8 Lyžařsjelposvahudélky l=20msesklonem α=18 navodorovnoulouku azastavilsevevzdálenosti d=30modúpatísvahu(obr.3.5).součinitel f smykového tření mezi lyžemi a svahem byl po celou dobu jízdy konstantní určete jeho velikost. Jak velkou rychlostí se lyžař pohyboval na konci svahu? Odpor vzduchu zanedbejte. Obr. 3.5 Řešení Louku zvolíme za hladinu nulové potenciální energie. Na začátku pohybu se lyžařnacházívevýšce h=lsinαamápotenciálníenergiitíhovou.nakoncipohybu je jeho mechanická energie nulová. Práce spotřebovaná třecí silou během celé jízdy je tedy rovna počáteční potenciální energii. Třecí síla na vodorovné roviněmávelikost F t = fmg,nasvahujen F t= fmgcosα.platí mgh=f t l+f td, mglsinα=fmglcosα+fmgd, f= lsinα lcosα+d =0,13. Kinetická energie lyžaře při vjezdu na louku je rovna práci spotřebované třecí silou během jízdy po louce. Jestliže rychlost lyžaře na začátku louky měla velikost v, platí 1 2 mv2 = fmgd, v= 2fgd=8,6m s 1 27

28 3.3 Stabilní rovnovážná poloha tělesa v poli konzervativních sil V rovnovážné poloze je výslednice všech sil působících na těleso nulová a také výsledný moment těchto sil je nulový. Rovnovážná poloha je stabilní, jestliže při malém vychýlení tělesa na kteroukoliv stranu vznikne výsledná síla namířená proti výchylce zpět do rovnovážné polohy. Práce vykonaná touto výslednicí během vychýlení tělesa je tedy záporná. V soustavě, kde konají práci jen konzervativní síly, to znamená, že se potenciální energie soustavy se vychýlením tělesa z rovnovážné polohy zvětšuje. Stabilní rovnovážná poloha je stavem s minimální potenciální energií. Příklad 9 Závažíohmotnosti mzvednemedovýše Hazavěsímejenapružinuotuhosti k(obr. 3.6). Vyjádřete potenciální energii soustavy jako funkci prodloužení l pružiny a ověřte, že je minimální v rovnovážné poloze. Řešení Celková potenciální energie soustavy je součtem potenciální energie tíhové a potenciální energie elastické. Její závislost na prodloužení pružiny l je popsáno kvadratickou funkcí, jejímž grafem je parabola(obr. 3.7): E p = mgh+ 1 2 k( l)2 = mg(h l)+ 1 2 k( l)2 = = mgh 1 ( ) 2 mg 2 k + 1 ( k 2 k l mg ) 2. k Funkcedosáhneminimapro l=mg/k.tojesplněnovrovnovážnépoloze, kde tíhová síla je stejná jako síla pružiny: mg= k l. Nad rovnovážnou polohou převládne síla tíhová, pod rovnovážnou polohou síla elastická. Výsledná síla v obou případech směřuje do rovnovážné polohy. Rozkmitáme-li závaží vychýlením z rovnovážné polohy, bude soustava působením odporu vzduchu ztrácet mechanickou energii, až se kinetická energie zmenší na nulu a potenciální energie klesne na minimum. Závaží se zastaví v rovnovážné poloze. 28

29 E p l mgh E p 1 2 k( l)2 H h mg(h l) mg k Obr. 3.6 Obr. 3.7 H l 3.4 Vnitřní práce Dosud jsme se zabývali v pouze změnami energie v soustavách těles způsobenými silami, kterými na sebe vzájemně působila různá tělesa soustavy. Pro každý jednotlivý objekt to byly síly vnější, které měnily jen jeho pohybový stav a polohu, případně vyvolaly jeho zahřátí, ale vlastní struktura objektu se neměnila. Uvažujme nyní o člověku, který stoupá po schodišti stálou rychlostí(obr. 3.8). Celková mechanická energie soustavy se zvětšuje, neboť kinetická energie člověka se nemění a potenciální R roste s každým nový krokem. Zanedbáme-li odpor vzduchu, působí na člověka pouze konzervativnítíhovásílazeměfgareakcerschodu,na FG kterém se právě nachází. Reakce schodu práci nekoná, protože po celou dobu jednoho kroku je její působiště na místě. Co tedy zvětšuje celkovou mechanickou energii soustavy? Jsou to vnitřní síly svalů které pohybují kostrou člověka a konají vnitřní práci potřebnou k vystoupení na jednotlivé schody. Přitom spotřebovávají vnitřní Obr. 3.8 energii získanou z potravy. Podobně je při pohybu motorového vozidla k zachování nebo zvětšení jeho mechanické energie nutná vnitřní práce motoru konaná na úkor vnitřní energie 29

30 obsažené v palivu. Mezi oběma příklady je však určitý rozdíl. Příčně pruhované svalstvo, které využíváme k pohybu, potřebuje k udržení svého napětí přijímat vnitřní energii i když stojíme a svaly mechanickou práci nekonají, nebo když jdemezkopceasvalymechanickouprácispotřebovávají. Fyziologickápráce a s ní související pocit únavy odpovídá spíše spotřebované vnitřní energii než vykonané mechanické práci. Úlohy 8.Míčekhozenýsvislevzhůruzbalkonuvevýši h 0 =12mvystoupildovýše h=20maspadlnazem.určetejehopočátečnírychlost,rychlostvevýšce h 1 =10marychlostdopadunazem.Odporvzduchuzanedbejte; hah 1 je měřeno od země. 9.Cyklistajedoucídokopcesesklonem5 rychlostí22km/hpřestanešlapat. Jak daleko ještě dojede? Odporové síly zanedbejte. 10.Kámenbylvrženzvýšky h 0 =5mpodelevačnímúhlem ε=40 rychlostí v 0 =15m s 1.Dojakévýškyvystoupí?Odporvzduchuzanedbejte.(Návod:Vnejvyššímbodětrajektoriejevelikostrychlostikamene v= v 0 cosε.) 11.Navodorovnémválcovémtrnujenavléknutapružinadélky l 0 =10,0cm. Pružinustlačímenadélku l 1 =2,5cmpomocídutéhoválečkuohmotnosti m = 50 g, který zachytíme zarážkou(obr. 3.9). Jakou rychlost získá váleček pouvolnění,působí-linanějpružinapředuvolněnímsilou F = 35 N? Hmotnost pružiny a tření válečku o trn zanedbejte. l 0 l 1 m Obr Automobil jedoucí rychlostí 90 km/h začal brzdit a působením stálé síly sezastavilnadráze150m.jakourychlostmělvevzdálenosti10mpřed místem zastavení? 13.Kuličkuzavěšenounavláknětěsněustěnyvychýlímeoúhel α=60 a uvolníme.poodrazuodstěnysevychýlíoúhel β=40 (obr.3.10).vjakém poměru jsou velikosti rychlostí těsně před dopadem na stěnu a těsně po odrazu od stěny? 30

31 14.Špalíkležícínadolnímkoncinakloněnérovinysesklonem α = 30 byl nárazemuvedendopohybuazastavilsenadráze s=1,2m(obr.3.11).jaká byla jeho počáteční rychlost a jakou rychlost měl při návratu do počáteční polohy, je-li součinitel smykového tření mezi špalíkem a nakloněnou rovinou f=0,34? α β 1 s 3 2 α Obr Obr

32 4 Výkon, příkon a účinnost Veličina výkon P vyjadřuje, jak rychle nějaký stroj nebo jiný objekt koná práci. Určíme jej jako podíl práce W vykonané ve velmi malém časovém intervalu a doby t, za kterou byla vykonána: W P= lim = dw t 0 t dt. (32) Takto definovanou veličinu někdy také nazýváme okamžitý výkon. JednotkouvýkonuvsoustavěSIje[P]=J s 1 =W(watt). Jestliže práci koná sílaf, jejíž působiště se pohybuje rychlostív, můžeme psát P= lim t 0F r r =F lim t t 0 t =F v= Fvcosα, (33) kde αjeúhelkterýsvírásílafsesměrempohybu.působí-lisílavesměru pohybu, platí P= Fv. (34) Někdy vystačíme s veličinou průměrný výkon. Jestliže se za dobu t vykonápráce W,jeprůměrnývýkon P= W t. (35) Vodní, tepelné a elektrické motory přijímají z různých zdrojů energii a konají mechanickou práci. Přitom se část energie spotřebuje na zvýšení vnitřní energie zařízení a je tepelnou výměnou odvedena do okolí a práce W vykonaná motoremjemenšínežpřijatáenergie E 0.Podíl η= W E 0 (36) se nazývá účinnost motoru. Můžeme ji také určit jako podíl výkonu motoru apříkonu P 0 definovanéhojakopodílenergie E 0 přijatézavelmikrátkou dobuatétodoby t: E 0 P 0 = lim t 0 t = de 0 dt, η= P P 0. (37) Různá zařízení v energetice posuzujeme právě podle jejich příkonu. Spotřebovanou energii pak nejčastěji vyjadřujeme v kilowatthodinách, kde 1kWh=1000W 3600s=3, J. 32

33 Úlohy 15. Jaký příkon musí mít elektromotor jeřábu, který zvedne panel o hmotnosti 2400kgza1,5minutydovýšky36m,pracuje-lijeřábsúčinností75%? 16.Saně,kterémajíisnáklademhmotnost m=55kgudržujemevrovnoměrnémpohybupovodorovnécestěstálourychlostíovelikosti v=2m s 1 působenímsílyf,kterámávelikost75nasvírásvodorovnýmsměrem úhel α=35 (obr.4.1).určetesoučinitele fsmykovéhotřenímezisaněmi avozovkouavýkonsílyf. m Fv α Obr V zahraniční technické literatuře se často můžete setkat s vedlejší jednotkou výkonu koňská síla(horsepower) 1 HP = 745,7 W. Jakou energii spotřebuje motoropříkonu13hpza24hodin? 18.Kabinavýtahuohmotnosti m 1 =450kgječástečněvyváženaprotizávažím ohmotnosti m 2 = 350 kg(obr.4.2).běhemjízdyvzhůru,kterátrvala celkem12s,záviselarychlostkabinynačasepodlegrafunaobr.4.3. a) Určete dráhu kabiny a práci, kterou musel vykonat motor výtahu. b) Znázorněte graficky, jak závisely na čase: síla, kterou musel motor působit na lano, a okamžitý výkon motoru. v m/s 2 1 m 1 m t s Obr. 4.2 Obr

34 Literatura [1] Šedivý, P., Volf, I: Rovnoměrně zrychlené a zpomalené pohyby. Studijní text 36. ročníku FO. [2] Šantavý, I.: Mechanika. Škola mladých fyziků. 1. vyd., Praha: SPN, [3]Keller,F.J.,Gettys,W,E.,Skove,M.J.:Physics.2nded.,NewYork: McGraw Hill, Inc, [4] Vybíral, B.: Kinematika dynamika tuhého tělesa. Knihovnička fyzikální olympiády č. 31, 1. vyd., Hradec Králové: Vydavatelství MAFY,

35 Výsledky úloh 1.0,60,90.120, r=(4m,4m,4m); W=48J; ϕ=11,5. F(x) N Obr.V.1; W=1400J. Obr. V.1 4. W ( )0,2 J = 117 J; v 2 = v1 2+2W/m=9,7m s 1. 15Ek 5. W 1 =2,8J; W 2 =8,4J=3W f= 16π 3 r5=61s 1. ( ) 2 7. J= ml2 l 12 + m = ml2. 8. v 0 = 2g(h h 0 )=12,5m s 1 ; v 1 = 2g(h h 1 )=14m s 1 ; v= 2gh=19,8m s s= v2 2gsinα =22m mv2 0 + mgh 0= 1 2 m(v 0cosε) 2 + mgh; H= v2 0 2g (1 cos2 ε)+h 0 = v2 0sin 2 ε + h 2g 0 =9,7m. F(l0 l 11. v= 1 ) =7,2m s m 1 s v 1 = v s =6,5m s v 1 1 cosα = v 2 1 cosβ =1, v 0 = 2sg(sinα+fcosα)=4,3m s 1 ; v 1 = 2sg(sinα fcosα)=2,2m s P= mgh ηt =12,5kW. 16. P= Fcosα v=123w; f= 24 Fcosα mg Fsinα =0, W=840MJ=233kW h. 18. s=20m; W= E p1 E p2 =(m 1 m 2 )sg=19,6kj;obr.v.2,v.3; 1.úsek: F=(m 1 m 2 )g+(m 1 + m 2 )a=1780n; výkonrosteod0do3560w. 2.úsek: F=(m 1 m 2 )g=980n, P=1960W. 3.úsek: F=(m 1 m 2 )g (m 1 + m 2 )a=180n; výkonklesáod360wdo0. x m 35

36 F kn 1 P kw t s Obr. V t s Obr. V.3 36