UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE FILOZOFICKÁ FAKULTA, KATEDRA LOGIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE

Transkript

1 UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE FILOZOFICKÁ FAKULTA, KATEDRA LOGIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE 2005 Jaroslav Zouhar

2 UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE FILOZOFICKÁ FAKULTA, KATEDRA LOGIKY Obor logika Interpretace Gödelovy věty o neúplnosti Vypracoval: Jaroslav Zouhar Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. Jaroslav Peregrin, CSc. Rok odevzdání: 2005

3 Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracoval samostatně v tom smyslu, že se mi od nikoho nedostalo větší pomoci než od pana prof. Peregrina, a využil jsem výhradně citované literatury. V Praze, Jaroslav Zouhar

4 Zásady pro vypracování: Gödel dokázal, že ke každé dané axiomatizaci aritmetiky bude existovat výrok, který nebude ani dokazatelný, ani vyvratitelný. Bude totiž vždy existovat výrok, říkejme mu G, který v přesně definovaném smyslu říká sám o sobě, že je nedokazatelný a z toho vyplývá, že jak dokazatelnost, tak vyvratitelnost G by vedla ke sporu. Avšak jestliže G říká, že G není dokazatelný a G skutečně dokazatelný není, pak je to, co G říká, pravda G je tedy pravdivý. Z toho se zdá vyplývat, že Gödel dokázal, že nikdy nelze dokázat všechny pravdivé výroky. Jak však víme, že G je pravdivý? Jistě ne v důsledku nějaké neexplikovatelné intuice, ale díky tomu, že nám to Gödel ukázal. G tedy v jistém smyslu dokazatelný je Gödelův důkaz je totiž mimo jiné jasnou demonstrací, a v tomto smyslu důkazem, pravdivosti G. Cílem práce by nyní mělo být prozkoumání toho, jak by bylo možné tento důkaz formalizovat a zjistit, v čem je podstatný rozdíl mezi Gödelovým ukázáním pravdivosti G a důkazem v tom smyslu, ve kterém je G nedokazatelný.

5 OBSAH OBSAH...5 ÚVOD...7 KAPITOLA 1: GÖDELOVA VĚTA...9 O ČEM MLUVÍ... 9 PŘEDBĚŽNÁ POZOROVÁNÍ MIMO-MATEMATICKÝ DOSAH VĚTY HLAVNÍ MYŠLENKA NELZE NA GÖDELOVU VĚTU VYZRÁT? CO FORMÁLNÍMU SYSTÉMU CHYBÍ? KAPITOLA 2: DŮKAZ GÖDELOVY VĚTY ARITMETIZACE JAZYKA ARITMETIKY ZACHYCENÍ DOKAZATELNOSTI UVNITŘ TEORIE ARITMETIKY SESTROJENÍ AUTOREFERENČNÍ FOMULE KAPITOLA 3: FORMALIZACE DŮKAZU O ČEM SE V DŮKAZE MLUVÍ ELEMENTÁRNÍ KROKY V DŮKAZU PRVNÍ POKUS O FORMALIZACI FORMALIZACE PODRUHÉ KAPITOLA 4: INTERPRETOVÁNÍ GÖDELOVY VĚTY MYSL JAKO FORMÁLNÍ SYSTÉM (BOBŮV PŘÍPAD) SEBEREFLEXE: CELEK V SOBĚ SAMÉM (PO)ZNÁME PŘIROZENÁ ČÍSLA? SHRNUTÍ POUŽITÁ LITERATURA... 56

6 ... There really is one? breathed Phouchg. There really is one, confirmed Deep Thought. To Everything? To the great Question of Life, the Universe and Everything? Yes. Both of the men had been trained for this moment, their lives had been a preparation for it, they had been selected at birth as those who would witness the answer, but even so they found themselves gasping and squirming like excited children. And you re ready to give it to us? urged Loonquawl. I am. Now? Now, said Deep Thought. They both licked their dry lips. Though I don t think, added Deep Thought, that you re going to like it. Doesn t matter! said Phouchg. We must know it! Now! Now? inquired Deep Thought. Yes! Now... All right, said the computer, and settled into silence again. The two men fidgeted. The tension was unbearable. You re really not going o like it, observed Deep Thought. Tell us! All right, said Deep Thought. The Answer to the Great Question... Yes...! Of Life, the Universe and Everything... said Deep Thought. Yes...! Is... said Deep Thought, and paused. Yes...! Is... Yes...!...? Forty-two, said Deep Thought, with infinite majesty and calm. - Douglas Adams, The Hitchhiker s Guide to the Galaxy

7 Úvod ÚVOD Snažíme-li se dokázat matematické tvrzení, bývá nějtěžší uvědomit si, proč je pravdivé. Dát tomuto zdůvodnění správnou logickou formu provést důkaz už bývá to jednodušší. Základní důkazové prostředky používané v matematice se totiž zdají být v podstatě prosté. Vypadá to, že každý matematický důkaz jde složit z jednoduchých elementárních kroků, jejichž správnost lze snadno ověřovat. Nabízí se myšlenka, že bychom k matematickému dokazování našli několik jeho jasných výchozích principů, takže by správnost podrobně popsaných matematických důkazů šlo ověřovat automaticky. Výsledkem snahy teoreticky vymezit pojem důkazu jsou tzv. kalkuly nástroje k vytváření matematických důkazů. Účelem kalkulu je, umožnit vytvářet jen zápisy vyjadřující korektní matematické důkazy. Těmto zápisům se říká formální důkazy. K formalizaci matematické teorie je potřeba vtisknout veškerým tvrzením v ní využívaným nějakou jednotnou formu. Pro to se osvědčil jazyk predikátové logiky. Formální dokazování je pak postup od některých takto formalizovaných tvrzení formulí k jiným podle dokazovacích pravidel kalkulu. Tvrzení, která se v dané teorii považují za pravdivá bez potřeby dalšího zdůvodnění, jsou vyjádřena axiomy. Množina axiomů pak tvoří formální teorii, z níž se v kalkulu dokazují teorémy dané teorie. Ve čtvrtině dvacátého století se zdálo všechno nasvědčovat tomu, že pro každé odvětví matematického myšlení půjde najít adekvátní množinu axiomů a ke každé matematické větě pak dodat odpovídající formální důkaz v příslušné formální teorii. Potom se v časopise Monatshefte für Mathematik und Physik objevil Gödelův článek. V roce 1930 německý logik a brněnský rodák Kurt Gödel ve slavném článku Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandte Systeme (O formálně nerozhodnutelných větách Principia Mathematica a příbuzných systémů) ukázal, že ke každé použitelné axiomatické teorii obsahující některá evidentně pravdivá tvrzení o přirozených číslech dokážeme najít takový pravdivý výrok, že ani on ani jeho negace nebudou z této teorie v adekvátním kalkulu predikátové logiky dokazatelné. Tento výsledek je známý jako Gödelova věta o neaxiomatizovatelnosti aritmetiky či jako první Gödelova věta o neúplnosti (neúplnosti proto, že žádná použitelná axiomatizace aritmetiky nestačí k dokázání všech pravdivých výroků o přirozených číslech). Dále jí budu říkat jen Gödelova věta, protože s jinými jeho větami tu nebudeme mít co do činění. Jestliže nás ale Gödel dokázal přesvědčit o pravdivosti výroku, který není formálně dokazatelný (a o jeho pravdivosti není zvykem pochybovat), nějak ho přece dokázal. Zdá se proto, že musel využít buď nějakých důkazových prostředků, které kalkul není s to postihnout, nebo jakési znalosti o přirozených číslech, která není v axiomatice zachycena a protože nedokazatelný pravdivý výrok lze najít ke každé použitelné axiomatice, lze říci, že ani axiomaticky zachytitelná. Přestože z tohoto hlediska působí Gödelův důkaz poněkud tajemně, když ho čtete, nic tajemného na něm není jednotlivé kroky jsou stejně zřejmé jako v kterémkoli jiném matematickém důkaze. Podivíte se až tehdy, když si zjistíte, co se vlastně dokázalo. Gödelova věta má tendenci svádět různé myslitele k různým filosofickým interpretacím. Někteří si myslí, že dává definitivní odpověď na významné otázky týkající se schopností lidské mysli. Mezi vyvozovanými závěry jsou: Žádný formální systém není s to zachytit naše usuzování. Lidské myšlení přesahuje schopnosti jakéhokoli stroje. Nemůžeme poznat, jak funguje naše mysl. 7

8 Úvod To mi připadá jako malé kouzlo od tvrzení o kalkulu, axiomatických teoriích a odvozování formulí predikátové logiky se dospíváme k závěrům o povaze lidského myšlení a hranici schopností počítačů. Výchozí tvrzení lze navíc matematicky rigorózně dokázat na přibližně dvaceti stránkách za využití pouze základních znalostí o přirozených číslech! Pokusím se nejdřív vyjasnit, jak spolu tyto věci souvisejí, co přesněji Gödelova věta říká a v čem spočívá její schopnost vypovídat o věcech, které na první pohled zdaleka přesahují její rajón. Pak zkusím zjistit, v čem se důkaz Gödelovy věty tak podstatně liší od formálního důkazu v kalkulu predikátové logiky, že jej nelze v tomto kalkulu formalizovat, a to tím, že se o jeho formalizaci pokusím. 8

9 Gödelova věta KAPIITOLA 1:: GÖDELOVA VĚTA Originál Gödelovy věty hovoří o -konzistentních rozšířeních určité části systému v Principia Mathematica Bertranda Russella a Alfreda Northa Whiteheada. Místo něj ale uvedu trošku jednodušší větu, v níž je to, co je z Gödelova výsledku pro tuto práci klíčové, obsaženo a kterou jde dokázat přepsáním Gödelova originálního důkazu do moderního žargonu: Ke každé rekurzívní množině aritmetických formulí, která je formálně bezesporná a z níž jsou formálně dokazatelné všechny axiomy Peanovy aritmetiky, existuje pravdivá aritmetická formule, která není z této množiny axiomů formálně dokazatelná. Gödelův důkaz je navíc konstruktivní: obsahuje návod, jak ke každé teorii (splňující předpoklady věty) tuto formuli sestrojit. Formální dokazatelností se tu myslí dokazatelnost v nějakém adekvátním kalkulu predikátové logiky 1. řádu. Později uvedu trochu obecnější formu Gödelovy věty, hovořící o formálních systémech, které mohou disponovat i jinými důkazovými prostředky. O ČEM MLUVÍ Nejdřív se pokusím přiblížit, co přesněji věta říká, objasněním klíčových pojmů v ní použitých. Mluví se tu o formálně dokazatelných formulích, o Peanově aritmetice a o rekurzívních teoriích (množinách axiomů), které jsou formálně bezesporné. Formule predikátové logiky 1. řádu Formule jsou konečné posloupnosti symbolů. V případě formulí klasické predikátové logiky prvního řádu, o které se v Gödelově větě jedná, mohou těmito symboly být: 1. logické spojky:,,. 2. kvantifikátor:. 3. proměnné: x, y, z interpunkční znaménka: (, ). 5. jmenné konstanty, např funkční symboly, např. +,, S. 7. predikátové symboly, např. =, >,. Symboly v prvních dvou bodech a symbol rovnosti (,= ) jsou tzv. logické konstanty, ostatní symboly v posledních třech bodech jsou tzv. mimologické konstanty. Formule v jazyce nějaké teorie jsou takové, v nichž se vyskytují jen ty mimologické symboly, které se vyskytují v některém z axiomů dané teorie. Formule v jazyce aritmetiky, kterým budu říkat aritmetické formule, jsou takové, které neobsahují jiné mimologické symboly než 0, S, +,, >,. Někdy budu formule zapisovat ve zkrácené podobě tak, že využiji nových symbolů jako zkratek. Například formuli, (x=y) budu zapisovat,x y, formuli tvaru, ( φ ψ) budu zapisovat,φ ψ, formuli tvaru, x( φ) budu zapisovat, x φ apod. Závorky budu často vynechávat pro lepší srozumitelnost zápisu. Název čísla n se v aritmetické formuli zapíše,s(s(...s(0)...)), přičemž symbol S se tu vyskytuje n- krát. Zkráceně jej budu zapisovat n. 9

10 Gödelova věta Formule v jazyce aritmetiky Vypovídáme-li něco o přirozených číslech, činíme tak větami nějakého jazyka. Přitom to, kolik toho o přirozených číslech umíme říct, je omezeno bohatostí použitého jazyka. Podle všeho je docela dobře možné, že některé zajímavé věci o číslech zatím neumíme vyjádřit kvůli omezením našeho jazyka. Například před vynalezením teorie množin, zavádějící pojem spočetných množin, nebylo možné říct, že přirozených čísel je jen spočetně mnoho. Uzavřené formule v jazyce aritmetiky vyjadřují tvrzení o přirozených číslech. Například formule, x(x>1) vyjadřuje tvrzení, že existuje číslo větší než jedna. Jsou tvrzení, která aritmetickými formulemi vyjádřit nejde, třeba, že ke každému číslu existuje jen konečný počet menších. Z toho pohledu se může zdát jazyk aritmetiky dost chudý. Mohli bychom proto nabýt přesvědčení, že formální nedokazatelnost pravdivého výroku, jehož existenci tvrdí Gödelova věta, je dána prostě omezeností jazyka teorií, o nichž se mluví že k tomu, abychom mohli toto tvrzení dokázat, musíme mluvit o něčem, o čem formule v jazyce daných teorií mluvit nemohou. Ukazuje se ale jak popíšu dále že Gödelovu větu lze zcela obdobně dokázat i pro teorie s mnohem bohatším jazykem: že i k teoriím s obohaceným jazykem bude existovat už formule v chudičkém jazyce aritmetiky, která, ač pravdivá, z ní bude formálně nedokazatelná, bude-li teorie splňovat určité předpoklady. Tím, že se omezíme na formule jazyka aritmetiky, se proto dosah dosažených výsledků nijak nesníží. Dá se říct, že na formule se díváme dvojím způsobem: jednak z hlediska toho, jak jsou utvořeny (kterou posloupností symbolů jsou), a jednak z hlediska toho, co říkají jaká tvrzení vyjadřují. Díky tomu můžeme o formulích mluvit zároveň jako o formálně dokazatelných (jakožto posloupnostech symbolů) i jako o pravdivých vyjadřujících pravdivé tvrzení. Symbolický zápis matematických tvrzení Matematikové mají ve zvyku zapisovat tvrzení symbolicky kvůli srozumitelnosti. Aby se takto vyjádřená tvrzení nepletla s formulemi (posloupnostmi symbolů), budu je psát kurzívou. Například tvrzení, že existuje číslo větší než jedna, vyjádřené formulí, x(x>1), zapíšu symbolicky, x(x>1), nebo třeba,existuje x takové, že x>1.. Formální dokazatelnost Formální dokazatelností formule se myslí její dokazatelnost v určitém kalkulu. Přitom některé kalkuly jsou považovány za standardní kalkuly predikátové logiky 1. řádu a umožňují dokázat tytéž formule. Když se mluví o formální dokazatelnosti bez dalšího upřesnění, myslí se tím dokazatelnost v některém (libovolném) ze standardních kalkulů. Dokazování formulí v kalkulu má odpovídat neformálnímu, avšak matematicky rigoróznímu dokazování jim odpovídajících tvrzení. Například neformálnímu důkazu tvrzení, že existuje číslo větší než jedna, by měl odpovídat důkaz formule, x(x>1). Od dobrého kalkulu by se dalo očekávat, že formule v něm dokazatelné budou odpovídat právě všem neformálně, avšak matematicky rigorózně dokazatelným tvrzením (tedy alespoň z těch, které je jazyk formulí schopen vyjádřit), jestliže dále nezdůvodňovaným tvrzením neformálního důkazu bude odpovídat množina formulí, z níž se v kalkulu dokazuje. Odvození a formální důkaz Dokazování formulí v kalkulu se provádí odvozováním formulí, případně nějakých sekventů, v souladu s odvozovacími pravidly kalkulu. Formálním důkazem formule se ale nemyslí jen provedení tohoto odvození, nýbrž i vyjádření postupu odvození v nějakém předepsaném tvaru (je to podobné, jako když se neformální důkaz matematického tvrzení popíše slovy v knize). U 10

11 Gödelova věta Gödela je formální důkaz posloupnost formulí, z nichž každou lze získat použitím některého pravidla kalkulu z formulí jí v posloupnosti předcházejících, není-li sama axiom. Poslední formule posloupnosti je pak dokázaná formule. Důležité je, že o každém zápisu v předepsaném tvaru (např. o každé posloupnosti formulí) se dá rozhodnout, zda se jedná o důkaz té které formule, pouhým ověřením, zda splňuje nějaké formální podmínky. Vzhledem k tomu, že formule, jejichž formální dokazatelností se budeme zabývat, vyjadřují tvrzení o číslech, budu někdy místo o formální dokazatelnosti formulí mluvit o formální dokazatelnosti tvrzení, čímž budu myslet formální dokazatelnost formule, která je vyjadřuje. Přitom by mohl nastat jeden problém: některá tvrzení je totiž možné vyjádřit různými formulemi, např. tvrzení,existuje číslo větší než 1. lze vyjádřit jednak formulí, x(x>1) a jednak formulí, y(y>1). Co kdyby jedna byla dokazatelná a druhá ne? Bylo by pak třeba říct, formální dokazatelnost které formule se má na mysli, když se mluví o formální dokazatelnosti tohoto tvrzení. Naštěstí se ukazuje, že u standardních kalkulů se formální dokazatelnost formulí, o nichž jsme připraveni prohlásit, že vyjadřují totéž tvrzení, shoduje, takže to potřeba není. Adekvátnost kalkulu To, že formule v jazyce predikátové logiky 1. řádu je logickým důsledkem jiných, lze přesněji formulovat alespoň dvěma způsoby: popsat logický důsledek s pomocí formální dokazatelnosti (čili odvoditelnosti v kalkulu), popsat logický důsledek jako sémantické vyplývání. Sémantické vyplývání se definuje s pomocí pojmu splnění formule nějakou interpretací. Interpretace je v podstatě určité formální vyjádření toho, co jména, funktory, predikáty a proměnné ve formulích označují. Formule je pak splněná nějakou interpretací, jestliže je při příslušném udělení významu symbolům v ní obsaženým pravdivá. Formule vyplývá z množiny formulí, jestliže je splněná každou interpretací, jíž jsou splněné všechny formule z dané množiny. Formule je logická tautologie, jestliže je splněna každou interpretací, neboli, jestliže vyplývá z prázdné množiny formulí. Na interpretaci je dobré to, že jasně popisuje množinu objektů, o nichž formule mluví. V přirozené interpretaci aritmetických formulí je to množina všech přirozených čísel. Za standardní kalkul predikátové logiky je považován takový, který je adekvátní vůči její sémantice. To znamená, že formule vyplývá z nějaké množiny formulí právě tehdy, když je z této množiny v daném kalkulu dokazatelná. Z Gödelovy věty pak plyne, že ke každé rekurzívní množině aritmetických formulí existuje i jejich nestandardní interpretace, která splňuje všechny formule z této množiny, za předpokladu, že je vůbec nějakou interpretací splnit lze. Peanova aritmetika Jazyk Peanovy aritmetiky obsahuje jednu jmennou konstantu 0, jeden jednoargumentový funktor S, dva dvouargumentové funktory + a a dva dvoumístné relační symboly > a, tedy tytéž mimologické symboly, jaké mohou obsahovat aritmetické formule. Peanovu aritmetiku tvoří osm axiomů a jedno schéma (dodávající nekonečnou množinu axiomů): 11

12 Gödelova věta PA1: x (S(x) 0) PA2: x y (S(x) = S(y) x = y) PA3: x (x+0 = x) PA4: x y (x+s(y) = S(x+y)) PA5: x (x 0 = 0) PA6: PA7: PA8: x y (x S(y) = (x y)+x) x y (x y z (x+z = y)) x y (x > y z (x+s(z) = y)) Schéma indukce: (φ(x 0) (φ φ(x S(x))) x φ pro každou formuli φ(x) 1 Axiomy PA1 až PA8 popisují vlastnosti přirozených čísel, o nichž snad nepochybuje nikdo, kdo umí počítat s přirozenými čísly. Jak je to ale s axiomy indukce (tj. axiomy, které vzniknou ze schématu indukce dosazením konkrétních formulí za φ(0), φ(x) a φ(s(x)) mají rozumné opodstatnění? Přirozená čísla jsou taková, k nimž lze dospět přičítáním jedničky, začneme-li od nuly. Jestliže má tedy nula nějakou vlastnost (zde vyjádřenou formulí φ) a s každým číslem, které ji má, ji má i číslo o 1 větší, nemůžeme přičítáním jedničky dospět k číslu, které by ji nemělo, a tedy ji mají všechna čísla. 2 Má se tedy za to, že axiomy Peanovy aritmetiky vyjadřují jen tvrzení pravdivá o přirozených číslech. Proto se požadavek, aby z teorie, která má axiomatizovat aritmetiku, byly tyto axiomy dokazatelné, nepovažuje za nijak omezující. Jestliže jsou z jedné z teorie formálně dokazatelné všechny axiomy druhé teorie, jsou z ní formálně dokazatelné všechny formule, které jsou formálně dokazatelné z druhé. Říká se pak, že první teorie je alespoň tak silná jako druhá. Teorie, o nichž hovoří Gödelova věta, jsou tedy alespoň tak silné jako Peanova aritmetika, a cokoli je formálně dokazatelné v Peanově aritmetice, je formálně dokazatelné v každé z těchto teorií. Rekurzívnost teorie Požadavek, aby teorie (tedy množina axiomů) byla rekurzívní, staví na pojmu rekurzívní funkce. Co je rekurzívní funkce a rekurzívní množina, popíšu podrobněji dále. Podstatné je, že pojem rekurzívní množiny má vystihnout intuitivní představu algoritmu: množina objektů nějakého druhu má být rekurzívní tehdy, když existuje algoritmus, pomocí něhož lze o jakémkoli objektu daného druhu rozhodnout, zda je nebo není jejím prvkem, v nějakém konečném (ačkoli třeba předem neznámo jakém) čase. Přijmeme-li tento (mezi matematiky obecně přijímaný) názor, můžeme říct, že požadavek, aby teorie byla rekurzívní, znamená, aby bylo možné v konečném čase zjistit, zda něco je či není její axiom. Takový požadavek se možná zdá být u axiomatické teorie zcela samozřejmý, ale není zanedbatelný: Předpokládejme, že z množiny pravdivých formulí nelze formálně dokázat nepravdivý výrok (což by pro dokazování ve standardním kalkulu mělo platit). Pak množina všech formulí, které vyjadřují pravdivá tvrzení o přirozených číslech, je teorie, z níž jsou dokazatelné právě všechny 1 Myslí se formule v jazyce Peanovy aritmetiky. Zápis,φ(x) značí, že formule φ má volnou proměnnou x,,φ(x 0) označuje formuli, která vznikne z φ dosazením konstanty 0 za proměnnou x tam, kde x není vázaná kvantifikátorem, a,φ(x S(x)) označuje formuli, která vznikne z φ dosazením termu S(x) za proměnnou x tam, kde x není vázaná kvantifikátorem. Jestliže φ je formule s jedinou volnou proměnnou, budu zápis tvaru,φ(x t) pro libovolný term t zkracovat na,φ(t). 2 Ovšem ne všechny vlastnosti přirozených čísel lze vyjádřit formulí v jazyce aritmetiky (např. být takovým číslem, že jen konečně mnoho je menších ). 12

13 Gödelova věta pravdivé výroky o přirozených číslech (z množiny formulí je totiž dokazatelná každá z těchto formulí). Potíž je v tom, že tato teorie nemusí být (a Gödelova věta prokáže, že není) rekurzívní. 3 Bezespornost Bezesporná teorie je taková, že pro žádnou formuli φ neplatí, že by v ní byla dokazatelná jak φ, tak i formule tvaru, φ. Ze sporné teorie jde formálně dokázat spor, tedy formuli tvaru,φ φ, a dokonce úplně každou formuli. Díky tomu můžeme bezespornou teorii charakterizovat také tím, že v ní není formálně dokazatelná např. formule,0 0 (formule,0=0 je totiž formálně dokazatelná v každé teorii). Mohli bychom se ptát, zda už požadavek, aby kalkul neumožňoval odvodit spor bez jakýchkoli předpokladů, jej nečiní podstatně odlišným od lidského usuzování zdá se totiž, jako by naše usuzování někdy (bez jakýchkoli chybných předpokladů) vedlo ke sporu. Případy, kdy logicky (alespoň na první pohled) korektní úvaha vede ke sporu, jsou známy jako paradoxy. Například, označme následující větu A: Věta A je nepravdivá. Pak věta A je pravdivá právě tehdy, když věta A tedy ona sama je nepravdivá. Za předpokladu, že je pravdivá, je zároveň nepravdivá, a za předpokladu, že je nepravdivá, je současně pravdivá v každém případě je tedy zároveň pravdivá i nepravdivá (takový úsudek možná neodpovídá tomu, jak běžně přemýšlíme větu A bychom možná neoznačili ani za pravdivou, ani za nepravdivou ale svou logickou formou se neliší od úsudků, které se provádějí v matematice, a jimž odpovídající odvození lze provést v kalkulu). Matematik sice takto umí dokázat sporné tvrzení, ale nevyvozuje z toho například, že jedna se nerovná jedna (čemuž odpovídající odvození lze v kalkulu provést), protože to, zda je nějaká podivná o sobě vypovídající věta pravdivá, nemá co dělat s aritmetikou přirozených čísel. Na druhou stranu, můžeme najít paradoxy, které se přirozených čísel týkají: Princip indukce, vyjádřený v Peanově aritmetice schématem indukce, říká, že má-li nula určitou vlastnost a s každým číslem, které má tuto vlastnost, má onu vlastnost i číslo o 1 větší, pak tuto vlastnost mají všechna čísla, symbolicky: pro každou vlastnost V, [V(0) x(v(x) V(x+1))] yv(y). Nazvěme vlastnost čísel nahoru přenosnou, jestliže s každým číslem, které ji má, ji má i každé číslo větší, symbolicky: vlastnost V je nahoru přenosná, jestliže x y [(V(x) y x) V(y)] Dá se dokázat, že princip indukce je ekvivalentní tvrzení, že ke každé nahoru přenosné vlastnosti existuje nejmenší číslo, které ji má symbolicky: pro každou vlastnost V: x y[(v(x) y x) V(y)] z[v(z) w(z w V(w))], za (slaboučkého) předpokladu, že ke každé vlastnosti čísel existuje vlastnost k ní opačná, tj. taková, kterou mají právě ta čísla, jež nemají tu první. Označme P vlastnost, kterou má číslo tehdy, když je větší nebo rovné nějakému číslu, které nelze definovat méně než deseti slovy. Pak vlastnost P je nahoru přenosná: jestliže nějaké číslo n je větší nebo rovné nějakému číslu nedefinovatelnému méně než deseti slovy, platí to i pro číslo větší. Za předpokladu, že platí princip indukce, tedy existuje nejmenší číslo, které má vlastnost P, označme jej č. Číslo č musí být zároveň nejmenším číslem, které nelze definovat méně než deseti 3 Někteří by ale měli námitky už proti způsobu definování takové množiny axiomů. 13

14 Gödelova věta slovy kdyby totiž ne, bylo by tu nějaké menší, které má vlastnost P. Pak ale můžeme číslo č definovat: nejmenší číslo, které nelze definovat méně než deseti slovy, což je méně než deseti slovy. Pak ale není možné, aby č mělo vlastnost P: aby ji mělo, muselo by tu být číslo menší než č, které nelze definovat méně než deseti slovy, ale ukázali jsme, že žádné takové není. Celkově jsme tedy dokázali, že číslo č vlastnost P zároveň má i nemá, symbolicky: P(č) P(č). Takže z principu indukce, vztahujeme-li jej i na takové vlastnosti jako P, lze dokázat spor. Přesto se princip indukce v matematické praxi běžně používá je na něm založen důkaz indukcí. Jak je to možné? Vlastnosti jako nebýt definovatelné méně než deseti slovy se prostě při matematickém usuzování neberou v úvahu: říkají něco o našem jazyce, nikoli o přirozených číslech samotných: z toho, že náš jazyk umožňuje vytvořit paradoxní tvrzení (jako větu Já jsem nepravdivá ) či paradoxní číselné vlastnosti (jako být číslem nedefinovatelným méně než deseti slovy ), se nesoudí, že by sama přirozená čísla byla něčím paradoxním. Dokud formule v kalkulu dokazované mluví jen o číslech (přesněji řečeno, v oboru jejích proměnných jsou jen objekty, které můžeme sčítat, násobit apod.), zdá se, že nebezpečí dospět k paradoxu podobnému těm předchozím nehrozí. Kdybychom ale chtěli použít standardní kalkul na formule, které by měly vyjadřovat třeba tvrzení o sobě samých (například tvrdit svoji nepravdivost), mohli bychom očekávat, že se tu paradox objeví a kalkul tedy umožní dokázat kontradikce. Potom by ale umožnil dokázat i tvrzení, která bychom za (neformálně) dokazatelná nemuseli považovat, umožnil by totiž dokázat všechna. Shrnutí Gödelova věta říká, že ke každé algoritmicky rozpoznatelné množině formulí, z níž jsou formálně dokazatelné některé pravdivé aritmetické formule, existuje pravdivá aritmetická formule, která není z této množiny formálně dokazatelná, za předpokladu, že není z dané množiny formálně dokazatelná zcela libovolná formule. Jestliže formální dokazatelnost z množiny formulí je s to vystihnout neformální dokazování z množiny předpokladů (tedy že z pravdivých tvrzení o přirozených číslech dokážeme neformálně dokázat právě to, co je formálně dokazatelné z příslušné množiny formulí), dá se říct, že každá použitelná množina axiomů je příliš malá. PŘEDBĚŽNÁ POZOROVÁNÍ Gödelova věta říká, že ke každé axiomatické teorii splňující určité předpoklady, jejichž splnění bychom od teorie aritmetiky přirozených čísel jistě očekávali, existuje pravdivý výrok, který v ní není formálně dokazatelný. Vypadá to tedy, že se říká, že z každé axiomatické teorie aritmetiky je toho dokazatelného příliš málo. Dá se na to ale dívat i obráceně, Gödelovu větu lze totiž přeformulovat: Ke každé rekurzívní množině aritmetických formulí, z níž jsou formálně dokazatelné všechny axiomy Peanovy aritmetiky, existuje pravdivá aritmetická formule, o které platí: jestliže je z dané množiny axiomů formálně dokazatelná tato formule, je z ní formálně dokazatelná i formule,0 0. Teď ji naopak můžeme číst tak, že z každé dostatečně silné axiomatické teorie aritmetiky (totiž takové, z níž jsou dokazatelné Peanovy axiomy a jistá pravdivá formule) už je dokazatelného příliš mnoho, totiž i to, že nula se nerovná nule. Gödelova věta bývá nazývána větou o neaxiomatizovatelnosti aritmetiky přirozených čísel. Přitom se ale zdá, že podoba axiomů i dokazatelnost, o níž mluví, je jen specifického druhu jedná se tu o formule predikátové logiky 1. řádu a k ní adekvátní kalkul. Lze si představit, že by 14

15 Gödelova věta aritmetika přirozených čísel byla axiomatizovatelná množinou axiomů s lepšími vyjadřovacími schopnostmi (třeba schopnými říct, že ke každému číslu existuje jen konečně mnoho menších) nebo s jiným, rafinovanějším kalkulem. Podrobnější popis Gödelova důkazu ale ukáže, že to tak není že už důkazové prostředky, které máme v Peanově aritmetice, umožňují rozšířit důkaz jisté pravdivé aritmetické formule na důkaz sporu i v mnohem bohatších systémech. MIMO-MATEMATICKÝ DOSAH VĚTY Lidská mysl se zdá být něco tak složitého, že pustit se do jejího matematického popisu může působit jako přinejlepším velice odvážný počin. Gödel ale provedl nečekaný kousek: vzal jednu z jejích zdánlivě nejnepozoruhodnějších schopností, totiž schopnost usuzovat o přirozených číslech, a ukázal, že tato schopnost v něčem přesahuje schopnosti každé použitelné axiomatiky, kterou dokážeme najít. A ukázal to tak, že nám dal návod, jak k takovému systému najít výrok, jehož pravdivost tento systém není s to odhalit, a dokázal jeho pravdivost. 4 Spojitost mezi Gödelovou větou a počítači se zdá být asi taková: pokud by libovolný počítač vypisoval jedině pravdivá tvrzení o přirozených číslech, existoval by formální systém, na nějž by se vztahoval Gödelův výsledek a v němž by byla dokazatelná všechna tvrzení, která počítač kdy vypíše. Pravdivé tvrzení, které není v tomto formálním systému dokazatelné, by pak počítač nemohl vypsat. Jestliže žádný formální systém, na nějž se vztahuje Gödelův výsledek, nedokáže všechno to co matematik, nedokáže to pak ani žádný počítač. Zdá se však, že proti takovému převedení otázky schopností počítače na otázku dokazatelnosti ve formálním systému lze mít námitky. V této práci se vztahem mezi formálními systémy a počítači nebudu příliš zabývat: zaměřím se spíš na možnost postihnout naše usuzování s pomocí formálního systému. HLAVNÍ MYŠLENKA Cílem Gödelova důkazu je sestrojení takové formule, která nemůže být v dostatečně silné bezesporné teorii dokazatelná. Myšlenkový postup k nalezení této formule lze rozdělit na tři části: aritmetizaci jazyka aritmetiky, zachycení formální dokazatelnosti uvnitř aritmetiky a sestrojení autoreferenčního výroku. Než se pustím do jejich popisu, předvedu úvahu, která by měla přiblížit stěžejní myšlenku Gödelova důkazu. Předpokládejme, že: výroky v jazyce nějaké teorie Θ dokážou mluvit o výrocích této teorie (tedy o sobě navzájem). jazyk teorie Θ je natolik bohatý, aby umožnil vytvořit výrok, který nazveme A: Výrok A není v teorii Θ dokazatelný. v teorii Θ není možné dokázat nepravdivé výroky. Pak výrok A nemůže být v teorii Θ dokazatelný: kdyby totiž byl dokazatelný, byl by nepravdivý, ale v teorii Θ podle předpokladu nelze dokázat nepravdivé výroky. V tom případě je ale výrok A pravdivý, a existuje tedy pravdivý výrok, který není v teorii Θ dokazatelný. Teorie, o jakých mluví Gödelova věta, nemusejí (alespoň při standardním způsobu čtení jejich výrazů) splňovat žádný z výše uvedených předpokladů. Ukáže se ale, že k nalezení formálně nedokazatelného pravdivého výroku stačí podstatně slabší předpoklady, které už ony teorie splňují. Přitom konstrukce takového výroku a ukázání jeho pravdivosti a nedokazatelnosti se v něčem dost podobají těm výroku A, jsou ale mnohem rafinovanější. 4 Zajímavé je, že důsledky Gödelovy věty tu neplynou z její formulace, ale z toho, že ji umíme dokázat. 15

16 Gödelova věta Aritmetizace jazyka aritmetiky Formule predikátové logiky jsou posloupnosti symbolů. Vlastnosti formulí, například být axiomem Peanovy aritmetiky, jsou tedy vlastnosti posloupností symbolů, a vztahy mezi formulemi, např. kdy jedna je podformulí druhé nebo kdy jedna je dokazatelná z jiných v nějakém kalkulu, jsou pak vztahy mezi posloupnostmi symbolů. Gödel vymyslel, jak formule i posloupnosti formulí kódovat přirozenými čísly tak, aby každé přirozené číslo bylo kódem nejvýše jedné formule nebo posloupnosti formulí. Vlastnostem formulí a posloupností formulí pak odpovídají určité číselné vlastnosti, například vlastnosti být axiomem Peanovy aritmetiky takto odpovídá vlastnost být kódem axiomu Peanovy aritmetiky, a vlastnosti být v teorii Θ formálně dokazatelná číselná vlastnost být kódem formule formálně dokazatelné v teorii Θ. Podobně vztahům mezi formulemi či jejich posloupnostmi odpovídají vztahy mezi čísly. Gödelovo kódování je navíc zvoleno tak, že zajímavým vlastnostem formulí a důkazů či vztahům mezi nimi odpovídají číselné vlastnosti, které jde v jazyce aritmetiky snadno popsat. 5 Číslům, které jsou kódy formulí, budu říkat Gödelova čísla formulí. Jazyk teorie aritmetiky nedokáže vyjádřit tvrzení přímo o svých formulích jedinými termy (jmény), které obsahuje, jsou jména čísel. Ale díky tomu, že formulím lze přiřadit Gödelova čísla, můžeme ukázat, že tvrzení vyjádřená některými formulemi v jazyce aritmetiky jsou ekvivalentní jistým tvrzením o dokazatelnosti formulí. Kdyby se nám pak podařilo k teorii Θ vytvořit aritmetickou formuli, která by: vyjadřovala tvrzení ekvivalentní tomu, že číslo n je kód formule formálně nedokazatelné v teorii Θ sama měla kód n jestliže by byla v teorii Θ formálně dokazatelná, byla by pravdivá měli bychom formuli, která je pravdivá, ale není v teorii Θ dokazatelná. Kdyby totiž pravdivá nebyla, byla by v teorii Θ dokazatelná, ale to je vyloučeno, protože z její dokazatelnosti v teorii Θ plyne podle našeho předpokladu její pravdivost. V jazyce teorií, o nichž hovoří Gödelova věta, skutečně existují formule s Gödelovým číslem n, které vyjadřují tvrzení ekvivalentní: číslo n je kód formule, která není v této teorii formálně dokazatelná. Ovšem v těchto teoriích nemusejí být formálně dokazatelné jen pravdivé formule: některé teorie jak se dále ukáže jsou bezesporné, jsou v nich formálně dokazatelné všechny axiomy Peanovy aritmetiky, a přece i některé nepravdivé formule. Tyto formule pak nesplňují třetí z výše popsaných podmínek. Naštěstí se ukazuje, že formule určitého druhu jsou v dotyčných teoriích formálně dokazatelné právě tehdy, jsou-li pravdivé. Lze k tomu dospět s využitím pojmu rekurzívní relace. Rekurzívní relace Ukazuje se, že některé číselné vlastnosti a vztahy jde v jazyce aritmetiky popsat tak, že je toho o nich v teoriích splňujících předpoklady Gödelovy věty dokazatelného dostatečně mnoho. Konkrétně, ke každé takové k-místné relaci R existuje formule φ(x 1,..x k ) taková, že pro všechna čísla n 1,...n k platí: 5 Formule bychom mohli očíslovat třeba tak, že bychom je seřadili lexikograficky a každé pak přiřadili číslo podle jejího pořadí (kdybychom chtěli takto kódovat i posloupnosti formulí, mohli bychom formulím přiřadit jen lichá čísla a posloupnostem formulí pak podobným způsobem sudá). Pak bychom ale možná měli potíže popsat i vlastnosti čísel odpovídající dost jednoduchým vlastnostem formulí. Jak bychom třeba v jazyce aritmetiky popsali vlastnost být kódem formule začínající kvantifikátorem? 16

17 Gödelova věta formule φ(n 1,...n k ) je pravdivá právě tehdy, když R(n 1,...n k ), a formule φ(n 1,...n k ) je v příslušné teorii dokazatelná právě tehdy, když R(n 1,...n k ). Gödel ukázal, že taková formule existuje (v případě teorií, o nichž je řeč) ke každé tzv. rekurzívní relaci, a že relace... je kód důkazu formule s kódem... v té a té teorii je pro teorie splňující předpoklady věty rekurzívní. Proto existuje aritmetická formule φ(x,y) taková, že formule φ(m,n) je pravdivá i dokazatelná právě pro taková čísla m a n, že m je kód důkazu formule s kódem n v dané teorii. Formule, x φ(n) je potom pravdivá právě tehdy, když neexistuje číslo, které by bylo kód důkazu formule s kódem n v dané teorii, neboli, když formule s kódem n není v dané teorii dokazatelná. Jestliže je formule, x φ(n) v dané teorii dokazatelná, je tu pro jakékoli číslo m dokazatelná i formule φ(m,n). Kdyby pak formule, x φ(n) nebyla pravdivá, byla by formule s kódem n dokazatelná, a tedy pro číslo m, které by bylo kódem jejího důkazu, by byla pravdivá formule φ(m,n). Pak by ale byla φ(m,n) v dané teorii i dokazatelná a tato teorie by byla sporná, což je v rozporu s předpoklady Gödelovy věty. Proto z dokazatelnosti formule, x φ(n) plyne její pravdivost. K příslušné teorii máme tedy formuli (totiž, x φ(n) ), která je pravdivá, jestliže číslo n je kód formule formálně nedokazatelné v této teorii pokud je v této teorii formálně dokazatelná, je pravdivá. Kdyby navíc platilo, že její kód je n, měli bychom formuli, která v naší teorii není formálně dokazatelná: kdyby v ní totiž byla formálně dokazatelná, byla by pravdivá, a číslo n by tedy bylo kódem formule, která v dané teorii není formálně dokazatelná, a proto by ona formule v dané teorii nejen byla, ale současně nebyla formálně dokazatelná. Otázka je, zda existuje formule, která současně s prvními dvěma splňuje i třetí podmínku. Autoreferenční formule Gödel ukázal, jak k aritmetické formuli ψ(y) sestrojit takovou aritmetickou formuli γ s kódem n, že formule γ je pravdivá právě tehdy, když je pravdivá ψ(n), a v každé teorii splňující předpoklady Gödelovy věty je navíc dokazatelná ekvivalence ψ(n) γ. K výše popsané formuli, x φ(y) se tedy dá sestrojit taková formule γ s kódem n, která je pravdivá právě tehdy, když je pravdivá formule, x φ(n), tedy když formule s kódem n (tj. ona sama) není v příslušné teorii dokazatelná, a navíc z dokazatelnosti γ plyne dokazatelnost formule, x φ(n), o níž víme, že je za předpokladu své dokazatelnosti i pravdivá, a tedy je pak pravdivá i γ. Formule γ tedy splňuje všechny výše popsané požadavky, a je proto pravdivá, aniž by byla v příslušné teorii dokazatelná. NELZE NA GÖDELOVU VĚTU VYZRÁT? Důkaz Gödelovy věty ukazuje, jak k nějaké dostatečně silné rekurzivní teorii Θ sestrojit takovou formuli, že pokud je teorie Θ bezesporná, vyjadřuje tato formule pravdivé tvrzení a není v Θ dokazatelná. Takovou formuli budu značit γ Θ a budu jí říkat Gödelova formule pro teorii Θ. Mohlo by nás napadnout, vyzrát na Gödelovu větu tak, že bychom přidali formuli γ Θ k teorii Θ jako axiom, čímž by se stala v nové teorii dokazatelnou. Tím bychom ale situaci nezachránili, protože přidáním axiomu k dostatečně silné rekurzívní teorii vzniká opět dostatečně silná 17

18 Gödelova věta rekurzívní teorie, ke které, je-li bezesporná, existuje podle Gödelovy věty zase jiný pravdivý a nedokazatelný výrok. Když to znázorníme symbolicky, přidáním formule γ Θ k teorii Θ vznikne teorie Θ {γ Θ }, k níž existuje nějaká jiná formule, γ (Θ {γθ}), která v ní za předpokladu bezespornosti není dokazatelná a vyjadřuje pravdivé tvrzení. Jedna potíž je v tom, že formule, již přidáváme, není Gödelovou formulí pro nově vzniklou teorii Θ {γ Θ }, ale pro tu původní, Θ. Mohli bychom tedy zkusit k teorii Θ najít takovou formuli φ, která by (náhodou) byla Gödelovou formulí pro teorii vzniklou jejím přidáním k Θ, symbolicky φ = γ (Θ {φ}), jinak řečeno, takovou formuli φ, že kdybychom k teorii Θ {φ}, která je taky rekurzívní, sestrojili Gödelovu formuli, dostali bychom formuli φ. Pak by ale formule φ byla v dané teorii dokazatelná byla by přímo jedním z axiomů. Znamená to tedy, že k žádné teorii Θ, splňující předpoklady Gödelovy věty, taková formule neexistuje? Podle dosavadního zkoumání to tak být nemusí, znamená to ale, že teorie vzniklá přidáním této formule (zde teorie Θ {φ}) by byla sporná. CO FORMÁLNÍMU SYSTÉMU CHYBÍ? Gödel ukázal, jak sestrojit takovou formuli, z jejíž dokazatelnosti z určité teorie plyne její spornost a z nedokazatelnosti z ní pravdivost, a o níž tedy víme, že není z bezesporné teorie dokazatelná a že je pravdivá. Můžeme se na to ale podívat z druhé stránky a ptát se, co nám po technické stránce brání tuto formuli formálně dokázat. Vidím v podstatě tři možnosti: 1. Množina axiomů o přirozených číslech je příliš malá obsahuje příliš málo axiomů na to, aby z nich byla dokazatelná všechna pravdivá tvrzení o přirozených číslech (z těch, která jsou v jazyce aritmetiky vyjádřitelná). Při důkazu pravdivosti tvrzení z nich nedokazatelného, které Gödel našel, bychom pak měli využít nějaké znalosti o číslech, kterou axiomy z nějakého důvodu nevyjadřují. 2. Kalkul neumožňuje provést odvození odpovídající neformálnímu důkazu daného tvrzení. V tom případě bychom se mohli ptát, ke kterým krokům neformálního důkazu se nedaří provést odpovídající formální odvození, případně proč by nešlo kalkul rozšířit tak, abychom odpovídající formální odvození provést mohli. 3. K důkazu výroku je potřeba využít i jiných pravdivých tvrzení než jsou tvrzení o přirozených číslech (a logické tautologie), ačkoli výrok mluví jen o přirozených číslech. Pak bychom se mohli ptát, o čem všem potřebujeme v důkazech tvrzení o přirozených číslech mluvit, případně proč by nešlo obohatit jazyk a množinu axiomů tak, abychom potřebná tvrzení dokázat mohli. Ke zjištění, která z možností nastává, může pomoci prozkoumání Gödelova důkazu. 18

19 Důkaz Gödelovy věty KAPIITOLA 2:: DŮKAZ GÖDELOVY VĚTY Thit sentence is not self-referential because "thit" is not a word. This is not a complete. Sentence. This either. Hofstdter's Law: It always takes longer than you expect, even when you take into account Hofstadter's Law. - Douglas R. Hofstadter Úplně na konci této práce využiji ještě jeden Douglasův nápad, o kterém už nenapíšu, že je jeho, protože to bude na konci. Pokusím se načrtnout, jak probíhá Gödelův důkaz, a všímat si zajímavých kroků, které se tu provádějí a nad možností jejichž formalizace se budu později zamýšlet. Důkaz se dá rozdělit na tři hlavní části. První by šlo nazvat aritmetizací jazyka aritmetiky, druhou zachycením dokazatelnosti uvnitř aritmetiky a třetí sestrojením autoreferenční formule. ARITMETIZACE JAZYKA ARITMETIKY Nejprve přiřadíme čísla symbolům, které tvoří formule Peanovy aritmetiky (to ještě nebudou gödelovská čísla): 6 symbol číslo ( 4 ) 5 6 = S > x i i-té prvočíslo větší než 13 Formulím jsou takto přiřazeny posloupnosti čísel. 7 Posloupnostem čísel můžeme nyní přiřadit čísla tak, že posloupnosti čísel n 1, n 2,...n k přiřadíme číslo p 1n p 2 n2... p k nk, 6 Gödel pracoval s trochu jiným jazykem, a proto bylo odlišné i jeho kódování. Rozdíl ale není nijak podstatný. 7 Gödel ve svém článku nejprve říká, že formule můžeme považovat za posloupnosti čísel, a později je dokonce ztotožňuje s čísly, které jsou jejich kódy, takže podstatná tvrzení místo o formulích vyslovuje o číslech. Gödelova věta pak v originále přímo netvrdí existenci formálně nedokazatelné formule, ale existenci čísla s určitou (v jazyce aritmetiky popsatelnou) vlastností. 19

20 Důkaz Gödelovy věty kde p i je i-té prvočíslo. Tak dostaneme Gödelovo číslo formule, které byla přiřazena ta která posloupnost čísel. Například formule,0=0, které bude nejprve přiřazena posloupnost [8,7,8], bude mít Gödelovo číslo = Někdy se říká, že díky aritmetizaci jazyka aritmetiky si můžeme představit, že aritmetické formule mluví o formulích. Tím se ale ještě nic nevysvětluje podobně si můžeme představit, že aritmetické formule mluví o tom, co budeme mít dnes k večeři: pokud třeba jednotlivým ingrediencím přiřadíme čísla (např. soli jedničku, bramborám dvojku apod.), můžeme si představit, že formule říká, že večeře bude obsahovat přesně ty ingredience, jimž přiřazená čísla jsou ve formuli pojmenována (ať už o nich formule říká cokoli). Rozdíl je ale v tom, že mezi pravdivostí tvrzení o přirozených číslech a pravdivostí tvrzení o formulích nacházíme spojitost. Například, tvrzení Formule,0=0 začíná negací je ekvivalentní tvrzení číslo je dělitelné číslem 2 1, ale ne číslem 2 2, které můžeme vyjádřit aritmetickou formulí, jež se nevejde do žádné svázatelné diplomové práce: x(s(s(s(...s(0)...))) = x S(S(0))) x(s(s(s(...s(0)...))) = x (S(S(0)) S(S(0)))) krát,S krát,S Přitom zdůvodnit podrobně tuto souvislost není úplně nejjednodušší. Například tu využíváme toho, že číslo má jediný prvočíselný rozklad což se nám sice může zdát jasné, víme-li, co jsou prvočísla, nicméně je to tvrzení, jehož pravdivost můžeme dál zdůvodňovat. Ve svém důkaze Gödel ukázal, jak ke každé rekurzívní teorii Θ sestrojit takovou aritmetickou formuli φ(x,y), že pro každá čísla m a n, formule φ(m,n) vyjadřuje tvrzení ekvivalentní tomu, že číslo m je kód důkazu formule s kódem n. Jinými slovy, že vztah... je kódem důkazu formule s kódem... jde popsat jistou aritmetickou formulí. K dosažení výsledku (nalezení pravdivé a nedokazatelné formule) je ale potřeba vědět něco nejen o pravdivosti, ale i dokazatelnosti takové formule. K obojímu lze dospět s využitím pojmu rekurzívní funkce. ZACHYCENÍ DOKAZATELNOSTI UVNITŘ TEORIE ARITMETIKY Klíčovou myšlenkou Gödelovy věty je zachycení formální dokazatelnosti uvnitř axiomatické teorie aritmetiky ukázání, že formální teorie aritmetiky umí v jistém smyslu mluvit o dokazatelnosti v sobě samé. K tomu je potřeba ukázat dvě věci: jednak, že některé formule vyjadřují tvrzení ekvivalentní tvrzením o dokazatelnosti formulí, a jednak, že pravdivost některých takových formulí je ekvivalentní jejich dokazatelnosti. Gödelův postup byl takový, nejdřív ukázat spojitost mezi některými číselnými vlastnostmi, resp. relacemi, a vlastnostmi formulí a formálních důkazů, resp. vztahy mezi nimi, a zároveň ukázat, že příslušné číselné vlastnosti, resp. relace, jsou rekurzívní; potom ukázat, že ke každé rekurzívní vlastnosti nebo relaci existuje aritmetická formule, která ji popisuje a která je po dosazení jmen čísel za volné proměnné v dané teorii dokazatelná právě tehdy, je-li pravdivá. Tak dospějeme k formulím, o nichž můžeme tvrdit, že zachycují metamatematické pojmy (pojem důkazu formule, formální dokazatelnosti apod.) uvnitř axiomatické teorie aritmetiky. 8 Příklad s touhle formulí jsem si vypůjčil z knihy Ernesta Nagela a Jamese R. Newmana: Gödelův důkaz. 20

21 Důkaz Gödelovy věty Rekurzívní funkce, vlastnosti a relace Rekurzívní funkce mohou sloužit k matematickému vymezení intuitivního pojmu algoritmu: má se za to, že rekurzívní funkce jsou takové funkce na přirozených číslech, 9 k nimž existuje algoritmus, který je v konečném čase počítá. Pro lepší představu uvedu jejich definici. Gödel původně definuje rekurzívní funkce takto: Funkce f je rekurzívní, jestliže existuje posloupnost funkcí na přirozených číslech f 1,...f n taková, která končí f a má tu vlastnost, že každá funkce f k z této posloupnosti je z některých dvou předcházejících definována rekurzí nebo vzniká z některých předcházejících substitucí nebo je to konstantní funkce nebo funkce přičítání jedničky. Takovým funkcím se později začalo říkat primitivně rekurzívní. Obecné rekurzívní funkce lze narozdíl od primitivně rekurzívních odvozovat kromě rekurze a substituce i tzv. minimalizací. Dají se definovat jako speciální případ tzv. částečně rekurzívních funkcí: 1. funkce f taková, že pro všechna přirozená čísla n je f(n)=c, kde c je nějaké přirozené číslo, je částečně rekurzívní. 2. funkce f taková, že pro všechna přirozená čísla n je f(n)=n+1, je částečně rekurzívní. 3. jsou-li funkce g a h částečně rekurzívní, pak funkce f taková, že pro všechna přirozená čísla n 1,... n k je f(0,n 2,...n k )=g(n 2,...n k ) a f(n 1 +1,n 2,...n k )=h(f(n 1,n 2,...n k ),n 1,...n k ), je částečně rekurzívní (f je z g a h definována rekurzí). 4. jsou-li funkce h a g 1,... g m částečně rekurzívní, pak funkce f taková, že pro všechna přirozená čísla n 1,... n k je f(n 1,...n k )=h(g 1 (n 1,...n k ),...,g m (n 1,...n k )), je částečně rekurzívní (f vzniká z g 1,... g m a h substitucí). 5. je-li funkce g částečně rekurzívní, pak funkce f taková, že pro všechna přirozená čísla n 1,... n k : f(n 1,...n k )=m, jestliže m je nejmenší číslo, pro něž je g(m,n 1,...n k )=0, a f není pro hodnoty argumentů n 1,... n k definována, jestliže takové číslo neexistuje, je částečně rekurzívní (f je z g odvozena minimalizací). 6. žádné jiné funkce částečně rekurzívní nejsou. 10 Rekurzívní funkce je taková, která je částečně rekurzívní a totální, tj. má hodnotu pro všechny hodnoty argumentů. Délce nejkratší posloupnosti funkcí takové, že každá je buď funkce z bodu 1. nebo 2. anebo je odvozena z funkcí jí v posloupnosti předcházejících podle bodů 3., 4. nebo 5., a poslední funkcí je funkce f, se říká délka odvození funkce f. 9 Tedy takové, hodnoty jejichž argumentů i jejichž hodnoty jsou přirozená čísla. 10 Definice primitivně rekurzívní funkce vznikne z předchozí vynecháním bodu 5. a záměnnou slova částečně za slovo primitivně. 21

22 Důkaz Gödelovy věty Rekurzívní relace 11 se definují s pomocí rekurzívních funkcí: Relace R je rekurzívní, jestliže existuje rekurzívní funkce f taková, že R(n 1,...n k ) f(n 1,...n k )=0 platí pro všechna n 1,... n k. Funkci f se říká charakteristická funkce relace R. Jestliže definice rekurzívní funkce dobře vymezuje intuitivní pojem algoritmu, lze soudit, že rekurzívní relace budou všechny takové, u nichž dokážeme snadno vymyslet postup (algoritmus) pro rozhodnutí, zda nějaká čísla jsou nebo nejsou v této relaci. Další postup v důkazu nyní je, dokázat, že každou rekurzívní relaci lze popsat takovou aritmetickou formulí, která je po dosazení jmen čísel za volné proměnné pravdivá právě tehdy, jeli formálně dokazatelná v libovolné bezesporné teorii, v níž jsou dokazatelné Peanovy axiomy. To je známo jako korespondenční lemma. Korespondenční lemma Ke každé rekurzívní relaci R existuje taková formule φ(x 1,...x k ), že pro každá přirozená čísla n 1,...n k, formule φ(n 1,...n k ) je pravdivá právě tehdy, když R(n 1,...n k ), a pro každou teorii Θ splňující předpoklady Gödelovy věty, formule φ(n 1,...n k ) je dokazatelná v teorii Φ právě tehdy, když R(n 1,...n k ). 12 O formuli splňující první podmínku budu říkat, že popisuje relaci R. O formuli splňující druhou budu říkat, že relaci R v teorii Θ vystihuje. Důkaz lemmatu se provádí indukcí podle délky odvození charakteristické funkce: postupujeme od jednoduchých rekurzívních funkcí ke složitějším a ukazujeme, jak sestrojit aritmetickou formuli, řekněme φ(y,x 1,...x n ), která říká, že hodnota dané funkce pro hodnoty argumentů x 1,...x n je y, a z níž dosazením jmen čísel za volné proměnné vznikne formule, která je v příslušné teorii dokazatelná právě tehdy, je-li pravdivá. 13 K důkazu Gödelovy věty tu potřebujeme dokázat určité obecné tvrzení o relacích mezi čísly. Kdybychom ale chtěli dokázat existenci nedokazatelné a pravdivé formule pro jednu konkrétní teorii (třeba pro Peanovu aritmetiku), stačilo by dokázat takové tvrzení o jediné relaci, jak se ukáže později. V tom případě bychom ani nemuseli mluvit o tom, že daná relace je rekurzívní, díky tomu, že bychom ji mohli přímo popsat. 14 To bude podstatné pro formalizaci důkazu pravdivosti Gödelovy formule pro konkrétní teorii. 11 Pro jednodušší vyjadřování budu dále předstírat, že vlastnosti jsou jednomístné relace. 12 To pro všechny formule splňující první podmínku neplatí: Gödel ukázal, že existuje pravdivá formule φ(n), která není z dané teorie dokazatelná, přestože číslo n má vlastnost popsanou formulí φ(x). 13 Gödel ve skutečnosti o pravdivosti nalezené formule vůbec nemluví mluví jen o její dokazatelnosti. Vědět, kdy je taková formule pravdivá, budeme potřebovat k tomu, abychom mohli v závěru důkazu tvrdit pravdivost formule, jež je v dané teorii nedokazatelná. Gödel ovšem v originálním důkazu netvrdí pravdivost této formule, ale to, že není (u teorií, které splňují maličko silnější požadavky než ty, které jsme vyslovili my) dokazatelná ani ona, ani její negace. 14 Požadavek rekurzívnosti relace nám zaručí, že k ní (ať už je to kterákoli) dokážeme najít příslušnou formuli. 22