Úvod do kvantového počítání

Transkript

1 2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005

2 Opakování Část I Přehled z minulé hodiny

3 Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače DNA počítače Hledání silnějšího výpočetního modelu než Turingův stroj poražení Silné Churchovi teze: Problém je řešitelný v polynomiálním čase, právě tehdy když je v polynomiálním čase řešitelný na TM. "Známé" modely: Kvantové počítače DNA počítače

4 Kvantové počítače Opakování Kvantové počítače DNA počítače Založeno na kvantové mechanice Aplikace Rychlejší algoritmy Generování náhodných čísel Kvantová distribuce klíčů Fyzická realizace NMR Cavity QED Ion trap

5 DNA počítače Opakování Kvantové počítače DNA počítače Založeno na "puzzle" párování nukleotidů T, C, G, A Aplikace experimenty s problémem obchodního cestujícího (NPC problém) Fyzická realizace Nukleotidová polévka s míchačem a dodávkami cukru

6 Stavový prostor Část II Dnešní přednáška

7 Co je to qubit? Stavový prostor Vektorové prostory Vnitřní součin Hilbertův prostor Kvantový bit - qubit Obecný tvar: φ = α 0 + β 1 Qubit žije v Hilbertově prostoru H 2. B = { 0, 1 } tvoří bázi prostoru. Evoluce kvantového systému je unitární. Měření způsobuje kolaps qubitu na jeden z bázových vektorů. α a β jsou komplexní amplitudy.

8 Stavový prostor Notační zápis podle Diraca Vektorové prostory Vnitřní součin Hilbertův prostor φ - sloupcový vektor (nazývaný ket), φ = (x 1, x 2,... ) T φ - řádkový vektor (nazývaný bra), φ = ( φ ) φ ψ - vnitřní součin φ ψ - tensorový součin φ - norma

9 Stavový prostor Vektorové prostory Vnitřní součin Hilbertův prostor Vektorový prostor V nad tělesem F Množinu V nazveme vektorovým prostorem nad tělesem F máme definované operace + : V V V (vektorové sčítání) a : F V V (skalární násobení) a platí: 1 (V, +) je komutativní grupa. 2 α φ = φ α 3 α(β φ ) = (αβ) φ 4 (α + β) φ = α φ + β φ 5 α( φ + ψ ) = α φ + α ψ

10 Vnitřní součin Stavový prostor Vektorové prostory Vnitřní součin Hilbertův prostor Necht je V komplexní vektorový prostor. Funkci : V V C nazveme vnitřní součin, právě tehdy když 1 φ φ R, φ φ 0, φ φ = 0 φ = 0 2 φ ψ = ψ φ 3 φ ( ψ + λ ) = φ ψ + φ λ 4 φ αψ = α φ ψ 5 αφ ψ = α φ ψ

11 Hilbertův prostor Stavový prostor Vektorové prostory Vnitřní součin Hilbertův prostor Hilberův prostor je úplný komplexní vektorový prostor H s vnitřním součinem a definovanou normou φ = φ φ Normalizovaný (jednotkový) vektor φ φ = 1 Ortonormální systém B = { b 1, b 2,... } tvoří bázi prostoru H, právě tehdy když pro všechny vektory φ můžeme psát φ = λ i b i i Ortonormální bázové vektory - normalizované bázové vektory

12 Stavový prostor Vlastnosti Hilbertova prostoru Vektorové prostory Vnitřní součin Hilbertův prostor Hilbertův prostor je H je isomorfní k tělesu C n. Zápis ket a bra vektorů umožňuje vnitřní součin vyjádřit jako běžné násobení matic. Pokud H 1 a H 2 jsou Hilbertovy prostory, pak tensorový součin H = H 1 H 2 = c ij i, j : c ij C j B 2 i B 1 je také Hilbertův prostor s bází B = B 1 B 2. dim H = dim H 1 dim H 2

13 Příklady bází Stavový prostor Vektorové prostory Vnitřní součin Hilbertův prostor Standardní báze: Duální báze: 0 = ( 1 0 ) ( ) 0, 1 = 1 ( ) α β φ = α 0 + β 1 = 0 = ( 1 1 ) (, 1 1 = 1 0 = 1 2 ( ) 1 = 1 2 ( 0 1 ) )

14 Stavový prostor Necht je V vektorový prostor. Funkci (operátor) A : V V nazveme lineární právě tehdy když platí A (λ φ + µ ψ ) = λa φ + µa ψ Operátor A zapisujeme jako čtvercovou matici n n. a 0,0... a 0,n 1 A =.. a n 1,0... a n 1,n 1

15 Stavový prostor Operátor A můžeme také napsat jako A = i,j a ij i j i, j odpovídají standardním bázovým vektorům. Pro matici 2 2 dostaneme: ( ) a0,0 a 0,1 = a a 1,0 a 0, a 0, a 1, a 1, ,1 Pro prvky matice a ij můžeme psát a ij = i A j

16 Stavový prostor Důležité druhy operátorů Sdružený operátor Operátor A = ( A T ) = i,j a ji i j nazveme sdruženým operátorem k operátoru A. Operátor samo sdružený (self-adjoint, Hermitián) A = A vlastní čísla Hermitiánu jsou vždy reálná unitární A A = AA = I A 1 = A unitární operátor zachovává vnitřní součin; Aφ Aψ = φ ψ

17 Stavový prostor kvantové mechaniky Kvantový stav Evoluce Měření 1. Kvantový stav Libovolnému fyzickému systému S může být přiřazen komplexní Hilbertův prostor H, kterému říkáme stavový prostor systému S. Stav systému S je úplně popsán vektorem φ H s normou φ = 1, kterému říkáme stavový vektor systému S. Nejjednoduší netriviální kvantově mechanický systém je kvantový bit - qubit z prostoru H 2. Stav φ může být zapsán jako lineární kombinace (superpozice) dvou bázových vektorů označaných 0, 1. φ = α 0 + β 1 kde α, β C a α 2 + β 2 = 1

18 Stavový prostor kvantové mechaniky Kvantový stav Evoluce Měření 2. Evoluce Dočasný vývoj uzavřeného kvantového systému je popsán Schrödingerovou rovnicí i φ = H φ t kde je Planckova konstanta a H je Hamiltonián popisující dynamiku v prostoru H. Protože unitární operátor U lze vyjádřit jako U = e ih, můžeme druhý postulát přeformulovat do tvaru: φ t2 = U φ t1, pro čas t 1 t 2

19 Příklad evoluce Stavový prostor Kvantový stav Evoluce Měření Hadamardova rotace Jeden z nejdůležitějších jedno-qubitových operátorů je Hadamardova rotace. H = 1 ( ) ! Odpovídá diskrétní Fourierově transformaci v Z 2.!

20 Hadamardova rotace Stavový prostor Kvantový stav Evoluce Měření Příklady: 1 H 0 = 1 2 ( ) 2 H 1 = 1 2 ( 0 1 ) 3 Obecně: H n x = 1 2 n y {0,1} n ( 1) x.y y kde x.y = n i=1 x iy i.

21 Stavový prostor kvantové mechaniky Kvantový stav Evoluce Měření 3. Měření Měření je popsáno self-adjoint operátorem A (observable) se spektrální dekompozicí A = k a i P i = i=0 k a i p i p i, i=0 kde a i jsou unikátní vlastní hodnoty (eigenvalues) a P i projekce do podprostoru určeného vlastními vektory (eigenvectors) p i. Vlastní hodnoty odpovídají možným výsledkům získaných pomocí měření.

22 Výsledky měření Stavový prostor Kvantový stav Evoluce Měření Měřením stavu φ získáme výsledek a i s pravděpodobností Pr(a i ) = P i φ 2 = φ P i φ. Destruktivní důsledek měření Stav φ po měření kolabuje na stav φ = P i φ φ Pi φ. pokud není φ shodný s vlastním vektorem, který určuje projekční prostor, je původní superpozice stavu φ nenávratně zničena.

23 Stavový prostor Kvantový stav Evoluce Měření Průměrná hodnota vlastních čísel Při měření operátorem A se můžeme ptát, jaká bude průměrná naměřená hodnota. Víme, že Pr(a i ) = P i φ 2 = φ P i φ, Potom A = k a i P i. i=0 EA = k Pr(a i )a i = i=0 k φ a i P i φ = φ A φ. i=0

24 Stavový prostor Kvantový stav Evoluce Měření Výpočet vlastních vektorů a čísel Vlastní čísla a vektory splňují rovnici A v = a v Úpravy: A v = a.i. v (A a.i) v = 0 pro det (A a.i) 0 v = 0 pro det (A a.i) = 0 v 0

25 Stavový prostor Kvantový stav Evoluce Měření Výpočet vlastních vektorů a čísel Pro operátor A = ( ) vypočteme vlastní čísla: 0 a a = a2 1 = 0 a 1,2 = ±1 Výpočet vlastního vektoru pro a 1 = 1 : ( ) ( ) ( ) ( 1 1 v1 0 1 = v = v 2 p 1 = 1 v 2 v 2 Výpočet vlastního vektoru pro a 2 = 1 : ( ) ( ) ( ) ( 1 1 v1 0 1 = v = v 2 p 2 = 1 ) )

26 Duální báze Stavový prostor Kvantový stav Evoluce Měření Po normalizaci dostaneme p 1 = 1 ( ) a p 2 = 1 2 ( 1 1 ). Duální báze Výše uvedené vektory tvoří tzv. duální bázi označovanou { 0, 1 }. Platí 0 = 1 2 ( ) 1 = 1 2 ( 0 1 )