Úvod. zájem lidstva užu

Transkript

1 Křivky v proměnách věků

2 Úvod křivka je vícemv ceměně intuituvní pojem zájem lidstva užu od počátku první zkoumaná křivka přímka, později kružnice

3 Přímka zprvu chápána jako úsečka, která lze neomezeně prodlužovat ovat délka bez šířky ky využit ití provazce, měřm ěřidla

4 Kružnice inspirace sluncem a měsícemm jednoduché kreslení x 2 + y 2 = r 2 znázorn zornění cyklu, zvěrokruh Eukleidova definice: Kruh jest rovinný útvar, jež se nazývá obvodem, k nížn od jednoho bodu uvnitř útvaru všecky sobě rovny jsou. Středem kruhu se pak zove tento bod.

5 Křivky v antice 1 antika 14.stol. př. p. Kr. 476 po Kr. velký význam geometrie (Eukleidés, Pythagoras, Appolonius, Pappos, Thales, Hippokrates) odlišný pohled od dneška (jiné chápání objektů, problém m s pohybem a nekonečnem, nem, geometrické chápání veličin, in, např.. násobky) n pojetí pohybu nutnost znát t přesnou p polohu v každém m okamžiku (překon ekonáno no aža v 17. stol.)

6 Křivky v antice 2 Eukleidovy základy z (kolem r. 300 př. p. Kr.) lomené čáry používan vané v měřm ěřičství (úsečky) kružnice a její rektifikace tři i starověké úlohy: kvadratura kruhu, zdvojení krychle, trisekce úhlu

7 Křivky v antice 3 Hippiova kvadratrix: první křivka studovaná po kružnici a přímcep definice křivky: k Uvažme čtverec ABCD. Nechť se úsečka AB otáčí kolem bodu A a úsečka BC se posouvá ve směru polopřímky CD a nechť jsou oba tyto pohyby rovnoměrn rné,, ve stejný okamžik začínaj nají i končí.. Pak bod X, který je průse sečíkem pohybujících ch se úseček ek opíš íše e křivku, k kterou nazýváme Hippiova kvadratrix.

8 Křivky v antice 4 Hippiova kvadratrix: rovnice: y = x cotg(πx/2a) Hippiova kvadratrix tvoří pouze jednu část (větev této) t to) křivkyk dá se pomocí ní řešit trisekce úhlu

9 Křivky v antice 5 - Kuželose elosečky Elipsa Množina bodů,, které mají od dvou pevných bodů (ohnisek) stejný součet vzdálenost leností rovný 2a. 2 2 rovnice: ( x m) ( y n) + = 1 a b

10 Křivky v antice 6 - Kuželose elosečky Parabola Množina bodů,, které mají od pevného bodu (ohniska) a přímky p stejnou vzdálenost. lenost. 2 rovnice: ( x m) = 2 p( y n)

11 Křivky v antice 7-7 Kuželose elosečky Hyperbola Množina bodů,, které mají od dvou pevných bodů (ohnisek) stejný rozdíl l vzdálenost leností rovný 2a. 2 2 rovnice: ( x m) ( y n) = 1 a b

12 Křivky v antice 8 - Kuželose elosečky pravděpodobn podobné objevení díky úloze o zdvojení krychle Hippokrates (5. stol. př. p. Kr) problém m nalezení dvou středn edních geometrických proměnných: Nechť a je hrana krychle, najděte x a y tak, aby platilo: a : x = x : y = y : 2a Menaichmos (4. stol. př. p. Kr) řeší průse sečík k dvou parabol a průse sečík k paraboly s rovnosou hyperbolou

13 Křivky v antice 9 - Kuželose elosečky Apollónius (3.stol. př. p. Kr.) osmidílný spis O kuželose elosečkách ; ; vychází z libovolného kruhového kužele, řeší řezy na podobných a shodných kužel elích, sdruženými průměry, ry, středy křivosti jednotlivých křivek k množina všech v střed edů křivosti se nazývá evoluta

14 Dioklova kisoida Křivky v antice 10 Diokles současn asník k Apollónia Nechť k je kružnice nad průměrem rem o délce d OP. Veďme bodem P tečnu t ke kružnici k. Z bodu O veďme libovolnou polopřímku p protínaj nající kružnici k. Označme po řadě M, N průse sečíky polopřímky p s kružnic nicí k, resp. tečnou t. Kisoidou potom nazýváme množinu bodů X polopřímky p, jejichž vzdálenost od O je rovna MN

15 Křivky v antice 11 Dioklova kisoida rovnice: 2 y 3 x = 2 a x ( 0 x 2a) konstruvána na jako řešení problému dvou středn edních geometrických úměrných

16 Křivky v antice 12 Nikomedova konchoida: Nikomedes (2. stol. př. p. Kr.) dvě středn ední geometrické úměrné definice: Nechť p, q jsou dvě navzájem kolmé přímky a bod P nálen leží přímce p.veďme bodem P přímku p k. Od průse sečíku přímky p k s přímkou p q nanesme vzdálenost b na přímku p q. Takto vzniklé body budou body Nikomedovy konchoidy.

17 Křivky v antice 13 Nikomedova konchoida: prodloužen ená,, zkrácen cená rovnice: ( x a ) ( x + y ) b x = konchoida obecně: : místo m přímky q se použije libovolná křivka 0

18 Křivky v antice 14 Archimédova spirála: Archimédes za Syrakus (3. stol. př. p. Kr.) O spirálách ch 28 vět, v ukazuje například i výpočet plochy vyznačen ené spirálou definice: Křivka opisovaná bodem rovnoměrn rně pohybujícím m se po přímce, p zatímco se tato přímka otáčí v rovině okolo jednoho bodu.

19 Křivky v antice 15 Archimédova spirála: rovnice: r = a t r - délka průvodi vodiče, t - příslušný úhel využit ití spirál l na iónských i sloupech - křivka nahrazena částmi kruhových oblouků

20 Středov edověk stol. po Kr. v Evropě úpadek zájmu z o geometrii (oživen ivení v renesanci) v Indii, Číně a Arábii se žádné nové poznatky neobjevují (v Arabských přepisech p se zachovává spousta významných děl), d křivky k používn vné ke konkrétn tním m příkladp kladům m (řešeí( rovnic) gotická architektura (klentby, kružby, )

21 Renesance 1 v malířstv ství se objevuje lineárn rní perspektiva (z pokusů o intuitivní zachycovní křivek se začíná pomalu rozvíjet nutnost o křivkk ivkách něco n vědět) v první významnější práce: Albrecht Dürer D ( Příspěvek k měřm ěření s kružítkem a pravítkem v přímkách, rovinách a tělesecht lesech ), Daniel Barbaro ( Praktická perspektiva ) znovuobjevování křivek (řez( kužele)

22 Renesance 2 - Projektivní geometrie Girard Desargues - zakladatel projektivní geometrie, poprvé použil pro popsání bodu pravoúhl hlé souřadnice, doplnění roviny o nevlastní přímku (jiné chápání paraboly a hyperboly) Balise Pascal - Esej o kuželose elosečkách, nejdůle ležitější tzv. Pascalova věta. v

23 Renesance 3 - Projektivní geometrie Pascalova věta: v Průsečíky prodloužených stran šestiúhelníka kuželose elosečce vepsaného leží na jedné přímce. mce. pět t bodů pěvně určuje uje kuželose elosečku! (další body sestrojíme pomocí Pascalovy věty) v

24 Renesance 4 - René Descartes francouzský filosof největší objevy v teorii křivek k od dob antiky La GéomG ométrie (dodatek k fil. dílu d Rozprava o metodě ) - považov ována za počátek analytické geometrie kartézsk zské souřadnice

25 Renesance 5 - Descartova La Géom G ométrie Část první: : O úlohách, které je možno sestrojit pouhým užitím m kružnic a přímekp Pappův v problém: Nalezení geometrického místa m bodů majících ch určitý poměr r vzdálenost leností ke čtyřem daným přímkp mkám m (Pappos - pro čtyři i je to kuželose elosečka) Descartes to řeší i pro více v než 4 přímkyp

26 Renesance 6 - Descartova La Géom G ométrie Část druhá: : O charakteru křivekk zabývá se klasifikací křivek opět řešení Pappova problému (kompletní analýza) konstrukce tečny a normály křivkyk rozdělen lení křivek na algebraické a transcendentní

27 Renesance 6 - Descartovy křivky k Descartův v list: 3 3 rovnice: x + y = 3axy pouze v korespondenci Descartova (kubická) ) parabola: 3 rovnice: y = x její vlastnosti jsou zkoumané až později (Bernoulli)

28 Století křivek (latinské vydání La GéomG ométrie) (vydání Úvodu do mat. analýzy nekonečně malých) objevu je spoustu komentovaných překlad p a vydání La GéometrieG Fermat, Euler, De Witt, Bernoulli, Cassini, l Hospital, Hospital, určena rovnice přímky, p paraboly

29 Století křivek 2 vyšet etřování křivek určit itého typu (skupiny), v celém m rozsahu (v celém m def. oboru), nové metody (diferenciáln lní počet)

30 Století křivek 3 - Johann Bernoulli spolupracoval s l Hospitalem l - první spis diferenciáln lní geometrie bod vratu analytický traktát t o kuželose elosečkách - odvozuje jejich vlastnosti pomocí rovnic, algebry a elemetnárn rní geometrie

31 Století křivek 4 - Johann Bernoulli Cykloida: vzniká kotálen lením m kružnice po přímcep rovnice: x = at - h sin t y = a - h cos t

32 Století křivek 5 - Johann Bernoulli Semikubická parabola: narazil na ni při p i studiu kubických parabol 3 2 rovnice: y = ax Bernoulliho lemniskata: specielní případ pad Cassiniho oválu rovnice: ( x + y ) = a ( x 2 y 2 )

33 Století křivek 6 - G.D.Cassini Giovanni Domenic Cassini - francouzský astronom (objev 4 měsícům Saturna) Cassiniho ovál: domníval se, že e je to tvar oběž ěžné dráhy Země definice: Nechť F a G jsou dva pevně dané body (ohniska) v rovině.. Množina bodů X, pro které platí, že e součin vzdálenost leností FX a GX je konstatní a je a 2, se nazývá Cassiniho ovál

34 Století křivek 7 - G.D.Cassini rovnice (umíst stíme body F, G souměrn rně ve vzdálenosti b od počátku) : ( x y ) + 2b ( y x ) + b a a=b: lemniskata a>b: : souvislá křivka a<b: : dvě disjunktní větve 4 = 0

35 Století křivek 8 - Isaac Newton rozší šíření poznatků o kuželose elosečkách na křivky k třetího stupně Výčet křivek k třett etího řádu : : sedm částí 1. Řády křivekk ivek: řídí se stupněm m rovnice křivky!, k křivky nekonečného řádu (cykloida, kvadratrix, ) 2. Vlastnosti kuželose eloseček : analogie kuželose eloseček ek s kubikami, definuje uzel, bod vratu a izolovaný bod

36 Století křivek 9 - Isaac Newton 3. Redukce všech v křivek k : Ukázal, že e pomocí transformací můžeme všechny v kubiky zapsat jedním m ze čtyř typů rovnic 4. Výčet křivekk ivek : : nové rozdělen lení kubických křivek, k nákresy, možnosti izolovaných bodů, zavedení pojmů jako redudantní,, defektní, parabolická hyperbola, trojzubec, divergentní parabola, kubická parabola (celkem 72 křivek) k

37 Století křivek 10 - Isaac Newton kubická parabola: trojzubec: divergentní parabola:

38 Století křivek 11 - Isaac Newton 5. Generování křivek stíny ny : rozvíjen jení myšlenek projektivní geometrie 6. O O metodickém m opisování křivek : křivky tvořen ené pomocí pohybu, projektivní vytvářen ení kuželose elosečekek 7. Konstrukce rovnic popisováním m křivekk ivek : využit ití křivek třett etího stupně s sestrojení kořen enů rovnic

39 Století křivek 12 Maupertius a Bragelone zkoumají křivky 4. stupně,, vícenv cenásobné body, inflexní body Jean Paul de Gua de Malves zkoumal algebraické křivky (přev evážně užíval metod analytické geometrie) Colin Maclaurin dokázal spoustu Newtonových konstrukcí,, zkoumal generování křivek, projektivní geometrie,

40 Století křivek 13 James Stirling: doplnil další důkazy k Newtonovi, analogie mezi křivkami k druhého ho a třett etího stupně, n( Věta: Křivka K n-tého n stupně je určena n + 3) body. 2 Alexis Clairaut: důkazy d k Newtonovi, hodně se zabýval diferenciáln lní geometrií (Pojednání o křivkých s dvojí křivostí), vyjadřov ování křivek soustavami rovnic, rovnice kužele

41 Křivky a funkce zpočátku používal pojem fce je v souvislosti k křivkou a řešení úloh (sestrojení tečny, normály..) - Leibnitz rozvoj matematické analýzy (Lagrange, Euler) - funkce se začíná vnímat jako předpisp

42 Diferenciáln lní geometrie 1 - Leonhard Euler funkce se stává ústředním m pojmem analýzy rozdělen lení fcí na spojité a nespojité ale v jiném významu než dnes hledání násobných bodů a tečen en v nich transcendentní křivky: epicykloida, hypocykloida, goniometrické křivky

43 Diferenciáln lní geometrie 2-2 Leonhard Euler Hypocykloida: Epicykloida:

44 Diferenciáln lní geometrie 3 Gaspard Monge: zabývá se dif. geometrií, prostorovými křivkami k a jejich evolutami, jednoduchými a dvojnými body Carl Friedrich Gauss: definuje plochy v euklidovských prostorech, křivost k plochy, nomálov lové řezy, geodetické křivky mimo jiné se dáléd rozvíjí projektivní geometrie (Poncelet, Brianchon)

45 Přelom 19. a 20. století zkoumání fraktáln lních křivekk n-rozměrné prostory