MYCIN, Prospector. Pseudodefinice [Expertní systémy, Feigenbaum a kol. 1988] oblasti kvality rozhodování na úrovni experta.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MYCIN, Prospector. Pseudodefinice [Expertní systémy, Feigenbaum a kol. 1988] oblasti kvality rozhodování na úrovni experta."

Transkript

1 Expertní systémy MYCIN, Prospector Pseudodefinice [Expertní systémy, Feigenbaum a kol. 1988] Expertní systémy jsou počítačové programy, simulující rozhodovací činnosti experta při řešení složitých úloh a využívající vhodně zakódovaných, explicitně vyjádřených speciálních znalostí, převzatých od experta, s cílem dosáhnout ve zvolené problémové oblasti kvality rozhodování na úrovni experta.

2 Hlavní rysy expertních systémů Explicitně reprezentované znalosti, striktně oddělené od řídícího mechanizmu nakládání s nimi. Znalosti obsahují celou škálu od nejobecnějších až k úzce speciálním, od exaktních až po osobní heuristiky experta. Znalosti nemají statický charakter, nýbrž se vyvíjejí a rozrůstají. Báze znalosti reprezentuje soubor pravidel, obecnou znalost. Řešit konkrétní příklad znamená dosadit data o daném případu do obecně formulovaných znalostí z báze znalostí. Musí umět pracovat s nejistými znalostmi (od experta) i nejistotě o bázi dat (konkrétním případu). Měly by být schopny vysvětlit a zdůvodnit své doporučení (i otázky). Reprezentace znalostí: modularita (logiky, pravidel) se hodí pro snadnou údržbu, ale těžko se v ní vyhledávají všechny informace relevantní k jednomu pojmu. Z tohoto pohledu jsou lepší

3 Sémantika pravidel Definition (pravidlo E H s vahou W ) Znalost je reprezentována pomocí pravidel E H s vahou W, kde E a H reprezentují elementární tvrzení. Každé pravidlo má přiřazenou svou váhu W - míru, nakolik (jistá, tj. 100%-ní) znalost E podporuje či popírá platnost tvrzení H. Potřebujeme zodpovědět následující tři otázky. 1 Jak vyjádřit neurčitost elementárního tvrzení? 2 Jak se využívá pravidla, pokud není splnění předpokladu jisté? 3 Jak se určuje míra důvery závěru H v případě, že existuje více pravidel se stejným závěrem? Různé typy reprezentace nejistoty se v odpovědi na tyto otázky liší.

4 MYCIN, EMYCIN Přírůstek důvěry (measure of belief) je definován jako MB(H, E) = P(H E) P(H) 1 P(H) přírůstek nedůvěry (measure of disbelief) je definován jako MD(H, E) = P(H) P(H E) P(H) Pokud znalost E podporuje hypotézu H, tak se pravděpodobnost P(H) musí touto znalostí zvýšit, tj. P(H E) > P(H), tedy MB(H, E) > 0, pokud E snižuje důvěru v H, je P(H E) < P(H), a tedy MD(H, E) > 0. Pro každé pravidlo vyžadujeme, aby nebyly obě míry různé od nuly zároveň, tj. jednotlivé pravidlo buď podporuje důvěru v hypotézu či nedůvěru v ní, ale ne obojí zároveň.

5 Činitel jistoty (CF) Na základě MB a MD je definován činitel jistoty (certainty factor) CF (H, E) = MB(H, E) MD(H, E) který nabývá hodnotu od -1 do +1, je-li větší než 0 je roven MB, jinak je v absolutní hodnotě roven MD. V EMYCIN je činitel jistoty definován trochu jinak: CF = což umožní snažší skládání pravidel. MB MD 1 min(mb, MD)

6 Nejistý předpoklad pravidla Ani předpoklad pravidla E 1 nemusíme znát s jistotou. Zavádíme míru jistoty evidence E 1 po pozorování E : CF (E 1, E ). Pravidlo E 1 H pak kombinujeme s touto mírou jistoty následovně: MB(H, E ) = MB(H, E 1 ) max{0, CF (E 1, E )} MD(H, E ) = MD(H, E 1 ) max{0, CF (E 1, E )}

7 Skládání pravidel Skládání pravidel se stejnou hypotézou E 1 H, E 2 H je v MYCIN definováno následovně: MB(H, E 1 &E 2 ) = MB(H, E 1 ) + MB(H, E 2 ) MB(H, E 1 ) MB(H, E 2 ) MD(H, E 1 &E 2 ) = MD(H, E 1 ) + MD(H, E 2 ) MD(H, E 1 ) MD(H, E 2 ) a dopočítat CF V EMYCIN přímo: CF (H, E 1 &E 2 ) = f (CF ((H, E 1 ), CF (H, E 2 )) { x + y xy pro xy 0 kde f (x, y) = jinak x+y 1 min{abs(x),abs(y)}

8 Skládání hypotéz Pro konjunkci či disjunkci hypotéz H 1 &H 2 MB(H 1 &H 2, E) = min{mb(h 1, E), MB(H 2, E)} MD(H 1 &H 2, E) = max{md(h 1, E), MD(H 2, E)} MB(H 1 H 2, E) = max{mb(h 1, E), MB(H 2, E)} MD(H 1 H 2, E) = min{md(h 1, E), MD(H 2, E)} Příklad.

9 PROSPECTOR Pseudobayesovský model P(H E) = P(E H) P(H) P(E) P( H E) = P(E H) P( H) P(E) Odtud P(H E) P(E H) = P( H E) P(E H) P(H) P( H) O(H E) = L O(H) O() odds - naděje, pravděpodobnostní šance, O(H) apriorní, O(H E) aposteriorní L míra postačitelnosti

10 obdobně míra nutnosti L = P(E H) P(E H) L = P( E H) P( E H) Míra nutnosti nelze dopočítat z míry postačitelnosti. Expert zadává buď L a L, nebo pravděpodobnosti P(H E), P(H E). Skládání pravidel pak je triviální: O(H E 1, E 2, E 3, E 4 ) = L 1 L 2 L 3 L 4 O(H) Nejisté pozorování není tak triviální, protože dojde k přeurčení a je třeba aproximovat (my se tím zabývat nebudeme).

11 Hájek Abelovské grupy Pokud jsou k řešení úlohy k dispozici identické znalosti, pak je bez ohledu na použitý inferenční mechanismus a na použitou kombinační funkci, která je operací na uspořádané Abelově grupě výsledné uspořádání cílových hypotéz identické. Uspořádaná Abelovská grupa Komutativnost Asociativnost Existence neutrálního prvku Existence inverzního prvku Uspořádání Minimální a max. prvek + vlastnosti, jejich kombinace není def.

12 Success story: Pathfinder Pathfinder je medicínský diagnostický systém (lymph-node diseases). Měl čtyři verze: 1 pravidlový systém založený na logice, bez nejistoty. 2 zjednodušená Bayesovská síť ( naive bayes ) pro klasifikaci: jeden uzel pro klasifikovanou veličinu, z ní vede hrana do každé pozorovatelné veličiny, tj. předpokládáme, že pozorování jsou nezávislá. Častou příčinou nesprávné klasifikace bylo, že expert přiřadil pravděpodobnost nula nepravděpodobnému, ale možnému výsledku. 3 zas naive bayes, ale dali si pozor na jevy s nízkou pravděpodobností (úspěšnost 7.9 z 10) 4 modelovali i závislosti mezi pozorováními. (úspěšnost 8.9 z 10) - srovnatelná s dobrým expertem.

13 Pravděpodobnostní modely budou příští semestr nyní (na tabuli) naive bayes klasifikátor

14 Dempster Shapfer Dempster-Shafer teorie Mám-li čtyři možné hodnoty veličiny, pak mi pravděpodobnost neumožňuje reprezentovat znalost: na 50% to udělal A nebo B, ale nevím který z nich, na 50% to udělal C. Pokud bychom to reprezentovali pravděpodobností a dostali informaci, že to A neudělal, tak se zvýší pravděpodobnost viny C. V Dempster-Shapfer teorii vyloučíme A, tedy celých 50% přejde na B, a 50% zůstane na C. Definition (základní přiřazení) Mějme množinu možných hodnot X. Definujeme základní přiřazení m: P(X ) [0, 1], kde m( ) = 0 a A X m(a) = 1. Všiměte si, že m definujeme na potenci X, nikoli na X samotné.

15 Tímto základním přiřazením je jednoznačně určena míra domění (belief) a plauzibilita (připustitelnost), definované: Bel(A) = m(b) B A Pl(A) = m(b) B A = tj. součet přes všechny B mající s A neprázdný průnik. Bel sumarizuje, nakolik evidence ukazuje na A. Pl říká, jak bychom věřili A, kdyby vše neznámé ukazovalo na A. pravdivá hodnota je někde mezi.

16 Příklad Uvažujme univerzum U = {H, C, P} a základní přiřazení m({h}) = 0.3 m({h,c}) = 0.2 m({h,c,p}) = 0.5 Pak Bel({H}) = 0.3 Pl({H}) = 1.0 Bel({H,C}) = 0.5 Pl({H,C}) = 1.0 Bel({P}) = 0 Pl({P}) = 0.5 Bel({C}) = 0 Pl({C}) = 0.7

17 Dempstrovo kombinační pravidlo Pro dvě daná základní přiřazení m 1 a m 2 definujeme jejich kombinaci m 1 + m 2 (která je také základní přiřazení) následovně: (m 1 + m 2 )(A) = X,Y ;X Y =A m 1 (X ) m 2 (Y ) 1 X,Y ;X Y = m 1 (X ) m 2 (Y )

18 Příklad Pro univerzum U = {D, D } a m 1 ({D}) = 0.8; m 1 ({D }) = 0; m 1 ({D,D }) = 0.2; m 2 ({D}) = 0.9; m 2 ({D }) = 0; m 2 ({D,D }) = 0.1; vytvoříme tabulku: m 2 m {D} 0 {D } 0.1 {D,D } 0.8 {D} 0.72 {D} 0 {} 0.08 {D} 0 {D } 0 {} 0 {} 0 {D } 0.2 {D,D } 0.18 {D} 0 {} 0.02 {D,D } m 1 + m 2 ({D}) = = 0.98 m 1 + m 2 ({D }) = 0 m 1 + m 2 ({D, D }) = 0.02

19 Problém s normalizací Counter Intuitive Behavior of Dempster Rule V následujícím příkladu vede Dempstrovo pravidlo k neočekávanému výsledku. Řekněme, že dva doktoři vyšetřili stejného pacienta, který má buď meningitidu (M), concussion (C) nebo nádor na mozku (tumor) (T). Tedy U = {M,C,T}. Doktoři se liší v diagnoze: m 1 ({M}) = 0.99; m 1 ({T }) = 0.01; m 2 ({C }) = 0.99; m 2 ({T }) = 0.01; Shodnou se na malé pravděpodobnosti nádoru T, ale neshodnou se v pravděpodobné příčině. Kombinací nám vyjde, že... Jedna možnost, jak potlačit takovéto výsledky, je přiřadit i prázdné množině nenulovou míru, která bude určovat míru neshody mezi

Expertní systémy. Typy úloh: Klasifikační Diagnostické Plánovací Hybridní Prázdné. Feingenbaum a kol., 1988

Expertní systémy. Typy úloh: Klasifikační Diagnostické Plánovací Hybridní Prázdné. Feingenbaum a kol., 1988 Expertní systémy Počítačové programy, simulující rozhodovací činnost experta při řešení složitých úloh a využívající vhodně kvality rozhodování na úrovni experta. Typy úloh: Klasifikační Diagnostické Plánovací

Více

POČÍTAČOVÁ FORMALIZACE MENTÁLNÍCH MODELŮ METODAMI PRAVDĚPODOBNOSTNÍHO JAZYKOVÉHO MODELOVÁNÍ

POČÍTAČOVÁ FORMALIZACE MENTÁLNÍCH MODELŮ METODAMI PRAVDĚPODOBNOSTNÍHO JAZYKOVÉHO MODELOVÁNÍ POČÍTAČOVÁ FORMALIZACE MENTÁLNÍCH MODELŮ METODAMI PRAVDĚPODOBNOSTNÍHO JAZYKOVÉHO MODELOVÁNÍ ON MENTAL MODELS FORMALIZATION THROUGH THE METHODS OF PROBABILISTIC LINGUISTIC MODELLING Zdeňka Krišová, Miroslav

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Dnešní program odvozování v Bayesovských sítích exaktní metody (enumerace, eliminace proměnných) aproximační metody y( (vzorkovací techniky)

Dnešní program odvozování v Bayesovských sítích exaktní metody (enumerace, eliminace proměnných) aproximační metody y( (vzorkovací techniky) Umělá inteligence II Roman Barták, KTIML roman.bartak@mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Bayesovská síť zachycuje závislosti mezi náhodnými proměnnými Pro zopakování orientovaný acyklický graf

Více

MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ

MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ MATEMATICKÁ metodický list č. 1 Řešení úloh Cílem tohoto tematického celku je vysvětlení vybraných pojmů z oblasti řešení úloh. Tématický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. Řešení úloh ve stavovém

Více

MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ

MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ Metodický list č. 1 Název tématického celku: Řešení úloh Cílem tohoto tematického celku je vysvětlení vybraných pojmů z oblasti řešení úloh. Tématický celek je rozdělen do

Více

Spojení OntoUML a GLIKREM ve znalostním rozhodování

Spojení OntoUML a GLIKREM ve znalostním rozhodování 1 Formalizace biomedicínských znalostí Spojení OntoUML a GLIKREM ve znalostním rozhodování Ing. David Buchtela, Ph.D. 16. června 2014, Faustův dům, Praha Skupina mezioborových dovedností Fakulta informačních

Více

Téma 48 (dříve 47) Martin Staviař, staviarm@centrum.cz. 16. srpna 2006

Téma 48 (dříve 47) Martin Staviař, staviarm@centrum.cz. 16. srpna 2006 Téma 48 (dříve 47) Martin Staviař, staviarm@centrum.cz 16. srpna 2006 Rozpoznávání a vnímání. Statistický (příznakový) a strukturní přístup. Klasifikátory a jejich učení. Cíle umělé inteligence. Reprezentace

Více

Pravděpodobně skoro správné. PAC učení 1

Pravděpodobně skoro správné. PAC učení 1 Pravděpodobně skoro správné (PAC) učení PAC učení 1 Výpočetní teorie strojového učení Věta o ošklivém kačátku. Nechť E je klasifikovaná trénovací množina pro koncept K, který tvoří podmnožinu konečného

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Cíle lokalizace. Zjištění: 1. polohy a postavení robota (robot pose) 2. vzhledem k mapě 3. v daném prostředí

Cíle lokalizace. Zjištění: 1. polohy a postavení robota (robot pose) 2. vzhledem k mapě 3. v daném prostředí Cíle lokalizace Zjištění: 1. polohy a postavení robota (robot pose) 2. vzhledem k mapě 3. v daném prostředí 2 Jiný pohled Je to problém transformace souřadnic Mapa je globální souřadnicový systém nezávislý

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ. Mgr. Vladislav BEDNÁŘ 2014 7.1 7.3 12/14

ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ. Mgr. Vladislav BEDNÁŘ 2014 7.1 7.3 12/14 ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ Mgr. Vladislav BEDNÁŘ 2014 7.1 7.3 12/14 Co je vhodné vědět, než si vybereme programovací jazyk a začneme programovat roboty. 1 / 18 0:40 Umělá inteligence Umělá inteligence (UI) vlastně

Více

RELACE, OPERACE. Relace

RELACE, OPERACE. Relace RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Binární logika Osnova kurzu

Binární logika Osnova kurzu Osnova kurzu 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Vlastnosti regulátorů 7) Stabilita

Více

Modely vyhledávání informací 4 podle technologie. 1) Booleovský model. George Boole 1815 1864. Aplikace booleovské logiky

Modely vyhledávání informací 4 podle technologie. 1) Booleovský model. George Boole 1815 1864. Aplikace booleovské logiky Modely vyhledávání informací 4 podle technologie 1) Booleovský model 1) booleovský 2) vektorový 3) strukturní 4) pravděpodobnostní a další 1 dokumenty a dotazy jsou reprezentovány množinou indexových termů

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha. Hypotézy o populacích

Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha. Hypotézy o populacích Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha Hypotézy o populacích Příklad IQ test: Předpokládejme, že z nějakého důvodu ministerstvo školství věří, že studenti absolventi středních škol v Hradci Králové

Více

Rozhodovací procesy 11

Rozhodovací procesy 11 Rozhodovací procesy 11 Management rizik Příprava předmětu byla podpořena projektem OPPA č. CZ.2.17/3.1.00/33253 XI rozhodování 1 Management rizik Cíl přednášky 11: a přístup k řízení rizik : Ohrožení,

Více

Logika a logické programování

Logika a logické programování Logika a logické programování témata ke zkoušce Poslední aktualizace: 16. prosince 2009 Zkouška je písemná, skládá se obvykle ze sedmi otázek (může být více nebo méně, podle náročnosti otázek), z toho

Více

Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model

Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model Databázové systémy Tomáš Skopal - relační model * relační kalkuly Osnova přednášky relační kalkuly doménový n-ticový Relační kalkuly využití aparátu predikátové logiky 1. řádu pro dotazování rozšíření

Více

EXPERTNÍ SYSTÉMY V CHOVU VČEL A MOŽNOSTI JEJICH VYUŽITÍ V. Vostrovský Katedra informatiky, Vysoká škola zemědělská, 165 21 Praha 6 Suchdol, tel.

EXPERTNÍ SYSTÉMY V CHOVU VČEL A MOŽNOSTI JEJICH VYUŽITÍ V. Vostrovský Katedra informatiky, Vysoká škola zemědělská, 165 21 Praha 6 Suchdol, tel. EXPERTNÍ SYSTÉMY V CHOVU VČEL A MOŽNOSTI JEJICH VYUŽITÍ V. Vostrovský Katedra informatiky, Vysoká škola zemědělská, 165 21 Praha 6 Suchdol, tel. (02)3382274, fax. (02)393708 Anotace: Příspěvek popisuje

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

14 Porovnání přístupů

14 Porovnání přístupů 14 Porovnání přístupů Komplexní řešení jakékoliv úlohy, jakéhokoliv problému - ať již člověkem či technickým systémem (řešitelem) - má-li se jevit jako inteligentní, se musí nutně skládat ze dvou částí

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Afinní transformace Stručnější verze

Afinní transformace Stručnější verze [1] Afinní transformace Stručnější verze je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím body a vektory: afinní prostor využití například v počítačové grafice a)

Více

Permutační grupy Cykly a transpozice Aplikace. Permutace. Rostislav Horčík: Y01DMA 11. května 2010: Permutace 1/17

Permutační grupy Cykly a transpozice Aplikace. Permutace. Rostislav Horčík: Y01DMA 11. května 2010: Permutace 1/17 Permutace Rostislav Horčík: Y01DMA 11. května 2010: Permutace 1/17 Motivace Permutace jsou důležitou částí matematiky viz použití v pravděpodobnosti, algebře (např. determinanty) a mnoho dalších. Jsou

Více

Poznámka: Násobení je možné vyložit jako zkrácený zápis pro součet více sčítanců. Například:

Poznámka: Násobení je možné vyložit jako zkrácený zápis pro součet více sčítanců. Například: ARNP 1 2015 Př. 5 Základní operace s přirozenými čísly Přesná definice přirozeného čísla je složitá spokojíme se s tím, že o libovolném čísle dokážeme rozhodnout, zda je, či není přirozeným číslem (5,

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Ranní úvahy o statistice

Ranní úvahy o statistice Ranní úvahy o statistice Neúplný návod ke čtení statistických výsledků Dušan Merta květen 2016 Co nás čeká 1 Základní pojmy 2 Testování hypotéz 3 Confidence interval 4 Odds ratio 2 / 26 Základní pojmy

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Úvod do teorie informace

Úvod do teorie informace PEF MZLU v Brně 24. září 2007 Úvod Výměna informací s okolím nám umožňuje udržovat vlastní existenci. Proces zpracování informací je trvalý, nepřetržitý, ale ovlivnitelný. Zabezpečení informací je spojeno

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Rychlokurz forenzní DNA statistiky Anastassiya Žídková

Rychlokurz forenzní DNA statistiky Anastassiya Žídková Rychlokurz forenzní DNA statistiky 21.10.2011 Anastassiya Žídková anastazie.d@gmail.com Úvod První část Program dnešního kurzu Základní zákony pravděpodobnosti Druhá část Bayesovavěta Zásady při interpretaci

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Ústav automatizace a informatiky. Expertní systémy. Jiří Dvořák

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Ústav automatizace a informatiky. Expertní systémy. Jiří Dvořák VYSOKÉ UČNÍ TCNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍO INŽNÝRSTVÍ Ústav automatizace a informatiky Jiří Dvořák 2004 Obsah ředmluva...... 5 1. Úvod do expertních systémů...... 6 1.1 Charakteristika expertních systémů......

Více

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška: Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

6 Reprezentace a zpracování neurčitosti

6 Reprezentace a zpracování neurčitosti 6 Reprezentace a zpracování neurčitosti Většina našich znalostí o reálném světě je zatížena ve větší či menší míře neurčitostí. Na druhou stranu, schopnost rozhodovat se i v situacích, kdy nejsou všechny

Více

Relační datový model. Integritní omezení. Normální formy Návrh IS. funkční závislosti multizávislosti inkluzní závislosti

Relační datový model. Integritní omezení. Normální formy Návrh IS. funkční závislosti multizávislosti inkluzní závislosti Relační datový model Integritní omezení funkční závislosti multizávislosti inkluzní závislosti Normální formy Návrh IS Funkční závislosti funkční závislost elementární redundantní redukovaná částečná pokrytí

Více

ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE

ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE Metodický list č. 1 Téma: Předmět logiky a metodologie, základy logiky a formalizace. Toto téma lze rozdělit do tří základních tématických oblastí: 1) Předmět logiky a metodologie

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina. Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment

Více

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost

Více

12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ

12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ 12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ 543 Ne v každé hře mají všichni hráči úplné informace o výplatních funkcích ostatních. Ve skutečnosti je většina situací s informací neúplnou. Například: V aukcích zpravidla

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Jak je důležité být fuzzy

Jak je důležité být fuzzy 100 vědců do SŠ 1. intenzivní škola Olomouc, 21. 22. 6. 2012 Jak je důležité být fuzzy Libor Běhounek Ústav informatiky AV ČR 1. Úvod Klasická logika Logika se zabývá pravdivostí výroků a jejím přenášením

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Matematické modelování dopravního proudu

Matematické modelování dopravního proudu Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení

Více

ZÁKLADNÍ TYPY ROZHODOVACÍH PROBLÉMŮ

ZÁKLADNÍ TYPY ROZHODOVACÍH PROBLÉMŮ ZÁKLADNÍ TYPY ROZHODOVACÍH PROBLÉMŮ ZPRACOVALA ING. RENATA SKÝPALOVÁ CZ.1.07/1.1.00/14.0143 OSNOVA HODINY Dobře a špatně strukturované problémy Rozhodovací procesy za jistoty, rizika a nejistoty Přehled

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Úloha ve stavovém prostoru SP je , kde s 0 je počáteční stav C je množina požadovaných cílových stavů

Úloha ve stavovém prostoru SP je <s 0, C>, kde s 0 je počáteční stav C je množina požadovaných cílových stavů Stavový prostor a jeho prohledávání SP = formalismus k obecnějšímu uchopení a vymezení problému, který spočívá v nalezení posloupnosti akcí vedoucích od počátečního stavu úlohy (zadání) k požadovanému

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Matematické symboly a značky

Matematické symboly a značky Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Statistika. Jindřich Soukup. University of South Bohemia in České Budějovice Faculty of Fisheries and Protection of Waters, School of complex systems

Statistika. Jindřich Soukup. University of South Bohemia in České Budějovice Faculty of Fisheries and Protection of Waters, School of complex systems Statistika Jindřich Soukup 2013-07-24 University of South Bohemia in České Budějovice Faculty of Fisheries and Protection of Waters, School of complex systems Statistika umí: Předpovídat budoucnost? "...

Více

Měření výsledků výuky a vzdělávací standardy

Měření výsledků výuky a vzdělávací standardy Měření výsledků výuky a vzdělávací standardy Erika Mechlová Ostravská univerzita v Ostravě Obsah Úvod 1. Měření výsledků výuky 2. Taxonomie učebních úloh 3. Standardy vzdělávání Závěry Úvod Měření výsledků

Více

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND. Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami,

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 Pravděpodobnostní plánování zbynek.winkler at mff.cuni.cz, md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor05/cs 12. prosince 2005 1 Co už umíme a co ne? Jak řešit složitější případy? Definice konfiguračního

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ. #2 Nejistoty měření

VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ. #2 Nejistoty měření VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ # Nejistoty měření Přesnost měření Klasický způsob vyjádření přesnosti měření chyba měření: Absolutní chyba X = X M X(S) Relativní chyba δ X = X(M) X(S) - X(M) je naměřená hodnota

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Bayesovské rozhodování - kritétium minimální střední ztráty

Bayesovské rozhodování - kritétium minimální střední ztráty Bayesovské rozhodování - kritétium imální střední ztráty Lukáš Slánský, Ivana Čapková 6. června 2001 1 Formulace úlohy JE DÁNO: X množina možných pozorování (příznaků) x K množina hodnot skrytého parametru

Více

Diskriminační analýza hodnocení rozdílů mezi 2 nebo více skupinami objektů charakterizovanými více znaky

Diskriminační analýza hodnocení rozdílů mezi 2 nebo více skupinami objektů charakterizovanými více znaky Diskriminační analýza hodnocení rozdílů mezi 2 nebo více skupinami objektů charakterizovanými více znaky Interpretují rozdíly mezi předem stanovenými třídami Cílem je klasifikace objektů do skupin Hledáme

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

12. Virtuální sítě (VLAN) VLAN. Počítačové sítě I. 1 (7) KST/IPS1. Studijní cíl. Základní seznámení se sítěmi VLAN. Doba nutná k nastudování

12. Virtuální sítě (VLAN) VLAN. Počítačové sítě I. 1 (7) KST/IPS1. Studijní cíl. Základní seznámení se sítěmi VLAN. Doba nutná k nastudování 12. Virtuální sítě (VLAN) Studijní cíl Základní seznámení se sítěmi VLAN. Doba nutná k nastudování 1 hodina VLAN Virtuální síť bývá definována jako logický segment LAN, který spojuje koncové uzly, které

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

LDA, logistická regrese

LDA, logistická regrese Vytěžování Dat Přednáška 9 Lineární klasifikátor, rozšíření báze, LDA, logistická regrese Miroslav Čepek Fakulta Elektrotechnická, ČVUT Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

UČENÍ BEZ UČITELE. Václav Hlaváč

UČENÍ BEZ UČITELE. Václav Hlaváč UČENÍ BEZ UČITELE Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz, http://cmp.felk.cvut.cz/~hlavac 1/22 OBSAH PŘEDNÁŠKY ÚVOD Učení

Více

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. 3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY Statistická hypotéza je určitá domněnka (předpoklad) o vlastnostech ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Test statistické hypotézy je pravidlo (kritérium), které na základě

Více

Algoritmy komprese dat

Algoritmy komprese dat Algoritmy komprese dat Úvod do teorie informace Claude Shannon (1916 2001) 5.11.2014 NSWI072-7 Teorie informace Informace Co je to informace? Můžeme informaci měřit? Existují teoretické meze pro délku

Více

Jak kriticky myslet? Kamil Gregor @kamilgregor

Jak kriticky myslet? Kamil Gregor @kamilgregor Jak kriticky myslet? Kamil Gregor @kamilgregor Inspirace Petr Ludwig Zlin.barcamp.cz Dva díly Jak se to nemá dělat (tinyurl.com/gregor-plzen) Jak se to má dělat 2 min Jak na to? Tvrzení Základem je správná

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

2. přednáška z předmětu GIS1 Data a datové modely

2. přednáška z předmětu GIS1 Data a datové modely 2. přednáška z předmětu GIS1 Data a datové modely Vyučující: Ing. Jan Pacina, Ph.D. e-mail: jan.pacina@ujep.cz Pro přednášku byly použity texty a obrázky z www.gis.zcu.cz Předmět KMA/UGI, autor Ing. K.

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Tvar dat a nástroj přeskupování

Tvar dat a nástroj přeskupování StatSoft Tvar dat a nástroj přeskupování Chtěli jste někdy použít data v jistém tvaru a STATISTICA Vám to nedovolila? Jistě se najde někdo, kdo se v této situaci již ocitl. Není ale potřeba propadat panice,

Více

MNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče.

MNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče. MNOŽINY Naivní definice (pojetí): Množina [set] je přesně definovaný soubor prvků, které mají nějakou vlastnost. O čemkoliv je třeba umět jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří či nikoliv. Vztah

Více

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá.

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. Výroková logika I Výroková logika se zabývá výroky. (Kdo by to byl řekl. :-)) Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. U výroku

Více

Architektury počítačů a procesorů

Architektury počítačů a procesorů Kapitola 3 Architektury počítačů a procesorů 3.1 Von Neumannova (a harvardská) architektura Von Neumann 1. počítač se skládá z funkčních jednotek - paměť, řadič, aritmetická jednotka, vstupní a výstupní

Více

Informační a znalostní systémy

Informační a znalostní systémy Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více