Ústav teorie informace a automatizace. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
|
|
|
- Radek Dušek
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Úvod do bayesovských sítí Jiří Vomlel Ústav teorie informace a automatizace Akademie věd České republiky října 2008 J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
2 Podmíněná pravděpodobnost Velkými písmeny budeme označovat veličiny, např. Horečka. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
3 Podmíněná pravděpodobnost Velkými písmeny budeme označovat veličiny, např. Horečka. Malými písmeny stavy veličin, např. ano, ne. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
4 Podmíněná pravděpodobnost Velkými písmeny budeme označovat veličiny, např. Horečka. Malými písmeny stavy veličin, např. ano, ne. Budeme se zabývat pravděpodobnostmi různých jevů, např. jevu Horečka=ano, kterou označíme P(Horečka=ano), nebo jevu Horečka=ano a Angína=ano, označíme P(Horečka=ano, Angína=ano) J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
5 Podmíněná pravděpodobnost Velkými písmeny budeme označovat veličiny, např. Horečka. Malými písmeny stavy veličin, např. ano, ne. Budeme se zabývat pravděpodobnostmi různých jevů, např. jevu Horečka=ano, kterou označíme P(Horečka=ano), nebo jevu Horečka=ano a Angína=ano, označíme P(Horečka=ano, Angína=ano) Podmíněná pravděpodobnost jevu Horečka=ano při pozorovaném jevu Angína=ano, kterou označíme P(Horečka=ano Angína=ano), je pravděpodobnost splňující vztah P(Horečka=ano Angína=ano) P(Angína=ano) = P(Horečka=ano, Angína=ano). J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
6 Podmíněná pravděpodobnost Velkými písmeny budeme označovat veličiny, např. Horečka. Malými písmeny stavy veličin, např. ano, ne. Budeme se zabývat pravděpodobnostmi různých jevů, např. jevu Horečka=ano, kterou označíme P(Horečka=ano), nebo jevu Horečka=ano a Angína=ano, označíme P(Horečka=ano, Angína=ano) Podmíněná pravděpodobnost jevu Horečka=ano při pozorovaném jevu Angína=ano, kterou označíme P(Horečka=ano Angína=ano), je pravděpodobnost splňující vztah P(Horečka=ano Angína=ano) P(Angína=ano) = P(Horečka=ano, Angína=ano). Jestliže P(Angína=ano) je nenulová, pak P(Horečka=ano Angína=ano) = P(Horečka=ano, Angína=ano) P(Angína=ano). J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
7 Podmíněná pravděpodobnost - příklad Pozorováním jsme získali následující pravděpodobnosti jevů: P(Horečka=ano, Angína=ano) = P(Horečka=ne, Angína=ano) = P(Horečka=ano, Angína=ne) = 0.08 P(Horečka=ne, Angína=ne) = 0.90 J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
8 Podmíněná pravděpodobnost - příklad Pozorováním jsme získali následující pravděpodobnosti jevů: P(Horečka=ano, Angína=ano) = P(Horečka=ne, Angína=ano) = P(Horečka=ano, Angína=ne) = 0.08 P(Horečka=ne, Angína=ne) = 0.90 Můžeme spočítat např. P(Horečka=ano Angína=ano) = = = 3 4 J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
9 Podmíněná pravděpodobnost - příklad Pozorováním jsme získali následující pravděpodobnosti jevů: P(Horečka=ano, Angína=ano) = P(Horečka=ne, Angína=ano) = P(Horečka=ano, Angína=ne) = 0.08 P(Horečka=ne, Angína=ne) = 0.90 Můžeme spočítat např. P(Horečka=ano Angína=ano) = = = 3 4 nebo P(Angína=ano Horečka=ano) = = = 3 19 J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
10 Bayesův vzorec P(A = a B = b) = P(A = a, B = b) P(B = b) J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
11 Bayesův vzorec P(A = a B = b) = = P(A = a, B = b) P(B = b) P(B = b A = a) P(A = a) P(A = i, B = b) i J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
12 Bayesův vzorec P(A = a B = b) = = = P(A = a, B = b) P(B = b) P(B = b A = a) P(A = a) P(A = i, B = b) i P(B = b A = a) P(A = a) P(B = b A = i) P(A = i) i J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
13 Bayesův vzorec - příklad D... v noci pršelo, s hodnotami a = ano a n = ne. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
14 Bayesův vzorec - příklad D... v noci pršelo, s hodnotami a = ano a n = ne. M... tráva je mokrá, s hodnotami a = ano a n = ne. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
15 Bayesův vzorec - příklad D... v noci pršelo, s hodnotami a = ano a n = ne. M... tráva je mokrá, s hodnotami a = ano a n = ne. Jestliže v noci pršelo, pak je tráva mokrá s pravděpodobností P(M = a D = a) = 4 5. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
16 Bayesův vzorec - příklad D... v noci pršelo, s hodnotami a = ano a n = ne. M... tráva je mokrá, s hodnotami a = ano a n = ne. Jestliže v noci pršelo, pak je tráva mokrá s pravděpodobností P(M = a D = a) = 4 5. Jestliže v noci nepršelo, pak je tráva mokrá s pravděpodobností P(M = a D = n) = 2 5. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
17 Bayesův vzorec - příklad D... v noci pršelo, s hodnotami a = ano a n = ne. M... tráva je mokrá, s hodnotami a = ano a n = ne. Jestliže v noci pršelo, pak je tráva mokrá s pravděpodobností P(M = a D = a) = 4 5. Jestliže v noci nepršelo, pak je tráva mokrá s pravděpodobností P(M = a D = n) = 2 5. Pravděpodobnost, že v noci prší, je P(D = a) = 1 4. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
18 Bayesův vzorec - příklad D... v noci pršelo, s hodnotami a = ano a n = ne. M... tráva je mokrá, s hodnotami a = ano a n = ne. Jestliže v noci pršelo, pak je tráva mokrá s pravděpodobností P(M = a D = a) = 4 5. Jestliže v noci nepršelo, pak je tráva mokrá s pravděpodobností P(M = a D = n) = 2 5. Pravděpodobnost, že v noci prší, je P(D = a) = 1 4. Ráno vidíme, že tráva je mokrá. Jaká je pravděpodobnost, že v noci pršelo? J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
19 Bayesův vzorec - příklad D... v noci pršelo, s hodnotami a = ano a n = ne. M... tráva je mokrá, s hodnotami a = ano a n = ne. Jestliže v noci pršelo, pak je tráva mokrá s pravděpodobností P(M = a D = a) = 4 5. Jestliže v noci nepršelo, pak je tráva mokrá s pravděpodobností P(M = a D = n) = 2 5. Pravděpodobnost, že v noci prší, je P(D = a) = 1 4. Ráno vidíme, že tráva je mokrá. Jaká je pravděpodobnost, že v noci pršelo? P(D = a M = a) = P(M = a D = a) P(D = a) P(M = a D = a) P(D = a) + P(M = a D = n) P(D = n) = = = = 2 5 J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
20 Nezávislost dvou veličin Mějme dvě velmi podivné mince Dime and Penny. Dime má pravděpodobnost, že padne head 0.7, ale Penny pouze 0.2. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
21 Nezávislost dvou veličin Mějme dvě velmi podivné mince Dime and Penny. Dime má pravděpodobnost, že padne head 0.7, ale Penny pouze 0.2. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
22 Nezávislost dvou veličin Mějme dvě velmi podivné mince Dime and Penny. Dime má pravděpodobnost, že padne head 0.7, ale Penny pouze 0.2. Pravděpodobnost společného výskytu hodnot veličin je rovna součinu pravděpodobností jednotlivých pravděpodobností. P(Dime = head, Penny = head) = P(Dime = head) P(Penny = head) J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
23 Nezávislost dvou veličin Mějme dvě velmi podivné mince Dime and Penny. Dime má pravděpodobnost, že padne head 0.7, ale Penny pouze 0.2. Pravděpodobnost společného výskytu hodnot veličin je rovna součinu pravděpodobností jednotlivých pravděpodobností. P(Dime = head, Penny = head) = P(Dime = head) P(Penny = head) Též, zjistíme-li hodnotu jedné veličiny, nemá to vliv na hodnotu druhé veličiny. P(Dime = head Penny = head) = P(Dime = head) J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
24 Závislost dvou veličin Kolega náhodně vybere jednu z těch dvou podivných mincí a udělá s ní nejprve jeden a pak druhý hod. My nevíme, jakou minci si vybral. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
25 Závislost dvou veličin Kolega náhodně vybere jednu z těch dvou podivných mincí a udělá s ní nejprve jeden a pak druhý hod. My nevíme, jakou minci si vybral. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
26 Závislost dvou veličin Kolega náhodně vybere jednu z těch dvou podivných mincí a udělá s ní nejprve jeden a pak druhý hod. My nevíme, jakou minci si vybral. Výsledek prvního hodu má vliv na pravděpodobnost výsledku druhého hodu. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
27 Podmíněná nezávislost dvou veličin Nyní předpokládejme, že víme, kterou minci si kolega vybral. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
28 Podmíněná nezávislost dvou veličin Nyní předpokládejme, že víme, kterou minci si kolega vybral. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
29 Podmíněná nezávislost dvou veličin Nyní předpokládejme, že víme, kterou minci si kolega vybral. Jestliže víme, která mince byla použita, pak výsledek prvního hodu nemá vliv na pravděpodobnost výsledku druhého hodu. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
30 Podmíněná nezávislost Pravděpodobnost společného výskytu hodnot veličin při dané hodnotě třetí veličiny je rovna součinu pravděpodobností jednotlivých podmíněných pravděpodobností: P(First flip = head, Second flip = head Coin = dime) = P(First flip = head Coin = dime) P(Second flip = head Coin = dime) J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
31 Podmíněná nezávislost Pravděpodobnost společného výskytu hodnot veličin při dané hodnotě třetí veličiny je rovna součinu pravděpodobností jednotlivých podmíněných pravděpodobností: P(First flip = head, Second flip = head Coin = dime) = P(First flip = head Coin = dime) P(Second flip = head Coin = dime) Jestliže známe minci, pak výsledek prvního hodu nemá vliv na pravděpodobnost výsledku druhého hodu. P(Second flip = head Coin = dime, First flip = head) = P(Second flip = head Coin = dime) J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
32 Řetězcové pravidlo Z definice podmíněné pravděpodobnosti plyne, že můžeme psát: P(A, B, C, D) = P(A B, C, D) P(B, C, D) J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
33 Řetězcové pravidlo Z definice podmíněné pravděpodobnosti plyne, že můžeme psát: P(A, B, C, D) = P(A B, C, D) P(B, C, D) = P(A B, C, D) P(B C, D) P(C, D) J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
34 Řetězcové pravidlo Z definice podmíněné pravděpodobnosti plyne, že můžeme psát: P(A, B, C, D) = P(A B, C, D) P(B, C, D) = P(A B, C, D) P(B C, D) P(C, D) = P(A B, C, D) P(B C, D) P(C D) P(D) J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
35 Proč je Holmesův trávník mokrý? Holm Je Holmesův trávník mokrý? Rn Pršelo v noci? Máme 4 veličiny: Sprnk Byl Holmesův postřikovač zapnutý? Wat Je Watsonův trávník mokrý? J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
36 Proč je Holmesův trávník mokrý? Holm Je Holmesův trávník mokrý? Rn Pršelo v noci? Máme 4 veličiny: Sprnk Byl Holmesův postřikovač zapnutý? Wat Je Watsonův trávník mokrý? Holmesův trávník může být mokrý, bud protože pršelo, nebo protože měl zapnutý postřikovač. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
37 Proč je Holmesův trávník mokrý? Holm Je Holmesův trávník mokrý? Rn Pršelo v noci? Máme 4 veličiny: Sprnk Byl Holmesův postřikovač zapnutý? Wat Je Watsonův trávník mokrý? Holmesův trávník může být mokrý, bud protože pršelo, nebo protože měl zapnutý postřikovač. Watsonův trávník může být mokrý, protože pršelo. Holmesův postřikovač nemá vliv na Watsonův trávník. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
38 Proč je Holmesův trávník mokrý? Holm Je Holmesův trávník mokrý? Rn Pršelo v noci? Máme 4 veličiny: Sprnk Byl Holmesův postřikovač zapnutý? Wat Je Watsonův trávník mokrý? Holmesův trávník může být mokrý, bud protože pršelo, nebo protože měl zapnutý postřikovač. Watsonův trávník může být mokrý, protože pršelo. Holmesův postřikovač nemá vliv na Watsonův trávník. Déšt nesouvisí s tím, jestli má Holmes zapnutý postřikovač. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
39 Proč je Holmesův trávník mokrý? Holm Je Holmesův trávník mokrý? Rn Pršelo v noci? Máme 4 veličiny: Sprnk Byl Holmesův postřikovač zapnutý? Wat Je Watsonův trávník mokrý? Holmesův trávník může být mokrý, bud protože pršelo, nebo protože měl zapnutý postřikovač. Watsonův trávník může být mokrý, protože pršelo. Holmesův postřikovač nemá vliv na Watsonův trávník. Déšt nesouvisí s tím, jestli má Holmes zapnutý postřikovač. Řetězcové pravidlo a podmíněné nezávislosti dávají: J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
40 Proč je Holmesův trávník mokrý? Holm Je Holmesův trávník mokrý? Rn Pršelo v noci? Máme 4 veličiny: Sprnk Byl Holmesův postřikovač zapnutý? Wat Je Watsonův trávník mokrý? Holmesův trávník může být mokrý, bud protože pršelo, nebo protože měl zapnutý postřikovač. Watsonův trávník může být mokrý, protože pršelo. Holmesův postřikovač nemá vliv na Watsonův trávník. Déšt nesouvisí s tím, jestli má Holmes zapnutý postřikovač. Řetězcové pravidlo a podmíněné nezávislosti dávají: P(Holm, Wat, Rn, Sprnk) = P(Holm Wat, Rn, Sprnk) P(Wat Rn, Sprnk) P(Rn Sprnk) P(Sprnk) = P(Holm Rn, Sprnk) P(Wat Rn) P(Rn) P(Sprnk) J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
41 Proč je Holmesův trávník mokrý? P(Holm, Wat, Rn, Sprnk) = P(Holm Rn, Sprnk) P(Wat Rn) P(Rn) P(Sprnk) J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
42 Proč je Holmesův trávník mokrý? P(Holm, Wat, Rn, Sprnk) = P(Holm Rn, Sprnk) P(Wat Rn) P(Rn) P(Sprnk) J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
43 Definice bayesovské sítě acyklický orientovaný graf (DAG) G = (V, E) J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
44 Definice bayesovské sítě acyklický orientovaný graf (DAG) G = (V, E) každý uzel i V odpovídá jedné náhodné veličině X i s konečným počtem navzájem disjunktních hodnot X i J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
45 Definice bayesovské sítě acyklický orientovaný graf (DAG) G = (V, E) každý uzel i V odpovídá jedné náhodné veličině X i s konečným počtem navzájem disjunktních hodnot X i acyklický orientovaný graf (DAG) reprezentuje podmíněné nezávislostní vztahy mezi veličinami (X i ) i V J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
46 Definice bayesovské sítě acyklický orientovaný graf (DAG) G = (V, E) každý uzel i V odpovídá jedné náhodné veličině X i s konečným počtem navzájem disjunktních hodnot X i acyklický orientovaný graf (DAG) reprezentuje podmíněné nezávislostní vztahy mezi veličinami (X i ) i V pa(i) bude označovat množinu rodičů uzlu i v grafu G J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
47 Definice bayesovské sítě acyklický orientovaný graf (DAG) G = (V, E) každý uzel i V odpovídá jedné náhodné veličině X i s konečným počtem navzájem disjunktních hodnot X i acyklický orientovaný graf (DAG) reprezentuje podmíněné nezávislostní vztahy mezi veličinami (X i ) i V pa(i) bude označovat množinu rodičů uzlu i v grafu G ke každému uzlu i V odpovídá podmíněná pravděpodobnostní distribuce P(X i (X j ) j pa(i) ) J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
48 Podmíněné nezávislost dané grafem - d-separace Dva uzly i a j jsou d-separovány množinou uzlů Y, jestliže pro všechny cesty mezi i a j platí: cesta obsahuje uzel, ve kterém se hrany nesetkávají head-to-head a který náleží do Y nebo J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
49 Podmíněné nezávislost dané grafem - d-separace Dva uzly i a j jsou d-separovány množinou uzlů Y, jestliže pro všechny cesty mezi i a j platí: cesta obsahuje uzel, ve kterém se hrany nesetkávají head-to-head a který náleží do Y nebo cesta obsahuje uzel, ve kterém se hrany setkávají head-to-head a ani on, ani žádný jeho následník nenáleží do Y. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
50 Podmíněné nezávislost dané grafem - d-separace Dva uzly i a j jsou d-separovány množinou uzlů Y, jestliže pro všechny cesty mezi i a j platí: cesta obsahuje uzel, ve kterém se hrany nesetkávají head-to-head a který náleží do Y nebo cesta obsahuje uzel, ve kterém se hrany setkávají head-to-head a ani on, ani žádný jeho následník nenáleží do Y. Jestliže i a j jsou d-separovány množinou uzlů Y, pak veličiny X i a X j jsou nezávislé dáno (X k ) k Y. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
51 Podmíněné nezávislost dané grafem - d-separace Dva uzly i a j jsou d-separovány množinou uzlů Y, jestliže pro všechny cesty mezi i a j platí: cesta obsahuje uzel, ve kterém se hrany nesetkávají head-to-head a který náleží do Y nebo cesta obsahuje uzel, ve kterém se hrany setkávají head-to-head a ani on, ani žádný jeho následník nenáleží do Y. Jestliže i a j jsou d-separovány množinou uzlů Y, pak veličiny X i a X j jsou nezávislé dáno (X k ) k Y. A B C D E J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
52 Podmíněné nezávislost dané grafem - d-separace Dva uzly i a j jsou d-separovány množinou uzlů Y, jestliže pro všechny cesty mezi i a j platí: cesta obsahuje uzel, ve kterém se hrany nesetkávají head-to-head a který náleží do Y nebo cesta obsahuje uzel, ve kterém se hrany setkávají head-to-head a ani on, ani žádný jeho následník nenáleží do Y. Jestliže i a j jsou d-separovány množinou uzlů Y, pak veličiny X i a X j jsou nezávislé dáno (X k ) k Y. A B C D A D E J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
53 Podmíněné nezávislost dané grafem - d-separace Dva uzly i a j jsou d-separovány množinou uzlů Y, jestliže pro všechny cesty mezi i a j platí: cesta obsahuje uzel, ve kterém se hrany nesetkávají head-to-head a který náleží do Y nebo cesta obsahuje uzel, ve kterém se hrany setkávají head-to-head a ani on, ani žádný jeho následník nenáleží do Y. Jestliže i a j jsou d-separovány množinou uzlů Y, pak veličiny X i a X j jsou nezávislé dáno (X k ) k Y. A B C D A D B E J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
54 Podmíněné nezávislost dané grafem - d-separace Dva uzly i a j jsou d-separovány množinou uzlů Y, jestliže pro všechny cesty mezi i a j platí: cesta obsahuje uzel, ve kterém se hrany nesetkávají head-to-head a který náleží do Y nebo cesta obsahuje uzel, ve kterém se hrany setkávají head-to-head a ani on, ani žádný jeho následník nenáleží do Y. Jestliže i a j jsou d-separovány množinou uzlů Y, pak veličiny X i a X j jsou nezávislé dáno (X k ) k Y. A B C D A D B, E E J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
55 Podmíněné nezávislost dané grafem - d-separace Dva uzly i a j jsou d-separovány množinou uzlů Y, jestliže pro všechny cesty mezi i a j platí: cesta obsahuje uzel, ve kterém se hrany nesetkávají head-to-head a který náleží do Y nebo cesta obsahuje uzel, ve kterém se hrany setkávají head-to-head a ani on, ani žádný jeho následník nenáleží do Y. Jestliže i a j jsou d-separovány množinou uzlů Y, pak veličiny X i a X j jsou nezávislé dáno (X k ) k Y. A B C D C?D E E J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
56 Podmíněné nezávislost dané grafem - d-separace Dva uzly i a j jsou d-separovány množinou uzlů Y, jestliže pro všechny cesty mezi i a j platí: cesta obsahuje uzel, ve kterém se hrany nesetkávají head-to-head a který náleží do Y nebo cesta obsahuje uzel, ve kterém se hrany setkávají head-to-head a ani on, ani žádný jeho následník nenáleží do Y. Jestliže i a j jsou d-separovány množinou uzlů Y, pak veličiny X i a X j jsou nezávislé dáno (X k ) k Y. A B C D C D E E J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
57 Pravděpodobnostní distribuce bayesovské sítě Použijeme-li řetězcové pravidlo dostaneme: P((X i ) i V ) = i V P(X i X i 1,..., X 1 ) J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
58 Pravděpodobnostní distribuce bayesovské sítě Použijeme-li řetězcové pravidlo dostaneme: P((X i ) i V ) = i V P(X i X i 1,..., X 1 ) Použijeme-li podmíněné nezávislosti z grafu pak dostaneme P((X i ) i V ) = i V P(X i (X j ) j pa(i) ) J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
59 Pravděpodobnostní distribuce bayesovské sítě Použijeme-li řetězcové pravidlo dostaneme: P((X i ) i V ) = i V P(X i X i 1,..., X 1 ) Použijeme-li podmíněné nezávislosti z grafu pak dostaneme P((X i ) i V ) = i V P(X i (X j ) j pa(i) ) Toto je pravděpodobnostní distribuce representovaná bayesovskou sítí. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
60 Pravděpodobnostní distribuce bayesovské sítě Použijeme-li řetězcové pravidlo dostaneme: P((X i ) i V ) = i V P(X i X i 1,..., X 1 ) Použijeme-li podmíněné nezávislosti z grafu pak dostaneme P((X i ) i V ) = i V P(X i (X j ) j pa(i) ) Toto je pravděpodobnostní distribuce representovaná bayesovskou sítí. Pro tuto distribuci platí: splňuje podmíněné nezávislosti zakódované v grafu a J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
61 Pravděpodobnostní distribuce bayesovské sítě Použijeme-li řetězcové pravidlo dostaneme: P((X i ) i V ) = i V P(X i X i 1,..., X 1 ) Použijeme-li podmíněné nezávislosti z grafu pak dostaneme P((X i ) i V ) = i V P(X i (X j ) j pa(i) ) Toto je pravděpodobnostní distribuce representovaná bayesovskou sítí. Pro tuto distribuci platí: splňuje podmíněné nezávislosti zakódované v grafu a její podmíněné pravděpodobnostní distribuce odpovídají P(X i (X j ) j pa(i) ), i V. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
62 Byl Holmesův postřikovač zapnutý? J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
63 Byl Holmesův postřikovač zapnutý? J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
64 Byl Holmesův postřikovač zapnutý? J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
65 Zjednodušený diagnostický příklad - plicní klinika Vyšetřujeme pacienta. Možná diagnóza je: tuberkulóza, rakovina plic, nebo zánět průdušek. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
66 Zjednodušený diagnostický příklad - plicní klinika Vyšetřujeme pacienta. Možná diagnóza je: tuberkulóza, rakovina plic, nebo zánět průdušek. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
67 Zjednodušený diagnostický příklad - plicní klinika Zatím nevíme o pacientovi nic. Pacient je kuřák. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
68 Zjednodušený diagnostický příklad - plicní klinika Pacient je kuřák... a je dušný J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
69 Zjednodušený diagnostický příklad - plicní klinika Pacient je kuřák, je dušný... a navíc jeho RTG je positivní J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
70 Zjednodušený diagnostický příklad - plicní klinika Pacient je kuřák, je dušný, jeho RTG je positivní... a navíc byl v Asii J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
71 Výhoda reprezentace bayesovskou sítí Předpokládejme, že máme problém, který budeme modelovat pomocí n veličin a každá veličina může nabývat dvou hodnot. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
72 Výhoda reprezentace bayesovskou sítí Předpokládejme, že máme problém, který budeme modelovat pomocí n veličin a každá veličina může nabývat dvou hodnot. Použijeme-li representaci pomocí jedné tabulky potřebujeme pro uložení v paměti počítače distribuce 2 n 1 hodnot. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
73 Výhoda reprezentace bayesovskou sítí Předpokládejme, že máme problém, který budeme modelovat pomocí n veličin a každá veličina může nabývat dvou hodnot. Použijeme-li representaci pomocí jedné tabulky potřebujeme pro uložení v paměti počítače distribuce 2 n 1 hodnot. Předpokládejme, bayesovskou sít mající též n veličin nabývajících dvou hodnot s grafem následující struktury: X 1 X 2 X 3 X n J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
74 Výhoda reprezentace bayesovskou sítí Předpokládejme, že máme problém, který budeme modelovat pomocí n veličin a každá veličina může nabývat dvou hodnot. Použijeme-li representaci pomocí jedné tabulky potřebujeme pro uložení v paměti počítače distribuce 2 n 1 hodnot. Předpokládejme, bayesovskou sít mající též n veličin nabývajících dvou hodnot s grafem následující struktury: X 1 X 2 X 3 X n Pro její uložení v paměti počítače potřebujeme 1 + (n 1) 2 = 2n 1 hodnot. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
75 Výhoda reprezentace bayesovskou sítí n 2 n 1 2n J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
76 Typické použití bayesovských sítí pro modelování a vysvětlení chování, problémů v různých oblastech - např. model chování vody v krajině, J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
77 Typické použití bayesovských sítí pro modelování a vysvětlení chování, problémů v různých oblastech - např. model chování vody v krajině, pro přepočtení pravděpodobností hodnot určitých veličin když jsme pozorovali některé jiné veličiny, t.j. počítání podmíněných pravděpodobností, např. P(X 23 X 17 = yes, X 54 = no) - např. určení diagnózy při pozorovaných příznacích. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
78 Typické použití bayesovských sítí pro modelování a vysvětlení chování, problémů v různých oblastech - např. model chování vody v krajině, pro přepočtení pravděpodobností hodnot určitých veličin když jsme pozorovali některé jiné veličiny, t.j. počítání podmíněných pravděpodobností, např. P(X 23 X 17 = yes, X 54 = no) - např. určení diagnózy při pozorovaných příznacích. pro nalezení nejpravděpodobnějších konfigurací proměných - např. při automatickém rozpoznávání řeči, nebo při dekódování zakódovaných zpráv, J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
79 Typické použití bayesovských sítí pro modelování a vysvětlení chování, problémů v různých oblastech - např. model chování vody v krajině, pro přepočtení pravděpodobností hodnot určitých veličin když jsme pozorovali některé jiné veličiny, t.j. počítání podmíněných pravděpodobností, např. P(X 23 X 17 = yes, X 54 = no) - např. určení diagnózy při pozorovaných příznacích. pro nalezení nejpravděpodobnějších konfigurací proměných - např. při automatickém rozpoznávání řeči, nebo při dekódování zakódovaných zpráv, pro podporu rozhodování při nejisté informaci - použití teorie maximalizace očekávaného užitku, J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
80 Typické použití bayesovských sítí pro modelování a vysvětlení chování, problémů v různých oblastech - např. model chování vody v krajině, pro přepočtení pravděpodobností hodnot určitých veličin když jsme pozorovali některé jiné veličiny, t.j. počítání podmíněných pravděpodobností, např. P(X 23 X 17 = yes, X 54 = no) - např. určení diagnózy při pozorovaných příznacích. pro nalezení nejpravděpodobnějších konfigurací proměných - např. při automatickém rozpoznávání řeči, nebo při dekódování zakódovaných zpráv, pro podporu rozhodování při nejisté informaci - použití teorie maximalizace očekávaného užitku, pro nalezení dobrých strategií pro řešení problémů v oblastech z nejistotou - např. technická diagnostika laserových tiskáren, nebo návrh adaptivních testů. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
81 Výpočty ve stromech spojení (1) X (2) 1 X 2 X 1 X 2 X 3 X 4 X 3 X 4 X 5 X 6 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 7 X 8 X 9 (3) X 1 X 2 (4) X 1, X 3, X 5 X 3 X 4 X 3, X 5, X 7 X 2, X 4 X 5 X 6 X 3, X 6, X 7 X 6, X 7, X 8 X 3, X 4, X 6 X 6, X 9 X 7 X 8 X 9 J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
82 Z historie bayesovských sítí - 1 Bayesovské sítě patří mezi pravděpodobnostní grafické modely. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
83 Z historie bayesovských sítí - 1 Bayesovské sítě patří mezi pravděpodobnostní grafické modely. První použití modelů podobných grafickým modelům ve statistické mechanice (Gibbs, 1902), genetice (Wright, 1921), analýze kontingenčních tabulek (Barlett, 1935). J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
84 Z historie bayesovských sítí - 1 Bayesovské sítě patří mezi pravděpodobnostní grafické modely. První použití modelů podobných grafickým modelům ve statistické mechanice (Gibbs, 1902), genetice (Wright, 1921), analýze kontingenčních tabulek (Barlett, 1935). Skutečný rozvoj torie grafických modelů až v osmdesátých letech 20.století: Pearl (1982), Spiegelhalter a Kill-Jones (1984), Perez a Jiroušek (1985), Lauritzen a Spiegelhalter (1988) J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
85 Z historie bayesovských sítí - 2 Vychází základní monografie o grafických modelech a bayesovských sítích: Pearl (1988), Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems: Networks of Plausible Inference, Neapolitan (1990), Probabilistic reasoning in expert systems: theory and algorithms, Hájek, Havránek, Jiroušek (1991), Uncertain Information Processing in Expert Systems, Lauritzen (1996), Graphical models, Jensen (1996), An introduction to Bayesian networks. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
86 Z historie bayesovských sítí - 3 Objevují se aplikace bayesovských sítích v různých oblastech: Munin (1989) - Bayesian network for the median nerve Pathfinder (1990) - lymph-node pathology, Decision theoretic troubleshooting (1994) - technická diagnostika zařízení. J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
87 Z historie bayesovských sítí - 3 Objevují se aplikace bayesovských sítích v různých oblastech: Munin (1989) - Bayesian network for the median nerve Pathfinder (1990) - lymph-node pathology, Decision theoretic troubleshooting (1994) - technická diagnostika zařízení. Objevují se první verze software umožňující práci s bayesovskými sítěmi: Hugin (1989) Netica (1995) J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Úvod do bayesovských sítí 30/10/ / 28
Vysoká škola ekonomická Praha. Tato prezentace je k dispozici na:
Úvod do bayesovských sítí Jiří Vomlel Laboratoř inteligentních systémů Vysoká škola ekonomická Praha Tato prezentace je k dispozici na: http://www.utia.cas.cz/vomlel/ Obor hodnot Necht X je kartézský součin
http://www.utia.cas.cz/vomlel 6. prosince 2011 J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Aplikace bayesovských sítí 6. prosince 2011 1 / 3
Příklady aplikací bayesovských sítí Jiří Vomlel ÚTIA, Akademie věd ČR http://www.utia.cas.cz/vomlel 6. prosince 2011 J. Vomlel (ÚTIA AV ČR) Aplikace bayesovských sítí 6. prosince 2011 1 / 3 Jednoduchý
Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Bayesovské modely Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc.
Praha, 24. listopadu 2014
Příklady aplikací bayesovských sítí Jiří Vomlel Ústav teorie informace a automatizace (ÚTIA) Akademie věd České republiky http://www.utia.cz/vomlel Praha, 24. listopadu 2014 Obsah přednášky Příklad bayesovské
Usuzování za neurčitosti
Usuzování za neurčitosti 25.11.2014 8-1 Usuzování za neurčitosti Hypotetické usuzování a zpětná indukce Míry postačitelnosti a nezbytnosti Kombinace důkazů Šíření pravděpodobnosti v inferenčních sítích
Bayesian Networks. The graph represents conditional independencies of the join probability distribution Π X V P(X pa(x)).
Bayesian Networks Definition (Bayesian Network) Bayesian network is a pair (G, P), where G = (V, E) is a DAG (directed acyclic graph with set of vertexes V and set of edges E) and P is a list of conditional
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základní pojmy diagnostiky a statistických metod vyhodnocení Učební text Ivan Jaksch Liberec 2012 Materiál vznikl
Umělá inteligence II Roman Barták, KTIML roman.bartak@mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Pro zopakování Pravděpodobnost je formální mechanismus pro zachycení neurčitosti. Pravděpodobnost každé
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
Bayesovská klasifikace
Bayesovská klasifikace založeno na Bayesově větě P(H E) = P(E H) P(H) P(E) použití pro klasifikaci: hypotéza s maximální aposteriorní pravděpodobností H MAP = H J právě když P(H J E) = max i P(E H i) P(H
Bayesovské rozhodování - kritétium minimální střední ztráty
Bayesovské rozhodování - kritétium imální střední ztráty Lukáš Slánský, Ivana Čapková 6. června 2001 1 Formulace úlohy JE DÁNO: X množina možných pozorování (příznaků) x K množina hodnot skrytého parametru
Bayesovské sítě. Kamil Matoušek, Ph.D. Informační a znalostní systémy
Bayesovské sítě Kamil Matoušek, Ph.D. Informační a znalostní systémy Co jsou Bayesian Networks (BN) Pravděpodobnostní modely využívající grafovou reprezentaci Znalosti zatížené nejistotou (nepřesné, nejisté,
Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec
Pravděpodobnostn podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Prof.RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Motivace V medicíně má mnoho problémů pravěpodobnostní charakter prognóza diagnoza účinnost
Výpočet marginálních podmíněných pravděpodobností v bayesovské síti
Výpočet marginálních podmíněných pravděpodobností v bayesovské síti Úmluva: Zajímáme se pouze o bayesovské sítě, jejichž graf je spojitý. Jinak uvažujeme každou komponentu zvlášť. Notace Definition (Pojmy
Praha, 2. listopadu 2016
Příklady aplikací bayesovských sítí Jiří Vomlel Ústav teorie informace a automatizace (ÚTIA) Akademie věd České republiky http://www.utia.cz/vomlel Praha, 2. listopadu 2016 Obsah přednášky Aplikace 1:
Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Pravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
Teorie informace: řešené příklady 2014 Tomáš Kroupa
Teorie informace: řešené příklady 04 Tomáš Kroupa Kolik otázek je třeba v průměru položit, abychom se dozvěděli datum narození člověka (den v roce), pokud odpovědi jsou pouze ano/ne a tázaný odpovídá pravdivě?
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 207 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
Vytěžování znalostí z dat
Pavel Kordík, Jan Motl (ČVUT FIT) Vytěžování znalostí z dat BI-VZD, 2012, Přednáška 7 1/27 Vytěžování znalostí z dat Pavel Kordík, Jan Motl Department of Computer Systems Faculty of Information Technology
Agent pracující v částečně pozorovatelném prostředí udržuje na základě senzorického modelu odhaduje, jak se svět může vyvíjet.
Umělá inteligence II Roman Barták, KTIML roman.bartak@mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Dnešní program Agent pracující v částečně pozorovatelném prostředí udržuje na základě senzorického modelu
Intuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
Pravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)
III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,
vomlel@utia.cas.cz Laboratoř inteligentních systemů, Praha a technickou diagnostiku (angl. troubleshooting). Nejprve stručně shrneme teoretické
Dvě aplikace bayesovských sítí Jiří Vomlel vomlel@utia.cas.cz Laboratoř inteligentních systemů, Vysoká škola ekonomická, Praha Abstrakt V článku představujeme dvě moderní aplikace bayesovských sítí - adaptivní
Informační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
Pravděpodobnost, náhoda, kostky
Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností připomenutí, souvislosti
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
Teorie her a ekonomické rozhodování. 7. Hry s neúplnou informací
Teorie her a ekonomické rozhodování 7. Hry s neúplnou informací 7.1 Informace Dosud hráči měli úplnou informaci o hře, např. znali svou výplatní funkci, ale i výplatní funkce ostatních hráčů často to tak
Zpracování neurčitosti
Zpracování neurčitosti Úvod do znalostního inženýrství, ZS 2015/16 7-1 Usuzování za neurčitosti Neurčitost: Při vytváření ZS obvykle nejsou všechny informace naprosto korektní mohou být víceznačné, vágní,
cv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost
3 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv3tex n i=1 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Systém náhodných jevů nazýváme úplným, jestliže pro něj platí: B i = 1 a pro i k je B i B k = 0 Jestliže je (Ω, A, P
Přednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesůvvzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická
Přednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická
Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.
Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami,
Počet pravděpodobnosti
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 4 Počet pravděpodobnosti Je známo, že když muž použije jeden z okrajových pisoárů, sníží se pravděpodobnost, že bude pomočen o 50%. anonym Pravděpodobnost
Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bayesovské odhady Bayesovské odhady - úvod Klasický bayesovský přístup: Klasický přístup je založen na opakování pokusech sledujeme rekvenci nastoupení zvolených jevů Bayesovský
Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
, 1. skupina (16:15-17:45) Jméno: se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv
42206, skupina (6:5-7:45) Jméno: Zápočtový test z PSI Nezapomeňte podepsat VŠECHNY papíry, které odevzdáváte Škrtejte zřetelně a stejně zřetelně pište i věci, které platí Co je škrtnuto, nebude bráno v
Teorie rozhodování (decision theory)
Umělá inteligence II Roman Barták, KTIML roman.bartak@mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Teorie pravděpodobnosti (probability theory) popisuje v co má agent věřit na základě pozorování. Teorie
UČENÍ BEZ UČITELE. Václav Hlaváč
UČENÍ BEZ UČITELE Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz, http://cmp.felk.cvut.cz/~hlavac 1/22 OBSAH PŘEDNÁŠKY ÚVOD Učení
Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11
Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly:
Umělá inteligence II
Umělá inteligence II 11 http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Roman Barták, KTIML roman.bartak@mff.cuni.cz Dnešní program! V reálném prostředí převládá neurčitost.! Neurčitost umíme zpracovávat pravděpodobnostními
Pravděpodobnost, náhoda, kostky
Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké
5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,
Spolehlivost soustav
1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů
Neurčitost: Bayesovské sítě
Neurčitost: Bayesovské sítě 12. dubna 2018 1 Opakování: pravděpodobnost 2 Bayesovská síť 3 Sémantika sítě Zdroj: Roman Barták, přednáška přednáška Umělá inteligence II, Matematicko-fyzikální fakulta, Karlova
pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 206 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
Metody analýzy dat I. Míry a metriky - pokračování
Metody analýzy dat I Míry a metriky - pokračování Literatura Newman, M. (2010). Networks: an introduction. Oxford University Press. [168-193] Zaki, M. J., Meira Jr, W. (2014). Data Mining and Analysis:
pravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
III. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina
III Přednáška Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina Pravděpodobnost při existenci neslučitelných hypotéz Věta Mějme jev. Pokud H 1,H 2, : : :,H n tvoří úplnou skupinu
Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
Zjednodušení generativního systému redukcí rozlišení
Zjednodušení generativního systému redukcí rozlišení Ze studie zahrnující dotaz na vzdělání. Obor hodnot v i : e základní vzdělání h střední vzdělání c bakalář g magistr Možné redukce rozlišení cg vysoké
5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
Tomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití
2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student
Teorie užitku. Marta Vomlelová 14. prosince / 23
Teorie užitku Většinou měříme výplatu, hodnotu atd. penězi. MEU (maximalizace očekávaného zisku) je většinou rozumná věc k volbě. Ale občas je lidská intuice jiná a je na nás, jestli věříme víc intuici
TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
Bayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat
Mnohorozměrná analýza dat Podmíněná pravděpodobnost Definice: Uvažujme náhodné jevy A a B takové, že P(B) > 0. Podmíněnou pravěpodobností jevu A za podmínky, že nastal jev B, nazýváme podíl P(A B) P(A
Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
Kontingenční tabulky. (Analýza kategoriálních dat)
Kontingenční tabulky (Analýza kategoriálních dat) Agenda Standardní analýzy dat v kontingenčních tabulkách úvod, KT, míry diverzity nominálních veličin, některá rozdělení chí kvadrát testy, analýza reziduí,
MYCIN, Prospector. Pseudodefinice [Expertní systémy, Feigenbaum a kol. 1988] oblasti kvality rozhodování na úrovni experta.
![MYCIN, Prospector. Pseudodefinice [Expertní systémy, Feigenbaum a kol. 1988] oblasti kvality rozhodování na úrovni experta.](/thumbs/20/418705.jpg "MYCIN, Prospector. Pseudodefinice [Expertní systémy, Feigenbaum a kol. 1988] oblasti kvality rozhodování na úrovni experta.")
Expertní systémy MYCIN, Prospector Pseudodefinice [Expertní systémy, Feigenbaum a kol. 1988] Expertní systémy jsou počítačové programy, simulující rozhodovací činnosti experta při řešení složitých úloh
Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
Deset přednášek z teorie statistického a strukturního rozpoznávání
Monografie Deset přednášek teorie statistického a strukturního roponávání Michail I. Schlesinger, Václav Hlaváč Praha 1999 Vydavatelství ČVUT 1. přednáška Bayesovská úloha statistického rohodování 1.1
Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.
3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
Cvičení ze statistiky - 4. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 4 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme deskriptivní statistiku Tyhle termíny by měly být známé: Korelace Regrese Garbage in, Garbage out Vícenásobná regrese Pravděpodobnost
Základy pravděpodobnosti poznámky. Jana Klicnarová
Základy pravděpodobnosti poznámky Jana Klicnarová 1 V této části připomeneme základní pojmy a vztahy pro práci s náhodou. 0.1 Náhodné jevy Uvažujme situace, které mohou a nemusí nastat a o kterých v nějakém
Obsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev
Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Teorie síťových modelů a síťové plánování
KSI PEF ČZU Teorie síťových modelů a síťové plánování Část přednášky doc. Jaroslava Švasty z předmětu systémové analýzy a modelování. Zápis obsahuje základní vymezení projektu, časového plánování a popis
Nestranný odhad Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada
Nestranný odhad 1 Parametr θ Máme statistický (výběrový) soubor, který je realizací náhodného výběru 1, 2, 3,, n z pravděpodobnostní distribuce, která je kompletně stanovena jedním nebo více parametry
Základy teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
Základy teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
Pravděpodobnost vs. Poměr šancí. Pravděpodobnostní algoritmy: Bayesova věta. Bayesova teorie rozhodování. Bayesova věta (teorém) Vzorec. ...
ravděpodobnostní algoritmy: Bayesova věta Fantasy is hardly an escape from reality. It is a way of understanding it. LLoyd Alexander ravděpodobnost vs. oměr šancí ravděpodobnost - poměr počtu jedinců surčitým
Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT
PEF ČZU Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT Okruhy SZB č. 5 Zdroje: Demel, J., Operační výzkum Jablonský J., Operační výzkum Šubrt, T., Langrová, P., Projektové řízení I. a různá internetová
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem
1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval
NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení
NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.
Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením