y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +"

Transkript

1 Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou svislou přímku, která b křivku protla dvakrát nebo víckrát. Tzn. musí ji protnout jednou nebo vůbec. Definiční obor funkce f, značíme D(f), je množina všech přípustných hodnot. V grafu je to pohled zleva doprava. Obor hodnot funkce f, značíme H(f), je množina všech přípustných hodnot. V grafu je to pohled zdola nahoru. = -(+)^+ = /( ) - 5 = e^ 8 D(f) = R D(f) = R\{} D(f) = R H(f) = ( ; H(f) = R\{ } H(f) = R + Parita funkce f. Sudá funkce: graf je souměrný podle os. Definice:. D(f) D(f) (souměrnost def. oboru),. f( ) = f() (stejné hodnot). Lichá funkce: graf je souměrný podle počátku souřadného sstému. Definice:. D(f) D(f) (souměrnost def. oboru),. f( ) = f() (opačné hodnot).

2 Funkce, která není sudá ani lichá: předchozí podmínk nesplňuje. = ^ = ^ = e^ 8 8 sudá lichá není sudá ani lichá Monotonie funkce f. Z grafu se poznává mnohem lépe než pomocí definice ( roste, klesá). Pokud hledáme monotonii funkce podle definic, je jednodušší si je přepsat pomocí zlomku f( ) f( ), kde, D(f), a porovnávat s nulou. Rostoucí funkce: f( ) f( ) >. Klesající funkce: f( ) f( ) <. Nerostoucí funkce: f( ) f( ). Neklesající funkce: f( ) f( ). Funkce, která není rostoucí ani klesající: o znaménku zlomku nemůžeme jednoznačně rozhodnout (pro některé hodnot je kladný, pro jiné záporný). = ln(+) = -sqrt(+) + = ^ rostoucí klesající není rostoucí ani klesající

3 = / není rostoucí ani klesající nerostoucí neklesající Prostost funkce f. Definice:, D(f) : f( ) f( ) (pro dvě různé hodnot, jsou i jejich funkční hodnot různé). Grafick se tato vlastnost zjišt uje pomocí horizontální přímk tak, že pokud najdeme nějakou vodorovnou přímku, která b graf protla dvakrát nebo vícekrát, tak tato funkce není prostá. Tzn. libovolná vodorovná přímka může protnout graf prosté funkce jednou nebo ani jednou. = ^.5 = ^ prostá prostá není prostá Omezenost funkce f. Shora omezená funkce: h R D(f) : f() h (všechn funkční hodnot jsou menší nebo rovn horní hranici h). Zdola omezená funkce: d R D(f) : f() h (všechn funkční hodnot jsou větší nebo rovn dolní hranici d). Omezená funkce: funkce je zároveň omezená shora i zdola. Neomezená funkce: ostatní případ.

4 = -(+)^+ = e^ 8 omezená shora hodnotou omezená zdola hodnotou = sin = / omezená hodnotami ± neomezená Etrém funkce f. Maimum funkce f v bodu a D(f) : f() f(a) (všechn funkční hodnot jsou menší nebo rovn největší funkční hodnotě f(a) v bodu a). Minimum funkce f v bodu b D(f) : f(b) f() (všechn funkční hodnot jsou větší nebo rovn nejmenší funkční hodnotě f(b) v bodu b). = -(+)^+ =( )^ maimum [ ; ] maimum nemá maimum [, 5;, 5] minimum nemá minimum [; ] minimum [;, 5]

5 = ln = sin = maimum nemá maimum [ π + kπ; ] maimum [; ] minimum nemá minimum [ π + kπ; ] minimum [; ] k Z R Periodicita funkce f. Říkáme, že funkce f je periodická s periodou p R +, jestliže k Z současně platí:. D(f) ( + k p) D(f) (hodnot i hodnot, k níž přičteme celočíselné násobk period, jsou z definičního oboru),. D(f) f( + kp) = f() (stejné funkční hodnot). p je podle definice sice jakákoli perioda (tzn. pro funkci = sin je např. p = 8π), ale v matematice tímto písmenem označujeme spíše nejmenší periodu (tzn. p = π). Periodické funkce jsou např. všechn goniometrické funkce nebo konstantní funkce (t nemají nejmenší periodu). = cos periodická periodická p = π p = 5

6 =.5.5 = */^ 8 periodická nejm. p neeistuje není periodická Příklad: Slovně vpisovat všechn vlastnosti funkcí nebudeme, použijeme proto následující zkratk: S sudá funkce, L lichá funkce R rostoucí funkce, K klesající funkce P prostá funkce om omezená funkce ma maimum funkce, min minimum funkce. Určete o jaký tp funkce se jedná, její předpis a popište všechn vlastnosti následujících funkcí: (a) (b) (c)

7 (d) (e) (f) (g) (h) (i) 5 8 (j) (k) (l) = */^ 8 5 (m) (n) (o) (a) složeno z lin. fcí, =, 5 + k, k Z, D(f) = R, H(f) = ; ), L, ani R ani K, není P, om č. ±, ma [, 5;, 5], min [,, 5], není period., 7

8 (b) složeno z lin. fcí, = +, = +, 5, D(f) =, 5;, 5,, H(f) =, 5;, 5, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č., 5;, 5, ma [, 5;, 5], min [;, 5],není period., (c) lineární fce = +, D(f) = R, H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (d) kvadratická fce = ( + ), D(f) = R, H(f) = ; ), ani S ani L, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [ ; ], není period., (e) eponenciální fce = e +, D(f) = R, H(f) = (; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (f) goniometrická fce = sin = sin( + π), D(f) = R, H(f) = ;, L, ani R ani K, P, om č. ±, ma [ π + kπ], min [ π + kπ],k R, period. p = π, (g) lineárně lomená fce = +, D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (h) lineárně lomená fce =, D(f) = R \ { }, H(f) = R \ {}, ani S + ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (i) kvadratická fce = ( + ) +, D(f) = R, H(f) = ( ;, ani S ani L, ani R ani K, není P, om shora č., ma [ ; ], min nemá, není period., (j) logaritmická fce = ln, D(f) = R, H(f) = R +, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (k) mocninná fce =, D(f) = R \ {}, H(f) = R +, S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (l) mocninná fce =, D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (m) mocninná fce (kubická) =, D(f) = R, H(f) = R, L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (n) mocninná fce =, D(f) = R, H(f) = ; ), S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period., (o) kvadratická fce =, D(f) = R, H(f) = ( ;, S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma [; ], min nemá, není period., 8

9 . Lineární funkce Předpis: = k + q ; k, q R. Graf: přímka. Speciální případ: k =, tzn. = q konstantní funkce, jejíž graf je přímka rovnoběžná s osou, která prochází hodnotou q na ose. k < k = k > ( = ) obr.: = graf = + =.5.5 = = + D(f) = R D(f) = R D(f) = R H(f) = R H(f) = q H(f) = R není sudá ani lichá sudá není sudá ani lichá rostoucí není rostoucí ani klesající klesající prostá není prostá prostá neomezená omezená neomezená etrém nemá všechn bod: ma i min etrém nemá není periodická periodická není periodická Příklad:. Nakreslete následující funkce a určete jejich vlastnosti: (a) =, (b) =, (c) =, (d) =, (e) =, (f) = +, (g) =, 9

10 (h) =,, (i) = 5, (j) = + +, (k) = +, (l) =.. Určete předpis a vlastnosti následujících funkcí: (a) (b) (c) 5 (d) (e) (f) 7 5. Určete předpis funkce, která je zároveň sudá i lichá. Nakreslete její graf. Výsledk: a) b) c) = = - =

11 d) e) f) = / = - = - + g) h) i) = =, - = j) k) l) = (+) / (+) = (^ - - ) / (+) = (^ - ) / ( - ). (a) D(f) = R, H(f) = R, L, R, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (b) D(f) = R, H(f) = R, L, K, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (c) D(f) = R, H(f) = R, L, R, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (d) D(f) = R, H(f) = R, L, R, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (e) D(f) = R, H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (f) D(f) = R, H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá,není period.,

12 (g) D(f) = R, H(f) = R, L, K, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (h) D(f) = R, H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (i) D(f) = R, H(f) = {5}, S, ani R ani K, není P, om č. 5, ma [, 5], min [, 5], R, period. bez nejm. period, (j) D(f) = R \ { }, H(f) = {5}, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č., ma [, ], min [, ], R \ { },není period., (k) D(f) = R \ { }, H(f) = R \ { 5}, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (l) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá,není period.,. (a) =, D(f) = R, H(f) = R, L, R, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (b) = +, D(f) = R, H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (c) =, D(f) = R, H(f) = { }, S, ani R ani K, není P, om č., ma [; ], min [; ], R, period. bez nejm. period, (d) =, D(f) = R, H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (e) = + 5, D(f) = R, H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (f) =, D(f) = ( ; ), H(f) = ( 5; ), ani S ani L, R, P, om č. 5,, ma nemá, min nemá,není period... =

13 . Kvadratické funkce Předpis: = a + b + c ; a, b, c R, a obecná rovnice. = a( v ) + v ; vrchol V [v ; v ] vrcholová rovnice. Graf: parabola. [ Vrchol parabol můžeme určit ze vzorce V = ]. b ; b + c Většinou a a se ale určuje metodou převedení na čtverec. a < a > = -(+)^+ D(f) = R H(f) = ( ; b + c a není sudá ani lichá není rostoucí ani klesající není prostá omezená shora maimum v b a není periodická =( )^ D(f) = R b H(f) = + c; ) a není sudá ani lichá není rostoucí ani klesající není prostá omezená zdola minimum v b a není periodická Příklad:. Nakreslete následující funkce a určete jejich vlastnosti: (a) =, (b) =, (c) =, (d) =, (e) =, (f) = +, (g) = ( + ),

14 (h) = ( ), (i) = ( + ), (j) = ( ) +, (k) = ( + ), (l) = ( + ).. Určete předpis a vlastnosti následujících funkcí: (a) (b) (c) 5 (d) (e) (f) 5 5 Výsledk: a) b) c)

15 d) e) f) g) h) i) 5 j) k) l) (a) D(f) = R, H(f) = ; ), S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period., (b) D(f) = R, H(f) = (,, S, ani R ani K, není P, om shora č., ma [; ], min nemá, není period., (c) D(f) = R, H(f) = ; ), S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period., (d) D(f) = R, H(f) = ; ), S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period., (e) D(f) = R, H(f) = ; ), S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period., (f) D(f) = R, H(f) = (,, S, ani R ani K, není P, om shora č., ma [; ], min nemá, není period., 5

16 (g) D(f) = R, H(f) = ; ), ani S ani L, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [ ; ], není period., (h) D(f) = R, H(f) = ; ), ani S ani L, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period., (i) D(f) = R, H(f) = (,, ani S ani L, ani R ani K, není P, om shora č., ma [ ; ], min nemá, není period., (j) D(f) = R, H(f) = ; ), ani S ani L, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period., (k) D(f) = R, H(f) = ; ), ani S ani L, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [ ; ], není period., (l) D(f) = R, H(f) = (,, ani S ani L, ani R ani K, není P, om shora č., ma [ ; ], min nemá, není period... (a) = ( ), D(f) = R, H(f) = ; ), ani S ani L, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period., (b) = + 5, D(f) = R, H(f) = (, 5, S, ani R ani K, není P, om shora č. 5, ma [; 5], min nemá, není period., (c) = ( + ), D(f) = R, H(f) = ; ), ani S ani L, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [ ; ], není period., (d) = ( ), D(f) = ( ; ), H(f) = ; ), ani S ani L, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period., (e) = ( ), D(f) = R, H(f) = (,, ani S ani L, ani R ani K, není P, om shora č., ma [; ], min nemá, není period., (f) = ( + ) +, D(f) = R, H(f) = (,, ani S ani L, ani R ani K, není P, om shora č., ma [ ; ], min nemá, není period..

17 . Lineárně lomené funkce Předpis: = a + b c + d nulový jmenovatel). Graf: hperbola. ; a, b, c, d R, ad bc (tzn. nezkrátí se ani nebude = (základní) = / D(f) = R\{} H(f) = R\{} lichá není rostoucí ani klesající prostá neomezená etrém nemá není periodická Příklad:. Nakreslete následující funkce a určete jejich vlastnosti: (a) =, (b) =, (c) = 5, (d) = 5, (e) = +, (f) = +, (g) =, (h) = +, 7

18 (i) =, (j) = +, (k) = +, (l) =.. Určete předpis a vlastnosti následujících funkcí: (a) (b) (c) (d) (e) (f) Výsledk: a) b) c) 8

19 d) e) f) g) h) i) j) k) l). (a) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (b) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (c) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (d) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (e) D(f) = R \ { }, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (f) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., 9

20 (g) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (h) D(f) = R \ { }, H(f) = R \ { }, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (i) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (j) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (k) D(f) = R \ { }, H(f) = R \ { }, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (l) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ { }, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period... (a) = +, D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (b) =, D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (c) = +, D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (d) = +, D(f) = R \ { }, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani + R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (e) =, D(f) = R \ {}, H(f) = R \ { }, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (f) =, D(f) = R \ {; }, H(f) = R \ {; }, ani S ani L, ani ( ) R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period...5 Mocninné funkce Předpis: = n ; n Z. Graf: parabola (n Z + ), hperbola(n Z ). Speciální případ: = (= ) konstantní funkce, = (= ) lineární funkce, = kvadratická funkce, = = lineárně lomená funkce.

21 n Z +, liché n Z +, sudé = ^, = ^5, = ^7 8 8 ^ ^5 ^7 = ^, = ^, = ^ 8 ^ ^ ^ D(f) = R D(f) = R H(f) = R H(f) = ; ) lichá sudá rostoucí není rostoucí ani klesající prostá není prostá neomezená omezená zdola etrém nemá minimum v není periodická není periodická n Z, liché n Z, sudé = /, = /^, = /^5 8 8 ^( ) ^( ) ^( 5) = /^, = /^, = /^ 8 ^( ) ^( ) ^( ) D(f) = R\{} D(f) = R\{} H(f) = R\{} H(f) = (; ) lichá sudá není rostoucí ani klesající není rostoucí ani klesající prostá není prostá neomezená omezená zdola etrém nemá etrém nemá není periodická není periodická Příklad: Nakreslete následující funkce a určete jejich vlastnosti:. =,

22 . =,. =,. = 5, 5. =,. =, 7. =, 8. =, 9. = 5. Výsledk: a) b) c) 5 5 d) e) f)

23 g) h) 5 5. D(f) = R, H(f) = R, L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period.,. D(f) = R, H(f) = R, L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period.,. D(f) = R, H(f) = ; ), S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period.,. D(f) = R, H(f) = R, L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., 5. D(f) = R, H(f) = ; ), S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period.,. D(f) = R \ {}, H(f) = R +, S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., 7. D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., 8. D(f) = R \ {}, H(f) = R +, S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., 9. D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period..

24 . Eponenciální funkce Předpis: = a ; a R +. Graf: eponenciální křivka. Speciální případ: a = : = = konstantní funkce a (; ) a = a > = (/e)^ 8 =.5 = e^ 8.5 D(f) = R D(f) = R D(f) = R H(f) = R + H(f) = {} H(f) = R + není sudá ani lichá není sudá ani lichá není sudá ani lichá klesající není rostoucí ani klesající rostoucí prostá není prostá prostá omezená zdola omezená omezená zdola etrém nemá všechn bod: ma i min etrém nemá není periodická periodická není periodická Příklad:. Do jednoho obrázku nakreslete všechn následující funkce: (a) =, = e, =, = ( ), = ( e), (b) = e, = e, = e.. Nakreslete následující funkce a určete jejich vlastnosti: (a) = e, (b) = e, (c) = e, (d) = e,

25 (e) = e +, (f) = e +, (g) = e, (h) = e +, (i) = +, (j) = ( e) +, (k) = e +, (l) = e +.. Určete předpis a vlastnosti následujících funkcí: (a) (b) (c) 5 5 (d) (e) (f) 5 5 Výsledk: a) b) 8 ^ e^ ^ -e^ e^ e^(-) 5

26 a) b) c) 5 d) e) f) 5 g) h) i) 5 5 j) k) l) 5. (a) D(f) = R, H(f) = R +, ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (b) D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma

27 nemá, min nemá, není period., (c) D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, K, P, om shora č., ma nemá, min nemá, není period., (d) D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, K, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (e) D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (f) D(f) = R, H(f) = (; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (g) D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, K, P, om shora č., ma nemá, min nemá, není period., (h) D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, K, P, om shora č., ma nemá, min nemá, není period., (i) D(f) = R, H(f) = (; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (j) D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, K, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (k) D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, K, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (l) D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period... (a) = e, D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (b) = e, D(f) = R, H(f) = R +, ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (c) = e = ( e), D(f) = R, H(f) = R +, ani S ani L, K, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (d) = e +, D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (e) = e, D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (f) = e + +, D(f) = R, H(f) = (; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period.. 7

28 .7 Logaritmické funkce Předpis: = log a ; a R +, a. Graf: logaritmická křivka. a (; ) a > = log_(/e) = ln 8 8 D(f) = R + D(f) = R + H(f) = R H(f) = R není sudá ani lichá není sudá ani lichá klesající rostoucí prostá prostá neomezená neomezená etrém nemá etrém nemá není periodická není periodická Příklad:. Do jednoho obrázku nakreslete všechn následující funkce: (a) = log, = ln, = log, = log, = log, e (b) = ln, = ln( ), = ln.. Nakreslete následující funkce a určete jejich vlastnosti: (a) = ln ( ), (b) = ln, (c) = ln, (d) = ln ( ), (e) = ln ( + ), (f) = ln ( ) +, 8

29 (g) = ln, (h) = ln ( + ), (i) = log ( ) +, (j) = ln ( ), (k) = log ( + ), (l) = log ( + ).. Určete předpis a vlastnosti následujících funkcí: (a) (b) (c) (d) (e) (f) Výsledk: a) b) 8 log[]() log() ln() ln(-) ln() -ln() 9

30 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) (a) D(f) = (; ), H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (b) D(f) = R +, H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min

31 nemá, není period., (c) D(f) = R +, H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (d) D(f) = R, H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (e) D(f) = ( ; ), H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (f) D(f) = (; ), H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (g) D(f) = R +, H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (h) D(f) = ( ; ), H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (i) D(f) = (; ), H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (j) D(f) = ( ; ), H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (k) D(f) = ( ; ), H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (l) D(f) = ( ; ), H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period... (a) = ln, D(f) = R +, H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (b) = ln ( ), D(f) = (; ), H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (c) = ln ( ), D(f) = R, H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (d) = ln ( + ), D(f) = ( ; ), H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (e) = ln ( ), D(f) = (; ), H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (f) = ln = log, D(f) = R +, H(f) = R, ani S ani L, K, P, e neom, ma nemá, min nemá, není period..

32 .8 Goniometrické funkce Předpis: = sin, = cos, = tg, = cotg. Graf: sinusoida, kosinusoida, tangentoida, kotangentoida.!!! V této celé kapitole platí k Z!!! = sin = cos = sin = cos D(f) = R D(f) = R H(f) = ; H(f) = ; lichá sudá není rostoucí ani klesající není rostoucí ani klesající není prostá není prostá omezená omezená ma v π + kπ ma v kπ min v π + kπ min v π + kπ periodická: p = π periodická: p = π = tg = cotg = tg = cotg D(f) = R\{ π + kπ} H(f) = R lichá není rostoucí ani klesající není prostá neomezená etrém nemá periodická: p = π D(f) = R\{kπ} H(f) = R lichá není rostoucí ani klesající není prostá neomezená etrém nemá periodická: p = π

33 Příklad:. Do jednoho obrázku nakreslete všechn následující funkce: (a) = sin, = sin, (b) = cos, = cos, (c) = tg, = tg, (d) = sin, = sin( + π ), (e) = cos, = cos +, (f) = cotg, = cotg.. Nakreslete následující funkce a určete jejich vlastnosti: (a) = sin( π ), (b) = cos, (c) = sin +, (d) = cos( + π ), (e) = sin( ), (f) = cos( π), (g) = sin( π), (h) = tg( + π ), (i) = cotg, (j) = sin( π), (k) = cos( + 5π), (l) = sin( + π).. Určete předpis a vlastnosti následujících funkcí: (a) (b)

34 (c) (d) Výsledk: a) b) c) sin sin cos cos tg / tg d) e) f) sin + pi/ sin cos + cos cotg -cotg a) b) c)

35 d) e) f) g) h) i) cotg cotg j) k) l). (a) D(f) = R, H(f) = ;, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č. ±, ma [ π + kπ; ], min [ π + kπ; ], period. p = π, (b) D(f) = R, H(f) = ;, S, ani R ani K, není P, om č. ;, ma [kπ; ], min [π + kπ; ], period. p = π, (c) D(f) = R, H(f) = ;, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č. ;, ma [ π + kπ; ], min [π + kπ; ], period. p = π, (d) D(f) = R, H(f) = ;, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č. ±, ma [ π + kπ; ], min [ π + kπ; ], period. p = π, (e) D(f) = R, H(f) = ;, L, ani R ani K, není P, om č. ±, ma [ π + kπ; ], min [π + kπ; ], period. p = π, (f) D(f) = R, H(f) = ;, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č. ;, ma [ π + kπ; ], min [ π + kπ; ], period. p = π, 5

36 (g) D(f) = R, H(f) = ;, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č. ±, ma [ 5 π + kπ; ], min [ π + kπ; ], period. p = π, (h) D(f) = ( π + kπ; π + kπ), H(f) = R, ani S ani L, ani R ani K, není P, neom, ma nemá, min nemá, period. p = π, (i) D(f) = (kπ; π + kπ), H(f) = ; ), ani S ani L, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [ π + kπ; ], period. p = π, (j) D(f) = R, H(f) = ;, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č. ;, ma [ 7π +kπ; ], min [ π +kπ; ], period. p = π, (k) D(f) = R, H(f) = ;, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č. ±, ma [ 5π + kπ; ], min [ π + kπ; ], period. p = π, (l) D(f) = R, H(f) = ;, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č. ;, ma [ π + kπ; ], min [ π + kπ; ], period. p = π.. (a) = sin = sin( ) nebo také = sin( + π) = cos( + π), D(f) = R, H(f) = ;, L, ani R ani K, není P, om č. ±, ma [ π + kπ; ], min [ π + kπ; ], period. p = π, (b) = cos, D(f) = R, H(f) = ;, S, ani R ani K, není P, om č. ±, ma [π + kπ; ], min [kπ; ], period. p = π, (c) = tg, D(f) = ( π + kπ; π + kπ), H(f) = ; ), S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [kπ; ], period. p = π, (d) = cotg, D(f) = (kπ; π + kπ), H(f) = R, S, ani R ani K, není P, neom, ma nemá, min nemá, není period..

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, }

Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } ÚVOD DO MATEMATIKY Číselné množin Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Racionální čísla (Q) Čísla která lze vjádřit

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f. 1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,

Více

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že .5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných

Více

Elementární funkce. Polynomy

Elementární funkce. Polynomy Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Funkce. Vlastnosti funkce. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Funkce. Vlastnosti funkce. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Vlastnosti funkce. Tet a příklad. Ročník.

Více

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel, Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

2. FUNKCE Funkce 31

2. FUNKCE Funkce 31 Základ matematik FUNKCE 0 Základní vlastnosti Ohraničená a neohraničená funkce Monotónnost funkce, funkce rostoucí a klesající Prostá funkce Sudá a lichá funkce 7 Periodická funkce 9 Inverzní funkce 0

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

Funkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá

Funkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá 4..4 Funkce tangens Předpoklady: 40 c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro

Více

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

Očekávaný výstup Pracovní list se skládá ze dvou částí teoretické, kde si žák připomene vlastnosti funkcí a praktické, kde tyto funkce určuje.

Očekávaný výstup Pracovní list se skládá ze dvou částí teoretické, kde si žák připomene vlastnosti funkcí a praktické, kde tyto funkce určuje. Číslo projektu Škola Autor Číslo materiálu Název Téma hodiny Předmět Ročník/y/ Anotace CZ.1.07/1.5.00/34.0394 Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Mgr. Renata

Více

Základní poznatky o funkcích

Základní poznatky o funkcích Základní poznatk o funkcích Tajemství černé skříňk (Definice funkce, základní pojm) 0 c, d, g, h 0 a) ANO b) NE 0 D( f )={ 6} H( f )={ 7} 0 a) D( f )={ 0 } b) H( f )={ 8 9 0 } c) f ( 0)= f ( )=9 f ( )=

Více

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému

Více

CZ.1.07/1.5.00/

CZ.1.07/1.5.00/ Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce Anotace: Prezentace zavádí pojmy lin. funkce, její definiční obor a obor hodnot funkce. Dále vysvětluje typy funkcí

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

a základ exponenciální funkce

a základ exponenciální funkce Předmět: Ročník: Vtvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. červenec 0 Název zpracovaného celku: EXPONENCIÁLNÍ A LOGARIMICKÁ FUNKCE EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Eponenciální unkce o základu a je každá

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Tento text se snaží být takovým atlasem elementárních funkcí podobně jako atlas hub, ptáků či květin.

Tento text se snaží být takovým atlasem elementárních funkcí podobně jako atlas hub, ptáků či květin. A T L A S F U N K C Í Každý absolvent(ka) gynázia či střední odborné školy zaěřené na techniku by si ěl(a) do života po aturitě odnést povědoí o eleentárních funkcích, jejich seznau a vlastností jednotlivých

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici :

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Registrační číslo projektu: CZ..07/../0.00 FUNKCE TANGENS Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Funkce tangens je daná ve tvaru : y tgx sin x. cos x Důvod je dobře vidět na předchozím obr. z

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE Slovo kvadrát vzniklo z latinského slova quadratus které znamená: čtyřhranný, čtvercový. Obsah čtverce se vypočítá, jako druhá mocnina délky

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Funkce arcsin. Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde 4.

Funkce arcsin. Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde 4. .. Funkce arcsin Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde - - - - - - y = y = Eponenciální

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce 4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli

Více

Goniometrické a hyperbolické funkce

Goniometrické a hyperbolické funkce Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,

Více

6. F U N K C E 6.1 F U N K C E. Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ RNDr. Milada Hudcová, Mgr. Libuše Kubičíková 181/1 190/24 25

6. F U N K C E 6.1 F U N K C E. Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ RNDr. Milada Hudcová, Mgr. Libuše Kubičíková 181/1 190/24 25 6. F U N K C E 6.1 F U N K C E Funkce (definice, značení) Způsoby zadání funkce (tabulka, funkční předpis, slovní popis, graf) 181/1 190/24 25 80/1 2 82/3 6.2 D E F I N I Č N Í O B O R, O B O R H O D N

Více

Funkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4.

Funkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4. ..6 Funkce Arcsin Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = je číslo, jehož druhá mocnina se rovná. - - - - - - y = y = Eponenciální

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia - - Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia ) Pojem funkce, základní pojmy ) Grafy funkcí, druhy funkcí ) Druhy funkcí lineární, lomená ) Kvadratická funkce, mocninné funkce

Více

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Evropský polytechnický institut, s.r.o.. soukromá vysoká škola na Moravě Kunovice MATEMATIKA I. Dierenciální počet unkcí jedné proměnné RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc. Evropský

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

2.4.7 Omezenost funkcí, maximum a minimum

2.4.7 Omezenost funkcí, maximum a minimum ..7 Omezenost funkcí, maimum a minimum Předpoklady: 03, 0 Př. : Nakresli vedle sebe grafy funkcí: y =, y =, y3 =. Urči jejich obory hodnot. f - - - - - - - - - - - - H ( f ) = R H ( f ) = ; ) H ( f ) =

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: VY_4_INOVACE_MA_ Název sady DUM: Funkce a rovnice I. Název a adresa školy: Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90, 549 3 Hronov Registrační číslo projektu: Číslo

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

VYSOK A ˇ SKOLA POLYTECHNICK A JIHLAVA Katedra matematiky Matematick y semin aˇ r Petra Hor aˇ ckov a, Miroslav Han aˇ cek 2016

VYSOK A ˇ SKOLA POLYTECHNICK A JIHLAVA Katedra matematiky Matematick y semin aˇ r Petra Hor aˇ ckov a, Miroslav Han aˇ cek 2016 VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematik Matematický seminář Petra Horáčková, Miroslav Hanáček Za jazkovou a věcnou správnost obsahu díla odpovídají autoři. Tet neprošel jazkovou ani redakční

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 Matematika I Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 1. Množiny a zobrazení Funkce jedné proměnné Matematika I 2 / 212 Množiny Definice 1.1.1: Množinou rozumíme soubor prvků se

Více

Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R.

Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R. @034 3. Průběhy funkcí Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R. Abychom nakreslili dobře průběh funkce (její graf) musíme

Více

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!. 8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně

Více

funkce konstantní (y = c); funkce mocninné (y = x r pro libovolné r R, patří sem tedy i

funkce konstantní (y = c); funkce mocninné (y = x r pro libovolné r R, patří sem tedy i Přednáška č. 6 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 6 29. října 2007 1 / 64 Přehled elementárních funkcí Jde o pojem spíše historický než matematický. Vymezuje se několik (základních)

Více

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné

Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta Katedra Bakalářská práce Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Vypracoval: Michaela Jelínková Vedoucí práce: RNDr. Vladimíra Petrášková,

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Exponenciální funkce teorie

Exponenciální funkce teorie Eponenciální funkce teorie Eponenciální funkce je dána rovnicí f : = a, a ( 0,) (, ) Poznámka: pokud bchom připustili a =, vznikla b funkce konstantní pokud bchom připustili a < 0, nebla b funkce definována

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 Urči definiční obor funkce 7 46 0 7 46 = 0 46 ± 5, = = 7; = 4 7 D ( f ) = ( ; 7 ; ) 7 f : y = 7 46 Funkce odmocnina je definována pro kladná reálná čísla a pro nulu Problematické

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

2.5.1 Kvadratická funkce

2.5.1 Kvadratická funkce .5.1 Kvadratická funkce Předpoklad: 1 Pedagogická poznámka: Velká většina studentů zvládne hodinu zcela samostatně. Snažím se nezapomenout je pochválit. Slovo kvadratická už známe, začínali jsme s kvadratickou

Více