Planimetrie. Příklad 1. Zapište vztahy mezi body a přímkami, které jsou vyznačeny na obrázku. Příklad 2. Určete body K, L, M pomocí přímek p, r, s.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Planimetrie. Příklad 1. Zapište vztahy mezi body a přímkami, které jsou vyznačeny na obrázku. Příklad 2. Určete body K, L, M pomocí přímek p, r, s."

Transkript

1 Planimetrie Část matematiky, zabývající se studiem rovinných geometrických objekt (rovinná geometrie). bstrakcí z hmotných objektů vznikly základní geometrické pojmy bod přímka Bod Body označujeme velkými písmeny, B, T, Pro dva body platí = B (bod je roven bodu B nebo bod splývá s bodem B), C D (bod C se nerovná bodu D nebo bod C nesplývá s bodem D). Přímka Přímky označujeme malými písmeny p, q, Mezi přímkami platí p = q (přímka p je rovena přímce q nebo přímka p splývá s přímkou q), r s (přímka r se nerovná přímce s nebo přímky r, s nesplývají). Přímku p určenou body B zapíšeme p = B pokud bod C leží na přímce p, zapíšeme C p pokud bod D neleží na přímce p, zapíšeme D p Věta: Dvěma různými body prochází jediná přímka. Příklad 1. Zapište vztahy mezi body a přímkami, které jsou vyznačeny na obrázku. K B C p r Příklad 2. Určete body K, L, M pomocí přímek p, r, s. r K L M p s Příklad 3. Zapište všechny přímky, které jsou určeny body, B, C, D, E z nichž žádné tři neleží na téže přímce. 1 Výukový materiál pro předmět Matematika

2 Polopřímka Bod P, ležící na přímce p, ji rozděluje na dvě navzájem opačné polopřímky a je jejich společným počátkem. Každý jiný bod přímky p je vnitřním bodem právě jedné z obou polopřímek. polopřímku s počátkem v bodě P a vnitřním bodem zapíšeme P Úsečka Jsou-li body B a p, B p, pak úsečku B definujeme jako průnik dvou polopřímek, takto: B = B B. Body, B se nazývají krajní body úsečky, ostatní body úsečky jsou vnitřní body úsečky B. Délka (velikost) úsečky B je vzdálenost bodů, B. Značíme ji B. Bod S, který úsečku B dělí tak, že platí S Příklad 4. Charakterizujte úsečky = SB, se nazývá střed úsečky B. KL, LM, MT pomocí průniku polopřímek. K L M T Příklad 5. Zapište výsledky uvedených operací s úsečkami z příkladu 4. KL LM = KL LM = KM LT = Příklad 6. Je dána přímka p a tři body, B, C, které na ní leží. p B C a) Zapište všechny polopřímky tvořenými body, B, C: b) Uveďte dvojici opačných polopřímek: c) Zapište vztah mezi polopřímkami C, BC : d) Doplňte rovnice: B BC = B BC = e) Doplňte znak, určující vztah mezi BC a p: Polorovina BC p Přímka p rozděluje rovinu α na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich společnou hraniční přímkou. Hraniční přímka p patří do obou polorovin. Každý bod roviny, který neleží na hraniční přímce, je prvkem právě jedné poloroviny. Polorovinu s hraniční přímkou p = B a vnitřním bodem M zapíšeme pm nebo BM. 2 Výukový materiál pro předmět Matematika

3 Příklad 7. Zapište všechny poloroviny dané třemi různými body, B, C, které neleží na jedné přímce. Vyznačte jejich hraniční přímky a vyšrafujte polorovinu BC. Určete průnik poloroviny BC a přímky C. Příklad 8. Zapište poloroviny dané přímkou p a body, B, které na ní neleží. Napište, co je průnikem polorovin, a jak se uvedené poloroviny nazývají. p B Příklad 9. Jsou dány rovnoběžné přímky p, r a body K p, M r, T p T r. Načrtněte obrázek. a) Vyšrafujte (vyznačte) množiny pm rk, pm rt, rt rk. b) Rozhodněte o pravdivosti výroků: KM KMT KM KMT KM rt p rt c) Určete opačnou polorovinu k rt 3 Výukový materiál pro předmět Matematika

4 Příklad 10. Zapište symbolicky: a) úsečka CD leží v polorovině BE b) polopřímka GD neleží v polorovině BE c) bod F neleží v rovině CDE d) polorovina CGB splývá s polorovinou CDE e) bod F leží v rovině CD f) přímka p leží v obou polorovinách BE a CG Konvexní a nekonvexní úhel Geometrický útvar se nazývá konvexní, jestliže úsečka spojující kterékoli dva body útvaru je částí tohoto útvaru. nekonvexní útvar B B konvexní útvar Úhel VB definujeme jako průnik polorovin VB a BV. Bod V nazýváme vrchol úhlu VB, polopřímky V a VB nazýváme ramena úhlu VB. Tento úhel VB se nazývá konvexní úhel. Úhel, který vznikne sjednocením polorovin opačných k polorovinám VB a BV, se nazývá nekonvexní úhel VB a označuje se VB. B konvexní úhel nekonvexní úhel V Velikost úhlu Velikost úhlu VB označíme VB. Pro měření úhlů používáme: Úhlový stupeň šedesátinný (označujeme 1 ), což je 1 pravého úhlu. Menší jednotky jsou 90 úhlová minuta (označujeme 1 ) a úhlová vteřina (označujeme 1 ), přitom platí 1 = 60 = Úhlový stupeň setinný (označujeme 1 grad), což je pravého úhlu. Užívá se méně často. 100 Oblouková míra, jejíž jednotkou je radián (označujeme 1 rad), používá se nejčastěji v goniometrii. Podle velikosti úhly dělíme: nulový úhel (= 0 ) < ostrý (0 ;90 ) < pravý (= 90 ) < tupý (90 ;180 ) < přímý (= 180 ) < konvexní úhel (180 ;360 ) < úhel plný (=360 ) 4 Výukový materiál pro předmět Matematika

5 Vhledem k poloze úhly dělíme: Úhly styčné Úhly vedlejší α + β =180 Úhly doplňkové α + β =90 Úhly vrcholové (jsou shodné) α β α β α β α α Úhly přilehlé Úhly souhlasné Úhly střídavé α α α α α α β β β β β β α + β = 180 α = β α = β Příklad 11. Jsou dány tři body, které neleží v přímce. Vyznačte (načrtněte obrázek): a) konvexní úhel CB b) vrcholový úhel ke konvexnímu úhlu CB c) nekonvexní úhel BC d) úhel vedlejší ke konvexnímu úhlu BC s ramenem BC Příklad 12. Zapište všechny konvexní úhly s vrcholem v bodě V a vyznačte je v obrázku. Pojmenujte dvojici konvexních úhlů BV a VBC: V B C Příklad 13. V obrázku vyznačte vždy jednu dvojici uvedených úhlů. a) α, β vedlejší úhly b) β, β vrcholové úhly c) β, β souhlasné úhly d) α, α střídavé úhly 5 Výukový materiál pro předmět Matematika

6 Příklad 14. Určete daný úhel jako průnik vhodných polorovin. (viz obrázek) a) konvexní úhel RTS b) konvexní úhel STR c) konvexní úhel TRS T R S Příklad 15. Různoběžky p, q jsou proťaty různoběžnými přímkami m, n (viz obrázek). Určete velikosti úhlů α, β, γ, δ. m 40 n F p D δ γ C 30 E α β 120 B q Polohové a metrické vztahy mezi přímkami Klasifikaci provádíme v závislosti na počtu společných bodů dvou přímek v rovině. Jestliže dvě přímky p, q mají společný právě jeden bod P, nazývají se různoběžky; jejich společný bod se nazývá průsečík. Zapisujeme P = p q, p q. Jestliže dvě přímky p, q nemají žádný společný bod, nazývají se rovnoběžky. Zapisujeme p q =, p q. Jestliže dvě přímky p, q mají všechny body společné, nazývají se totožné (splývající). Zapisujeme: p q = p = q. (Jde o zvláštní případ rovnoběžnosti.) 6 Výukový materiál pro předmět Matematika

7 Odchylka ϕ dvou přímek v rovině je menší ze dvou úhlů, které svírají různoběžky p, q. ( 0 0 ϕ 0 ;90 ) Jsou-li p, q rovnoběžky, pak ϕ = 0. Přímky, které svírají pravý úhel, se nazývají kolmice. Zapisujeme p q. Průsečík P kolmých přímek se nazývá pata kolmice. Je dána přímka p a bod. Vedeme bodem kolmici k na přímku p. Bod P, průsečík přímek, je pak pata kolmice. Vzdálenost bodu od přímky p je délka úsečky P. Zapisujeme p = P. Jsou dány přímky p q ;, B jsou průsečíky p, q s libovolnou kolmicí k k těmto přímkám. Vzdálenost rovnoběžných přímek p a q je vzdálenost bodů a B. Zapisujeme pq p = q je pq = 0. Poznámka. Daným bodem lze vést k dané přímce p jedinou rovnoběžku. Je-li p q a q r, pak p r. (tranzitivnost rovnoběžnosti) Každým bodem v rovině lze vést k dané přímce p právě jednu kolmici q. Příklad 16. = B. Je-li Zvolíme čtyři přímky a, b, c, d tak, že a b, c d. Určete největší a nejmenší počet průsečíků těchto přímek. (Načrtněte všechny možnosti.) Příklad 17. Určete, na kolik částí rozdělí rovinu: a) pět různých rovnoběžek b) n různých rovnoběžek 7 Výukový materiál pro předmět Matematika

8 Příklad 18. Je dáno n různých navzájem různoběžných přímek, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem. Určete počet všech průsečíků daných přímek. Příklad 19. Ve čtverci BCD určete a zapište: a) dvojici rovnoběžek b) dvojici různoběžek kolmých c) dvojici různoběžek, které nejsou kolmé Kružnice a kruh Kružnice k je množina bodů roviny, které mají od daného bodu S (střed) konstantní vzdálenost r k S; r = X ρ; XS = r. (poloměr). Zapisujeme ( ) { } Kruh K je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu S (střed) vzdálenost menší nebo k S; r = X ρ; XS r. rovnu r (poloměr). Zapisujeme ( ) { } Tětiva kružnice je úsečka, spojující dva libovolné body na kružnici. Nejdelší tětiva je průměr. Středový a obvodový úhel Nechť je dána kružnice k ( S; r ). Dva různé body, B, které na kružnici leží, rozdělí kružnici na dva kruhové oblouky B a B. Tyto oblouky nazýváme oblouky opačné. Poznámka. Dva libovolné poloměry rozdělí kruh na dvě kruhové výseče. Tětiva B rozdělí kruh na dvě kruhové úseče. 8 Výukový materiál pro předmět Matematika

9 Úhel, jehož vrcholem je střed S kružnice k a ramena procházejí krajními body, B oblouku kružnice k, se nazývá středový úhel příslušný k oblouku B, který v tomto úhlu leží. Označujeme jej obvykle ω. k k S ω ω S B B Ke každému středovému úhlu ω = SB je přiřazeno nekonečně mnoho tzv. obvodových úhlů γ = VB, jejichž vrcholy V leží na opačném kruhovém oblouku k oblouku, který leží ve středovém úhlu ω = SB. γ k k S ω ω S B γ B Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu příslušného k témuž oblouku. Tedy ω = 2γ. Z této věty vyplývají následující důsledky: Všechny obvodové úhly příslušné k témuž oblouku jsou shodné. Obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku je ostrý, k většímu oblouku tupý a k půlkružnici pravý. (Obvykle ve znění Thaletovy věty: Všechny úhly nad průměrem kružnice jsou pravé.) Příklad 20. Jak se změní středový úhel, jestliže se příslušný obvodový úhel: a) zmenší dvakrát b) zvětší o 15 c) zmenší o 30 9 Výukový materiál pro předmět Matematika

10 Příklad 21. Jak se změní obvodový úhel, jestliže se příslušný středový úhel: a) zvětší třikrát b) zmenší o 40 Příklad 22. Určete velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je a) 5 3 délky kružnice b) 8 5 délky kružnice. Příklad 23. Vypočítejte velikost vnitřních úhlů v trojúhelníku, který vznikne na ciferníku hodin spojením cifer 1; 5; Výukový materiál pro předmět Matematika

11 Trojúhelníky Trojúhelník BC je definován jako průnik tří polorovin BC == BC BC CB. Vrcholy BC označujme, B, C; strany B = c, C = b, BC = a ; vnitřní úhly α, β, γ a vnější úhly α, β, γ. Rozdělení trojúhelníků podle velikosti stran: různostranné a b c rovnoramenné 2 shodné strany (ramena), zbývající strana základna rovnostranné a = b = c Rozdělení trojúhelníků podle úhlů: ostroúhlé všechny vnitřní úhly jsou ostré pravoúhlé právě jeden vnitřní úhel je pravý tupoúhlé právě jeden vnitřní úhel je tupý Další prvky trojúhelníku Výška trojúhelníku BC je úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku (např. ) a pata kolmice (např. P a ), vedené tímto vrcholem k přímce, na které leží protější strana trojúhelníku. Průsečík přímek, v nichž leží výšky, nazýváme ortocentrum. Těžnice je spojnice vrcholu se středem protější strany. Těžnice se protínají ve 3 2 od vrcholu počínaje a průsečík nazýváme těžiště. Střední příčka je spojnice středů dvou sousedních stran, je rovnoběžná se stranou, kterou neprotíná a rovná se její polovině. Střed kružnice opsané leží v průsečíku os stran a prochází všemi vrcholy. Střed kružnice vepsané leží v průsečíku os vnitřních úhlů a dotýká se všech stran. Věty o trojúhelnících Součet délek každých dvou stran je větší než strana třetí. (tzv. trojúhelníková nerovnost) Proti větší straně leží větší vnitřní úhel, proti shodným stranám leží shodné úhly. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je úhel přímý. ( α + β + γ = 180 ) Velikost vnějšího úhlu BC je rovna součtu velikostí vnitřních úhlů při zbývajících vrcholech. (α = β + γ, β = α + γ,γ = α + β ) Příklad 24. C γ γ α α β β c B Je dán trojúhelník se stranami a = 12, b = 8, c = 9. Seřaďte úhly podle velikosti. b a 11 Výukový materiál pro předmět Matematika

12 Příklad 25. Určete velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku BC, jsou-li v poměru α : β : γ = 3 : 4 : 5. Příklad 26. Mezi vnitřními úhly v trojúhelníku platí vztahy =, β = 3γ. Určete je. α 2β Příklad 27. V trojúhelníku BC (libovolném) sestrojte: a) výšku v c b) těžnici t a c) střední příčku rovnoběžnou s B d) těžiště T e) ortocentrum O f) kružnici opsanou g) kružnici vepsanou 12 Výukový materiál pro předmět Matematika

13 Shodnost trojúhelníků Trojúhelníky BC, B C jsou shodné, jestliže je lze přemístit tak, že se kryjí. Zapisujeme BC B C. Věty o shodnosti trojúhelníků Pro shodnost trojúhelníků stačí, aby bylo splněno kterékoliv z následujících kritérií (postačující podmínky). Věta sss: Trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve třech stranách. Věta sus: Trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách úhlu jimi sevřeném. Věta Sss: Trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich. Věta usu: Trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se v jedné straně a v obou úhlech k ní přilehlých. Poznámka. Tyto věty platí i obráceně, tj. pokud podmínka je splněna, jsou uvedené trojúhelníky shodné. Příklad 28. Je dán trojúhelník BC; p je přímka, v níž leží těžnice t c daného trojúhelníku. Dokažte, že body a B mají od přímky p stejnou vzdálenost. Příklad 29. Bod S je středem úsečky C a body B, S, D leží v téže přímce (viz obr.). Dokažte, že bod S je také středem úsečky BD. C D S B 13 Výukový materiál pro předmět Matematika

14 Podobnost trojúhelníků Trojúhelníky BC, B C jsou podobné, právě když existuje kladné reálné číslo k takové, že pro délky stran trojúhelníků platí: a = k a b = k b c = k c.číslo k se nazývá koeficient podobnosti. Zapisujeme BC B C. Je-li: k >1 zvětšení k <1 zmenšení k =1 shodnost Věty o podobnosti trojúhelníků Věta uu: Trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se ve dvou úhlech. Věta sus: Trojúhelníky jsou podobné, mají-li sobě rovné poměry dvou stran a shodné úhly jimi sevřené. Věta Ssu: Trojúhelníky jsou podobné, mají-li sobě rovné poměry dvou stran a shodné úhly proti větší z nich. Poznámka. Platí i věty obrácené. Příklad 30. Rozhodněte, zda jsou podobné trojúhelníky o stranách 12 cm, 16 cm, 19 cm a 10 cm, 13 cm, 15 cm. Příklad 31. Rozhodněte o podobnosti trojúhelníků s úhly 38, 55 a v druhém s úhly 55, 87. Příklad 32. Trojúhelníkové pole je na plánu 1 : zakresleno jako trojúhelník o stranách 32,5 mm, 23,5 mm a 36 mm. Určete jeho skutečné rozměry. Příklad 33. Určete měřítko mapy, je-li les tvaru trojúhelníku o rozměrech 1,6 km; 2,4 km a 2,7 km na mapě zakreslen jako trojúhelník o stranách 54 mm, 48 mm a 32 mm. 14 Výukový materiál pro předmět Matematika

15 Příklad 34. Svislá metrová tyč vrhá stín 150 cm dlouhý. Vypočtěte výšku věže, jejíž stín je ve stejném okamžiku dlouhý 36 metrů. Množiny bodů dané vlastnosti K řešení planimetrických úloh velmi často používáme mimo jiné tzv. množiny bodů dané vlastnosti. Množina bodů X roviny ρ, které jsou stejně vzdáleny od dvou různých bodů, B roviny ρ je osa úsečky B. Symbolicky o = { X ρ, X = BX } Množina všech bodů X roviny ρ, které mají stejnou vzdálenost r od daného bodu S je kružnice k se středem S a poloměrem r. k S; r = X ρ; SX = r Symbolicky ( ) { } Poznámka. Zároveň je uvedená kružnice množinou středů všech kružnic s poloměrem r, které procházejí daným bodem S. Množina všech bodů X roviny ρ, které mají od dané přímky p kladnou vzdálenost v je dvojice přímek a, a, které jsou s danou přímkou rovnoběžné, leží v opačných polorovinách vymezených přímkou p a mají od ní vzdálenost v. Tuto dvojici přímek nazýváme ekvidistanta přímky. a a = X ρ; Xp = v Symbolicky { } Množina všech bodů X roviny ρ, které mají od dvou daných rovnoběžek a, b, a b stejnou vzdálenost je osa pásu, vymezeného přímkami a, b. Osu označíme o. o = X ρ; Xa = Xb Symbolicky { } a p a a o r S X o X v v X X X k B Poznámka. Zároveň je osa pásu množinou středů všech kružnic, které se dotýkají daných rovnoběžek. a 15 Výukový materiál pro předmět Matematika

16 Množina všech bodů X roviny ρ, které mají stejnou vzdálenost od dvou různoběžek a, b jsou osy úhlů sevřených různoběžkami a, b. Osy označíme o, o. o o = X ρ; Xa = Xb Symbolicky { } Poznámka. Zároveň lze říci, že osy o, o s výjimkou jejich průsečíku, jsou množinou středů všech kružnic, které se dotýkají daných různoběžek. Množina vrcholů X všech pravých úhlů, jejichž ramena procházejí body, B ( B), tj. množina všech bodů, z nichž vidíme úsečku B pod pravým úhlem, je kružnice s průměrem B kromě bodů, B, tzv. Thaletova kružnice. τ = X ρ, XB = 90 0 Symbolicky { } X o X S X τ B a b o Základní konstrukce Příklad 35. Sestrojte osu úsečky B. Popište konstrukci. Sestrojte libovolnou kružnici, která prochází body, B. Příklad 36. Sestrojte osu úhlu VB. Popište konstrukci. 16 Výukový materiál pro předmět Matematika

17 Příklad 37. Sestrojte k dané přímce p kolmici k a rovnoběžku r bodem p. Příklad 38. Sestrojte Thaletovu kružnici nad průměrem B. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník s přeponou B. Příklad 39. Sestrojte tečnu kružnice k v jejím bodě T a z vnějšího bodu. 17 Výukový materiál pro předmět Matematika

18 Úlohy na konstrukci trojúhelníku Každá konstrukční úloha má tyto části: I. ROZBOR V rozboru načrtneme trojúhelník, jako by již byl sestrojen. Vyvarujeme se nakreslení některého ze speciálních trojúhelníků, ve kterém platí speciální vztahy. Proto načrtneme vždy obecný trojúhelník. Potom si vyznačíme (obyčejně jinou barvou) zadané prvky. Nato hledáme vazby mezi zadanými prvky a ostatními prvky tak, abychom mohli daný trojúhelník sestrojit. II. KONSTRUKCE JEJÍ POPIS - Popíšeme konstrukci pomocí zavedené symboliky a trojúhelník sestrojíme (u složitější úlohy je výhodnější rýsovat a zároveň popisovat konstrukci). III. POČET ŘEŠENÍ Vyjádříme se k počtu řešení. IV. DISKUZE Je-li úloha zadána obecně, vždy provádíme tzv. diskuzi úlohy, kdy zvažujeme různé hodnoty zadaných prvků, případně jejich polohy, vzhledem k počtu řešení úlohy. Poznámka. Konstrukční úlohy trojúhelníku můžeme řešit kromě využití množin bodů dané vlastnosti také na základě vět o shodnosti trojúhelníků sss, sus, usu, Ssu, dále je možno konstrukční úlohy řešit na základě výpočtu nebo metodou geometrických zobrazení. Příklad 40. Sestrojte trojúhelník BC. a) c = 5 cm; v c = 3,5 cm; t c = 4 cm b) a = 4 cm; b = 2 cm; t c = 2,5 cm c) b = 8 cm; v c = 3,5 cm; γ = 30 d) α = 45 ; v a = 4 cm; v b = 3 cm 18 Výukový materiál pro předmět Matematika

19 Pravoúhlý trojúhelník Jestliže v pravoúhlém trojúhelníku BC s pravým úhlem u vrcholu C označme P c patu výšky v c, strany a, b nazveme odvěsny, stranu c přepona, úsek přepony bližší k odvěsně a označíme c a, úsek přepony bližší k odvěsně b označíme c b, pak lze na základě podobnosti trojúhelníků odvodit následující věty. α b c b c C v c P c c a a β B Euklidova věta o výšce V každém pravoúhlém trojúhelníku BC (s pravým úhlem při vrcholu C) platí Euklidova věta o odvěsně V každém pravoúhlém trojúhelníku BC (s pravým úhlem při vrcholu C) platí c c 2 b = b. c c = v. 2 a b c c c 2 a = a a Pythagorova věta V každém pravoúhlém trojúhelníku BC (s pravým úhlem při vrcholu C) platí a + b = c. Goniometrické funkce ostrého úhlu. V každém pravoúhlém trojúhelníku BC (s pravým úhlem při vrcholu C a vnitřními úhly α, β) platí a protilehlá odvěsna b protilehlá odvěsna sinα = = sin β = = c přepona c přepona b přilehlá odvěsna a přilehlá odvěsna cosα = = cos β = = c přepona c přepona a protilehlá odvěsna b protilehlá odvěsna tgα = = tg β = = b přilehlá odvěsna a přilehlá odvěsna b přilehlá odvěsna a přilehlá odvěsna cotgα = = cotg β = = a protilehlá odvěsna b protilehlá odvěsna Ostatní vztahy V každém pravoúhlém trojúhelníku BC (s pravým úhlem při vrcholu C a vnitřními úhly α, β) platí: α + β = 90, γ = 90 c poloměr kružnice opsané r =. (Střed kružnice opsané /Thaletovy kružnice/ leží ve středu 2 přepony.) a + b c poloměr kružnice vepsané ρ = 2 ab c v S = = c (protože a = v b a b = v a ) a o = a + b + c Výukový materiál pro předmět Matematika

20 Příklad 41. Doplňte tabulku pro pravoúhlý trojúhelník BC. Odvoďte vztah pro výšku. a b c obvod obsah v c n n N, n > n Výukový materiál pro předmět Matematika

21 Příklad 42. Přepona pravoúhlého trojúhelníku je o 6 cm delší než jedna odvěsna a o 27 cm delší než druhá odvěsna. Určete obvod trojúhelníku. Příklad 43. Pravoúhlý trojúhelník má obsah 119 cm 2. Určete odvěsny, je-li jedna o 3 cm delší než druhá. Příklad 44. Určete strany obdélníku, který má obvod 322 cm a úhlopříčku 145 cm. Příklad 45. Určete a) délku přepony pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku s odvěsnou délky a b) výšku rovnostranného trojúhelníku o straně a c) úhlopříčku čtverce o straně a 21 Výukový materiál pro předmět Matematika

22 Příklad 46. Řešte pravoúhlý trojúhelník, je-li dáno: a) c = 18,2 cm, α = b) c = 27,5 cm, a = 22,6 cm Řešit trojúhelník znamená zjistit zbývající strany a úhly. Příklad 47. Doplňte tabulku pro pravoúhlý trojúhelník BC s pravým úhlem při vrcholu C. a b c α β Výukový materiál pro předmět Matematika

23 Příklad 48. Sestrojte rovnostranný trojúhelník v soustavě souřadnic, je-li 2;2 3, B = 1; 5. Příklad 49. Vypočítejte plošný obsah pravoúhlého trojúhelníka s úseky přepony c 1 = 8,5 cm; c 2 = 2,3 cm. Příklad 50. Určete strany a, c v pravoúhlém trojúhelníku BC, je-li b = 10; v c = Výukový materiál pro předmět Matematika

24 Úlohy 1. 1) Přepona pravoúhlého trojúhelníku je o 9 cm delší než jedna odvěsna a o 8 cm delší než druhá odvěsna. Určete obvod a obsah trojúhelníku. 2) Rozhodněte, zda trojúhelník s uvedenými rozměry je pravoúhlý. a) 5 cm, 12 cm, 13 cm b) u 2 v 2, 2uv, u 2 + v 2 3) Řešte pravoúhlý trojúhelník, je-li dáno: a + b = 9,6 m, α = 37,5 (vyjádřete sin α, cos α a porovnejte stranu c vyjádřenou z obou vztahů) 4) Řešte pravoúhlý trojúhelník, jsou-li dány těžnice t a = 12 cm, t b = 15 cm. 5) Jak dlouhý musí být žebřík, má-li ve vzdálenosti 5 metrů od svislé stěny sahat do výšky 12 metrů? 6) Jak dlouhý plot nutno zakoupit na oplocení pravoúhlé parcely, je-li nejkratší strana o 20 metrů kratší než nejdelší, prostřední má délku 40 metrů? 7) Jaký je výškový rozdíl míst, B na trati, která má stoupání 11, je-li vzdálenost míst a B 125 metrů? 8) Jak vysoká je sfinga, vidíme-li její vrchol ze vzdálenosti 45 metrů od ní ve výškovém úhlu 27? 9) Jak vysoká je budova vrhající na dlažbu stín dlouhý 53,6 metru, dopadají-li sluneční paprsky na vodorovnou rovinu pod úhlem 32? 10) Lanovka má přímou trať stoupající pod úhlem 40, její délka je 870 metrů. Jaký je výškový rozdíl dolní a horní stanice? V jaké nadmořské výšce je horní stanice, je-li nástupní v nadmořské výšce 570 metrů? 11) Jak vysoký je štít budovy tvaru rovnoramenného trojúhelníku, je-li budova 15 metrů široká a sklon šikmých hran je 38? 12) Paty dvou sousedních stožárů elektrického vedení mají na svahu výškový rozdíl 18,5 metru. Jak dlouhé vodiče spojují sousední stožáry, je-li úhel sklonu svahu 28 a skutečná délka vodičů je o 1 % delší? 13) Z okna domu stojícího na břehu řeky zaměřili dalekohled nivelačního přístroje na druhý břeh (u vodní hladiny). Jak široká je řeka, jestliže měřící přístroj byl 35 metrů nad hladinou a dalekohledem naměřili odchylku od svislého směru 56? 14) Jak vysoko vystoupí letadlo letící rychlostí 225 km/h za 10 minut, stoupá-li pod úhlem 5? Mnohoúhelníky Uzavřená lomená čára spolu s částí roviny ohraničené touto lomenou čarou se nazývá mnohoúhelník. Lomená čára, která jej ohraničuje, se nazývá obvod, její vrcholy a strany jsou vrcholy a strany mnohoúhelníku. Počet stran je roven počtu vrcholů, mnohoúhelník, který má n vrcholů, se nazývá n-úhelník. Spojnice každých dvou nesousedních vrcholů se nazývá úhlopříčka. (trojúhelník nemá úhlopříčky). n ( n 3) Počet úhlopříček v n-úhelníku je. 2 n. Součet vnitřních úhlů je ( 2) 180 Pravidelný n-úhelník je konvexní mnohoúhelník, jehož všechny strany a úhly jsou shodné. Lze mu vepsat i opsat kružnici. Čtyřúhelníky Čtyřúhelník je mnohoúhelník, který vznikne jako průnik čtyř polorovin, tj. čtyřúhelník BCD = BC BCD CD DB. Vrcholy čtyřúhelníku označujeme, B, C, D, strany čtyřúhelníku označujme a, b, c, d, vnitřní úhly čtyřúhelníku označujeme α, β, γ, δ a úhlopříčky čtyřúhelníku označujeme e = C, f = BD 24 Výukový materiál pro předmět Matematika

25 Rozdělení čtyřúhelníků Různoběžníky žádné dvě strany nejsou rovnoběžné Lichoběžníky dvě strany jsou rovnoběžné, zbývající nikoliv. Rovnoběžné strany se nazývají základny, zbývající ramena. Rovnoramenný lichoběžník má shodná ramena. Pravoúhlý lichoběžník má jedno rameno kolmé k základnám. Rovnoběžníky obě dvojice protějších stran jsou rovnoběžné. Podle velikosti úhlů dělíme rovnoběžníky na: pravoúhlé obdélník, čtverec kosoúhlé kosodélník, kosočtverec Podle velikosti stran na: rovnostranné čtverec, kosočtverec různostranné obdélník, kosodélník Základní vlastnosti rovnoběžníku: Protější strany jsou shodné. Protější vnitřní úhly jsou shodné. Úhlopříčky se navzájem půlí, jejich průsečík je středem rovnoběžníku. Úhlopříčky rovnostranných rovnoběžníků půlí jejich vnitřní úhly a jsou na sebe kolmé. Čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici, se nazývá tětivový. Čtyřúhelník, jemuž lze vepsat kružnici, se nazývá tečnový. Deltoid je čtyřúhelník, jehož úhlopříčky jsou na sebe kolmé a jedna z nich prochází středem druhé. Příklad 51. Sestrojte pravidelný šestiúhelník o straně a = 3 cm. Určete velikost jeho vnitřních úhlů. 25 Výukový materiál pro předmět Matematika

26 Příklad 52. Doplňte tabulku n-úhelník počet úhlopříček Příklad 53. Který konvexní n -úhelník má dvakrát víc úhlopříček než stran? Příklad 54. Kolik vrcholů má pravidelný n-úhelník, jehož všechny vnitřní úhly mají velikost 144? Příklad 55. V lichoběžníku BCD, B CD je α = 57, γ = 4β. Určete zbývající vnitřní úhly. 26 Výukový materiál pro předmět Matematika

27 Mnohoúhelníky konstrukční úlohy (doplňující) Příklad 56. a) Sestrojte rovnoběžník BCD, je-li C = 10 cm, v a = 4 cm, B = 7 cm. b) Sestrojte kosodélník BCD, je-li dáno: a = 4 cm, α = 60, e = 5,5 cm. c) Sestrojte lichoběžník BCD, je-li dáno: B CD, b = 4 cm, v = 3,5 cm, e = 8 cm, f = 7cm. d) Sestrojte čtyřúhelník BCD je-li dáno: a = 6,5 cm, α = 60, γ = 90, δ = 105, e = 8 cm. 27 Výukový materiál pro předmět Matematika

28 Obsahy a obvody rovinných útvarů - teorie Obrazec je rovinný útvar ohraničený uzavřenou čarou, která je částí obrazce. Obvod o je délka čáry, která ho ohraničuje. Obsah S je kladné číslo, přiřazené geometrickému obrazci tak, že platí: shodné obrazce mají sobě rovné obsahy skládá-li se obrazec z několika obrazců, které se nepřekrývají, rovná se obsah součtu jejich obsahů obsah čtverce o straně 1 má obsah 1j 2 Přehled vzorců obrazec obvod obsah čtverec 2 4 a a obdélník 2 ( a + b) ab kosočtverec ef 4 a av a nebo 2 kosodélník ( a + b) lichoběžník trojúhelník pravidelný n-úhelník kruh av = bv 2 a b a + b + c + d a + b + na πr c ( a + c) v 2 zv 2 na ρ oρ = π r Příklad 57. Určete rozměry obdélníkového pozemku, je-li jeho obvod 176 metrů a výměra 19 arů. 28 Výukový materiál pro předmět Matematika

29 Příklad 58. Určete cenu za spotřebu barvy na nátěr reklamního panelu tvaru kosočtverce se stranou délky 4,3 m, je- li poloměr kružnice vepsané 1,2 metru. Kruh je natřen žlutou barvou, jejíž cena je 85 Kč/kg, zbylá plocha je natřena modře a cena barvy je 75 Kč/kg. Na 1 m 2 nátěru spotřebujeme 0,7 kg barvy. Příklad 59. Určete cenu za vnitřní nátěr bazénu se svažujícím se dnem s nejmenší hloubkou 1 metr a největší hloubkou 3 metry, je-li délka bazénu 25 metrů a šířka 15 metrů. Za 1m 2 nátěru si firma účtuje 80 Kč. Příklad 60. nténní stožár je 24 metry vysoký. Je upevněn čtyřmi ocelovými lany zavěšenými 1,5 metru pod nejvyšším bodem stožáru a ukotveným na zemi ve vrcholech čtverce o straně 12 metrů. Stožár je vztyčen ve středu tohoto čtverce. Vypočítejte celkovou délku ocelových lan, jestliže na upevnění každého z nich je nutno přidat 1,1 metru lana. 29 Výukový materiál pro předmět Matematika

30 Příklad 61. Z kulatiny o průměru 40 cm se má vyrobit trám o maximálním čtvercovém průřezu. Jaká bude délka jeho hrany? Úlohy 2. 1) Pozemek na vodorovném terénu má tvar rovnoramenného lichoběžníku se základnami 75 a 103 metry. Rameno svírá s nejdelší stranou úhel 44. Kolika hektolitry vody byl pozemek zavlažen při dešti se srážkami 8 mm na 1 m 2? 2) Traktor oseje za hodinu 1,5 ha půdy. Za kolik hodin oseje pole tvaru pravoúhlého lichoběžníku se základnami 635 m a 554 m a delším ramenem 207 m? 3) Určete spotřebu pletiva na oplocení parcely tvaru kosočtverce, jsou-li vzdálenosti protějších rohů 42 m a 34 m. Na záhyby se počítá navíc 4 %. 4) Vypočítejte poloměr kruhové dráhy, kterou musí běžec oběhnout třikrát, aby uběhl 2 km. 5) Při zkušebním letu letěl pilot nejprve 450 km k severu, pak k východu a po určité době se v přímém směru vrátil na letiště. Jaká byla délka dráhy letu, byla-li velikost úhlu dráhy posledního a výchozího směru 52? 30 Výukový materiál pro předmět Matematika

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku. Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

DIDAKTIKA MATEMATIKY

DIDAKTIKA MATEMATIKY DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu!

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu! -----Pravoúhlý trojúhelník----- 156 V pravoúhlém trojúhelníku ABC má pravý úhel vrchol C. Vypočítejte velikost jeho ostrých úhlů, je-li dáno: a) a = 62 mm, b = 37 mm, b) a = 36 mm, c = 58 mm, c) b = 8,4

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

Základy geometrie - planimetrie

Základy geometrie - planimetrie Základy geometrie - planimetrie Základní pojmy - bod (A, B, X, Y...), přímka ( p, q, a... ), rovina ( α, β, π... ) - nedefinují se Polopřímka: bod dělí přímku na dvě polopřímky opačně orientované značíme

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE

UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE Pedagogická fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky Výuka rovinné geometrie na středních školách Plane geometry teaching at secondary schools Autor: Bc. Lucie Machovcová

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.

Více

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) )

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) ) Druhá mocnina z tabulek 1) (- 6) = 10)(- 5) = ) 7 = 4 11) 5 = ) 4,8 = 4) 40 = 5),785 = 6) 65 8 = 7) 0,01485 = 8) 5,7 = 9) = 4 1),4 = 1)80 = 14)4,6787 = 15)467 56 = 16)0,014 = 17)48,69 = 1 18) Druhá odmocnina

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Podobnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Úhel Zvolíme-li na přímce bod, rozdělí ji na dvě polopřímky. Definice (Úhel) Systém dvou polopřímek ÝÑ VA, ÝÑ VB se společným počátečním

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

3.1.2 Polorovina, úhel

3.1.2 Polorovina, úhel 3.1.2 Polorovina, úhel Předpoklady: 3101 Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich společnou hranicí (hraniční přímkou). p Hraniční přímka patří do obou polorovin. ody, které neleží

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6.1. Podobnost geometrických útvarů. Podobností ( podobným zobrazením ) nazýváme takové geometrické zobrazení, je-li každému bodu X přiřazen

Více

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Planimetrie pro studijní obory

Planimetrie pro studijní obory Variace 1 Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Planimetrie Planimetrie

Více

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití IT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTIE

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín. Rovnoběžníky čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín. Rovnoběžníky čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Rovnoběžníky čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník Autor: Mgr. Břetislav Macek Rok vydání: 2014

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Vlastnosti kružnice. Bakalářská práce. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky

Vlastnosti kružnice. Bakalářská práce. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky Bakalářská práce Vlastnosti kružnice Vypracoval: Veronika Šulová Vedoucí práce: prof. RNDr. Pavel Pech, CSc. České Budějovice

Více

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka. Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma

Více

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,

Více

16. žákcharakterizujeatřídízákladnírovinnéútvary

16. žákcharakterizujeatřídízákladnírovinnéútvary OČEKÁVANÝ VÝSTUP PODLE RVP ZV 1. žákcharakterizujeatřídízákladnírovinnéútvary Úloha 1 Rovinné útvary v obrázku jsou označeny symboly A L. A B C D E F G H I J K L V tabulce je uveden název obrazce a odpovídající

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Metrické vlastnosti v prostoru

Metrické vlastnosti v prostoru Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Kružnice Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr

Více

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti GEOMETRIE pracovní sešit pro 6. ročník Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Tato publikace byla vytvořena v souladu s RVP ZV v rámci projektu

Více

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Řešení složitějších úloh na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku Bakalářská práce BRNO. května 006 Barbora Kamencová Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

ÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU... 7 1. ROVINNÉ ÚTVARY... 9 1.1. ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY... 10 ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ...

ÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU... 7 1. ROVINNÉ ÚTVARY... 9 1.1. ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY... 10 ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ... O B C H O D N Í A K A D E M I E O R L O V Á M A T E M A T I K A I II Z Á K L A D Y G E O M E T R I E U Č E B N Í T E X T P R O D I S T A N Č N Í F O R M U V Z D Ě L Á V Á N Í E V A B A R T O Ň O V Á P

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Planimetrie. Přímka a její části

Planimetrie. Přímka a její části Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

Shodné zobrazení v rovině

Shodné zobrazení v rovině Gymnázium Cheb Shodné zobrazení v rovině seminární práce Cheb, 2007 Lojza Tran Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Shodné zobrazení v rovině vypracoval zcela sám za použití pramenů

Více

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =

Více

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník 4 hodiny týdně PC a dataprojektor Číselné obory Přirozená a celá čísla Racionální

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné

Více

3. Racionální čísla = celá čísla + zlomky + desetinná čísla 4. Iracionální čísla = čísla, která nelze zapsat konečným desetinným rozvojem

3. Racionální čísla = celá čísla + zlomky + desetinná čísla 4. Iracionální čísla = čísla, která nelze zapsat konečným desetinným rozvojem Číselné obory 1. Přirozená čísla vyjadřují počet. 1,2,3, 2. Celá čísla Kladná: nula Záporná: Kladná + nula = nezáporná čísla Celá čísla = přirozená + nula + záporná celá 3. Racionální čísla = celá čísla

Více

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013 ZÁKLADY PLANIMETRIE Planimetrie je část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Těmito útvary v rovině jsou: 1. body - značí se velkými písmeny latinské abecedy (A, B, C, D,

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

Příklady na 13. týden

Příklady na 13. týden Příklady na 13. týden 13-1 Kruhový záhon o průměru 10 m se má osázet begóniemi. Na jednu sazenici je zapotřebí 2 dm 2. 1g semena má 5 000 zrn, jejichž klíčivost je 85 %. Pěstební odpad od výsevu do výsadby

Více