Projektivní geometrie dvou pohledů. Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni
|
|
|
- Nikola Mašková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění Projektivní geometrie dvou pohledů Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění
2 Obsah přednášky Perspektivní kamera model kamery kalibrace kamery rozklad matice projekce Projektivní geometrie dvou pohledů Epipolární geometrie Epipolární podmínka Fundamentální matice Odhad pohybu kamery 3D rekonstrukce Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 1 / 51
3 Perspektivní kamera obecný model perspektivní kamery slouží k popisu projekce 3D prostoru do 2D prostoru (obrazová rovina) vždy se jedná o středovou projekci Pozn. speciální případ... střed projekce leží v nekonečnu afinní kamera a jde o zobecnění tzv. paralelní projekce Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 2 / 51
4 projekce bodu X = (x, y, z) do obrazové roviny π souřadné osy (u, v) počátek souřadného systému světových souřadnic je v bode C vzdálenost obrazové roviny od tohoto bodu je tzv. ohnisková vzdálenost f Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 3 / 51
5 model kamery je reprezentován maticí P o velikosti 3 4 tzv. maticí projekce libovolný bod v prostoru se transformuje do obrazové roviny pouhým násobením maticí projekce: m = PX (1) a maticově zapíšeme jako: x m 1 f m 2 = 0 f 0 0 y z (2) m Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 4 / 51
6 Přechod z homogenní reprezentace: normalizujeme (na jedničku) třetí homogenní souřadnici [ m 1 m 3, m 2 m 3, 1] T... pak vlastně modeluje výpočet projekce takto: m 1 m 3 = fx z = u, m 2 m 3 = fy z = v, m 3 m 3 = 1 pro m 3 0 (3) říkáme, že vyjádříme bod v obraze Proč to tak je? ukázka přepočtu projekce za pomoci podobnosti trojúhelníků, náhled os (Y,Z) a obdobně platí pro (X,Z) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 5 / 51
7 Model obecné kamery (matice P) zahrnuje další prvky (celkem 5 vnitřních a 6 vnějších parametrů), které poskytují další stupně volnosti projekce: posun počátku souřadnic obrazové roviny do levého horního rohu kompenzace nepravoúhlosti os senzoru. fk u fk u coth(θ) u 0 0 P = 0 fk v / sin(θ) v 0 0 resp fk u fk u coth(θ) u 0 K = 0 fk v / sin(θ) v 0 je kalibrační matice kamery Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 6 / 51
8 + 6 vnějších parametrů (3 krát rotace kolem třech základních os a posun kamery, resp. souřadnice středu promítání) posun a otočení počátku souřadnic světových souřadnic X = R(X camera C), kde R T R = I je matice rotace kamery oproti světovým souřadnicím Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 7 / 51
9 vše dohromady definuje obecný předpis pro perspektivní kameru, a projekce bodu je: m = KR[I, C]X přepisem můžeme vyjádřit jako: P = KR[I, C] (4) P = K[R, t] kde t = RC (5) perspektivní kamera má 11 stupňů volnosti: 1x ohnisková vzdálenost v pixelech + 1x poměr stran pixelu + 1x zkosení os + 2x počátek obrázku + 3x posun + 3x rotace kamery= 11 DOF (degree of freedom) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 8 / 51
10 Kalibrace kamery z mnoˇziny zn am ych bod u - Camera resection Metody Poˇ c ıtaˇ cov eho Vidˇ en ı (MPV) - 3D poˇ c ıtaˇ cov e vidˇ en ı 9 / 51
11 kalibrace kamery je numerická metoda pro určení matice projekce P vyžaduje pozici prostorového bodu a jeho projekci do obrazové roviny z několika těchto dvojic můžeme určit matici projekce pro každý pár X i x i musí být splněna projekce x i = PX i pro i = 1 : N Poznámka 1: Předpokladem je linearita projekce tak jak je zmíněna a neuvažuje se distorze obrazu daná například čočkou objektivu Poznámka 2: Postup hledání projekční matice je velmi podobný hledání matice pro projektivní transformaci (rozdíl je pouze v rozměru matic) P a H Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 10 / 51
12 pro každou dvojici X i x i můžeme napsat vztah: 0 T w i X T i y i X T i p 1 w i Xi T 0 T x i X T i p 2 = 0 (6) y i X T x i X T i 0 T p 3 x i = (x i, y i, w i ) a p T 1 je první řádek matice P, podobně druhý a třetí řádek jsou složeny do sloupcového vektoru neznámých veličin o rozměru 1 12 podobně můžeme uvažovat pouze první dva řádky soustavy rovnic... třetí řádek je lineárně závislý na prvních dvou. Tedy: [ 0 T w i X T i y i X T i w i Xi T 0 T x i X T i ] 1 p p 2 = 0 (7) p 3 Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 11 / 51
13 pro množinu n známých prostorových bodů a jejich projekcí získáváme matici A velikosti (2n) 12 0 T X T 1 y 1 X T 1 X1 T 0 T x 1 X T 1 A =... (8) 0 T X T n y n X T n Xn T 0 T x n X T n řešením této soustavy (Ap = 0) získáme vektor p a tedy potřebné řádky matice projekce P. matice P má 12 prvků a 11 stupňů volnosti (není modelováno měřítko, k-násobek matice je stejná projekce) z každého prostorového bodu získáváme dvě rovnice teoreticky nám stačí pro DOF 11 přesně 5,5 prostorových bodů pak existuje jedno řešení pravý nulový prostor matice A Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 12 / 51
14 však nepřesnosti měření těchto bodů získáváme však pře-určenou soustavu rovnic... rank(a) = 9 hledáme řešení s nejmenší chybou (algebraickou nebo geometrickou) v základu proto použijeme SVD rozklad, nalezneme řešení s nejmenší algebraickou chybou... Ap = ɛ SVD minimalizuje Ap s podmínkou p = 1 tedy ɛ min a pokud A = UDV T a σ 12 σ 11 pak řešení p odpovídá poslednímu řádku matice V a ɛ = σ 12 Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 13 / 51
15 Existují jisté degenerativní konfigurace prostorových bodů, pro které nelze určit řešení a tedy matici projekce. Nejzávažnější jsou tyto: střed projekce kamery a prostorové body leží na twisted cubic kalibrační prostorové body leží v jedné rovině a na přímce, která prochází středem projekce aj. Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 14 / 51
16 Radiální zkreslení - Radial distorsion Všechny předchozí vztahy platí pro případ, že projekce je ideální středové promítání skutečný přístroj (fotoaparát nebo kamera) obsahuje čočku, která způsobuje více či méně jev, že prostorové přímky nejsou promítány na přímky v obraze - tzv. radiální zkreslení tento jev narůstá důležitosti s klesající ohniskovou vzdáleností a cenou objektivu Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 15 / 51
17 korekci zkreslení souřadnic obrázku můžeme přespat jako: ˆx = x c + L(r)(x x c ) ŷ = y c + L(r)(y y c ) (x, y) je bod v obraze který je podřízen radiálnímu zkreslení (xc, y c ) střed radiálního zkreslení r je radiální vzdálenost od středu radiálního zkreslení x 2 + y 2 L(r) je funkce popisující zkreslení, parametrem je vzdálenost od středu aproximaci funkce L(r) můžeme zvolit: L(r) = 1 + κ 1 r + κ 2 r 2 + κ 3 r parametry popisující radiální zkreslení jsou pak (κ 1, κ 2, κ 3,... ), x c, y c Pozn. střed radiálního zkreslení může být zvolen principal point... projekce středu projekce do obrazu Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 16 / 51
18 určení funkce L(r) je často provedenou současně s výpočtem projekční matice (je zahrnuta do minimalizačního procesu) chybová veličina pak určuje odchylku skutečných bodů kalibračního obrazce v obraze od bodů popsaných lineární transformací Pozn. obdobně mohou být parametry radiálního zkreslení určeny během výpočtu homografie Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 17 / 51
19 Rozklad matice projekce P metodou kalibrace kamery získáváme přímo projekční matici P jako celek (tedy matici 3 4) matici můžeme použít pro případnou 3D rekonstrukci a není bezprostředně nutné znát jednotlivé vnitřní a vnější parametry kamery pokud však tyto parametry potřebujeme určit, musíme získanou projekční matici rozložit do zmíněného maticového součinu tedy víme, že P = KR[I, C] Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 18 / 51
20 dále matici budeme značit jako: P = [Q, q] KR[I, C], kde Q = KR R 3,3 je čtvercová matice, pro perspektivní kameru má plnou hodnost q R 3,1 střed systému světových souřadnic K R 3,3 je čtvercová matice horní trojúhelníková R R 3,3 je čtvercová matice rotace, je ortogonální (R 1 = R T a tedy R T R = I) pozn. vektory sloupců takové matice mají jednotkovou normu a jsou na sebe kolmé Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 19 / 51
21 Pro určení vnitřních parametrů můžeme například použít QR rozklad, resp. variantu RQ z teorie je RQ rozklad je dekompozice nějaké matice A tak, že platí A = RQ za podmínky, že R je horní trojúhelníková matice a Q je ortogonální matice (Nezaměnit s naším označením pro matice Q a R!) jednou z možností takového rozkladu je použití Givensových rotací postupně uvažujeme násobení matice Q (ta naše co vznikla z matice P) zprava maticemi R 1, R 2 a R 3 tak, aby platilo: c s 0 K = QR 1 R 2 R 3, R 1 = s c kde c 2 + s 2 = 1 apod. R 2 a R 3 Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 20 / 51
22 Rotace kamery oproti světovým souřadnicím: c s 0 K = QR 1 R 2 R 3, R 1 = s c chceme tedy na levé straně dostat horní trojúhelníkovou matici postupně tedy, hledám nejprve úhel reprezentovaný maticí R 1 na pozici Q 32 byl nulový. Pak hledám druhý úhel matice R 2 tak, aby prvek na pozici Q 31 byl nulový nakonec najdu třetí úhel v matici R 3, aby i třetí prvek pod diagonálou byl nulový, tedy prvek Q 21 máme tedy 3 vnější parametry... rotaci kamery ve světových souřadnicích Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 21 / 51
23 Ohnisková vzdálenost, posun počátku obrázku a kolmost os obrázku: přenásobením původní matice Q zprava všemi třemi získanými maticemi získávám kalibrační matici K a tedy potažmo i vnitřní parametry kamery: ohnisko, velikost pixelu, posun počátku obrázku a úhel os obrázku tedy K = QR 1 R 2 R 3 Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 22 / 51
24 Optický střed: poslední 3 vnější parametry jsou pro posun kamery od počátku světových souřadnic optický střed má tu vlastnost, že projekce tohoto bodu (C) je nulová pak PC = 0 a C jsou prostorové souřadnice středu projekce můžeme odvodit [ vztah ] pro určení optického středu jako: C 0 = PC = [Q, q] = QC + q C = Q 1 1 q Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 23 / 51
25 Uved me ještě další vlastnosti z odvozené matice projekce, které nejsou vnitřní ani vnější parametry kamery: optický paprsek optická rovina vztah optická rovina a optický paprsek... Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 24 / 51
26 Optický paprsek: optický paprsek je vektor, který směřuje z optického středu (C) směrem k prostorovému bodu (X ) v obrazové rovině pak určuje bod m bod v prostoru je dán jako: X = C + λd = C + λq 1 m d = Q 1 m (9) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 25 / 51
27 Optická rovina: optická rovina je prostorová rovina, procházející optickým středem a určující přímku v obrazové rovině. potom optický paprsek daný bodem m je d = Q 1 m druhý paprsek jako d = Q 1 m Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 26 / 51
28 po dosazení získáme vztah pro normálový vektor optické roviny jako: p = d d = Q T (m m ) = Q T n Poznámka: optický paprsek z tohoto pohledu je si možné představit také jako průsečík dvou optický rovin Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 27 / 51
29 Shrnutí q T 1 q 14 P = [Q, q] = q T 2 q 24 = KR[I, C] q T 3 q 34 fk u fk u coth(θ) u 0 α x s x 0 K = 0 fk v / sin(θ) v 0 = 0 α y y R... orientace kamery, ortogonální matice 3 3 C = rnull(p)... optický střed d = Q 1 m... optický paprsek det(q)q 3... optická osa Qq 3... principal point p = Q T n... optická rovina (n je přímka v obrazové rovině) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 28 / 51
30 Projektivní geometrie dvou pohledů projektivní geometrie může být dále rozšířena v případě, že máme dva pohledy na stejnou scénu z různých směrů dva pohledy mohou být získány souběžně v jeden okamžik (dva přístroje) nebo jedním přístrojem postupně za sebou (pohyb přístroje před objektem) podobně pohyb objektu před přístrojem (stejné) tyto úlohy jsou duální a vedou na stejné řešení Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 29 / 51
31 první a druhý pohled je popsán maticí projekce P resp. P označení použije pro druhý pohled dále platí... x = PX a x = P X body v obraze x a x jsou tzv. sobě korespondující body protože pocházejí projekcí od stejného prostorového bodu X projektivní geometrie dvou pohledů umožňuje řešit následující skupiny problémů: geometrie korespondence - pro daný bod x nás zajímá, v jaké části v druhém obrazu je jeho korespondent x geometrie pohybu kamery - známe množinu sobě korespondujících obrazových bodů a zajímá nás, jaký pohyb je kamery (tedy pohyb mezi snímkem jedna a dva) geometrie trojrozměrné scény - opět známe sobě korespondující obrazové body a zajímá nás jejich pozice ve 3D Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 30 / 51
32 Epipolární geometrie epipolární geometrie popisuje vzájemný vztah dvou pohledů na scénu všechny vztahy a výpočty epipolární geometrie jsou nezávislé na geometrii scény závisí pouze na vnitřních parametrech daných dvou pohledů a na jejich vzájemné pozici Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 31 / 51
33 b je báze, spojnice středů kamer b = C 2 C 1 epipól e i π i je obraz středů v obrazové rovině, e 1 = P 1 C 2 a e 2 = P 2 C 1 l i π i je obraz roviny (epipolární roviny) spojující prostorové body ɛ = (C 2, X, C 1 ) l i je epilopární přímka Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 32 / 51
34 Epipolární podmínka vychází z podmínky, že d 1, d 2 a b leží v jedné rovině epipolární geometrii je možné zcela zahrnout do jedné 3 3 matice, tzv. fundamentální matice obrazový bod x v prvním pohledu a bod x z druhého pohledu jsou projekce společného bodu X pak platí: x T Fx = 0 (10) tento vztah se nazývá epipolární podmínka matice F se nazývá fundamentální matice Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 33 / 51
35 pokud F popisuje vztah kamer P 1 a P 2 pak transponovaná matice F T pak popisuje kamery P 2 a P 1 epipolární přímka v druhém obraze je vyjádřena jako l = Fx a podobně l = F T x pro epipól v druhém obraze platí e T F = 0, tedy je to levý nulový prostor fundamentální matice, a podobně pro epipól v prvním obraze Fe = 0 je pravý nulový prostor. Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 34 / 51
36 Fundamentální matice fundamentální matice F je čtvercová homogenní matice velikosti 3 3 hodnost matice je 2, je singulární (det(a) = 0), a má 7 stupňů volnosti má pravý a levý nulový prostor, které odpovídají epipólům fundamentální matice může být určena numerickým výpočtem pouze z několika sobě korespondujících bodů princip výpočtu vychází ze zmíněné epipolární podmínky, která musí platit pro každý pár bodů Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 35 / 51
37 Určení fundamentální matice mějme tedy několik sobě korespondujících bodů x x necht platí epipolární podmínka x Fx = 0 pokud je x = (x, y, 1) a x = (x, y, 1), pak epipolární podmínku můžeme pro jeden pár rozepsat jako: x xf 11 +x yf 12 +x f 13 +y xf 21 +y yf 22 +y f 23 +xf 31 +yf 32 +f 33 = 0 (11) tento vztah určuje sloupcový 9 1vektor f f představuje postupně řádky matice F parametry předchozí rovnice formují jeden řádek (rovnici) lineární soustavy rovnic (x x, x y, x, y x, y y, y, x, y, 1) (12) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 36 / 51
38 pro n vzájemné korespondujících bodů v prvním a druhém obraze získáme maticový zápis n rovnic : x 1 x 1 x 1 y 1 x 1 y 1 x 1 y 1 y 1 y 1 x 1 y 1 1 Af = f=0 x nx n x ny n x n y nx n y ny n y n x n y n 1 (13) pokud je hodnost matice A právě 8, pak existuje právě jedno netriviální řešení, což je pravý nulový prostor matice A v důsledku přítomnosti šumu je tato soustava přeurčená a tedy často nemá řešení základní postup nalezení odhadu řešení je výpočet takového f s nejmenším kvadrátem chyby... postup je totožný s postupem použití SVD rozkladu např. při určení homografie tedy minimalizujeme normu Af s podmínkou měřítka f = 1 v tomto kontextu nalezení řešení používáme označení 8-bodový algoritmus. Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 37 / 51
39 I pokud nen ı F singul arn ı (rank(f > 2)), pak se epipol arn ı pˇr ımky neprot ınaj ı v jednom bodˇe (chyba) I pro zajiˇstˇen ı hodnosti 2 m uˇzeme prov est znovu SVD rozkladu opravenou F0 z ısk ame zpˇetnˇe pˇren asoben ım F = UDVT, kde uprav ıme D = diag (r, s, t) s t ım r s t a fundament aln ı matice F0 = Udiag (r, s, 0)VT minimalizuje Frobeniovu normu F F0 a jedn a se o nejbliˇzˇs ı singul arn ı matici k p uvodn ı matici F I I Metody Poˇ c ıtaˇ cov eho Vidˇ en ı (MPV) - 3D poˇ c ıtaˇ cov e vidˇ en ı 38 / 51
40 Další možnosti zpřesnění nalezeného odhadu řešení fundamentální matice: A je obecně předurčena ke špatné numerické stabilitě výpočtu, protože A je špatně podmíněná (velká rozdílnost prvků... v řádech) proto se často matice před vlastním výpočtem normalizuje tzv. umělé snížení rozdílnosti její prvků další úprava pro zvýšení robustnosti výpočtu fundamntální matice je použití pouze 7 bodů a následný postprocesing (tzv. 7 bodový algoritmus) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 39 / 51
41 Automatický výpočet fundamentální matice často nemáme jistotu, že všechny nalezené páry jsou korespondenti (jsou nalezeny automaticky) pak musíme použít nějakou metodu iterativního zkoušení a hledání řešení, např.: použití Least median of squared residuals (LMedS) (r. 1984), metoda předpokládá alespoň 50 % všech párů jsou správní korespondenti, nebo Random Sample Consensus (RANSAC) (r. 1981) až 90 % bodů může být špatně korespondující Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 40 / 51
42 Esenciální matice historicky byla esenciální matice popsána dříve než matice fundamentální (r. 1981) tato matice má méně stupňů volnosti než fundamantální matice, jen 5 stupňů volnosti označme projekční matice obou pohledů jako: P = K[I, C 1 ] P = K R[I, (C 1 + b)] a vektor b = (b 1, b 2, b 3 ) matice R představuje relativní rotaci druhé kamery vůči kameře první a vektor b je posun středu druhé kamery od první kamery x T Fx = x T K T EK 1 x = 0 (14) matice E se nazývá esenciální matice a tedy F = K T EK 1 (15) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 41 / 51
43 a naopak přenásobením kalibrační maticí zprava a zleva získáme vztah pro výpočet esenciální matice z fundamentální matice jako: pro esenciální matici dále platí: E = K T FK (16) E = RS(b) (17) kde S(b) je antisymetrická matice: 0 b 3 b 2 S(b) = b 3 0 b 1 (18) b 2 b 1 0 esenciální matice zachycuje relativní pozici druhé kamery oproti první kameře hodnost matice rank(e) 2 (5 stupňů volnosti = 3 rotace + 3 translace -1 nejednoznačnost rozkladu - první dvě vlastní čísla jsou stejné a třetí je nulové Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 42 / 51
44 Odhad pohybu kamery odhad pohybu kamery spočívá v určení vektoru báze b a matice rotace R ze známé množiny korespondujících bodů k 8 jde tedy o nalezení a rozklad esenciální matice v základu může být esenciální matice určena z fundamentální matice použitím kalibračních matic obou pohledů pokud neznámě tyto dvě projekční matice... odhad esenciální matice stejným způsobem jako odhad fundamentální matice jak? Pokud první pohled platí P = K[R t] a platí, že x = PX pak použijeme vztahu reprojekce s kalibrační maticí a získáme bod ˆx = K 1 x, který nazýváme bod v normalizovaných souřadnicích jinými slovy bod v těchto souřadnicích získáme projekcí s jedničkovou kalibrační maticí I (ohnisková vzdálenost je 1) a bod měřený v obraze vydávat za tento bod Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 43 / 51
45 potom pro projekci mluvíme o matici normalizované kamery, ztrácíme měřítko. dostaneme první pohled jako P = [I 0] a druhý pohled se stejnou projekcí, ale s pootočením a posunem je P = [R b] epipolární podmínka pro formulování rovnic získá tvar: ˆx T Eˆx = 0 (19) esenciální matici pak můžeme určit stejným postupem jako matici fundamentální, např. 8-bodovým algoritmem Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 44 / 51
46 Rozklad esenciální matice rozklad esenciální matice na E = SR použijeme známý SVD rozklad nejprve si definuje pomocné matice W = (20) matice W je ortogonální Z = (21) a matice Z je antisymentrická Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 45 / 51
47 pokud SVD rozklad E = UDV T matice rotace je možné určit dvěma způsoby, bud jako R = UWV T nebo jako R = UW T V T (neznámé znamínko) dále matice S je dána jako S = UZU T resp. b = V(0, 0, β ) T (opět neznámé znamínko) jinými slovy máme dvě možnosti jak určit matici R a dvě možnosti (znaménko) jak určit posun v kombinaci získáme celkem čtyři možná (správná) řešení pro matici P avšak pouze jedno z těchto řešení představuje pozorování scény před oběma pohledy (kamerami). Poznámka: esenciální (fundamentální) matici je možné použít přímo pro 3D rekonstrukci z páru nezkalibrovaných kamer (až r. 1990) Existuje několik postupů a doplňujících podmínek jak získat správnou metrickou rekonstrukci. Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 46 / 51
48 3D rekonstrukce - Linear triangulation pokud známe dvě projekční matice P a P a současně máme korespondující pár, tedy obrazový bod v prvním pohledu x a obrazový bod v druhém pohledu x pak můžeme určit 3D souřadnici neznámého bodu Poznámka: jediné body,které nelze rekonstruovat jsou body ležící na spojnici mezi středy kamer Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 47 / 51
49 pro tento pár musí platit epipolární podmínka, tedy x T Fx = 0 pro bod x můžeme očekávat bod x na epipolární přímce rovina spojující prostorový bod X a středy kamer určuje epipolární přímky v obou pohledech platí x = PX a x = P X a můžeme převést problém na formu AX = 0 měřítko dané homogenní souřadnicí je eliminováno vektorovým součinem např. pro první pohled jako x PX = 0 x(p 3T X) (p 1T X) = 0 y(p 3T X) (p 2T X) = 0 x(p 2T X) y(p 1T X) = 0 Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 48 / 51
50 jen 2 rovnice jsou vždy lineárně nezávislé po vypuštění třetí rovnice dostáváme vztah pro určení matice A složené ze čtyř rovnic (odpovídající dvou bodům) každý bod po dvou souřadnicích korespondenčního páru řešením soustavy získáváme neznámý vektor 4 1 X, tedy 3D rekonstrukci xp 3T p 1T A = yp 3T p 2T x p 3T p 1T (22) y p 3T p 2T Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 49 / 51
51 často měření obsahuje šum a soustava nemá netriviální řešení nalezení nejlepšího odhadu nezámého bodu je podobné předchozím případům tedy SVD rozklad A = UDV T a řešení je poslední sloupec matice V odpovídající nejmenšímu vlastnímu číslu nalezený odhad řešení dehomogenizujeme tak, X = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) T poděĺıme poslední (homogenní) souřadnicí, tedy: (x, y, z) T = (x 1 /x 4, x 2 /x 4, x 3 /x 4 ) T Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 50 / 51
52 Algoritmus tzv. řídké 3D stereo rekonstrukce: použiji nějaký detektor významných bodů, detekce tzv. stabilních bodů... invariantních změně a posunu pohledu spočítat lokální deskriptor každého dobu v obou pohledech provést předběžné párování nalezených bodů porovnáním vektorů z deskriptoru nalézt pouze správné korespondenty např. s pomocí metody RANSAC a splněním epipolární podmínky provést 3D rekonstrukci těchto správných korespondentů Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 51 / 51
Projektivní geometrie. Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni
Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění Projektivní geometrie Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Metody Počítačového Vidění
Projektivní geometrie. Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni
Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění Projektivní geometrie Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Metody Počítačového Vidění
2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2
Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací
Úlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
Aplikace. Středové promítání. A s. Výpočet pohybu kamery rekonstrukcí videosekvence 3D rekonstrukce objektů 3D modelování
Aplikace Výpočet pohybu kamery rekonstrukcí videosekvence 3D rekonstrukce objektů 3D modelování Středové promítání σ A S B S...střed promítání ν...průmětna σ...centrální rovina σ π, S σ π A s B σ, neexistuje
Michal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Michal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Vlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
Matematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Arnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
Vlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Lineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Aplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Geometrické transformace pomocí matic
Geometrické transformace pomocí matic Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 2. dubna 2010 Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace ve 2D 3 Geometrické transformace ve 3D Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace
Úvod do mobilní robotiky AIL028
md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor07/cs 20. prosince 2007 1 2 3D model světa ProMIS Cvičení hledání domečku Model štěrbinové kamery Idealizovaný jednoduchý model kamery Paprsek světla vychází
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Lineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
Pavel Klavík. Katedra aplikované matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze
Katedra aplikované matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze Historie Motto Budeme se zabývat specifickými problémy, které se objevují při řešení soustav lineárních rovnic na
Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 4.ročník SOUŘADNICOVÉ SOUSTAVY VE FOTOGRAMMETRII
SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 4.ročník SOUŘADNICOVÉ SOUSTAVY VE FOTOGRAMMETRII SOUŘADNICOVÉ SOUSTAVY VE FTM hlavní souřadnicové soustavy systém snímkových souřadnic systém modelových
f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
![x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.](/thumbs/83/87395437.jpg "x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.")
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
Regresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
![[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}](/thumbs/26/7692117.jpg "[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}")
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020
Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 Zbyněk Šír Matematický ústav UK Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 1 / 18 O čem předmět bude Chceme podat teoretický základ nezbytný
transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]
![transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]](/thumbs/88/115112143.jpg "transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]")
[1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do
A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
![A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz](/thumbs/47/23721460.jpg "A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz")
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA
Rovinné přetvoření Rovinné přetvoření, neboli, jak se také často nazývá, geometrická transformace je vlastně lineární zobrazení v prostoru s nějakou soustavou souřadnic. Jde v něm o přepočet souřadnic
Vlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 9. přednáška: Ortogonalita Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete
Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
Podrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma
Kuželosečky a kvadriky - výpisky + příklady Postupně vznikající text k části předmětu Geometrie. Ve výpiscích naleznete výpisky z přednášky, poznámky, řešené příklady a příklady na procvičení. Podrobnější
Numerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským
Parametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Kalibrační proces ve 3D
Kalibrační proces ve 3D FCC průmyslové systémy společnost byla založena v roce 1995 jako součást holdingu FCC dodávky komponent pro průmyslovou automatizaci integrace systémů kontroly výroby, strojového
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3
3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Numerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
Linearní algebra příklady
Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového
Soustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
Těleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
2.5 Rovnováha rovinné soustavy sil
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.5 Rovnováha rovinné soustavy sil Rovnováha sil je stav, kdy na těleso působí více sil, ale jejich výslednice
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Symetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
3.4.2 Rovnováha Rovnováha u centrální rovinné silové soustavy nastává v případě, že výsledná síla nahrazující soustavu je rovna nule. Tedy. Obr.17.
Obr.17. F F 1x = F.cos α1,..., Fnx = F. cos 1y = F.sin α1,..., Fny = F. sin α α n n. Původní soustava je nyní nahrazena děma soustavami sil ve směru osy x a ve směru osy y. Tutu soustavu nahradíme dvěma
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012
2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci
z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení