Diferenciální počet. Spojitost funkce

Transkript

1 Dierenciální počet Spojitost unkce

2 Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti unkce v bodě neznmená výpočet unkční hodnot v tomto bodě pokud eistuje, znmená to více. Výpočet it unkce :,, v dném bodě. porovnání s unkční hodnotou Zkoumání monotónnosti, etrémů, intervlů kldných záporných unkčních hodnot, rostoucí klesjící unkce,

3 Npište pro následující gr unkcí jejich předpokládné unkční vjádření.

4 Npište pro následující gr unkcí jejich předpokládné unkční vjádření.

5 Okolí bodu Okolí bodu : okolím bodu rozumíme souhrn všech bodů, které mjí od bodu vzdálenost menší než,, znčíme ho U,. Levé okolí bodu rozumíme polouzvřený intervl,, kde je kldné reálné číslo. Prvé okolí bodu rozumíme polouzvřený intervl,, kde je kldné reálné číslo. Jký je rozdíl mezi následujícími zápis? U, Řešte nerovnice :

6 Přírůstek rgumentu přírůstek unkce Nechť je dán unkce deinován v nějkém okolí U, bodu nechť U,. Rozdíl nzýváme přírůstek rgumentu v bodě =. Nechť je dán unkce deinován v nějkém okolí U, bodu nechť U,. Rozdíl nzýváme přírůstek unkce v bodě odpovídjícímu přírůstku = rgumentu oznčujeme ho =.

7 Spojitost unkce v bodě Je dán unkce : Sestvte tbulku pro závislost n pro,9 ;, po,.,9,7,9,784,94,8756,96,896,98,9449, 4,, 4,5588,4 4,455,6 4,6986,8 4,87, 4,8794,99,977,99,97788,994,9899,996,98895,998,994459, 4,, 4,5549,4 4,6,6 4,667,8 4,4, 4,8794 Deinice spojité unkce v bodě Funkce je spojitá v bodě, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu eistuje tkové okolí bodu, že pro všechn z tohoto okolí bodu ptří hodnot do zvoleného okolí bodu.

8 Říkáme, že je spojitá v bodě, jestliže k libovolnému číslu tkové, že pro všechn z - okolí bodu je. eistuje

9

10 Spojitost unkce v intervlu : g : Říkáme, že je v bodě spojitá zprv, jestliže k libovolnému > eistuje tkové >, že pro všechn z okolí bodu je. Říkáme, že je v bodě spojitá zlev, jestliže k libovolnému > eistuje tkové >, že pro všechn z okolí bodu je. Funkce je spojitá v bodě tehd jen tehd, je-li tm spojitá zprv i zlev. Funkce je spojitá v bodě tehd jen tehd, je-li v bodě deinovná má-li přitom v bodě itu rovnou číslu.

11 Spojitost unkce v intervlu oboru M Říkáme, že je spojitá v oboru M, je-li spojitá v kždém bodě tohoto oboru. Je spojitá v <,b >, je-li spojitá v,b v bodě je spojitá zprv, v bodě b zlev. Jsou-li, g spojité v bodě, pk jsou v bodě spojité i unkce k k je konstnt, + g, - g, g, je-li g, pk je spojitá i unkce /g. Weierstrssov vět Je-li unkce spojitá v, b, eistuje lespoň jeden tkový bod, b, že, b pltí pltí., lespoň jeden tkový bod, b, že, b

12

13 Bolznov-Weierstrssov vět Je-li unkce spojitá v, b b, potom ke kždému číslu K, které leží mezi čísl b, eistuje lespoň jeden tkový bod c, b, že c = K. Je-li unkce unkce spojitá v, b mjí-li čísl b různá znménk, tj., v němž pltí, potom eistuje lespoň jeden tkový bod c, b b c =.

14 Limit unkce - zobecnění pojmu it posloupnosti nekonečné číselné řd, obvod kruhu, Limit unkce v bodě : tg ó tg tg -, -,,467, , -,,, , -,,,47,,,467, ,,,,46667,,,,47 Deinice it unkce : L : : L

15 Funkce má v bodě nejvýše jednu itu. Funkce je spojitá v bodě právě tehd, kdž U, L g. L g Vět o itě dvou unkcí : Jestliže pltí, že =g součsně, potom má v bodě itu i unkce pltí 4 sin 6 4 U, h g L h L g Vět o třech itách : Jestliže pltí součsně, potom eistuje tké it unkce g v bodě pltí sin

16 . A B g Jestliže, potom pltí : B A g g ] [ B A g g ] [ B A g g ] [ B A g g / / ] / [ g 4 z předpokldu, že sin sin cos 6 sin 4 tg

17 Jednostrnné it unkce v bodě Funkce má v bodě itu L zprv, jestliže ke kždému - okolí bodu tk, že pro všechn do - okolí bodu L. Funkce má v bodě itu L zlev, jestliže ke kždému - okolí bodu tk, že pro všechn do - okolí bodu L. - okolí bodu L eistuje prvé z prvého okolí bodu ptří unkční hodnot - okolí bodu L eistuje levé Z levého okolí bodu ptří unkční hodnot

18 Limit unkce v bodě eistuje, právě kdž eistují v bodě it zprv zlev jsou si rovn. Potom se it unkce v bodě rovná společné hodnotě it zprv zlev. l m j i : : : : Určete, která z unkcí i, j, m,l odpovídá grům unkcí, g, h, k Vpočítejte it unkcí v bodě zlev, v bodě zprv v bodě.

19 Nevlstní it unkce v bodě L, L, L, vlstní it ve vlstním bodě nevlstní it ve vlstním bodě : :

20 : :

21 7 cos 4 sin

22

23 Asmptot gru unkce Užití it unkce

24 :

25 Asmptot se směrnicí smptot bez směrnice g b g b Nlezněte rovnici smptot se směrnicí pro unkci: : g : b

26 Nlezněte rovnici smptot se směrnicí pro unkci: : g :

27 Asmptot bez směrnice : - rovnoběžné s osou - nikd neprotnou gr unkce Nlezněte rovnice smptot bez směrnice pro unkci pro zobrzenou unkci grem.

28 Tečn gru unkce T A B B : : Npište směrnici rovnice tečn v bodě gru unkce : = +. Směrnice tečn v libovolném bodě má tvr k t = +.

29 Npište rovnici tečn ke gru unkce : = v bodě T, T. k t 9 T 9, T 7 k t 9 7 : t

30 Je-li křivk grem unkce = eistuje-li v bodě X vlstní it k T Rovnice tečn Npište rovnici tečn gru unkce T, je přímk o rovnici: kt. Npište rovnici tečn gru unkce, pk tečn křivk v bodě : v tečném bodu T [;,5]. t : 4 : sin v tečném bodu T [ π ; 6 T]. t : 6

31 Vpočítejte it unkcí: tg sin cos cos sin

32 sin cos cot g tg 4 sin tg sin cos tg sin

33 Určete smptot ke grům unkce: : : g h : : i : j : k Zjímvé it: sin e e

34 Derivce unkce Mějme unkci deinovnou v jistém okolí bodu. Eistuje-li vlstní it nzýváme ji derivcí unkce v bodě. Jká je geometrická interpretce této it? Funkce má v, b derivci, jestliže má derivci v kždém bodě, b. Má-li unkce v bodě derivci, je v tomto bodě spojitá.

35 Určete derivce unkcí v bodě : cos : g : R c c h ; : e j : N n i n ; : : tg

36 Mějme unkci deinovnou v jistém levém okolí bodu. Eistuje-li vlstní it nzýváme ji derivcí unkce v bodě zlev. Mějme unkci deinovnou v jistém prvém okolí bodu. Eistuje-li vlstní it nzýváme ji derivcí unkce v bodě zprv. Funkce má v, b derivci, jestliže má derivci v kždém bodě, b v bodě má derivci zprv v bodě b má derivci zlev.

37 Derivce elementárních unkcí Funkce Funkce ˊ Funkce Funkce ˊ c; c R n ; n R n n cot g e sin sin cos cos sin tg cos ln log

38 Jestliže unkce u, v mjí v bodě derivci, mjí v bodě derivci i součet, rozdíl, součin pro v i podíl unkcí u, v, pltí:.,,, v v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u Doplňte n zákldě výpočtu chbějící řádk v tbulce.

39 Derivce složené unkce Jestliže unkce z = g má derivci v bodě jestliže unkce = z má derivci v bodě z = g, má složená unkce = g = g derivci v bodě pltí: g g g Derivujte unkce: : g : sin h : tg

40 Vpočítejte ˊ, ˊˊ následujících unkcí: sin Npište rovnici tečn normál gru unkce v bodě T, : 8, 4 b ln, e

41

42

43