Modelové výpočty na H 2 a HeH +
|
|
- David Malý
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Modelové výpočty na H 2 a HeH +
2 Minimální báze Všechny teoretické poznatky je užitečné ilustrovat modelovým výpočtem. Budeme aplikovat Hartree-Fockovy výpočty na uzavřených slupkách systémů H 2 a HeH +. Jde o nejjednodušší prototypy homomolekulární a heteromolekulární diatomické molekuly. Minimální báze... aproximace, ve které používáme pouze dvě funkce na každém atomu. s minimální báze STO-3G Funkce Slaterova typu Funkce Gaussova typu SF A φ s ζ, r RA = ζ / πe ζ ( ) 3 r R GF ( ) ( ) 3/4 2 s A e α r R r R = A φ α, 2 α / π α, ζ orbitální exponenty
3 Chování SF a GF Orbitální exponent předurčuje svou velikostí tvar (rozplizlost) funkce. Vždy je kladný. Velký exponent implikuje malou hustotu funkce. Malý exponent naopak velké rozptýlení funkce. Zásadní rozdíl mezi oběma funkcemi je v rozdílném chování v blízkosti nuly a ve velké vzdálenosti. d e dr d e dr ζ r αr 2 r= 0 r= 0 = 0 0
4 Chování SF a GF Použití Slaterových funkcí je vhodnější tím, že lépe kvalitativně popisují rysy molekulárních orbitalů. Pro využití Gaussových funkcí hovoří fakt, že jsou velmi vhodné pro praktické výpočty. Součin dvou Gaussových funkcí je totiž opět Gaussova funkce.
5 Příklad Př. Ukažte, že součin dvou Gaussových funkcí je opět funkce Gaussova typu. A pokud jsou původní dvě funkce centrovány k různým centrům, pak je výsledná funkce centrována k bodu, pro něhož platí jednoduchý níže uvedený vztah. φ α, r R φ β, r R = K φ p, r Rp ( ) ( ) ( ) GF GF GF s A s B AB s K AB 3/4 = e ( α β) π + p = α + β αra + βr R p = α + β αβ α + β 2αβ RA-RB B 2
6 Kontrahované Gaussovy funkce Přes praktičnost výpočtů s Gaussovými funkcemi, nelze nebrat v potaz, že Gaussovy funkce nejsou optimální bázovými funkcemi a nemají takové chování jaké by měli mít molekulární orbitaly. Určitým řešením je použití lineární kombinace několika takových funkcí. Taková to lineární kombinace se nazývá kontrahovaná Gaussova funkce (CGF): L... délka kontrakce d... kontrakční koeficient L CGF GF μ = d pμ p pμ r RA p= φ φ α (, ) Nejvíce je tato metoda používána pro rozvoj Slaterovy funkce (STO) do několika Gaussových funkcí = STO LG procedura.
7 STO LG Rozvoj funkce Slaterova typu do L funkcí Gaussova typu. ( GF =.0, STO G ) = s ( ) ( =.0, STO 2G) = d ( ) + d ( ) ( =.0, STO 3G ) = d ( ) + d ( ) + d ( ) φ ζ φ α CGF s CGF GF GF s 2 s 2 22 s 22 CGF GF GF GF s 3 s 3 23 s s 33 φ ζ φ α φ α φ ζ φ α φ α φ α φ ( α ) GF s Bázová funkce je taková, že nejlépe aproximuje Slaterovu funkci s daným Slaterovým exponentem. Nyní musíme najít koeficienty d a exponenty α. Kritérium pro nejvhodnější nalezení Gaussových funkcí do rozvoje Slaterovy je nalezení minima integrálu I. CGF (.0, ) (.0, ) 2 I = d = = STO LG r SF φ2 ζ r φ2 ζ r
8 STO LG Pokud jsou obě funkce normalizovány, je ekvivalentním požadavkem najít maximum pro jejich překryv, tedy maximum překryvového integrálu S = d = = STO LG r SF φ2 ζ.0, r φ2 ζ.0,, r ( ) CGF ( ) Pro STO G : α = Pro STO 2 G : α2 = α22 = Pro STO 3 G : α = α = α = Pro STO G : Pro STO 2 G : d = d = Pro STO 3 G : d d = d = = 23 33
9 Srovnání Slaterovy a Gaussovy funkce
10 STO LG, závislost na L
11 Exponenty škálování Co udělat, pokud chceme ve výpočtech použít jiný orbitální exponent než roven jedné? Orbitální exponent škáluje funkci v proměnné r. Nemění tedy formu funkce, jen ji expanduje nebo kontrahuje. e [ r] ζ αr e 2 Pro samotný exponent platí ζ ζ α α / / = pro nové α: 2 (.0) α = α ζ = ζ
12 STO 3G pro H 2 Nejdříve vyberme geometrii úlohy. Mezijadernou vzdálenost dáme rovnu experimentální hodnotě,4 atomových jednotek (Bohr). Jako bázi použijeme STO-3G, která se skládá ze dvou funkcí φ a φ 2, jenž je každá kontrakcí tří Gaussiánů. Tato kontrakce je nejlepším nahrazením Slaterových funkcí s orbitálním exponentem,24 φ φ 2 ( r) 3 2 ζ π 3 2 ζ π e ζ r R ζ r R2 ( r) e
13 Vlnové funkce pak vypadají: STO 3G pro H 2 GF ( =.24, STO 3G ) = s ( ) GF GF φ ( ) φ ( ) φ ζ φ CGF s Pro překryvovou matici: s s L L * GF* μν = r pμφp αpμ r R A qν φq αq ν r RB p= q= S d d d = L L p= q= d d S * pμ qν pq ( ) GF, (, ) pro tento konkrétní případ, překryvová matice vypadá takto: S =
14 Matice Hamiltonián se skládá ze členů popisující kinetickou energii a coulombovskou atrakci elektronů od prvního a od druhého jádra. T V = = V = Core-Hamiltonián je součtem všech těchto členů core H =
15 H core představuje matici hamiltoniánu pro jeden elektron v poli jader. Řešení problému vlastních čísel core H C= SCε vede k orbitálním energiím a k molekulovým orbitalům. ( ) Z 6-ti možných dvou elektronových integrálů μν λσ v modelu minimální báze, nabývají tyto integrály pouze čtyř rozdílných hodnot. = = au.. ( ) ( ) ( 22) = au.. (2 ) = (22 2) = au.. (2 2) = au..
16 V naší minimální bázi jsou zde pouze dva molekulární orbitaly. S nižší energií, popisující vazebný orbital a mající symetrii σ g ψ = φ + φ ( ) ( ) S2 a virtuální antivazebný orbital se symetrií σ u = 2 S ψ φ φ ( ) ( ) Konečná matice koeficientů a konečná hustotní matice pro tento problém bude ( + S ) ( S ) /2 / C = /2 /2 2 ( S2 ) 2 ( S2 ) + ( + S2 ) ( + S2 ) P = 2. = 2. ( + S2 ) ( + S2 ) ( + S2 )
17 Příklady Př.: Odvoď koeficient [2(+S 2 )] -/2 a [2(-S 2 )] -/2 z normalizace bázových funkcí ψ a ψ 2. Řeš H 2+ s R=,4 a ukaž, že core core H + H2 ε = = S ε 2 2 core core H2 H = = S Použij základní definici hustotní matice a odvoď 2 ( S2 ) ( S2 ) ( S ) ( S ) + + P = = ( + S2 )
18 Příklady Použij Fockovu matici a její koeficienty pro minimální bázi molekuly vodíku a ukaž, že platí F = F = H + ( ) + ( 22) + ( 2) (2 2) = core S 2 F = F = H + ( 22 ) + ( 2) + (2 2) = core S 2 Využij výsledků druhého příkladu z předchozího snímku a ukaž, že orbitální energie minimální báze pro molekulu vodíku, které jsou řešením Roothanových rovnic FC=SCε, jsou ε ε 2 F + F + S2 F F S 2 = = 2 = =
19 Příklady Ukažte, že celková elektronová energie minimální báze molekuly vodíku je E 0 core core F + H + F2 + H2 = = S a celková energie zahrnující jadernou repulzi je 2 E tot =.67
20 Transformace do integrálů molekulových orbitalů Nyní se podívejme jak probíhá transformace od základních integrálů v mluvě funkcí {φ μ } k integrálům vyjádřených ve funkcích {ψ i }. Vztah mezi těmito sadami funkcí je takovýto μ= Transformační proces je tento ( ψ ψ ) i K ψ = C φ, i =,2,, K h = h = C C H * core ij i j μi ν j μν μ ν μi μ ( ) * * ψ ( ) iψ j ψkψl = CμiCν jcλkcσl μν λσ μ ν λ σ ( 5 O K )
21 Transformace do integrálů molekulových orbitalů Nenulové členy mají hodnoty h h J J J K = ψ h ψ =.2528 ( ) = ψ h ψ = ( ) = ψψ ψψ = ( ) = ψψ ψψ = ( ) = ψψ ψψ = ( ) = ψψ ψψ = 0.83 ( ) 2 2 2
22 Transformovaná Fockova matice je dle definice diagonální s diagonálními elementy rovny orbitálním energiím. Tyto energie pro uzavřené slupky jsou Pro náš model Celková elektronová energie základního stavu A celková energie ε = h + 2J K i ii ib ib b ε = h+ J = ε = h + 2J K = Etot = E0 + / R=.67 E = 2h + J = Pro H atom je E = -0,4666. Předpokládaná disociační energie je 2(-0,4666) +,67 = 0,835, což je 4,99eV. Experimentální hodnota je 4,75eV. Tato shoda je dostačující.
23 Disociační limita Hodnoty disociační energie si sice odpovídají, ale potenciálový povrch neodpovídá disociaci na dva vodíkové atomy, pokud jde R k nekonečnu. To není vlastností studovaného systému, ale tím že byl použit resctricted closed-shell výpočet.
24 Disociační limita Podíváme se na toto chování z analytické stránky (a použijeme-li výsledky z posledních příkladů). Pro R dvou-centrový integrál jde k nule H T + V další integrály jdou též k nule s vyjímkou repulzního integrálu ( φφ φφ ) Potom: core lim E ( R) lim 2 H ( φφ φφ ) R tot 2 = + = R 2 ( ) ( φφ φφ ) = 2 E H + = 2 = = ( ) H H + H + H + H +
25 SCF výpočet na STO-3G HeH + Tato molekula představuje skupinu různojaderných dvouatomových molekul (molekula vodíku představovala stejnojaderné dvouatomové molekuly). nejde o symetrický systém, tudíž nejsou molekulární orbitaly předurčeny jednoduše symetrií, jak tomu bylo u H 2 dobře spektroskopicky prozkoumaná molekula astronomie (produkt beta rozpadu HT rozptylem protonu) základní stav systému disociuje na heliový atom a proton raději než na heliový kation a vodíkový atom ( ) ( X S) HeH Σ He + H + +
26 SCF výpočet na STO-3G HeH + R2 R=.4632
27 V S= T= = V = core 2 H = T+ V + V = core H C= SC ε
28 core H C= SC Řešením rovnice získáme molekulární orbitaly a jejich energie. Hodnoty dvouelektronových integrálů stačívyjádřit jen šesti z nich. ( ) ε =.3072 (22 ) = (2 ) = (22 2) = 0.38 (2 2) = (22 22) = Nyní máme všechny potřebné integrály a matice pro výpočet SCF. Ještě než začneme iterovat, potřebujeme si odvodit transformační matici pro ortonormální bázové funkce φ = X φ / μ νμ ν ν
29 Ortonormalizace Existuje několik způsobují ortonormalizace. Nejznámější (a výše popsaná) Schmidtova procedura používá následující matici X Schmidt S2 2 S = = S 2 Př.: Ukažte, že vzniklá báze { / φ μ } je ortonormální.
30 Ortonormalizace Další dva ortonormalizační symetrický a kanonický - procesy využívají diagonalizace překryvové matice. Vlastní čísla překryvové matice jsou s = + S 2 =,4508 a s = - S 2 = 0,5492. Příslušná unitární matice U je U 2 2 = 2 2 Pro obě transformace dále potřebujeme tuto matici s s = /2 = 0 s /2 /2
31 Ortonormalizace Příslušné transformační matice jsou následující: - symetrická ortonormalizace /2 / XSymmetric = S = Us U = kanonická ortonormalizace X Canonical / = Us =
32 Ortonormalizace vztah mezi transformacemi
33 Použijeme-li kanonickou ortonormalizaci, transformované bázové funkce jsou φ = 0.587φ φ / 2 / 2 = φ φ φ Nyní začneme SCF iterační proces. Jako první nástřel je vhodné pro Fockovu použít core-hamiltonián. F core H = Přetransformujeme tuto matici do kanonického ortonormálního bázového prostoru / / F = X FX= FC = Cε / / / Diagonalizací vyřešíme rovnici.
34 Řešením rovnice dostanu matici koeficientů a dvě vlastní čísla FC = Cε / / / / C = ε = Koeficienty původních bázových funkcí pak jsou tj. / C= XC = ψ = 0.929φ φ 2 ψ = φ +.5φ 2 2 Řešení pro HeH ++.
35 Nyní máme první vypočtenou matici hustotní matici. Diagonalizací této matice by bylo vidět, jak moc jsou elektrony rozmístěny více u helia než u jádra vodíku. Z matice P lze vypočíst matici G, ta je Př. Ověř, že platí. Nová Fockova matice P = G = core F= H + G =
36 Teď celý proces opakujme, dokud nedosáhneme self-konzistence. Prvky matice hustoty a odpovídající elektronové energie jsou funkcí iteračního čísla. Pro výpočet energie v každém kroku lze použít vzorec E0 = P H + F 2 musí se použít matice z daného kroku iterace a Fockova matice ještě před zformováním nové. Př.: vypočti energii po první iteraci E =-4,42. Konečné vlnové funkce a orbitální energie jsou μ ν ( core ) μν μν μν C = ε = E = bez nukleární repulze E=-2.98a.u.
37 Z Koopmansova teorému dostáváme hodnoty pro ionizační potenciál a elektronovou afinitu. IP =.5975 = 43.5eV EA = =.7eV Z uvedeného ale neplyne, zda je molekulární systém stabilní. Z dosavadních výsledků lze získat disociační energie následujících procesů + + HeH He + H Δ E = HeH He + H Δ E = E(H) =-0.50 E(He) =-2.90 E(He+)=-2.00 z toho jde vidět, že se molekula rozpadne, tak aby byl zachován closed-shell. Oproti molekule vodíku je zde chování při rozpadu v pořádku. C R = PR =
38
Operátory a maticové elementy
Operátory a matice Operátory a maticové elementy operátory je výhodné reprezentovat maticemi maticové elementy operátorů jsou dány vztahy mezi Slaterovými determinanty obsahujícími ortonormální orbitaly
VíceAb initio výpočty v chemii a biochemii
Ab initio výpočty v chemii a biochemii Doc. RNDr. Ing. Jaroslav Burda, CSc., jaroslav.burda@mff.cuni.cz Dr. Vladimír Sychrovský vladimir.sychrovsky@uochb.cas.cz Studijní literatura Szabo A., Ostlund N.S.
VíceAtomové a molekulové orbitaly Ion molekuly vodíku. Molekula vodíku Heitler-Londonovou metodou. Metoda LCAO. Báze atomových orbitalů.
Atomové a molekulové orbitaly Ion molekuly vodíku. Molekula vodíku Heitler-Londonovou metodou. Metoda LCAO. Báze atomových orbitalů. Ion molekuly vodíku H + 2 První použití metody je demonstrováno při
VíceMul$determinantální metody: CASSCF
Mul$determinantální metody: CASSCF Mul%konfiguračni (mnohadeterninantálni MC SCF) metody použivají narozdíl od metody Hartreeho- Focka pro popis N- elektronového systému větší počet Slaterových determinantů.
Více13 Elektronová struktura molekul
13 Elektronová struktura molekul Ústředním úkolem kvantové chemie po zavedení Bornovy-Oppenheimerovy aproximace je výpočet elektronové energie molekul Ĥ e ψ e ( r, R) = E e ( R)ψ e ( r, R), (13.1) kde
VíceAtom vodíku. Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně. Kulová symetrie. Potenciální energie mezi p + e. e =
Atom vodíku Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně Kulová symetrie Potenciální energie mezi p + e V 2 e = 4πε r 0 1 Polární souřadnice využití kulové symetrie atomu Ψ(x,y,z) Ψ(r,θ, φ) x =? y=?
Více16 Semiempirické přístupy
16 Semiempirické přístupy V této kapitole se podíváme na skupinu semiempirických metod. Ačkoli semiempirické metody také vycházejí z řešení elektronové Schrödingerovy rovnice, jejich rovnice obsahují dodatečné
VícePřehled Ab Initio a semiempirických metod
Přehled Ab Initio a semiempirických metod Pokud se vám bude zdát, že je v tom nějaký blud, tak tam asi je. Budu rád, když mě na něj upozorníte. Ab initio metody - od počátku, z prvotních principů, tzn.
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Více17 Vlastnosti molekul
17 Vlastnosti molekul Experimentálně molekuly charakterizujeme pomocí nejrůznějších vlastností: můžeme změřit třeba NMR posuny, elektrické či magnetické parametry či třeba jejich optickou otáčivost. Tyto
VíceMETODY VÝPOČETNÍ CHEMIE
METODY VÝPOČETNÍ CHEMIE Metody výpočetní chemie Ab initio metody Semiempirické metody Molekulová mechanika Molekulová simulace Ab initio metody Ab initio - od počátku Metody kvantově-mechanické vycházejí
VíceHamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli:
Orbitální a spinový magnetický moment a jejich interakce s vnějším polem Vše na příkladu atomu H: Elektron (e - ) a jádro (u atomu H pouze p + ) mají vlastní magnetický moment (= spin). Tyto dva dipóly
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceDnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceNumerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
Více2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
VíceMolekuly 1 12/4/2011. Molekula definice IUPAC. Molekuly. Proč existují molekuly? Kosselův model. Představy o molekulách
1/4/011 Molekuly 1 Molekula definice IUPC elektricky neutrální entita sestávající z více nežli jednoho atomu. Přesně, molekula, v níž je počet atomů větší nežli jedna, musí odpovídat snížení na ploše potenciální
VíceFyzika atomového jádra
Fyzika atomového jádra (NJSF064) František Knapp http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~knapp/jf/ frantisek.knapp@mff.cuni.cz Slupkový model jádra evidence magických čísel: hmoty, separační energie, vazbové
VíceÚvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce
Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Vícestránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceÚvod do kvantového počítání
2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005 Opakování Část I Přehled z minulé hodiny Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceKvantová fyzika atomárních soustav letní semestr VIII. KOTLÁŘSKÁ 23. DUBNA 2014
F40 Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr 03-04 VIII. Vibrace víceatomových molekul cvičení KOTLÁŘSKÁ 3. DUBNA 04 Úvodem capsule o maticích a jejich diagonalisaci definice "vibračních módů"
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceOd kvantové mechaniky k chemii
Od kvantové mechaniky k chemii Jan Řezáč UOCHB AV ČR 19. září 2017 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Od kvantové mechaniky k chemii 19. září 2017 1 / 33 Úvod Vztah mezi molekulovou strukturou a makroskopickými vlastnostmi
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceATOM VODÍKU MODEL : STOJÍCÍ BODOVÉ JÁDRO A ELEKTRON VZÁJEMNĚ ELEKTROSTATICKY INTERAGUJÍCÍ SCHRÖDINGEROVA ROVNICE PRO PŘÍPAD POTENCIÁLNÍ ENERGIE.
ATOMY + MOLEKULY ATOM VODÍKU MODEL : STOJÍCÍ BODOVÉ JÁDRO A ELEKTRON VZÁJEMNĚ ELEKTROSTATICKY INTERAGUJÍCÍ SCHRÖDINGEROVA ROVNICE H ˆψ = Eψ PRO PŘÍPAD POTENCIÁLNÍ ENERGIE Vˆ = Ze 2 4πε o r ŘEŠENÍ HLEDÁME
Vícea vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceIntegrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze
Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál
VíceOdhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti
Odhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti 4. listopadu 203 Kdybych chtěl znát maximum informací o náhodné veličině, musel bych znát všechny hodnoty, které mohou padnout, a jejich pravděpodobnosti. Tedy
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceŘešit atom vodíku znamená nalézt řešení Schrödingerovy rovnice s příslušným hamiltoniánem. 1 4πǫ 0. 2m e
8 Atom vodíku Správné řešení atomu vodíku je jedním z velkých vítězství kvantové mechaniky. Podle klasické fyziky náboj, který se pohybuje se zrychlením (elektron obíhající vodíkové jádro proton), by měl
VícePodobnostní transformace
Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy
VíceTeorie chemické vazby a molekulární geometrie Molekulární geometrie VSEPR
Geometrie molekul Lewisovy vzorce poskytují informaci o tom které atomy jsou spojeny vazbou a o jakou vazbu se jedná (topologie molekuly). Geometrické uspořádání molekuly je charakterizováno: Délkou vazeb
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceIII. MKP vlastní kmitání
Jiří Máca - katedra mechaniky - B325 - tel. 2 2435 4500 maca@fsv.cvut.cz III. MKP vlastní kmitání 1. Rovnice vlastního kmitání 2. Rayleighova Ritzova metoda 3. Jacobiho metoda 4. Metoda inverzních iterací
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
VíceNumerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským
Více1 Vektorové prostory a podprostory
Pro nahrazení účasti v jednotlivých cvičeních (resp. pro studenty kombinované formy) je dostačující vypracování a odevzdání tučně vyznačených příkladů. 1 Vektorové prostory a podprostory Definujte vektorový
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Víceelektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016
F6122 Základy fyziky pevných látek seminář elektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016 1 Drudeho model volných elektronů 1 1.1 Mathiessenovo pravidlo............................................... 1
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceDiskutujte, jak široký bude pás spojený s fosforescencí versus fluorescencí. Udělejte odhad v cm -1.
S použitím modelu volného elektronu (=částice v krabici) spočtěte vlnovou délku a vlnočet nejdlouhovlnějšího elektronového přechodu u molekuly dekapentaenu a oktatetraenu. Diskutujte polohu absorpčního
Víceem do konce semestru. Obsah Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda
Zápočtové problémy Na následujících stránkách naleznete druhou sérii zápočtových problémů věnovanou nosníkům. Ti, co ještě nemají žádný problém přidělený, si mohou vybrat libovolný z nich. Řešení můžete
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VíceJohn Dalton Amadeo Avogadro
Spojením atomů vznikají molekuly... John Dalton 1766 1844 Amadeo Avogadro 1776 1856 Výpočet molekuly 2, metoda valenční vazby Walter eitler 1904 1981 Fritz W. London 1900 1954 Teorie molekulových orbitalů
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
VícePlazmové metody. Základní vlastnosti a parametry plazmatu
Plazmové metody Základní vlastnosti a parametry plazmatu Atom je základní částice běžné hmoty. Částice, kterou již chemickými prostředky dále nelze dělit a která definuje vlastnosti daného chemického prvku.
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
Více10 Více-elektronové atomy
1 Více-elektronové atomy Atom vodíku je asi nejsložitější soustava, kterou jsme schopni analyticky přesně vyřešit. Tato situace je pro chemika pochopitelně málo uspokojivá. Pomocí kvantové teorie bychom
VícePřipomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
VíceTeorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika
Teorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika B. Vlková 1, M.Berg 2, B. Martínek 3, O. Švec 4, M. Neumann 5 Gymnázium Uničov 1, Gymnázium Václava Hraběte Hořovice 2, Mendelovo gymnázium Opava
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Více2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012
2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceGAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY
GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY PLOCHA JAKO VEKTOR Matematický doplněk n n Elementární plocha ΔS ds Ploše přiřadíme vektor, který 1) je k této ploše kolmý 2) má velikost rovnou velikosti (obsahu) plochy Δ
VíceAVDAT Nelineární regresní model
AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných
VíceVšechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
VíceLaserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky.
Laserová technika 1 Aktivní prostředí Šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 22. prosince 2016 Program
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VíceChemie a fyzika pevných látek p3
Chemie a fyzika pevných látek p3 strukturní faktor, monokrystalové a práškové difrakční metody Doporučená literatura: Doc. Michal Hušák dr. Ing. B. Kratochvíl, L. Jenšovský - Úvod do krystalochemie Kratochvíl
VíceOPVK CZ.1.07/2.2.00/
18.2.2013 OPVK CZ.1.07/2.2.00/28.0184 Cvičení z NMR OCH/NMR Mgr. Tomáš Pospíšil, Ph.D. LS 2012/2013 18.2.2013 NMR základní principy NMR Nukleární Magnetická Resonance N - nukleární (studujeme vlastnosti
Více8. Normální rozdělení
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
Více6. přednáška 5. listopadu 2007
6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
VíceR β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra
Zadání: Vypočtěte polohu těžiště, momenty setrvačnosti a deviační moment k centrálním osám a dále určete hlavní centrální momenty setrvačnosti, poloměry setrvačnosti a natočení hlavních centrálních os
VíceTeoretická chemie 1. cvičení
Teoretická chemie 1. cvičení Teoretická část Základní úlohou kvantové chemie je nalézt elektronovou vlnovou funkci zkoumané molekuly Ψ a z ní poté odvodit všechny zajímavé vlastnosti této molekuly, např.
Více2. Atomové jádro a jeho stabilita
2. Atomové jádro a jeho stabilita Atom je nejmenší hmotnou a chemicky nedělitelnou částicí. Je tvořen jádrem, které obsahuje protony a neutrony, a elektronovým obalem. Elementární částice proton neutron
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Více