Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce

Transkript

1 Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx y u yy = 0, převed te i do kanonického tvaru a načrtněte reálné charakteristiky. 2. Určete typ parciální diferenciální rovnice x u xx 2 xy u xy + y u yy u y = 0, x, y > 0, a převed te i do kanonického tvaru. 3. Převed te parciální diferenciální rovnici 2 u xx + 2 u xy + u yy + 4 u x + 4 u y + u = 0 na neednodušší kanonický tvar. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce tří a více proměnných 4. Určete kanonický tvar a typ rovnice u xx + 2 u xy 2 u xz + 2 u yy + 6 u zz = 0, u = u(x, y, z). 5. Určete kanonický tvar a typ rovnice 4 u xx 4 u xy 2 u yz + u y + u z = 0, u = u(x, y, z). 6. Určete kanonický tvar a typ rovnice u xy u xz + u x + u y u z = 0, u = u(x, y, z). 7. Určete kanonický tvar a typ rovnice u xx + 2 u xy + 2 u yy + 2 u yz + 2 u yt + 2 u zz + 3 u tt = 0, u = u(x, y, z, t). 1

2 8. Určete kanonický tvar a typ rovnice u x1 x n u xk x k 2 k=2 n 1 k=1 u xk x k+1 = 0, u = u(x 1,..., x n ). 9. Určete kanonický tvar a typ rovnice u x1 x n ( 1) k u xk 1 x k = 0, u = u(x 1,..., x n ). k=2 3 Řešení Cauchyových úloh pro lineární PDR 2. řádu metodou charakteristik 10. Necht u C 2 (R 2 ) e řešením rovnice a u xx + 2 b u xy + c u yy = 0, a 0, kde a, b, c sou reálná čísla. Dokažte, že e-li tato rovnice parabolická, pak existuí funkce F, G C 2 (R) takové, že kde m = b/a. 11. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy u(x, y) = F (m x + y) + x G(m x + y), 4 y 2 u xx + 2 (1 y 2 ) u xy u yy 2 y 1 + y 2 (2 u x u y ) = 0 v R 2, u(x, 0) = f(x), u y (x, 0) = g(x), x R, kde f C 2 (R) a g C 1 (R) sou zadané funkce. 12. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy u xx 2 (sin x) u xy (3 + cos 2 x) u yy + u x + (2 sin x cos x) u y = 0 v R 2, u(x, cos x) = 0, u y (x, cos x) = e x 2 cos x, x R. 13. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy u xx + 2 (cos x) u xy (sin 2 x) u yy (sin x) u y = 0 v R 2, u(x, sin x) = x + cos x, u y (x, sin x) = sin x, x R. 2

3 14. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy (1 cos y) u xx + (cos y) u xy u yy sin y 2 cos y (u x u y ) = 0 v R 2, u(x, 0) = 2 x, u y (x, 0) = 1, x R. 15. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy 2 u xx + 2 u xy 4 u yy 3 u x + 3 u y = 0 v R 2, u(x, 0) = 2 e x 2, uy (x, 0) = 0, x R. 4 Základní vztahy metody konečných diferencí 16. Dokažte, že pro libovolnou funkci v C 2 (R) platí vztahy + v h = v + O(h), v h = v + O(h), 0 v h = v + O(h), δ v h = v + O(h). 17. Dokažte, že pro libovolnou funkci v C 3 (R) platí vztahy 0 v h = v + O(h 2 ), δ v h = v + O(h 2 ). Dále ukažte, že pokud funkce v C 3 (R) pro dané x R a α > 0 splňue pak v (x) = 0. + v h (x) = v (x) + O(h 1+α ) nebo v h (x) = v (x) + O(h 1+α ), 18. Dokažte, že pro libovolnou funkci v C 4 (R) platí vztah δ 2 v h 2 = v + O(h 2 ). 19. Dokažte, že pro libovolnou funkci v C 6 (R) platí vztah δ 4 v h 4 = v (4) + O(h 2 ). 20. Ověřte platnost vztahu δ 2 = + = +. 3

4 5 Lineární a kvazilineární PDR 1. řádu 21. Nalezněte charakteristiky a řešení Cauchyovy úlohy u t +a u x = 0 v R 2, u(x, 0) = sin x pro x R (a 0). 22. Odvod te řešení Cauchyovy úlohy u t + a u x = 0 v R 2, u(x, 0) = u 0 (x) pro x R (a 0) iným způsobem než metodou charakteristik. Návod: zaved te nové proměnné ξ = x at, η = x + at. 23. Nalezněte charakteristiky a řešení Cauchyovy úlohy kde u 0 C 1 (R). u x = 6 x 2 u y v R 2, u(x, 0) = u 0 (x), x R, 24. Nalezněte charakteristiky a řešení Cauchyovy úlohy kde u 0 C 1 (R). u t + x u x = 0 v R 2, u(x, 0) = u 0 (x), x R, 25. Nalezněte charakteristiky a řešení Cauchyovy úlohy u t + x u x + t u = 0 v R 2, u(x, 0) = sin x, x R. 26. Nalezněte charakteristiky a řešení úlohy u x + y u y = 0 v R R +, u(0, y) = 1 y, y > Nalezněte charakteristiky a řešení Cauchyovy úlohy u t + u u x = 0 v R R +, u(x, 0) = u 0 (x), x R, kde 1. u 0 (x) = 0 pro x 0, u 0 (x) = x pro x > 0, 2. u 0 (x) = x pro x 0, u 0 (x) = 0 pro x > 0, 3. u 0 (x) = 0 pro x 0, u 0 (x) = 1 pro x 1, u 0 e spoitá na R a afinní na [0, 1], 4. u 0 (x) = 1 pro x 0, u 0 (x) = 0 pro x 1, u 0 e spoitá na R a afinní na [0, 1], 5. u 0 (x) = sin x. 28. Nalezněte charakteristiky a řešení úlohy (z + y x) u x + (z + x y) u y + z u z = 0 pro x, y R, z > 0, u(x, y, 1) = u 0 (x, y) pro x, y R, kde u 0 C 1 (R 2 ). 4

5 6 Numerické řešení transportní rovnice Ve všech úlohách, v nichž e požadováno vyšetření stability, e tím míněna von Neumannova analýza (t. analýza stability pomocí Fourierovy metody). Rychlost a e ve všech úlohách konstantní. 29. Vyšetřete chybu diskretizace a stabilitu Laxova Friedrichsova schématu pro rovnici u t + a u x = 0, t. schématu 1 2 (U n +1 + U n 1) + a U n +1 U n 1 2 h = Uvažume schéma Ũ n+1 = U n ν 2 (U n +1 U n 1), = 1 n+1 (Ũ Ũ n+1 + Ũ n+1 1 ) pro rovnici u t + a u x = 0. Vyšetřete chybu diskretizace a stabilitu. 31. Uvažume schéma tvaru = α U n + β U n +1 a ukažte, že = Co z toho plyne pro stabilitu schématu U n 2 ( α + β ) 2n = U 0 2. pro řešení rovnice u t + a u x = 0? U n + a U n +1 U n h = Ukažte, že schéma tvaru = α U+1 n + β U 1 n e stabilní pro α + β 1. Co z toho plyne pro Laxovo Friedrichsovo schéma? 33. Uvažume leapfrog scheme přenásobení členem = + U n 1 U n 1 + ν (U+1 n U 1) n = 0. Ukažte, že po a sečtení přes Z získáme { U n U n 2 + ν ( U n U n ) } = = { U n 2 + U n ν (U n U n 1 +1 U +1 n U n 1 ) }. Ukažte, že z toho plyne stabilita schématu pro ν < 1. 5

6 34. Uvažume implicitní schéma U n + a h = 0 pro rovnici u t + a u x = 0. Vyšetřete chybu diskretizace a stabilitu. 35. Uvažume implicitní schéma U n + a 1 h pro rovnici u t + a u x = 0, kde a > 0. Vyšetřete chybu diskretizace a stabilitu. 36. Uvažume implicitní schéma U n + a +1 h = 0 = 0 pro rovnici u t + a u x = 0. Vyšetřete chybu diskretizace a stabilitu. 37. Ukažte, že pro = h 2 e schéma U n stabilní a konzistentní s rovnicí u t + a u x = 0. + a U n +1 U n 1 2 h = Vyšetřete stabilitu a konzistenci následuícího schématu pro rovnici u t + a u x = f: U n+ 1 2 = U n ν 2 (U n +1 U n 1) + f n, = U n ν 2 (U n U n ) + f n Ukažte, že MacCormackovo schéma Ũ n+1 = U n ν (U n +1 U n ) + f n, = 1 2 { } U n + Ũ n+1 ν (Ũ n+1 Ũ n+1 1 ) + fn+1 e schéma druhého řádu přesnosti pro rovnici u t + a u x = f. Ukažte, že pro f = 0 e identické s Laxovým Wendroffovým schématem U n + a U n +1 U n 1 2 h a2 2 U+1 n 2 U n + U 1 n = 0. h Vypočítete fázovou chybu Laxova Wendroffova schématu pro rovnici u t + a u x = 0. 6

7 41. Ukažte, že box scheme 1 2 [ (U n ) (U n + U+1) ] n + a [ (U n h ) + (U+1 n U n ) ] = 1 ( f n f n+1 + f+1 n + f n e aproximace rovnice u t + a u x = f, která e 2. řádu přesnosti a stabilní pro všechna ν R. 42. Uvažume nasleduící variantu leapfrog scheme U n 1 2 ( ) + a 1 δ2 x U n +1 U 1 n 6 2 h = f n. Které uzly pro U schéma spoue? Vyšetřete chybu diskretizace při aproximaci rovnice u t + au x = f a zistěte za akých podmínek e schéma stabilní. 43. Uvažume modifikované schéma Crankovo Nicolsonové ) U n + a U +1 n U 1 n + ε 4 h ( ) 4 δx U n = 1 ( ) f n+1 + f n 2 2 pro numerické řešení rovnice u t + a u x = f. Ukažte, že toto schéma e druhého řádu přesnosti, disipativní řádu 4 pro ε (0, 2) a vyšetřete, kdy e stabilní. 44. Uvažume schéma U n + a U +1 n U n = 0 h pro numerické řešení rovnice u t + a u x = 0. Vypočítete fázovou chybu a zistěte, kdy e splněn princip maxima. 45. Uvažume schéma 1 2 (U n +1 + U n 1) + a U n +1 U n 1 2 h pro numerické řešení rovnice u t + a u x = 0. Vypočítete fázovou chybu a zistěte, kdy e splněn princip maxima. = 0 7

8 7 Rovnice struny (ednorozměrná vlnová rovnice) 46. Necht Ω R 2 e konvexní oblast a necht u C 2 (Ω) splňue rovnici u tt a 2 u xx = 0 v Ω, kde a e kladná konstanta. Metodou charakteristik dokažte, že pak existuí funkce P a Q třídy C 2 takové, že u(x, t) = P (x at) + Q(x + at) pro všechna (x, t) Ω. 47. Uvažume Cauchyovu úlohu (1) u tt a 2 u xx = 0 v R 2, u(x, 0) = ϕ(x), u t (x, 0) = ψ(x) x R, kde a e kladná konstanta a ϕ C 2 (R), ψ C 1 (R) sou dané funkce. Dokažte, že tato úloha má ednoznačné řešení u C 2 (R 2 ) tím, že pro ně odvodíte vzorec. 48. Necht funkce ϕ C 2 (R), ψ C 1 (R) sou liché vzhledem k bodu x 0 R (t. pro x R platí ϕ(x 0 + x) = ϕ(x 0 x), ψ(x 0 + x) = ψ(x 0 x)). Dokažte, že pak řešení u úlohy (1) e též liché vzhledem k bodu x 0. Speciálně potom platí, že u(x 0, t) = 0 pro všechna t R. 49. Necht funkce ϕ C 2 (R), ψ C 1 (R) sou sudé vzhledem k bodu x 0 R (t. pro x R platí ϕ(x 0 + x) = ϕ(x 0 x), ψ(x 0 + x) = ψ(x 0 x)). Dokažte, že pak řešení u úlohy (1) e též sudé vzhledem k bodu x 0. Speciálně potom platí, že u x (x 0, t) = 0 pro všechna t R. 50. Uvažume Cauchyovu úlohu (2) u tt a 2 u xx = f v R 2, u(x, 0) = u t (x, 0) = 0 x R, kde a e kladná konstanta a f C 1 (R 2 ) e daná funkce. Dokažte, že tato úloha má ednoznačné řešení u C 2 (R 2 ) tím, že pro ně odvodíte vzorec. 51. Necht funkce f C 1 (R 2 ) e lichá vzhledem k bodu x 0 R. Dokažte, že pak řešení úlohy (2) e též liché vzhledem k bodu x 0. Speciálně e u(x 0, t) = 0 pro všechna t R. 52. Necht funkce f C 1 (R 2 ) e sudá vzhledem k bodu x 0 R. Dokažte, že pak řešení úlohy (2) e též sudé vzhledem k bodu x 0. Speciálně e u x (x 0, t) = 0 pro všechna t R. 53. Naděte řešení u úlohy (2) s f(x, t) = x. Ukažte, že u C 2 (R 2 ), ale u C 3 (R 2 ). 54. Ukažte, že Cauchyova úloha (2) s pravou stranou f splňuící f(x, t) = at pro x at a f(x, t) = x pro x > at nemá řešení u C 2 (R 2 ). 55. Necht f : R 2 R a 1 f : R 2 R sou spoité. Pak d dt t 56. Necht f C 1 (R 2 ) a a > 0. Bud 0 f(t, ) d = f(t, t) + t 0 f t (t, ) d. u(x, t) = 1 2 a t x+a(t ) 0 x a(t ) f(σ, ) dσ d. 8

9 Ukažte, že u C 2 (R 2 ) a že u e řešením Cauchyovy úlohy (2). 57. Bud l > 0 a necht ϕ C 1 ([0, l]), ϕ(0) = ϕ(l) = 0. Ukažte, že pak existue ednoznačně určené rozšíření ϕ funkce ϕ definované na R, které e liché vzhledem k bodu 0 a 2l periodické. Navíc platí ϕ C 1 (R) a ϕ e liché vzhledem k bodu l. Je-li ϕ C 2 ([0, l]) a ϕ (0) = ϕ (l) = 0, ukažte, že e též ϕ C 2 (R). 58. Uvažume okraovou úlohu u tt a 2 u xx = 0 pro (x, t) R + R, u(0, t) = 0 t R, u(x, 0) = ϕ(x), u t (x, 0) = ψ(x) x R +, kde a e kladná konstanta a ϕ C 2 (R + 0 ), ψ C 1 (R + 0 ) sou dané funkce splňuící ϕ(0) = ψ(0) = ϕ (0) = 0. Dokažte, že tato úloha má ednoznačné řešení u C 2 (R + 0 R) a odvod te pro ně vzorec. 59. Uvažume okraovou úlohu u tt a 2 u xx = 0 pro (x, t) R + R, u x (0, t) = 0 t R, u(x, 0) = ϕ(x), u t (x, 0) = ψ(x) x R +, kde a e kladná konstanta a ϕ C 2 (R + 0 ), ψ C 1 (R + 0 ) sou dané funkce splňuící ϕ (0) = ψ (0) = 0. Dokažte, že tato úloha má ednoznačné řešení u C 2 (R + 0 R) a odvod te pro ně vzorec. 60. Naděte všechna λ R a w C 2 ([0, l]) splňuící w(0) = 0, w(l) = 0 a rovnici w = λ w v (0, l). 61. Naděte všechna λ R a w C 2 ([0, l]) splňuící w(0) = 0, w (l) = 0 a rovnici w = λ w v (0, l). 62. Naděte všechna λ R a w C 2 ([0, l]) splňuící w (0) = 0, w(l) = 0 a rovnici w = λ w v (0, l). 63. Naděte všechna λ R a w C 2 ([0, l]) splňuící w (0) = 0, w (l) = 0 a rovnici w = λ w v (0, l). 64. Řešte Fourierovou metodou úlohu u tt a 2 u xx = 0 v (0, l) R +, u(0, t) = u x (l, t) = 0 t R +, u(x, 0) = ϕ(x), u t (x, 0) = ψ(x) x (0, l). Určete, za akých předpokladů na funkce ϕ, ψ Fourierova řada stenoměrně konvergue ke klasickému řešení, a sečtěte i. Jaké sou nutné a postačuící podmínky pro existenci 9

10 klasického řešení? 65. Pomocí Duhamelova principu řešte úlohu u tt a 2 u xx = f v (0, l) R, u(0, t) = u x (l, t) = 0 t R, u(x, 0) = u t (x, 0) = 0 x (0, l). Jaké sou postačuící podmínky na funkci f pro existenci klasického řešení? 66. Uvažume úlohu u tt a 2 u xx = 0 v (0, l) R, u(0, t) = µ 1 (t), u x (l, t) = µ 2 (t) t R, u(x, 0) = u t (x, 0) = 0 x (0, l). Jaké sou postačuící podmínky na funkce µ 1 a µ 2 pro existenci klasického řešení? 67. Řešte úlohu u tt a 2 u xx = 0 v (0, l) R +, u(0, t) = µ 1 (t), u(l, t) = µ 2 (t) t R +, u(x, 0) = ϕ(x), u t (x, 0) = ψ(x) x (0, l), kde ϕ C 2 ([0, l]), ψ C 1 ([0, l]) a µ 1, µ 2 C 2 (R + 0 ). Proved te homogenizaci okraových podmínek a použite Fourierovu metodu. 68. Řešte Fourierovou metodou úlohu u tt a 2 u xx = 0 v (0, l) R +, u x (0, t) = u x (l, t) = 0 t R +, u(x, 0) = ϕ(x), u t (x, 0) = ψ(x) x (0, l). 8 Rovnice vedení tepla Řešte Fourierovou metodou úlohu Řešte Fourierovou metodou úlohu u t a 2 u xx = 0 v (0, l) R +, u(0, t) = u(l, t) = 0 t R +, { x x (0, l 2 u(x, 0) = ], l x x ( l, l). 2 u t a 2 u xx = 0 v (0, l) R +, u x (0, t) = u x (l, t) = 0 t R +, u(x, 0) = x x (0, l). 10

11 71. Řešte Fourierovou metodou úlohu u t a 2 u xx = 0 v (0, l) R +, u(0, t) = 0, u x (l, t) = 0 t R +, { x x (0, l 2 u(x, 0) = ], l x ( l, l) Řešte Fourierovou metodou úlohu u t a 2 u xx = 0 v (0, l) R +, u x (0, t) = 0, u(l, t) = 0 t R +, u(x, 0) = x 2 l 2 x (0, l). 73. Řešte Fourierovou metodou úlohu u t a 2 u xx = 0 v (0, l) R +, u x (0, t) = 0, K 1 u x (l, t) + K 2 u(l, t) = 0 t R +, u(x, 0) = u 0 (x) x (0, l), kde K 1 K 2 > 0 a u 0 e daná funkce. 74. Řešte Fourierovou metodou úlohu u t a 2 u = 0 v G R +, G = (0, l 1 ) (0, l 2 ), u(x, y, t) = 0 (x, y) G, t R +, u(x, y, 0) = u 0 (x, y) (x, y) G. 75. Naděte pomocí Duhamelova principu řešení úlohy u t a 2 u xx = f v Ω = R R +, u(x, 0) = 0 x R, kde f C 2 (Ω) L (Ω). 9 Vlnová rovnice v R n 76. Ukažte, že řešení u rovnice u tt a 2 u = 0 v R 3 R +, které e sféricky symetrické vzhledem k počátku, má tvar P (r a t) + Q(r + a t) u(x, t) =, r (x, t) R 3 R +, r = x, kde P, Q sou vhodné funkce. 11

12 77. Uvažume úlohu z předchozího cvičení s počátečními daty u(x, 0) = 0, u t (x, 0) = g(r) x R 3. Dodefinume funkci g sudě na R. Ukažte, že pak u(x, t) = 1 2 a r r+a t r a t s g(s) ds. 78. Necht v Cauchyově úloze z předchozích dvou cvičení e { 1 pro 0 r R, g(r) = 0 pro r > R. Pomocí vzorce odvozeného v předchozím cvičení určete explicitně řešení u v ednotlivých oblastech omezených kuželovými plochami typu r = ±R ± a t. Ukažte, že u e nespoité v bodě (0, R/a). (Je to důsledkem toho, že nespoitost u t pro t = 0 a x = R se soustředí v bodě (0, R/a).) 79. Uvažume Cauchyovu úlohu u tt a 2 u = 0 v R 5 R +, Pro x R 5, r R a t R + 0 označme M u (x, r, t) = 1 u(x + r ξ, t) dσ ξ, Ω 5 u(x, 0) = f(x), u t (x, 0) = g(x) x R 5. ξ =1 N(x, r, t) = r 2 M u r (x, r, t) + 3 r M u(x, r, t). Ukažte, že N(x, r, t) e řešením rovnice N tt a 2 N rr = 0 a nalezněte N pomocí eho počátečních dat vyádřených užitím M f a M g. Ukažte, že ( N(x, r, t) 1 u(x, t) = lim = ) r 0 3 r 3 t2 t + t M g (x, a t) + ( 1 ) t 3 t2 t + t M f (x, a t). Návod: použite vztahy ( 2 x M u = r r a sudost M f a M g vzhledem k r. 80. Uvažume Cauchyovu úlohu ) M u, r u tt a 2 u xx = 0 v R R +, x M u = 1 a 2 2 M u t 2 u(x, 0) = ϕ(x), u t (x, 0) = ψ(x) x R, kde ϕ C 2 (R), ψ C 1 (R). Odvod te řešení této úlohy metodou sestupu s využitím vzorce pro řešení Cauchyovy úlohy pro vlnovou rovnici v R 3 R Odvod te řešení Cauchyovy úlohy z předchozího cvičení metodou sestupu s využitím vzorce pro řešení Cauchyovy úlohy pro vlnovou rovnici v R 2 R +. 12

13 82. Necht ϕ 1, ϕ 2 C 2 (R), ψ 1, ψ 2 C 1 (R) sou dané funkce. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy u tt a 2 (u xx + u yy ) = 0 v R 2 R +, u(x, y, 0) = ϕ 1 (x) + ϕ 2 (y), u t (x, y, 0) = ψ 1 (x) + ψ 2 (y) x, y R. 10 Distribuce 83. Vypočítete fundamentální řešení Laplaceovy rovnice v R n. Návod: Určete neprve obecný tvar radiálně symetrického řešení Laplaceovy rovnice. 84. Vypočítete fundamentální řešení rovnice vedení tepla v 1D s a = 1, t. rovnice u t = u xx. Návod: Hledete u ve tvaru u(x, t) = v(x/ t). Tím získáte funkci u, pro níž e u(x, 0) konstantní pro x < 0 i pro x > 0. Vhodný násobek derivace u x e hledané fundamentální řešení. 85. Uvažume Cauchyovu úlohu u t a 2 u = 0 v R n R +, u(x, 0) = u 0 (x) x R n, kde u 0 C 0 (R n ) (spoitá funkce s kompaktním nosičem). Pomocí výsledku předchozího cvičení nalezněte klasické řešení této úlohy. 86. Ukažte, že funkce { 1 pro x < t, 2 G(x, t) = 0 pro x t definovaná na R R + 0 e fundamentální řešení rovnice u tt = u xx. 87. Uvažume temperovanou distribuci δ x =R (ϕ) = x =R ϕ(x) dσ (zdro rovnoměrně rozložený na sféře o poloměru R kolem počátku v R n ). Ukažte, že Fourierova transformace této distribuce e (3) (2 π) n 2 e i ξ x dσ x. 88. Vypočítete integrál v (3) pro n = 3. x =R 89. Pomocí Fourierovy transformace a výsledků předchozích dvou cvičení vypočítete fundamentální řešení vlnové rovnice v R Metodou sestupu vypočítete z fundamentálního řešení odvozeného v předchozím cvičení fundamentální řešení vlnové rovnice v R 2. 13

14 91. Necht G e fundamentální řešení rovnice u t (x, t) = L u(x, t), x R n, t > 0, kde L e lineární diferenciální operátor s konstantními koeficienty neobsahuící derivace podle t. To znamená, že G : R + 0 D (R n ) e spoitě diferencovatelné na R + 0, G t (t) = L G(t) a G(0) = δ. Necht f : R + 0 D (R n ), u 0 D (R n ) a f i u 0 maí kompaktní nosiče. Ověřte, že u(t) = G(t) u 0 + t 0 G(t s) f(s) ds e zobrazení R + 0 D (R n ) splňuící u t (t) = (L u)(t) + f(t) a u(0) = u Necht L e lineární diferenciální operátor s konstantními koeficienty na R n a necht G : R + 0 D (R n ) e fundamentální řešení rovnice u t = L u. Ukažte, že funkcionál F (ϕ) = 0 G(t), ϕ(t) dt, ϕ D(R n+1 ), e distribuce na R n+1 a že F t L F = δ, kde δ D (R n+1 ). 93. Pomocí fundamentálního řešení odvod te Kirchhoffův vzorec pro řešení vlnové rovnice v R Pomocí fundamentálního řešení odvod te Poissonův vzorec pro řešení vlnové rovnice v R Pomocí fundamentálního řešení nalezněte řešení u rovnice u tt a 2 u = 0 v R 3 R + s počátečními podmínkami kde g L 1 (R + ). u(x, 0) = 0, u t (x, 0) = g( x ) x R 3, 96. Necht P L 1,loc (R) a pro x R 3 a t R položme u(x, t) = P (r a t) P ( r a t) r Dokažte, že pak u tt a 2 u = 0 v D (R 3 R). 97. Necht, r = x. { 1 pro x1 > ξ 1, x 2 > ξ 2, u(x 1, x 2 ) = 0 inde, kde ξ = (ξ 1, ξ 2 ) e zvolený bod v R 2. Dokažte, že u e fundamentální řešení s pólem ξ pro operátor L = 2 x 1 x 2, t. že L u = δ ξ. 14

15 98. Dokažte, že pro n = 2 e funkce v = 1 8 π r2 ln r, kde r = x, fundamentální řešení pro operátor 2. Návod: Dokažte neprve, že v = 1 1 (1 + ln r). Uvědomte si, že ln r e 2 π 2 π fundamentální řešení Laplaceovy rovnice. 99. Uvažume úlohu (4) (5) (6) u tt a 2 u xx = 0 v Ω = (0, l) R +, u(0, t) = u(l, t) = 0 t R +, u(x, 0) = ϕ(x), u t (x, 0) = ψ(x) x (0, l), kde ϕ, ψ C([0, l]). Ukažte, že funkce u získaná formální aplikací Fourierovy metody e vždy řešením rovnice (4) ve smyslu distribucí na Ω Uvažume úlohu (4) (6), kde ϕ, ψ L 2 (0, l). Formální aplikací Fourierovy metody získáme [ u(x, t) = α n cos n π a t l + β n l n π a sin n π a t ] sin n π x, l l kde α n = 2 l l 0 n=1 ϕ(x) sin n π x l dx, β n = 2 l l 0 ψ(x) sin n π x l Na funkci u se můžeme dívat ako na zobrazení u : R + 0 D ((0, l)). Dokažte, že u e nekonečně hladké na R + 0 a že splňue diferenciální rovnici a počáteční podmínky u(0) = ϕ, u t (0) = ψ Necht n=1 X n T n e řada získaná Fourierovou metodou akožto řešení parciální diferenciální rovnice u t a 2 u xx = 0 v Ω = (0, l) (0, T ) s vhodnými okraovými a počátečními podmínkami. Předpokládeme, že řada konvergue v L 2 (Ω). Dokažte, že součet řady e řešením uvedené diferenciální rovnice v D (Ω). dx Řešte Fourierovou metodou úlohu u t a 2 u xx = 0 v (0, l) R +, u(0, t) = u(l, t) = 0 t R +, u(x, 0) = u 0 (x) x (0, l), kde u 0 L 2 (0, l). Ukažte, že součet u Fourierovy řady řeší uvedenou úlohu ve smyslu distribucí akožto funkce u : R + 0 D ((0, l)). 11 Numerické řešení rovnice vedení tepla 103. Uvažume soustavu rovnic X α X + X 1 = 0, = 1,..., N 1, X 0 = X N = 0. Zistěte, pro které hodnoty α R má tato úloha netriviální řešení, a tato řešení vypočítete. 15