Ab initio výpočty v chemii a biochemii

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Ab initio výpočty v chemii a biochemii"

Transkript

1 Ab initio výpočty v chemii a biochemii Doc. RNDr. Ing. Jaroslav Burda, CSc., Dr. Vladimír Sychrovský

2 Studijní literatura Szabo A., Ostlund N.S. Modern Quantum Chemistry, McGraw-Hill 989 Lubomír Skála, Kvantová teorie molekul, Karolinum Praha 995 Fišer J. Úvod do kvantové chemie, Academia Praha983

3 Elektronový systém Větší atomy či molekuly představují mnoha-eletronový systém,, jehož řešení není jednoduché. Systém je popsán mnoha-elektronovým operátorem Hamiltonián. Vlnová funkce je složena ze Slaterova determinantu či lineární kombinace těchto determinantů. Naším zájmem je nalézt řešení časově nezávislé Schrödingerova rovnice: H Φ = E Φ kde H Hamiltonián systému M jader (A, B) a N elektronů (i, j). U molekul je řešení vlnové rovnice obtížnější úloha s nižší symetrií a s mnoha částicemi. H Z A = + r N 2 M 2 N M i= 2 i A A= 2M A i= A= N N M M Z AZ B + + r i= j> i ij A= B > A R AB ia (v atomových jednotkách)

4 Mnoha-elektronový Hamiltonián H N M N M 2 2 Z A = 2 + 2M r i A i= A= A i= A= + + r N N M M i= j> i ij A= B > A Z A R Z AB B ia (v atomových jednotkách)

5 H Born Oppenheimerova aproximace Stěžejní aproximace kvantové chemie. Z tří řádového rozdílu hmotností jader a elektronů, můžeme uvažovat pohyb elektronů v poli fixních jader. Elektronový Hamiltonián v poli fixních jader: elec Z = + N N M N N 2 A i i= 2 i= A= ria i= j> i rij Schrodingerova elektronová rovnice H Φ = E Φ elec elec elec elec Elektronová vlnová funkce funkce polohy elektronů, (jader jen parametricky) Elektronová energie Φ =Φ E ({ r };{ R }) elec elec i A = E ({ R }) elec elec A

6 Celková energie (pro fixovaná jádra) zahrnuje konstantu jaderné repulze: E tot M M = E + elec Z AZ R A= B> A AB Rychle se pohybující elektrony vytvářejí nábojový oblak efektivní pole pro jádra. Jaderný Hamiltonián pohyb jader v poli elektronů H M 2 nucl = A + Etot A A= 2M A Φ =Φ ({ R }) nucl nucl A Φ = Φ elec Φ nucl ({ R }) B

7 Spin a antisymetrie Kompletní popis elektronu v kvantové mechanice zahrnuje koordináty a spin: { ω} ( x x x ) x = r,, Φ, 2,, N SPIN neoddělitelná vlastnost částice. Spinové funkce tvoří úplný a ortnonormální systém. Spinové části vlnových funkcí splňují vlastní relace ortonormality. ( ) ( ) d ( ) ( ) dωα ω α ω = ωβ ω β ω = α α = β β = ( ) ( ) d ( ) ( ) dωα ω β ω = ωβ ω α ω = α β = β α = 0 ANTISYMETRIE vůči záměně dvou elektronů Pauliho vylučovací princip: Φ ( x,, x,, x,, x ) = Φ( x,, x,, x,, x ) i j N j i N 0

8 Orbitaly, Slaterovy determinanty, báze... Definujme orbital jako vlnovou funkci jedné částice elektron. Spinorbital vlnová funkce χ, která je složená s prostorové vlnové funkce (prostorový orbital) a ze spinové části: ( r) α( ω) ψ χ ( x ) = nebo ψ ( r) β( ω) Př.: Mějme dvě sady ortonormálních prostorových orbitalů {Ψ iα (r)} a {Ψ iβ (r)} pro oba spiny, které ale nejsou ortonormální vůči sobě. S je matice překryvu. β ( r) ( r) ψ ψ = S α i j ij Dokažte, že sada vlnových funkcí složená z těchto dvou sad, doplněná o spinové části, tvoří ortonormální systém funkcí: β ( r) ( r) χ χ = δ α i j ij

9 Hartreeho produkt Jednodušší systém obsahující neinteragující elektrony (oproti obtížnému řešení plně interagujícího systému). N h(i) je operátor kinetické i potenciální energie elektronu i. Může obsahovat elektron-elektronovou repulzi v zprůměrované tvaru. Vlastní funkce a vlatní číslo celkového Hamiltoniánu je pak ( x,x,,x ) χ ( x) χ ( x ) χ ( x ) HP Ψ 2 N = i j 2 k N E H = ε + ε + + ε i= i j k Hartree product není korelovaná vlnová funkce a nerespektuje antisymetrii. () = hi ( ) ( x ) = ε χ ( x ) hiχ j i j j i Př.: Ukažte, že platí: H HP HP Ψ = E Ψ

10 Slaterovy determinanty pro zachování antisymetrie vlnové funkce lineární kombinaci ( x,x ) χi( x) χ j( x ) ( x,x ) χ ( x ) χ ( x) Ψ = HP Ψ = HP 2 2 i 2 j Ψ a Ψ HP HP 2 2 dostaneme vlnovou funkci, která již vyhovuje principu antisymetrie Ψ x,x = x x x x 2 ( χ χ χ χ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 i j 2 j i 2 Př.: Ukažte, že je výsledná vlnová funkce normalizovaná. Př.: Ukažte, že jsou vlastními funkcemi Hamiltoniánu s vlastním číslem ( ) Ψ, Ψ a Ψ x, x HP HP E = ε + ε i j ( ) h( ) H= h + 2

11 Slaterův determinant Antisymetrická vlnová funkce může být přepsána do tvaru determinantu- tzv. Slaterův determinant. Pro N-elektronový systém má tvar ( x,,x ) Ψ = N N! ( x) ( x) ( x) ( x ) ( x ) ( x ) χi χ j χk χ χ χ χ χ χ i 2 j 2 k 2 ( x ) ( x ) ( x ) i N j N k N Popisuje N elektronů obsazujících N spinorbitalů bez určení kde který elektron okupuje který orbital. Faktor (N!) -/2 je normalizace. Dále budeme používat zkrácenou notaci zápisu, kde nebudeme psát normalizační faktor a z determinantu použijeme jen diagonální členy ( x,,x ) χ ( x) χ ( x ) χ ( x ) Ψ = N i j 2 k N ( x,,x ) Ψ = χχ χ N i j k

12 Př.: Dokaž, že je Slaterův determinant antisymetrický vůči záměně elektronů: χ χ = χ χ m n n m Př.: Mějme dokaž K K L = χ χ a L = i j k l = δ δ δ δ ik jl il jk χ χ

13 Vlastnosti Hartree produktu Spin-orbitaly ( x ) = ( r ) ( ) ( x ) = ( r ) ( ) χ ψ α ω χ ψ β ω ( x,x ) χ ( x ) χ ( x ) ( x,x ) χ ( x ) χ ( x) HP ( x,x ) Ψ ( x,x ) Ψ = HP, Ψ = Ψ HP 2, HP,2 2 2, 2 Elektrony jsou rozlišitelné HP (, ) =Ψ = ψ ( ) ψ ( ) Pxx drdr r r drdr 2, Pravděpodobnos je daná produktem nezávislost výskytu elektronů v prostoru

14 Vlastnosti Slaterova determinantu Korelace pohybu elektronů Pravděpodobnost výskytu dvou elektronů v prostoru: a) Pokud mají opačný spin Ψ ( x,x 2) = χ( x) χ2( x2) χ( x) = ψ( x) α( ω) χ2( x2) = ψ2( x2) β( ω2) 2 ( ) = ω ω Ψ P r,r dr dr d d dr dr Pokud = [ ψ (r ) ψ (r ) + ψ (r ) ψ (r ) ] dr dr (smíšené členy vypadnou při integraci přes spinovou část, dva členy v [ ] díky nerozlišitelnosti el. průměrované /2) Antisymetrizace exchange efekt ψ = ψ P(r, r ) = ψ (r ) ψ (r ) Pohyb dvou elektronů s opačnými spiny není korelován.!

15 b) Pokud mají stejný spin: ( ) { P r,r = ψ (r ) ψ (r ) + ψ (r ) ψ (r ) [ ψ (r ) ψ (r ) ψ (r ) ψ (r ) + ψ (r ) ψ (r ) ψ (r ) ψ (r )] * * * * Je-li r = r, pak P(r,r ) = ( x ) = ( x ) ( ) ( x ) = ( x ) ( ) χ ψ β ω χ ψ β ω Fermiho díra Nulová pravděpodobnost překryvu elektronů. Závěr: I. Slaterův determinant zahrnuje výměnnou ( exchange ) korelaci a to pouze v případě paralelních spinů. II. Pohyb elektronů s opačnými spiny není korelován. }

16 Základní stav N-elektronového systému popsán Slaterovým determinantem Aproximativní řešení dvoučásticového problému ( /r ij ) Elektrony vytváří efektivní jednočásticový potenciál. Základní stav: minimalizace E 0 variačním principem Hartree-Fockovy rovnice Hartree-Fockova aproximace (úvodní poznámky) Ψ = χ χ χ 0 2 N = Ψ H Ψ kde f(i) je efektivní jednoelektronový Fockův operátor E ( ) ( x ) = ( x ) f i χ ε χ Hartree-Fockovy rovnice jsou nelineární a proto se řeší iterativně procedura SCF. i M Z f i = i + v i 2 r 2 A HF () () A= ia i

17 Molekula H2 v minimální bázi MO-LCAO - rozvoj molekulových orbitalů (ψ) do báze atomových orbitalů (Ф). Minimální báze: na každý elektron jeden atomový orbital. Slaterův orbital Gaussův orbital Molekulové orbitaly pro H 2 φ φ ( r R) = 2α ( r R) = ( ) překryv dvou atomových orbitalů. gerade ψ 2. ungerade i K ( r) φ ( r) = μ = C μ i 3 ζ π π e 3 4 ζ r R e α r R ψ = φ + φ ( ) ( ) + 2 S 2 2 ψ = φ φ ( ) ( ) 2 2 S * S2 = drφ r φ2 r Př.: Ukaž, že ψ a ψ 2 jsou ortonormální (a dvě Gaussovy fce nikoli). μ ( Přesné řešení ) ( ) ( )

18 Řešení pro H2 v minimální bázi Spinorbitaly pro molekulu vodíku v minimální bázi: dvě orbitální funkce ψ(r) minimální báze a spin čtyřispinorbitaly f ( x) ( r) ( ) ( x) ( r) ( ) ( x) ( r) ( ) ( x) ( r) ( ) ( x) ( x ), χ = ψ α ω ψ χ = ψ β ω ψ 2 χ = ψ α ω ψ χ = ψ β ω ψ χ = ε χ ε = ε < ε = ε HF základní stav molekuly vodíku Ψ = = = Samostatně: Umět rozepsat ψ 0 >. 0 χχ 2 ψψ

19 Reprezentace HF základního stavu H 2 v minimální bázi

20 Excitované stavy Řešení Hartree-Fockovy rovnice (v bázi K atomových orbitalů) je sada {χ i } 2K spinorbitalů Základní stav systému N elektronů: Počet všech možných excitací: (rozděluji N elektronů mezi 2K spinorbitalů) Ψ 0 = χχ2 χaχb χn ( K ) ( ) 2K 2! = N N!2 K N! Základní stav je referenční a další stavy odvozené od něj : jednou excitovaný stav: dvakrát excitovaný stav: Ψ = χ χ χ χ χ r a 2 r b N Ψ = χ χ χ χ χ rs ab 2 r s N

21 Excitované stavy schématicky Jednou excitovaný stav Dvakrát excitovaný stav

22 Rozvoj vlnové funkce do báze (obecná formulace) Předpokládejme úplný set bázových funkcí {χ i } libovolná funkce jedné proměnné lze napsat rozvojem do báze ( x ) aχ ( x ) Φ = i i i libovolná funkce dvou proměnných Φ x, x = a x χ x, a x = b χ x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 i 2 i i 2 ij j 2 i j ( x, x ) b χ ( x ) χ ( x ) Φ = Antisymetrie: 2 ij i j 2 ij ( x, x2) ( x2, x ) bij bji, b 0 ii ( x, x ) b χ ( x ) χ ( x ) χ ( x ) χ ( x ) Φ = Φ = = Φ = = 2 ij i j 2 j i 2 i j> i = i< j 2 b χχ ij i j Přesná vlnová fce (v rámci AO limitu) je daná úplným rozvojem do Slaterových determinantů. (Argument úplnosti prostoru.)

23 Přesná vlnová funkce a CI Přesnou vlnovou funkci N-elektronů lze tedy vyjádřit jako rozvoj (lineární kombinaci) VŠECH Slaterových determinantů vytvořených z HF řešení {χ i } 0 0 N r r rs rs rst rst a a ab ab abc abc a= r= N+ a< b r< s a< b< c r< s< t Φ = c Ψ + c Ψ + c Ψ + c Ψ + Tato metoda se nazývá konfigurační interakce (CI) Korelační energie korelace pohybu elektronů s opačnými spiny, která není zahrnuta v Hartree-Fockově aproximaci přesná (nerelat.) energie Hamiltoniánu Hartree-Fockova limita Φ H Φ =ε Ψ H Ψ = E E corr ε = E 0 0

24 Hartree-Fock, Full CI & přesné řešení

25 FCI pro molekulu vodíku v minimální bázi v praktických výpočtech nelze použít nekonečný rozvoj Full CI použití konečného počtu AO funkcí a využití všech možných kombinací Slaterových determinantů 0 u 2 Ψ = 2 elektrony 4 spinory g FCI 6 možných orbitalů 2 2 u 2 Ψ = 2K 4 g = = 6 2 N 2 2 u 2 Ψ = g základní stav má gerade symetrii 2 2 u 2 Ψ = g Φ 0 = c0 Ψ 0 + c Ψ 2 Ψ = 2 u 2 g 22 Ψ = 22 u 2 g

26 FCI pro molekulu vodíku v minimální bázi základní stav má gerade symetrii, takže vlnová funkce má tvar rozvoje Φ = c Ψ + c Ψ hodnotu rozvojových koeficientů získáme diagonalizací FCI matice Hamiltoniánu v bázi konfiguračních funkcí 22 Ψ0 H Ψ0 Ψ0 H Ψ H = Ψ H Ψ 0 Ψ H Ψ Př.: Minimální báze benzenu je tvořena 72 spinory. Vypočti a. velikost FCI matice b. počet jednoexcitovaných determinantů, a počet dvouexcitovaných

Operátory a maticové elementy

Operátory a maticové elementy Operátory a matice Operátory a maticové elementy operátory je výhodné reprezentovat maticemi maticové elementy operátorů jsou dány vztahy mezi Slaterovými determinanty obsahujícími ortonormální orbitaly

Více

Atomové a molekulové orbitaly Ion molekuly vodíku. Molekula vodíku Heitler-Londonovou metodou. Metoda LCAO. Báze atomových orbitalů.

Atomové a molekulové orbitaly Ion molekuly vodíku. Molekula vodíku Heitler-Londonovou metodou. Metoda LCAO. Báze atomových orbitalů. Atomové a molekulové orbitaly Ion molekuly vodíku. Molekula vodíku Heitler-Londonovou metodou. Metoda LCAO. Báze atomových orbitalů. Ion molekuly vodíku H + 2 První použití metody je demonstrováno při

Více

Mul$determinantální metody: CASSCF

Mul$determinantální metody: CASSCF Mul$determinantální metody: CASSCF Mul%konfiguračni (mnohadeterninantálni MC SCF) metody použivají narozdíl od metody Hartreeho- Focka pro popis N- elektronového systému větší počet Slaterových determinantů.

Více

Modelové výpočty na H 2 a HeH +

Modelové výpočty na H 2 a HeH + Modelové výpočty na H 2 a HeH + Minimální báze Všechny teoretické poznatky je užitečné ilustrovat modelovým výpočtem. Budeme aplikovat Hartree-Fockovy výpočty na uzavřených slupkách systémů H 2 a HeH +.

Více

Od kvantové mechaniky k chemii

Od kvantové mechaniky k chemii Od kvantové mechaniky k chemii Jan Řezáč UOCHB AV ČR 19. září 2017 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Od kvantové mechaniky k chemii 19. září 2017 1 / 33 Úvod Vztah mezi molekulovou strukturou a makroskopickými vlastnostmi

Více

METODY VÝPOČETNÍ CHEMIE

METODY VÝPOČETNÍ CHEMIE METODY VÝPOČETNÍ CHEMIE Metody výpočetní chemie Ab initio metody Semiempirické metody Molekulová mechanika Molekulová simulace Ab initio metody Ab initio - od počátku Metody kvantově-mechanické vycházejí

Více

Hamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli:

Hamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli: Orbitální a spinový magnetický moment a jejich interakce s vnějším polem Vše na příkladu atomu H: Elektron (e - ) a jádro (u atomu H pouze p + ) mají vlastní magnetický moment (= spin). Tyto dva dipóly

Více

17 Vlastnosti molekul

17 Vlastnosti molekul 17 Vlastnosti molekul Experimentálně molekuly charakterizujeme pomocí nejrůznějších vlastností: můžeme změřit třeba NMR posuny, elektrické či magnetické parametry či třeba jejich optickou otáčivost. Tyto

Více

Fyzika atomového jádra

Fyzika atomového jádra Fyzika atomového jádra (NJSF064) František Knapp http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~knapp/jf/ frantisek.knapp@mff.cuni.cz Slupkový model jádra evidence magických čísel: hmoty, separační energie, vazbové

Více

ATOM VODÍKU MODEL : STOJÍCÍ BODOVÉ JÁDRO A ELEKTRON VZÁJEMNĚ ELEKTROSTATICKY INTERAGUJÍCÍ SCHRÖDINGEROVA ROVNICE PRO PŘÍPAD POTENCIÁLNÍ ENERGIE.

ATOM VODÍKU MODEL : STOJÍCÍ BODOVÉ JÁDRO A ELEKTRON VZÁJEMNĚ ELEKTROSTATICKY INTERAGUJÍCÍ SCHRÖDINGEROVA ROVNICE PRO PŘÍPAD POTENCIÁLNÍ ENERGIE. ATOMY + MOLEKULY ATOM VODÍKU MODEL : STOJÍCÍ BODOVÉ JÁDRO A ELEKTRON VZÁJEMNĚ ELEKTROSTATICKY INTERAGUJÍCÍ SCHRÖDINGEROVA ROVNICE H ˆψ = Eψ PRO PŘÍPAD POTENCIÁLNÍ ENERGIE Vˆ = Ze 2 4πε o r ŘEŠENÍ HLEDÁME

Více

Atom vodíku. Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně. Kulová symetrie. Potenciální energie mezi p + e. e =

Atom vodíku. Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně. Kulová symetrie. Potenciální energie mezi p + e. e = Atom vodíku Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně Kulová symetrie Potenciální energie mezi p + e V 2 e = 4πε r 0 1 Polární souřadnice využití kulové symetrie atomu Ψ(x,y,z) Ψ(r,θ, φ) x =? y=?

Více

Přehled Ab Initio a semiempirických metod

Přehled Ab Initio a semiempirických metod Přehled Ab Initio a semiempirických metod Pokud se vám bude zdát, že je v tom nějaký blud, tak tam asi je. Budu rád, když mě na něj upozorníte. Ab initio metody - od počátku, z prvotních principů, tzn.

Více

Teoretická chemie 1. cvičení

Teoretická chemie 1. cvičení Teoretická chemie 1. cvičení Teoretická část Základní úlohou kvantové chemie je nalézt elektronovou vlnovou funkci zkoumané molekuly Ψ a z ní poté odvodit všechny zajímavé vlastnosti této molekuly, např.

Více

13 Elektronová struktura molekul

13 Elektronová struktura molekul 13 Elektronová struktura molekul Ústředním úkolem kvantové chemie po zavedení Bornovy-Oppenheimerovy aproximace je výpočet elektronové energie molekul Ĥ e ψ e ( r, R) = E e ( R)ψ e ( r, R), (13.1) kde

Více

Laserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky.

Laserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky. Laserová technika 1 Aktivní prostředí Šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 22. prosince 2016 Program

Více

Nekovalentní interakce

Nekovalentní interakce Nekovalentní interakce Jan Řezáč UOCHB AV ČR 3. listopadu 2016 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Nekovalentní interakce 3. listopadu 2016 1 / 28 Osnova 1 Teorie 2 Typy nekovalentních interakcí 3 Projevy v chemii

Více

1. Kvantové jámy. Tabulka 1: Efektivní hmotnosti nosičů v krystalech GaAs, AlAs, v jednotkách hmotnosti volného elektronu m o.

1. Kvantové jámy. Tabulka 1: Efektivní hmotnosti nosičů v krystalech GaAs, AlAs, v jednotkách hmotnosti volného elektronu m o. . Kvantové jámy Pokročilé metody růstu krystalů po jednotlivých vrstvách (jako MBE) dovolují vytvořit si v krystalu libovolný potenciál. Jeden z hojně používaných materiálů je: GaAs, AlAs a jejich ternární

Více

Nekovalentní interakce

Nekovalentní interakce Nekovalentní interakce Jan Řezáč UOCHB AV ČR 31. října 2017 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Nekovalentní interakce 31. října 2017 1 / 28 Osnova 1 Teorie 2 Typy nekovalentních interakcí 3 Projevy v chemii 4 Výpočty

Více

16 Semiempirické přístupy

16 Semiempirické přístupy 16 Semiempirické přístupy V této kapitole se podíváme na skupinu semiempirických metod. Ačkoli semiempirické metody také vycházejí z řešení elektronové Schrödingerovy rovnice, jejich rovnice obsahují dodatečné

Více

John Dalton Amadeo Avogadro

John Dalton Amadeo Avogadro Spojením atomů vznikají molekuly... John Dalton 1766 1844 Amadeo Avogadro 1776 1856 Výpočet molekuly 2, metoda valenční vazby Walter eitler 1904 1981 Fritz W. London 1900 1954 Teorie molekulových orbitalů

Více

VÝPOČETNÍ CHEMIE V ANALÝZE STRUKTURY

VÝPOČETNÍ CHEMIE V ANALÝZE STRUKTURY VÝPOČETNÍ CHEMIE V ANALÝZE STRUKTURY A VLASTNOSTÍ MOLEKUL Michal Čajan Katedra anorganické chemie PřF UP v Olomouci MOLEKULOVÉ MODELOVÁNÍ V CHEMII MOLEKULOVÉ MODELOVÁNÍ aplikace zobrazení a analýza strukturních

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

Oddělení pohybu elektronů a jader

Oddělení pohybu elektronů a jader Oddělení pohybu elektronů a ader Adiabatická aproximace Born-Oppenheimerova aproximace Důležité vztahy sou 4, 5, 7, 0,,, udělal sem to zbytečně podrobně, e to samostatný okruh Separace translačního pohybu:

Více

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Diplomová práce Ladislav Benda Výpočetní studium struktury a vlastností klastrů ethanolu Katedra fyziky nízkých teplot Vedoucí diplomové práce:

Více

Elektronový obal atomu

Elektronový obal atomu Elektronový obal atomu Vlnění o frekvenci v se může chovat jako proud částic (kvant - fotonů) o energii E = h.v Částice pohybující se s hybností p se může chovat jako vlna o vlnové délce λ = h/p Kde h

Více

Vlny. částice? nebo. Pavel Cejnar ÚČJF MFF UK FJDP 2018/19. Objevování kvantového světa

Vlny. částice? nebo. Pavel Cejnar ÚČJF MFF UK FJDP 2018/19. Objevování kvantového světa Objevování kvantového světa Pavel Cejnar ÚČJF MFF UK Vlny nebo částice? FJDP 2018/19 Entrée Sloupy stvoření oblaky chladného plynu a prachu v Orlí mlhovině NASA, ESA Hubble Space Telescope Vizualizace

Více

Základy kvantové teorie (OFY042)

Základy kvantové teorie (OFY042) Příklady na cvičení k přednášce Základy kvantové teorie (OFY042) Zimní semestr 2007/2008, pondělí 2:20-3:50 v M3 Určeno pro 3. ročník Příklady jsou vybírány z různých učebnic a sbírek příkladů. Program

Více

Elementární částice. 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony. 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model

Elementární částice. 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony. 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model Elementární částice 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model I.S. Hughes: Elementary Particles M. Leon: Particle Physics W.S.C. Williams Nuclear and Particle

Více

Úvod do kvantového počítání

Úvod do kvantového počítání 2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005 Opakování Část I Přehled z minulé hodiny Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače

Více

10 Více-elektronové atomy

10 Více-elektronové atomy 1 Více-elektronové atomy Atom vodíku je asi nejsložitější soustava, kterou jsme schopni analyticky přesně vyřešit. Tato situace je pro chemika pochopitelně málo uspokojivá. Pomocí kvantové teorie bychom

Více

Teorie chemické vazby a molekulární geometrie Molekulární geometrie VSEPR

Teorie chemické vazby a molekulární geometrie Molekulární geometrie VSEPR Geometrie molekul Lewisovy vzorce poskytují informaci o tom které atomy jsou spojeny vazbou a o jakou vazbu se jedná (topologie molekuly). Geometrické uspořádání molekuly je charakterizováno: Délkou vazeb

Více

Kvantová mechanika (UFY100)

Kvantová mechanika (UFY100) Cvičení k přednášce Kvantová mechanika (UFY100) Letní semestr 2004/2005, Úterý 12:25-13:55 v M4 Určeno pro 2. ročník učitelství fyziky pro SŠ Následující text obsahuje stručný přehled jednotlivých cvičení

Více

Řešit atom vodíku znamená nalézt řešení Schrödingerovy rovnice s příslušným hamiltoniánem. 1 4πǫ 0. 2m e

Řešit atom vodíku znamená nalézt řešení Schrödingerovy rovnice s příslušným hamiltoniánem. 1 4πǫ 0. 2m e 8 Atom vodíku Správné řešení atomu vodíku je jedním z velkých vítězství kvantové mechaniky. Podle klasické fyziky náboj, který se pohybuje se zrychlením (elektron obíhající vodíkové jádro proton), by měl

Více

Elektronový obal atomu

Elektronový obal atomu Elektronový obal atomu Ondřej Havlíček.ročník F-Vt/SŠ Jsoucno je vždy něco, co jsme si sami zkonstruovali ve své mysli. Podstata takovýchto konstrukcí nespočívá v tom, že by byly odvozeny ze smyslových

Více

5 Potenciály s δ funkcemi I

5 Potenciály s δ funkcemi I 5 Potenciály s δ funkcemi 5. Jednoduchá δ jáma nebo bariéra Mějme potenciál ve tvaru jednoduché δ funkce V cδ, kde c je konstanta, jejíž velikost udává sílu potenciálu. Pokud je c

Více

Fyzika atomového jádra (FAJ) Petr Veselý Ústav Jaderné fyziky, Česká Akademie Věd www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~vesely/faj/faj.pdf

Fyzika atomového jádra (FAJ) Petr Veselý Ústav Jaderné fyziky, Česká Akademie Věd www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~vesely/faj/faj.pdf Fyzika atomového jádra (FAJ) Petr Veselý Ústav Jaderné fyziky, Česká Akademie Věd www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~vesely/faj/faj.pdf Letní semestr 2017 Motivace Studium jaderné struktury: - široká škála systémů

Více

Molekuly. Všeobecně známý fakt: atomy se slučujou do molekul, pokud to zrovna nejsou atomy inertních plynů v posledním sloupci periodické tabulky

Molekuly. Všeobecně známý fakt: atomy se slučujou do molekul, pokud to zrovna nejsou atomy inertních plynů v posledním sloupci periodické tabulky Molekuly Všeobecně známý fakt: atomy se slučujou do molekul, pokud to zrovna nejsou atomy inertních plynů v posledním sloupci periodické tabulky Nejjednodušší případ: molekulární iont H +, tj. dva protony

Více

6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných. Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti.

6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných. Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti. 6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti Víme už tedy téměř vše o operátorech Jsou to vlastně měřící přístroje v kvantové

Více

Diskutujte, jak široký bude pás spojený s fosforescencí versus fluorescencí. Udělejte odhad v cm -1.

Diskutujte, jak široký bude pás spojený s fosforescencí versus fluorescencí. Udělejte odhad v cm -1. S použitím modelu volného elektronu (=částice v krabici) spočtěte vlnovou délku a vlnočet nejdlouhovlnějšího elektronového přechodu u molekuly dekapentaenu a oktatetraenu. Diskutujte polohu absorpčního

Více

ATOMOVÁ SPEKTROMETRIE

ATOMOVÁ SPEKTROMETRIE ATOMOVÁ SPEKTROMETRIE Atomová spektrometrie valenčních e - 1. OES (AES). AAS 3. AFS 1 Atomová spektra čárová spektra Tok záření P - množství zářivé energie (Q E ) přenesené od zdroje za jednotku času.

Více

Neideální plyny. Z e dr dr dr. Integrace přes hybnosti. Neideální chování

Neideální plyny. Z e dr dr dr. Integrace přes hybnosti. Neideální chování eideální plyny b H Q(, V, T )... e dp 3... dpdr... dr! h Integrace přes hybnosti QVT (,, ) pmkt! h 3 / e dr dr dr /... U kt... eideální chování p kt r B ( T) r B ( T) r 3 3 Vyšší koeficinety velice složité

Více

Arnoldiho a Lanczosova metoda

Arnoldiho a Lanczosova metoda Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat

Více

Látkové množství. 6,022 10 23 atomů C. Přípravný kurz Chemie 07. n = N. Doporučená literatura. Látkové množství n. Avogadrova konstanta N A

Látkové množství. 6,022 10 23 atomů C. Přípravný kurz Chemie 07. n = N. Doporučená literatura. Látkové množství n. Avogadrova konstanta N A Doporučená literatura Přípravný kurz Chemie 2006/07 07 RNDr. Josef Tomandl, Ph.D. Mailto: tomandl@med.muni.cz Předmět: Přípravný kurz chemie J. Vacík a kol.: Přehled středoškolské chemie. SPN, Praha 1990,

Více

Kvantová mechanika ve 40 minutách

Kvantová mechanika ve 40 minutách Stručný průvodce konečněrozměrnou kvantovou mechanikou České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Úvod do kryptologie 6. 5. 2010 Program 1 Od klasické mechaniky k mechanice

Více

Born-Oppenheimerova aproximace

Born-Oppenheimerova aproximace Born-Oppenheimerova aproximace Oddělení elektronického a jaderného pohybu Jádra 2000 x těžší než elektrony elektrony kvantová chemie, popis systému (do 100 atomů) na základě vlastností elektronů (jádra

Více

Kvantová mechanika - model téměř volných elektronů. model těsné vazby

Kvantová mechanika - model téměř volných elektronů. model těsné vazby Kvantová mechanika - model téměř volných elektronů model těsné vazby Částice (elektron) v periodickém potenciálu- Blochův teorém Dále už nebudeme považovat elektron za zcela volný (Sommerfeld), ale připustíme

Více

Úvod do moderní fyziky. lekce 3 stavba a struktura atomu

Úvod do moderní fyziky. lekce 3 stavba a struktura atomu Úvod do moderní fyziky lekce 3 stavba a struktura atomu Vývoj představ o stavbě atomu 1904 J. J. Thomson pudinkový model atomu 1909 H. Geiger, E. Marsden experiment s ozařováním zlaté fólie alfa částicemi

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

přičemž předpokládáme A malé, U zahrnuje coulombické členy. Když roznásobíme závorku, p 2 reprezentuje kinetickou energii nabitých částic, člen

přičemž předpokládáme A malé, U zahrnuje coulombické členy. Když roznásobíme závorku, p 2 reprezentuje kinetickou energii nabitých částic, člen Výběrová pravidla Absorpce/stim. emise Kde se výběrová pravidla vezmou? Použijeme semiklasické přiblížení, tzn. s nabitými částicemi (s indexy 1...N) zacházíme kvantově, s vnějším elektromagnetickým polem

Více

Hartreeho-Fockova metoda (HF)

Hartreeho-Fockova metoda (HF) Stacionární Schrödingerova rovnice H Ψ = EΨ Metoda konfigurační interakce Metoda vázaných klastrů Poruchová teorie Zahrnutí el. korelace Bornova-Oppenheimerova aproximace Model nezávislých elektronů Vlnová

Více

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1) 14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

2. Elektrotechnické materiály

2. Elektrotechnické materiály . Elektrotechnické materiály Předpokladem vhodného využití elektrotechnických materiálů v konstrukci elektrotechnických součástek a zařízení je znalost jejich vlastností. Elektrické vlastnosti materiálů

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

Teorie Molekulových Orbitalů (MO)

Teorie Molekulových Orbitalů (MO) Teorie Molekulových Orbitalů (MO) Kombinace atomových orbitalů na všech atomech v molekule Vhodná symetrie Vhodná (podobná) energie Z n AO vytvoříme n MO Pro začátek dvouatomové molekuly: H 2, F 2, CO,...

Více

VÍTEJTE V MIKROSVĚTĚ

VÍTEJTE V MIKROSVĚTĚ VÍTEJTE V MIKROSVĚTĚ Klasická vs. Moderní fyzika Klasická fyzika fyzika obyčejných věcí viditelných pouhým okem Moderní fyzika Relativita zabývá se tím co se pohybuje rychle nebo v silovém gravitačním

Více

Struktura elektronového obalu

Struktura elektronového obalu Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Struktura elektronového obalu Představy o modelu atomu se vyvíjely tak, jak se zdokonalovaly možnosti vědy

Více

Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno

Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno 1 Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno Struktura

Více

Hartreeho-Fockova metoda (HF)

Hartreeho-Fockova metoda (HF) Staonární Shrödngerova rovne H Ψ = EΨ Metoda konfgurační nterake Metoda vázanýh klastrů Poruhová teore Zahrnutí el. korelae Bornova-Oppenhemerova aproxmae Model nezávslýh elektronů Vlnová funke ve tvaru

Více

Opakování: shrnutí základních poznatků o struktuře atomu

Opakování: shrnutí základních poznatků o struktuře atomu 11. Polovodiče Polovodiče jsou krystalické nebo amorfní látky, jejichž elektrická vodivost leží mezi elektrickou vodivostí kovů a izolantů a závisí na teplotě nebo dopadajícím optickém záření. Elektrické

Více

Optické spektroskopie 1 LS 2014/15

Optické spektroskopie 1 LS 2014/15 Optické spektroskopie 1 LS 2014/15 Martin Kubala 585634179 mkubala@prfnw.upol.cz 1.Úvod Velikosti objektů v přírodě Dítě ~ 1 m (10 0 m) Prst ~ 2 cm (10-2 m) Vlas ~ 0.1 mm (10-4 m) Buňka ~ 20 m (10-5 m)

Více

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme

Více

3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor

3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor 3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor 3.1 Jednoduchý algebraický systém Mějme operátor  a operátor  k němu sdružený, které mezi sebou splňují komutační relace 1 [Â, = m, m R +. (3.1.1) Definujme

Více

Balmerova série vodíku

Balmerova série vodíku Balmerova série vodíku Josef Navrátil 1, Barbora Pavlíková 2, Pavel Mičulka 3 1 Gymnázium Ivana Olbrachta, pepa.navratil.ez@volny.cz 2 Gymnázium Jeseník, barca@progeo-sys.cz 3 Gymnázium a SOŠ Frýdek Místek,

Více

elektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016

elektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016 F6122 Základy fyziky pevných látek seminář elektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016 1 Drudeho model volných elektronů 1 1.1 Mathiessenovo pravidlo............................................... 1

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

Inovace studia molekulární a buněčné biologie reg. č. CZ.1.07/2.2.00/

Inovace studia molekulární a buněčné biologie reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ Inovace studia molekulární a buněčné biologie reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0354 Předmět: LRR/CHPB1/Chemie pro biology 1 Elektronový obal Mgr. Karel Doležal Dr. Cíl přednášky: seznámit posluchače se stavbou

Více

Druhé kvantování. Slaterův determinant = χ χ

Druhé kvantování. Slaterův determinant = χ χ Druhé kvntování Druhé kvntování žádná nová fyzk! jný formlsmus upltnění prncpu ntsymetre bez použtí Slterových determnntů. Antsymetrcké vlstnost vlnových funkcí jsou přeneseny n lgebrcké vlstnost dných

Více

Operátory obecně (viz QMCA s. 88) je matematický předpis který, pokud je aplikován na funkci, převádí ji na

Operátory obecně (viz QMCA s. 88) je matematický předpis který, pokud je aplikován na funkci, převádí ji na 4 Matematická vsuvka: Operátory na Hilbertově prostoru. Popis vlastností kvantové částice. Operátory rychlosti a polohy kvantové částice. Princip korespondence. Vlastních stavy a spektra operátorů, jejich

Více

jádro a elektronový obal jádro nukleony obal elektrony, pro chemii významné valenční elektrony

jádro a elektronový obal jádro nukleony obal elektrony, pro chemii významné valenční elektrony atom jádro a elektronový obal jádro nukleony obal elektrony, pro chemii významné valenční elektrony molekula Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti seskupení alespoň dvou atomů

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Chemická vazba. John Dalton Amadeo Avogadro

Chemická vazba. John Dalton Amadeo Avogadro Chemická vazba John Dalton 1766-1844 Amadeo Avogadro 1776-1856 Výpočet molekuly 2, metoda valenční vazby Walter eitler 1904-1981 Fritz W. London 1900-1954 Teorie molekulových orbitalů Friedrich und 1896-1997

Více

Změna koeficientů PDR při změně proměnných

Změna koeficientů PDR při změně proměnných Změna koeficientů PR při změně proměnných Oldřich Vlach oto pojednání doplňuje přednášku M. Šofera na téma Nalezení složek tenzoru napjatosti pro případ rovinné úlohy s povrchem zatíženým kontaktním tlakem

Více

1. Obyčejné diferenciální rovnice

1. Obyčejné diferenciální rovnice & 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

Teoretická chemie 3. cvičení

Teoretická chemie 3. cvičení Teoretická chemie 3. cvičení Teoretická část K popisu částic nepoužívá kvantová mechanika klasické veličiny fázového prostoru (tj. polohu a hybnost), ale pracuje s tzv. vlnovou funkcí, která může být podle

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Fázové přechody Isingův model

Fázové přechody Isingův model Fázové přechody Isingův model Fázové přechody prvního druhu: diskontinuita v první derivaci volné energie Fázové přechody druhého druhu: diskontinuita v druhých derivacích A Může statistická mechanika

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Rayleighova-Schrödingerova stacionární poruchová teorie

Rayleighova-Schrödingerova stacionární poruchová teorie 43 Pokročilé metody kvantové mechaniky Rayleighova-Schrödingerova stacionární poruchová teorie a) Nedegenerovaný případ John William Strutt, 3. Baron Rayleigh (84 99) Mějme libovolný kvantověmechanický

Více

Fyzika IV. -ezv -e(z-zv) kov: valenční elektrony vodivostní elektrony. Elektronová struktura pevných látek model volných elektronů

Fyzika IV. -ezv -e(z-zv) kov: valenční elektrony vodivostní elektrony. Elektronová struktura pevných látek model volných elektronů Elektronová struktura pevných látek model volných elektronů 1897: J.J. Thomson - elektron jako částice 1900: P. Drude: kinetická teorie plynů - kov jako plyn elektronů Drudeho model elektrony se mezi srážkami

Více

Fyzika IV. Pojem prvku. alchymie. Paracelsus (16.st) Elektronová struktura atomů

Fyzika IV. Pojem prvku. alchymie. Paracelsus (16.st) Elektronová struktura atomů Elektronová struktura atomů Pojem prvku alchymie Paracelsus (16.st) Elektronová struktura atomů alchymie 17.-18.století - při hoření látky ztrácí těkavou součást - flogiston. látka = flogiston + popel

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Elektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r

Elektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory

Více

1 Projekce a projektory

1 Projekce a projektory Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor

Více

Příklad 1: Komutační relace [d/dx, x] Příklad 2: Operátor B = i d/dx

Příklad 1: Komutační relace [d/dx, x] Příklad 2: Operátor B = i d/dx 1 Příklad 1: Komutační relace [d/, x] Mějme na dva operátory: ˆ d/ a ˆ 5 D X x, například na prvek x působí takto Určeme jejich komutátor ˆ 5 d 5 4 ˆ 5 5 6 D x x 5 x, X x xx x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d d [ DX, ] f

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

I a II. Kvantová mechanika. JSF094 Akademický rok

I a II. Kvantová mechanika. JSF094 Akademický rok Kvantová mechanika JSF094 kademický rok 017-018 I a II Čas a místo Úterý 13:10-14:40 Středa 10:40-1:10 cvičení posluchárna ÚČJF3/945 Čtvrtek 10:40-1:10 Přednášející prof. Pavel Cejnar ÚČJF místnost: 934

Více

PLANCK EINSTEIN BOHR de BROGLIE

PLANCK EINSTEIN BOHR de BROGLIE KVANTOVÁ MECHANIKA PLANCK 1858-1947 EINSTEIN 1879-1955 BOHR 1885-1962 de BROGLIE 1892-1987 HEISENBERG 1901-1976 SCHRÖDINGER 1887-1961 BORN 1882-1970 JORDAN 1902-1980 PAULI 1900-1958 DIRAC 1902-1984 VŠECHNO

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Inovace studia molekulární a buněčné biologie

Inovace studia molekulární a buněčné biologie Investice do rozvoje vzdělávání Inovace studia molekulární a buněčné biologie Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Investice do rozvoje vzdělávání

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo 0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový

Více

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy 2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více