1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost"

Transkript

1 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik ok padne při hodu kostkou, jaké bude zítra ráno počasí nebo jaký kurs koruny vůči euru bude mít příští pondělí Komerční banka. Takové děje nazýváme náhodné neboli stochastické. S náhodnými ději souvisí i další pojmy náhodný pokus a náhodný jev. Náhodný pokus je každá realizace (provedení) náhodného děje. Náhodný jev je pak každá událost, která při pokusu může nebo nemusí nastat. Náhodným pokusem je tedy každý hod kostkou, zjištění ranního počasí (například po probuzení) nebo každodenní ověření kursu koruny vůči Euru v Komerční bance. Náhodným jevem pak může být skutečnost, že na kostce padne šestka, že zítra ráno bude svítit sluníčko nebo že kurs koruny vůči euru bude nižší než 26 Kč/1. Náhodné jevy označujeme obvykle velkými písmeny: A, B, C atd. Každému náhodnému jevu A lze přiřadit nezáporné reálné číslo P(A) z intervalu od 0 do 1, které se nazývá pravděpodobnost jevu. Pravděpodobnost je číselné (kvantitativní) vyjádření šance, že daný jev nastane. Čím vyšší bude mít jev pravděpodobnost, tím větší je šance, že nastane. Pravděpodobnost rovnu nule bude mít jev, který při žádném pokusu nemůže nastat. Takový jev nazýváme nemožný. Naopak jev, který nastane v každém případě, při každém pokusu, je ohodnocen pravděpodobností rovnou jedné a nazývá se jev jistý. Příkladem nemožného jevu například je, že při hodu kostkou padne sedmička. Naopak jistý jev je, že padne číslo menší než sedm. Eistuje více způsobů, jak určit pravděpodobnost daného jevu. Nejjednodušší je tzv. klasická (teoretická) definice pravděpodobnosti, která vychází z předpokladu, že náhodný pokus může mít n různých výsledků, které jsou navzájem rovnocenné, tedy mají stejnou šanci, stejnou pravděpodobnost výskytu. Dejme tomu, že jev A nastane při m různých výsledcích (z n možných). Pak klasická pravděpodobnost jevu A je vyjádřena poměrem počtu výsledků příznivých danému jevu (m) ku počtu všech možných výsledků (n): PA ( ) m n 2

2 Například pravděpodobnost, že na kostce padne sudé číslo, je podle klasické definice pravděpodobnosti rovna P = 3 / 6 = 0,5. Pravděpodobnost se často vyjadřuje v procentech (%). Například uvedená pravděpodobnost P = 0,5 může být také zapsána jako P = 50%. Předpoklad, že všechny výsledky pokusu mají stejnou pravděpodobnost výskytu, je z hlediska teorie sice pochopitelný, ale v prai málo obvyklý, ne-li nereálný. Žádná hrací kostka není totiž natolik ideální, aby na ní čísla padala se stejnou pravděpodobností. Jak v takových případech určit pravděpodobnost? Pokud je možné pokus vedoucí k realizaci (nebo nerealizaci) daného jevu X opakovat, pak lze jeho pravděpodobnost odhadnout na základě počtu úspěšných pokusů při opakování. Dejme tomu, že bylo provedeno n pokusů, přičemž zkoumaný jev A nastal v m případech. Potom je možné pravděpodobnost jevu A odhadnout pomocí relativní četnosti pokusů, při kterých nastal jev A: PA ( ) m n Je zřejmé, že s rostoucím počtem pokusů n se bude uvedená relativní četnost stále více blížit k hledané pravděpodobnosti. Takto zjištěnou pravděpodobnost nazýváme statistickou neboli empirickou pravděpodobností. Teoretická definice pravděpodobnosti (klasická nebo aiomatická) na jedné straně a statistická (empirická) definice pravděpodobnosti na straně druhé jsou dva různé pohledy na jeden problém: je potřeba určit pravděpodobnost daného jevu. Teoretická definice vychází z obecných vlastností dané situace. V případě kostky abstrahuje od její nedokonalosti a bude ji považovat za ideální, na které všechny hodnoty padají se stejnou pravděpodobností. Potom lze k výpočtu pravděpodobnosti využít klasické definice a výsledkem je známá hodnota 1 / 6. Statistická definice vychází z eperimentu. Kostka bude podrobena sérii pokusů a výstupem eperimentu bude tabulka četností jednotlivých hodnot výsledků. Výsledky empirického pozorování jsou zpracovány a relativní četnost výskytu daného jevu (padnutí šestky) bude považována za jeho pravděpodobnost, resp. za její nejlepší odhad. Všimněte si, že oba pohledy jsou pouze přibližné. Ani jeden z nich neurčí pravděpodobnost přesně, ale pouze se k ní přiblíží jsou to tedy pouhé modely skutečnosti, skutečného chování zkoumané kostky. U teoretického přístupu přesnost výsledku závisí na zvolené abstrakci (idealizaci, zjednodušení) celého problému. Čím větší abstrakce, tím jednodušší výpočet, ale tím méně přesný výsledek. U empirického přístupu přesnost závisí na počtu prováděných pokusů (eperimentů). Čím více pokusů, tím přesnější výsledek. 3

3 Který přístup tedy zvolit? To závisí na konkrétní situaci: na informacích, které jsou k dispozici (znáte všechny elementární jevy? jsou skutečně rovnocenné?), na možnostech provedení eperimentu (dá se pokus opakovat? je náročný na prostředky, na čas?) a na dalších souvisejících faktorech. Výsledky teoretického (pravděpodobnostního) a empirického (statistického) přístupu mohou a obvykle jsou různé, ale na druhé straně se od sebe příliš neliší. 1.2 Rozdělení a charakteristiky náhodné veličiny Nyní naše pravděpodobnostní úvahy rozšíříme o další pojem náhodnou veličinu. Náhodná veličina je taková číselná proměnná, jejíž hodnotu nelze určit přesně, ale lze ji s předem danou pravděpodobností předvídat. Náhodné veličiny se ve statistice používají pro vyjádření různých dějů, které mají náhodný charakter. Náhodnou veličinou bude například teplota zítra ráno v 6 hodin naměřená na stanovišti v Praze-Komořanech nebo počet obyvatel České republiky ke dni Toto jsou číselné veličiny, jejichž hodnoty (obvykle reálná nebo celá čísla) nelze přesně stanovit, ale přesto s nimi lze pracovat. Náhodné veličiny budeme značit X, Y, Z apod., jejich hodnoty pak, y, z. Skutečnost, že náhodná veličina X nabývá hodnoty, vyjádříme vztahem: X = Množina všech hodnot, kterých náhodná veličina může nabývat, se nazývá obor hodnot náhodné veličiny. Některé náhodné veličiny nabývají hodnot pouze z konečné množiny izolovaných hodnot například výsledek hodu kostkou. Takovou náhodnou veličinu nazýváme diskrétní. Jindy tvoří obor hodnot náhodné veličiny nějaký číselný interval například kurs koruny vůči euru. V takovém případě hovoříme o spojité náhodné veličině. Chcete-li popsat chování náhodné veličiny, nestačí pouze uvést obor hodnot, kterých může nabývat. Některé hodnoty z oboru se totiž mohou vyskytovat s větší, jiné s menší pravděpodobností. Pravidlo, kterým se tato pravděpodobnost řídí, se nazývá zákon rozdělení (rozložení) náhodné veličiny. Zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny X lze nejjednodušeji vyjádřit pomocí pravděpodobnostní funkce p(), která přiřazuje každé reálné hodnotě z oboru hodnot veličiny X pravděpodobnost jejího výskytu. Je tedy definována jako: p( ) P( X ) Například pravděpodobnost, že na kostce padne číslo 6, můžeme napsat jako p(6). Pravděpodobnostní funkce p() diskrétní náhodné veličiny X musí splňovat tyto vlastnosti: 4

4 1. 0 < p( i ) < 1 pravděpodobnost je vždy z intervalu 0 až 1 2. p ( ) 1 součet všech pravděpodobností je 1 i i pro všechna i z oboru hodnot veličiny X. Pro všechny ostatní reálná čísla mimo obor hodnot veličiny X je hodnota pravděpodobnostní funkce rovna nule. Druhou možností, jak vyjádřit rozložení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny X, je distribuční funkce F(), která je definována jako: F( ) P( X ) Distribuční funkce má kumulativní charakter, pro každou reálnou hodnotu je rovna součtu pravděpodobností všech hodnot z oboru veličiny X, které jsou menší nebo rovny. Distribuční funkce F() má některé vlastnosti, které vyplývají přímo z její definice: 1. 0 F() 1 je to pravděpodobnost 2. jestliže 1 < 2, pak F( 1 ) F( 2 ) funkce je neklesající 3. lim F( ) F ( ) 0 funkce začíná v nule 4. lim F( ) F ( ) 1 funkce končí v jedničce Tyto vlastnosti platí pro všechna reálná, resp. 1 a 2. Graf distribuční funkce diskrétní náhodné proměnné má typický schodovitý průběh. Obr. 4.1 Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny hod kostkou Spojitá náhodná veličina je definována na intervalu, a tak je možné i u ní definovat distribuční funkci F(), a to analogickým způsobem jako pro diskrétní proměnnou tedy pomocí definičního vztahu: F( ) P( X ) 5

5 F() Pro distribuční funkci spojité veličiny X platí rovněž tytéž vlastnosti jako pro distribuční funkci diskrétní veličiny. Graf distribuční funkce spojité náhodné veličiny však již nebude mít schodovitý charakter, ale půjde o spojitou neklesající křivku. Distribuční funkce 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, Obr. 4.2 Distribuční funkce spojité náhodné veličiny V prai se často využívá také inverzní funkce k distribuční funkci, nazývaná kvantilová funkce nebo zkráceně pouze kvantil. Kvantil (přesněji p-kvantil) p je taková hodnota z oboru proměnné X, která dělí obor hodnot veličiny X na dva intervaly, z nichž ten levý představuje pravděpodobnost p, pravý 1 p. Kvantily tedy rozdělují obor náhodné veličiny X v určitém pravděpodobnostním poměru. Nejvýznamnější kvantily jsou: medián 0,5 neboli 50% kvantil kvartily 0,25, 0,5 a 0,75 decily 0,1, 0,2,, 0,9 Všimněte si, že např. kvartily dělí pravděpodobnostní prostor na 4 části (intervaly) se stejnou pravděpodobností. Prostřední kvartil je shodný s mediánem. Ve statistické prai sehrávají důležitou roli také dva kvantily 0,025 a 0,975, které vymezují 95% interval hodnot náhodné proměnné X kolem střední hodnoty. S těmito kvantily (a také s důvodem, proč jsou důležité) se podrobněji seznámíte zejména v další kapitole. Pro spojitou náhodnou veličinu nemá teoretický ani praktický smysl určovat pravděpodobnost, že nabývá nějaký konkrétní hodnoty, tj. počítat P(X = ). Z tohoto důvodu není pro spojité náhodné veličiny definována pravděpodobnostní funkce p(). Představte si, že máte zkoumat rozložení příjmů obyvatel České republiky. Nemá asi praktický význam zjišťovat, s jakou pravděpodobností bude mít náhodně vybraný občan 6

6 f() průměrný měsíční příjem přesně Kč. Stačí, aby se jeden jeho měsíční příjem změnil o jediný haléř (například zaokrouhlením) a vznikla by nová situace s novým rozložením pravděpodobnosti. Naopak užitečné může být zjištění, s jakou pravděpodobností bude příjem náhodně vybraného občana ležet v nějakém konkrétním intervalu, například mezi a Kč. U spojitých náhodných veličin se proto určuje pouze pravděpodobnost na intervalu, například P(a < X < b). Platí přitom: P( a X b) F( b) F( a ) Tento vztah se dokonce nezmění, ani když některou z ostrých nerovností nahradíte neostrou. U spojité náhodné proměnné tedy nezáleží na tom, zda krajní hodnoty do zkoumaného intervalu patří nebo ne. Místo pravděpodobnostní funkce se k popisu rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny používá funkce, která ji plnohodnotně zastupuje. Je to tzv. frekvenční funkce neboli funkce hustoty pravděpodobnosti f(), která je v oboru hodnot náhodné veličiny X definovaná jako derivace její distribuční funkce: f( ) df( ) d Hustota pravděpodobnosti může nabývat i hodnot vyšších než 1. Pochopitelně však nemůže být záporná. Pro všechny reálné hodnoty mimo obor náhodné proměnné X je hustota pravděpodobnosti rovna nule. Graf hustoty pravděpodobnosti je spojitá křivka, která začíná i končí v nule. Nad osou vymezuje plochu, která představuje pravděpodobnostní prostor je rovna 1. 0,16 Frekvenční funkce a pravděpodobnost 0,14 0,12 0,1 P(a<X<b) 0,08 0,06 0,04 0,02 0 a b Obr. 4.3 Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 7

7 Geometrická interpretace funkce hustoty pravděpodobnosti je jako obalová křivka pravděpodobnostního prostoru. Pravděpodobnost příslušnosti hodnoty do intervalu (a, b) můžeme vyjádřit jako plochu vymezenou křivkou frekvenční funkce, krajními hodnotami = a, = b a osou. Analyticky můžeme tento vztah zapsat jako určitý integrál: b P( a X b) f ( ) d a Náhodnou veličinu lze charakterizovat pomocí číselných charakteristik, které jsou významově obdobné charakteristikám, jaké se používají pro vyjádření statistických znaků. Mezi nejpoužívanější charakteristiky patří střední hodnota a směrodatná odchylka, resp. rozptyl. Střední hodnota E(X) náhodné veličiny X představuje pomyslný střed oboru této veličiny, kolem kterého kolísají jednotlivé hodnoty. Symbol E pochází z anglického termínu epected value, tedy očekávaná hodnota. Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny X se spočítá podle vzorce: E( X ) p( ) i i i Rozptyl D(X) náhodné veličiny X vyjadřuje míru kolísání hodnot této veličiny kolem její střední hodnoty. Čím větší je rozptyl, tím horší vypovídací schopnost o vlastnostech náhodné veličiny má samotná střední hodnota. Rozptyl diskrétní náhodné veličiny se spočítá podle vzorce: D( X) p( ) E( X ) i 2 2 i i Střední hodnota a rozptyl spojité náhodné veličiny X se spočítají analogicky, pouze sumu přes celý obor náhodné veličiny X nahradí určitý integrál a pravděpodobnostní funkci funkce hustoty pravděpodobnosti. V tomto tetu nebudeme uvedené vzorce (naštěstí) potřebovat. Směrodatná odchylka SD(X) náhodné veličiny X se spočítá stejně jako u statistického znaku: SD( X ) D( X ) 1.3 Normální rozdělení pravděpodobnosti Nejdůležitějším rozdělením spojité náhodné proměnné, které statistika zná, je tzv. normální rozdělení. Normální rozdělení slouží jako pravděpodobnostní model chování velkého množství jevů v technice, přírodních vědách i ekonomii, například: rozložení hodnot IQ v populaci; rozložení hmotnosti výrobků v sériové (pásové) výrobě; 8

8 rozložení týdenního počtu zákazníků v restauraci. Pokud má náhodná veličina X normální rozdělení se střední hodnotou μ a směrodatnou odchylkou σ (nebo rozptylem σ 2 ), stručně rozdělení N(μ; σ 2 ), říkáme takové veličině normální náhodná veličina. Normální náhodná veličina je definovaná pro všechna reálná čísla, což znamená, že může nabývat libovolné reálné hodnoty z intervalu (- ; + ). Graf hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení má typický zvonovitý tvar, pro který se ujalo označení Gaussova křivka. Tato funkce má maimum v bodě = μ, kolem kterého je rovněž symetrická, a pro ± se asymptoticky blíží k ose. Stejný průběh a vlastnosti má každé normální rozdělení bez ohledu na jeho parametry. 0,05 NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Hustota pravděpodobnosti f() N(100;100) 1,0 NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Distribuční funkce F() N(100;100) 0,04 0,8 0,03 0,6 0,02 0,4 0,01 0,2 0, , Obr. 4.4 Hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce normální náhodné veličiny Mimořádné postavení normálního rozdělení mezi ostatními rozděleními náhodné veličiny formuluje tzv. centrální limitní věta. Zjednodušeně ji lze vyjádřit jako: Součet (nebo aritmetický průměr) náhodně vytvořených nezávislých hodnot veličiny s libovolným rozdělením se s rostoucím počtem sčítanců blíží k náhodné veličině s normálním rozdělením. Znamená to, že budeme-li mít v prai veličinu, jejíž chování je způsobeno vlivem většího množství malých nezávislých vlivů, bude se tato veličina svým chováním blížit veličině s rozdělením normálním. Chceme-li počítat pravděpodobnosti pro normální náhodnou veličinu, potřebovali bychom rovnici její distribuční funkce. Distribuční funkci normálního rozdělení však nelze vyjádřit pomocí funkcí známých ze střední školy, proto ji také nespočítáme na kalkulačce. Dříve se k určení pravděpodobnosti normální náhodné veličiny používaly statistické tabulky, dnes stačí mít k dispozici počítač a program Microsoft Ecel. 9

9 V Ecelu najdete funkce pro hustotu pravděpodobnosti, distribuční funkci i kvantily normálního rozdělení N(μ; σ 2 ) se střední hodnotou μ a rozptylem σ 2. NORM.DIST(; μ; σ; 0) NORM.DIST(; μ; σ; 1) NORM.INV(p; μ; σ) hustota pravděpodobnosti f() distribuční funkce F() kvantil normální proměnné p Všimněte si, že ecelovské funkce NORM.DIST a NORM.INV používají místo rozptylu σ 2 jako parametr směrodatnou odchylku σ. V souvislosti s normální náhodnou proměnnou X můžeme řešit 4 základní typy úloh: a) výpočet levostranné pravděpodobnosti P(X < ); b) výpočet pravostranné pravděpodobnosti P(X > ); c) výpočet pravděpodobnosti na intervalu P(a < X < b); d) nalezení hodnoty p-kvantilu p. ad a) Mějme tedy úlohu, kdy potřebujeme určit pravděpodobnost P(X < ) pro normální náhodnou veličinu X. Z definice distribuční funkce víme, že tato pravděpodobnost je rovna přímo hodnotě distribuční funkce veličiny X, čili P(X < ) = F(). V Ecelu můžeme tuto pravděpodobnost určit přímo pomocí funkce NORM.DIST. P(X < ) = F() NORM.DIST(; μ; σ; 1) Obr. 4.5 Levostranná pravděpodobnost v normálním rozdělení ad b) Pokud chceme určit pravostrannou pravděpodobnost, že náhodná veličina X dosahuje hodnoty větší než, čili P(X > ), můžeme využít vztahu: P( X ) 1 P( X ) 1 F( ) Úlohu tak opět převedeme na známé hledání hodnoty distribuční funkce. P(X > ) = 1 - F() 1 - NORM.DIST(; μ; σ; 1) 10

10 Obr. 4.6 Pravostranná pravděpodobnost v normálním rozdělení ad c) Nyní si ještě ukážeme, jak určit pravděpodobnost, že hodnota náhodné proměnné X leží v daném intervalu (a; b), čili: a < X < b. Využijeme-li vlastností distribuční funkce, můžeme psát: P( a X b) F( b) F( a ) V prai to znamená, že stačí určit hodnotu distribuční funkce obou krajních mezí intervalu a ty pak od sebe odečíst. P(a < X < b) = F(b) - F(a) NORM.DIST(b; μ; σ; 1) - NORM.DIST(a; μ; σ; 1) Obr. 4.7 Pravděpodobnost na intervalu v normálním rozdělení ad d) Poslední základní úlohou, kterou si uvedeme, je nalezení kvantilu pravděpodobnosti p = P(X < p k dané p ). Tato úloha je vlastně zpětným postupem k hledání distribuční funkce, v Ecelu k nalezení kvantilu použijeme funkci NORM.INV. V prai velmi často potřebujeme najít symetrický interval, který vymezuje pravděpodobnost rovnu p symetricky kolem střední hodnoty. Tento interval je ve skutečnosti vymezen kvantily 1 p 2 a 1 p 2. Například 90% symetrický interval je vymezen kvantily na hladině 5 % a 95 %, tedy hodnotami 5% a 95%. Mezi všemi normálními rozděleními má specifické postavení tzv. normované normální rozdělení Z se střední hodnotou 0 a rozptylem 1. Platí tedy: EZ ( ) 0 D (Z) 1 Pro distribuční funkci rozdělení Z eistuje v Ecelu speciální funkce NORM.S.DIST, pro kvantil tohoto rozdělení funkce NORM.S.INV. Pokud X bude normální náhodná veličina s rozdělením N(μ; σ 2 ) a Z normovaná normální náhodná veličina, bude mezi jejich hodnotami a z platit vztah: 11

11 z a naopak: z Normovaná náhodná veličina z tedy udává vzdálenost hodnoty od střední hodnoty normálního rozdělení μ v násobcích směrodatné odchylky σ. Normované normální rozdělení Z se využívalo zejména v dobách statistických tabulek. Aby nebylo třeba vytvářet tabulky pro velké množství různých rozdělení, eistovaly pouze tabulky distribuční funkce a kvantilů rozdělení Z. Všechny úlohy na normální rozdělení se nejprve převedly podle výše uvedených vztahů na normované rozdělení Z, jehož hodnoty se již daly dohledat v tabulkách. V současné době se toto rozdělení využívá především v odhadech a testech, jak uvidíte v následující kapitole. 12

12 Vyzkoušejte si sami 1. Ve finále televizní soutěže je v osudí 10 míčků, z toho 3 červené. Při losování si soutěžící náhodně vytáhne z osudí 2 míčky. Pokud jsou oba červené, vyhrál hlavní cenu. V loňském roce v 52 losováních vyhrálo hlavní cenu pouze 5 soutěžících. a) Určete teoretickou pravděpodobnost, že soutěžící ve finále vyhraje hlavní cenu. b) Určete statistickou pravděpodobnost, že soutěžící ve finále vyhraje hlavní cenu. c) Porovnejte oba výsledky. 2. Diskrétní náhodná veličina X nabývá celočíselných hodnot 0 až 4 s těmito pravděpodobnostmi: X p() 0,11 0,25 0,28 0,22 a) Doplňte tabulku pravděpodobnostní funkce o chybějící číslo. b) Určete pravděpodobnosti P(2 < X 4) a P(2 X < 4). c) Spočítejte střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny X. 3. Testy nových baterií SCALA ukazují, že průměrná životnost baterie je 230 hodin se směrodatnou odchylkou 20 hodin. Předpokládejme, že životnost baterie má přibližně normální rozdělení pravděpodobnosti. a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná baterie vydrží déle než 250 hodin? b) Jakou životnost má výrobce uvést do specifikace, aby této hodnotě vyhovovalo minimálně 95% všech vyrobených baterií? 13

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

Náhodné (statistické) chyby přímých měření Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Náhodné chyby přímých měření

Náhodné chyby přímých měření Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost Induktivní statistika z-skóry pravděpodobnost normální rozdělení Z-skóry umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}. 5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

2. Základní typy dat Spojitá a kategoriální data Základní popisné statistiky Frekvenční tabulky Grafický popis dat

2. Základní typy dat Spojitá a kategoriální data Základní popisné statistiky Frekvenční tabulky Grafický popis dat 2. Základní typy dat Spojitá a kategoriální data Základní popisné statistiky Frekvenční tabulky Grafický popis dat Anotace Realitu můžeme popisovat různými typy dat, každý z nich se specifickými vlastnostmi,

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. 3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Číselné charakteristiky

Číselné charakteristiky . Číselné charakteristiky statistických dat Průměrný statistik se během svého života ožení s 1,75 ženami, které se ho snaží vytáhnout večer do společnosti,5 x týdně, ale pouze s 50% úspěchem. W. F. Miksch

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není

Více

Generování pseudonáhodných. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Generování pseudonáhodných. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Generování pseudonáhodných čísel při simulaci Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky V simulačních modelech se velice často vyskytují náhodné proměnné. Proto se budeme zabývat otázkou, jak při simulaci

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným

Více

Chyby měření 210DPSM

Chyby měření 210DPSM Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů

Více

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat

1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat 1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

Analýza dat na PC I.

Analýza dat na PC I. CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Lékařská a Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Analýza dat na PC I. Popisná analýza v programu Statistica IBA výuka Základní popisná statistika Popisná statistika

Více

Přednáška 3: Limita a spojitost

Přednáška 3: Limita a spojitost 3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné

Více

Vzorová písemka č. 1 (rok 2015/2016) - řešení

Vzorová písemka č. 1 (rok 2015/2016) - řešení Vzorová písemka č. rok /6 - řešení Pavla Pecherková. května 6 VARIANTA A. Náhodná veličina X je určena hustotou pravděpodobností: máme hustotu { pravděpodobnosti C x pro x ; na intervalu f x jinde jedná

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

Jevy a náhodná veličina

Jevy a náhodná veličina Jevy a náhodná veličina Výsledky některých jevů jsou vyjádřeny číselně -na hrací kostce padne číslo 1, 4, 6.., jiným jevům můžeme čísla přiřadit (stupeň školního vzdělání: ZŠ, SŠ, VŠ) Data jsme rozdělili

Více

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁHODNÝCH POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za

Více

Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.

Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

Statistika I (KMI/PSTAT)

Statistika I (KMI/PSTAT) Statistika I (KMI/PSTAT) Cvičení druhé aneb Kvantily, distribuční funkce Statistika I (KMI/PSTAT) 1 / 1 Co se dnes naučíme Po absolvování této hodiny byste měli být schopni: rozumět pojmu modus (modální

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik

STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik Jak stanovit charakteristiky rozložení sledované veličiny v základní populaci? Populaci většinou nemáme celou k dispozici, musíme se spokojit jen s

Více

Náhodná proměnná. Náhodná proměnná může mít rozdělení diskrétní (x 1. , x 2. ; x 2. spojité (<x 1

Náhodná proměnná. Náhodná proměnná může mít rozdělení diskrétní (x 1. , x 2. ; x 2. spojité (<x 1 Náhodná proměnná Náhodná proměnná může mít rozdělení diskrétní (x 1, x 2,,x n ) spojité () Poznámky: 1. Fyzikální veličiny jsou zpravidla spojité, ale změřené hodnoty jsou diskrétní. 2. Pokud

Více

Pravděpodobnostní rozdělení

Pravděpodobnostní rozdělení Náhodná proměnná Pravděpodobnostní rozdělení Základy logiky a matematiky, ISS FSV UK Martin Štrobl Tento pomocný materiál neobsahuje všechnu látku k danému tématu, pouze se zaměřuje na pochopení důležitých

Více

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním

Více

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti. Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je

Více

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ ÚVOD Základní soubor Všechny ryby v rybníce, všechny holky/kluci na škole Cílem určit charakteristiky, pravděpodobnosti Průměr, rozptyl, pravděpodobnost, že Maruška kápne na toho

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY zhanel@fsps.muni.cz ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY METODY DESKRIPTIVNÍ STATISTIKY 1. URČENÍ TYPU ŠKÁLY (nominální, ordinální, metrické) a) nominální + ordinální neparametrické stat. metody b) metrické

Více

Základy popisné statistiky

Základy popisné statistiky Základy popisné statistiky Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 26 Obsah 1 Základy statistického zpracování dat 2

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012. Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza. Jan Kracík

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012. Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza. Jan Kracík Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012 Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Statistika věda o získávání znalostí z empirických dat empirická

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika

Více

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická

Více

Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava

Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Matematika III. 27. listopadu Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 27. listopadu Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. listopadu 2017 Typy statistických znaků (proměnných) Typy proměnných: Kvalitativní proměnná (kategoriální, slovní,... ) Kvantitativní proměnná (numerická,

Více

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Základy biostatistiky II Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Teoretické rozložení-matematické modely rozložení Naměřená data Výběrové rozložení Teoretické rozložení 1 e 2 x 2 Teoretické rozložení-matematické

Více

Teorie pravěpodobnosti 1

Teorie pravěpodobnosti 1 Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako

Více

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST 2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více