1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost"

Transkript

1 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik ok padne při hodu kostkou, jaké bude zítra ráno počasí nebo jaký kurs koruny vůči euru bude mít příští pondělí Komerční banka. Takové děje nazýváme náhodné neboli stochastické. S náhodnými ději souvisí i další pojmy náhodný pokus a náhodný jev. Náhodný pokus je každá realizace (provedení) náhodného děje. Náhodný jev je pak každá událost, která při pokusu může nebo nemusí nastat. Náhodným pokusem je tedy každý hod kostkou, zjištění ranního počasí (například po probuzení) nebo každodenní ověření kursu koruny vůči Euru v Komerční bance. Náhodným jevem pak může být skutečnost, že na kostce padne šestka, že zítra ráno bude svítit sluníčko nebo že kurs koruny vůči euru bude nižší než 26 Kč/1. Náhodné jevy označujeme obvykle velkými písmeny: A, B, C atd. Každému náhodnému jevu A lze přiřadit nezáporné reálné číslo P(A) z intervalu od 0 do 1, které se nazývá pravděpodobnost jevu. Pravděpodobnost je číselné (kvantitativní) vyjádření šance, že daný jev nastane. Čím vyšší bude mít jev pravděpodobnost, tím větší je šance, že nastane. Pravděpodobnost rovnu nule bude mít jev, který při žádném pokusu nemůže nastat. Takový jev nazýváme nemožný. Naopak jev, který nastane v každém případě, při každém pokusu, je ohodnocen pravděpodobností rovnou jedné a nazývá se jev jistý. Příkladem nemožného jevu například je, že při hodu kostkou padne sedmička. Naopak jistý jev je, že padne číslo menší než sedm. Eistuje více způsobů, jak určit pravděpodobnost daného jevu. Nejjednodušší je tzv. klasická (teoretická) definice pravděpodobnosti, která vychází z předpokladu, že náhodný pokus může mít n různých výsledků, které jsou navzájem rovnocenné, tedy mají stejnou šanci, stejnou pravděpodobnost výskytu. Dejme tomu, že jev A nastane při m různých výsledcích (z n možných). Pak klasická pravděpodobnost jevu A je vyjádřena poměrem počtu výsledků příznivých danému jevu (m) ku počtu všech možných výsledků (n): PA ( ) m n 2

2 Například pravděpodobnost, že na kostce padne sudé číslo, je podle klasické definice pravděpodobnosti rovna P = 3 / 6 = 0,5. Pravděpodobnost se často vyjadřuje v procentech (%). Například uvedená pravděpodobnost P = 0,5 může být také zapsána jako P = 50%. Předpoklad, že všechny výsledky pokusu mají stejnou pravděpodobnost výskytu, je z hlediska teorie sice pochopitelný, ale v prai málo obvyklý, ne-li nereálný. Žádná hrací kostka není totiž natolik ideální, aby na ní čísla padala se stejnou pravděpodobností. Jak v takových případech určit pravděpodobnost? Pokud je možné pokus vedoucí k realizaci (nebo nerealizaci) daného jevu X opakovat, pak lze jeho pravděpodobnost odhadnout na základě počtu úspěšných pokusů při opakování. Dejme tomu, že bylo provedeno n pokusů, přičemž zkoumaný jev A nastal v m případech. Potom je možné pravděpodobnost jevu A odhadnout pomocí relativní četnosti pokusů, při kterých nastal jev A: PA ( ) m n Je zřejmé, že s rostoucím počtem pokusů n se bude uvedená relativní četnost stále více blížit k hledané pravděpodobnosti. Takto zjištěnou pravděpodobnost nazýváme statistickou neboli empirickou pravděpodobností. Teoretická definice pravděpodobnosti (klasická nebo aiomatická) na jedné straně a statistická (empirická) definice pravděpodobnosti na straně druhé jsou dva různé pohledy na jeden problém: je potřeba určit pravděpodobnost daného jevu. Teoretická definice vychází z obecných vlastností dané situace. V případě kostky abstrahuje od její nedokonalosti a bude ji považovat za ideální, na které všechny hodnoty padají se stejnou pravděpodobností. Potom lze k výpočtu pravděpodobnosti využít klasické definice a výsledkem je známá hodnota 1 / 6. Statistická definice vychází z eperimentu. Kostka bude podrobena sérii pokusů a výstupem eperimentu bude tabulka četností jednotlivých hodnot výsledků. Výsledky empirického pozorování jsou zpracovány a relativní četnost výskytu daného jevu (padnutí šestky) bude považována za jeho pravděpodobnost, resp. za její nejlepší odhad. Všimněte si, že oba pohledy jsou pouze přibližné. Ani jeden z nich neurčí pravděpodobnost přesně, ale pouze se k ní přiblíží jsou to tedy pouhé modely skutečnosti, skutečného chování zkoumané kostky. U teoretického přístupu přesnost výsledku závisí na zvolené abstrakci (idealizaci, zjednodušení) celého problému. Čím větší abstrakce, tím jednodušší výpočet, ale tím méně přesný výsledek. U empirického přístupu přesnost závisí na počtu prováděných pokusů (eperimentů). Čím více pokusů, tím přesnější výsledek. 3

3 Který přístup tedy zvolit? To závisí na konkrétní situaci: na informacích, které jsou k dispozici (znáte všechny elementární jevy? jsou skutečně rovnocenné?), na možnostech provedení eperimentu (dá se pokus opakovat? je náročný na prostředky, na čas?) a na dalších souvisejících faktorech. Výsledky teoretického (pravděpodobnostního) a empirického (statistického) přístupu mohou a obvykle jsou různé, ale na druhé straně se od sebe příliš neliší. 1.2 Rozdělení a charakteristiky náhodné veličiny Nyní naše pravděpodobnostní úvahy rozšíříme o další pojem náhodnou veličinu. Náhodná veličina je taková číselná proměnná, jejíž hodnotu nelze určit přesně, ale lze ji s předem danou pravděpodobností předvídat. Náhodné veličiny se ve statistice používají pro vyjádření různých dějů, které mají náhodný charakter. Náhodnou veličinou bude například teplota zítra ráno v 6 hodin naměřená na stanovišti v Praze-Komořanech nebo počet obyvatel České republiky ke dni Toto jsou číselné veličiny, jejichž hodnoty (obvykle reálná nebo celá čísla) nelze přesně stanovit, ale přesto s nimi lze pracovat. Náhodné veličiny budeme značit X, Y, Z apod., jejich hodnoty pak, y, z. Skutečnost, že náhodná veličina X nabývá hodnoty, vyjádříme vztahem: X = Množina všech hodnot, kterých náhodná veličina může nabývat, se nazývá obor hodnot náhodné veličiny. Některé náhodné veličiny nabývají hodnot pouze z konečné množiny izolovaných hodnot například výsledek hodu kostkou. Takovou náhodnou veličinu nazýváme diskrétní. Jindy tvoří obor hodnot náhodné veličiny nějaký číselný interval například kurs koruny vůči euru. V takovém případě hovoříme o spojité náhodné veličině. Chcete-li popsat chování náhodné veličiny, nestačí pouze uvést obor hodnot, kterých může nabývat. Některé hodnoty z oboru se totiž mohou vyskytovat s větší, jiné s menší pravděpodobností. Pravidlo, kterým se tato pravděpodobnost řídí, se nazývá zákon rozdělení (rozložení) náhodné veličiny. Zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny X lze nejjednodušeji vyjádřit pomocí pravděpodobnostní funkce p(), která přiřazuje každé reálné hodnotě z oboru hodnot veličiny X pravděpodobnost jejího výskytu. Je tedy definována jako: p( ) P( X ) Například pravděpodobnost, že na kostce padne číslo 6, můžeme napsat jako p(6). Pravděpodobnostní funkce p() diskrétní náhodné veličiny X musí splňovat tyto vlastnosti: 4

4 1. 0 < p( i ) < 1 pravděpodobnost je vždy z intervalu 0 až 1 2. p ( ) 1 součet všech pravděpodobností je 1 i i pro všechna i z oboru hodnot veličiny X. Pro všechny ostatní reálná čísla mimo obor hodnot veličiny X je hodnota pravděpodobnostní funkce rovna nule. Druhou možností, jak vyjádřit rozložení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny X, je distribuční funkce F(), která je definována jako: F( ) P( X ) Distribuční funkce má kumulativní charakter, pro každou reálnou hodnotu je rovna součtu pravděpodobností všech hodnot z oboru veličiny X, které jsou menší nebo rovny. Distribuční funkce F() má některé vlastnosti, které vyplývají přímo z její definice: 1. 0 F() 1 je to pravděpodobnost 2. jestliže 1 < 2, pak F( 1 ) F( 2 ) funkce je neklesající 3. lim F( ) F ( ) 0 funkce začíná v nule 4. lim F( ) F ( ) 1 funkce končí v jedničce Tyto vlastnosti platí pro všechna reálná, resp. 1 a 2. Graf distribuční funkce diskrétní náhodné proměnné má typický schodovitý průběh. Obr. 4.1 Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny hod kostkou Spojitá náhodná veličina je definována na intervalu, a tak je možné i u ní definovat distribuční funkci F(), a to analogickým způsobem jako pro diskrétní proměnnou tedy pomocí definičního vztahu: F( ) P( X ) 5

5 F() Pro distribuční funkci spojité veličiny X platí rovněž tytéž vlastnosti jako pro distribuční funkci diskrétní veličiny. Graf distribuční funkce spojité náhodné veličiny však již nebude mít schodovitý charakter, ale půjde o spojitou neklesající křivku. Distribuční funkce 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, Obr. 4.2 Distribuční funkce spojité náhodné veličiny V prai se často využívá také inverzní funkce k distribuční funkci, nazývaná kvantilová funkce nebo zkráceně pouze kvantil. Kvantil (přesněji p-kvantil) p je taková hodnota z oboru proměnné X, která dělí obor hodnot veličiny X na dva intervaly, z nichž ten levý představuje pravděpodobnost p, pravý 1 p. Kvantily tedy rozdělují obor náhodné veličiny X v určitém pravděpodobnostním poměru. Nejvýznamnější kvantily jsou: medián 0,5 neboli 50% kvantil kvartily 0,25, 0,5 a 0,75 decily 0,1, 0,2,, 0,9 Všimněte si, že např. kvartily dělí pravděpodobnostní prostor na 4 části (intervaly) se stejnou pravděpodobností. Prostřední kvartil je shodný s mediánem. Ve statistické prai sehrávají důležitou roli také dva kvantily 0,025 a 0,975, které vymezují 95% interval hodnot náhodné proměnné X kolem střední hodnoty. S těmito kvantily (a také s důvodem, proč jsou důležité) se podrobněji seznámíte zejména v další kapitole. Pro spojitou náhodnou veličinu nemá teoretický ani praktický smysl určovat pravděpodobnost, že nabývá nějaký konkrétní hodnoty, tj. počítat P(X = ). Z tohoto důvodu není pro spojité náhodné veličiny definována pravděpodobnostní funkce p(). Představte si, že máte zkoumat rozložení příjmů obyvatel České republiky. Nemá asi praktický význam zjišťovat, s jakou pravděpodobností bude mít náhodně vybraný občan 6

6 f() průměrný měsíční příjem přesně Kč. Stačí, aby se jeden jeho měsíční příjem změnil o jediný haléř (například zaokrouhlením) a vznikla by nová situace s novým rozložením pravděpodobnosti. Naopak užitečné může být zjištění, s jakou pravděpodobností bude příjem náhodně vybraného občana ležet v nějakém konkrétním intervalu, například mezi a Kč. U spojitých náhodných veličin se proto určuje pouze pravděpodobnost na intervalu, například P(a < X < b). Platí přitom: P( a X b) F( b) F( a ) Tento vztah se dokonce nezmění, ani když některou z ostrých nerovností nahradíte neostrou. U spojité náhodné proměnné tedy nezáleží na tom, zda krajní hodnoty do zkoumaného intervalu patří nebo ne. Místo pravděpodobnostní funkce se k popisu rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny používá funkce, která ji plnohodnotně zastupuje. Je to tzv. frekvenční funkce neboli funkce hustoty pravděpodobnosti f(), která je v oboru hodnot náhodné veličiny X definovaná jako derivace její distribuční funkce: f( ) df( ) d Hustota pravděpodobnosti může nabývat i hodnot vyšších než 1. Pochopitelně však nemůže být záporná. Pro všechny reálné hodnoty mimo obor náhodné proměnné X je hustota pravděpodobnosti rovna nule. Graf hustoty pravděpodobnosti je spojitá křivka, která začíná i končí v nule. Nad osou vymezuje plochu, která představuje pravděpodobnostní prostor je rovna 1. 0,16 Frekvenční funkce a pravděpodobnost 0,14 0,12 0,1 P(a<X<b) 0,08 0,06 0,04 0,02 0 a b Obr. 4.3 Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 7

7 Geometrická interpretace funkce hustoty pravděpodobnosti je jako obalová křivka pravděpodobnostního prostoru. Pravděpodobnost příslušnosti hodnoty do intervalu (a, b) můžeme vyjádřit jako plochu vymezenou křivkou frekvenční funkce, krajními hodnotami = a, = b a osou. Analyticky můžeme tento vztah zapsat jako určitý integrál: b P( a X b) f ( ) d a Náhodnou veličinu lze charakterizovat pomocí číselných charakteristik, které jsou významově obdobné charakteristikám, jaké se používají pro vyjádření statistických znaků. Mezi nejpoužívanější charakteristiky patří střední hodnota a směrodatná odchylka, resp. rozptyl. Střední hodnota E(X) náhodné veličiny X představuje pomyslný střed oboru této veličiny, kolem kterého kolísají jednotlivé hodnoty. Symbol E pochází z anglického termínu epected value, tedy očekávaná hodnota. Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny X se spočítá podle vzorce: E( X ) p( ) i i i Rozptyl D(X) náhodné veličiny X vyjadřuje míru kolísání hodnot této veličiny kolem její střední hodnoty. Čím větší je rozptyl, tím horší vypovídací schopnost o vlastnostech náhodné veličiny má samotná střední hodnota. Rozptyl diskrétní náhodné veličiny se spočítá podle vzorce: D( X) p( ) E( X ) i 2 2 i i Střední hodnota a rozptyl spojité náhodné veličiny X se spočítají analogicky, pouze sumu přes celý obor náhodné veličiny X nahradí určitý integrál a pravděpodobnostní funkci funkce hustoty pravděpodobnosti. V tomto tetu nebudeme uvedené vzorce (naštěstí) potřebovat. Směrodatná odchylka SD(X) náhodné veličiny X se spočítá stejně jako u statistického znaku: SD( X ) D( X ) 1.3 Normální rozdělení pravděpodobnosti Nejdůležitějším rozdělením spojité náhodné proměnné, které statistika zná, je tzv. normální rozdělení. Normální rozdělení slouží jako pravděpodobnostní model chování velkého množství jevů v technice, přírodních vědách i ekonomii, například: rozložení hodnot IQ v populaci; rozložení hmotnosti výrobků v sériové (pásové) výrobě; 8

8 rozložení týdenního počtu zákazníků v restauraci. Pokud má náhodná veličina X normální rozdělení se střední hodnotou μ a směrodatnou odchylkou σ (nebo rozptylem σ 2 ), stručně rozdělení N(μ; σ 2 ), říkáme takové veličině normální náhodná veličina. Normální náhodná veličina je definovaná pro všechna reálná čísla, což znamená, že může nabývat libovolné reálné hodnoty z intervalu (- ; + ). Graf hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení má typický zvonovitý tvar, pro který se ujalo označení Gaussova křivka. Tato funkce má maimum v bodě = μ, kolem kterého je rovněž symetrická, a pro ± se asymptoticky blíží k ose. Stejný průběh a vlastnosti má každé normální rozdělení bez ohledu na jeho parametry. 0,05 NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Hustota pravděpodobnosti f() N(100;100) 1,0 NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Distribuční funkce F() N(100;100) 0,04 0,8 0,03 0,6 0,02 0,4 0,01 0,2 0, , Obr. 4.4 Hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce normální náhodné veličiny Mimořádné postavení normálního rozdělení mezi ostatními rozděleními náhodné veličiny formuluje tzv. centrální limitní věta. Zjednodušeně ji lze vyjádřit jako: Součet (nebo aritmetický průměr) náhodně vytvořených nezávislých hodnot veličiny s libovolným rozdělením se s rostoucím počtem sčítanců blíží k náhodné veličině s normálním rozdělením. Znamená to, že budeme-li mít v prai veličinu, jejíž chování je způsobeno vlivem většího množství malých nezávislých vlivů, bude se tato veličina svým chováním blížit veličině s rozdělením normálním. Chceme-li počítat pravděpodobnosti pro normální náhodnou veličinu, potřebovali bychom rovnici její distribuční funkce. Distribuční funkci normálního rozdělení však nelze vyjádřit pomocí funkcí známých ze střední školy, proto ji také nespočítáme na kalkulačce. Dříve se k určení pravděpodobnosti normální náhodné veličiny používaly statistické tabulky, dnes stačí mít k dispozici počítač a program Microsoft Ecel. 9

9 V Ecelu najdete funkce pro hustotu pravděpodobnosti, distribuční funkci i kvantily normálního rozdělení N(μ; σ 2 ) se střední hodnotou μ a rozptylem σ 2. NORM.DIST(; μ; σ; 0) NORM.DIST(; μ; σ; 1) NORM.INV(p; μ; σ) hustota pravděpodobnosti f() distribuční funkce F() kvantil normální proměnné p Všimněte si, že ecelovské funkce NORM.DIST a NORM.INV používají místo rozptylu σ 2 jako parametr směrodatnou odchylku σ. V souvislosti s normální náhodnou proměnnou X můžeme řešit 4 základní typy úloh: a) výpočet levostranné pravděpodobnosti P(X < ); b) výpočet pravostranné pravděpodobnosti P(X > ); c) výpočet pravděpodobnosti na intervalu P(a < X < b); d) nalezení hodnoty p-kvantilu p. ad a) Mějme tedy úlohu, kdy potřebujeme určit pravděpodobnost P(X < ) pro normální náhodnou veličinu X. Z definice distribuční funkce víme, že tato pravděpodobnost je rovna přímo hodnotě distribuční funkce veličiny X, čili P(X < ) = F(). V Ecelu můžeme tuto pravděpodobnost určit přímo pomocí funkce NORM.DIST. P(X < ) = F() NORM.DIST(; μ; σ; 1) Obr. 4.5 Levostranná pravděpodobnost v normálním rozdělení ad b) Pokud chceme určit pravostrannou pravděpodobnost, že náhodná veličina X dosahuje hodnoty větší než, čili P(X > ), můžeme využít vztahu: P( X ) 1 P( X ) 1 F( ) Úlohu tak opět převedeme na známé hledání hodnoty distribuční funkce. P(X > ) = 1 - F() 1 - NORM.DIST(; μ; σ; 1) 10

10 Obr. 4.6 Pravostranná pravděpodobnost v normálním rozdělení ad c) Nyní si ještě ukážeme, jak určit pravděpodobnost, že hodnota náhodné proměnné X leží v daném intervalu (a; b), čili: a < X < b. Využijeme-li vlastností distribuční funkce, můžeme psát: P( a X b) F( b) F( a ) V prai to znamená, že stačí určit hodnotu distribuční funkce obou krajních mezí intervalu a ty pak od sebe odečíst. P(a < X < b) = F(b) - F(a) NORM.DIST(b; μ; σ; 1) - NORM.DIST(a; μ; σ; 1) Obr. 4.7 Pravděpodobnost na intervalu v normálním rozdělení ad d) Poslední základní úlohou, kterou si uvedeme, je nalezení kvantilu pravděpodobnosti p = P(X < p k dané p ). Tato úloha je vlastně zpětným postupem k hledání distribuční funkce, v Ecelu k nalezení kvantilu použijeme funkci NORM.INV. V prai velmi často potřebujeme najít symetrický interval, který vymezuje pravděpodobnost rovnu p symetricky kolem střední hodnoty. Tento interval je ve skutečnosti vymezen kvantily 1 p 2 a 1 p 2. Například 90% symetrický interval je vymezen kvantily na hladině 5 % a 95 %, tedy hodnotami 5% a 95%. Mezi všemi normálními rozděleními má specifické postavení tzv. normované normální rozdělení Z se střední hodnotou 0 a rozptylem 1. Platí tedy: EZ ( ) 0 D (Z) 1 Pro distribuční funkci rozdělení Z eistuje v Ecelu speciální funkce NORM.S.DIST, pro kvantil tohoto rozdělení funkce NORM.S.INV. Pokud X bude normální náhodná veličina s rozdělením N(μ; σ 2 ) a Z normovaná normální náhodná veličina, bude mezi jejich hodnotami a z platit vztah: 11

11 z a naopak: z Normovaná náhodná veličina z tedy udává vzdálenost hodnoty od střední hodnoty normálního rozdělení μ v násobcích směrodatné odchylky σ. Normované normální rozdělení Z se využívalo zejména v dobách statistických tabulek. Aby nebylo třeba vytvářet tabulky pro velké množství různých rozdělení, eistovaly pouze tabulky distribuční funkce a kvantilů rozdělení Z. Všechny úlohy na normální rozdělení se nejprve převedly podle výše uvedených vztahů na normované rozdělení Z, jehož hodnoty se již daly dohledat v tabulkách. V současné době se toto rozdělení využívá především v odhadech a testech, jak uvidíte v následující kapitole. 12

12 Vyzkoušejte si sami 1. Ve finále televizní soutěže je v osudí 10 míčků, z toho 3 červené. Při losování si soutěžící náhodně vytáhne z osudí 2 míčky. Pokud jsou oba červené, vyhrál hlavní cenu. V loňském roce v 52 losováních vyhrálo hlavní cenu pouze 5 soutěžících. a) Určete teoretickou pravděpodobnost, že soutěžící ve finále vyhraje hlavní cenu. b) Určete statistickou pravděpodobnost, že soutěžící ve finále vyhraje hlavní cenu. c) Porovnejte oba výsledky. 2. Diskrétní náhodná veličina X nabývá celočíselných hodnot 0 až 4 s těmito pravděpodobnostmi: X p() 0,11 0,25 0,28 0,22 a) Doplňte tabulku pravděpodobnostní funkce o chybějící číslo. b) Určete pravděpodobnosti P(2 < X 4) a P(2 X < 4). c) Spočítejte střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny X. 3. Testy nových baterií SCALA ukazují, že průměrná životnost baterie je 230 hodin se směrodatnou odchylkou 20 hodin. Předpokládejme, že životnost baterie má přibližně normální rozdělení pravděpodobnosti. a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná baterie vydrží déle než 250 hodin? b) Jakou životnost má výrobce uvést do specifikace, aby této hodnotě vyhovovalo minimálně 95% všech vyrobených baterií? 13

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

Rozdělení náhodné veličiny

Rozdělení náhodné veličiny Rozdělení náhodné veličiny Náhodná proměnná může mít - diskrétní rozdělení (nabývá jen určitých číselných hodnot) - spojité rozdělení (nabývá libovolných hodnot z určitého intervalu) Fyzikální veličiny

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost Induktivní statistika z-skóry pravděpodobnost normální rozdělení Z-skóry umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných

Více

Číselné charakteristiky

Číselné charakteristiky . Číselné charakteristiky statistických dat Průměrný statistik se během svého života ožení s 1,75 ženami, které se ho snaží vytáhnout večer do společnosti,5 x týdně, ale pouze s 50% úspěchem. W. F. Miksch

Více

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. 3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ ÚVOD Základní soubor Všechny ryby v rybníce, všechny holky/kluci na škole Cílem určit charakteristiky, pravděpodobnosti Průměr, rozptyl, pravděpodobnost, že Maruška kápne na toho

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012. Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza. Jan Kracík

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012. Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza. Jan Kracík Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012 Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Statistika věda o získávání znalostí z empirických dat empirická

Více

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

Výrobní produkce divizí Ice Cream Po lo ha plane t Rozložený výse ový 3D graf Bublinový graf Histogram t s tn e ídy

Výrobní produkce divizí Ice Cream Po lo ha plane t Rozložený výse ový 3D graf Bublinový graf Histogram t s tn e ídy Výrobní produkce divizí Ice Cream Polo ha planet Rozložený výsečový 3D graf Bublinový graf Ice Cream 1 15% Ice Cream 2 12% Ice Cream 3 18% Ice Cream 4 20% Statistika 40 30 20 Ice Cream 6 19% Ice Cream

Více

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Základy biostatistiky II Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Teoretické rozložení-matematické modely rozložení Naměřená data Výběrové rozložení Teoretické rozložení 1 e 2 x 2 Teoretické rozložení-matematické

Více

Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů.

Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů. Měřicí aparatura 1 / 34 Fyzikální veličiny Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů. Můžeme je dělit: Podle rozměrů: Bezrozměrné (index lomu, poměry) S rozměrem fyzikální veličiny velikost

Více

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní

Více

STATISTIKA 1. Adam Čabla Katedra statistiky a pravděpodobnosti VŠE

STATISTIKA 1. Adam Čabla Katedra statistiky a pravděpodobnosti VŠE STATISTIKA 1 Adam Čabla Katedra statistiky a pravděpodobnosti VŠE KONTAKTY WWW: sites.google.com/site/adamcabla E-mail: adam.cabla@vse.cz Telefon: 777 701 783 NB367 na VŠE, konzultační hodiny: Pondělí

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd. ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu

Více

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule

Více

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11 Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly:

Více

UKAZATELÉ VARIABILITY

UKAZATELÉ VARIABILITY UKAZATELÉ VARIABILITY VÝZNAM Porovnejte známky dvou studentek ze stejného předmětu: Studentka A: Studentka B: Oba soubory mají stejný rozsah hodnoty, ale liší se známky studentky A jsou vyrovnanější, jsou

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

TEST Z TEORIE EXPLORAČNÍ ANALÝZA DAT

TEST Z TEORIE EXPLORAČNÍ ANALÝZA DAT EXPLORAČNÍ ANALÝZA DAT TEST Z TEORIE 1. Test ze Statistiky píše velké množství studentů. Představte si, že každý z nich odpoví správně přesně na polovinu otázek. V tomto případě bude směrodatná odchylka

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.

Více

marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68

marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68 Statistika B (151-0303) Marek Pomp ZS 2014 marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68 Cvičení: Pavlína Kuráňová & Marek Pomp Podmínky pro úspěšné ukončení zápočet 45 bodů, min. 23 bodů, dvě zápočtové

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Otázky k měření centrální tendence. 1. Je dáno rozložení, ve kterém průměr = medián. Co musí být pravdivé o tvaru tohoto rozložení?

Otázky k měření centrální tendence. 1. Je dáno rozložení, ve kterém průměr = medián. Co musí být pravdivé o tvaru tohoto rozložení? Otázky k měření centrální tendence 1. Je dáno rozložení, ve kterém průměr = medián. Co musí být pravdivé o tvaru tohoto rozložení? 2. Určete průměr, medián a modus u prvních čtyř rozložení (sad dat): a.

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Popisná statistika. Statistika pro sociology

Popisná statistika. Statistika pro sociology Popisná statistika Jitka Kühnová Statistika pro sociology 24. září 2014 Jitka Kühnová (GSTAT) Popisná statistika 24. září 2014 1 / 31 Outline 1 Základní pojmy 2 Typy statistických dat 3 Výběrové charakteristiky

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Stochastické signály (opáčko)

Stochastické signály (opáčko) Stochastické signály (opáčko) Stochastický signál nemůžeme popsat rovnicí, ale pomocí sady parametrů. Hodit se bude statistika a pravděpodobnost (umíte). Tohle je jen miniminiminiopáčko, později probereme

Více

23. Matematická statistika

23. Matematická statistika Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 23. Matematická statistika Statistika je věda, která se snaží zkoumat reálná data a s pomocí teorii pravděpodobnosti

Více

Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2

Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2 Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2 Modul 5: Popis nekategorizovaných dat Co se dozvíte v tomto modulu? Kdy používat modus, průměr a medián. Co je to směrodatná odchylka. Jak popsat distribuci

Více

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru

Více

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční

Více

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných

Více

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036 Příklad : Statistika A, doc. Kropáč, str. 6, příklad 2 K benzínovému čerpadlu přijíždí průměrně 4 aut za hodinu. Určete pravděpodobnost, že během pěti minut přijede nejvýše jedno auto. Pokus: Zjištění,

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná

Více

5 ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY

5 ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY 5 ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY 5. Rovnoměrné rozdělení R(a,) - má náhodná veličina X, která má stejnou možnost naýt kterékoliv hodnoty z intervalu < a, >; a, R Definice

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2

Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2 Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2 Modul V: Nekategorizovaná data Metodologie pro ISK 2, jaro 2014. Ladislava Z. Suchá Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2 Modul 5: Popis

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Tomáš Karel LS 2013/2014

Tomáš Karel LS 2013/2014 Tomáš Karel LS 2013/2014 Vypočítejte: 8 3 10 9?? 1.12.2014 Tomáš Karel - 4ST201 2 n n! 8! 87654321 40320 k (n k)! k! (8 3)! 3! (5 4321) 321 1206 56 n n! 10! 109 8 7 6 5 4 3 2 1 10 k (n k)! k! (10 9)! 9!

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Cvičení ze statistiky. Filip Děchtěrenko ZS 2012/2013

Cvičení ze statistiky. Filip Děchtěrenko ZS 2012/2013 Cvičení ze statistiky Filip Děchtěrenko ZS 2012/2013 Cvičení ze statistiky Pondělí 16:40, C328 http://www.ms.mff.cuni.cz/~dechf7am Praktické zaměření Proč potřebuji statistiku, když chci dělat (doplň)?

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

Základní statistické charakteristiky

Základní statistické charakteristiky Základní statistické charakteristiky Základní statistické charakteristiky slouží pro vzájemné porovnávání statistických souborů charakteristiky = čísla, pomocí kterých porovnáváme Základní statistické

Více

1 Pravděpodobnostní prostor

1 Pravděpodobnostní prostor PaS 1.-10. přednáška 1 Pravděpodobnostní prostor Náhodný pokus je takový pokus, jehož výsledek nelze s jistotou předpovědět. Pokud jsme schopni pokus za stále stejných podmínek opakovat (například házíme

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Téma 10: Spolehlivost a bezpečnost stavebních nosných konstrukcí

Téma 10: Spolehlivost a bezpečnost stavebních nosných konstrukcí Téma 10: Spolehlivost a bezpečnost stavebních nosných konstrukcí Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí 4. ročník bakalářského studia Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Informační a znalostní systémy

Informační a znalostní systémy Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více