1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost"

Transkript

1 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik ok padne při hodu kostkou, jaké bude zítra ráno počasí nebo jaký kurs koruny vůči euru bude mít příští pondělí Komerční banka. Takové děje nazýváme náhodné neboli stochastické. S náhodnými ději souvisí i další pojmy náhodný pokus a náhodný jev. Náhodný pokus je každá realizace (provedení) náhodného děje. Náhodný jev je pak každá událost, která při pokusu může nebo nemusí nastat. Náhodným pokusem je tedy každý hod kostkou, zjištění ranního počasí (například po probuzení) nebo každodenní ověření kursu koruny vůči Euru v Komerční bance. Náhodným jevem pak může být skutečnost, že na kostce padne šestka, že zítra ráno bude svítit sluníčko nebo že kurs koruny vůči euru bude nižší než 26 Kč/1. Náhodné jevy označujeme obvykle velkými písmeny: A, B, C atd. Každému náhodnému jevu A lze přiřadit nezáporné reálné číslo P(A) z intervalu od 0 do 1, které se nazývá pravděpodobnost jevu. Pravděpodobnost je číselné (kvantitativní) vyjádření šance, že daný jev nastane. Čím vyšší bude mít jev pravděpodobnost, tím větší je šance, že nastane. Pravděpodobnost rovnu nule bude mít jev, který při žádném pokusu nemůže nastat. Takový jev nazýváme nemožný. Naopak jev, který nastane v každém případě, při každém pokusu, je ohodnocen pravděpodobností rovnou jedné a nazývá se jev jistý. Příkladem nemožného jevu například je, že při hodu kostkou padne sedmička. Naopak jistý jev je, že padne číslo menší než sedm. Eistuje více způsobů, jak určit pravděpodobnost daného jevu. Nejjednodušší je tzv. klasická (teoretická) definice pravděpodobnosti, která vychází z předpokladu, že náhodný pokus může mít n různých výsledků, které jsou navzájem rovnocenné, tedy mají stejnou šanci, stejnou pravděpodobnost výskytu. Dejme tomu, že jev A nastane při m různých výsledcích (z n možných). Pak klasická pravděpodobnost jevu A je vyjádřena poměrem počtu výsledků příznivých danému jevu (m) ku počtu všech možných výsledků (n): PA ( ) m n 2

2 Například pravděpodobnost, že na kostce padne sudé číslo, je podle klasické definice pravděpodobnosti rovna P = 3 / 6 = 0,5. Pravděpodobnost se často vyjadřuje v procentech (%). Například uvedená pravděpodobnost P = 0,5 může být také zapsána jako P = 50%. Předpoklad, že všechny výsledky pokusu mají stejnou pravděpodobnost výskytu, je z hlediska teorie sice pochopitelný, ale v prai málo obvyklý, ne-li nereálný. Žádná hrací kostka není totiž natolik ideální, aby na ní čísla padala se stejnou pravděpodobností. Jak v takových případech určit pravděpodobnost? Pokud je možné pokus vedoucí k realizaci (nebo nerealizaci) daného jevu X opakovat, pak lze jeho pravděpodobnost odhadnout na základě počtu úspěšných pokusů při opakování. Dejme tomu, že bylo provedeno n pokusů, přičemž zkoumaný jev A nastal v m případech. Potom je možné pravděpodobnost jevu A odhadnout pomocí relativní četnosti pokusů, při kterých nastal jev A: PA ( ) m n Je zřejmé, že s rostoucím počtem pokusů n se bude uvedená relativní četnost stále více blížit k hledané pravděpodobnosti. Takto zjištěnou pravděpodobnost nazýváme statistickou neboli empirickou pravděpodobností. Teoretická definice pravděpodobnosti (klasická nebo aiomatická) na jedné straně a statistická (empirická) definice pravděpodobnosti na straně druhé jsou dva různé pohledy na jeden problém: je potřeba určit pravděpodobnost daného jevu. Teoretická definice vychází z obecných vlastností dané situace. V případě kostky abstrahuje od její nedokonalosti a bude ji považovat za ideální, na které všechny hodnoty padají se stejnou pravděpodobností. Potom lze k výpočtu pravděpodobnosti využít klasické definice a výsledkem je známá hodnota 1 / 6. Statistická definice vychází z eperimentu. Kostka bude podrobena sérii pokusů a výstupem eperimentu bude tabulka četností jednotlivých hodnot výsledků. Výsledky empirického pozorování jsou zpracovány a relativní četnost výskytu daného jevu (padnutí šestky) bude považována za jeho pravděpodobnost, resp. za její nejlepší odhad. Všimněte si, že oba pohledy jsou pouze přibližné. Ani jeden z nich neurčí pravděpodobnost přesně, ale pouze se k ní přiblíží jsou to tedy pouhé modely skutečnosti, skutečného chování zkoumané kostky. U teoretického přístupu přesnost výsledku závisí na zvolené abstrakci (idealizaci, zjednodušení) celého problému. Čím větší abstrakce, tím jednodušší výpočet, ale tím méně přesný výsledek. U empirického přístupu přesnost závisí na počtu prováděných pokusů (eperimentů). Čím více pokusů, tím přesnější výsledek. 3

3 Který přístup tedy zvolit? To závisí na konkrétní situaci: na informacích, které jsou k dispozici (znáte všechny elementární jevy? jsou skutečně rovnocenné?), na možnostech provedení eperimentu (dá se pokus opakovat? je náročný na prostředky, na čas?) a na dalších souvisejících faktorech. Výsledky teoretického (pravděpodobnostního) a empirického (statistického) přístupu mohou a obvykle jsou různé, ale na druhé straně se od sebe příliš neliší. 1.2 Rozdělení a charakteristiky náhodné veličiny Nyní naše pravděpodobnostní úvahy rozšíříme o další pojem náhodnou veličinu. Náhodná veličina je taková číselná proměnná, jejíž hodnotu nelze určit přesně, ale lze ji s předem danou pravděpodobností předvídat. Náhodné veličiny se ve statistice používají pro vyjádření různých dějů, které mají náhodný charakter. Náhodnou veličinou bude například teplota zítra ráno v 6 hodin naměřená na stanovišti v Praze-Komořanech nebo počet obyvatel České republiky ke dni Toto jsou číselné veličiny, jejichž hodnoty (obvykle reálná nebo celá čísla) nelze přesně stanovit, ale přesto s nimi lze pracovat. Náhodné veličiny budeme značit X, Y, Z apod., jejich hodnoty pak, y, z. Skutečnost, že náhodná veličina X nabývá hodnoty, vyjádříme vztahem: X = Množina všech hodnot, kterých náhodná veličina může nabývat, se nazývá obor hodnot náhodné veličiny. Některé náhodné veličiny nabývají hodnot pouze z konečné množiny izolovaných hodnot například výsledek hodu kostkou. Takovou náhodnou veličinu nazýváme diskrétní. Jindy tvoří obor hodnot náhodné veličiny nějaký číselný interval například kurs koruny vůči euru. V takovém případě hovoříme o spojité náhodné veličině. Chcete-li popsat chování náhodné veličiny, nestačí pouze uvést obor hodnot, kterých může nabývat. Některé hodnoty z oboru se totiž mohou vyskytovat s větší, jiné s menší pravděpodobností. Pravidlo, kterým se tato pravděpodobnost řídí, se nazývá zákon rozdělení (rozložení) náhodné veličiny. Zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny X lze nejjednodušeji vyjádřit pomocí pravděpodobnostní funkce p(), která přiřazuje každé reálné hodnotě z oboru hodnot veličiny X pravděpodobnost jejího výskytu. Je tedy definována jako: p( ) P( X ) Například pravděpodobnost, že na kostce padne číslo 6, můžeme napsat jako p(6). Pravděpodobnostní funkce p() diskrétní náhodné veličiny X musí splňovat tyto vlastnosti: 4

4 1. 0 < p( i ) < 1 pravděpodobnost je vždy z intervalu 0 až 1 2. p ( ) 1 součet všech pravděpodobností je 1 i i pro všechna i z oboru hodnot veličiny X. Pro všechny ostatní reálná čísla mimo obor hodnot veličiny X je hodnota pravděpodobnostní funkce rovna nule. Druhou možností, jak vyjádřit rozložení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny X, je distribuční funkce F(), která je definována jako: F( ) P( X ) Distribuční funkce má kumulativní charakter, pro každou reálnou hodnotu je rovna součtu pravděpodobností všech hodnot z oboru veličiny X, které jsou menší nebo rovny. Distribuční funkce F() má některé vlastnosti, které vyplývají přímo z její definice: 1. 0 F() 1 je to pravděpodobnost 2. jestliže 1 < 2, pak F( 1 ) F( 2 ) funkce je neklesající 3. lim F( ) F ( ) 0 funkce začíná v nule 4. lim F( ) F ( ) 1 funkce končí v jedničce Tyto vlastnosti platí pro všechna reálná, resp. 1 a 2. Graf distribuční funkce diskrétní náhodné proměnné má typický schodovitý průběh. Obr. 4.1 Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny hod kostkou Spojitá náhodná veličina je definována na intervalu, a tak je možné i u ní definovat distribuční funkci F(), a to analogickým způsobem jako pro diskrétní proměnnou tedy pomocí definičního vztahu: F( ) P( X ) 5

5 F() Pro distribuční funkci spojité veličiny X platí rovněž tytéž vlastnosti jako pro distribuční funkci diskrétní veličiny. Graf distribuční funkce spojité náhodné veličiny však již nebude mít schodovitý charakter, ale půjde o spojitou neklesající křivku. Distribuční funkce 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, Obr. 4.2 Distribuční funkce spojité náhodné veličiny V prai se často využívá také inverzní funkce k distribuční funkci, nazývaná kvantilová funkce nebo zkráceně pouze kvantil. Kvantil (přesněji p-kvantil) p je taková hodnota z oboru proměnné X, která dělí obor hodnot veličiny X na dva intervaly, z nichž ten levý představuje pravděpodobnost p, pravý 1 p. Kvantily tedy rozdělují obor náhodné veličiny X v určitém pravděpodobnostním poměru. Nejvýznamnější kvantily jsou: medián 0,5 neboli 50% kvantil kvartily 0,25, 0,5 a 0,75 decily 0,1, 0,2,, 0,9 Všimněte si, že např. kvartily dělí pravděpodobnostní prostor na 4 části (intervaly) se stejnou pravděpodobností. Prostřední kvartil je shodný s mediánem. Ve statistické prai sehrávají důležitou roli také dva kvantily 0,025 a 0,975, které vymezují 95% interval hodnot náhodné proměnné X kolem střední hodnoty. S těmito kvantily (a také s důvodem, proč jsou důležité) se podrobněji seznámíte zejména v další kapitole. Pro spojitou náhodnou veličinu nemá teoretický ani praktický smysl určovat pravděpodobnost, že nabývá nějaký konkrétní hodnoty, tj. počítat P(X = ). Z tohoto důvodu není pro spojité náhodné veličiny definována pravděpodobnostní funkce p(). Představte si, že máte zkoumat rozložení příjmů obyvatel České republiky. Nemá asi praktický význam zjišťovat, s jakou pravděpodobností bude mít náhodně vybraný občan 6

6 f() průměrný měsíční příjem přesně Kč. Stačí, aby se jeden jeho měsíční příjem změnil o jediný haléř (například zaokrouhlením) a vznikla by nová situace s novým rozložením pravděpodobnosti. Naopak užitečné může být zjištění, s jakou pravděpodobností bude příjem náhodně vybraného občana ležet v nějakém konkrétním intervalu, například mezi a Kč. U spojitých náhodných veličin se proto určuje pouze pravděpodobnost na intervalu, například P(a < X < b). Platí přitom: P( a X b) F( b) F( a ) Tento vztah se dokonce nezmění, ani když některou z ostrých nerovností nahradíte neostrou. U spojité náhodné proměnné tedy nezáleží na tom, zda krajní hodnoty do zkoumaného intervalu patří nebo ne. Místo pravděpodobnostní funkce se k popisu rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny používá funkce, která ji plnohodnotně zastupuje. Je to tzv. frekvenční funkce neboli funkce hustoty pravděpodobnosti f(), která je v oboru hodnot náhodné veličiny X definovaná jako derivace její distribuční funkce: f( ) df( ) d Hustota pravděpodobnosti může nabývat i hodnot vyšších než 1. Pochopitelně však nemůže být záporná. Pro všechny reálné hodnoty mimo obor náhodné proměnné X je hustota pravděpodobnosti rovna nule. Graf hustoty pravděpodobnosti je spojitá křivka, která začíná i končí v nule. Nad osou vymezuje plochu, která představuje pravděpodobnostní prostor je rovna 1. 0,16 Frekvenční funkce a pravděpodobnost 0,14 0,12 0,1 P(a<X<b) 0,08 0,06 0,04 0,02 0 a b Obr. 4.3 Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 7

7 Geometrická interpretace funkce hustoty pravděpodobnosti je jako obalová křivka pravděpodobnostního prostoru. Pravděpodobnost příslušnosti hodnoty do intervalu (a, b) můžeme vyjádřit jako plochu vymezenou křivkou frekvenční funkce, krajními hodnotami = a, = b a osou. Analyticky můžeme tento vztah zapsat jako určitý integrál: b P( a X b) f ( ) d a Náhodnou veličinu lze charakterizovat pomocí číselných charakteristik, které jsou významově obdobné charakteristikám, jaké se používají pro vyjádření statistických znaků. Mezi nejpoužívanější charakteristiky patří střední hodnota a směrodatná odchylka, resp. rozptyl. Střední hodnota E(X) náhodné veličiny X představuje pomyslný střed oboru této veličiny, kolem kterého kolísají jednotlivé hodnoty. Symbol E pochází z anglického termínu epected value, tedy očekávaná hodnota. Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny X se spočítá podle vzorce: E( X ) p( ) i i i Rozptyl D(X) náhodné veličiny X vyjadřuje míru kolísání hodnot této veličiny kolem její střední hodnoty. Čím větší je rozptyl, tím horší vypovídací schopnost o vlastnostech náhodné veličiny má samotná střední hodnota. Rozptyl diskrétní náhodné veličiny se spočítá podle vzorce: D( X) p( ) E( X ) i 2 2 i i Střední hodnota a rozptyl spojité náhodné veličiny X se spočítají analogicky, pouze sumu přes celý obor náhodné veličiny X nahradí určitý integrál a pravděpodobnostní funkci funkce hustoty pravděpodobnosti. V tomto tetu nebudeme uvedené vzorce (naštěstí) potřebovat. Směrodatná odchylka SD(X) náhodné veličiny X se spočítá stejně jako u statistického znaku: SD( X ) D( X ) 1.3 Normální rozdělení pravděpodobnosti Nejdůležitějším rozdělením spojité náhodné proměnné, které statistika zná, je tzv. normální rozdělení. Normální rozdělení slouží jako pravděpodobnostní model chování velkého množství jevů v technice, přírodních vědách i ekonomii, například: rozložení hodnot IQ v populaci; rozložení hmotnosti výrobků v sériové (pásové) výrobě; 8

8 rozložení týdenního počtu zákazníků v restauraci. Pokud má náhodná veličina X normální rozdělení se střední hodnotou μ a směrodatnou odchylkou σ (nebo rozptylem σ 2 ), stručně rozdělení N(μ; σ 2 ), říkáme takové veličině normální náhodná veličina. Normální náhodná veličina je definovaná pro všechna reálná čísla, což znamená, že může nabývat libovolné reálné hodnoty z intervalu (- ; + ). Graf hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení má typický zvonovitý tvar, pro který se ujalo označení Gaussova křivka. Tato funkce má maimum v bodě = μ, kolem kterého je rovněž symetrická, a pro ± se asymptoticky blíží k ose. Stejný průběh a vlastnosti má každé normální rozdělení bez ohledu na jeho parametry. 0,05 NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Hustota pravděpodobnosti f() N(100;100) 1,0 NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Distribuční funkce F() N(100;100) 0,04 0,8 0,03 0,6 0,02 0,4 0,01 0,2 0, , Obr. 4.4 Hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce normální náhodné veličiny Mimořádné postavení normálního rozdělení mezi ostatními rozděleními náhodné veličiny formuluje tzv. centrální limitní věta. Zjednodušeně ji lze vyjádřit jako: Součet (nebo aritmetický průměr) náhodně vytvořených nezávislých hodnot veličiny s libovolným rozdělením se s rostoucím počtem sčítanců blíží k náhodné veličině s normálním rozdělením. Znamená to, že budeme-li mít v prai veličinu, jejíž chování je způsobeno vlivem většího množství malých nezávislých vlivů, bude se tato veličina svým chováním blížit veličině s rozdělením normálním. Chceme-li počítat pravděpodobnosti pro normální náhodnou veličinu, potřebovali bychom rovnici její distribuční funkce. Distribuční funkci normálního rozdělení však nelze vyjádřit pomocí funkcí známých ze střední školy, proto ji také nespočítáme na kalkulačce. Dříve se k určení pravděpodobnosti normální náhodné veličiny používaly statistické tabulky, dnes stačí mít k dispozici počítač a program Microsoft Ecel. 9

9 V Ecelu najdete funkce pro hustotu pravděpodobnosti, distribuční funkci i kvantily normálního rozdělení N(μ; σ 2 ) se střední hodnotou μ a rozptylem σ 2. NORM.DIST(; μ; σ; 0) NORM.DIST(; μ; σ; 1) NORM.INV(p; μ; σ) hustota pravděpodobnosti f() distribuční funkce F() kvantil normální proměnné p Všimněte si, že ecelovské funkce NORM.DIST a NORM.INV používají místo rozptylu σ 2 jako parametr směrodatnou odchylku σ. V souvislosti s normální náhodnou proměnnou X můžeme řešit 4 základní typy úloh: a) výpočet levostranné pravděpodobnosti P(X < ); b) výpočet pravostranné pravděpodobnosti P(X > ); c) výpočet pravděpodobnosti na intervalu P(a < X < b); d) nalezení hodnoty p-kvantilu p. ad a) Mějme tedy úlohu, kdy potřebujeme určit pravděpodobnost P(X < ) pro normální náhodnou veličinu X. Z definice distribuční funkce víme, že tato pravděpodobnost je rovna přímo hodnotě distribuční funkce veličiny X, čili P(X < ) = F(). V Ecelu můžeme tuto pravděpodobnost určit přímo pomocí funkce NORM.DIST. P(X < ) = F() NORM.DIST(; μ; σ; 1) Obr. 4.5 Levostranná pravděpodobnost v normálním rozdělení ad b) Pokud chceme určit pravostrannou pravděpodobnost, že náhodná veličina X dosahuje hodnoty větší než, čili P(X > ), můžeme využít vztahu: P( X ) 1 P( X ) 1 F( ) Úlohu tak opět převedeme na známé hledání hodnoty distribuční funkce. P(X > ) = 1 - F() 1 - NORM.DIST(; μ; σ; 1) 10

10 Obr. 4.6 Pravostranná pravděpodobnost v normálním rozdělení ad c) Nyní si ještě ukážeme, jak určit pravděpodobnost, že hodnota náhodné proměnné X leží v daném intervalu (a; b), čili: a < X < b. Využijeme-li vlastností distribuční funkce, můžeme psát: P( a X b) F( b) F( a ) V prai to znamená, že stačí určit hodnotu distribuční funkce obou krajních mezí intervalu a ty pak od sebe odečíst. P(a < X < b) = F(b) - F(a) NORM.DIST(b; μ; σ; 1) - NORM.DIST(a; μ; σ; 1) Obr. 4.7 Pravděpodobnost na intervalu v normálním rozdělení ad d) Poslední základní úlohou, kterou si uvedeme, je nalezení kvantilu pravděpodobnosti p = P(X < p k dané p ). Tato úloha je vlastně zpětným postupem k hledání distribuční funkce, v Ecelu k nalezení kvantilu použijeme funkci NORM.INV. V prai velmi často potřebujeme najít symetrický interval, který vymezuje pravděpodobnost rovnu p symetricky kolem střední hodnoty. Tento interval je ve skutečnosti vymezen kvantily 1 p 2 a 1 p 2. Například 90% symetrický interval je vymezen kvantily na hladině 5 % a 95 %, tedy hodnotami 5% a 95%. Mezi všemi normálními rozděleními má specifické postavení tzv. normované normální rozdělení Z se střední hodnotou 0 a rozptylem 1. Platí tedy: EZ ( ) 0 D (Z) 1 Pro distribuční funkci rozdělení Z eistuje v Ecelu speciální funkce NORM.S.DIST, pro kvantil tohoto rozdělení funkce NORM.S.INV. Pokud X bude normální náhodná veličina s rozdělením N(μ; σ 2 ) a Z normovaná normální náhodná veličina, bude mezi jejich hodnotami a z platit vztah: 11

11 z a naopak: z Normovaná náhodná veličina z tedy udává vzdálenost hodnoty od střední hodnoty normálního rozdělení μ v násobcích směrodatné odchylky σ. Normované normální rozdělení Z se využívalo zejména v dobách statistických tabulek. Aby nebylo třeba vytvářet tabulky pro velké množství různých rozdělení, eistovaly pouze tabulky distribuční funkce a kvantilů rozdělení Z. Všechny úlohy na normální rozdělení se nejprve převedly podle výše uvedených vztahů na normované rozdělení Z, jehož hodnoty se již daly dohledat v tabulkách. V současné době se toto rozdělení využívá především v odhadech a testech, jak uvidíte v následující kapitole. 12

12 Vyzkoušejte si sami 1. Ve finále televizní soutěže je v osudí 10 míčků, z toho 3 červené. Při losování si soutěžící náhodně vytáhne z osudí 2 míčky. Pokud jsou oba červené, vyhrál hlavní cenu. V loňském roce v 52 losováních vyhrálo hlavní cenu pouze 5 soutěžících. a) Určete teoretickou pravděpodobnost, že soutěžící ve finále vyhraje hlavní cenu. b) Určete statistickou pravděpodobnost, že soutěžící ve finále vyhraje hlavní cenu. c) Porovnejte oba výsledky. 2. Diskrétní náhodná veličina X nabývá celočíselných hodnot 0 až 4 s těmito pravděpodobnostmi: X p() 0,11 0,25 0,28 0,22 a) Doplňte tabulku pravděpodobnostní funkce o chybějící číslo. b) Určete pravděpodobnosti P(2 < X 4) a P(2 X < 4). c) Spočítejte střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny X. 3. Testy nových baterií SCALA ukazují, že průměrná životnost baterie je 230 hodin se směrodatnou odchylkou 20 hodin. Předpokládejme, že životnost baterie má přibližně normální rozdělení pravděpodobnosti. a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná baterie vydrží déle než 250 hodin? b) Jakou životnost má výrobce uvést do specifikace, aby této hodnotě vyhovovalo minimálně 95% všech vyrobených baterií? 13

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2 Statistika jako obor Statistika Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů hromadného charakteru. Tím se myslí to, že zkoumaný jev musí příslušet určité části velkého množství objektů (lidí,

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Statistika nuda je, má však cenné údaje. Neklesejme na mysli, ona nám to vyčíslí. Z pohádky Princové jsou na draka Populace (základní

Více

Statistika pro gymnázia

Statistika pro gymnázia Statistika pro gymnázia Pracovní verze učebního textu ZÁKLADNÍ POJMY Statistika zkoumá jevy (společenské, přírodní, technické) ve velkých statistických souborech. Prvky statistických souborů se nazývají

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

ADZ základní statistické funkce

ADZ základní statistické funkce ADZ základní statistické funkce Základní statistické funkce a znaky v softwaru Excel Znak Stručný popis + Sčítání buněk - Odčítání buněk * Násobení buněk / Dělení buněk Ctrl+c Vyjmutí buňky Ctrl+v Vložení

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor012 Vypracoval(a),

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Vlachý, J. Řízení finančních rizik Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Sylabus

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech.

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech. 3 Grafické zpracování dat Grafické znázorňování je velmi účinný způsob, jak prezentovat statistické údaje. Grafy nejsou tak přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých

Více

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve Příklady k procvičení k průběžnému testu: 1) Při zpracování studie o průměrné výši měsíčních příjmů v České republice jsme získali data celkem od 8 tazatelů. Každý z těchto pěti souborů dat obsahoval odlišný

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 1 ČHMÚ, OPZV, Na Šabatce 17, 143 06 Praha 4 - Komořany sosna@chmi.cz, tel. 377 256 617 Abstrakt: Referát

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY SAMOSTATÁ STUDETSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY Váha studentů Kučerová Eliška, Pazdeříková Jana septima červen 005 Zadání: My dvě studentky jsme si vylosovaly zjistit statistickým šetřením v celém ročníku septim

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Úvod do předmětu obecné informace Základní pojmy ze statistiky / ekonometrie Úvod do programu EViews, Gretl Některé užitečné funkce v MS Excel Cvičení 1 Zuzana Dlouhá Úvod do

Více

zcela převažující druh průměru, který má uplatnění při řešení téměř všech úloh statistiky široké využití: v ekonomických

zcela převažující druh průměru, který má uplatnění při řešení téměř všech úloh statistiky široké využití: v ekonomických STŘEDNÍ HODNOTY VÝZNAM Rozdělení četností poskytuje užitečnou informaci a přehled o zkoumaném statistickém souboru. Porovnávat několik souborů pomocí tabulek rozděleni četností by však bylo.a. Proto se

Více

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA Oblasti využití generátorů náhodných čísel Statistika Loterie Kryptografie (kryptologie) Simulace Simulační modely DETERMINISTICKÉ STOCHASTICKÉ (činnost systému

Více

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně V tomto článku bychom se rádi věnovali otázce, jak poznat již z grafického náhledu vztahy a závislosti v analýze rozptylu. Pomocí následujících grafických zobrazení

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Cíle lokalizace. Zjištění: 1. polohy a postavení robota (robot pose) 2. vzhledem k mapě 3. v daném prostředí

Cíle lokalizace. Zjištění: 1. polohy a postavení robota (robot pose) 2. vzhledem k mapě 3. v daném prostředí Cíle lokalizace Zjištění: 1. polohy a postavení robota (robot pose) 2. vzhledem k mapě 3. v daném prostředí 2 Jiný pohled Je to problém transformace souřadnic Mapa je globální souřadnicový systém nezávislý

Více

2. Statistická terminologie a vyjadřovací prostředky. 2.1. Statistická terminologie. Statistická jednotka

2. Statistická terminologie a vyjadřovací prostředky. 2.1. Statistická terminologie. Statistická jednotka 2. Statistická terminologie a vyjadřovací prostředky 2.1. Statistická terminologie Statistická jednotka Statistická jednotka = nositel statistické informace, elementární prvek hromadného jevu. Příklady:

Více

Základy pravděpodobnosti poznámky. Jana Klicnarová

Základy pravděpodobnosti poznámky. Jana Klicnarová Základy pravděpodobnosti poznámky Jana Klicnarová 1 V této části připomeneme základní pojmy a vztahy pro práci s náhodou. 0.1 Náhodné jevy Uvažujme situace, které mohou a nemusí nastat a o kterých v nějakém

Více

Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel

Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Luboš Marek Vysoká škola ekonomická v Praze, Praha Konzultace 1 Úvod Mezi statistickou obcí se často diskutuje, který statistický program je nejlepší, přičemž se

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová

Více

Písemná práce k modulu Statistika

Písemná práce k modulu Statistika The Nottingham Trent University B.I.B.S., a. s. Brno BA (Hons) in Business Management Písemná práce k modulu Statistika Číslo zadání: 144 Autor: Zdeněk Fekar Ročník: II., 2005/2006 1 Prohlašuji, že jsem

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D. Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti Ing. Michael Rost, Ph.D. Co je to Statistika? Statistiku lze definovat jako vědní obor, zabývající se hromadnými jevy a procesy. Statistika zahrnuje jak

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

StatSoft Jak se pozná normalita pomocí grafů?

StatSoft Jak se pozná normalita pomocí grafů? StatSoft Jak se pozná normalita pomocí grafů? Dnes se podíváme na zoubek speciální třídě grafů, podle názvu článku a případně i ilustračního obrázku vpravo jste jistě již odhadli, že půjde o třídu pravděpodobnostních

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Mechanika

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests), : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij

Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests),   : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij Testy dobré shody Máme dvě veličiny a předpokládáme, že jsou nezávislé (platí nulová hypotéza nezávislosti). Často chceme naopak prokázat jejich závislost. K tomu slouží: TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

1. cvičení 4ST201. Základní informace: Vyučující: Obsah: Informace o kurzu Popisná statistika Úvod do SASu

1. cvičení 4ST201. Základní informace: Vyučující: Obsah: Informace o kurzu Popisná statistika Úvod do SASu cvičící 1. cvičení 4ST201 Informace o kurzu Popisná statistika Úvod do SASu Obsah: Vysoká škola ekonomická 1 Vyučující: Základní informace:» Konzultační hodiny: pátek 9:00 11:00» Místnost: JM317» Email:

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

EXPLORATORNÍ ANALÝZA DAT. 7. cvičení

EXPLORATORNÍ ANALÝZA DAT. 7. cvičení EXPLORATORNÍ ANALÝZA DAT 7. cvičení Teorie pravděpodobnosti x Statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje zákonitosti týkající se náhodných jevů, používá se k modelování náhodností a neurčitostí, které

Více

Třídění statistických dat

Třídění statistických dat 2.1 Třídění statistických dat Všechny muže ve městě rozdělíme na 2 skupiny: A) muži, kteří chodí k holiči B) muži, kteří se holí sami Do které skupiny zařadíme holiče? prof. Raymond M. Smullyan, Dr. Math.

Více

1. Základy teorie přenosu informací

1. Základy teorie přenosu informací 1. Základy teorie přenosu informací Úvodem citát o pojmu informace Informace je název pro obsah toho, co se vymění s vnějším světem, když se mu přizpůsobujeme a působíme na něj svým přizpůsobováním. N.

Více

VNITROSKUPINOVÝ ROZPTYL. Je mírou variability uvnitř skupin Jiný název: průměr rozptylů Vypočítává se jako průměr rozptylů v jednotlivých skupinách

VNITROSKUPINOVÝ ROZPTYL. Je mírou variability uvnitř skupin Jiný název: průměr rozptylů Vypočítává se jako průměr rozptylů v jednotlivých skupinách ROZKLAD ROZPTYLU ROZKLAD ROZPTYLU Rozptyl se dá rozložit na vnitroskupinový a meziskupinový rozptyl. Celkový rozptyl je potom součet meziskupinového a vnitroskupinového Užívá se k výpočtu rozptylu, jestliže

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Mirek Kubera žák diskutuje a kriticky zhodnotí statistické informace a daná statistická sdělení, volí

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více