B-spline a racionální B-spline křivky

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Viktor Šíp B-spline a racionální B-spline křivky Katedra numerické matematiky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Karel Najzar, CSc. Studijní program: Obecná matematika 29

2 Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne Viktor Šíp 2

3 Obsah B-spline křivky 5. Úvod Bázové funkce B-spline křivek B-spline křivky Vícenásobné uzly Derivace B-spline křivek Poznámka o Bézierových křivkách NURBS křivky 7 2. Definice a základní vlastnosti Homogenní souřadnice Derivace NURBS křivek Základní algoritmy Změna tvaru křivky Vložení uzlu Odstranění uzlu Zvýšení stupně křivky Konstrukce kuželoseček Kvadratické racionální Bézierovy křivky a kuželosečky Konstrukce kruhu Literatura 39 3

4 Název práce: B-spline a racionální B-spline křivky Autor: Viktor Šíp Katedra (ústav): Katedra numerické matematiky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Karel Najzar, CSc. vedoucího: knaj@karlin.mff.cuni.cz Abstrakt: V předložené práci studujeme B-spline křivky a neuniformní racionální B-spline křivky, zkráceně NURBS křivky. Tyto křivky jsou dnes již zavedeným standardem v oblasti CAD systémů a počítačové grafiky vůbec. Mezi jejich hlavní výhody patří jednoduché vyjádření, rychlé a srozumitelné algoritmy pro práci s nimi a schopnost reprezentovat libovolné tvary. Práce shrnuje základní vlastnosti B-spline křivek, které posléze zobecníme na NURBS křivky. Je vysvětlena i idea reprezentace NURBS křivek B-spline křivkami pomocí homogenních souřadnic. Dále jsou popsány základní algoritmy pro práci s křivkami: změna tvaru křivky, vložení a odstranění uzlu a zvýšení stupně křivky. V závěru se věnujeme reprezentaci kuželoseček pomocí NURBS křivek. Klíčová slova: B-spline křivky, NURBS křivky, kuželosečky Title: B-spline and rational B-spline curves Author: Viktor Šíp Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor: Doc. RNDr. Karel Najzar, CSc. Supervisor s address: knaj@karlin.mff.cuni.cz Abstract: In the present work we study B-spline curves and nonuniform rational B-spline curves, abbreviated as NURBS curves. These curves are well-established standard in the field of CAD systems and computer graphics. Among their main advantages are simple representation, fast and comprehensible algorithms and their ability to form variety of shapes. The work sums up the basic properties of B-spline curves as well as their generalisation: NURBS curves. The idea of representing NURBS curves with B-spline curves using homogenous coordinates is also illustrated afterwards. Further, we discuss the basic algorithms: changing the shape of the curve, knot insertion, knot removal and degree elevation. At the end of the work we desribe representing conic sections using NURBS curves. Keywords: B-spline curves, NURBS curves, conic sections 4

5 Kapitola B-spline křivky. Úvod Historie B-spline křivek a ploch se začala psát v 6. letech 2. století. Motivací byla potřeba matematického popisu ploch při konstrukci karoserií aut či lodních trupů. Rozvoj počítačů a počítačové grafiky přinesl pro B-spline křivky nové aplikace, a dnes jsou již B-spline křivky (a z nich odvozené racionální B-spline křivky) zavedeným standartem. Důvody, proč se rozšířily B-spline křivky, jsou následující: Rychlé, numericky stabilní a srozumitelné algoritmy pro práci s nimi Jednoduchý a pamětově nenáročný formát dat Možnost snadných lokálních úprav křivky Výhodou B-spline křivek je i zachování základních principů práce s nimi při rozšíření na B-spline plochy (kterými se ovšem v tomto textu zabývat nebudeme)..2 Bázové funkce B-spline křivek B-spline křivky bychom chtěli sestrojit jako lineární kombinaci nějakých bázových funkcí, od kterých požadujeme hezké analytické vlastnosti. Tyto funkce sestrojíme následovně. Mějme vektor uzlů a = (a,a,...,a m ) takový, že a i a i+ a a i < a i+p+ pro všechna i a dané p. Pak bázové B-spline funkce stupně p N p i definujeme takto: { pokud u Ni [ai,a (u) = i+ ) (.) jinak 5

6 a kde N p i (u) = αp i N p i (u) + ( α p i+ )Np i+ α p i = (u a i )/(a i+p a i ) (u), (.2) Pokud jsou některé uzly vícenásobné (to jsou takové, pro které platí a i = a i+ ), můžeme ve vztahu.2 obdržet zlomek /. Ten dodefinujeme konvencí :=. Řekneme, že vektor uzlů je uniformní, pokud a i+ a i = a i+2 a i+ pro všechna i. V opačném případě říkáme, že vektor uzlů je neuniformní. Pro příklady se podívejte na Obr.. až.3. Z definice vidíme, že funkce N p i se počítá z funkcí N p i a N p i+. Tento vztah si můžeme jednoduše znázornit. Podívejme se na tabulku., kde vidíme schéma výpočtu jednotlivých N p i s uniformním uzlovým vektorem na intervalu (, 5). [, ) N N N 2 N 3 N 4 ր ր ր ր [, 2) N N N 2 N 3 ր ր ր [2, 3) N2 N2 N2 2 ր [3, 4) N 3 N 3 ր [4, 5) N 3 ր Tabulka.: Schéma výpočtu všech N p i (,, 2, 3, 4, 5) s uzlovým vektorem Vyšetřujme konstrukci bázové funkce N 2. Při jejím výpočtu používáme pouze funkce N, N 2 a N 3. Ty jsou ovšem nenulové pouze na intervalech [, 2), [2, 3) a [3, 4), mimo ně jsou nulové. Tudíž funkce N 2 je nulová mimo interval [, 4). Zobecníme-li si toto pozorování, dostaneme následující vlastnost: N p i je nenulová pouze na intervalu [a i,a i+p+ ). Na schéma se můžeme podívat i z druhé strany. Vidíme, že kupříkladu funkce N 2 se užívá při výpočtu dvou bázových funkcí stupně (N a N 2). Protože funkce N 2 je jako jediná bázová funkce stupně nenulová na intervalu [2, 3), jsou dvě vyjmenované funkce jediné (stupně ), které jsou 6

7 (a) Stupeň, vektor uzlů (,,2,3,4) (b) Stupeň 2, vektor uzlů (,,2,3,4,5) (c) Stupeň 3, vektor uzlů (,, 2, 3, 4, 5, 6) Obrázek.: Příklady bázových funkcí Obrázek.2: Bázové funkce stupně 2 s neuniformním vektorem uzlů (,, 7, 8, 9, ) Obrázek.3: Bázové funkce stupně 2 s vektorem uzlů s trojnásobnými koncovými uzly (,,, 2, 4, 6, 6, 6) 7

8 na intervalu [2, 3) nenulové. Totéž platí i pro tři bázové funkce stupně 2 (N 2, N 2 a N 2 2), a tak dále. Snadno vidíme, že platí: Na každém intervalu [a i,a i+ ) je nenulových nejvíce p + bázových funkcí stupně p. Jsou jimi funkce N p i p, Np i p+,...,np i Podívejte se, že tato tvrzení platí pro naše ukázkové funkce z Obr Shrňme si tedy důležité vlastnosti bázových funkcí:. N p i je nezáporný polynom stupně p. To zřejmě plyne přímo z definice. 2. N p i je nenulová pouze na intervalu [a i,a i+p+ ). 3. Na každém intervalu [a i,a i+ ) je nenulových nejvíce p+ bázových funkcí stupně p. Jsou jimi funkce N p i p, Np i p+,...,np i. Obě tyto vlastnosti jsme si zdůvodnili výše. 4. Součet všech bázových funkcí stupně p je v každém bodě u [a i,a i+ ) roven, tj. p N p i (u) = i= Tvrzení lze dokázat přímo z definice indukcí podle p, uvědomíme-li si, že podle předchozí vlastnosti jsou na intervalu [a i,a i+ ) nenulové pouze funkce N p i p, Np i p+,...,np i. 5. V každém k-násobném uzlu má bázová funkce N p i spojitost třídy C p k..3 B-spline křivky Mějmě opět vektor uzlů a = (a,a,...,a m ) a navzájem různé body P,P,...P n. Definujeme B-spline křivku stupně p příslušnou bodům P,P,...P n, kde n = m p, u [a,a m ], jako parametrickou křivku s(u) s předpisem n s(u) = P i N p i (u). i= Graf po částech lineární funkce spojující body {P i } n i= nazveme řídící polygon křivky s(u), body {P i } nazýváme řídící body. 8

9 Na B-spline křivku se můžeme dívat jako na součet několika křivek, definovaných vždy na intervalu [a i,a i+ ). Body, které křivky oddělují, tedy body s(a i ), budeme nazývat uzlové body. B-spline křivka svými řídícími body obecně neprochází, je jimi pouze omezena (co se tím přesně myslí si vysvětlíme později). Dokonce ani nemusí začínat (končit) ve svém prvním (posledním) řídícím bodě. To nastává, pokud pro její vektor uzlů platí a = a =... = a p a a m p = a m p+ =... = a m. Taková křivka se nazývá otevřená a navíc má v krajních bodech stejnou tečnu jako její řídící polygon. Pokud předpoklad o násobnosti počátečních a koncových uzlů není splněn, říkáme, že křivka je plovoucí. Budeme-li chtít, aby křivka tvořila uzavřenou smyčku, musíme jako posledních p řídících bodů vzít znovu prvních p bodů. Křivku pak nazveme uzavřenou Obrázek.4: Otevřená, plovoucí a uzavřená B-spline křivka V dalším textu, pokud se nezmíníme jinak, budeme nadále uvažovat pouze křivky otevřené. Důležité vlastnosti B-spline křivek:. B-spline křivka stupně p je křivka po částech polynomiální stupně p. Na rozdíl od Bézierových křivek (viz sekce.6), jejichž stupeň závisí na počtu kontrolních bodů, pomocí B-spline křivek aproximujeme libovolně složité tvary pomocí polynomu zvoleného stupně. 2. Tzv. Strong Convex Hull Property: Pro u [a i,a i+ ) leží křivka s(u) v konvexním obalu bodů P i p,...p i. Na intervalu [a i,a i+ ) jsou nenulové pouze bázové funkce N p i p, N p i p+,...,np i. Protože tyto funkce jsou v našem předpisu koeficienty u bodů P i p,...p i, pouze tyto body mají nenulové koefici- Nutno podotknout, že tato terminologie není zcela ustálená: v literatuře se pro křivky otevřené (open) též používá výraz sevřené (clamped) a pro křivky plovoucí (floating) opět výraz otevřené. 9

10 enty. Navíc jsou všechny N p i nezáporné a jejich součet je v každém bodě u roven, s(u) tedy leží v konvexním obalu bodů P i p,...p i. Odtud vyplývají jednoduché důsledky: Celá B-spline křivka leží v konvexním obalu všech jejích řídících bodů. Chceme-li, aby část křivky ležela na úsečce, stačí umístit body P i p,...p i na přímku. Část křivky s(u) pro u [a i,a i+ ) pak leží v jejich konvexním obalu, což je úsečka Obrázek.5: Konvexní obal odpovídající zelené části křivky 3. Změna křivky posunutím jednoho bodu se projeví pouze lokálně. Tedy změníme-li bod P i, křivka se změní jen na intervalu [a i,a i+p+ ). Koeficientem u bodu P i je funkce N p i, a ta je nenulová pouze na intervalu [a i,a i+p+ ). Jinde tedy nemá změna tohoto bodu žádný vliv. To je velice užitečné, nebot při změně jediného bodu nemusíme přepočítávat celou křivku, stačí jen malá část. 4. B-spline křivka je spojitá třídy C p k v uzlu násobnosti k. 5. Vlastnost Variation Diminishing Property: Tím se rozumí, že počet průsečíků libovolné přímky s grafem s(u) je nejvýše roven počtu průsečíků s řídícím polygonem. To nám říká to, že graf s(u) se vlní podobně jako řídící polygon. 6. Afinní invariance: Afinní transformaci křivky můžeme provést transformací řídících bodů a následnou konstrukcí křivky.

11 3 3 3 Obrázek.6: Přesun bodu a změna křivky Obrázek.7: Variation Diminishing Property Afinní transformace T : R n R n je dána vztahem T(X) = A X + v, kde A je matice řádu n a v vektor. Aplikujeme-li ji na B-spline křivku, dostáváme ( n ) ( n ) T(s(u)) = T N p i (u)p i = A N p i (u)p i + v = i= n A N p i (u)p i + i= i= i= i= n n N p i (u)v = N p i (u)(a P i + v) =

12 = n N p i (u)t(p i), i= kde jsme využili rovnosti p i= Np i (u) =. Poznamenejme, že mezi afinní transformace patří rotace, translace a diletace. Místo náročné transformace křivky lze pouze příslušným způsobem upravit řídící body a z nich sestrojit B-spline křivku..4 Vícenásobné uzly O vícenásobných uzlech jsme se doposud příliš nezmiňovali. Napřed se podíváme, jak vícenásobné uzly ovlivní bázové funkce. Uvažujme bázové funkce N p i a N p i+. První je nenulová na intervalu [a i,a i+p+ ), druhá na [a i+,a i+p+2 ). Posuneme-li nyní bod a i+p+2 do bodu a i+p+, funkci N p i+ se interval, na kterém je nenulová, zmenší na [a i+,a i+p+ ), zatímco funkci N p i se tento interval nezmění. V bodě a i+p+ se tak počet nenulových funkcí o jedna sníží. Obecně, zvýšíme-li násobnost uzlu o k, počet nenulových bázových funkcí v tomto uzlu se sníží o k. Vzhledem k tomu, že v každém bodu je nejvíce p + nenulových bázových funkcí stupně p, platí: V uzlu násobnosti k je nejvíce p k + nenulových bázových funkcí stupně p. Z toho plyne tento důsledek: Máme-li uzel násobnosti p, je v něm nenulová jediná bázová funkce, a tedy je jediný bod, který má v tomto uzlu nenulový koeficient. Křivka tedy prochází tímto bodem. Pro příklad se podívejme na Obrázek.8. Zde vidíme bázové funkce stupně 3 odpovídající vektoru (,,,,, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5). Na druhém obrázku vytvoříme dvojnásobný uzel přesunutím uzlu a 8 ze 4 na 3, a na třetím přesuneme a 6 ze 2 na 3, čímž dostaneme trojnásobný uzel v bodu 3. Na Obrázku.9 vidíme kubické B-spline křivky odpovídající vektorům uzlů z předcházejícího příkladu. Vidíme, že na posledním obrázku (s trojnásobným uzlem) již křivka prochází vrcholem řídícího polygonu..5 Derivace B-spline křivek Pro derivaci bázových funkcí platí vztah (N p i ) = p N p p i N p i+ a i+p a i a i+p+ a. (.3) i+ 2

13 (a) Jednoduchý uzel v bodě (b) Dvojnásobný uzel v bodě (c) Trojnásobný uzel v bodě 3 Obrázek.8: Zvyšování násobnosti uzlu To lze dokázat indukcí podle p, tento důkaz lze nalézt např. v [2]. My budeme chtít spočítat derivaci křivky stupně p n s(u) = P i N p i (u) i= s vektorem uzlů a = (a,a,...,a n+p+ ). Uvažujme křivku otevřenou, pro kterou je a = a =... = a p a a n+ = a n+2 =... = a n+p+. Ze vzorce.3 dostáváme: s (u) = kde = n (N p i ) (u)p i = i= ( p n i= = p Np (u)p a p a n ( i= N p i+ (u) P i+ a i+p+ a i+ n + p i= p N p i a i+p a i ) ( p n i= N p i+ (u) P i+ P i První a poslední člen jsou z definice rovny, takže n s (u) = i= ) p N p i+ P i a i+p+ a i+ ) N p i+ (u) P i a i+p+ a i+ p Np n+(u)p n a i+p+ a i+ a n+p+ a n+ N p i+ (u)q i Q i = p P i+ P i a i+p+ a i+. 3

14 Obrázek.9: Vliv vícenásobného uzlu na křivku Vezmeme-li vektor a = (a,a 2,...,a n+p ), tedy vektor vzniklý z a vynecháním prvního a posledního uzlu, pak platí, že funkce N p i+ (u), počítaná na vektoru a, je rovna funkci N p i (u), počítané na a. Pak tedy derivace křivky s(u) stupně p je B-spline křivkou stupně p s vektorem uzlů a ve tvaru n s (u) = N p i (u)q i. (.4) i= Tuto křivku nazýváme hodografem křivky s(u). Na Obr.. vidíme příklad: kubickou křivku a její kvadratickou derivaci. Nyní také můžeme dokázat vyslovené tvrzení, že tečna otevřené křivky v jejích krajních bodech je rovnoběžná se směrem P P, případně směrem P n P n. Pokud totiž a =... = a p, pak v bodě a je mezi funkcemi N p i jediná nenulová, a to funkce N p. Pro tu platí takže Obdobně pro tečnu v bodě a m. N p (a ) =, s (a ) = Q = p P P a p+ a. 4

15 s () s (3) s () s () s (3) s () s (2) 2 s (2) (a) Kubická křivka s uzlovým vektorem (,,,,,2,3,3,3,3) (b) Kvadratická derivace křivky Obrázek.: Křivka a její derivace.6 Poznámka o Bézierových křivkách Bézierovy křivky, ač je můžeme konstruovat i jednodušeji, jsou speciálním případem B-spline křivek. Jsou to takové B-spline křivky, které nemají žádné vnitřní uzly - jejich vektor uzlů je ve tvaru (a,...,a,b,...,b), přičemž uzly a i b jsou násobnosti p+, kde p je stupeň křivky. Obyčejně uvažujeme a = a b =. Bézierovy křivky sdílejí s B-spline křivkami základní vlastnosti (jako je vlastnost konvexního obalu, hladkost, Variation Diminishing Property), také pro ně platí, že tečny v krajních bodech mají stejný směr jako krajní úsečky řídícího polygonu. Přesněji platí, že s () = p(p P ) a s () = p(p 2 P ). Bézierovy křivky mají zásadní nevýhody: protože nemají vnitřní uzly, nelze je měnit jen lokálně. Problémem je také, že jejich stupeň závisí na počtu řídících bodů. U křivek vyšších stupňů také platí, že Bézierova křivka aproximuje řídící polygon značně hůře, než B-spline křivka (jejíž stupeň nezávisí na počtu řídících bodů). To jsou zásadní problémy, proto je v praxi výhodnější používat B-spline křivky, které tyto nevýhody nemají. Naproti tomu, jejich výhodou je jednodušší algebraické vyjádření těchto křivek: jejich bázové funkce jsou ve tvaru ( ) p N p i (u) = u i ( u) p i. i 5

16 (a) Bézierova křivka stupně 2 (b) Bézierova křivka stupně 5 Obrázek.: Bézierovy křivky Později si ukážeme, že každou B-spline křivku můžeme rozdělit na několik Bézierových křivek, tzv. segmentů. Tyto vlastnosti dělají z Bézierových křivek silný teoretický nástroj, užívaný při odvození některých algoritmů pro B-spline křivky. 6

17 Kapitola 2 NURBS křivky 2. Definice a základní vlastnosti B-spline křivky, ač mají mnoho pěkných vlastností, mají i své nevýhody: nelze pomocí nich vykreslit ani některé zdánlivě jednoduché křivky, jako je kruh. Kruh, stejně jako elipsu či hyperbolu, není možné přesně reprezentovat pomocí polynomiálních funkcí. K jejich vyjádření potřebujeme funkce racionální, tedy podíl dvou funkcí polynomiálních. Navíc, při lokální modifikaci B-spline křivek jsme omezeni pouze na posunování řídících bodů. Když ovšem polohu bodů měnit nechceme, nemáme již v ruce žádný nástroj. Tyto problémy řeší racionální B-spline křivky. Obecně budeme uvažovat neuniformní vektor uzlů, odtud plyne používaná zkratka NURBS - NeUniformní Racionální B-Spline křivky. Mějmě tedy vektor uzlů a = (a,a,...,a m ), řídící body {P i } n i= a váhy {w i } n i=. NURBS křivku stupně p (kde platí n = m p ) definujeme předpisem s(u) = n i= Np i (u)w ip i n i= Np i (u)w i u [a,a m ]. Nezmíníme-li se jinak, uvažujeme kladné váhy w i > a vektor uzlů takový, že a = a =... = a p a a m p = a m p+ =... = a m, tedy křivka je otevřená. Položíme-li R p i (u) = N p i (u)w i n j= Np j (u)w, j 7

18 2 2 3 Obrázek 2.: B-spline křivka (modrá) a NURBS křivka s vahami (,, 3,, 3,, ) (tyrkysová) můžeme si definici přepsat do tvaru s(u) = n R p i (u)p i. i= Funkcím R p i říkáme racionální bázové funkce. Následující vlastnosti jsou analogické k vlastnostem bázových funkcí B-spline křivek, jak jsme si je vyslovili v sekci.2.. R p i je nezáporná, po částech racionální funkce. 2. Platí n i= Rp i (u) = pro všechna u [a,a m ]. 3. R p i je nulová mimo interval [a i,a i+p+ ). 4. Na intervalu [a i,a i+ ) jsou nenulové pouze funkce R p i p (u),...,rp i (u). 5. V uzlu násobnosti k je funkce R p i spojitá třídy C p k. 6. Je-li w i = a pro všechna i a pro nenulové a, pak R p i (u) = Np i (u) pro všechna i a u [a,a m ]. Stejně tak můžeme vyslovit základní vlastnosti NURBS křivek.. Strong convex hull property: pro u [a i,a i+ ) leží s(u) v konvexním obalu bodů P i p,...p i. 8

19 2. Variation Diminishing Property: Počet průsečíků libovolné přímky s grafem je nejvýše roven počtu průsečíků této přímky s řídícím polygonem. 3. Změna křivky se projeví pouze lokálně. Pokud posuneme bod P i nebo změníme váhu w i, křivka se změní jen na intervalu [a i,a i+p+ ). 4. Afinní a projektivní invariance: Je-li na křivku aplikována afinní či projektivní transformace, můžeme transformaci aplikovat na řídící body a z nich sestrojit transformovanou křivku. NURBS křivky jsou tedy zobecněním B-spline křivek, kde používáme ještě dodatečnou informaci: váhy bodů, které udávají, jak se který bod projeví na výsledné křivce. Pokud jsou všechny váhy stejné, dostáváme B-spline křivku. Všechny vlastnosti a algoritmy, uvedené dále, tedy platí i pro B-spline křivky jakožto speciální tvar NURBS křivek. 2.2 Homogenní souřadnice Idea racionálních křivek má elegantní interpretaci, použijeme-li homogenní souřadnice. Mějme bod P = (x, y) z dvourozměrného euklidovského prostoru a nějaké nenulové w. Bod P si můžeme vyjádřit jako bod P w = (wx,wy,w) = (X,Y,Z) v trojrozměrném prostoru. Body P w z E 3 lze převést zpět na body z E 2 zobrazením na rovinu Z =. Označíme-li toto zobrazení H, pak ( X P = H(P w ) = H(X,Y,Z) = Z, Y ) pokud Z. Z Pro Z = ztotožňujeme P se směrem (X,Y ). Převedení do homogenních souřadnic nám tedy bod P = (x, y) zobrazí někam na přímku procházející počátkem a bodem (x, y, ). Naopak zobrazení H zobrazuje celou tuto přímku do jediného bodu na rovině Z =. Tuto konstrukci můžeme pochopitelně provést i v trojrozměrném prostoru, pak dostaneme body P w z čtyřrozměrného prostoru. Tuto myšlenku nyní použijeme při konstrukci NURBS křivky. Pro NURBS křivku s(u) = n i= Rp i (u)p i s řídícími body {P i } z dvourozměrného (trojrozměrného) prostoru a vahami {w i } zkonstruujeme odpovídající body {P w i } z prostoru trojrozměrného (čtyřrozměrného). Pro tyto body definujeme (neracionální) B-spline křivku n s w (u) = N p i (u)p w i. i= 9

20 z (wx,wy,w) x (x,y,) z= y Obrázek 2.2: Homogenní souřadnice Zobrazením H na rovinu Z = dostaneme ( n ) n H(s w (u)) = H N p i (u)p w i= i = Np i (u)w ip i n i= Np i (u)w = s(u), i i= což je křivka, od které jsme vyšli. Vidíme tedy, že místo NURBS křivky z n-rozměrného prostoru můžeme zkonstruovat B-spline křivku z (n + )-rozměrného prostoru. Tu pak dokážeme převést zpět na n-rozměrnou NURBS křivku vydělením prvních n souřadnic poslední souřadnicí. To se může hodit: neznáme-li nějaký algoritmus či vzorec pro NURBS křivky, ale známe-li ho pro jednodušší B-spline křivky, stačí zkonstruovat B-spline křivku v prostoru vyšší dimenze, provést algoritmus a křivku zobrazit zpět do původního prostoru. 2.3 Derivace NURBS křivek Užitečnost myšlenky homogenních souřadnic nám ukáže následují postup. Při výpočtu derivace NURBS křivky využijeme jejího vyjádření jako B-spline křivky v prostoru vyšší dimenze, jak jsme si ho právě vysvětlili. Derivaci B-spline křivky už spočítat dovedeme, viz sekce.5. Můžeme psát: s(u) = s(u)w(u) = a(u) w(u) w(u), 2

21 z z= y x Obrázek 2.3: Konstrukce NURBS křivky kde w(u) je poslední souřadnice bodu s w (u) a a(u) je vektorová funkce, jejíž složky jsou první dvě (popř. tři, je-li NURBS křivka z E 3 ) souřadnice bodu s w (u). Potom s (u) = a (u)w(u) a(u)w (u) w(u) 2 = a (u) s(u)w (u) w(u) = a (u)w(u) s(u)w(u)w (u) w(u) 2 =. (2.) Protože w(u) a a(u) jsou souřadnice bodu s w (u), můžeme jejich první derivace spočítat pomocí vzorce pro derivace B-spline křivek.4, a pak už jen stačí dosadit do vzorce 2.. 2

22 Kapitola 3 Základní algoritmy 3. Změna tvaru křivky NURBS křivka je dána pomocí řídících bodů {P i }, jejich vah {w i } a uzlového vektoru a. Chceme-li křivku měnit, můžeme bud posunout nějaký bod, změnit váhu bodu či pozměnit uzly. Změna uzlů bohužel nemá žádnou jednoduchou geometrickou interpretaci, a nelze tedy předem jasně říci, jak změna ovlivní tvar křivky. Pro naše účely, kdy chceme tvar křivky přiblížit naší představě, je tedy změna uzlů nevhodná. Zaměříme se na zbylé dvě možnosti. Již jsme říkali, že posunutí řídícího bodu ovlivní pouze část křivky. Můžeme si snadno přesně vyjádřit, jak je křivka pozměněna. Mějme křivku s(u) = n i= Rp i (u)p i, které posuneme jeden řídící bod P k do bodu P k + v. Vzniklá křivka má tvar t(u) = = k n R p i (u)p i + R p k (u)(p k + v) + R p i (u)p i i= i=k+ n R p i (u)p i + R p k (u)v = s(u) + Rp k (u)v i= Z tohoto zápisu vidíme, že mimo interval [a k,a k+p+ ) se křivka nezmění, protože tam je funkce R p k nulová. To je dobře, křivku chceme měnit pouze lokálně. A na intervalu [a k,a k+p+ ) se každý bod posune ve směru vektoru v o vzdálenost závislou na hodnotě funkce R p k (u) v daném bodě. Druhou možností je změna vah. Podle definice má NURBS křivka tvar n i= s(u) = Np i (u)w ip i n i= Np i (u)w. i 22

23 2 2 3 Obrázek 3.: Křivka před (modrá) a po posunutí bodu (tyrkysová) Vyberme bod P k, jehož (nezápornou) váhu w k měníme. Pak i k s(u) = Np i (u)w ip i + N p k (u)w kp k i k Np i (u)w i + N p k (u)w. k Pro zjednodušení označme A = N p k (u)w k, B = i k N p i (u)w i, X = i k N p i (u)w ip i. A rovnici přepíšeme s(u) = X + A P k B + A. Napřed uvažujme w k =. Pak A = a každý bod na křivce má tvar s (u) = X B. Pro w k > pak počítejme, jak vypadá vektor s(u) s (u) = X + A P k A + B X B = BX + A BP k A X BX B(A + B) ( A = P k X ) = A A + B B A + B (P k s (u)) = 23

24 Co nám to říká? Vektor s(u) s (u) má stejný směr jako vektor P k s (u). Navíc, A A + B = N p k (u)w k i k Np i (u)w i [, ], takže bod s(u) leží na úsečce s (u)p k pro všechna w k. Snadno vidíme, že i k lim s(u) = lim Np i (u)w ip i + N p k (u)w kp k w k w k i k Np i (u)w i + N p k (u)w = P k, k pro u [a k,a k+p+ ). Shrneme naše poznatky: Měníme-li w k, bod s(u) vždy leží na úsečce s (u)p k. Pro w k = křivka prochází bodem s (u), pokud w k zvětšujeme, s(u) se blíží k bodu P k Obrázek 3.2: NURBS křivky s vahami w 4 = {,.3,, }. 3.2 Vložení uzlu Naším cílem bude vložit nový uzel do vektoru uzlů dané křivky, a to tak, aby daná křivka nezměnila svůj tvar. Uzel můžeme vložit i na místo již existujícího uzlu, a tím tak zvýšit jeho násobnost. I pro nově vzniklou křivku musí nadále platit rovnost n = m p, kde n je počet řídících 24

25 bodů, m počet uzlů a p stupeň křivky. Přidáme-li tedy uzel, musíme přidat i nový řídící bod. K čemu nám to bude? Pomocí vkládání uzlů lze odvodit De Boorův algoritmus pro výpočet hodnoty křivky v bodě. Především však poslouží k snadnému tvarování křivky: budeme-li chtít provést drobné úpravy na nějaké části křivky, vložíme si tam dostatek nových uzlů, abychom mohli s křivkou manipulovat pouze na daném intervalu. Využijeme zde zápisu NURBS křivky jako B-spline křivky v prostoru vyšší dimenze pomocí homogenních souřadnic. K dané NURBS křivce s(u) sestrojíme odpovídající B-spline křivku s w (u) s řídícími body P w,p w,...,p w n podle postupu ze sekce 2.2. Index w zde udává, že pracujeme s body, resp. křivkou, sestrojených z původních bodů pomocí vektoru vah w. Necht je tato křivka stupně p a její vektor uzlů je a = (a,a,...,a m ). Chceme vložit nový uzel t [a j,a j+ ). Musíme tedy najít řídící body Q w,q w,...,q w n+, a to tak, aby n N p i (u)p n+ w i = N p i (u)qw i, (3.) i= kde N p i (u) jsou bázové funkce příslušné upravenému vektoru uzlů ā = (a,a,...,a j,t,a j+,...,a m ) Víme, že na intervalu [a j,a j+ ) jsou nenulové pouze bázové funkce N p j p, Np j p+,...,np j, přidání uzlu tedy změní jen jim příslušné body P w j p,p w j p+,...p w j. Nové řídící body sestrojíme tak, aby řídící polygon P w j pp w j p+...p w j byl nahrazen polygonem P w j pq w j p+...q w j P w j, který tomu původnímu seřezává rohy. Přesněji, bod Q w j p+ hledáme na úsečce P w j p P w j p+, bod Q w j p+2 na úsečce P w j p+ P w j p+2 a tak dále, až k bodu Q w j, který najdeme na úsečce P w j P w j. Pro názornou ukázku se podívejte na Obr. 3.3 a 3.4. Lze ukázat, že pokud pro nové řídící body platí: P w Q w i pro i j p i = ( α i )P w i + α i P w i pro j p + i j (3.2) P w i pro i j + i= kde pak je rovnice 3. splněna. α i = t a i a i+p a i, 25

26 Shrneme si postup: stačí spočítat nové řídící body podle tohoto vzorce a do vektoru uzlů vložit na správné místo nový uzel. V případě NURBS křivky musíme ještě předtím sestrojit odpovídající B-spline křivku, a po spočtení nových řídících bodů vydělit jejich souřadnice souřadnicí poslední. Tím dostaneme upravené řídící body NURBS křivky, jejich váhy jsou právě poslední souřadnice řídících bodů B-spline křivky Obrázek 3.3: Vložení uzlu jednoduché a vícenásobné Původní křivka byla určena n řídícími body. Po provedení tohoto algoritmu se těchto n bodů nahradí n+ novými řídícími body, přičemž nový řídící polygon se až na p bodů neliší od předchozího. Naopak v těchto p bodech ořezává rohy původnímu, a přibližuje se tak dané křivce, viz Obr Můžeme dokonce vyslovit tvrzení o konvergenci řídícího polygonu při zahušt ování vektoru uzlů. Věta. Mějme interval [a,b], necht h = max{(a i+ a i ) [a i,a i+ ] [a,b]} a necht γ i = (a i a i+n )/n. Pak max s(γ i ) P w i = O(h 2 ), kde maximum bereme přes všechna i taková, že [a i+,a i+n ] [a,b]. Čísla γ i se nazývají Grevillovy abscisy. Můžeme také chtít vložit jeden uzel vícekrát. Vzorec 3.2 můžeme pro tento případ zobecnit. Budeme chtít r-krát vložit uzel t [a j,a j+ ), který již je násobnosti s, kde r+s p. Pak body vzniklé po r-tém vložení jsou 26

27 dány rekurzí Q w Q w i,r pro i j p + r i,r = ( α i,r )Q w i,r + α i,r Q w i,r pro j p + r i j s, Q w i,r pro i j s + (3.3) kde t a i α i,r = a i+p r+ a i a Q w i, = P w i. Počet nových řídících bodů je p s + r, ty nahradí p s + původních řídících bodů. Ostatní zůstávají nezměněny. Příklad. Mějme B-spline křivku stupně p = 3 s vektorem uzlů a = (,,,,, 7, 7, 7, 7) a řídícími body P,...,P 4. Chceme třikrát vložit uzel v bodě t = 3. Na rozdíl od předchozího obecného postupu nyní nepracujeme s NURBS křivkou, ale s neracionální B-spline křivkou s(u). Tu nemusíme pomocí homogenních souřadnic převádět na B-spline křivku s w (u), takže horní index w u původních i nových řídících bodů P i a Q i,r v tomto příkladě vynecháváme. Vidíme, že p = 3, m = 8, n = 4, j = 4 a s =. Vkládáme-li uzel poprvé, tedy r =, pak platí: Q, = P a Q, = P, Body Q 2,,Q 3, a Q 4, spočteme podle vzorce 3.3, Q 5, = P 4. Řídící polygon křivky se po jednoduchém vložení uzlu skládá ze 6 bodů: P P Q 2, Q 3, Q 4, P 4. Pro představu se podívejte na Obr Podobně při druhém vložení (r = 2): první 3 body se nemění, Q,2 = Q, = P, Q,2 = Q, = P, Q 2,2 = Q 2,, body Q 3,2 a Q 4,2 opět musíme spočítat podle vzorce 3.3, a pro poslední 2 body platí Q 5,2 = Q 4, a Q 6,2 = Q 5, = P 4. Nyní řídící polygon vypadá takto: P P Q 2, Q 3,2 Q 4,2 Q 4, P 4. Při posledním vložení: 27

28 První čtyři body zůstávají stejné jako minule, tedy Q,3 = P, Q,3 = P, Q 2,3 = Q 2,, Q 3,3 = Q 3,2. Bod Q 4,3 spočteme dle vzorce 3.3. Zbylé body, až na posunutý index, necháme také stejné jako předtím: Q 5,3 = Q 4,2, Q 6,3 = Q 4,, Q 7,3 = P 4. Řídící polygon se tedy sestává z osmi bodů P P Q 2, Q 3,2 Q 4,3 Q 4,2 Q 4, P 4. Q 2, P 2 2 P Q 3,2 Q 3, Q 4,3 P Q 4,2 P 3 Q 4, P Obrázek 3.4: Trojnásobné vložení uzlu V praxi je ovšem nepohodlné určovat hodnotu parametru u, kam chceme vložit nový uzel. Intuitivnější je vybrat na křivce bod, který chceme vložit, a podle toho dopočítat u. Pokud daný bod Q leží na úsečce P i P i+, můžeme ho vyjádřit vyjádřit ve tvaru Q = ( t)w ip i + tw i+ P i+ ( t)w i + tw i+ pro t [, ]. Odtud získáme t = w i Q P i w i Q P i + w i+ P i+ Q, 28

29 a dostáváme hledané u: u = a i+ + t(a i+p+ a i+ ). Tomuto procesu se říká inverzní vložení uzlu. Ještě si ukážeme jednoduché aplikace vkládání uzlů. První z nich je De Boorův algoritmus. Ten nám umožňuje rychle a jednoduše určit polohu bodu s(t) pro t [a,a m ]. Jeho myšlenka je prostá: Již víme (viz sekce.4), že v uzlu násobnosti p křivka stupně p prochází řídícím bodem. Pokud je tedy t uzel násobnosti s, stačí ho r-krát vložit, tak, aby r + s = p. Pak t je uzel násobnosti p a křivka v něm prochází posledním spočítaným řídícím bodem. Tento bod je tedy hledaným bodem s(t). Ještě jednou: pro zjištění polohy s(t) stačí tedy vložit uzel t tolikrát, aby jeho násobnost byla p, a poslední spočítaný bod pak je právě s(t). A to je přesně de Boorův algoritmus. V předcházejícím příkladě jsme takto nevědomky spočítali hodnotu křivky v bodě 3: po trojnásobném vložení uzlu už křivka prochází posledním spočítaným bodem Q 4,3, takže s(3) = Q 4,3. Další aplikací je rozdělení křivky. To osvětlíme opět na našem příkladu. Mějme znovu kubickou B-spline křivku, danou na intervalu [, 7] s vektorem uzlů a = (,,,,, 7, 7, 7, 7) a řídícími body P,...,P 4, kterou chceme rozdělit na dvě křivky dané na intervalech [, 3] a [3, 7]. Stejně jako u de Boorova algoritmu vložíme třikrát uzel 3, tedy aby jeho násobnost byla p = 3. Vezmeme si B-spline křivku s (u), danou body P,P,Q 2,,Q 3,2,Q 4,3 s vektorem uzlů a = (,,,,, 3, 3, 3, 3), a s 2 (u), danou body Q 4,3,Q 4,2,Q 4,,P 4 s vektorem uzlů a 2 = (3, 3, 3, 3, 7, 7, 7, 7). Pro ně platí s(u) [,3] = s (u) a s(u) [3,7] = s 2 (u). Opakovaným vkládáním uzlu jsme tedy dokázali křivku rozdělit na dvě křivky, které jsou na sobě nezávislé, a lze je tedy libovolně upravovat, posunovat či zcela smazat bez ovlivnění druhé části křivky. Povšimněte si, že pokud otevřenou křivku stupně p s vektorem uzlů a = (a,...,a m ) rozdělíme ve všech jejích vnitřních uzlech a i, dostaneme m křivek stupně p s uzlovým vektorem (a i,...,a i,a i+,...,a i+ ), kde násobnost obou uzlů je p+. Tyto křivky jsou tedy Bézierovy a my jsme tímto rozdělili B-spline křivku na m Bézierových segmentů definovaných na intervalech [a i,a i+ ). 29

30 Obrázek 3.5: B-spline křivka před a po rozdělení na Bézierovy segmenty 3.3 Odstranění uzlu Stručně se zmíníme i o algoritmu opačném, tedy odstranění uzlu. Budeme mít křivku s(u) s vektorem uzlů a, který obsahuje bod t násobnosti k. My budeme chtít tento uzel odstranit, bez toho, aby se změnil tvar křivky. Komplikací je, že odstranění uzlu, na rozdíl od vložení, nelze provést vždy. Víme, že B-spline křivky obecně mají v k-násobném uzlu spojitost třídy C p k, avšak řídící body mohou ležet tak, že je křivka hladší. A to přesně potřebujeme, protože chceme-li snížit násobnost uzlu o jedničku, musí mít křivka v daném bodě spojitost třídy alespoň C p k+. Pokud to platí, lze uzel odstranit. Necht tedy t = a r je k-násobný uzel takový, že a r k+ =... = a r a r+. Z tvaru derivace křivky (viz sekce.5) sestavíme rovnice pro spojitost v bodě t pro nové řídící body Q i, které po odstranění uzlu nahradí body P i. Po úpravách dostaneme p k + rovnic tvaru kde P i = α i Q i + ( α i )Q i, α i = t a i a i+p+ a i pro i = r p,...,r k. Protože Q r p = P r p a Q r k = P r k+, dostali jsme p k + rovnic o p k neznámých bodech Q i. Pokud je soustava řešitelná (s danou tolerancí), lze uzel odstranit. Pak nahradíme p k+ řídících bodů p k novými body, získanými z této soustavy. Povšimněte si podobnosti této rovnice se vzorcem 3.2 pro výpočet nových bodů při vložení uzlu. Rozdíl je v tom, že zatímco u vzorce 3.2 byl hledaný bod na levé straně, zde levou stranu známe a chceme 3

31 spočítat body na pravé straně. Je to logické: vložení uzlu a odstranění uzlu jsou inverzní operace, proto dostáváme stejné rovnice, jen neznámé jsou rozdílné. Dva zmíněné algoritmy - přidání a odstranění uzlu - se spolu využívají při úpravě křivek. Chceme-li někde křivku nějak pozměnit, přidáme dostatečné množství uzlů, abychom část křivky izolovali od zbytku, který měnit nechceme, a abychom také získali velký počet bodů pro úpravu. S těmi pak můžeme libovolně manipulovat (posunováním či změnami vah). Když jsme hotovi, a křivka má tvar, jaký chceme, odstraníme tolik uzlů, kolik můžeme, abychom si reprezentaci křivky zase zjednodušili a neuchovávali zbytečné množství informací. 3.4 Zvýšení stupně křivky Zvýšením stupně NURBS křivky rozumíme algoritmus, při kterém křivku stupně p vyjádříme jako křivku stupně p +, a to tak, aby se tvar i parametrizace křivky nezměnily. Pro zjednodušení budeme dále uvažovat B-spline křivky, s tím, že NURBS křivky na ně můžeme převést pomocí homogenních souřadnic. Tento algoritmus je potřeba, pokud máme dvě křivky různého stupně a chceme je spojit dohromady. K tomu potřebujeme, aby měly obě stejný stupeň, proto křivce s nižším stupněm stupeň zvyšíme. Mějme B-spline křivku stupně p s vektorem uzlů a = (a,a,...,a m ) a řídícími body {P i } tvaru s(u) = n P i N p i (u). i= Ta je po částech polynomiální stupně p, a zřejmě ji můžeme psát jako lineární kombinaci bázových funkcí stupně p +, tedy s(u) = n i= Q i N p+ i (u), s vektorem uzlů ā a řídícími body Q i. Najít tyto body a vektor uzlů je cílem algoritmu zvýšení stupně křivky. Necht uzel a i má násobnost r i. Křivka s(u) je v tomto uzlu spojitá třídy C p r i. Aby zde měla křivka i po zvýšení stupně spojitost stejné třídy, násobnost tohoto uzlu musíme zvýšit o. To platí pro všechny uzly, nový vektor uzlů dostaneme zvýšením násobnosti každého uzlu o jedničku. 3

32 Je více způsobů, jak spočítat polohu bodů Q i. My ukážeme následující postup:. Rozdělit křivku na Bézierovy segmenty. 2. Zvýšit stupeň Bézierova segmentu. 3. Odstranit nepotřebné uzly. V sekci 3.2 jsme si ukázali, že rozdělení křivky na Bézierovy segmenty provedeme rozdělením křivky ve všech jejích uzlech, tedy že každému uzlu doplníme násobnost na hodnotu p. První krok tedy zvládneme aplikací známých algoritmů. Každý Bézierův segment je nyní stupně p, a my chceme jeho stupeň zvýšit o jedničku. Pro Bézierovu křivku, na rozdíl od B-spline křivek, to lze provést jednoduše: dá se odvodit, že pro nové řídící body Bézierova segmentu platí vztah Q i = ( α i )P i + α i P i, kde α i = i/(p + ) pro i =,...,p +. V posledním kroku odstraníme přebytečné uzly vložené v prvním kroku. Oproti výše zmíněnému algoritmu máme tu výhodu, že víme, kolikrát lze jaký uzel odstranit. Chceme-li zvýšit stupeň křivky vícekrát, můžeme tento algoritmus použít opakovaně, při tom se však nevyhneme některým nadbytečným výpočtům. Lze odvodit i vztah pro řídící body po r-tém zvýšení stupně, ty mají tvar: P r i = min(p,i) j=max(,i r) ( p j)( r i r) P j ( p+r i ) i =,...p + r. 32

33 Kapitola 4 Konstrukce kuželoseček 4. Kvadratické racionální Bézierovy křivky a kuželosečky Podívejme se napřed na neracionální kvadratickou Bézierovu křivku. Ta je, stejně jako B-spline křivky stupně 2, polynomiální druhého stupně, což znamená, že leží na části paraboly. Parabolu tedy dokážeme sestrojit i s pomocí neracionálních křivek. A právě rozšíření na racionání křivky nám umožní zkonstruovat i ostatní kuželosečky - hyperbolu, elipsu a též kruh jako speciální případ elipsy. Stejně jako jsme rozšířili B-spline křivky na NURBS křivky, můžeme definovat i racionální Bézierovy křivky pomocí vah řídících bodů. Racionální Bézierovy křivky jsou tedy NURBS křivky bez vnitřních uzlů, to jest křivky s vektorem uzlů tvaru (a,...,a,b,...,b). Kvadratické racionální Bézierovy křivky jsou dány pomocí tří bodů P,P,P 2 a jejich vah, přičemž mají tvar s(u) = ( u)2 w P + 2u ( u)w P + u 2 w 2 P 2 ( u) 2 w + 2u( u)w + u 2 w 2 pro u [, ]. Obyčejně bereme w =,w 2 =, a jediná volitelná váha je tak w. Dostáváme tak vyjádření s(u) = u2 (P + 2w P + P 2 ) + u( 2P + 2w P ) + P u 2 (2 2w ) + u( 2 + 2w ) + (4.) Lze ukázat, že křivka daná tímto podílem dvou kvadratických funkcí je vždy kuželosečkou. Její typ závisí na váze w. Podívejme se na kořeny jmenovatele zlomku. Jeho diskriminant je D = ( 2 + 2w ) 2 4(2 2w ) = 4(w 2 ). 33

34 Dostáváme Pokud w [, ), pak jmenovatel nemá nulový bod, tedy křivka nemá žádné body v nekonečnu a je to elipsa. Pokud w =, pak jmenovatel má jediný nulový bod, tedy křivka má jeden bod v nekonečnu a je to parabola. Pokud w (, ), pak má jmenovatel dva nulové body, tedy křivka má dva body v nekonečnu a je to hyperbola. 2 P X 3 X X.3 P M P 2 2 Obrázek 4.: Části kuželoseček pro w = {.3,, 3} Tuto racionální Bézierovu křivku určujeme body P,P,P 2 a vahou prostředního z nich. Určení váhy ale nemusí být vždy zcela intuitivní, namísto toho můžeme zadat bod X, kterým bude křivka procházet, třeba pro u = /2. Ten vypadá takto: X = s(/2) = + w M + w + w P, kde M je střed úsečky P P 2. Hodnota w je pak určena vztahem w = X M P X. (4.2) 34

35 Bod X lze položit kamkoliv na úsečku MP 2. Typ křivky pak záleží na jeho poloze: posunujeme-li bod X od bodu P k bodu M, křivka leží postupně na hyperbole, parabole (pro X = M+P ) a elipse, až nakonec 2 pro X = M přechází na úsečku. Obvykle ale budeme mít dánu kuželosečku a budeme chtít sestrojit racionální Bézierovu křivku, která leží na této kuželosečce. Ta může být zadána mnoha způsoby: implicitně, parametricky či geometricky pomocí ohniska, řídící přímky a excentricity. Všechny tyto tvary můžeme převést na jednoznačné určení kuželosečky pomocí tří bodů, kterými kuželosečka prochází (P, X, P 2 ), a tečen v bodech P a P 2. Protože pro racionální Bézierovy křivky platí, že tečna v krajních bodech má směr krajních úseček řídícího polygonu, se znalostí bodů P a P 2 a tečen kuželosečky v těchto bodech dokážeme najít i bod P. Nyní musíme zjistit váhu w bodu P. Napřed spočítáme u, pro nějž křivka prochází bodem X, tedy s(u) = X. Víme, že pro pevné u se body s(u) nachází na jedné přímce pro libovolnou váhu w, a to na přímce určené body P a X (viz Obr. 4.). Označme M průsečík této přímky s úsečkou P P 2. Tuto úsečku vyjádříme jako křivku s(u) s w =. Její tvar je s (u) = ( u)2 P + u 2 P 2, (4.3) ( u) 2 + u 2 jak si můžeme ověřit dosazením do 4.. Stačí nám tedy zjistit hodnotu u tak, aby s (u) = M. Z rovnice 4.3 plyne, že platí P M = P ( u)2 P + u 2 P 2 ( u) 2 + u 2 = u 2 P u 2 P 2 ( u) 2 + u 2, MP 2 = ( u) 2 P + u 2 P 2 P ( u) 2 + u 2 2 = ( u) 2 P ( u) 2 P 2 ( u) 2 + u 2, a tedy P M MP 2 = u 2 ( u). 2 Odtud po úpravách dostaneme u = a + a, kde a = P M MP 2. Dosazením této hodnoty a bodu X do rovnice 4. a následnými úpravami získáme vztah w = ( u)2 P X + u 2 X P 2, 2u ( u) P X který jsme hledali. 35

36 4.2 Konstrukce kruhu Podle návodu z předchozí sekce sestrojíme oblouk kruhu pomocí racionální Bézierovy křivky. Mějme body P,P,P 2. Vzhledem k symetrii kruhu budeme požadovat, aby P P = P P 2, body tedy musí tvořit rovnoramenný trojúhelník. Úhel P P P 2 označme jako α. Je zapotřebí najít váhu w, aby Bézierova křivka určená těmito body ležela na kruhu. Pro výpočet uvažujme jednotkovou kružnici. Mějme tedy O střed kružnice o poloměru, jinak se přidržme předchozího značení. Náčrtek situace vidíme na Obr P.5 α/2 O M X α P.5 P Obrázek 4.2: Konstrukce kruhového oblouku Z trigonometrických vztahů snadno spočteme, že a tedy, podle vzorce 4.2, OM = sin(α/2), OP = sin(α/2), w = MX P X = OM OP = sin(α/2) = sin(α/2) sin(α/2) Máme-li tedy tři body P,P,P 2, které tvoří rovnostranný trojúhelník, a váhu w = sin(α/2), racionální Bézierova křivka tvoří kruhový oblouk. Na Obr. 4.3 vidíme takto zkonstruovaný čtvrtkruh s řídícími body (, ), (, ), (, ) s vahou w = sin(π/4) = 2/2. Napojením těchto oblouků můžeme získat celý kruh. A zde přicházejí ke slovu NURBS křivky. 36

37 .5.5 Obrázek 4.3: Čtvrtkruh pomocí racionální Bézierovy křivky Příklad. Konstrukce jednotkového kruhu pomocí čtvrtkruhů Jestliže napojíme na sebe čtyři řídící polygony, jak jsme je právě sestrojili, dostaneme devět řídících bodů: {P i } = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}. Váhy těchto bodů jsou {w i } = {, 2/2,, 2/2,, 2/2,, 2/2, }. Všechny čtyři oblouky jsou stejně dlouhé, uzly proto volíme ekvidistantně, a navíc vnitřní uzly bereme dvojnásobné, aby se křivka dotýkala řídícího polygonu v místech napojení oblouků. Vektor uzlů je tedy a = (,,, /4, /4, /2, /2, 3/4, 3/4,,, ). Vidíme, že máme 2 uzlů, a rovnost m = n + p + je splněna. Stejně tak můžeme kruh vepsat libovolnému pravidelnému n-úhelníku. Za řídící body vezmeme jeho vrcholy a středy stran, jejich váhy jsou vždy pro středy stran a sin(α/2) pro vrcholy, kde α je úhel u vrcholu n-úhelníku. Vektor uzlů bereme ekvidistantní s dvojnásobnými vnitřními uzly. 37

38 P 7 P =P 8 P P 6 P 2 P 5 P 4 P 3 Obrázek 4.4: NURBS kruh pomocí čtyř oblouků (a) n=3 (b) n=6 Obrázek 4.5: NURBS kruh sestrojený pomocí n-úhelníku 38

39 Literatura [] Najzar K.: Základy teorie splinů, Karolinum, Praha, 26. [2] Piegl L., Tiller W.: The NURBS Book, Springer-Verlag, Berlin, 997. [3] Prautzsch H., Boehm W., Paluszny M: Bézier and B-spline Techniques, Springer-Verlag, Berlin, 22. [4] Shene, C.-K.: Introduction to Computing with Geometry Notes [online], aktualizováno [cit ]. Dostupné z: < NOTES/notes.html>. 39