Plochy počítačové grafiky II. Interpolační plochy Bezierovy pláty nad obdélníkovou a trojúhelníkovou sítí Recionální Bezierovy pláty B-spline NURBS

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Plochy počítačové grafiky II. Interpolační plochy Bezierovy pláty nad obdélníkovou a trojúhelníkovou sítí Recionální Bezierovy pláty B-spline NURBS"

Transkript

1 II Interpolační plochy Bezierovy pláty nad obdélníkovou a trojúhelníkovou sítí Recionální Bezierovy pláty B-spline NURBS

2 Konstrukce a zadání plochy hraniční křivky sítí bodů Kinematicky vytvořené křivky rotační plochy (vnikne rotací křivky okolo přímky) plochy vzniklé skládáním pohybů posun, rotace Analytický předpis ploch - parametrické, explicitní, implicitní vyjádření

3

4

5

6 Příčné tečné vektory Směrové vektory tečen v- křivky sestrojené podél okrajové u-křivky. (, ) P ( u, v) ( ) ( ) ( ) P u v P0 ( v) = u = 0, v ; P1 v = u = 1, v ; u u Směrové vektory tečen v- křivky sestrojené podél okrajové u-křivky (, ) P ( u, v) ( ) ( ) ( ) P u v P0 ( u) = u, v = 0 ; P1 u = u, v = 1 ; v v

7 Bezierovy pláty ( ) ( ) ( ) ( ) Plochy počítačové grafiky ( 0, n 1, n n, n ) ( 0, m ( ) 1, m ( ) n, m ( )) X u, v = B u, B u,, B u U B v, B v,, B v U.mapa plochy U B i,n.bernsteinovy polynomy P P P P P P... P P P m m = n0 n1 nm n Bi, n u u 1 u i i ( ) = ( ) n i

8 Algoritmus de Casteljau po křivkk ivkách (, ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) 0 ij in 0 jm jm ij in 0 jm j 0 j= 0 i= 0 j= 0 i= 0 j= 0 ( v ), je bod na Bezierově ploše 0 0 m n m n m X u v P B u B v B v P B u B v Q u X u ( ) ( ) ( ) je to bod na Bezierově křivce s řídícími body Q u, v, Q u, v, Q u, v n 0 0

9 Algoritmus de Casteljau-přímá metoda Plocha stupně je dána (n+1)(n+1) body P ij Plochy počítačové grafiky P 0 ij = P ij r r P 1 i, j P i, j 1 1 v r+ + 0 Pij = ( 1 u0, u0 ) r r Pi 1, j P i 1, j 1 v r = 0 n 1 i, j = 0 n r 1

10 Napojení Bezierových obdélníkových plátů

11 Plátování C 0 - pláty mají společný okraj, ale různé příčné tečné vektory Plochy počítačové grafiky U P P P P P P... P P P m m = n0 n1 nm U P P P P P P... P P P 0m 01 0m 1m 11 1m = nm n1 nm

12 Plátování Plochy počítačové grafiky C 1 - pláty mají společný okraj i příčné tečné vektory podél společného okraje U P P P P P P... P P P 00 0m 1 0m 10 1m 1 1m = n0 1m 1 nm U P P P P P P... P P P 0m 01 0m 1m 11 1m = nm n1 nm P im = P + i, m 1 Pi,1

13 Plátování Plochy počítačové grafiky C - pláty mají společný okraj, příčné tečné vektory podél společného okraje a společnou křivost parametrických křivek U P P P P P P... P P P 00 0m 1 0m 10 1m 1 1m = n0 1m 1 nm U P P P P P P... P P P 0m 01 0m 1m 11 1m = nm n1 nm Pi, m 1 + P i,1 Pim = P = P + P P ( ) i i, m i,1 i, m 1

14 16 vektorový Coonsův plát jako Bezierova bikubická plocha Plochy počítačové grafiky

15 16 vektorový Coonsův plát jako Bezierova bikubická plocha ( 0, 0 ), ( 0,1 ), ( 1, 0 ), ( 1,1) P = V P = V P = V P = V P P P P ( 0, 0) = 3 ( V10 V00 ), ( 1, 0) = 3 ( V30 V0 ), ( 0,1) = 3 ( V13 V03 ), ( 1,1) = 3 ( V33 V3 ), u u u u P P P P ( 0, 0) = 3 ( V01 V00 ), ( 1, 0) = 3 ( V03 V0 ), ( 0,1) = 3 ( V31 V30 ), ( 1,1) = 3 ( V33 V3 ), v v v v P P ( 0,0) = 9 ( V11 V10 ) ( V01 V00 ) u v, ( 1, 0) = 9 ( V31 V30 ) ( V1 V0 ), u v P P ( 0,1) = 9 ( V13 V1 ) ( V03 V0 ), ( 1,1) = 9 ( V33 V3 ) ( V3 V ), u v u v V V V V V V V V V0 V V V V V V V

16 Subdivision Plochy počítačové grafiky

17 Zvýšen ení stupně Bezierovy křivky ( α ) Q P P i = αi i i i i αi = i = 0 n + 1 n + 1 Př: Kvadratická Bezierova křivka je dána body P 0, P 1, P. Zadejte tutéž parabolu pomocí 4 řídících bodů. 1 1 Q = P ; Q = P + P; Q = P + P ; Q = P X( t ) = ( 1 t) 3 Q0+ 3 t ( 1 t) Q1+ 3 t ( 1 t) Q+ t 3 Q3 X( t ) = P0 P0t + P0t + t P1 t P1+ t P X( t ) = ( 1 t + t ) P0 + ( t + t) P1+ t P

18 U P P P P P P... P P P n n = m0 m1 mn 1 n P P + P P n + 1 n n P P + P P U = n + 1 n n P P + P P n + 1 n n n m0 m0 m1 mn

19 Racionální Bezierova plocha Řídící body jsou zadány v afinním prostoru vnořeném do projektivního prostoru P 3. (,,,1) (,,, ) P = x y z w x w y w z w ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij x = w x B ( u) B ( v) x = w y B ( u) B ( v) x = w z B ( u) B ( v) x = w B ( u) B ( v) ( ) ( ) = 3 Bezierova plocha v P,,,, m n j= 0 i= 0 m n j= 0 i= 0 m n j= 0 i= 0 m n j= 0 i= 0 ij ij in jm ij ij in jm ij ij in jm ij in jm X u v x x x x (, ) P u v = m n j= 0 i= 0 m n j= 0 i= 0 ( ) ( ) w P B u B v ij ij in jm ( ) ( ) w B u B v ij in jm

20 Kinematicky vytvořené plochy Plochy počítačové grafiky

21 Kružnice jako kvadratický NURBS Plochy počítačové grafiky Oblouk - Bezierova kvadrika 1. Délka úseků na tečnách musí být shodná. Vektor uzlových bodů [0,0,0,1,1,1] w0 =1 w 0 = 1 w 3 = Kružnice kvadratický NURBS 1. Řídící vrcholy jsou tvořeny vrcholy opsaného čtverce a středy stran w 4 = 1. Vektor uzlových bodů 0,0,0, ,,,,, ,1,1,1 w = 5 w = 1 w 6 = 1 w = w 1 0 = w8 = 1 w = 7

22 Válec jako Racionální Bezierova plocha ¼ Rotační válcové plochy. (, ) P u v = m n j= 0 i= 0 m n j= 0 i= 0 ( ) ( ) w P B u B v ij ij in jm ( ) ( ) w B u B v ij in jm [ ] V = r,0,0 w = V01 = [ r, r,0] w01 = V = 0, r,0 w = 1 [ ] [ ] 0 0 V = r,0, v w = V11 = [ r, r, v] w11 = V = 0, r, v w = 1 [ ] 1 1 r = 1, v = X ( u, v ) = ( v 4 v ) ( 1 + v ) ( 4 v + 3 v ) v,, 4 v + 6 v + 4 v 6 v 4 v + 6 v + 4 v 6 v u

23 Rotační plocha Je dán meridián plochy jako (Neracionální) Bezierova křivka v rovině (x,z). Řídící body P i =[x i,0,z i ] w = 1 w = 1 w = w = w = [ ] V = x,0, z w = 1 0i i i 0i V1 i = [ xi, xi, zi ] w1 i = V = 0, x, z w = 1 [ ] i i i i w = 1 w = 0.707

24 Anuloid jako Racionální Bezierova plocha 1/16 Anuloidu. w = 1 w = w = w = 0.5 [ ] V = 0, R, r w = V01 = [ 0, R + r, r] w01 = V = 0, R + r,0 w = 1 [ ] 0 0 V10 = [ R, R, r] w10 = V = R + r, R + r, r w = 0.5 [ ] w = 1 w = w = 1 w = [,,0] V = R + r R + r w = 1 1 [ ] V = R,0, r w = [ ] V1 = [ R + r,0, r] w1 = V = R + r,0,0 w = 1

25 Trojúhelníková síť Plochy počítačové grafiky

26 z Bezierův obdéln lníkový plát Plocha st. n.m je dána obdélníkovou sítí (n+1)(m+1) bodů P ij y Bezierův trojúheln helníkový plát Plocha stupně n=i+j+k je dána trojúhelníkovou sítí ½(n+1)(n+) bodů P ijk Ω [u 0,v 0 ] x z Barycentrické souřadnice u + v + w = 1 u 0, v 0, w 0, Ω [u 0,v 0, w 0 ] x y

27 Bezierův trojúhelníkový plát Plocha je dána trojúhelníkovou sítí ½(n+1)(n+) bodů P ijk stupeň plochy n=i+j+k Plát stupně 1 trojúhelník P 001, P 100, P 010 X ( u, v) P001 u ( P100 P001 ) v ( P010 P001 ) = vp010 + ( 1 u v) P001 + up100 (,, ) = + + ; + + = 1 = + + = X u v w up vp wp u v w

28 Bezierův trojúhelníkový plát Plochy počítačové grafiky

29

30 Bezierův trojúhelník-subdivision Plochy počítačové grafiky

31

32 Racionální Bezierův trojúhelník Plochy počítačové grafiky Je dána trojúhelníková siť P ijk. Každý řídící bod má svou váhu w ijk (,, ) P u v w = i+ j+ k = n n wijk Pijk B ijk i, j, k 0 i+ j+ k = n n wijk B ijk i, j, k 0 ( u, v, w) ( u, v, w)

33 BSpline Plochy počítačové grafiky

34 BSpline X ( u, v) = Plocha je určena: řídící sítí (m+1)x(n+1) bodů Stupněm k pro bázové polynomy parametru u Stupněm l pro bázové polynomy parametru v i= 1 j= 1 Uzlovými vektory parametrizace pro parametry u a v. m Plochy počítačové grafiky n P N ij i, k ( u) N ( v) j, l N i1 1 t ti, ti+ pro 0 jinde t t 1 i i+ k = Nik ( t) = Nik 1( t) + Ni+ 1, k 1( t) ti+ k 1 ti ti+ k ti+ 1 t t

35 Vlastnosti BSpline Lokalita změn Podmínka konvexního obalu Afinní invariance Plochy počítačové grafiky Interpolace okrajem hraniční křivky jsou B-spline křivky pro uzlové hodnoty parametrů U = (u0 =... = uk, uk+1,..., um, um+1 =... = um+k+1), V = (v0 =... = vl, vl+1,..., vn, vn+1 =... = vn+l+1)

36 Coonsův bikubický plát (uniformní B-spline plát) 1 (, ) = ( 0 ( ), 1 ( ), ( ), 3 ( )) ( 0 ( ), 1 ( ), ( ), 3 ( )) X u v C u C u C u C u U C v C v C v C v 36 U.mapa plochy U C i,.coonsovy polynomy U U U U U U U U = U0 U1 U U3 U U U U

37 NURBS Plochy počítačové grafiky

38 NURBS De Boorův algoritmus

39 Vytažení křivky jako NURBS Profilová NURBS křivka stupně k je dána řídícími body P i, i=0 n. Je dán vektor posunutí a. C( u) = Dva sloupce matice řídících bodů jsou dány původními řídícími body a body posunutými ve směru vektoru a. n i= 1 n i= 1 PN i w N i i, k i, k ( u) ( u) P P i0 i1 = Pi = P + a i X ( u, v) = n 1 i= 0 j= 0 n 1 i= 0 j= 0 ( ) ( ) w P N u N v i ij i, k j,1 ( ) ( ) w N u N v i i, k j,1

40 Přímkové plochy jako NURBS Jsou dány dvě NURBS křivky Sjednotíme stupeň a uzlové vektory obou křivek. Křivky se osadí novým uzlovým vektorem a sjednotí se tak, aby měly stejný počet řídicích bodů. Povrch se vytvoří za pomocířídicích bodů a uzlových vektorů obou křivek. Každá křivka se stává řádkem hodnot v matici řídicích bodů.

Plochy počítačové grafiky

Plochy počítačové grafiky II Iterpolačí plochy Bezierovy pláty ad obdélíkovou a trojúhelíkovou sítí Recioálí Bezierovy pláty B-splie NURBS Kostrukce a zadáí plochy hraičí křivky sítí bodů Kiematicky vytvořeé křivky rotačí plochy

Více

KMA/GPM Barycentrické souřadnice a

KMA/GPM Barycentrické souřadnice a KMA/GPM Barycentrické souřadnice a trojúhelníkové pláty František Ježek jezek@kma.zcu.cz Katedra matematiky Západočeské univerzity v Plzni, 2008 19. dubna 2009 1 Trojúhelníkové pláty obecně 2 Barycentrické

Více

FERGUSONOVA KUBIKA. ( u) ( ) ( ) X s X s. Kubický spline C 2 má dva stupně volnosti Q 1 Q 2

FERGUSONOVA KUBIKA. ( u) ( ) ( ) X s X s. Kubický spline C 2 má dva stupně volnosti Q 1 Q 2 FERGUSONOVA KUBIKA C F F F ( u) = Q F ( u) + Q F ( u) + Q F ( u) + Q F ( u), u F ( u) = u ( u) = u + ( u) = u u ( u) = u u u + u + u Q Q Q Q C napojení Fergusonových kubk Kubcký splne C má dva stupně volnost

Více

Aproximační křivky. Trocha historie. geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 1944 Roy Liming

Aproximační křivky. Trocha historie. geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 1944 Roy Liming Trocha historie geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 944 Roy Liming analytik, North American Aviation (výrobce letadel) společně s konstruktérem a designérem Edgardem Schmuedem matematizace

Více

Aproximační křivky. Trocha historie. geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 1944 Roy Liming

Aproximační křivky. Trocha historie. geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 1944 Roy Liming Trocha historie geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 944 Roy Liming analytik, North American Aviation (výrobce letadel) společně s konstruktérem a designérem Edgardem Schmuedem matematizace

Více

POČÍTAČOVÁ GRAFIKA - PGR 2012037 2014 2015 PROGRAM PŘEDNÁŠEK. Po 9:00-10:30, KN:A-214

POČÍTAČOVÁ GRAFIKA - PGR 2012037 2014 2015 PROGRAM PŘEDNÁŠEK. Po 9:00-10:30, KN:A-214 PROGRAM PŘEDNÁŠEK Po 9:00-10:30, KN:A-214 1P 16. 2. Křivky definice, analytické vyjádření. Bézierova křivka definice, vlastnosti, odvození Bernsteinových polynomů, de Castejlau algoritmus. 2P 23. 2. Spojitost

Více

Kristýna Bémová. 13. prosince 2007

Kristýna Bémová. 13. prosince 2007 Křivky v počítačové grafice Kristýna Bémová Univerzita Karlova v Praze 13. prosince 2007 Kristýna Bémová (MFF UK) Křivky v počítačové grafice 13. prosince 2007 1 / 36 Pojmy - křivky a jejich parametrické

Více

Základní vlastnosti ploch

Základní vlastnosti ploch plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie

Více

Rekonstrukce ploch: Polygonální a analytická reprezentace Vybrané metody aproximace ploch

Rekonstrukce ploch: Polygonální a analytická reprezentace Vybrané metody aproximace ploch Rekonstrukce ploch: Polygonální a analytická reprezentace Vybrané metody aproximace ploch Petra Surynková Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze petra.surynkova@mff.cuni.cz Přehled (1)

Více

Plochy zadané okrajovými křivkami

Plochy zadané okrajovými křivkami Plochy zadané okrajovými křivkami Lineární plát plocha je určena dvěma okrajovými křivkami, pokud by pro tyto křivky byly intervaly, v nichž leží hodnoty parametru, různé, provedeme lineární transformaci

Více

Bézierovy křivky Bohumír Bastl KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26

Bézierovy křivky Bohumír Bastl KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26 Bézierovy křivky Bohumír Bastl (bastl@kma.zcu.cz) KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26 Opakování Spline křivky opakování Bézierovy křivky GPM 2 / 26 Opakování Interpolace

Více

5. Plochy v počítačové grafice. (Bézier, Coons)

5. Plochy v počítačové grafice. (Bézier, Coons) 5. PLOCHY V POČÍAČOVÉ GRAFICE Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět popsat plochy používané v počítačové grafice řešit příklady z praxe, kdy jsou použity plochy Výklad Interpolační plochy - plochy,

Více

Křivky a plochy technické praxe

Křivky a plochy technické praxe Kapitola 7 Křivky a plochy technické praxe V technické praxi se setkáváme s tím, že potřebujeme křivky a plochy, které se dají libovolně upravovat a zároveň je jejich matematické vyjádření jednoduché.

Více

Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta

Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta 5. října 2016 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 5. října 2016 1 / 14 Obsah dnešní přednášky Co je to geometrické

Více

Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta

Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta 2. října 2018 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 2. října 2018 1 / 15 Obsah dnešní přednášky Co je to geometrické

Více

KŘIVKY A PLOCHY. Obrázky (popř. slajdy) převzaty od

KŘIVKY A PLOCHY. Obrázky (popř. slajdy) převzaty od KŘIVKY A PLOCHY JANA ŠTANCLOVÁ jana.stanclova@ruk.cuni.cz Obrázky (popř. slajdy) převzaty od RNDr. Josef Pelikán, CSc., KSVI MFF UK Obsah matematický popis křivek a ploch křivky v rovině implicitní tvar

Více

Jana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU

Jana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU Počítačová grafika Křivky Jana Dannhoferová (jana.dannhoferova@mendelu.cz) Ústav informatiky, PEF MZLU Základní vlastnosti křivek křivka soustava parametrů nějaké rovnice, která je posléze generativně

Více

3. SB 3. SC. Kružnice nemá s úběžnicí žádný společný bod. Obraz nemá žádný nevlastní bod. Tímto obrazem je křivka zvaná elipsa.

3. SB 3. SC. Kružnice nemá s úběžnicí žádný společný bod. Obraz nemá žádný nevlastní bod. Tímto obrazem je křivka zvaná elipsa. Kružnice ve středové kolineaci v rovině. I AB o. IA ' 3. SB 4. B' SB IA'. II AC o. IIA ' 3. SC 4. C' SC IIA' Kružnice ve středové kolineaci v rovině Kružnice nemá s úběžnicí žádný společný bod. Obraz nemá

Více

Diferenciáln. lní geometrie ploch

Diferenciáln. lní geometrie ploch Diferenciáln lní geometrie ploch Vjádřen ení ploch Eplicitní: z = f(,) ; [,] Ω z Implicitní: F(,,z)=0 + + z = r z = sin 0, π ; 0,1 Implicitní ploch bloob objects,, meta balls Izoploch: F(,,z)=konst. Implicitní

Více

Subdivision křivky a plochy

Subdivision křivky a plochy Subdivision křivky a plochy KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie + KMA/GM1 Geometrické modelování 1 Subdivision křivky a plochy ITG 1 / 46 Plochy volného tvaru opakování Plochy volného

Více

15. listopadu Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta. Hermitovská interpolace

15. listopadu Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta. Hermitovská interpolace Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta Hermitovská interpolace 15. listopadu 2017 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 15. listopadu 2017 1 / 23 Hermiteovská

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Funkce dvou proměnných

Funkce dvou proměnných Funkce dvou proměnných Funkce dvou proměnných harmonická vlna Postupné příčné vlnění T=2, = 2 ( t, ) Asin t 2 Asin t T v t Asin 2 T Počátek koná harmonický pohb, ten se šíří dál řadou oscilátorů ve směru

Více

NURBS REPREZENTACE KŘIVEK V MAPLE

NURBS REPREZENTACE KŘIVEK V MAPLE 25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Karolína Kundrátová NURBS REPREZENTACE KŘIVEK V MAPLE Abstrakt Parametrizace křivek jako NURBS (tj. neuniformní racionální B-spliny) patří k moderním postupům

Více

Základní topologické pojmy:

Základní topologické pojmy: Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński

Více

9.1 Definice a rovnice kuželoseček

9.1 Definice a rovnice kuželoseček 9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,

Více

Křivky a plochy I. Petr Felkel. Katedra počítačové grafiky a interakce, ČVUT FEL místnost KN:E-413 na Karlově náměstí

Křivky a plochy I. Petr Felkel. Katedra počítačové grafiky a interakce, ČVUT FEL místnost KN:E-413 na Karlově náměstí Křivky a plochy I Petr Felkel Katedra počítačové grafiky a interakce, ČVUT FEL místnost KN:E-413 na Karlově náměstí E-mail: felkel@fel.cvut.cz S použitím materiálů Bohuslava Hudce, Jaroslava Sloupa Poslední

Více

Další plochy technické praxe

Další plochy technické praxe Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch

Více

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: 8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy

Více

Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33

Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33 Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33 Motivace Motivace 3-osé obrábění motivaci k zavedení offsetů je možné hledat v obrábění. 3-osé obrábění je obrábění frézou,

Více

Výpočet průsečíků paprsku se scénou

Výpočet průsečíků paprsku se scénou Výpočet průsečíků paprsku se scénou 1996-2018 Josef Pelikán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cuni.cz http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/ Intersection 2018 Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca 1 / 26 Průsečík

Více

Obsah a průběh zkoušky 1PG

Obsah a průběh zkoušky 1PG Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dvě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha výpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV POČÍTAČOVÉ GRAFIKY A MULTIMÉDIÍ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER GRAPHICS AND

Více

Výpočet průsečíků paprsku se scénou

Výpočet průsečíků paprsku se scénou Výpočet průsečíků paprsku se scénou 1996-2008 Josef Pelikán, MFF UK Praha http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca/ Josef.Pelikan@mff.cuni.cz NPGR004, intersection.pdf 2008 Josef Pelikán, http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca

Více

Rekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce

Rekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce Rekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce Petra Surynková Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze petra.surynkova@mff.cuni.cz Přehled (1) Princip rekonstrukce ploch technické

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Křivky a plochy. Pavel Strachota. FJFI ČVUT v Praze

Křivky a plochy. Pavel Strachota. FJFI ČVUT v Praze Křivky a plochy Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 5. března 2015 Obsah 1 Parametrické křivky 2 Parametrické bikubické povrchy 3 Implicitní povrchy 4 Dělené křivky 5 Dělené povrchy Úvod potřeba popsat a

Více

Rhino - základní příkazy

Rhino - základní příkazy Rhino - základní příkazy Příkazy - volíme z hlavní nabídky levým tlačítkem myši - ikonou z nástrojové lišty levým (LTM)/pravým(PTM) tlačítkem myši Příkaz ukončíme pravým tlačítkem myši (Enter) nebo klávesou

Více

Počítačová grafika RHINOCEROS

Počítačová grafika RHINOCEROS Počítačová grafika RHINOCEROS Ing. Zuzana Benáková Základní otázkou grafických programů je způsob zobrazení určitého tvaru. Existují dva základní způsoby prezentace 3D modelů v počítači. První využívá

Více

Zobrazování 2D Nadpis křivek 2 Nadpis 3

Zobrazování 2D Nadpis křivek 2 Nadpis 3 IZG Nadpis Lab 04 1 Zobrazování 2D Nadpis křivek 2 Nadpis 3 Pavel Jméno Svoboda Příjmení Vysoké Vysoké učení technické učení technické v Brně, v Fakulta Brně, Fakulta informačních informačních technologií

Více

Přehled. Motivace Úvod. Křivky a plochy počítačové grafiky. Závěr. Rozvoj počítačové grafiky Výpočetní geometrie

Přehled. Motivace Úvod. Křivky a plochy počítačové grafiky. Závěr. Rozvoj počítačové grafiky Výpočetní geometrie Vývoj výpočetní geometrie Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz Přehled Motivace Úvod Rozvoj počítačové grafiky Výpočetní geometrie Křivky a plochy počítačové

Více

HVrchlík DVrchlík. Anuloid Hrana 3D síť

HVrchlík DVrchlík. Anuloid Hrana 3D síť TVORBA PLOCH Plochy mají oproti 3D drátovým modelům velkou výhodu, pro snadnější vizualizaci modelů můžeme skrýt zadní plochy a vytvořit stínované obrázky. Plochy dále umožňují vytvoření neobvyklých tvarů.

Více

Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020

Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 Zbyněk Šír Matematický ústav UK Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 1 / 18 O čem předmět bude Chceme podat teoretický základ nezbytný

Více

PROSTORU MODELLING OF NURBS CURVES AND SURFACES IN THE PROJECTIVE SPACE

PROSTORU MODELLING OF NURBS CURVES AND SURFACES IN THE PROJECTIVE SPACE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNíHO INŽENÝRSTVí ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS MODELOVÁNÍ NURBS KŘIVEK A PLOCH V PROJEKTIVNÍM

Více

Matematika pro real-time grafiku

Matematika pro real-time grafiku Matematika pro real-time grafiku 2005-2011 Josef Pelikán, MFF UK Praha http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/ pepca@cgg.mff.cuni.cz NPGR019, hwmath.pdf 2011 Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca 1 / 59

Více

Klasické třídy ploch

Klasické třídy ploch Klasické třídy ploch Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Klasické třídy ploch klasické plochy jsou často generovány kinematicky, a to pohybem tvořicí křivky takto např. vznikají

Více

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

Metamorfóza obrázků Josef Pelikán CGG MFF UK Praha

Metamorfóza obrázků Josef Pelikán CGG MFF UK Praha Metamorfóza obrázků 1998-2011 Josef Pelikán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cuni.cz http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/ Morphing 2011 Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca 1 / 21 Metamorfóza obrázků -

Více

TEORIE TVAROVÝCH PLOCH

TEORIE TVAROVÝCH PLOCH TEORIE TVAROVÝCH PLOCH Ing. Ivana LINKEOVÁ, Ph.D. KN:B 216 Ústav technické matematiky VUT v Praze Fakulta strojní www.linkeova linkeova.cz e-mail: Ivana.Linkeova Linkeova@fs.cvut.czcz MODELY TVAROVÝCH

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

SROVNÁNÍ KVALITATIVNÍCH VLASTNOSTÍ INTERPOLAČNÍCH NURBS KŘIVEK

SROVNÁNÍ KVALITATIVNÍCH VLASTNOSTÍ INTERPOLAČNÍCH NURBS KŘIVEK VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS SROVNÁNÍ KVALITATIVNÍCH VLASTNOSTÍ

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.

Více

Příklady otázek PB009/jaro 2015

Příklady otázek PB009/jaro 2015 Příklady otázek PB009/jaro 2015 Upozornění: Otázky mohou být formulovány jinými slovy, požadovat vysvětlení problému obrázkem, nebo naopak komentování daného obrázku. Nelze spoléhat na prosté opsání odpovědí

Více

Analytická geometrie v E 3 - kvadriky

Analytická geometrie v E 3 - kvadriky Analtická geometrie v E 3 - kvadrik ROVNICE KVADRIKY ( v ákladní a posunuté poloe) Kvadrik v ákladní poloe - střed nebo vrchol leží v počátku ( vi příloha na konci) Posunutí v rovnici nahradíme všechn

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

Interpolace pomocí splajnu

Interpolace pomocí splajnu Interpolace pomocí splajnu Interpolace pomocí splajnu Připomenutí U interpolace požadujeme, aby graf aproximující funkce procházel všemi uzlovými body. Interpolační polynom aproximující funkce je polynom

Více

Použití splinů pro popis tvarové křivky kmene

Použití splinů pro popis tvarové křivky kmene NAZV QI102A079: Výzkum biomasy listnatých dřevin Česká zemědělská univerzita v Praze Fakulta lesnická a dřevařská 9. února 2011 Cíl práce Cíl projektu: Vytvořit a ověřit metodiku pro sestavení lokálního

Více

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří

Více

2 OBSAH. Literatura 162

2 OBSAH. Literatura 162 Leč právě naše století, které bez slova věda ani zívnout neumí, mě přesvědčilo, že z ničeho se nedá a nemá dělat věda. Ani z vědy. Jan Werich Poděkování: Ráda bych poděkovala svému školiteli doc. PaedDr.

Více

modelovani_ploch.pdf - návod k vypracování 2.sam. práce a vzor vyplnění formuláře ( přineste na 5.cvičení)

modelovani_ploch.pdf - návod k vypracování 2.sam. práce a vzor vyplnění formuláře ( přineste na 5.cvičení) oznámky k zaslaným souborům na 5.cvičení modelovani_ploch.pdf - návod k vypracování.sam. práce a vzor vyplnění formuláře ( přineste na 5.cvičení) sp_plochy.pdf - kompletní zadání S Soubory programu Rhina

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

Linearní algebra příklady

Linearní algebra příklady Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0;

Více

Konstruktivní geometrie

Konstruktivní geometrie Mgr. Miroslava Tihlaříková, Ph.D. Konstruktivní geometrie & technické kreslení Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Konstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU

Konstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Konstruktivní geometrie & technické kreslení PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného

Více

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce 1) Šroubový pohyb ŠROUBOVICE Šroubový pohyb vznikne složením dvou pohybů : otočení kolem dané osy o a posunutí ve směru této osy. Velikost posunutí je přitom přímo úměrná otočení. Konstantou této přímé

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Matematika pro real-time grafiku

Matematika pro real-time grafiku Matematika pro real-time grafiku 2005-2010 Josef Pelikán, MFF UK Praha http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/ pepca@cgg.mff.cuni.cz NPGR019, hwmath.pdf 2010 Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca 1 Obsah

Více

Fergusnova kubika, která je definována pomocí bodu P1, vektoru P1P2, bodu P3 a vektoru P3P4

Fergusnova kubika, která je definována pomocí bodu P1, vektoru P1P2, bodu P3 a vektoru P3P4 Která barva nepatří do základních barev prostoru RGB? a. Černá b. Zelená c. Modrá d. Červená Úloha 2 Jakým minimálním počtem bodů je jednoznačně určena interpolační křivka 5. řádu? a. 6 b. 3 c. 5 d. 7

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Kinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb

Kinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Kinematika tuhého tělesa Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Úvod Tuhé těleso - definice všechny body tělesa mají stálé vzájemné vzdálenosti těleso se nedeformuje, nemění tvar počet

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Obsah. Předmluva 1. Úvod do studia 3 Komu je tato kniha určena 4 Co byste měli předem znát 4 Co se naučíte v učebnici AutoCADu? 5

Obsah. Předmluva 1. Úvod do studia 3 Komu je tato kniha určena 4 Co byste měli předem znát 4 Co se naučíte v učebnici AutoCADu? 5 Obsah Předmluva 1 KAPITOLA 1 Úvod do studia 3 Komu je tato kniha určena 4 Co byste měli předem znát 4 Co se naučíte v učebnici AutoCADu? 5 CA technologie 6 Product Lifecycle Management 7 Aplikační programy

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Zobrazování těles. problematika geometrického modelování. základní typy modelů. datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování

Zobrazování těles. problematika geometrického modelování. základní typy modelů. datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování problematika geometrického modelování manifold, Eulerova rovnost základní typy modelů hranový model stěnový model objemový model datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování těleso

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

SurfCAM. Modelování ploch

SurfCAM. Modelování ploch SurfCAM Modelování ploch Modelování Ploch 1. Úvod Pro dokonalé obrobení načteného modelu obrobku z různých CAD systémů je mnohdy nutné vytvořit pomocné a doplňující plochy na tomto modelu. V SURFCAMu je

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2

Více

Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1

Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Název: Téma: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Pokročilé metody parametrického modelování Modelování

Více

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální

Více

Zobecněné klínové plochy

Zobecněné klínové plochy Zobecněné klínové plochy Mgr. Jana Vecková Fakulta stavební, ČVUT v Praze Tato práce byla inspirována články Václava Havla [1] - [3] a prací studentů [4]. Moji snahou bylo zobecnit klasické pojetí klínových

Více

Zborcené plochy. Lenka Macálková Lenka (Brkos 2011) Brkosí prezentace / 16

Zborcené plochy. Lenka Macálková Lenka (Brkos 2011) Brkosí prezentace / 16 Zborcené plochy Lenka Macálková Hutník 2011 28.8.-3.9.2011 Lenka (Brkos 2011) Brkosí prezentace 28.8.-3.9.2011 1 / 16 Úvod Plocha je tvořená spojitým pohybem křivky Jedno z možných dělení: přímkové vs.

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

Voronoiův diagram. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Voronoiův diagram. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta 12 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info Definice V( P) nad množinou bodů P { p v rovině 1,

Více

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)

Více

Diplomová práce Prostředí pro programování pohybu manipulátorů

Diplomová práce Prostředí pro programování pohybu manipulátorů Diplomová práce Prostředí pro programování pohybu manipulátorů Štěpán Ulman 1 Úvod Motivace: Potřeba plánovače prostorové trajektorie pro výukové účely - TeachRobot Vstup: Zadávání geometrických a kinematických

Více

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha. Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

VE 2D A 3D. Radek Výrut. Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského sumy

VE 2D A 3D. Radek Výrut. Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského sumy 25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Radek Výrut VÝPOČET MINKOWSKÉHO SUMY VE 2D A 3D Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského

Více

Smysl otáčení. Aplikace. Pravotočivá

Smysl otáčení. Aplikace. Pravotočivá Šroubovice Definice Šroubovice je křivka generovaná bodem A, který se otáčí kolem dané přímky o a zároveň se posouvá podél této přímky, oboje rovnoměrnou rychlostí. Pohyb bodu A šroubový pohyb Přímka o

Více

B-spline a racionální B-spline křivky

B-spline a racionální B-spline křivky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Viktor Šíp B-spline a racionální B-spline křivky Katedra numerické matematiky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Karel Najzar,

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y

Více