1 Seznámení s relacemi

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Seznámení s relacemi"

Transkript

1 O relacích Pavel Klavík stručný tetík ke cvičení diskrétní matematik V tomto tetu si kusíme přiblížit, jak fungují relace. Zaměříme se například na jejich skládání, kterému není například v Kapitolách diskrétní matematik věnováno tolik prostoru, kolik b si asloužilo. Relace jsou ákladním konceptem, který je při studiu matematik velice důležité pochopit. V ávěru tetu také míníme několik hlubších věcí týkajících se ekvivalencí, v souvislostí s akcí grup na množině. Jako žádný tet ani tento není be chb. Pokud nějakou objevíte, napište mi prosím na Rád bch de poděkoval Martině Vaváčkové, Lukáši Machovi a Dušanu Knopovi a četné připomínk k tomuto tetu. 1 Senámení s relacemi Definice relace. Relace se definuje jako podmnožina kartéského součinu dvou nosných množin X a Y.Tedrelacejemnožinaněkterýchdvojic (, ),kde Xa Y říkáme,žetakovédvojice jsou v relaci. Příklad1.1. Nechť X jemnožinaženay jemnožinamužů.příklademrelaceeživotamůžebýt relace býtvmanželství,tedmnožinadvojic (, ),žežena amuž jsoumanželé. Prorelaci Rseněkd (, ) Rnačíjako R.Tomávýhoduejménaprorelacejako <. Jevkemspíšeapisovat 1 < 3než (1, 3) <. Relace se dají náorňovat grafem. Množinu X nakreslíme na jednu stranu, množinu Y na druhoustranu.dvojice (, ),kteréjsouvrelaci,spojímešipkoudo.napříkladgrafickénáornění výše uvedené relace nalenete na obráku 1. X Y Obráek 1: Jak vpadá relace být v manželství náorněná grafem. Častosepoužívajírelace,prokteréjsouoběnosnémnožinstejné,tedpodmnožin X X = X 2.Tpopisujívtahmeiněkterýmidvojicemiprvkůnamnožině X.Takovýmrelacímbudeme říkat,žejsounamnožině X. Příklad 1.2. Uvažme relaci na množině {1, 2, 3, 4}. Tato relace je následující podmnožina dvojic: { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4) }. Eistují další dva působ, jak grafick náorňovat relace na množině X. První působ je grafem. Jednotlivé prvk budeme repreentovat puntík(těm se říká vrchol) a pokud dvojice (, ) jevrelaci,spojíme šipkous.zdejedůležité,žešipkamáorientaci.šipkám,kterévedoudo,seříkásmčk.druhýpůsobjematicí,kdepolíčkosinde i, jvýraníme,právěkdž (i, j)leží v relaci. Obě náornění pro relaci výše uvedeného příkladu jsou na obráku 2. 1

2 Obráek2:Znáorněnírelace namnožině {1, 2, 3, 4}grafemamaticí. Jakbruvidíme,každétěchtonáorněnímásvojevýhodinevýhod.Protosevždhodí uvažovat to, které je pro daný problém nejpříhodnější. Vlastnosti relací. Eistuje několik vlastností, které jsou natolik důležité, že dostal vláštní jméno. Všimnětesi,žettovlastnostimajísmsljenomprorelacenamnožině.Říkáme,žerelace Rna množině Xje refleivní,pokud X : (, ) R, antirefleivní,pokudnaopak X : (, ) / R, smetrická,pokud, X : (, ) R = (, ) R,a tranitivní,pokud,, X : (, ) R (, ) R = (, ) R. Zda relace splňuje tto vlastnosti, le snadno nahlédnout ve náornění grafem či matici. Relace je refleivní, pokud má u každého vrcholu smčku, naopak je antirefleivní, pokud nemá u žádného vrcholu smčku. Například relace na obráku 2 je refleivní. V matici jsou smčk repreentované políčk na diagonále. Pokud je relace refleivní, je celá diagonála výraněna. Naopak antirefleivní relace nemá na diagonále výraněné vůbec nic. Relacejesmetrická,pokudkekaždéšipcedo eistujeišipkaopačná.zdesimůžeme všimnout, že smčk to splňují automatick. V maticovém ápisu smetrické relace odpovídají maticím, které jsou smetrické podle vnačené diagonál. Například relace na obráku 2 smetrická není, neboť třeba šipka 1 do 2 nemá šipku opačnou. Tranitivitajedobřevidětvenáorněnígrafem.Říká,žepokudjdoušipkdo a do,potomeistujeipřímášipkado.takževgrafurelacemámekratk.jesnadnéindukcí nahlédnout, že pokud mei libovolnými dvěma vrchol a eistuje posloupnost šipek(říkejme jí cesta),potomvtranitivnírelacieistujeipřímášipkado. Ikdžsevdefinicitranitivitvsktujítřiprvk, a,neplatí,žebmuselbýtrůné. Například pokud máme dvojice (, ) a (, ) v relaci, potom tranitivita říká, že také smčk (, ) a (, ) jsou v relaci. Uvažme relaci nad jednoprvkovou množinou {} tvořenou jedinou dvojicí (, ). Zkuste ověřit, že tato triviální relace je refleivní, smetrická a tranitivní. Druhým etrémním příkladem je prádná relace, která neobsahuje ani jednu dvojici. Taková relace je vžd antirefleivní, smetrická a tranitivní. Příklad 1.3. Uvažme relaci na množině {,, } definovanou následujícím grafem. Je tato relace refleivní, antirefleivní, smetrická nebo tranitivní? Řešení. Relace jevně není ani refleivní, ani antirefleivní, obsahuje totiž přesně jednu smčku u vrcholu. Relace není smetrická, neboť (, ) leží v relaci, ale (, ) v relaci neleží. Relace dokonce není ani tranitivní, i kdž to na první pohled nemusí být patrné. Obsahuje totiž dvě opačné šipk (, )a(, ).Zdefinicetranitivitdostaneme,žei(, )a(, )bmuselležetvrelaci.uvrcholu jesmčka,aleuvrcholu jineobjevíme. 2

3 Příklad1.4.Uvažmerelaci Rnamnožině R.Dvojice (, ) R,pokud Jak vpadá tato relace? Je refleivní, antirefleivní, smetrická nebo tranitivní? Řešení. Prvk této relace jsou uspořádané dvojice reálných čísel, le je ted geometrick obrait jako bod v rovině. Všechn bod ležící v relaci R odpovídají kruhu o poloměru 1 se středem v počátku, vi obráek 3. 1 (2,2) Obráek3:Všechnbod (, )splňujících Pokudbrelace Rmělabýtrefleivní,muselabobsahovatkaždýbod (, ).Ttobodtvoří přímku =, vnačenou čárkovaně na obráku. Avšak celá přímka rohodně v relaci R neleží, například (2, 2) / R, ted relace R není refleivní. Podobně relace není antirefleivní. Smetrieříká,žeprokaždé (, ) Rtaké (, ) R.Zjevně,pokud ,komutativit téžplatí Geometricksmetrieříká,žerelace Rjesmetrickápodlevnačenépřímk =. S tranitivitou nám obráek bohužel moc nepomůže. Naštěstí snadno objevíme protipříklad, (1, 0)a(0, 1)ležívrelaci R,ale (1, 1)neleží.Relacetednenítranitivní. Připomíná vám toto geometrické uvažování vlastnosti, které má náornění maticí? Toto není náhoda, protože bod rovin si můžeme představit jako nekonečnou matici, která je nekonečně jemná. Vnačená přímka = je diagonálou této matice. Na ávěr si ukážeme jedno na první pohled překvapivé tvrení s poučným důkaem: Tvrení 1.5. Pokud relace R na množině X je antirefleivní a tranitivní, je také silně antismetrická, ted, Xplatí,že (, ) R = (, ) / R. Důka. Toto je tpický příklad tvrení, k jehož dokáání si stačí uvědomit, co namenají jednotlivé vlastnosti. Tvrení dokážeme sporem. Předpokládejme, že R je antirefleivní a tranitivní relace a prosporeistuje, X,že (, ) Ra(, ) R.Ztranitivitvíme,žetaké (, ) R.Toje ale smčka, a ted relace R nemůže být antirefleivní dostáváme spor. Všimnětesi,ževdůkaunepotřebujemevědět,že.Samořejmědůkabšelrodělitna dvěmožnosti,pro = apro.pokud =,hneddostávámespor,žerelaceneníantirefleivní. Výšeuvedenýdůkaovšemfungujevoboupřípadech.Pokud =,složímesmčku (, )dvakráta dostaneme smčku (, ) stejně jako předtím. Obecně platí, že čím méně možností musíme v důkau roebrat, tím je menší šance, že budeme mít nějaký krok chbně. Například velice snadno se může stát, že na některou možností apomeneme. 2 Skládání relací Definiceskládání.Mějmedvěrelace Rna X Y a Sna Y Z.Relace Rsloženo S,kterásenačí S R, 1 jenásledujícírelacena X Z: { (, ) Y : (, ) R (, ) S }. 1 Abmatkůneblomálo,někdseskládánírelacíapisujetakéobráceně,jako R S.Paradoněproobraení, cožjespeciálnípřípadrelací,sepoužíváopačnáforma, fsloženosgseapisuje g f.totojepravděpodobnějeden 3

4 Co definice namená, je nejlépe pochopitelné následujícího obráku. Relace R a S položíme vedlesebe.dvojice (, )jevrelaci S R,právěkdžeistujecestičkado vužívajícípoue šipekras.takovácestanejprvemusívužítšipkudonějakého Y,kterámusíležetvrelaci R.Poténanímusívrelaci Snavaovatšipkado.Jevidět,pročrelace Rmusíbýtdefinována na X Y arelace Sna Y Z,jinakbnasebetotižrelacenepasovalasloženíbneblomožné. R S S R X Y Z X Z Obráek4:Pokudsložímerelaci Rsrelací S,šipkvedoupřímoXdo Z. Pokud skládáme dvě relace na množině X, le výsledek složení včíst přímo grafu. To odpovídátomu,ževgrafumámedvadruhšipek,šipkrelace Rašipkrelace S.Vesloženísepotom budou vsktovat t šipk, které odpovídají cestičkám délk dva použijeme nejprve šipku R a naninavaujícíšipkus.naobráku5jsourelace RaSnanačenpropřehlednostvlášť.Navíc tento obráek ilustruje veledůležitý fakt, že skládání relací není komutativní, ted obecně neplatí, že b S R = R S.Zkusteobjevitconejmenšíanejjednoduššíprotipříklad. = = Obráek5:Relace RaSnamnožině {,, }lesložitdvěmapůsob,vždsjinýmvýsledkem. Mocnění relací. Speciální příklad skládání je umocňování relace na množině. Nechť R je relace na množině X.Definujme R 1 = Rainduktivně R n+1 = R R n.ukažmesi,jakvpadáumocňovánína příkladu, který se bude v dalším koumání skládání relací ještě hodit. Příklad2.1. Nechť R = (N, <)as= (N, ),kde <a načíběžnáuspořádánípřiroenýchčísel. Jakvpadá R n a S n? Řešení. Začneme s relací R. Přiroené číslo je v relaci s každým větším přiroeným číslem. Ted šipkvedoudonásledujícíhopřiroenéhočíslaavšechvětších.abdvojice (, )leželavr n,musí být propojenospomocí nnavaujícíchšipek.tojdeprávětehd,pokud n. Urelace Ssinejprvevšimněme,žepokud (, ) / S,neležíanivlibovolnéjejímocnině.Proč? Protože, pokud (a, b) S, platí a b. Ted žádná šipka nevede doleva v uspořádání přiroených číselpodlevelikosti.prototamnemůževéstanisložení nšipek.nadruhoustranupokud (, ) S, (, )ležíivlibovolnémocnině S n.stačísložit (n 1)-krátsmčku (, )sšipkou (, ).Tedplatí S = S n prokaždoumocninu S n. Můžemesivšimnout,žepokudjemnožina X nekonečná,potommohoubýtprorelacina X každé dvě mocnin odlišné relace například pro relaci R. Následující tvrení ukauje, že pro konečnou množinu X to není možné. historických neduhů matematik, neboť kdsi bl relace a funkce cela odlišné pojm s jiným načení. V moderní matematice se propojil, ale historické načení ůstalo. V tomto tetu si podobné matk odpustíme a skládání relací iobraeníbudemenačitstejně,ted S R.Čtenářbsimělvítpoučení,žekdkolivsevnějakémtetusetkáse skládáním, měl b si dát poor, které pořadí si autoři volili. Naštěstí taková věc se velice snadno poná. 4

5 Tvrení2.2. Nechť Rjerelacenakonečnémnožině X.Potomeistujídvěmocnin R r a R s,že r sar r = R s. Důka. Na problém půjdeme od lesa. Položíme si na první pohled nesouvisející otáku: Kolik eistuje růnýchrelacínamnožině X?Prokaždoudvojici (, ),kde, X,simůžemevbrat,davrelaci bude,činikoliv.každouvolbouískámejinourelaci.protocelkemeistuje 2 X 2 růnýchrelacína množině X. Pokuduvážíme 2 X 2 + 1mocninrelace R,potompodleDirichletovaprincipumusíeistovat dvě stejné mocnin. Ponamenejme na ávěr, že takto ískaný odhad je btečně velký, ve skutečnosti se budou mocnin opakovat mnohem dříve. Relace S příkladu 2.1 je vláštní tím, že umocňování ji nemění. Platí pro ni totiž následující: Tvrení2.3.Pokudrelace Rnamnožině Xjerefleivní,potom R R n prokaždé n N. Důka.Stačíukáat,žekdkoliv (, ) R,také (, ) R n.protožerelace Rjerefleivní, (, ) R.Protosložíme (n 1)-krátsmčkusšipkou (, )adostáváme,že (, ) R n. Tvrení2.4.Pokudrelace Rnamnožině Xjetranitivní,potom R n Rprokaždé n N. Důka.Stačíukáat,žekdkoliv (, ) R n,také (, ) R.Ab (, ) R n,musíeistovat 0, 1,..., n X,že ( i, i+1 ) Rprokaždé i {0, 1,..., n 1},anavíc 0 = a n =. 2 Situace je nanačena na obráku 6. = = Obráek 6: Tranitivita na cestě do aručuje kratk. Víme,žerelace Rjetranitivní.Ted ( 0, 1 ) Ra( 1, 2 ) Raručuje,žetaké ( 0, 2 ) R. Dále ( 0, 2 ) Rspolus( 2, 3 ) Rimplikuje,že ( 0, 3 ) R.Pokudpodobněaplikujemeindukci, jistíme,že ( 0, i ) Rprokaždé i {1,...,n}.Vneposlednířaděted ( 0, n ) R,neboli (, ) R,cožjsmechtělidokáat. Obě tvrení dohromad dávají následující důsledek, který například relace S příkladu 2.1 splňuje: Důsledek2.5. Pokudrelace Rnamnožině Xjerefleivníatranitivní,potom R = R n prokaždé n N. 3 Zobraení Definice obraení. Speciálním druhem relací jsou obraení. Zobraení f je relace na X Y taková, žeprokaždé X eistujeprávějedno Y,že (, ) f.jinýmislov,každéhoprvku množin Xvedeprávějednašipkadomnožin Y.Protožepropevné je takové,že (, ) f, určenéjednonačně,někdsetoto onačuje f().říkáse,že f jeobraeníx do Y,cožse načí f : X Y.Ponamenejme,žeproobraeníseněkdpoužíváipojemfunkce,historick bl termín funkce reervován pro obraení do reálných nebo kompleních čísel. Pro nás budou oba pojm totožné. Skládání obraení funguje úplně stejně jako skládání relací obecně. Na druhou stranu jejich skládání má specifické vlastnosti, nichž některé si v této kapitole předvedeme. 2 Na 0,..., nneklademežádnédalšípožadavk,napříkladrohodněneplatí,žebmuselbýtpodvourůné. 5

6 Tvrení3.1. Nechť f a gjsoulibovolnáobraení, f : X Y, g : Y Z.Potom g f jetaké obraení. Důka.Víme,že g fjerelacena X Z.Potřebujemeukáat,žejeobraením.Nechť (, ) g f. Uvažme,pročvedešipkavg f do.musíeistovat Y,že (, ) fa (, ) g.protože ale fjeobraení,jetakové určenéjednonačnějako f().protože gjeobraení, jednonačně určuje jako g().tedkaždého vcháípřesnějednašipkado g(f())ag fjeobraení. Vlastnosti obraení. Zobraení může mít jednu následujících tří vlastností. Říkáme, že obraení f : X Y je prosté(injektivní),pokud 1, 2 X : f( 1 ) = f( 2 ) = 1 = 2, na(surjektivní),pokud Y X,že f() =,a bijektivní, pokud je ároveň prosté a na. Jinýmislov,obraeníjeprosté,pokuddokaždéhoprvku Y vedenejvýšejednašipka,ajena, pokud do každého vede alespoň jedna šipka. Tvrení3.2. Nechť fjeobraeníxdo X,kde Xjekonečnámnožina.Totoobraeníjeprosté, právěkdžjena. Důka.Pokudje fprosté,dokaždého Xvedenejvýšejednašipka.Protožealešipekjestejně jakoprvkůvx,vededokaždéhonichprávějednašipka. 3 Teddokaždého Xvedealespoň jednašipkaafjeobraenína.druháimplikaceseukážepodobně. Naopak pokud je X nekonečná množina, tvrení neplatí. Uvažme například obraení f : N Nag: N Ndefinované f : 2ag: 2.4 Zobraení fjeprosté,alenenína.naopak gje na, ale není prosté. Velicedůležitéobraeníidentitaid : X Xjedefinovanétakto: X :id() =.Identita jeneutrálníobraenínaskládání ted fplatí f id = faid f = f,pokudsloženídávajísmsl. Výšeuvedenáobraení f a gjsouskoroinverní.složenímjednéstranjako g f dostaneme identitu. Při složení opačném však identitu nedostaneme. K amšlení: Jak vpadá f g? Na ávěr si ukážeme, jaký vliv má skládání obraení na jejich vlastnosti. Tvrení3.3.Nechť f : X Y a g : Y Zjsouprostáobraení.Potomiobraení g fjeprosté. Důka.Předpokládejmeprospor,žebeistovala 1, 2 Xa Z,že 1 2, ( 1, ) g f a ( 2, ) g f.tedeistují 1 a 2 (navícurčenéjednonačně),že ( i, i ) fa ( i, ) gpro i {1, 2},jinakbšipk ( 1, )a( 2, )neblvesložení g f.protože f jeprosté,nemůžebýt 1 = 2,jinakbdo 1 = 2 vedldvěšipkf.také gjeprosté,atednemůžebýt 1 2,jinak bdvěšipkvedldo.ttodvěmožnostijsounanačennaobráku7.dostávámespor,ated g fjeprosté. Jepřiroenéseptát,daplatíopačnétvrení,teddaprostéobraení g fříká,žebifa g bla prostá obraení. Tvrení3.4.Nechť f : X Y a g : Y Zjsouobraeníag fjeprosté.potomifjeprosté. Důka.Dokážemesporem.Pokudobraení fneníprosté,eistují 1, 2 X,že 1 2 a f( 1 ) = f( 2 ) =.Aleobraení gobraí na g() =.Tedvesloženídostanemešipk ( 1, )a( 2, )a obraení g fneníprosté.tojehledanýspor. Naprvnípohledsemůžedát,ževýšeuvedenýdůkalesnadnoupravitadokáat,žeig musí být prosté. Takový postup je však odsouený selhat, neboť tvrení pro g neplatí. Vvrací ho napříkladprotipříkladnaobráku8, g fjejevněprosté,ale gnení. 3 Proč?Pokudbdonějakéhoprvkušipkanevedla,mělibchom X šipek,kterévedoudo X 1prvků.Ted podle Dirichletova principu b do jednoho nich vedl alespoň dvě šipk, což nejde. 4 Tentoápisvpřípadě fříká: N : f() = 2. 6

7 1 f 1 = 2 g 1 f 1 2 g X Y Z X Y Z Obráek7:Dvěsituacevdůkau,nichžanijednanemůženastat. X f 1 2 g Z Y Obráek8:Protipříklad,funkce gneníprostá,ale g fprostáje. Protipříkladpřesněukauje,kdejeproblém.Pokudobraení gneníprosté,eistují 1, 2 Y a Z,že 1 2, ( 1, ) ga( 2, ) g.ovšemabsettošipkvesloženíprojevilapůsobil, že g fnebudeprosté,musínějakášipkavfvéstxdo 1 anějakádo 2.Toovšemnemusíobecně platit. Z tohoto plne následující poučení. Pokud něco dokaujeme, musíme dbát na detail. Jinak totiž snadno dokážeme něco, co neplatí. 4 Ekvivalence Definice ekvivalence. Ekvivalence jsou relace, které jsou současně refleivní, smetrické a tranitivní. V matematice se tento pojem vsktuje velice často, a proto se s ním alespoň stručně senámíme. Ekvivalence rodělují prvk množin X do skupin, kterým se říká tříd ekvivalence. Dva prvk e stejné tříd jsou vžd v relaci, naopak dva prvk růných tříd nikd v relaci nejsou. Ekvivalence sdružuje prvk, které jsou nějakým působem podobné, neboli ekvivalentní. Klasickýmpříklademekvivalencejerelace R k,kde k N,namnožině Z,kde (n, m) R k, právěkdž nammajístejnýbtekpodělení k.uvažme k = 5.Tatoekvivalencejenakreslenana obráku 9. Ekvivalence má pět tříd ekvivalence, podle btku čísla po dělení pěti Obráek 9: Ekvivalence rodělí čísla podle btků po dělení k na tříd ekvivalence. Ukážeme si několik příkladů relací a pokusíme se určit, jestli to jsou ekvivalence. Příklad4.1.Každékompleníčísloleapsatvpolárníchsouřadnicíchvetvaru r(cos ϕ + i sinϕ) = r e ϕi,kde rjevdálenostodpočátkuaϕjeúhel(uvažujemeúhlvintervalu [0, 2π).Definujmerelace RaSna Cjako: R = { (a, b),že a = b }, S = { (a, b),že ϕ a = ϕ b }. 7

8 Jsou tto relace ekvivalence? Řešení. Relace R je ekvivalence a její tříd jsou kružnice se středem v počátku. Všechna čísla, která leží na kružnici, mají stejnou vdálenost od počátku. Ted libovolná dvojice nich je v relaci. Naopak pokud čísla leží na růných kružnicích, mají jiné vdálenosti a v relaci nejsou. Proč je relace ekvivalence? Každému komplenímu číslu a C přiřadíme jednonačně reálné číslo a. Rovnost na reálných číslech je ekvivalence. Relace S není ekvivalence, i kdž to není na první pohled patrné. Problémem je de počátek, kterýsvírálibovolnýúhel ϕ.počátekbprotomuselležetvkaždéetřídekvivalence,aletonení možné. Selže tranitivita a relace není ekvivalence. Příklad4.2.Zadefinujmerelaci R ε na R,kde ε > 0,tak,žedvěčísla, Rjsouvrelaci R ε,pokud jsou skoro stejná, ted formálně Je tato relace ekvivalence? R ε = {(, ),že < ε}. Řešení. Tato relace ekvivalencí samořejmě není, protože nesplňuje tranitivitu. Nechť a, b, c R. To,že ajeskorostejnéjako babjeskorostejnéjako c,vůbecnenamená,žeiajeskorostejné jako c. Pokud b to totiž bla pravda, všechna reálná čísla b bla skoro stejná. Jako protipříklad protitranitivitěstačívolit alibovolně, b := a + ε 2 a c := a + ε.potom (a, b) R ε, (b, c) R ε,ale (a, c) / R ε. Ponamenejme, že na předcháející relaci je postavená praktick celá analýa. Například definice limit posloupnosti říká toto: Číslo a je limita posloupnosti, pokud skoro všechna člen posloupnosti,tedažnakonečněmnoho,jsouskorostejnéjakolimita a,kdeskorostejnostsedefinujepro libovolné ε > 0pomocírelace R ε. Překvapení na ávěr. Na konci tohoto povídání si ukážeme jeden překvapivý trik, kterým dokážeme slavnouvětuteoriečísel.jednáseomaloufermatovuvětuatentomistrnýkousekobjevils.w.golomb v roce Věta říká následující: Věta 4.3(Malá Fermatova). Nechť a je libovolné přiroené číslo a p je libovolné prvočíslo. Potom a p ajedělitelné p,cožsečastoapisuje a p a 0 (mod p). Důka. Na důka půjdeme kombinatorick, budeme počítat náhrdelník tvořené p korálk a růných barev. Nejprve si vsvětlíme mšlenku, až poté ukážeme, že opravdu funguje. Každý náhrdelníků simůžemepředstavitjakoposloupnost a 1,..., a p čísel 1,...,a,teddohromadeistuje a p růných náhrdelníků.pro a = 2ap = 5jsouvšechnnáhrdelníkobraennaobráku10. Obráek10:Eistuje a p růnýchnáhrdelníkůtvořených pkorálk arůnýchbarev. Některé náhrdelník jsou ale stejné, liší se poue pootočením. Řekneme, že dva náhrdelník jsou ekvivalentní, pokud jsou stejné až na pootočení. Romslete si, že tato relace je to skutečně ekvivalence na náhrdelnících, ted že je refleivní, smetrická a tranitivní. Na obráku 11 jsou nakreslen tříd ekvivalence s příslušnými náhrdelník. Všimněme si, že tříd jsou dvou druhů. Jednak naleneme a jednoprvkových tříd, které jsou tvořen jednobarevnými náhrdelník. Ostatní tříd vžd obsahují p ekvivalentních náhrdelníků. Tvrdíme,žetotonenínáhodaaúplněstejněbudoutřídvpadatprolibovolná aap.uvědommesi, žepokudbchomtoumělidokáat,jecelávětadokáaná.eistujetotiž a p anejednobarevných 8

9 Obráek 11: Ekvivalence obsahuje dva druh tříd, jednoprvkové a p-prvkové. náhrdelníků. Pokud je umíme rodělit do tříd ekvivalence po p prvcích, pak musí být jejich počet a p adělitelný p. Uvažme jeden pevný náhrdelník délk k, což na chvíli nemusí být prvočíslo, a budeme koumat tříduekvivalence,dokterépatří.můžemehopootočito0,...,k 1korálků,takžeteoretickmůže tato třída obsahovat až k odlišných náhrdelníků. Některá pootočení však mohou dopadnout stejně, atedtřídamůžebýtmenší.napříkladpro k = 6můžememíttřídobsahujícíteoretickažšest náhrdelníků, ale v případě náhrdelníku na obráku 12 bude třída jenom tříprvková, první tři natočení jsou stejná jako poslední tři. Obráek 12: Náhrdelník délk šest, který tvoří třídu ekvivalence velikosti tři. Náhrdelník se skládá e dvou bloků délk tři, vnačených na náhrdelnících. Pokud se tak ale stane, náhrdelník se musí skládat opakujících se bloků menší délk. Například náhrdelník na obráku se skládá e dvou bloků délk tři tvořených dvěma černými a jedním bílým korálkem. Třída ekvivalence bude potom obsahovat přesně tolik prvků, jaká je třída nejkratšího opakujícího se bloku, který tvoří celý náhrdelník. Klíčovýfaktje,žedélkablokumusídělit k.vnašempřípaděje kprvočíslo p,kteréjedělitelné poue 1 a p. Pokud je náhrdelník tvořený opakujícími se blok délk jedna, potom je jednobarevný a má jednoprvkovou třídu ekvivalence. Ostatní náhrdelník jsou tvořen jediným blokem délk p, a proto je jejich třída ekvivalence velká přesně p. Tím je důka dokončen. Algebraický dodatek. Při studiu algebr se s ekvivalencemi setkáváme na každém kroku. Pokusíme se nanačit si pár mšlenek, které možná vnesou lepší světlo do předchoího důkau. Zkoumámeli například náhrdelník, často nás neajímají identické náhrdelník, které se liší jenom pootočením nebo jinou smetrií, třeba rcadlením. V algebře podobné smetrie množin objektů souvisí s pojmem akce grup na množině. Vsvětlíme si výnam jednotlivých pojmů. Množina je v našem případě množina všech náhrdelníků,beohledunasmetrie,tedobsahuje a p prvků.grupapopisujesmetrie,kterépronáhrdelníkuvažujeme.vnašempřípadětojegrupavšechpootočenínáhrdelníkuo0,...,p 1korálků. Akce popisuje, jak se smetrie aplikují na prvk množin. Ted svauje dva stejné prvk množin (ažnasmetrii)stoutosmetrií.jestliže M jemnožinaag=(g, )jegrupa,akcejeobraení : M G M.Vnašempřípaděakcevemenáhrdelníkapootočenígrupavýsledkembude pootočený náhrdelník. Nejprve si vsvětlíme, proč G tvoří grupu. Jak jistě víte hodin algebr, grupa je množina prvkůspolusgrupovouoperací,kterásechováhek. 5 Vnašempřípaděprvkgrupjsousmetrie, 5 Cotonamenáformálně?Grupajeuspořádanádvojice G = (G, ),kde : G G G.Navíceistujeneutrálníprvek 9

10 které na množině M uvažujeme. Grupová operace potom smetrie skládá, ted složení dvou smetrií je ase smetrie. Skládání musí splňovat aiom grup, ted eistuje neutrální smetrie identita, která nic nemění. Dále ke každé operaci eistuje inverní smetrie, která měnu vrátí pět. Formálně ještě musímepožadovatdalšívlastnostiodakce. 6 Vpřípaděnáhrdelníkůje Gaditivnígrupa Z p. Grupa G nám definuje následující relaci R na množině M. Nechť m 1, m 2 M. Dvojice (m 1, m 2 ) R,právěkdž g G,že m 1 g = m 2.Jinýmislov,vrelacijsoutdvojice,které jsoustejnéažnanějakousmetriidanougrupou.protože Gjegrupa,vniklárelace Rbudevžd ekvivalence. Zkuste si romslet, proč tomu tak je. Tříd ekvivalence budou odpovídat jednotlivým prvkům, které jsou skutečně odlišné. Čím větší je grupa smetrií, tím jsou prvk množin smetričtější a tříd ekvivalence větší. Vsouvislostisakcígrupnamnožiněsičlověkmůžeklástřaduotáek.Třeba:Kolikprvků obsahuje množina až na smetrie dané grupou? Ted kolik tříd ekvivalence má relace R? Eistuje Burnsidovo lemma, které umožní tto oták snadno odpovědět, ale to už b blo na jiné povídání. 5 Cvičení 1. Rohodněte, da následující relace jsou refleivní, antirefleivní, smetrické a tranitivní: w w R = { (, ) }, S = { (, ) }. 2.Uvažmerelaci <namnožině R.Jakvpadámocnina < n? 3.Relaci Rna X Y lerepreentovatjakomatici X Y,kdenapoici i, jjejednička,pokud (i, j) R a nula jinak. Objevte souvislost mei skládáním a násobením matic. 4.Naleněterelaci Rnakonečnémnožině X,že R n R n+1 prokaždé n N. 5. Ukáali jsme si, že skládání relací není obecně komutativní. Řekneme, že relace R na množině X komutujesevším,pokud R S = S Rprokaždourelaci Snamnožině X.Dokažte,žeidentita (relace, která má poue smčk u každého prvku) a prádná relace(relace, která neobsahuje žádnou dvojici) komutují se vším. Dokažte, že žádná další taková relace neeistuje. 6.Nechť f : X Y a g : Y Zjsouobraenína.Platí,žeig fjena?naopak,nechť g fje na.vplývátoho,že fjenači gjena? 7.Nechť f : X Xjeobraení,že f f = f.musínutněplatit,že f =id?charakteriujte všechn takové obraení. 8.Platípodobnějakouobraení,žebsloženídvouekvivalencínamnožině Xblaopětekvivalence na množině X? 9. Dokažte, že relace R popisovaná v algebraickém dodatku je skutečně pro libovolnou akci grup na množině ekvivalence. 1 Gvůči,ted g Gje g 1 = 1 g = g.dálekekaždémuprvkueistujeinverníprvek,ted g G g 1 G, že g g 1 = g 1 g = 1. 6 Třeba,že g 1, g 2 Ga m Mplatí (m g 1 ) g 2 = m (g 1 g 2 ),nebo m Mplatí m 1 = m. 10

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Deset přednášek z teorie statistického a strukturního rozpoznávání

Deset přednášek z teorie statistického a strukturního rozpoznávání Monografie Deset přednášek teorie statistického a strukturního roponávání Michail I. Schlesinger, Václav Hlaváč Praha 1999 Vydavatelství ČVUT 1. přednáška Bayesovská úloha statistického rohodování 1.1

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

6.2.1 Zobrazení komplexních čísel v Gaussově rovině

6.2.1 Zobrazení komplexních čísel v Gaussově rovině 6.. Zobraení komplexních čísel v Gaussově rovině Předpoklad: 605 Pedagogická ponámka: Stihnout obsah hodin je poměrně náročné. Při dostatku času je lepší dojít poue k příkladu 7 a btek hodin spojit s úvodem

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla

Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla Ramseyovy věty Martin Mareš Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla na mé letošní přednášce z Kombinatoriky a grafů I Předpokládá, že čtenář se již seznámil se základní

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

6 Pohyb částic v magnetickém poli

6 Pohyb částic v magnetickém poli Pohb částic v magnetickém poli V této části si ukážeme, jak homogenní magnetické pole ovlivňuje pohb částic. Soustavu souřadnic volíme vžd tak, ab vektor magnetickéindukce Bsměřovalposměruos (obr.).. Lorentova

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

{ } B =. Rozhodni, které z následujících. - je relace z A do B

{ } B =. Rozhodni, které z následujících. - je relace z A do B .. Binární relace Předpoklad: 0 Pedagogická poznámka: Naprostá většina studentů vřeší hodinu samostatně Ti nejrchlejší potřebují tak minut. Binární relace: Jsou dán množin A, B. Binární relace R z A do

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek) Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Jan Pavĺık. FSI VUT v Brně 14.5.2010

Jan Pavĺık. FSI VUT v Brně 14.5.2010 Princip výškovnice Jan Pavĺık FSI VUT v Brně 14.5.2010 Osnova přednášky 1 Motivace 2 Obecný princip 3 Příklady Světové rekordy Turnajové uspořádání Skupinové hodnocení Rozhledny 4 Geografická výškovnice

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid)

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) v kosoúhlém promítání do nárysny Řešené úlohy Příklad: osoúhlém promítání do nárysny ν (ω =, q = /2) sestrojte vrchol V, osu o a tečnou rovinu τ v bodě T hyperbolického

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008 Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

I. Úvodní pojmy. Obsah

I. Úvodní pojmy. Obsah I. Úvodní pojmy Obsah 1 Matematická logika 2 1.1 Výrok,logickéoperátory,výrokovéformuleaformy... 2 1.2 Logickávýstavbamatematiky... 3 1.2.1 Základnímetodydůkazůmatematickýchvět..... 3 1.2.2 Negacevýroků.....

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

2. ročník, 2012/ 2013 Medzinárodný korešpondenčný seminár iks. i d 1azároveň p α i+1. i d. Konečně definujme k. L = p d/p i α i

2. ročník, 2012/ 2013 Medzinárodný korešpondenčný seminár iks. i d 1azároveň p α i+1. i d. Konečně definujme k. L = p d/p i α i Řešení 2. série ÚlohaN2. Jedánopřirozenéčíslo d.dokažte,žejemožnénajíttakovékladnéreálnéčíslo c, žeprovšechnapřirozenáčísla n > dplatínerovnost [n 1,n 2,...,n d] > cn d. Hranatými závorkami značíme nejmenší

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úvod do problematiky diskrétní matematiky Cíl: Cílem tohoto tématického celku je vymezení oblasti diskrétní matematiky a příprava na další výklad kurzu. Jedná

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

2.1.17 Parametrické systémy lineárních funkcí II

2.1.17 Parametrické systémy lineárních funkcí II .1.17 Parametrické sstém lineárních funkcí II Předpoklad: 11 Pedagogická poznámka: Celá hodina vznikla na základě jednoho příkladu ze sbírk úloh od Jindr Petákové. S příkladem mělo několik generací studentů

Více

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet. 4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

2.3.20 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic

2.3.20 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic .3.0 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz (tištěná ISBN 978-80-247-7512-8 (elektronická verze ve formátu verze) PDF) Grada Publishing, a.s. 2012 U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o

Více

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus 5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho

Více

2. Řešení algebraické

2. Řešení algebraické @016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1 Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co

Více

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu. Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Programování v jazyku LOGO - úvod

Programování v jazyku LOGO - úvod Programování v jazyku LOGO - úvod Programovací jazyk LOGO je určen pro výuku algoritmizace především pro děti školou povinné. Programovací jazyk pracuje v grafickém prostředí, přičemž jednou z jeho podstatných

Více

Základy teorie grup. Martin Kuřil

Základy teorie grup. Martin Kuřil Základy teorie grup Martin Kuřil Abstrakt Text je vhodný pro samostudium a jako studijní opora pro studenty distanční a kombinované formy studia. V textu jsou vyloženy základy teorie grup od zavedení pojmu

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

z nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další).

z nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další). 0. Tři věty o prvočíslech Martin Mareš Úvodem Při analýze algoritmů se často využívají různá tvrzení o prvočíslech. Většina z nich byla poprvé dokázána v 9. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij

Více

Podíl dvou čísel nazýváme číslo racionální, která vyjadřujeme ve tvaru zlomku.

Podíl dvou čísel nazýváme číslo racionální, která vyjadřujeme ve tvaru zlomku. 5. Racionální čísla 5.1. Vymezení pojmu racionální číslo Dělením dvou celých čísel nemusí vyjít vždy číslo celé, např.: 6 : 3 = 2, ale podíl 2 : 3 není celé číslo. Vznikla tedy potřeba rozšíření celých

Více

Řešení čtvrté série (14. dubna 2009)

Řešení čtvrté série (14. dubna 2009) 13. Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení čtvrté série (14. dubna 2009) Řešení společně připravili lektoři Aleph.cz a Kurzy-Fido.cz Úlohy z varianty

Více