1 Seznámení s relacemi

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Seznámení s relacemi"

Transkript

1 O relacích Pavel Klavík stručný tetík ke cvičení diskrétní matematik V tomto tetu si kusíme přiblížit, jak fungují relace. Zaměříme se například na jejich skládání, kterému není například v Kapitolách diskrétní matematik věnováno tolik prostoru, kolik b si asloužilo. Relace jsou ákladním konceptem, který je při studiu matematik velice důležité pochopit. V ávěru tetu také míníme několik hlubších věcí týkajících se ekvivalencí, v souvislostí s akcí grup na množině. Jako žádný tet ani tento není be chb. Pokud nějakou objevíte, napište mi prosím na Rád bch de poděkoval Martině Vaváčkové, Lukáši Machovi a Dušanu Knopovi a četné připomínk k tomuto tetu. 1 Senámení s relacemi Definice relace. Relace se definuje jako podmnožina kartéského součinu dvou nosných množin X a Y.Tedrelacejemnožinaněkterýchdvojic (, ),kde Xa Y říkáme,žetakovédvojice jsou v relaci. Příklad1.1. Nechť X jemnožinaženay jemnožinamužů.příklademrelaceeživotamůžebýt relace býtvmanželství,tedmnožinadvojic (, ),žežena amuž jsoumanželé. Prorelaci Rseněkd (, ) Rnačíjako R.Tomávýhoduejménaprorelacejako <. Jevkemspíšeapisovat 1 < 3než (1, 3) <. Relace se dají náorňovat grafem. Množinu X nakreslíme na jednu stranu, množinu Y na druhoustranu.dvojice (, ),kteréjsouvrelaci,spojímešipkoudo.napříkladgrafickénáornění výše uvedené relace nalenete na obráku 1. X Y Obráek 1: Jak vpadá relace být v manželství náorněná grafem. Častosepoužívajírelace,prokteréjsouoběnosnémnožinstejné,tedpodmnožin X X = X 2.Tpopisujívtahmeiněkterýmidvojicemiprvkůnamnožině X.Takovýmrelacímbudeme říkat,žejsounamnožině X. Příklad 1.2. Uvažme relaci na množině {1, 2, 3, 4}. Tato relace je následující podmnožina dvojic: { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4) }. Eistují další dva působ, jak grafick náorňovat relace na množině X. První působ je grafem. Jednotlivé prvk budeme repreentovat puntík(těm se říká vrchol) a pokud dvojice (, ) jevrelaci,spojíme šipkous.zdejedůležité,žešipkamáorientaci.šipkám,kterévedoudo,seříkásmčk.druhýpůsobjematicí,kdepolíčkosinde i, jvýraníme,právěkdž (i, j)leží v relaci. Obě náornění pro relaci výše uvedeného příkladu jsou na obráku 2. 1

2 Obráek2:Znáorněnírelace namnožině {1, 2, 3, 4}grafemamaticí. Jakbruvidíme,každétěchtonáorněnímásvojevýhodinevýhod.Protosevždhodí uvažovat to, které je pro daný problém nejpříhodnější. Vlastnosti relací. Eistuje několik vlastností, které jsou natolik důležité, že dostal vláštní jméno. Všimnětesi,žettovlastnostimajísmsljenomprorelacenamnožině.Říkáme,žerelace Rna množině Xje refleivní,pokud X : (, ) R, antirefleivní,pokudnaopak X : (, ) / R, smetrická,pokud, X : (, ) R = (, ) R,a tranitivní,pokud,, X : (, ) R (, ) R = (, ) R. Zda relace splňuje tto vlastnosti, le snadno nahlédnout ve náornění grafem či matici. Relace je refleivní, pokud má u každého vrcholu smčku, naopak je antirefleivní, pokud nemá u žádného vrcholu smčku. Například relace na obráku 2 je refleivní. V matici jsou smčk repreentované políčk na diagonále. Pokud je relace refleivní, je celá diagonála výraněna. Naopak antirefleivní relace nemá na diagonále výraněné vůbec nic. Relacejesmetrická,pokudkekaždéšipcedo eistujeišipkaopačná.zdesimůžeme všimnout, že smčk to splňují automatick. V maticovém ápisu smetrické relace odpovídají maticím, které jsou smetrické podle vnačené diagonál. Například relace na obráku 2 smetrická není, neboť třeba šipka 1 do 2 nemá šipku opačnou. Tranitivitajedobřevidětvenáorněnígrafem.Říká,žepokudjdoušipkdo a do,potomeistujeipřímášipkado.takževgrafurelacemámekratk.jesnadnéindukcí nahlédnout, že pokud mei libovolnými dvěma vrchol a eistuje posloupnost šipek(říkejme jí cesta),potomvtranitivnírelacieistujeipřímášipkado. Ikdžsevdefinicitranitivitvsktujítřiprvk, a,neplatí,žebmuselbýtrůné. Například pokud máme dvojice (, ) a (, ) v relaci, potom tranitivita říká, že také smčk (, ) a (, ) jsou v relaci. Uvažme relaci nad jednoprvkovou množinou {} tvořenou jedinou dvojicí (, ). Zkuste ověřit, že tato triviální relace je refleivní, smetrická a tranitivní. Druhým etrémním příkladem je prádná relace, která neobsahuje ani jednu dvojici. Taková relace je vžd antirefleivní, smetrická a tranitivní. Příklad 1.3. Uvažme relaci na množině {,, } definovanou následujícím grafem. Je tato relace refleivní, antirefleivní, smetrická nebo tranitivní? Řešení. Relace jevně není ani refleivní, ani antirefleivní, obsahuje totiž přesně jednu smčku u vrcholu. Relace není smetrická, neboť (, ) leží v relaci, ale (, ) v relaci neleží. Relace dokonce není ani tranitivní, i kdž to na první pohled nemusí být patrné. Obsahuje totiž dvě opačné šipk (, )a(, ).Zdefinicetranitivitdostaneme,žei(, )a(, )bmuselležetvrelaci.uvrcholu jesmčka,aleuvrcholu jineobjevíme. 2

3 Příklad1.4.Uvažmerelaci Rnamnožině R.Dvojice (, ) R,pokud Jak vpadá tato relace? Je refleivní, antirefleivní, smetrická nebo tranitivní? Řešení. Prvk této relace jsou uspořádané dvojice reálných čísel, le je ted geometrick obrait jako bod v rovině. Všechn bod ležící v relaci R odpovídají kruhu o poloměru 1 se středem v počátku, vi obráek 3. 1 (2,2) Obráek3:Všechnbod (, )splňujících Pokudbrelace Rmělabýtrefleivní,muselabobsahovatkaždýbod (, ).Ttobodtvoří přímku =, vnačenou čárkovaně na obráku. Avšak celá přímka rohodně v relaci R neleží, například (2, 2) / R, ted relace R není refleivní. Podobně relace není antirefleivní. Smetrieříká,žeprokaždé (, ) Rtaké (, ) R.Zjevně,pokud ,komutativit téžplatí Geometricksmetrieříká,žerelace Rjesmetrickápodlevnačenépřímk =. S tranitivitou nám obráek bohužel moc nepomůže. Naštěstí snadno objevíme protipříklad, (1, 0)a(0, 1)ležívrelaci R,ale (1, 1)neleží.Relacetednenítranitivní. Připomíná vám toto geometrické uvažování vlastnosti, které má náornění maticí? Toto není náhoda, protože bod rovin si můžeme představit jako nekonečnou matici, která je nekonečně jemná. Vnačená přímka = je diagonálou této matice. Na ávěr si ukážeme jedno na první pohled překvapivé tvrení s poučným důkaem: Tvrení 1.5. Pokud relace R na množině X je antirefleivní a tranitivní, je také silně antismetrická, ted, Xplatí,že (, ) R = (, ) / R. Důka. Toto je tpický příklad tvrení, k jehož dokáání si stačí uvědomit, co namenají jednotlivé vlastnosti. Tvrení dokážeme sporem. Předpokládejme, že R je antirefleivní a tranitivní relace a prosporeistuje, X,že (, ) Ra(, ) R.Ztranitivitvíme,žetaké (, ) R.Toje ale smčka, a ted relace R nemůže být antirefleivní dostáváme spor. Všimnětesi,ževdůkaunepotřebujemevědět,že.Samořejmědůkabšelrodělitna dvěmožnosti,pro = apro.pokud =,hneddostávámespor,žerelaceneníantirefleivní. Výšeuvedenýdůkaovšemfungujevoboupřípadech.Pokud =,složímesmčku (, )dvakráta dostaneme smčku (, ) stejně jako předtím. Obecně platí, že čím méně možností musíme v důkau roebrat, tím je menší šance, že budeme mít nějaký krok chbně. Například velice snadno se může stát, že na některou možností apomeneme. 2 Skládání relací Definiceskládání.Mějmedvěrelace Rna X Y a Sna Y Z.Relace Rsloženo S,kterásenačí S R, 1 jenásledujícírelacena X Z: { (, ) Y : (, ) R (, ) S }. 1 Abmatkůneblomálo,někdseskládánírelacíapisujetakéobráceně,jako R S.Paradoněproobraení, cožjespeciálnípřípadrelací,sepoužíváopačnáforma, fsloženosgseapisuje g f.totojepravděpodobnějeden 3

4 Co definice namená, je nejlépe pochopitelné následujícího obráku. Relace R a S položíme vedlesebe.dvojice (, )jevrelaci S R,právěkdžeistujecestičkado vužívajícípoue šipekras.takovácestanejprvemusívužítšipkudonějakého Y,kterámusíležetvrelaci R.Poténanímusívrelaci Snavaovatšipkado.Jevidět,pročrelace Rmusíbýtdefinována na X Y arelace Sna Y Z,jinakbnasebetotižrelacenepasovalasloženíbneblomožné. R S S R X Y Z X Z Obráek4:Pokudsložímerelaci Rsrelací S,šipkvedoupřímoXdo Z. Pokud skládáme dvě relace na množině X, le výsledek složení včíst přímo grafu. To odpovídátomu,ževgrafumámedvadruhšipek,šipkrelace Rašipkrelace S.Vesloženísepotom budou vsktovat t šipk, které odpovídají cestičkám délk dva použijeme nejprve šipku R a naninavaujícíšipkus.naobráku5jsourelace RaSnanačenpropřehlednostvlášť.Navíc tento obráek ilustruje veledůležitý fakt, že skládání relací není komutativní, ted obecně neplatí, že b S R = R S.Zkusteobjevitconejmenšíanejjednoduššíprotipříklad. = = Obráek5:Relace RaSnamnožině {,, }lesložitdvěmapůsob,vždsjinýmvýsledkem. Mocnění relací. Speciální příklad skládání je umocňování relace na množině. Nechť R je relace na množině X.Definujme R 1 = Rainduktivně R n+1 = R R n.ukažmesi,jakvpadáumocňovánína příkladu, který se bude v dalším koumání skládání relací ještě hodit. Příklad2.1. Nechť R = (N, <)as= (N, ),kde <a načíběžnáuspořádánípřiroenýchčísel. Jakvpadá R n a S n? Řešení. Začneme s relací R. Přiroené číslo je v relaci s každým větším přiroeným číslem. Ted šipkvedoudonásledujícíhopřiroenéhočíslaavšechvětších.abdvojice (, )leželavr n,musí být propojenospomocí nnavaujícíchšipek.tojdeprávětehd,pokud n. Urelace Ssinejprvevšimněme,žepokud (, ) / S,neležíanivlibovolnéjejímocnině.Proč? Protože, pokud (a, b) S, platí a b. Ted žádná šipka nevede doleva v uspořádání přiroených číselpodlevelikosti.prototamnemůževéstanisložení nšipek.nadruhoustranupokud (, ) S, (, )ležíivlibovolnémocnině S n.stačísložit (n 1)-krátsmčku (, )sšipkou (, ).Tedplatí S = S n prokaždoumocninu S n. Můžemesivšimnout,žepokudjemnožina X nekonečná,potommohoubýtprorelacina X každé dvě mocnin odlišné relace například pro relaci R. Následující tvrení ukauje, že pro konečnou množinu X to není možné. historických neduhů matematik, neboť kdsi bl relace a funkce cela odlišné pojm s jiným načení. V moderní matematice se propojil, ale historické načení ůstalo. V tomto tetu si podobné matk odpustíme a skládání relací iobraeníbudemenačitstejně,ted S R.Čtenářbsimělvítpoučení,žekdkolivsevnějakémtetusetkáse skládáním, měl b si dát poor, které pořadí si autoři volili. Naštěstí taková věc se velice snadno poná. 4

5 Tvrení2.2. Nechť Rjerelacenakonečnémnožině X.Potomeistujídvěmocnin R r a R s,že r sar r = R s. Důka. Na problém půjdeme od lesa. Položíme si na první pohled nesouvisející otáku: Kolik eistuje růnýchrelacínamnožině X?Prokaždoudvojici (, ),kde, X,simůžemevbrat,davrelaci bude,činikoliv.každouvolbouískámejinourelaci.protocelkemeistuje 2 X 2 růnýchrelacína množině X. Pokuduvážíme 2 X 2 + 1mocninrelace R,potompodleDirichletovaprincipumusíeistovat dvě stejné mocnin. Ponamenejme na ávěr, že takto ískaný odhad je btečně velký, ve skutečnosti se budou mocnin opakovat mnohem dříve. Relace S příkladu 2.1 je vláštní tím, že umocňování ji nemění. Platí pro ni totiž následující: Tvrení2.3.Pokudrelace Rnamnožině Xjerefleivní,potom R R n prokaždé n N. Důka.Stačíukáat,žekdkoliv (, ) R,také (, ) R n.protožerelace Rjerefleivní, (, ) R.Protosložíme (n 1)-krátsmčkusšipkou (, )adostáváme,že (, ) R n. Tvrení2.4.Pokudrelace Rnamnožině Xjetranitivní,potom R n Rprokaždé n N. Důka.Stačíukáat,žekdkoliv (, ) R n,také (, ) R.Ab (, ) R n,musíeistovat 0, 1,..., n X,že ( i, i+1 ) Rprokaždé i {0, 1,..., n 1},anavíc 0 = a n =. 2 Situace je nanačena na obráku 6. = = Obráek 6: Tranitivita na cestě do aručuje kratk. Víme,žerelace Rjetranitivní.Ted ( 0, 1 ) Ra( 1, 2 ) Raručuje,žetaké ( 0, 2 ) R. Dále ( 0, 2 ) Rspolus( 2, 3 ) Rimplikuje,že ( 0, 3 ) R.Pokudpodobněaplikujemeindukci, jistíme,že ( 0, i ) Rprokaždé i {1,...,n}.Vneposlednířaděted ( 0, n ) R,neboli (, ) R,cožjsmechtělidokáat. Obě tvrení dohromad dávají následující důsledek, který například relace S příkladu 2.1 splňuje: Důsledek2.5. Pokudrelace Rnamnožině Xjerefleivníatranitivní,potom R = R n prokaždé n N. 3 Zobraení Definice obraení. Speciálním druhem relací jsou obraení. Zobraení f je relace na X Y taková, žeprokaždé X eistujeprávějedno Y,že (, ) f.jinýmislov,každéhoprvku množin Xvedeprávějednašipkadomnožin Y.Protožepropevné je takové,že (, ) f, určenéjednonačně,někdsetoto onačuje f().říkáse,že f jeobraeníx do Y,cožse načí f : X Y.Ponamenejme,žeproobraeníseněkdpoužíváipojemfunkce,historick bl termín funkce reervován pro obraení do reálných nebo kompleních čísel. Pro nás budou oba pojm totožné. Skládání obraení funguje úplně stejně jako skládání relací obecně. Na druhou stranu jejich skládání má specifické vlastnosti, nichž některé si v této kapitole předvedeme. 2 Na 0,..., nneklademežádnédalšípožadavk,napříkladrohodněneplatí,žebmuselbýtpodvourůné. 5

6 Tvrení3.1. Nechť f a gjsoulibovolnáobraení, f : X Y, g : Y Z.Potom g f jetaké obraení. Důka.Víme,že g fjerelacena X Z.Potřebujemeukáat,žejeobraením.Nechť (, ) g f. Uvažme,pročvedešipkavg f do.musíeistovat Y,že (, ) fa (, ) g.protože ale fjeobraení,jetakové určenéjednonačnějako f().protože gjeobraení, jednonačně určuje jako g().tedkaždého vcháípřesnějednašipkado g(f())ag fjeobraení. Vlastnosti obraení. Zobraení může mít jednu následujících tří vlastností. Říkáme, že obraení f : X Y je prosté(injektivní),pokud 1, 2 X : f( 1 ) = f( 2 ) = 1 = 2, na(surjektivní),pokud Y X,že f() =,a bijektivní, pokud je ároveň prosté a na. Jinýmislov,obraeníjeprosté,pokuddokaždéhoprvku Y vedenejvýšejednašipka,ajena, pokud do každého vede alespoň jedna šipka. Tvrení3.2. Nechť fjeobraeníxdo X,kde Xjekonečnámnožina.Totoobraeníjeprosté, právěkdžjena. Důka.Pokudje fprosté,dokaždého Xvedenejvýšejednašipka.Protožealešipekjestejně jakoprvkůvx,vededokaždéhonichprávějednašipka. 3 Teddokaždého Xvedealespoň jednašipkaafjeobraenína.druháimplikaceseukážepodobně. Naopak pokud je X nekonečná množina, tvrení neplatí. Uvažme například obraení f : N Nag: N Ndefinované f : 2ag: 2.4 Zobraení fjeprosté,alenenína.naopak gje na, ale není prosté. Velicedůležitéobraeníidentitaid : X Xjedefinovanétakto: X :id() =.Identita jeneutrálníobraenínaskládání ted fplatí f id = faid f = f,pokudsloženídávajísmsl. Výšeuvedenáobraení f a gjsouskoroinverní.složenímjednéstranjako g f dostaneme identitu. Při složení opačném však identitu nedostaneme. K amšlení: Jak vpadá f g? Na ávěr si ukážeme, jaký vliv má skládání obraení na jejich vlastnosti. Tvrení3.3.Nechť f : X Y a g : Y Zjsouprostáobraení.Potomiobraení g fjeprosté. Důka.Předpokládejmeprospor,žebeistovala 1, 2 Xa Z,že 1 2, ( 1, ) g f a ( 2, ) g f.tedeistují 1 a 2 (navícurčenéjednonačně),že ( i, i ) fa ( i, ) gpro i {1, 2},jinakbšipk ( 1, )a( 2, )neblvesložení g f.protože f jeprosté,nemůžebýt 1 = 2,jinakbdo 1 = 2 vedldvěšipkf.také gjeprosté,atednemůžebýt 1 2,jinak bdvěšipkvedldo.ttodvěmožnostijsounanačennaobráku7.dostávámespor,ated g fjeprosté. Jepřiroenéseptát,daplatíopačnétvrení,teddaprostéobraení g fříká,žebifa g bla prostá obraení. Tvrení3.4.Nechť f : X Y a g : Y Zjsouobraeníag fjeprosté.potomifjeprosté. Důka.Dokážemesporem.Pokudobraení fneníprosté,eistují 1, 2 X,že 1 2 a f( 1 ) = f( 2 ) =.Aleobraení gobraí na g() =.Tedvesloženídostanemešipk ( 1, )a( 2, )a obraení g fneníprosté.tojehledanýspor. Naprvnípohledsemůžedát,ževýšeuvedenýdůkalesnadnoupravitadokáat,žeig musí být prosté. Takový postup je však odsouený selhat, neboť tvrení pro g neplatí. Vvrací ho napříkladprotipříkladnaobráku8, g fjejevněprosté,ale gnení. 3 Proč?Pokudbdonějakéhoprvkušipkanevedla,mělibchom X šipek,kterévedoudo X 1prvků.Ted podle Dirichletova principu b do jednoho nich vedl alespoň dvě šipk, což nejde. 4 Tentoápisvpřípadě fříká: N : f() = 2. 6

7 1 f 1 = 2 g 1 f 1 2 g X Y Z X Y Z Obráek7:Dvěsituacevdůkau,nichžanijednanemůženastat. X f 1 2 g Z Y Obráek8:Protipříklad,funkce gneníprostá,ale g fprostáje. Protipříkladpřesněukauje,kdejeproblém.Pokudobraení gneníprosté,eistují 1, 2 Y a Z,že 1 2, ( 1, ) ga( 2, ) g.ovšemabsettošipkvesloženíprojevilapůsobil, že g fnebudeprosté,musínějakášipkavfvéstxdo 1 anějakádo 2.Toovšemnemusíobecně platit. Z tohoto plne následující poučení. Pokud něco dokaujeme, musíme dbát na detail. Jinak totiž snadno dokážeme něco, co neplatí. 4 Ekvivalence Definice ekvivalence. Ekvivalence jsou relace, které jsou současně refleivní, smetrické a tranitivní. V matematice se tento pojem vsktuje velice často, a proto se s ním alespoň stručně senámíme. Ekvivalence rodělují prvk množin X do skupin, kterým se říká tříd ekvivalence. Dva prvk e stejné tříd jsou vžd v relaci, naopak dva prvk růných tříd nikd v relaci nejsou. Ekvivalence sdružuje prvk, které jsou nějakým působem podobné, neboli ekvivalentní. Klasickýmpříklademekvivalencejerelace R k,kde k N,namnožině Z,kde (n, m) R k, právěkdž nammajístejnýbtekpodělení k.uvažme k = 5.Tatoekvivalencejenakreslenana obráku 9. Ekvivalence má pět tříd ekvivalence, podle btku čísla po dělení pěti Obráek 9: Ekvivalence rodělí čísla podle btků po dělení k na tříd ekvivalence. Ukážeme si několik příkladů relací a pokusíme se určit, jestli to jsou ekvivalence. Příklad4.1.Každékompleníčísloleapsatvpolárníchsouřadnicíchvetvaru r(cos ϕ + i sinϕ) = r e ϕi,kde rjevdálenostodpočátkuaϕjeúhel(uvažujemeúhlvintervalu [0, 2π).Definujmerelace RaSna Cjako: R = { (a, b),že a = b }, S = { (a, b),že ϕ a = ϕ b }. 7

8 Jsou tto relace ekvivalence? Řešení. Relace R je ekvivalence a její tříd jsou kružnice se středem v počátku. Všechna čísla, která leží na kružnici, mají stejnou vdálenost od počátku. Ted libovolná dvojice nich je v relaci. Naopak pokud čísla leží na růných kružnicích, mají jiné vdálenosti a v relaci nejsou. Proč je relace ekvivalence? Každému komplenímu číslu a C přiřadíme jednonačně reálné číslo a. Rovnost na reálných číslech je ekvivalence. Relace S není ekvivalence, i kdž to není na první pohled patrné. Problémem je de počátek, kterýsvírálibovolnýúhel ϕ.počátekbprotomuselležetvkaždéetřídekvivalence,aletonení možné. Selže tranitivita a relace není ekvivalence. Příklad4.2.Zadefinujmerelaci R ε na R,kde ε > 0,tak,žedvěčísla, Rjsouvrelaci R ε,pokud jsou skoro stejná, ted formálně Je tato relace ekvivalence? R ε = {(, ),že < ε}. Řešení. Tato relace ekvivalencí samořejmě není, protože nesplňuje tranitivitu. Nechť a, b, c R. To,že ajeskorostejnéjako babjeskorostejnéjako c,vůbecnenamená,žeiajeskorostejné jako c. Pokud b to totiž bla pravda, všechna reálná čísla b bla skoro stejná. Jako protipříklad protitranitivitěstačívolit alibovolně, b := a + ε 2 a c := a + ε.potom (a, b) R ε, (b, c) R ε,ale (a, c) / R ε. Ponamenejme, že na předcháející relaci je postavená praktick celá analýa. Například definice limit posloupnosti říká toto: Číslo a je limita posloupnosti, pokud skoro všechna člen posloupnosti,tedažnakonečněmnoho,jsouskorostejnéjakolimita a,kdeskorostejnostsedefinujepro libovolné ε > 0pomocírelace R ε. Překvapení na ávěr. Na konci tohoto povídání si ukážeme jeden překvapivý trik, kterým dokážeme slavnouvětuteoriečísel.jednáseomaloufermatovuvětuatentomistrnýkousekobjevils.w.golomb v roce Věta říká následující: Věta 4.3(Malá Fermatova). Nechť a je libovolné přiroené číslo a p je libovolné prvočíslo. Potom a p ajedělitelné p,cožsečastoapisuje a p a 0 (mod p). Důka. Na důka půjdeme kombinatorick, budeme počítat náhrdelník tvořené p korálk a růných barev. Nejprve si vsvětlíme mšlenku, až poté ukážeme, že opravdu funguje. Každý náhrdelníků simůžemepředstavitjakoposloupnost a 1,..., a p čísel 1,...,a,teddohromadeistuje a p růných náhrdelníků.pro a = 2ap = 5jsouvšechnnáhrdelníkobraennaobráku10. Obráek10:Eistuje a p růnýchnáhrdelníkůtvořených pkorálk arůnýchbarev. Některé náhrdelník jsou ale stejné, liší se poue pootočením. Řekneme, že dva náhrdelník jsou ekvivalentní, pokud jsou stejné až na pootočení. Romslete si, že tato relace je to skutečně ekvivalence na náhrdelnících, ted že je refleivní, smetrická a tranitivní. Na obráku 11 jsou nakreslen tříd ekvivalence s příslušnými náhrdelník. Všimněme si, že tříd jsou dvou druhů. Jednak naleneme a jednoprvkových tříd, které jsou tvořen jednobarevnými náhrdelník. Ostatní tříd vžd obsahují p ekvivalentních náhrdelníků. Tvrdíme,žetotonenínáhodaaúplněstejněbudoutřídvpadatprolibovolná aap.uvědommesi, žepokudbchomtoumělidokáat,jecelávětadokáaná.eistujetotiž a p anejednobarevných 8

9 Obráek 11: Ekvivalence obsahuje dva druh tříd, jednoprvkové a p-prvkové. náhrdelníků. Pokud je umíme rodělit do tříd ekvivalence po p prvcích, pak musí být jejich počet a p adělitelný p. Uvažme jeden pevný náhrdelník délk k, což na chvíli nemusí být prvočíslo, a budeme koumat tříduekvivalence,dokterépatří.můžemehopootočito0,...,k 1korálků,takžeteoretickmůže tato třída obsahovat až k odlišných náhrdelníků. Některá pootočení však mohou dopadnout stejně, atedtřídamůžebýtmenší.napříkladpro k = 6můžememíttřídobsahujícíteoretickažšest náhrdelníků, ale v případě náhrdelníku na obráku 12 bude třída jenom tříprvková, první tři natočení jsou stejná jako poslední tři. Obráek 12: Náhrdelník délk šest, který tvoří třídu ekvivalence velikosti tři. Náhrdelník se skládá e dvou bloků délk tři, vnačených na náhrdelnících. Pokud se tak ale stane, náhrdelník se musí skládat opakujících se bloků menší délk. Například náhrdelník na obráku se skládá e dvou bloků délk tři tvořených dvěma černými a jedním bílým korálkem. Třída ekvivalence bude potom obsahovat přesně tolik prvků, jaká je třída nejkratšího opakujícího se bloku, který tvoří celý náhrdelník. Klíčovýfaktje,žedélkablokumusídělit k.vnašempřípaděje kprvočíslo p,kteréjedělitelné poue 1 a p. Pokud je náhrdelník tvořený opakujícími se blok délk jedna, potom je jednobarevný a má jednoprvkovou třídu ekvivalence. Ostatní náhrdelník jsou tvořen jediným blokem délk p, a proto je jejich třída ekvivalence velká přesně p. Tím je důka dokončen. Algebraický dodatek. Při studiu algebr se s ekvivalencemi setkáváme na každém kroku. Pokusíme se nanačit si pár mšlenek, které možná vnesou lepší světlo do předchoího důkau. Zkoumámeli například náhrdelník, často nás neajímají identické náhrdelník, které se liší jenom pootočením nebo jinou smetrií, třeba rcadlením. V algebře podobné smetrie množin objektů souvisí s pojmem akce grup na množině. Vsvětlíme si výnam jednotlivých pojmů. Množina je v našem případě množina všech náhrdelníků,beohledunasmetrie,tedobsahuje a p prvků.grupapopisujesmetrie,kterépronáhrdelníkuvažujeme.vnašempřípadětojegrupavšechpootočenínáhrdelníkuo0,...,p 1korálků. Akce popisuje, jak se smetrie aplikují na prvk množin. Ted svauje dva stejné prvk množin (ažnasmetrii)stoutosmetrií.jestliže M jemnožinaag=(g, )jegrupa,akcejeobraení : M G M.Vnašempřípaděakcevemenáhrdelníkapootočenígrupavýsledkembude pootočený náhrdelník. Nejprve si vsvětlíme, proč G tvoří grupu. Jak jistě víte hodin algebr, grupa je množina prvkůspolusgrupovouoperací,kterásechováhek. 5 Vnašempřípaděprvkgrupjsousmetrie, 5 Cotonamenáformálně?Grupajeuspořádanádvojice G = (G, ),kde : G G G.Navíceistujeneutrálníprvek 9

10 které na množině M uvažujeme. Grupová operace potom smetrie skládá, ted složení dvou smetrií je ase smetrie. Skládání musí splňovat aiom grup, ted eistuje neutrální smetrie identita, která nic nemění. Dále ke každé operaci eistuje inverní smetrie, která měnu vrátí pět. Formálně ještě musímepožadovatdalšívlastnostiodakce. 6 Vpřípaděnáhrdelníkůje Gaditivnígrupa Z p. Grupa G nám definuje následující relaci R na množině M. Nechť m 1, m 2 M. Dvojice (m 1, m 2 ) R,právěkdž g G,že m 1 g = m 2.Jinýmislov,vrelacijsoutdvojice,které jsoustejnéažnanějakousmetriidanougrupou.protože Gjegrupa,vniklárelace Rbudevžd ekvivalence. Zkuste si romslet, proč tomu tak je. Tříd ekvivalence budou odpovídat jednotlivým prvkům, které jsou skutečně odlišné. Čím větší je grupa smetrií, tím jsou prvk množin smetričtější a tříd ekvivalence větší. Vsouvislostisakcígrupnamnožiněsičlověkmůžeklástřaduotáek.Třeba:Kolikprvků obsahuje množina až na smetrie dané grupou? Ted kolik tříd ekvivalence má relace R? Eistuje Burnsidovo lemma, které umožní tto oták snadno odpovědět, ale to už b blo na jiné povídání. 5 Cvičení 1. Rohodněte, da následující relace jsou refleivní, antirefleivní, smetrické a tranitivní: w w R = { (, ) }, S = { (, ) }. 2.Uvažmerelaci <namnožině R.Jakvpadámocnina < n? 3.Relaci Rna X Y lerepreentovatjakomatici X Y,kdenapoici i, jjejednička,pokud (i, j) R a nula jinak. Objevte souvislost mei skládáním a násobením matic. 4.Naleněterelaci Rnakonečnémnožině X,že R n R n+1 prokaždé n N. 5. Ukáali jsme si, že skládání relací není obecně komutativní. Řekneme, že relace R na množině X komutujesevším,pokud R S = S Rprokaždourelaci Snamnožině X.Dokažte,žeidentita (relace, která má poue smčk u každého prvku) a prádná relace(relace, která neobsahuje žádnou dvojici) komutují se vším. Dokažte, že žádná další taková relace neeistuje. 6.Nechť f : X Y a g : Y Zjsouobraenína.Platí,žeig fjena?naopak,nechť g fje na.vplývátoho,že fjenači gjena? 7.Nechť f : X Xjeobraení,že f f = f.musínutněplatit,že f =id?charakteriujte všechn takové obraení. 8.Platípodobnějakouobraení,žebsloženídvouekvivalencínamnožině Xblaopětekvivalence na množině X? 9. Dokažte, že relace R popisovaná v algebraickém dodatku je skutečně pro libovolnou akci grup na množině ekvivalence. 1 Gvůči,ted g Gje g 1 = 1 g = g.dálekekaždémuprvkueistujeinverníprvek,ted g G g 1 G, že g g 1 = g 1 g = 1. 6 Třeba,že g 1, g 2 Ga m Mplatí (m g 1 ) g 2 = m (g 1 g 2 ),nebo m Mplatí m 1 = m. 10

4.2. Graf funkce více proměnných

4.2. Graf funkce více proměnných V této kapitole se soustředíme na funkce dvou proměnných. Poue v tomto případě jsme schopni graf funkcí dvou proměnných obrait. Pro funkce tří a více proměnných trácí grafické vjádření smsl. Výklad Definice

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Deset přednášek z teorie statistického a strukturního rozpoznávání

Deset přednášek z teorie statistického a strukturního rozpoznávání Monografie Deset přednášek teorie statistického a strukturního roponávání Michail I. Schlesinger, Václav Hlaváč Praha 1999 Vydavatelství ČVUT 1. přednáška Bayesovská úloha statistického rohodování 1.1

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací kouška na MFF UK v Prae Studijní program Matematika, bakalářské studium Studijní program Informatika, bakalářské studium 2013, varianta A U každé deseti úloh je nabíeno pět odpovědí: a, b, c,

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Definice 5.1 Graf G = (V, E) je tvořen množinou vrcholů V a množinou hran, kde

Definice 5.1 Graf G = (V, E) je tvořen množinou vrcholů V a množinou hran, kde Kapitola 5 Grafy 5.1 Definice Definice 5.1 Graf G = (V, E) je tvořen množinou vrcholů V a množinou hran E ( V 2), kde ( ) V = {{x, y} : x, y V a x y} 2 je množina všech neuspořádaných dvojic prvků množiny

Více

6.2.1 Zobrazení komplexních čísel v Gaussově rovině

6.2.1 Zobrazení komplexních čísel v Gaussově rovině 6.. Zobraení komplexních čísel v Gaussově rovině Předpoklad: 605 Pedagogická ponámka: Stihnout obsah hodin je poměrně náročné. Při dostatku času je lepší dojít poue k příkladu 7 a btek hodin spojit s úvodem

Více

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Regulární pologrupy Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Tomáš Masopust Brno, 2006 Obsah Úvod 1 1 Základní definice

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu. Kapitola 1 Relace Úvodní kapitola je věnována důležitému pojmu relace. Protože relace popisují vztahy mezi prvky množin a navíc jsou samy množinami, bude vhodné množiny nejprve krátce připomenout. 1.1

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa

Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 14. 11. 21 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13. Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

RELACE, OPERACE. Relace

RELACE, OPERACE. Relace RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice 63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

6.1 Shrnutí základních poznatků

6.1 Shrnutí základních poznatků 6.1 Shrnutí ákladních ponatků Prostorová a rovinná napjatost Prostorová napjatost v libovolném bodě tělesa je v pravoúhlé soustavě souřadnic obecně popsána 9 složkami napětí, které le uspořádat do matice

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

Pumping lemma - podstata problému. Automaty a gramatiky(bi-aag) Pumping lemma - problem resolution. Pumping lemma - podstata problému

Pumping lemma - podstata problému. Automaty a gramatiky(bi-aag) Pumping lemma - problem resolution. Pumping lemma - podstata problému BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 2/22 Pumping lemma - podstata problému BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 4/22 Automaty a gramatiky(bi-aag)

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

18. První rozklad lineární transformace

18. První rozklad lineární transformace Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Úlohy krajského kola kategorie B

Úlohy krajského kola kategorie B 61. očník matematické olmpiád Úloh kajského kola kategoie B 1. Je dáno 01 kladných čísel menších než 1, jejichž součet je 7. Dokažte, že lze tato čísla ozdělit do čtř skupin tak, ab součet čísel v každé

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. 1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

2 Důkazové techniky, Indukce

2 Důkazové techniky, Indukce Důkazové techniky, Indukce Náš hlubší úvod do matematických formalismů pro informatiku začneme základním přehledem technik matematických důkazů. Z nich pro nás asi nejdůležitější je technika důkazů matematickou

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za

Více

1 Nulové body holomorfní funkce

1 Nulové body holomorfní funkce Nulové body holomorfní funkce Bod naýváme nulový bod funkce f), jestliže f ) =. Je-li funkce f) holomorfní v bodě, pak le funkci f) v jistém okolí bodu rovinout v Taylorovu řadu: f) = n= a n ) n, a n =

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

7.1.2 Kartézské soustavy souřadnic II

7.1.2 Kartézské soustavy souřadnic II 7..2 Kartéské soustav souřadnic II Předpoklad: 70 Zavedení kartéské soustav souřadnic minulé hodin: Kartéskou soustavou souřadnic v rovině naýváme dvojici číselných os, v rovině, pro které platí:. obě

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu

[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu 1..1 Průběh funkce III (prohnutí Předpoklad: 111 Pedagogická poznámka: Při poctivém probírání b tato látka zabrala dvě celé vučovací hodin. Studenti z toho nebudou příliš nadšení, je zde příliš mnoho definic

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, [161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

1. Pologrupy, monoidy a grupy

1. Pologrupy, monoidy a grupy Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2002/2003 Michal Marvan 1. Pologrupy, monoidy a grupy Algebra dvacátého století je nauka o algebraických strukturách.

Více

Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla

Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla Ramseyovy věty Martin Mareš Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla na mé letošní přednášce z Kombinatoriky a grafů I Předpokládá, že čtenář se již seznámil se základní

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

6.1.2 Operace s komplexními čísly

6.1.2 Operace s komplexními čísly 6.. Operace s komplexními čísly Předpoklady: 60 Komplexním číslem nazýváme výraz ve tvaru a + bi, kde a, b jsou reálná čísla a i je číslo, pro něž platí i =. V komplexním čísle a + bi se nazývá: číslo

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Olomouc

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Polynomy v moderní algebře

Polynomy v moderní algebře Polynomy v moderní algebře 2. kapitola. Neutrální a inverzní prvek. Grupa In: Karel Hruša (author): Polynomy v moderní algebře. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1970. pp. 15 28. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403713

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu. Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

{ } B =. Rozhodni, které z následujících. - je relace z A do B

{ } B =. Rozhodni, které z následujících. - je relace z A do B .. Binární relace Předpoklad: 0 Pedagogická poznámka: Naprostá většina studentů vřeší hodinu samostatně Ti nejrchlejší potřebují tak minut. Binární relace: Jsou dán množin A, B. Binární relace R z A do

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM / Přednáška Struktury se dvěma binárními operacemi O čem budeme hovořit: opakování struktur s jednou operací struktury se dvěma operacemi Struktury

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup

Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy Martin Panák, Jan Slovák, Drsná

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více