1 Seznámení s relacemi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Seznámení s relacemi"

Transkript

1 O relacích Pavel Klavík stručný tetík ke cvičení diskrétní matematik V tomto tetu si kusíme přiblížit, jak fungují relace. Zaměříme se například na jejich skládání, kterému není například v Kapitolách diskrétní matematik věnováno tolik prostoru, kolik b si asloužilo. Relace jsou ákladním konceptem, který je při studiu matematik velice důležité pochopit. V ávěru tetu také míníme několik hlubších věcí týkajících se ekvivalencí, v souvislostí s akcí grup na množině. Jako žádný tet ani tento není be chb. Pokud nějakou objevíte, napište mi prosím na Rád bch de poděkoval Martině Vaváčkové, Lukáši Machovi a Dušanu Knopovi a četné připomínk k tomuto tetu. 1 Senámení s relacemi Definice relace. Relace se definuje jako podmnožina kartéského součinu dvou nosných množin X a Y.Tedrelacejemnožinaněkterýchdvojic (, ),kde Xa Y říkáme,žetakovédvojice jsou v relaci. Příklad1.1. Nechť X jemnožinaženay jemnožinamužů.příklademrelaceeživotamůžebýt relace býtvmanželství,tedmnožinadvojic (, ),žežena amuž jsoumanželé. Prorelaci Rseněkd (, ) Rnačíjako R.Tomávýhoduejménaprorelacejako <. Jevkemspíšeapisovat 1 < 3než (1, 3) <. Relace se dají náorňovat grafem. Množinu X nakreslíme na jednu stranu, množinu Y na druhoustranu.dvojice (, ),kteréjsouvrelaci,spojímešipkoudo.napříkladgrafickénáornění výše uvedené relace nalenete na obráku 1. X Y Obráek 1: Jak vpadá relace být v manželství náorněná grafem. Častosepoužívajírelace,prokteréjsouoběnosnémnožinstejné,tedpodmnožin X X = X 2.Tpopisujívtahmeiněkterýmidvojicemiprvkůnamnožině X.Takovýmrelacímbudeme říkat,žejsounamnožině X. Příklad 1.2. Uvažme relaci na množině {1, 2, 3, 4}. Tato relace je následující podmnožina dvojic: { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4) }. Eistují další dva působ, jak grafick náorňovat relace na množině X. První působ je grafem. Jednotlivé prvk budeme repreentovat puntík(těm se říká vrchol) a pokud dvojice (, ) jevrelaci,spojíme šipkous.zdejedůležité,žešipkamáorientaci.šipkám,kterévedoudo,seříkásmčk.druhýpůsobjematicí,kdepolíčkosinde i, jvýraníme,právěkdž (i, j)leží v relaci. Obě náornění pro relaci výše uvedeného příkladu jsou na obráku 2. 1

2 Obráek2:Znáorněnírelace namnožině {1, 2, 3, 4}grafemamaticí. Jakbruvidíme,každétěchtonáorněnímásvojevýhodinevýhod.Protosevždhodí uvažovat to, které je pro daný problém nejpříhodnější. Vlastnosti relací. Eistuje několik vlastností, které jsou natolik důležité, že dostal vláštní jméno. Všimnětesi,žettovlastnostimajísmsljenomprorelacenamnožině.Říkáme,žerelace Rna množině Xje refleivní,pokud X : (, ) R, antirefleivní,pokudnaopak X : (, ) / R, smetrická,pokud, X : (, ) R = (, ) R,a tranitivní,pokud,, X : (, ) R (, ) R = (, ) R. Zda relace splňuje tto vlastnosti, le snadno nahlédnout ve náornění grafem či matici. Relace je refleivní, pokud má u každého vrcholu smčku, naopak je antirefleivní, pokud nemá u žádného vrcholu smčku. Například relace na obráku 2 je refleivní. V matici jsou smčk repreentované políčk na diagonále. Pokud je relace refleivní, je celá diagonála výraněna. Naopak antirefleivní relace nemá na diagonále výraněné vůbec nic. Relacejesmetrická,pokudkekaždéšipcedo eistujeišipkaopačná.zdesimůžeme všimnout, že smčk to splňují automatick. V maticovém ápisu smetrické relace odpovídají maticím, které jsou smetrické podle vnačené diagonál. Například relace na obráku 2 smetrická není, neboť třeba šipka 1 do 2 nemá šipku opačnou. Tranitivitajedobřevidětvenáorněnígrafem.Říká,žepokudjdoušipkdo a do,potomeistujeipřímášipkado.takževgrafurelacemámekratk.jesnadnéindukcí nahlédnout, že pokud mei libovolnými dvěma vrchol a eistuje posloupnost šipek(říkejme jí cesta),potomvtranitivnírelacieistujeipřímášipkado. Ikdžsevdefinicitranitivitvsktujítřiprvk, a,neplatí,žebmuselbýtrůné. Například pokud máme dvojice (, ) a (, ) v relaci, potom tranitivita říká, že také smčk (, ) a (, ) jsou v relaci. Uvažme relaci nad jednoprvkovou množinou {} tvořenou jedinou dvojicí (, ). Zkuste ověřit, že tato triviální relace je refleivní, smetrická a tranitivní. Druhým etrémním příkladem je prádná relace, která neobsahuje ani jednu dvojici. Taková relace je vžd antirefleivní, smetrická a tranitivní. Příklad 1.3. Uvažme relaci na množině {,, } definovanou následujícím grafem. Je tato relace refleivní, antirefleivní, smetrická nebo tranitivní? Řešení. Relace jevně není ani refleivní, ani antirefleivní, obsahuje totiž přesně jednu smčku u vrcholu. Relace není smetrická, neboť (, ) leží v relaci, ale (, ) v relaci neleží. Relace dokonce není ani tranitivní, i kdž to na první pohled nemusí být patrné. Obsahuje totiž dvě opačné šipk (, )a(, ).Zdefinicetranitivitdostaneme,žei(, )a(, )bmuselležetvrelaci.uvrcholu jesmčka,aleuvrcholu jineobjevíme. 2

3 Příklad1.4.Uvažmerelaci Rnamnožině R.Dvojice (, ) R,pokud Jak vpadá tato relace? Je refleivní, antirefleivní, smetrická nebo tranitivní? Řešení. Prvk této relace jsou uspořádané dvojice reálných čísel, le je ted geometrick obrait jako bod v rovině. Všechn bod ležící v relaci R odpovídají kruhu o poloměru 1 se středem v počátku, vi obráek 3. 1 (2,2) Obráek3:Všechnbod (, )splňujících Pokudbrelace Rmělabýtrefleivní,muselabobsahovatkaždýbod (, ).Ttobodtvoří přímku =, vnačenou čárkovaně na obráku. Avšak celá přímka rohodně v relaci R neleží, například (2, 2) / R, ted relace R není refleivní. Podobně relace není antirefleivní. Smetrieříká,žeprokaždé (, ) Rtaké (, ) R.Zjevně,pokud ,komutativit téžplatí Geometricksmetrieříká,žerelace Rjesmetrickápodlevnačenépřímk =. S tranitivitou nám obráek bohužel moc nepomůže. Naštěstí snadno objevíme protipříklad, (1, 0)a(0, 1)ležívrelaci R,ale (1, 1)neleží.Relacetednenítranitivní. Připomíná vám toto geometrické uvažování vlastnosti, které má náornění maticí? Toto není náhoda, protože bod rovin si můžeme představit jako nekonečnou matici, která je nekonečně jemná. Vnačená přímka = je diagonálou této matice. Na ávěr si ukážeme jedno na první pohled překvapivé tvrení s poučným důkaem: Tvrení 1.5. Pokud relace R na množině X je antirefleivní a tranitivní, je také silně antismetrická, ted, Xplatí,že (, ) R = (, ) / R. Důka. Toto je tpický příklad tvrení, k jehož dokáání si stačí uvědomit, co namenají jednotlivé vlastnosti. Tvrení dokážeme sporem. Předpokládejme, že R je antirefleivní a tranitivní relace a prosporeistuje, X,že (, ) Ra(, ) R.Ztranitivitvíme,žetaké (, ) R.Toje ale smčka, a ted relace R nemůže být antirefleivní dostáváme spor. Všimnětesi,ževdůkaunepotřebujemevědět,že.Samořejmědůkabšelrodělitna dvěmožnosti,pro = apro.pokud =,hneddostávámespor,žerelaceneníantirefleivní. Výšeuvedenýdůkaovšemfungujevoboupřípadech.Pokud =,složímesmčku (, )dvakráta dostaneme smčku (, ) stejně jako předtím. Obecně platí, že čím méně možností musíme v důkau roebrat, tím je menší šance, že budeme mít nějaký krok chbně. Například velice snadno se může stát, že na některou možností apomeneme. 2 Skládání relací Definiceskládání.Mějmedvěrelace Rna X Y a Sna Y Z.Relace Rsloženo S,kterásenačí S R, 1 jenásledujícírelacena X Z: { (, ) Y : (, ) R (, ) S }. 1 Abmatkůneblomálo,někdseskládánírelacíapisujetakéobráceně,jako R S.Paradoněproobraení, cožjespeciálnípřípadrelací,sepoužíváopačnáforma, fsloženosgseapisuje g f.totojepravděpodobnějeden 3

4 Co definice namená, je nejlépe pochopitelné následujícího obráku. Relace R a S položíme vedlesebe.dvojice (, )jevrelaci S R,právěkdžeistujecestičkado vužívajícípoue šipekras.takovácestanejprvemusívužítšipkudonějakého Y,kterámusíležetvrelaci R.Poténanímusívrelaci Snavaovatšipkado.Jevidět,pročrelace Rmusíbýtdefinována na X Y arelace Sna Y Z,jinakbnasebetotižrelacenepasovalasloženíbneblomožné. R S S R X Y Z X Z Obráek4:Pokudsložímerelaci Rsrelací S,šipkvedoupřímoXdo Z. Pokud skládáme dvě relace na množině X, le výsledek složení včíst přímo grafu. To odpovídátomu,ževgrafumámedvadruhšipek,šipkrelace Rašipkrelace S.Vesloženísepotom budou vsktovat t šipk, které odpovídají cestičkám délk dva použijeme nejprve šipku R a naninavaujícíšipkus.naobráku5jsourelace RaSnanačenpropřehlednostvlášť.Navíc tento obráek ilustruje veledůležitý fakt, že skládání relací není komutativní, ted obecně neplatí, že b S R = R S.Zkusteobjevitconejmenšíanejjednoduššíprotipříklad. = = Obráek5:Relace RaSnamnožině {,, }lesložitdvěmapůsob,vždsjinýmvýsledkem. Mocnění relací. Speciální příklad skládání je umocňování relace na množině. Nechť R je relace na množině X.Definujme R 1 = Rainduktivně R n+1 = R R n.ukažmesi,jakvpadáumocňovánína příkladu, který se bude v dalším koumání skládání relací ještě hodit. Příklad2.1. Nechť R = (N, <)as= (N, ),kde <a načíběžnáuspořádánípřiroenýchčísel. Jakvpadá R n a S n? Řešení. Začneme s relací R. Přiroené číslo je v relaci s každým větším přiroeným číslem. Ted šipkvedoudonásledujícíhopřiroenéhočíslaavšechvětších.abdvojice (, )leželavr n,musí být propojenospomocí nnavaujícíchšipek.tojdeprávětehd,pokud n. Urelace Ssinejprvevšimněme,žepokud (, ) / S,neležíanivlibovolnéjejímocnině.Proč? Protože, pokud (a, b) S, platí a b. Ted žádná šipka nevede doleva v uspořádání přiroených číselpodlevelikosti.prototamnemůževéstanisložení nšipek.nadruhoustranupokud (, ) S, (, )ležíivlibovolnémocnině S n.stačísložit (n 1)-krátsmčku (, )sšipkou (, ).Tedplatí S = S n prokaždoumocninu S n. Můžemesivšimnout,žepokudjemnožina X nekonečná,potommohoubýtprorelacina X každé dvě mocnin odlišné relace například pro relaci R. Následující tvrení ukauje, že pro konečnou množinu X to není možné. historických neduhů matematik, neboť kdsi bl relace a funkce cela odlišné pojm s jiným načení. V moderní matematice se propojil, ale historické načení ůstalo. V tomto tetu si podobné matk odpustíme a skládání relací iobraeníbudemenačitstejně,ted S R.Čtenářbsimělvítpoučení,žekdkolivsevnějakémtetusetkáse skládáním, měl b si dát poor, které pořadí si autoři volili. Naštěstí taková věc se velice snadno poná. 4

5 Tvrení2.2. Nechť Rjerelacenakonečnémnožině X.Potomeistujídvěmocnin R r a R s,že r sar r = R s. Důka. Na problém půjdeme od lesa. Položíme si na první pohled nesouvisející otáku: Kolik eistuje růnýchrelacínamnožině X?Prokaždoudvojici (, ),kde, X,simůžemevbrat,davrelaci bude,činikoliv.každouvolbouískámejinourelaci.protocelkemeistuje 2 X 2 růnýchrelacína množině X. Pokuduvážíme 2 X 2 + 1mocninrelace R,potompodleDirichletovaprincipumusíeistovat dvě stejné mocnin. Ponamenejme na ávěr, že takto ískaný odhad je btečně velký, ve skutečnosti se budou mocnin opakovat mnohem dříve. Relace S příkladu 2.1 je vláštní tím, že umocňování ji nemění. Platí pro ni totiž následující: Tvrení2.3.Pokudrelace Rnamnožině Xjerefleivní,potom R R n prokaždé n N. Důka.Stačíukáat,žekdkoliv (, ) R,také (, ) R n.protožerelace Rjerefleivní, (, ) R.Protosložíme (n 1)-krátsmčkusšipkou (, )adostáváme,že (, ) R n. Tvrení2.4.Pokudrelace Rnamnožině Xjetranitivní,potom R n Rprokaždé n N. Důka.Stačíukáat,žekdkoliv (, ) R n,také (, ) R.Ab (, ) R n,musíeistovat 0, 1,..., n X,že ( i, i+1 ) Rprokaždé i {0, 1,..., n 1},anavíc 0 = a n =. 2 Situace je nanačena na obráku 6. = = Obráek 6: Tranitivita na cestě do aručuje kratk. Víme,žerelace Rjetranitivní.Ted ( 0, 1 ) Ra( 1, 2 ) Raručuje,žetaké ( 0, 2 ) R. Dále ( 0, 2 ) Rspolus( 2, 3 ) Rimplikuje,že ( 0, 3 ) R.Pokudpodobněaplikujemeindukci, jistíme,že ( 0, i ) Rprokaždé i {1,...,n}.Vneposlednířaděted ( 0, n ) R,neboli (, ) R,cožjsmechtělidokáat. Obě tvrení dohromad dávají následující důsledek, který například relace S příkladu 2.1 splňuje: Důsledek2.5. Pokudrelace Rnamnožině Xjerefleivníatranitivní,potom R = R n prokaždé n N. 3 Zobraení Definice obraení. Speciálním druhem relací jsou obraení. Zobraení f je relace na X Y taková, žeprokaždé X eistujeprávějedno Y,že (, ) f.jinýmislov,každéhoprvku množin Xvedeprávějednašipkadomnožin Y.Protožepropevné je takové,že (, ) f, určenéjednonačně,někdsetoto onačuje f().říkáse,že f jeobraeníx do Y,cožse načí f : X Y.Ponamenejme,žeproobraeníseněkdpoužíváipojemfunkce,historick bl termín funkce reervován pro obraení do reálných nebo kompleních čísel. Pro nás budou oba pojm totožné. Skládání obraení funguje úplně stejně jako skládání relací obecně. Na druhou stranu jejich skládání má specifické vlastnosti, nichž některé si v této kapitole předvedeme. 2 Na 0,..., nneklademežádnédalšípožadavk,napříkladrohodněneplatí,žebmuselbýtpodvourůné. 5

6 Tvrení3.1. Nechť f a gjsoulibovolnáobraení, f : X Y, g : Y Z.Potom g f jetaké obraení. Důka.Víme,že g fjerelacena X Z.Potřebujemeukáat,žejeobraením.Nechť (, ) g f. Uvažme,pročvedešipkavg f do.musíeistovat Y,že (, ) fa (, ) g.protože ale fjeobraení,jetakové určenéjednonačnějako f().protože gjeobraení, jednonačně určuje jako g().tedkaždého vcháípřesnějednašipkado g(f())ag fjeobraení. Vlastnosti obraení. Zobraení může mít jednu následujících tří vlastností. Říkáme, že obraení f : X Y je prosté(injektivní),pokud 1, 2 X : f( 1 ) = f( 2 ) = 1 = 2, na(surjektivní),pokud Y X,že f() =,a bijektivní, pokud je ároveň prosté a na. Jinýmislov,obraeníjeprosté,pokuddokaždéhoprvku Y vedenejvýšejednašipka,ajena, pokud do každého vede alespoň jedna šipka. Tvrení3.2. Nechť fjeobraeníxdo X,kde Xjekonečnámnožina.Totoobraeníjeprosté, právěkdžjena. Důka.Pokudje fprosté,dokaždého Xvedenejvýšejednašipka.Protožealešipekjestejně jakoprvkůvx,vededokaždéhonichprávějednašipka. 3 Teddokaždého Xvedealespoň jednašipkaafjeobraenína.druháimplikaceseukážepodobně. Naopak pokud je X nekonečná množina, tvrení neplatí. Uvažme například obraení f : N Nag: N Ndefinované f : 2ag: 2.4 Zobraení fjeprosté,alenenína.naopak gje na, ale není prosté. Velicedůležitéobraeníidentitaid : X Xjedefinovanétakto: X :id() =.Identita jeneutrálníobraenínaskládání ted fplatí f id = faid f = f,pokudsloženídávajísmsl. Výšeuvedenáobraení f a gjsouskoroinverní.složenímjednéstranjako g f dostaneme identitu. Při složení opačném však identitu nedostaneme. K amšlení: Jak vpadá f g? Na ávěr si ukážeme, jaký vliv má skládání obraení na jejich vlastnosti. Tvrení3.3.Nechť f : X Y a g : Y Zjsouprostáobraení.Potomiobraení g fjeprosté. Důka.Předpokládejmeprospor,žebeistovala 1, 2 Xa Z,že 1 2, ( 1, ) g f a ( 2, ) g f.tedeistují 1 a 2 (navícurčenéjednonačně),že ( i, i ) fa ( i, ) gpro i {1, 2},jinakbšipk ( 1, )a( 2, )neblvesložení g f.protože f jeprosté,nemůžebýt 1 = 2,jinakbdo 1 = 2 vedldvěšipkf.také gjeprosté,atednemůžebýt 1 2,jinak bdvěšipkvedldo.ttodvěmožnostijsounanačennaobráku7.dostávámespor,ated g fjeprosté. Jepřiroenéseptát,daplatíopačnétvrení,teddaprostéobraení g fříká,žebifa g bla prostá obraení. Tvrení3.4.Nechť f : X Y a g : Y Zjsouobraeníag fjeprosté.potomifjeprosté. Důka.Dokážemesporem.Pokudobraení fneníprosté,eistují 1, 2 X,že 1 2 a f( 1 ) = f( 2 ) =.Aleobraení gobraí na g() =.Tedvesloženídostanemešipk ( 1, )a( 2, )a obraení g fneníprosté.tojehledanýspor. Naprvnípohledsemůžedát,ževýšeuvedenýdůkalesnadnoupravitadokáat,žeig musí být prosté. Takový postup je však odsouený selhat, neboť tvrení pro g neplatí. Vvrací ho napříkladprotipříkladnaobráku8, g fjejevněprosté,ale gnení. 3 Proč?Pokudbdonějakéhoprvkušipkanevedla,mělibchom X šipek,kterévedoudo X 1prvků.Ted podle Dirichletova principu b do jednoho nich vedl alespoň dvě šipk, což nejde. 4 Tentoápisvpřípadě fříká: N : f() = 2. 6

7 1 f 1 = 2 g 1 f 1 2 g X Y Z X Y Z Obráek7:Dvěsituacevdůkau,nichžanijednanemůženastat. X f 1 2 g Z Y Obráek8:Protipříklad,funkce gneníprostá,ale g fprostáje. Protipříkladpřesněukauje,kdejeproblém.Pokudobraení gneníprosté,eistují 1, 2 Y a Z,že 1 2, ( 1, ) ga( 2, ) g.ovšemabsettošipkvesloženíprojevilapůsobil, že g fnebudeprosté,musínějakášipkavfvéstxdo 1 anějakádo 2.Toovšemnemusíobecně platit. Z tohoto plne následující poučení. Pokud něco dokaujeme, musíme dbát na detail. Jinak totiž snadno dokážeme něco, co neplatí. 4 Ekvivalence Definice ekvivalence. Ekvivalence jsou relace, které jsou současně refleivní, smetrické a tranitivní. V matematice se tento pojem vsktuje velice často, a proto se s ním alespoň stručně senámíme. Ekvivalence rodělují prvk množin X do skupin, kterým se říká tříd ekvivalence. Dva prvk e stejné tříd jsou vžd v relaci, naopak dva prvk růných tříd nikd v relaci nejsou. Ekvivalence sdružuje prvk, které jsou nějakým působem podobné, neboli ekvivalentní. Klasickýmpříklademekvivalencejerelace R k,kde k N,namnožině Z,kde (n, m) R k, právěkdž nammajístejnýbtekpodělení k.uvažme k = 5.Tatoekvivalencejenakreslenana obráku 9. Ekvivalence má pět tříd ekvivalence, podle btku čísla po dělení pěti Obráek 9: Ekvivalence rodělí čísla podle btků po dělení k na tříd ekvivalence. Ukážeme si několik příkladů relací a pokusíme se určit, jestli to jsou ekvivalence. Příklad4.1.Každékompleníčísloleapsatvpolárníchsouřadnicíchvetvaru r(cos ϕ + i sinϕ) = r e ϕi,kde rjevdálenostodpočátkuaϕjeúhel(uvažujemeúhlvintervalu [0, 2π).Definujmerelace RaSna Cjako: R = { (a, b),že a = b }, S = { (a, b),že ϕ a = ϕ b }. 7

8 Jsou tto relace ekvivalence? Řešení. Relace R je ekvivalence a její tříd jsou kružnice se středem v počátku. Všechna čísla, která leží na kružnici, mají stejnou vdálenost od počátku. Ted libovolná dvojice nich je v relaci. Naopak pokud čísla leží na růných kružnicích, mají jiné vdálenosti a v relaci nejsou. Proč je relace ekvivalence? Každému komplenímu číslu a C přiřadíme jednonačně reálné číslo a. Rovnost na reálných číslech je ekvivalence. Relace S není ekvivalence, i kdž to není na první pohled patrné. Problémem je de počátek, kterýsvírálibovolnýúhel ϕ.počátekbprotomuselležetvkaždéetřídekvivalence,aletonení možné. Selže tranitivita a relace není ekvivalence. Příklad4.2.Zadefinujmerelaci R ε na R,kde ε > 0,tak,žedvěčísla, Rjsouvrelaci R ε,pokud jsou skoro stejná, ted formálně Je tato relace ekvivalence? R ε = {(, ),že < ε}. Řešení. Tato relace ekvivalencí samořejmě není, protože nesplňuje tranitivitu. Nechť a, b, c R. To,že ajeskorostejnéjako babjeskorostejnéjako c,vůbecnenamená,žeiajeskorostejné jako c. Pokud b to totiž bla pravda, všechna reálná čísla b bla skoro stejná. Jako protipříklad protitranitivitěstačívolit alibovolně, b := a + ε 2 a c := a + ε.potom (a, b) R ε, (b, c) R ε,ale (a, c) / R ε. Ponamenejme, že na předcháející relaci je postavená praktick celá analýa. Například definice limit posloupnosti říká toto: Číslo a je limita posloupnosti, pokud skoro všechna člen posloupnosti,tedažnakonečněmnoho,jsouskorostejnéjakolimita a,kdeskorostejnostsedefinujepro libovolné ε > 0pomocírelace R ε. Překvapení na ávěr. Na konci tohoto povídání si ukážeme jeden překvapivý trik, kterým dokážeme slavnouvětuteoriečísel.jednáseomaloufermatovuvětuatentomistrnýkousekobjevils.w.golomb v roce Věta říká následující: Věta 4.3(Malá Fermatova). Nechť a je libovolné přiroené číslo a p je libovolné prvočíslo. Potom a p ajedělitelné p,cožsečastoapisuje a p a 0 (mod p). Důka. Na důka půjdeme kombinatorick, budeme počítat náhrdelník tvořené p korálk a růných barev. Nejprve si vsvětlíme mšlenku, až poté ukážeme, že opravdu funguje. Každý náhrdelníků simůžemepředstavitjakoposloupnost a 1,..., a p čísel 1,...,a,teddohromadeistuje a p růných náhrdelníků.pro a = 2ap = 5jsouvšechnnáhrdelníkobraennaobráku10. Obráek10:Eistuje a p růnýchnáhrdelníkůtvořených pkorálk arůnýchbarev. Některé náhrdelník jsou ale stejné, liší se poue pootočením. Řekneme, že dva náhrdelník jsou ekvivalentní, pokud jsou stejné až na pootočení. Romslete si, že tato relace je to skutečně ekvivalence na náhrdelnících, ted že je refleivní, smetrická a tranitivní. Na obráku 11 jsou nakreslen tříd ekvivalence s příslušnými náhrdelník. Všimněme si, že tříd jsou dvou druhů. Jednak naleneme a jednoprvkových tříd, které jsou tvořen jednobarevnými náhrdelník. Ostatní tříd vžd obsahují p ekvivalentních náhrdelníků. Tvrdíme,žetotonenínáhodaaúplněstejněbudoutřídvpadatprolibovolná aap.uvědommesi, žepokudbchomtoumělidokáat,jecelávětadokáaná.eistujetotiž a p anejednobarevných 8

9 Obráek 11: Ekvivalence obsahuje dva druh tříd, jednoprvkové a p-prvkové. náhrdelníků. Pokud je umíme rodělit do tříd ekvivalence po p prvcích, pak musí být jejich počet a p adělitelný p. Uvažme jeden pevný náhrdelník délk k, což na chvíli nemusí být prvočíslo, a budeme koumat tříduekvivalence,dokterépatří.můžemehopootočito0,...,k 1korálků,takžeteoretickmůže tato třída obsahovat až k odlišných náhrdelníků. Některá pootočení však mohou dopadnout stejně, atedtřídamůžebýtmenší.napříkladpro k = 6můžememíttřídobsahujícíteoretickažšest náhrdelníků, ale v případě náhrdelníku na obráku 12 bude třída jenom tříprvková, první tři natočení jsou stejná jako poslední tři. Obráek 12: Náhrdelník délk šest, který tvoří třídu ekvivalence velikosti tři. Náhrdelník se skládá e dvou bloků délk tři, vnačených na náhrdelnících. Pokud se tak ale stane, náhrdelník se musí skládat opakujících se bloků menší délk. Například náhrdelník na obráku se skládá e dvou bloků délk tři tvořených dvěma černými a jedním bílým korálkem. Třída ekvivalence bude potom obsahovat přesně tolik prvků, jaká je třída nejkratšího opakujícího se bloku, který tvoří celý náhrdelník. Klíčovýfaktje,žedélkablokumusídělit k.vnašempřípaděje kprvočíslo p,kteréjedělitelné poue 1 a p. Pokud je náhrdelník tvořený opakujícími se blok délk jedna, potom je jednobarevný a má jednoprvkovou třídu ekvivalence. Ostatní náhrdelník jsou tvořen jediným blokem délk p, a proto je jejich třída ekvivalence velká přesně p. Tím je důka dokončen. Algebraický dodatek. Při studiu algebr se s ekvivalencemi setkáváme na každém kroku. Pokusíme se nanačit si pár mšlenek, které možná vnesou lepší světlo do předchoího důkau. Zkoumámeli například náhrdelník, často nás neajímají identické náhrdelník, které se liší jenom pootočením nebo jinou smetrií, třeba rcadlením. V algebře podobné smetrie množin objektů souvisí s pojmem akce grup na množině. Vsvětlíme si výnam jednotlivých pojmů. Množina je v našem případě množina všech náhrdelníků,beohledunasmetrie,tedobsahuje a p prvků.grupapopisujesmetrie,kterépronáhrdelníkuvažujeme.vnašempřípadětojegrupavšechpootočenínáhrdelníkuo0,...,p 1korálků. Akce popisuje, jak se smetrie aplikují na prvk množin. Ted svauje dva stejné prvk množin (ažnasmetrii)stoutosmetrií.jestliže M jemnožinaag=(g, )jegrupa,akcejeobraení : M G M.Vnašempřípaděakcevemenáhrdelníkapootočenígrupavýsledkembude pootočený náhrdelník. Nejprve si vsvětlíme, proč G tvoří grupu. Jak jistě víte hodin algebr, grupa je množina prvkůspolusgrupovouoperací,kterásechováhek. 5 Vnašempřípaděprvkgrupjsousmetrie, 5 Cotonamenáformálně?Grupajeuspořádanádvojice G = (G, ),kde : G G G.Navíceistujeneutrálníprvek 9

10 které na množině M uvažujeme. Grupová operace potom smetrie skládá, ted složení dvou smetrií je ase smetrie. Skládání musí splňovat aiom grup, ted eistuje neutrální smetrie identita, která nic nemění. Dále ke každé operaci eistuje inverní smetrie, která měnu vrátí pět. Formálně ještě musímepožadovatdalšívlastnostiodakce. 6 Vpřípaděnáhrdelníkůje Gaditivnígrupa Z p. Grupa G nám definuje následující relaci R na množině M. Nechť m 1, m 2 M. Dvojice (m 1, m 2 ) R,právěkdž g G,že m 1 g = m 2.Jinýmislov,vrelacijsoutdvojice,které jsoustejnéažnanějakousmetriidanougrupou.protože Gjegrupa,vniklárelace Rbudevžd ekvivalence. Zkuste si romslet, proč tomu tak je. Tříd ekvivalence budou odpovídat jednotlivým prvkům, které jsou skutečně odlišné. Čím větší je grupa smetrií, tím jsou prvk množin smetričtější a tříd ekvivalence větší. Vsouvislostisakcígrupnamnožiněsičlověkmůžeklástřaduotáek.Třeba:Kolikprvků obsahuje množina až na smetrie dané grupou? Ted kolik tříd ekvivalence má relace R? Eistuje Burnsidovo lemma, které umožní tto oták snadno odpovědět, ale to už b blo na jiné povídání. 5 Cvičení 1. Rohodněte, da následující relace jsou refleivní, antirefleivní, smetrické a tranitivní: w w R = { (, ) }, S = { (, ) }. 2.Uvažmerelaci <namnožině R.Jakvpadámocnina < n? 3.Relaci Rna X Y lerepreentovatjakomatici X Y,kdenapoici i, jjejednička,pokud (i, j) R a nula jinak. Objevte souvislost mei skládáním a násobením matic. 4.Naleněterelaci Rnakonečnémnožině X,že R n R n+1 prokaždé n N. 5. Ukáali jsme si, že skládání relací není obecně komutativní. Řekneme, že relace R na množině X komutujesevším,pokud R S = S Rprokaždourelaci Snamnožině X.Dokažte,žeidentita (relace, která má poue smčk u každého prvku) a prádná relace(relace, která neobsahuje žádnou dvojici) komutují se vším. Dokažte, že žádná další taková relace neeistuje. 6.Nechť f : X Y a g : Y Zjsouobraenína.Platí,žeig fjena?naopak,nechť g fje na.vplývátoho,že fjenači gjena? 7.Nechť f : X Xjeobraení,že f f = f.musínutněplatit,že f =id?charakteriujte všechn takové obraení. 8.Platípodobnějakouobraení,žebsloženídvouekvivalencínamnožině Xblaopětekvivalence na množině X? 9. Dokažte, že relace R popisovaná v algebraickém dodatku je skutečně pro libovolnou akci grup na množině ekvivalence. 1 Gvůči,ted g Gje g 1 = 1 g = g.dálekekaždémuprvkueistujeinverníprvek,ted g G g 1 G, že g g 1 = g 1 g = 1. 6 Třeba,že g 1, g 2 Ga m Mplatí (m g 1 ) g 2 = m (g 1 g 2 ),nebo m Mplatí m 1 = m. 10

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Deset přednášek z teorie statistického a strukturního rozpoznávání

Deset přednášek z teorie statistického a strukturního rozpoznávání Monografie Deset přednášek teorie statistického a strukturního roponávání Michail I. Schlesinger, Václav Hlaváč Praha 1999 Vydavatelství ČVUT 1. přednáška Bayesovská úloha statistického rohodování 1.1

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus 5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Semestrální Projekt 1 Měření rychlosti projíždějících vozidel za použití jedné kalibrované kamery

Semestrální Projekt 1 Měření rychlosti projíždějících vozidel za použití jedné kalibrované kamery 1 Semestrální Projekt 1 Měření rchlosti projíždějících voidel a použití jedné kalibrované kamer (version reprint 2005) Jaromír Brambor 17.5.2000 2 1. ÚVOD Tento semestrální projekt se abývá měřením rchlosti

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu. Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

2.1.17 Parametrické systémy lineárních funkcí II

2.1.17 Parametrické systémy lineárních funkcí II .1.17 Parametrické sstém lineárních funkcí II Předpoklad: 11 Pedagogická poznámka: Celá hodina vznikla na základě jednoho příkladu ze sbírk úloh od Jindr Petákové. S příkladem mělo několik generací studentů

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 ii Úvodem Máte před sebou text k přednášce Diskrétní matematika pro první ročník na

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

5. Formalizace návrhu databáze

5. Formalizace návrhu databáze 5. Formalizace návrhu databáze 5.1. Úvod do teorie závislostí... 2 5.1.1. Funkční závislost... 2 5.1.2. Vícehodnotová závislost (multizávislost)... 7 5.1.3. Závislosti na spojení... 9 5.2. Využití teorie

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úvod do problematiky diskrétní matematiky Cíl: Cílem tohoto tématického celku je vymezení oblasti diskrétní matematiky a příprava na další výklad kurzu. Jedná

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Programování v jazyku LOGO - úvod

Programování v jazyku LOGO - úvod Programování v jazyku LOGO - úvod Programovací jazyk LOGO je určen pro výuku algoritmizace především pro děti školou povinné. Programovací jazyk pracuje v grafickém prostředí, přičemž jednou z jeho podstatných

Více

5. ročník, 2015 / 2016 Mezinárodní korespondeční seminář iks

5. ročník, 2015 / 2016 Mezinárodní korespondeční seminář iks Řešení 1. série Úloha N1. Existuje nekonečná posloupnost přirozených čísel a 1, a 2,... taková, že a i a a j jsou nesoudělná právě když i j = 1? Řešení. Označme {r i } posloupnost všech prvočísel seřazených

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Ohodnocené orientované grafy

Ohodnocené orientované grafy Ohodnocené orientované grafy Definice Buď G graf Funkce w : H( G) (, ) se nazývá (hranové) ohodnocení grafu G; graf se zadaným ohodnocením se nazývá ohodnocený graf Definice Nechť G je orientovaný graf

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Determinanty a matice v theorii a praxi

Determinanty a matice v theorii a praxi Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

2.5.1 Kvadratická funkce

2.5.1 Kvadratická funkce .5.1 Kvadratická funkce Předpoklad: 1 Pedagogická poznámka: Velká většina studentů zvládne hodinu zcela samostatně. Snažím se nezapomenout je pochválit. Slovo kvadratická už známe, začínali jsme s kvadratickou

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

Mechanika teorie srozumitelně

Mechanika teorie srozumitelně Rovnoměrný pohybu po kružnici úhlová a obvodová rychlost Rovnoměrný = nemění se velikost rychlostí. U rovnoměrného pohybu pro kružnici máme totiž dvě rychlosti úhlovou a obvodovou. Směr úhlové rychlosti

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan Nejstarší známý početní systém založený na čísle 10 zavedli před 5 000 lety v Egyptě. Egypťané používali skupinu čar pro vyjádření čísel do devítky. Vypadala asi

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Diskrétní matematika. Martin Kovár

Diskrétní matematika. Martin Kovár Diskrétní matematika Martin Kovár Tento text byl vytvořen v rámci realizace projektu CZ.1.07/2.2.00/15.0156, Inovace výuky matematických předmětů v rámci studijních programů FEKT a FIT VUT v Brně, realizovaném

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více