Povídání ke druhé podzimní sérii

Transkript

1 Povídání ke druhé podzimní sérii by se Ti druhá série řešila snáze, připravili jsme pro Tebe kratičké povídání, ve kterém shrneme a připomeneme několik faktů, které by se Ti při řešení příkladů mohly hodit. Věta.(Oobvodovémastředovémúhlu) Nechť kjekružnicesestředem Oajejítětiva.Pak velikost úhlu X se nemění, probíhá-li X některý z oblouků kružnice k určených tětivou. Navícje X = 1 O,kdeúhlem Orozumímevnějšíúhelvečtyřúhelníku XO. Tvrzení.(Úsekovýúhel) Nechť kjekružnicesestředem Oajejítětiva.Označme ttečnuke kružnici kvedenoubodem.nakružnici kuvažmebod Xrůznýod ianapřímce tnalezněme bod T tak,žepřímka oddělujebody Xa T.Pak X = T. X 1 X X k O X 3 k O t T ůkazy věty o obvodovém a středovém úhlu stejně jako důkaz tvrzení o úhlu úsekovém můžeš najít ve středoškolských učebnicích planimetrie. Jejich bezprostředním důsledkem je následující užitečné tvrzení charakterizující tětivové čtyřúhelníky(to jsou čtyřúhelníky, jejichž všechny čtyři vrcholy leží na jedné kružnici). Tvrzení.(Tětivové čtyřúhelníky) (i) Jestliže je některá strana čtyřúhelníka vidět ze zbylých dvou vrcholů pod stejným úhlem, je čtyřúhelník tětivový. (ii) Jestliže je některá úhlopříčka čtyřúhelníka vidět ze zbylých dvou vrcholů pod úhly, jejichžsoučetje180,ječtyřúhelník tětivový. Na druhou stranu v tětivovém čtyřúhelníku platí, že každá jeho strana je ze zbylých dvou vrcholů vidět pod stejným úhlem a každá jeho úhlopříčka je ze zbylých dvou vrcholů vidět pod úhly,jejichžsoučetje180.

2 180 ϕ ϕ Pomocítvrzeníotětivovýchčtyřúhelnícíchtakumímedobře úhlově popsatto,žečtyřibody leží na kružnici. Zároveň je mnohdy užitečné tětivový čtyřúhelník v úloze najít jeho objevením se naše informace o velikostech úhlů v obrázku podstatně rozšíří. onečně zmíníme ještě jednu klasickou větu, která rovněž nakládá s velikostmi úhlů. Věta.(Sinová) V trojúhelníku se standardně značenými velikostmi vnitřních úhlů a poloměrem kružnice opsané R platí a sin = b sinβ = c sin =R. Na samotný závěr ještě uděláme malou reklamu kreslicím programům. Ty jsou velmi užitečné obzvláštětehdy,pokudsetitěžkokreslíobrázkyodrukyajsilínýjerýsovat;-).zavšechny jmenujme například program GeoGebra, který si lze zdarma stáhnout(nebo jen spustit z okna prohlížeče) na stránce

3 Úhly ¾º ÔÓ Þ ÑÒ Ö Ì ÖÑ Ò Ó Ð Ò º Ð ØÓÔ Ù ¾¼½½ ÐÓ ½º ( Ó Ý) Ťam se vsadil, že dokáže rozdělit pravidelný desetiúhelník na 8 rovnoramenných trojúhelníků s vrcholy ve vrcholech původního desetiúhelníku, ale teď za boha neví, jak na to. ze něco takového vůbec provést? ÐÓ ¾º ( Ó Ý) Vrovnoběžníku ostranách =a =1označme Mstředstrany.Ukažte,že M =90. ÐÓ º ( Ó Ý) enka si namalovala rovnoramenný trojúhelník a s překvapením zjistila, že na jeho ramenech,resp. lzenajítbody P,resp. Qtakové,že = P = PQ = Q.Určetevelikost úhlu. ÐÓ º ( Ó ) ulečníkový stůl má tvar konvexního čtyřúhelníku. Z bodu uvnitř strany vystřelíme kouli.tasepostupněodrazíodstran, a(úheldopadujerovenúhluodrazu)aznovu dospějedobodu ztakovéhosměru,žekdybysevbodě znovuodrazila,pokračovalabyposvé původní trase. Ukažte, že vrcholy stolu leží na jedné kružnici. ÐÓ º ( Ó ) Pepa si nakreslil kruhovou úseč s tětivou. Vejtek do obrázku přikreslil kružnici, která se dotýká úsečky vjejímvnitřnímbodě Eaprotínáobloukúsečevedvourůznýchbodech a tak,že body,,, ležínaúsečivtomtopořadí.okažte,že E = E. ÐÓ º ( Ó ) Jedánostroúhlýtrojúhelník.Označme 0, 0 patyjehovýšekzvrcholů,.rovnoběžka s vedenábodem 0 protneúsečku vbodě.rovnoběžkasvedenábodem 0 protne úsečku vbodě různémod.ukažte,že 0 = 0. ÐÓ º ( Ó ) To lča našla na ramenech, jiného rovnoramenného trojúhelníku pro změnu body, takové,že = +.Středem Músečky pakvedlapřímkurovnoběžnous a označila N její průsečík se stranou. Zjistěte velikost úhlu N. ÐÓ º ( Ó ) Naúhlopříčcekonvexníhočtyřúhelníkuzvolímebodtak,že =, = 1 a = 1.Ukažte,že = nebo =.

4 Úhly ¾º ÔÓ Þ ÑÒ Ö ÎÞÓÖÓÚ õ Ò Úloha 1. (116; 109;,50; 3) Ťam se vsadil, že dokáže rozdělit pravidelný desetiúhelník na 8 rovnoramenných trojúhelníků s vrcholy ve vrcholech původního desetiúhelníku, ale teď za boha neví, jak na to. ze něco takového vůbec provést? (Pepa Tkadlec) Ukážeme si, že pravidelný desaťuholník(označme ho EF GHIJ) sa na 8 rovnoramenných trojuholníkov rozdeliť dá. eďže = = = IJ = J,trojuholníky, E, EFG, GHI a IJsúrovnoramennéadokoncapodľavetysussúvšetkyzhodné.Pretoplatí = E = EG = GI = I.Toznamená,že Ea GIsútakistorovnoramenné.Zosymetriepodľa F platí G = E, teda EG je rovnoramenný tiež a príklad je vyriešený. J I H G F E Áno, Ťam mohol ísť kľudne do stávky(=sázky) bez nakreslenia obrázku a hneď vedel, že vyhrá, pretože riešenie sa dá ľahko predstaviť, a že dané trojuholníky sú rovnoramenné, je vidieť na prvý pohľad.lemusíteuznať,žeodpoveď Áno,dásato. aktomunáčrtnemôžebyťzaplnýpočet bodov. Úplne stačilo dvoma vetami opísať, prečo sú všetky trojuholníky rovnoramenné, a plný počet máte vo vačku. Ešte by som rada pochválila tých borcov, ktorí popísali celý postup k tomuto jedinému riešeniu. ením si snahu naviac. (aťa uníková) Úloha. (15; 111;,69; 3) Vrovnoběžníku ostranách =a =1označme Mstředstrany.Ukažte,že M =90. (PepaTkadlec)

5 Označme S středúsečky.všimnemesi,že SM,proto = SM =1.protože S = S = SM =1,bod M ležínathaletověkružnicinadprůměrem.úhel Mje tedy pravý. Â Ò õ Ò ÔÓ Ð Â Ò Å Ð µ Označme S střed úsečky. Úsečka SM rozděluje daný rovnoběžník na dva shodné kosočtverce ostraně1.protože S = SM,trojúhelník SMjerovnoramennýa SM = MS =. Podobně S = SM,trojúhelník SMjerovnoramennýa MS = SM =β.vtrojúhelníku Mjesoučetvnitřníchúhlůroven180,takže180 = ++β+β,aproto M =+β= =90. M β S β si půlka z Vás dokazovala tvrzení standardním dopočítáváním úhlů, druhá půlka o něco elegantněji pomocí Thaletovy kružnice(slováci pomocí Tálesovej kružnice) a pár výjimek na to šlo přes shodnost a s využitím toho, že kosočtverec má kolmé úhlopříčky(to bylo oceněno imaginárním bodem).našlyseidvěkosinovévětyajedensoučinvektorů.hodněchybbylovmyšlencedůkazu, častojstedošliktomu,žetotakje,protožetotakjevzadání,nebojstesepravýúhelsnažili dokázat konstrukcí. Překvapivě hodně lidí si úlohu zjednodušilo na obdélník, ačkoli byl zadán rovnoběžník. (Monča Pospíšilová) Úloha 3. (100;85;,6;3) enka si namalovala rovnoramenný trojúhelník a s překvapením zjistila, že na jeho ramenech,resp. lzenajítbody P,resp. Qtakové,že = P = PQ = Q.Určetevelikost úhlu. (Vít Vejtek Musil) Hledanou velikost úhlu označme. Jelikož je trojúhelník QP rovnoramenný, je i QP =.Tedy PQ =adíkyrovnoramennostitrojúhelníku PQtaké PQ =. opočtemenyní P =180 PQ PQ =180 (180 4)=3.Rovnoramennost trojúhelníku P pak dává P = 3. Součet úhlů v rovnoramenném trojúhelníku jetakroven +3+3=7=180,odkuddostáváme,že =

6 Q V případě, že připouštíme i hraniční polohy bodů P a Q(ve vrcholech trojúhelníku ), může velikostúhlu nabývatještěhodnot36 (P=, Qležíuvnitřramene )nebo60 (P= nebo P=, Q=). Všichni,kteřípředložilivýsledek 180 (atakovýchbylavětšina),odemědostali3body.ti,kteří 7 objevili pouze rovnostranný trojúhelník (takových také nebylo úplně málo), si odnesli po bodu.zajímavéje,žesenašlipouze4řešitelé,kteřísedobralikvýsledku 180 a zároveň prokoukli 7 řešení s rovnostranným trojúhelníkem. Pochvala patří pánům Michalu Punčochářovi a Romanu Stránskému, kteří jako jediní rozebrali opravdu všechny hraniční případy. ále mě zaujalo, že čtyři řešitelétvrdí,ževelikostúhlu je0,podporujícetovesměsrozdílnýmiargumenty. (Háňa endová) P 3 3 Úloha 4. (110; 101; 4,51; 5) ulečníkový stůl má tvar konvexního čtyřúhelníku. Z bodu uvnitř strany vystřelíme kouli.tasepostupněodrazíodstran, a(úheldopadujerovenúhluodrazu)aznovu dospějedobodu ztakovéhosměru,žekdybysevbodě znovuodrazila,pokračovalabyposvé původní trase. Ukažte, že vrcholy stolu leží na jedné kružnici. (Pepa Tkadlec) Vrcholystoluležínajednékružniciprávětehdy,když + =180 (vizúvodní textksérii).součetvelikostívnitřníchúhlůčtyřúhelníkaje360,protostačíukázat,že + = +. Označmebodyodrazunastranách,, postupně, M, Navelikostijimpříslušných odrazových úhlůuvrcholů,, Ma Npostupně, β, a δ(vizobrázek). M β β N δ δ

7 Ztrojúhelníků N,, M,resp. NMvyjádřímeúhlyuvrcholů,,,resp. Potom platí N =180 δ, =180 β, M =180 β, MN =180 δ. + = N + M =360 (+β++δ)= = + MN = +, cožjepřesněto,cojsmechtělidokázat,atedybody,,, ležínajednékružnici. Většinazvássisúlohouhravěporadila,cožnástěší. Značení úhlů bylo opravdu různorodé, a tak mi postupně prošla pod rukama celá malá řecká abeceda. Jenom bych chtěla upozornit, že značit nějaký úhel π není úplně šťastné, neboť π je zároveň konkrétní velikost úhlu, počítáme-li v radiánech, a mohlo by pak docházet ke kuriozitám typu úhel πmávelikost π apodobně.nenítochyba,alesnažtesevystačitsisezbytkemabecedy. (-: (lča Skálová) Úloha 5. (78;67;4,13;5) Pepa si nakreslil kruhovou úseč s tětivou. Vejtek do obrázku přikreslil kružnici, která se dotýká úsečky vjejímvnitřnímbodě Eaprotínáobloukúsečevedvourůznýchbodech a tak,že body,,, ležínaúsečivtomtopořadí.okažte,že E = E. (Pepa Tkadlec) Podle věty o obvodovém a úsekovém úhlu je úhel nad tětivou E Vejtkovy kružnice roven úsekovémuúhlu,tudíž E = E.Součetvnitřníchúhlůvtrojúhelníku Ejeroven180 a takésoučetprotějšíchúhlůtětivovéhočtyřúhelníku jeroven180,takže E =(180 ) E =180 E E = E, což jsme měli dokázat. E Většina z došlých řešení si s úlohou hravě poradila a vysloužila si plný počet bodů. Několik řešitelů siudělaloúlohutěžší,kdyždokazovalivětuoobvodovémaúsekovémúhlu(tonenítřeba vtextu ktétosériijsmeřekli,žejimůžetebezobavpoužívat).občasjstechybovali,kdyžjstepracovalise

8 středy zadaných kružnic a zapomněli jste uvažovat všechny možné polohy toho středu. Za takové řešení jsem strhával bod. Naopak imaginární bod si vysloužili ti, kterým se podařilo vyřešit úlohu jednoduše, stručně a bez použití zbytečných věcí navíc. (Filip Hlásek) Úloha 6. (69;56;3,70;4) Jedánostroúhlýtrojúhelník.Označme 0, 0 patyjehovýšekzvrcholů,.rovnoběžka s vedenábodem 0 protneúsečku vbodě.rovnoběžkasvedenábodem 0 protne úsečku vbodě různémod.ukažte,že 0 = 0. (PepaTkadlec) Nejdřívedokážeme,že 0 = 0.áleukážeme,že 0 = 0.Ztěchto dvou tvrzení nám již požadovaný závěr bude plynout Víme,že 0 = = 0 (souhlasnéúhly).platíproto 0 =90 0 =90 0 = 0, čímžjeprvníčástnašehotvrzenídokázána.vedruhéčástistačídokázat,žebody 0, 0,, leží na jedné kružnici

9 Čtyřúhelník 0 0 jetětivový(jehoopsanákružnicejethaletovoukružnicínad ).íky tomu 0 0 = 0,takže 0 0 = = = 0. Ztohoplyne,žebody,, 0, 0 ležínajednékružnicibezohledunavzájemnoupolohu bodů,.skutečně,je-likblíže než,jestrana 0 vidětpodstejnýmúhlemzbodů 0 i.vopačnémpřípadějesoučetprotějšíchúhlů 0 a 0 0 čtyřúhelníku 0 0 roven 180. ůkaz je tak hotov. Skorokaždésprávnéřešenívyužívalotětivovost 0 0,ataksevětšinařešeníodsebemoc nelišila. Hlavním problémem této úlohy ale bylo jako obvykle pozorně si přečíst zadání a nedokazovatjednoduchourovnost 0 = 0.Uřešení,kterámělačtyřibody,bylnejčastěji problém právě se dvěma různými polohami bodů,, protože poté tam některé úhly nevycházely jakoshodné,alejakodoplňkydo180.álechápu,žespoustashodnýchúhlůbylazjevná,alemísty jsem musel předlouze pátrat ve vašich obrázcích po tom, jak jste přišli na nějakou rovnost dvou úhlů, a proto připomínám, že vyznačení dvou shodných úhlů, které nejsou střídavé, vrcholové či souhlasné, opravdu nestačí a je potřeba rovnost vysvětlit. (ukáš Zavřel) Úloha 7. (54;43;4,11;5) To lča našla na ramenech, jiného rovnoramenného trojúhelníku pro změnu body, takové,že = +.Středem Músečky pakvedlapřímkurovnoběžnous a označila N její průsečík se stranou. Zjistěte velikost úhlu N. (enka Slavíková) odem veďmerovnoběžkusestranou ajejíprůsečíksestranou označme O.Potom trojúhelník Ojepodobnýtrojúhelníku,ajelikož =,mámei = O. Navíc vidíme, že O je lichoběžník se základnami O a a střední příčkou MN, odkud plyne MN = O + = + = = M = M. od NtedyležínaThaletověkružnicinadprůměrem,aproto N =90. M O N

10 Velikost úhlu N správně určili všichni, počet bodů získaných za úlohu ovšem závisel i na cestě, jakou se ten který řešitel ke svému výsledku dobral. vaší cti nutno uznat, že řešení zasluhující si plný počet bodů výrazně převažovala nad těmi ostatními. Zároveň bych ale chtěla upozornit na jednu drobnou chybu, které se mnozí dopustili. Některé z možných způsobů řešení této úlohy(mezi něž ovšem nepatří ten výše uvedený) vyžadovaly rozlišení tří případů podle toho, která z úseček, je delší, případně jsou-li obě stejně dlouhé. Jelikož se ale první dva případy ukázaly být v podstatě symetrické(a třetí triviální), udělila jsem plný počet bodů i těm, kteří úlohu vyřešili pouzeprojedenzprvníchdvoupřípadů.otovětšíchválapaksamozřejměnáležívšem,kteřísi nutnosti provést diskusi povšimli. (enka Slavíková) Úloha 8. (6;16;,46;3) Naúhlopříčcekonvexníhočtyřúhelníkuzvolímebodtak,že =, = 1 a = 1.Ukažte,že = nebo =. (Pepa Tkadlec) Nechť je čtyřúhelník splňující zadání. Označme X průsečík osy úhlu a přímky. Osa úhlu je kolmá na, protože je rovnoramenný trojúhelník. Protože = ačtyřúhelník jekonvexní,přímka svíráspřímkou úhelmenšínežpravý. Protoseosaúhlu apřímka vždyprotnouabod Xjedobředefinovaný. Protože X = X, je X tětivový čtyřúhelník a platí = X. Navíc jeobraz vosovésymetriipodleosyúhlu,takže X = X.Ztohouž máme = = X + X = X. Rozlišíme dvě možnosti. (i) = X.Pak = X = X X = = = =(180 ) =, atedyjesplněnajednazrovnostízezadání. X

11 (ii) X.Pakdíky = X ležíbody,, a Xnajednékružnici. Jelikož je trojúhelník X rovnoramenný, je bod X od přímky dál než bod. od takmusíležetnejennapřímce X,aledokoncenaúsečce X.Ztohomáme = X a podle prvního případu X =. Platí tedy druhá zrovnostízezadáníaúlohajevyřešena. Našlo se mnoho odvážlivců, co se pokusilo úlohu vyřešit. Většině se to nepovedlo, ale našlo se i dost lidí, kterým ano. ohužel spousta lidí zapomněla diskutovat polohu bodu a přišli tak ojedenbod.někteřízasevyšliztrojúhelníku akonstruovalibod,cožmůžebýtsprávně, je ale třeba poznamenat, že každý čtyřúhelník takto dostaneme. Za to jsem nakonec body nestrhával. (Michael Majkl ílý) X