3. jarní série. Stereometrie. Háňasiběhempsaníbakalářkyvyrobilačtyřstěn,jehoždélkyhranjsouceláčísla1,1, x, x,3, 3.Čemuvšemusemůžerovnat x?

Transkript

1 Téma: atumodeslání:. jarní série Stereometrie ½¾º Ù Ò ¾¼½¼ ½º ÐÓ Ó Ýµ Háňasiběhempsaníbakalářkyvyrobilačtyřstěn,jehoždélkyhranjsouceláčísla1,1, x, x,,.čemuvšemusemůžerovnat x? ¾º ÐÓ Ó Ýµ Franta má doma stůl obdélníkového tvaru, kterému se zlomila jedna noha. Změřil si, že zbylé tři nohy mají délky 90cm, 95cm a 105cm(bráno postupně po obvodu obdélníku). Jak velkou nohu musí Franta vyrobit, aby se mu stůl neviklal? º ÐÓ Ó Ýµ Mějmekrychliohraně1.oníjsouvepsánydvěkoulesespolečnýmvnějšímdotykemtak,že první se dotýká tří stěn krychle a druhá se dotýká zbylých tří stěn krychle. Určete vzdálenost středů těchto koulí. Čtyři body prostoru, shodou náhod vrcholy pravidelného čtyřstěnu, jsou obarveny zelenou barvou. lča zelenou miluje, proto v zájmu estetiky obarví i všechny body, které leží na přímce s některými dvěma zelenými. Že je ale zelené pořád málo, provede tutéž operaci ještě jednou. Jsou pak už všechny body prostoru zelené? Rozhodněte, jestli je možné polepit pravidelný čtyřstěn několika shodnými pravidelnými šestiúhelníkovými nálepkami tak, že celý povrch čtyřstěnu je polepen, nálepky se nepřekrývají a neodstávají. Někde na povrchu pravidelného čtyřstěnu se objevil šnek. okažte, že existuje bod X(taktéž na povrchu)takový,žešnekmánavýběrzminimálnětřírůznýchnejkratšíchcest,jaksedobodu Xdostat. Uvažujme(nepravidelný) čtyřboký jehlan, kterému lze vepsat kouli. od dotyku této koule s podstavouoznačme P.álekolméprojekcebodu P nahranypodstavynazvěmepostupně P 1, P 2, P a P 4.okažte,žečtyřúhelník P 1 P 2 P P 4 jetětivový. Mějmevprostorudvěsféry 1 různýchpoloměrůabod,kterýležínajejichprůniku.okažte,že existuje bod s následujícími vlastnostmi: od neleží na žádné z daných dvou sfér a navíc pro každoukružniciprocházejícíbody a,kteráprotínásféryvdalšíchbodech Ma N(různých od ),platí M = N. 1 Sférajepovrchkoule.

2 Řešení. jarní série 1. úloha Háňasiběhempsaníbakalářkyvyrobilačtyřstěn,jehoždélkyhranjsouceláčísla1,1, x, x,,.čemuvšemusemůžerovnat x? Pokudhranyodélkách1,1nesousedí,takjsounaprotisoběačtyřstěnshranami1,1, x, x,, už má aspoň jednu stěnu tvořenou trojúhelníkem se stranami 1, x,. Podle trojúhelníkových nerovnostívtrojúhelníku1, x,je 1+x > a x <+1, coždávájedinoumožnost x=. Ukažme, že hrany 1, 1 skutečně nemohou sousedit. Kdyby totiž sousedily, tak by nutně ohraničovalytrojúhelník1,1, xabyloby x=1(opětztrojúhelníkovénerovnosti).náščtyřstěnby mělhrany1,1,1,1,,anějakoujehotrojúhelníkovoustěnubyohraničovalyhrany1,1,,což bynešlo,atímbychomdostalispor. Ještěbychommělizmínit,žečtyřstěnsdélkamihran1,1,,,,skutečněexistujeajeho stěny jsou tvořeny trojúhelníky 1,, úloha Franta má doma stůl obdélníkového tvaru, kterému se zlomila jedna noha. Změřil si, že zbylé tři nohy mají délky 90cm, 95cm a 105cm(bráno postupně po obvodu obdélníku). Jak velkou nohu musí Franta vyrobit, aby se mu stůl neviklal? Stůlsiobrátímevzhůrunohama,abysenanějlépekoukalo.Rohydeskysioznačíme,,, aodpovídajícíkoncenohou,,, tak,aby =90, =95, =105a hledáme. E? E 95

3 bysestůlneviklal,musíbody,,, ležetvjednérovině.průsečík a označíme E aprůsečík a označíme E. EE jeprůsečnicerovin a,tím pádemjekolmánadeskustolu. Podívejmesenalichoběžník : EE jerovnoběžnás is,navíc E = E (jeobdélník),takže EE jestřednípříčkalichoběžníka.obdobněseukáže,že jeistřednípříčkoulichoběžníka.íkytomumůžemedvakrátpoužítvzorecprodélku střední příčky: EE = + 2 = +. 2 Podosazenívyjde =100aFrantoviřekneme,žepotřebujenohudlouhou100cm.. úloha Mějmekrychliohraně1.oníjsouvepsánydvěkoulesespolečnýmvnějšímdotykemtak,že první se dotýká tří stěn krychle a druhá se dotýká zbylých tří stěn krychle. Určete vzdálenost středů těchto koulí. Označme S 1 a S 2 stredygulíar 1 a r 2 ichpolomery. G S 2 S 1 r 1 ody z telesovej uhlopriečky majú rovnakú vzdialenosť od troch stien kocky. Pretože sa guľa sostredom S 1 dotýkatrochstien,máodnichrovnakúvzdialenosťaležítedanatelesovejuhlopriečke.zrovnakéhodôvoduležínarovnakejuhlopriečkeaj S 2.ody S 1 a S 2 deliatelesovú uhlopriečkukockynatriúseky.prostrednýznichpredstavujevzdialenosť S 1 a S 2,takžejeho dĺžkajerovnásúčtupolomerov r 1 a r 2.Zvyšnédvaúsekypredstavujútelesovéuhlopriečkymenšíchkociek,ktoréležiavrohochveľkejkockyaichhranymajúveľkosť r 1 resp. r 2.Keďževeľkosť telesovejuhlopriečkyje -krátväčšiaakohranakocky,ostávaužlenzostaviťrovnicuavyjadriť hľadanúhodnotu: r1 +(r 1 + r 2 ) + r 2 =, {z } {z } {z } S 1 S 1 S 2 S 2 G r 1 + r 2 = =. +1 2

4 4. úloha Čtyři body prostoru, shodou náhod vrcholy pravidelného čtyřstěnu, jsou obarveny zelenou barvou. lča zelenou miluje, proto v zájmu estetiky obarví i všechny body, které leží na přímce s některými dvěma zelenými. Že je ale zelené pořád málo, provede tutéž operaci ještě jednou. Jsou pak už všechny body prostoru zelené? Po prvním obarvení jsou obarvené přímky, na kterých leží hrany čtyřstěnu. Ve druhém obarvení se určitě obarví roviny obsahující stěny čtyřstěnu. Pro zpřehlednění zbylého obarvování podáváme následující lemma. Lemma. Vprostorujsoudánydvězelenémimoběžky p, q.označme provinu,kteráobsahuje přímku pajerovnoběžnáspřímkou q.potomžádnýbodroviny mimopřímku pneležína přímce určené dvěma zelenými body. ůkaz. Vezměmelibovolnýbod p, / p,alibovolnýzelenýbod P p.potompřímka Pležícelávrovině pajetakdisjunktnísq.napřímce Pužtedynemůželežetzelenýbod z q.od neležínažádnépřímceurčenézelenýmibodyzpazq,dokázánojest. Vraťmesekřešeníúlohy.Čtyřstěnoznačímestandardně.Vezmemerovinu tak, že obsahujepřímku ajerovnoběžnáspřímkou. rovina ρ R Obdobnězvolme a.označme Rprůsečíkrovin,,.Jelikož R, takpodlelemmatubod Rneležínapřímcesedvěmazelenýmibodyza.Obdobně R neležínapřímcesedvěmazelenýmibodyza anisezelenýmibodyza. od R navíc neleží v rovině žádné stěny čtyřstěnu, takže zůstane i po druhém obarvování neobarven. lče se tedy určitě nepovedlo přebarvit celý prostor na zeleno. 5. úloha Rozhodněte, jestli je možné polepit pravidelný čtyřstěn několika shodnými pravidelnými šestiúhelníkovými nálepkami tak, že celý povrch čtyřstěnu je polepen, nálepky se nepřekrývají a neodstávají.

5 Ukážeme, že čtyřstěn jde pokrýt dvěma šestiúhelníky. Plášť čtyřstěnu si rozložme do roviny a pokryjme dvěma šestiúhelníky podle prvního obrázku. Našipkáchjeznázorněno,kamse přehnou přesahujícítrojúhelníčky všechnysinajdou volné místo. Na druhém obrázku je vidět, že takto pokryjeme celý čtyřstěn. 6. úloha Někde na povrchu pravidelného čtyřstěnu se objevil šnek. okažte, že existuje bod X(taktéž na povrchu)takový,žešnekmánavýběrzminimálnětřírůznýchnejkratšíchcest,jaksedobodu Xdostat. Označme vrcholy čtyřstěnu,,,. Rozložme povrch čtyřstěnu do roviny(viz obrázek). Tojdemnohazpůsoby,nanašemobrázkujsouvšechnyzkombinované.ody, a jsou tak sice různé, ale ve skutečnosti se jedná o týž vrchol čtyřstěnu, pouze jinak rozloženého do roviny.podobněsenakopírujívrcholy, a.místo,kdeseobjevilšnek,označme Š.íky symetrii čtyřstěnu můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že leží na stěně a dokonce v naznačené třetině nejblíže vrcholu. Nyní sestrojíme hledaný bod. ody, veďme kolmice naúsečky Š, Š.Jejichprůsečíkoznačme X.Tenležívtrojúhelníku (nezapomeň,že jsme předpokládali, že šnek se objeví v šedě vyznačené oblasti). Zobrazíme-li jej v osových souměrnostechsestředyvbodech a,dostanemevtrojúhelnících a body X a X,kteréreprezentujítentýžbodnapovrchučtyřstěnujako X. X P X ˇS X X

6 Vidíme,že ŠX = ŠX = ŠX (neboli X, X a X ležínaobvodutéžekružnicese středem Š).ExistujítaktřirůznéstejnědlouhépřímécestypopovrchučtyřstěnuodšnEka dobodu X,každávedepřesjinouzhranohraničujícíchstěnu.Ještějetřebaukázat,že jeúsečka ŠX aspoňtakdlouhájako ŠX,abybylytřinalezenécestynejkratší.Tutootázku vyřešíme následujícími ekvivalencemi: ŠX ŠX X Š X Š X Š 90 ležívněkružniceopsané X Š X X Š = XŠ = X = X X ležíuvnitř P, kde Pjestřed.Ztoho,žeúhel ŠX jepravý,užplyne,že X ležíuvnitř P,takže jsoutřivyznačenécestyzšdo X, X, X skutečněnejkratší. 7. úloha Uvažujme(nepravidelný) čtyřboký jehlan, kterému lze vepsat kouli. od dotyku této koule s podstavouoznačme P.álekolméprojekcebodu P nahranypodstavynazvěmepostupně P 1, P 2, P a P 4.okažte,žečtyřúhelník P 1 P 2 P P 4 jetětivový. Úlohu rozdělíme na dvě podúlohy, které vyřešíme zvlášť. 1. podúloha. Mějme čtyřboký jehlan s podstavou, který má vepsánu kouli. od dotyku spodstavouoznačme P.Potomplatí P + P = P + P. 2.podúloha. Jedánkonvexníčtyřúhelník abod P vjehovnitřkutakový,žeproněj platí P + P = P + P. Označme P 1, P 2, P, P 4 postupněpatykolmiczp nastranyčtyřúhelníku.potomje P 1 P 2 P P 4 tětivový. Řešení1.podúlohy. Označme V hlavnívrcholjehlanuaq 1, Q 2, Q, Q 4 postupněbodydotyku koule vepsané se stěnami V, V, V, V. Rozdělme pomyslně stěnu V na tři trojúhelníky: Q 1, V Q 1 a V Q 1.Podobněrozdělmeiostatníbočnístěnynatřitrojúhelníky a podstavu na čtyři. Ukážeme, že spousta těchto trojúhelníků je shodných(obr. 1).

7 V Q 4 Q 1 Q P Q 2 P 4 P P P 2 Obr podúloha P 1 Obr podúloha Vzhledemktomu,žeúsečky V Q 1, V Q 2, V Q a V Q 4 jsoutečnékekulovéplošezestejného bodu,jsouvšechnystejnědlouhé.nalogickyplatíi Q 1 = P = Q 2, Q 2 = P = = Q, Q = P = Q 4 a Q 4 = P = Q 1.Podlevětysssjsoutedyshodné vždytydvatrojúhelníky,kterésdílíhranupůvodníhojehlanu(tedynapříklad V Q 1 a V Q 2 nebo Q 1 a P).Označmeještě α= Q 1 V = Q 4 V, β= Q 2 V = Q 1 V a analogicky γa δ.pakplatí P + P = Q 1 + Q ostali jsme výchozí bod pro druhou podúlohu. =(60 α β)+(60 γ δ) =(60 α δ)+(60 β γ) = Q 4 + Q 2 = P + P. Řešení2.podúlohy. Součetlevéapravéstranypředchozírovnostidává60,každáznichmusí býttedyrovna180.nakreslemesiteďčtyřúhelník sbodem Papatamikolmic(Obr.2). Pomocíčtyřtětivovýchčtyřúhelníkůtypu P 1 PP 4 (majíprotisobědvapravéúhly)dopočítáme P P 4 P 1 + P 1 P 2 P =(180 P 4 P P 1 P 4 )+(180 P 2 P 1 P P 2 ) =60 ( PP + P 1 P + PP 1 + P P ) = =180, takžečtyřúhelník P 1 P 2 P P 4 jetětivový. 8. úloha Mějmevprostorudvěsféry 2 různýchpoloměrůabod,kterýležínajejichprůniku.okažte,že existuje bod s následujícími vlastnostmi: od neleží na žádné z daných dvou sfér a navíc pro 2 Sférajepovrchkoule.

8 každoukružniciprocházejícíbody a,kteráprotínásféryvdalšíchbodech Ma N(různých od ),platí M = N. Podle Filipa Luxe: od rovinně souměrný s bodem podle roviny půlící spojnici středů koulí označme. Ukážeme, žepronějplatítvrzenízezadání.veďmeskrzebody anějakoukružnicijakovzadání,její středoznačme Oapoloměr r.podívejmesenařezvrovinězvolenékružnice. o S 1 S 2 N M Ukážeme,žejsoučtyřúhelníky OS 1 Ma ONS 2 shodné,atímpádemmajístejnědlouhé úhlopříčky M a N. Osovárovinasevřezuzobrazujejakopřímka oaosovásouměrnostpodle ozobrazuje, S 1 S 2.íkytomuplatírovnosti S 1 = S 2 a S 1 = S 2.Jelikož Oležínaose o,tak navíc OS 1 = OS 2.Zrovnostíodpovídajícíchdélekstrandostanemeshodnostitrojúhelníků: O = ON, S 1 = NS 2, S 1 O = S 2 O OS 1 = ONS2, OS 1 = OS 2, S 1 M = S 2, O = MO OS 2 = OS 1 M. Zeshodnostítrojúhelníkůplyneshodnostčtyřúhelníků OS 1 M a ONS 2,speciálněpak délekúseček Ma Naúlohajevyřešena. O