CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

2 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické posloupnosti dané jejími třemi po sobě jdoucími členy a 2, a (a + 1), a (a + 2) je rovna 4. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Jsou dány funkce f: y = px + 3p a g: y = 3 + px, kde p je reálný parametr. 2 Určete všechna p R tak, aby platilo: f(x + p) = g(x) + p. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. Do kruhu o poloměru 4 cm je vepsán lichoběžník ABCD, jehož tři strany AD, CD, BC mají stejnou délku a úhlopříčka AC svírá se stranou BC pravý úhel. 3.1 Určete délku strany AB lichoběžníku. 3.2 Určete délku strany CD lichoběžníku. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Obal na lék proti alergii tvoří nádobka na lék ve tvaru válce a víčko ve tvaru půlkoule o stejném poloměru, jakou má válec. Půlkoule má oproti válci poloviční výšku. Výška celého obalu je 12 cm. V nádobce ještě zbývá 20 % objemu léčiva. 4 Kolik cl léčiva ještě v nádobce zůstalo? Výsledek zaokrouhlete na jednotky. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body K[2, 3], L[4, 5]. 5 Určete bod na ose x, kterým prochází osa úsečky KL. 2 Maturita z matematiky 08

3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Je dáno, že sinα = 0,8 a cotgα = 0,75. 6 Určete hodnotu cos2α. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dán výraz B = A pro A 0. 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Číslo A 2 je kladné. 7.2 Číslo A 2 je kladné. 7.3 Číslo B je větší nebo rovno než Je-li A = 2, potom B = ANO NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Je dána úsečka AB. Pro jistý bod P platí: PA = 1 2 AB BAP = Která z možností A E určuje správně polohu bodu P? A) Bod P leží na přímce AB. B) Bod P je vrcholem rovnostranného trojúhelníka APB. C) Bod P je vrcholem pravoúhlého trojúhelníka APB. D) Bod P je vrcholem tupoúhlého trojúhelníka APB. E) Žádná z předchozích. 2 body 9 Která z možností A E udává úplný definiční obor výrazu V(x) = 3 x x + 3? A) x 3 B) x 3 x 3 C) 3 x 3 D) 3 < x 3 E) 3 > x x > 3 2 body Maturita z matematiky 08 3

4 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Jsou dány číslice 1, 2, 6, 8 a 9. max. 4 body 10 Přiřaďte zadáním ( ) jejich řešení (A F) Počet všech trojciferných přirozených čísel vytvořených z těchto číslic, aniž by se číslice v ciferném zápisu opakovaly Počet všech sudých trojciferných přirozených čísel vytvořených z těchto číslic, aniž by se číslice v ciferném zápisu opakovaly Počet všech přirozených čísel menších než 6200 vytvořených z těchto číslic, aniž by se číslice v ciferném zápisu opakovaly Počet všech přirozených čísel vytvořených z těchto číslic, aniž by se číslice v ciferném zápisu opakovaly. A) 325 B) 139 C) 120 D) 60 E) 36 F) 3 KONEC TESTU 4 Maturita z matematiky 08

5 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické posloupnosti dané jejími třemi po sobě jdoucími členy a 2, a (a + 1), a (a + 2) je rovna 4. Určíme nejprve diferenci posloupnosti. Pro tři po sobě jdoucí členy platí, že rozdíl dvou po sobě jdoucích je vždy stejný a roven diferenci aritmetické posloupnosti. a (a + 1) a 2 = d a 2 + a a 2 = a a (a + 2) a (a + 1) = d a 2 + 2a a 2 a = a Diference posloupnosti je a. Existuje jen jediná možná hodnota proměnné a, a to a = 4. Řešení: jedna VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Jsou dány funkce f: y = px + 3p a g: y = 3 + px, kde p je reálný parametr. 2 Určete všechna p R tak, aby platilo: f(x + p) = g(x) + p. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. f(x + p) = p(x + p) + 3p g(x) + p = 3 + px + p Výrazy porovnáme. p(x + p) + 3p = 3 + px + p px + p 2 + 3p = 3 + px + p p 2 + 2p 3 = 0 (p + 3)(p 1) = 0 p = 1 p = 3 Řešení: p = 1 p = 3 Do kruhu o poloměru 4 cm je vepsán lichoběžník ABCD, jehož tři strany AD, CD, BC mají stejnou délku a úhlopříčka AC svírá se stranou BC pravý úhel. 3.1 Určete délku strany AB lichoběžníku. Ze zadání plyne, že trojúhelník ABC je pravoúhlý, z Thaletovy věty tedy vyplývá, že strana AB je průměrem kruhu. Délka strany AB je tedy dvojnásobné délky, než je poloměr kruhu, tj. 8 cm. Řešení: 8 cm Maturita z matematiky 08 5

6 3.2 Určete délku strany CD lichoběžníku. Protože lichoběžník má tři strany stejně dlouhé, rozdělují body C a D příslušnou půlkružnici AB, na níž leží, na tři stejné dlouhé části. Z toho vyplývá, že trojúhelníky ASD, DSC a DSB, kde S je středem strany AB a středem kruhu, mají vnitřní úhly u vrcholu S shodné. Jejich velikost je 60. Protože jejich strany jsou poloměrem kruhu, je navíc patrné, že jsou rovnoramenné, tudíž rovnostranné a všechny jejich strany jsou stejně dlouhé, rovny velikosti poloměru kruhu. Strana CD má tedy délku 4 cm. Řešení: 4 cm VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Obal na lék proti alergii tvoří nádobka na lék ve tvaru válce a víčko ve tvaru půlkoule o stejném poloměru, jakou má válec. Půlkoule má oproti válci poloviční výšku. Výška celého obalu je 12 cm. V nádobce ještě zbývá 20 % objemu léčiva. 4 Kolik cl léčiva ještě v nádobce zůstalo? Výsledek zaokrouhlete na jednotky. 1 bod Výška v půlkoule je zároveň jejím poloměrem, válec má tedy výšku 2v a poloměr v. Objem V válce (nádobky na léčivo) je πv 2 2v = 2πv 3. Výška 3v obalu je 12 cm, tedy v = 4 cm. Objem léčiva v nádobce je 0,2 V = 0,2 2πv 3 = 0,2 2π(4 cm) 3 80,42 cm 3 = 80,42 ml = = 8,042 cl 8 cl Řešení: 8 cl VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body K[2, 3], L[4, 5]. 5 Určete bod na ose x, kterým prochází osa úsečky KL. 6 Maturita z matematiky 08

7 Osa o úsečky KL je přímka kolmá k přímce KL, která prochází středem S úsečky KL. Směrovým vektorem s přímky o je vektor kolmý na vektor KL = L K = (2, 2). (2, 2) (2, 2) s = (1, 1) Střed S úsečky KL je bod S = [ 2 + 4, ] = [3, 4]. Z toho plyne, že o = {3 + t, 4 + t; t R}. Body osy x mají nulovou y-ovou souřadnici, musí tedy platit soustava rovnic: x = 3 + t 0 = 4 + t Z druhé rovnice zjistíme, že t = 4. Dosadíme jej do rovnice první a zjistíme x. x = = 7 Osa o úsečky KL prochází na ose x bodem [7, 0]. Řešení: [7, 0] VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Je dáno, že sinα = 0,8 a cotgα = 0,75. 6 Určete hodnotu cos2α. Pro všechny reálné α platí: cos2α = cos 2 α sin 2 α a pro všechny reálné α k 180 ; k Z platí: cotgα = cosα cosα = cotgα sinα. sinα Vyjádříme tedy první vztah s pomocí vztahu druhého: cos2α = cos 2 α sin 2 α = (cotgα sinα) 2 sin 2 α a dosadíme zadané hodnoty. cos2α = [ 0,75 ( 0,8)] 2 ( 0,8) 2 = 0,36 0,64 = 0,28 Řešení: 0,28 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dán výraz B = A pro A 0. 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Číslo A 2 je kladné. 7.2 Číslo A 2 je kladné. 7.3 Číslo B je větší nebo rovno než Je-li A = 2, potom B = ANO NE Maturita z matematiky 08 7

8 7.1 Protože A 0 je výraz A 2 rovněž záporný, dokonce menší nebo roven 2. Není tedy kladný. Tvrzení je nepravdivé. 7.2 Z předchozího vyplývá, je-li výraz A 2 menší nebo roven 2, je výraz A 2 větší nebo roven 2. Je tedy kladný. Tvrzení je pravdivé. 7.3 Protože číslo B je o 3 větší než výraz A 2, vyplývá z předchozích odvození, že B je vždy větší nebo rovno 5. Tvrzení je pravdivé. 7.4 Dosadíme zadanou hodnotu A. B = Číslo 2 2 je záporný, tedy číslo 2 2 = B = = Tvrzení je nepravdivé. Řešení: NE, ANO, ANO, NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Je dána úsečka AB. Pro jistý bod P platí: PA = 1 2 AB BAP = Která z možností A E určuje správně polohu bodu P? A) Bod P leží na přímce AB. B) Bod P je vrcholem rovnostranného trojúhelníka APB. C) Bod P je vrcholem pravoúhlého trojúhelníka APB. D) Bod P je vrcholem tupoúhlého trojúhelníka APB. E) Žádná z předchozích. 2 body 8 Maturita z matematiky 08

9 Zadání říká, že bod P je jeden průsečík kružnice o poloměru poloviční délky než je délka úsečky AB a druhého ramene úhlu, jehož vrchol leží v bodě A a druhé rameno v přímce AB, který má velikost 60. Bod P tedy nemůže ležet na přímce AB. Je-li S střed úsečky AB, pak ten leží na stejné výše uvedené kružnici, jako bod P. Trojúhelník ASP je tedy rovnostranný. Trojúhelník APB tedy nemůže být rovnostranný. Protože konvexní úhly ASP a BSP jsou vedlejší, má úhel BSP velikost 120. Trojúhelník BSP je rovnoramenný, tedy jeho vnitřní úhly jsou shodné a mají (aby součet všech jeho vnitřních úhlů byl úhel přímý) velikost 30. Konvexní úhel APB musí být tedy velikosti 90. Trojúhelník APB je tedy pravoúhlý, nemůže být už tedy tupoúhlý. Možnost C, která je správná, tedy vylučuje možnost E. Správná je možnost C. Řešení: C 9 Která z možností A E udává úplný definiční obor výrazu V(x) = 3 x x + 3? A) x 3 B) x 3 x 3 C) 3 x 3 D) 3 < x 3 E) 3 > x x > 3 2 body Výraz je definován pro taková reálná x, která splňují podmínku: 3 x x x ( ; 3) x ( 3; 3) x = 3 x 3; + ) 3 x x x + 0 x + 3 Pro x ( 3, 3 je výraz definován. Přepíšeme-li interval zápisem nerovností, jedná se o 3 < x 3. Správně je tedy možnost D. Řešení: D Maturita z matematiky 08 9

10 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Jsou dány číslice 1, 2, 6, 8 a 9. max. 4 body 10 Přiřaďte zadáním ( ) jejich řešení (A F) Počet všech trojciferných přirozených čísel vytvořených z těchto číslic, aniž by se číslice v ciferném zápisu opakovaly Počet všech sudých trojciferných přirozených čísel vytvořených z těchto číslic, aniž by se číslice v ciferném zápisu opakovaly Počet všech přirozených čísel menších než 6200 vytvořených z těchto číslic, aniž by se číslice v ciferném zápisu opakovaly Počet všech přirozených čísel vytvořených z těchto číslic, aniž by se číslice v ciferném zápisu opakovaly. A) 325 B) 139 C) 120 D) 60 E) 36 F) Tvoříme trojice z pěti číslic, v nichž záleží na pořadí číslic a číslice se neopakují. Jedná se tedy o tříčlenné variace bez opakování z pěti prvků. V 3 (5) = = 60 Řešení: D 10.2 Tvoříme trojice číslic, které mají na konci 2, 6 nebo 8. Přesněji tedy tvoříme tři dvojice ze čtyř číslic, v nichž záleží na pořadí číslic a číslice se neopakují. 3V 2 (4) = = 36 Řešení: E 10.3 Počet všech přirozených čísel menších než 6200 vytvořených z těchto číslic, aniž by se číslice v ciferném zápisu opakovaly. Napřed vytvoříme všechna možná čtyřciferná čísla. Tvoříme čtveřice čísel, které mají na první pozici 1 nebo 2, tedy tvoříme dvě trojice ze čtyř číslic, v nichž záleží na pořadí číslic a číslice se neopakují. Dále tvoříme čtveřice čísel, které mají na první pozici 6 a na druhé pozici 1, tedy tvoříme jednu dvojici ze tří číslic. Potom vytvoříme všechny trojciferná čísla, tj. trojice z pěti číslic, v nichž záleží na pořadí číslic a číslice se neopakují. Dále dvojciferná čísla, tj. dvojice z pěti číslic, v nichž záleží na pořadí číslic a číslice se neopakují. Nakonec jednociferná čísla těch je pět. 2 V 3 (4) + V 2 (3) + V 3 (5) + V 2 (5) + V 1 (5) = = = 139 Řešení: B 10 Maturita z matematiky 08

11 10.4 Počet všech přirozených čísel vytvořených z těchto číslic, aniž by se číslice v ciferném zápisu opakovaly. Napřed vytvoříme všechna možná pěticiferná čísla, tj. pětice z pěti číslic, v nichž záleží na pořadí číslic a číslice se neopakují. Potom vytvoříme všechna čtyřciferná čísla, tj. čtveřice z pěti číslic, v nichž záleží na pořadí číslic a číslice se neopakují. Dále všechna trojciferná čísla, tj. trojice z pěti číslic, v nichž záleží na pořadí číslic a číslice se neopakují. Dále dvojciferná čísla, tj. dvojice z pěti číslic, v nichž záleží na pořadí číslic a číslice se neopakují. Nakonec jednociferná čísla těch je pět. V 5 (5) + V 4 (5) + V 3 (5) + V 2 (5) + V 1 (5) = = = = 325 Řešení: A KONEC TESTU Maturita z matematiky 08 11

12 12 Maturita z matematiky 08

13 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 jedna 1 bod 2 f(x + p) = p(x + p) + 3p g(x) + p = 3 + px + p Výrazy porovnáme. p(x + p) + 3p = 3 + px + p px + p 2 + 3p = 3 + px + p p 2 + 2p 3 = 0 (p + 3)(p 1) = 0 p = 1 p = 3 Řešení: p = 1 p = cm 1 bod cm 1 bod 4 8 cl 1 bod 5 [7, 0] 6 0, podúlohy 2 b. 7.1 NE 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 ANO 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 ANO 7.4 NE 8 C 2 body 9 D 2 body Maturita z matematiky 08 13

14 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b D 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b E 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b B 10.4 A 14 Maturita z matematiky 08

15 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 2 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1 bod bod bod 4 1 bod podúlohy 2 b podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b body 9 2 body Maturita z matematiky 08 15

16 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 08