Geometrická zobrazení

Transkript

1 Geometrická zobrazení ½º Ö ÐÓÚ Ö Ì ÖÑ Ò Ó Ð Ò º ÔÖÓ Ò ¾¼½½ ÐÓ ½º Nastraně Dčtverce Djedánbod E.Osaúhlu Eprotnestranu vbodě F.Dokažte, že E = F + DE. ÐÓ ¾º V rovině jsou dány body a. Uvažme všechny konvexní pětiúhelníky DE v jedné polorovině určené přímkou takové, že DE je rovnoběžník a D je rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u vrcholu. Ukažte, že kružnice nad průměrem E procházejí všechny jedním bodem. ÐÓ º Jedántrojúhelník.Označme T a boddotykukružnicevepsanésestranou a E a střed kružnicektétostraněpřipsané.obdobnědefinujeme T b, E b a T c, E cprostrany a.dokažte, žepřímky T ae a, T b E b a T ce cprocházejíjednímbodem.

2 Geometrická zobrazení ½º Ö ÐÓÚ Ö ÎÞÓÖÓÚ õ Ò Úloha 1. (59; 53; 4,49; 5,0) Nastraně Dčtverce Djedánbod E.Osaúhlu Eprotnestranu vbodě F.Dokažte, že E = F + DE. (PepaTkadlec) õ Ò F D E F Uvažmeotočenítrojúhelníka F o90 okolobodu takové,že DaF F.Otočení zachováváúhly,atakbudebod F ležetnapřímce D.Protožeúhel FF jepravýazezadání je F = FE,platí F D = F =90 F = FF FE = EF. Odtudvyplývá,žetrojúhelník EF jerovnoramennýsezákladnou F.Spolusvyužitímvlastností otočení lze psát E = F E = F D + DE = F + DE, což jsme měli dokázat. Většina z vás úlohu vyřešila bez problémů a stejně jako ve vzorovém řešení. Častým způsobem bylo také ověření rovnosti pomocí goniometrických funkcí a vzorců. Tato řešení byla sice správná, ale postrádala eleganci a přehlednost pěkného syntetického řešení. (Petr Ryšavý) Úloha 2. (46; 40; 4,30; 5,0) V rovině jsou dány body a. Uvažme všechny konvexní pětiúhelníky DE v jedné polorovině určené přímkou takové, že DE je rovnoběžník a D je rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u vrcholu. Ukažte, že kružnice nad průměrem E procházejí všechny jedním bodem. (Mirek Olšák& Pepa Tkadlec)

3 õ Ò Osa úsečky protne kružnici nad průměrem ve dvou bodech. Označme písmenem X ten znich,kterýležívopačnépoloroviněurčenépřímkou nežbody,, D.Ukážeme,ževšechny kružnice nad průměry E procházejí právě tímto bodem X. Díkykonstrukcibodu X platí X = X.Zároveňzezadání E = D =.Navíc označíme-li E =α,můžemepsát XE =45 + αa X = (180 α) 90 =45 +α.podlevětysusjsouprototrojúhelníky XEa Xshodné. To ovšem znamená, že EX = X, takže XE = X + X EX = X =90 a Xskutečněležínakružnicisprůměrem E. E D α 180 α X ÖÙ õ Ò ÔÓ Ð ÇÒ ÖÝ Ýµ V posunutí T přejdebod Edobodu D.Votočení R (, 90 )přejdebod Ddobodu.Složením získámezobrazení Z= R (, 90 ) T,kterézobrazíbod Edobodu. Označme posuúsečky, qkolmicina vedenoubodem a rpřímkuprocházejícíbodem,kterásqsvírá(orientovaný)úhel 45.Pak Z= R (, 90 ) T =(r q) (q p)=r p, takžezobrazení Zjeotočenípodleprůsečíkupřímek rap(označmeho O)odvojnásobekúhlu,který svírají.jelikož p q,jetentoroven 45 a Zjetakotočenío 90.Platíproto OE =90. Zbývásiuvědomit,žepolohabodu Ozávisípouzenapolozebodů a,takževšechnykružnice nad průměry E opravdu procházejí jedním bodem. E p D q r O

4 Téměř všichni odhalili, kterým že bodem budou všechny zmíněné kružnice procházet, a drtivé většině se to i(všelijakými způsoby) podařilo dokázat. Mým největším snem je totálně vymýtit nešvar spočívající v používání bodů, které nejsou v zadání, aniž by člověk řekl, co jsou zač. Uvidíme, jestlisemitoněkdypodaří:). Jinak úloha šla velmi přímočaře řešit analyticky(nejlépe s počátkem v bodě ), schválně si to zkuste! (Pepa Tkadlec) Úloha 3. (27; 23; 4,15; 5,0) Jedántrojúhelník.Označme T a boddotykukružnicevepsanésestranou a E a střed kružnicektétostraněpřipsané.obdobnědefinujeme T b, E b a T c, E cprostrany a.dokažte, žepřímky T ae a, T b E b a T ce cprocházejíjednímbodem. (MirekOlšák) õ Ò Středykružnicpřipsaných E b,e cležínavnějšíoseúhluuvrcholu,kterájekolmánaosuvnitřního úhluuvrcholu.dáleúsečky T b, T cjsoustejnědlouhé,protožejsoutečnamikvepsanékružnici. Trojúhelník T b T cjetakrovnoramennýaosaúhlu T b T csplývásvýškouzbodu. Jakpřímka E b E c,takpřímka T b T c jekolmánaosuúhlu,tedytytodvěpřímkyjsou rovnoběžné.nalogickyjerovnoběžnáie ce as T ct aataky E ae b s T at b.trojúhelníky T at b T ca E ae b E cmajírovnoběžnéodpovídajícísistranyanavícjsousipodobné,protožezrovnoběžnosti automaticky plyne shodnost úhlů(například posunutím). E c E b T c T b T a E a Existujetedystejnolehlost,kterázobrazítrojúhelník T at b T cna E ae b E c.jejístředoznačíme S. Víme,že Sjevlastní,protože T at b T cjecelýuvnitř E ae b E cazdefinicestejnolehlostijímprochází přímky E at a, E b T b, E ct c. Nejvíc mě naštval jeden řešitel, který se rozhodl úlohu řešit analyticky. Za večer strávený kontrolou jeho výpočtů byl náležitě imaginárně potrestán. Naproti tomu jsem i-čko udělil řešitelům, jejichž řešení se příliš nelišilo od vzorového a dále Martinu Töpferovi, který našel trochu jiné stejnolehlé trojúhelníky.někteřízbytečnědokazovali dvakrát podobnost E ae b E c a T at b T c,poprvépřes úhly a až podruhé dokázali rovnoběžnost. Možná jsme vás zmátli potřebou podobnosti v textu k seriálu(třetí vlastnost stejnolehlosti). Ta je totiž potřeba ověřit až u čtyř- a víceúhelníků, například neexistuje stejnolehlost mezi obdélníkem a čtvercem. (Mirek Olšák)

5 Geometrická zobrazení ¾º Ö ÐÓÚ Ö Ì ÖÑ Ò Ó Ð Ò ½ º ÒÓÖ ¾¼½¾ ÐÓ ½º Vtrojúhelníkujsoudánytřikružnice k a, k b, k ctak,žekaždédvěmajívnějšídotyk, k asedotýká stran,, k b stran, ak cstran,.oddotyku k b s k coznačíme 1,boddotyku k cs k aoznačíme 1.Dokažte,žepřímky 1, 1 aosaúhluuvrcholu procházejíjedním bodem. ÐÓ ¾º Na stranách D, čtyřúhelníku, který má protější strany různoběžné, jsou dány body E a F tak,že E ED = F.Polopřímka FEprotnepolopřímky, Dpořaděvbodech S, T.Dokažte, F že kružnice opsané trojúhelníkům SE, SF, T F a T DE procházejí jedním bodem. ÐÓ º Elipsavepsanáobdélníku Dsedotýkájehostran,, D, Dpostupněvbodech X, V, W, Y.Dokažte,že Y X = X DY.

6 Geometrická zobrazení ¾º Ö ÐÓÚ Ö ÎÞÓÖÓÚ õ Ò Úloha 1. (23; 19; 4,13; 5,0) Vtrojúhelníkujsoudánytřikružnice k a, k b, k ctak,žekaždédvěmajívnějšídotyk, k asedotýká stran,, k b stran, ak cstran,.oddotyku k b s k coznačíme 1,boddotyku k cs k aoznačíme 1.Dokažte,žepřímky 1, 1 aosaúhluuvrcholu procházejíjedním bodem. (Pepa Tkadlec) õ Ò Označme k kružnici vepsanou trojúhelníku a H střed(unikátní) vnitřní stejnolehlosti zobrazujícíkružnici k cnakružnici k.od Hjistěležínaspojnicistředůkružnic k ca k,cožjeosaúhlu uvrcholu. k c k H 1 1 k a k b Nyníuvažujmevnitřnístejnolehlost,kterámástředvbodě 1 azobrazíkružnici k cnakružnici k a,avnějšístejnolehlost,kterámástředvbodě azobrazíkružnici k a nakružnici k (první stejnolehlostexistuje,protoževbodě 1 se k ca k adotýkají,atadruhá,protožepřímky a jsouspolečnétečnykružnic k aa k).složenímtěchtostejnolehlostívzniknevnitřnístejnolehlost zobrazujícíkružnici k cnakružnici k,takžedíkytvrzeníoskládánístejnolehlostízeseriáluležíbod Hnapřímce 1. nalogickyseukáže,že Hležítakénapřímce 1.Tímtojsmedokázali,žedanétřipřímky procházejí jedním bodem.

7 Všimnětesi,žejsmevřešenínikdenepoužilidotykkružnic k a, k b atvrzenískutečněplatíipokudse nedotýkají. Téměř všechna došlá řešení byla správně, jenom občas trochu scházelo odůvodnění, že jsouobastředystejnolehlostízobrazujícíkružnici k cnakružnici kskutečněstejné.takovédrobné nedostatky jsem odpouštěl. (Filip Hlásek) Úloha 2. (18; 18; 5,00; 5,0) Na stranách D, čtyřúhelníku, který má protější strany různoběžné, jsou dány body E a F tak,že E ED = F.Polopřímka FEprotnepolopřímky, Dpořaděvbodech S, T.Dokažte, F že kružnice opsané trojúhelníkům SE, SF, T F a T DE procházejí jedním bodem. (Pepa Tkadlec) õ Ò ÔÓ Ð Ñ Ä µ Označme X druhý průsečík kružnic opsaných trojúhelníkům SE a SF různý od S(ten existuje, neboť E a F jsou různoběžné). X D F T E S Podle popisu konstrukce středu spirální podobnosti je X středem spirální podobnosti S, která zobrazuje Ena F. Jelikož E / ED = F / F abody, E, Da, F, ležívtomtopořadínapřímkách, zobrazísevsbod Ddobodu.Podobnost Sprototakézobrazujeúsečku EDnaúsečku F a bodem X(jakožto jejím středem) podle popisu konstrukce středu procházejí i kružnice opsané trojúhelníkům TDEa TF.Jsmehotovi. žnavýjimkybylavšechnadošlářešenívpodstatěstejná.velmimilejsteměpotěšilitím,jakbyla řešení sepsaná! Nikdo nelhal, všichni jste řadili myšlenky za sebe ve správném pořadí, no zkrátka radostopravovat:-). Na závěr mám pro ty z vás, kdo úlohu vyřešili, ještě jeden povzbuzovač sebevědomí. Věřte nebo nevěřte, ale pokořili jste nejtěžší úlohu amerického celostátka z roku 2006! (Pepa Tkadlec)

8 Úloha 3. (24; 20; 4,04; 5,0) Elipsavepsanáobdélníku Dsedotýkájehostran,, D, Dpostupněvbodech X, V, W, Y.Dokažte,že Y X = X DY. (Mirek Olšák) õ Ò Zobrazíme celý obrázek afinním zobrazením, které zobrazí vepsanou elipsu na kružnici. finní zobrazenízachovávárovnoběžnostitečnykelipse,tedy D buderovnoběžníksvepsanou kružnicí, tedy kosočtverec. D W D W V V Y Y X X Úsečky X a Y jsoustejnědlouhé,protožesejednáotečnyzjednohobodukekružnici. Úsečky X a D X jsourovněžstejnědlouhé,protožejdeodoplňkytěchpředchozíchdostrany kosočtverce(kosočtverec má všechny strany stejně dlouhé). Tím máme X Y = X Y. finní zobrazení zachovává poměry na přímce, takže X Y = X Y = X Y = X Y, cožpoúpravědává Y X = X DY. Párřešitelůsedomnívalo,žeelipsamusíbýtvobdélníku rovně,tímsialeúlohuznačnězjednodušili a dostali jediný bod. Jinak byla úloha jednoduchá a většina řešitelů ji hravě zvládla. (Mirek Olšák)

9 Geometrická zobrazení º Ö ÐÓÚ Ö Ì ÖÑ Ò Ó Ð Ò ½¼º Ù Ò ¾¼½¾ ÐÓ ½º Nastranách, trojúhelníka jsoudánybody K, L.Průsečík LaKoznačme P.Na přímce najdemebody X, Y tak,abysoučty KX+ LXa Y + PY bylyminimálnímožné. Ukažte,že X= Y. ÐÓ ¾º Jsoudánypevnékružnice kalprotínajícísevbodech,.uvažmenějakédvěkružnice m, n, kterémajíoběvnějšídotyksk,vnitřnídotykslanavícsesamydotýkajívbodě X.Ukažte,že bod Xležínapevnékružnicinezávislénavolbě man. ÐÓ º Rovnoběžka se stranou ostroúhlého trojúhelníka vepsaného do kružnice ω protne jeho strany, postupněvbodech D, Eakratšíoblouky, kružnice ωvbodech K, L. Kružnice ksedotýkáúseček Da DKakružnice ω,kružnice lsedotýkáúseček E, ELakružnice ω.ukažte,žeprůsečíkvnitřníchtečenkružnic kalležínaoseúhluuvrcholu.

10 Geometrická zobrazení º Ö ÐÓÚ Ö ÎÞÓÖÓÚ õ Ò Úloha 1. (15;7;2,87;1,0) Nastranách, trojúhelníka jsoudánybody K, L.Průsečík LaKoznačme P.Na přímce najdemebody X, Y tak,abysoučty KX+ LXa Y + PY bylyminimálnímožné. Ukažte,že X= Y. (RadekMarciňa) õ Ò Podleprvníhodíluseriálunajdemebod Xjakoprůsečíkpřímek, KL a K L,kde K, L jsou obrazybodů K, Lvosovésouměrnostipodlepřímky.Stejnětak Y jeprůsečíkpřímek P, P,.Zbývádokázat,ževšechtěchtopětpřímekprocházíjednímbodem. õ Ò Ú Ð Ñ ÔÓ Ð Å Ð ÙÖ Ò µ K P L P L K ody K,,L,P,K,,L,P jsou obrazy vrcholů jistého rovnoběžnostěnu K 0 0 L 0 P 0 K 0 0 L 0 P 0 vnějaképrojekci.přímky K 0 L 0, K 0 L 0, 0 P 0, 0 P 0jsoutělesovéúhlopříčkytohotorovnoběžnostěnuaprotínajísevjehostředu.Tentostředležívrovině M K, M L, M P, P,kdebodem M Z značímestředúsečky Z 0 Z 0.Jelikožsevnašíprojekcizobrazínevlastníbodvesměrupřímek K 0K 0, L 0 L 0, P 0P 0, 0 0 opětnanevlastníbod,budounatěchtopřímkáchzachoványpoměrystran,a obrazybodů M Z budouprotoležetvestředechúseček ZZ.Tyalevždyležínapřímce.Proto jeobrazemroviny M M L M P M K přímka,tedyobrazprůsečíkutělesovýchúhlopříčekležína přímce.tímjsmeukázali,ževšech5přímek KL, K L, P, P, procházíjednímbodem.

11 P L õ Ò Ö Ù ÓÚÓÙ Ú ØÓÙ ÔÓ Ð Ò Ý ÓÐ ú ÐÓÚ µ K L P K L hcemedokázat,žeprůsečíkpřímek P a LK ležínapřímce.podívejmesenatrojúhelníky P L a LK.Jelikožpřímky L, K P, L procházíjednímbodem,takpodledesarguesovy větyprůsečíky P L K, L LaP LK ležínajednépřímce.prvnídvaprůsečíkyleží na totiž P L K = al Lležína,jelikožjsousitytopřímkyvzájemnými obrazyvosovésymetrii.protonapřímce ležíitřetíprůsečík P LK. Ä ÔÓ Ø õ Ò ÔÓ Ð Ò ÙÒ ÌÓÒ Ý Ä µ K P L Q M Dokážeme,žepřímky, P, KL procházíjednímbodem. Označme Qprůsečíkpřímek L a adále M průsečík LL a.podlemenelaovyvěty propřímku Qatrojúhelník L Lplatí 1= Q L M L QL ML = Q L QL,

12 takže L = L Q Q. Dále podle Menelaovy věty pro přímku K a trojúhelník L platí L K P K PL =1, cožzavyužitídříveodvozenérovnostiavztahů P = P, P L = PL upravímedotvaru L Q K P Q K P L =1. Tojeovšemevovapodmínkaprotrojúhelník L abody K, Q, P najehostranách.tedy přímky Q, P, KL procházíjednímbodem,cožjsmechtělidokázat. Æ ÞÒ õø Ò Ó õ Ò ÔÓ Ð È ÔÝ Ì Ð µ Označme Z, Z průsečíkypřímek P, KLspřímkou.Dáleoznačme Sprůsečíkpřímek P a KL,akonečně S 0 patuvýškyzbodu Snapřímku. K P S L Z Z S 0 Jelikožbody(K,L;S,Z )tvoříharmonickoučtveřici 1 a SS 0 Z = 90,je S 0 S osouúhlu KS 0 L.Podobněbody(,P;S,Z)tvoříharmonickoučtveřiciaopět SS 0 Z =90,takže S 0 Sje iosouúhlu S 0 P.Tedyobabody X, Y splývajísbodem S 0. Imaginární bod jsem udělil řešitelům, kteří s úspěchem využili teorii probíranou v seriálu, a předvedli tak pěkné jednoduché řešení. Vedle prvních dvou výše uvedených řešitelů jde ještě o Pepu Svobodu, který podobně jako nička Doležalová využil Desarguesovu větu, ale trochu jiným způsobem(použil opačnou implikaci). Jak ukazuje třetí, Tondovo řešení, na úlohu šlo jít i pomocí nástrojů na počítání délek. Kromě něj takové řešení poslal Štěpán Šimsa(pomocí sinových vět). Zbylá dvě úspěšná řešení byla analytická. no, při počítání přímek není takové řešení obzvlášť hrozné, ale přesto jsem za ně strhával i-čko. Většina došlých řešení ovšem bohužel úspěšná nebyla. Častý špatný postup spočíval v poslání do nekonečna pomocí kolineace. To sice je možné, ale nestačí dokázat úlohu pro tento případ. Jednodušeproto,ženemámekontrolunadtím,cosepřitakovékolineacistalosevzdáleností PX anikamsezobrazilybody P,, K, L.leříkámsi,žejelepší,kdyžvásvytrestátatoúloha, než kdybyste narazili až u nějaké úlohy na olympiádě. (Mirek Olšák) 1 Prostručnéobeznámenístím,cotojeharmonickáčtveřice,simůžešpřečístnapříkladčlánek

13 Úloha 2. (16; 16; 5,00; 5,0) Jsoudánypevnékružnice kalprotínajícísevbodech,.uvažmenějakédvěkružnice m, n, kterémajíoběvnějšídotyksk,vnitřnídotykslanavícsesamydotýkajívbodě X.Ukažte,že bod Xležínapevnékružnicinezávislénavolbě man. (PepaTkadlec) õ Ò Proveďme inverzi v bodě s libovolným poloměrem. Invertované objekty označme čárkovaně. Protožekružnice kalprocházejíbodem,jsou k a l různoběžnépřímkysprůsečíkemvbodě.obrazykružnic manjsouzřejměkružnice.jelikož minležívně k,resp.uvnitř l,ležíobě vtéžepoloroviněvyťatépřímkou k,resp. l.tedy m i n ležíoběvtomtéžúhluurčenémpřímkami l a k. Kružnice m, n majípochopitelněstálevnějšídotykaoběsedotýkajíoboupřímek k a l, kteréjsoutakjejichspolečnýmitečnami.od X ležínaúsečcespojujícístředyoboukružnic m a n,kterážtoječástíosykružnicemiobývanéhoúhlu.jehovzor Xprotoležínaobrazutétoosy, cožjenějakápevnákružniceprocházejícíbody a. l n k n l m X X m k Těžiště úlohy spočívalo v použití inverze v bodě nebo, zbytek byl snadným cvičením. Vzorově postupovali všichni řešitelé úlohy až na Štěpána Šimsu, kterýžto v řešení používal stejnolehlost, mocnost, výpočty, a i na inverzi nakonec došlo. Polehčující okolností budiž fakt, že takto ukázal, kde má hledaná kružnice střed(totiž ve středu záporné stejnolehlosti zobrazující k na l). elkem takvybojovalkrásných5 i+i. (Vít Vejtek Musil)

14 Úloha 3. (4;3;4,00;5,0) Rovnoběžka se stranou ostroúhlého trojúhelníka vepsaného do kružnice ω protne jeho strany, postupněvbodech D, Eakratšíoblouky, kružnice ωvbodech K, L. Kružnice ksedotýkáúseček Da DKakružnice ω,kružnice lsedotýkáúseček E, ELakružnice ω.ukažte,žeprůsečíkvnitřníchtečenkružnic kalležínaoseúhluuvrcholu. (PepaTkadlec) õ Ò ÔÓ Ð È ÔÝ ËÚÓ Ó Ýµ Proveďmeinverzisestředemvapoloměrem E = D (tojekorektní,neboť DE ) následovanou osovou souměrností podle osy o úhlu u vrcholu. Označme toto zobrazení Zaznačmečárkovaněobrazyobjektůvněm. ω k K D E L k o l Jelikož přímky, svírají stejný úhel s o, máme díky vhodné volbě poloměru inverze = E, E =, = DaD =,takžepřímka DEsezobrazínakružnici ωanaopak.speciálně seprohodíjejichprůsečíky body K, L. Obrazemkružnice kvezobrazení Zbudeopětkružnice,kterásebudedotýkatúsečky D = E,kružnicovéhooblouku D K = Laobrazukružnice ω,cožjepřímka DE.Tojealepřesně kružnice l!kružnice kalsitedyodpovídajívezobrazení Z,cožmimojinéznamená,žespojnice vrcholu sjejichstředysvírajístejnýúhelsosou o(vsamotnékruhovéinverzitotižstředkružnice a jejího obrazu leží na přímce se středem inverze). Nyníužbyšloúlohudokončitpoměrněpřímočaře,mytoaleudělámedůmyslně.Je-li =, je celá úloha triviální. Dále předpokládejme opak a označme k l obraz kružnice k v osové souměrnosti podle o. Díkyvýšeodvozenérovnostiúhlůležístředykružnic k a lnajednépřímcesbodem.zároveň se tyto kružnice obě dotýkají přímky, takže existuje kladná stejnolehlost se středem, která je nasebepřevádí.středzápornéstejnolehlosti,kteránasebepřevádí kak,ležízřejměna o,takže díkytvrzeníoskládánístejnolehlostíležína oistředzápornéstejnolehlostimezi kal,cožjepřesně průsečík jejich vnitřních tečen. Jsme hotovi. Zbylí dva úspěšní řešitelé(dam Láf a Štěpán Šimsa) postupovali po odvození klíčové rovnosti úhlůtrochujinak.označilistředykružnic k, lpostupně O k, O l ajejichpoloměry r k, r l apomocí podobnýchtrojúhelníkůukázali,že O k : O l = r k : r l = O k H: HO l,kde Hjeprůsečíkvnitřních společnýchtečen.ztohopakužokamžitěplynulo,ževtrojúhelníku O k O l je Hprůsečíkosyúhlu s protější stranou. (Pepa Tkadlec)