Úvod do ekonometrie Minitesty

Transkript

1 Úvod do ekonometrie Minitesty Poznámka k zadání Použité značení odpovídá přednáškám, v případě nejasností nahlédněte do zveřejněných prezentací. V zadání jsou všude použity desetinné tečky (kvůli souladu s výstupy ze softwaru). Otázky 1. Počátky ekonometrie coby vědního oboru jsou spjaty se založením Ekonometrické společnosti (Econometric Society) a časopisu Econometrica. Kdy k těmto událostem došlo? (Odpověď stačí uvést s přesností na desetiletí např. 80. léta 19. stol. ). 2. Jmenujte alespoň dva ekonometry, kteří jsou držiteli Nobelovy ceny za ekonomii. (Stačí uvést příjmení, ale víte-li i křestní jméno, pochlubte se.) 3. Následující výstup byl pořízen v Gretlu nad průřezovým datovým souborem obsahujícím mj. proměnné mzda (průměrná hrubá hodinová mzda respondenta v USD) a vzdelani (dokončené roky školní docházky): Model 1: OLS, using observations Dependent variable: mzda const vzdelani e-022 *** Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid S.E. of regression R-squared Adjusted R-squared F(1, 524) P-value(F) 2.78e-22 Log-likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn Zapište odhadnutou regresní rovnici a interpretujte odhadnuté regresní koeficienty; pro koeficient u proměnné vzdelani uveďte jak kauzální, tak deskriptivní interpretaci. 4. Následující výstup byl pořízen v Gretlu nad průřezovým datovým souborem obsahujícím mj. proměnné mzda (průměrná hrubá hodinová mzda respondenta v USD) a vzdelani (dokončené roky školní docházky). Proměnná l_mzda představuje přirozený logaritmus proměnné mzda. Zapište odhadnutou regresní rovnici a interpretujte koeficient u proměnné vzdelani. Model 1: OLS, using observations Dependent variable: l_mzda const e-09 *** vzdelani e-025 *** Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid S.E. of regression R-squared Adjusted R-squared F(1, 524) P-value(F) 3.27e-25

2 Log-likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn Naším cílem je kvantifikovat (kauzální) vliv x na y. Vysvětlete, proč je tento cíl daleko snáz splnitelný v případě, že můžeme použít randomizovaný experiment, oproti (ve společenských vědách běžnému) použití neexperimentálních dat. 6. Máme k dispozici průřezový datový soubor o 60 městech v ČR. Spočetli jsme korelaci mezi počtem policejních hlídek na obyvatele a počtem krádeží automobilů za poslední měsíc; vyšlo nám číslo 0.26, což je výsledek významně se lišící od nuly (na běžné 5% hladině významnosti). Popište možné kauzální vztahy, které by tuto korelaci mohly vysvětlit (zkuste vymyslet spojitost s každým ze tří kauzálních schémat z přednášky). 7. Následující výstup byl pořízen v Gretlu pro datový soubor s ojetými škodovkami (z první přednášky). Připomeňme, že cena vozu je uvedena v korunách, proměnná rok udává rok výroby, km je počet najetých kilometrů a kategoriální proměnná palivo má tři možné hodnoty: benzín, diesel a LPG. Interpretujte hodnoty koeficientů u indikátorových (dummy) proměnných pro kategorie paliva. Model 1: OLS, using observations Dependent variable: cena const e e e-036 *** km e-05 *** rok e-036 *** kombi diesel e-06 *** LPG Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid 3.65e+12 S.E. of regression R-squared Adjusted R-squared F(5, 322) P-value(F) 4.41e-82 Log-likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn Uveďte příklady deskriptivní, kauzální a predikční otázky v empirické analýze. 9. Zapište model jednoduché regrese v deskriptivní verzi (tj. pomocí populační regresní funkce) a ve strukturní verzi (pomocí data generujícího procesu). 10. Tabulka níže uvádí průměrnou měsíční mzdu ve zkoumané populaci podle dosaženého stupně vzdělání. Jaká je průměrná mzda v celé populaci? Formálně řečeno, v tabulce najdete možné hodnoty funkce E(mzda vzdělání) a pravděpodobnostní funkci veličiny vzdělání. Váš výpočetní postup by měl v takto formálním pojetí odpovídat aplikaci tzv. zákona iterovaných středních hodnot; zapište formálně, jak se podle tohoto tvrzení získá střední hodnota mzdy z údajů v tabulce. vzdělání ZŠ SŠ VŠ průměrná mzda % populace Metodou nejmenších čtverců odhadujeme koeficient β 1 v modelu y = β 0 + β 1x + u. Popište vztah mezi odhadnutým koeficientem a výběrovou kovariancí proměnných x a y.

3 12. Metodou nejmenších čtverců odhadujeme koeficient β 1 v modelu y = β 0 + β 1x + u. Která z následujících situací může teoreticky po odhadu nastat? Záporné odpovědi pečlivě zdůvodněte. a) β ˆ , výběrová korelace mezi x a y je b) β ˆ , výběrová kovariance mezi x a y je c) β ˆ , výběrová korelace mezi x a y je rovna Jaké čtverce minimalizuje metoda nejmenších čtverců při odhadu modelu y = β 0 + β 1x + u? 14. Pro vzorek n = 147 respondentů odhadujeme metodou nejmenších čtverců lineární regresní model y = β 0 + β 1x + u. Zapište výraz, který bude vyjadřovat součet čtverců reziduí. 15. Pro vzorek n = 147 respondentů odhadujeme metodou nejmenších čtverců lineární regresní model y = β 0 + β 1x + u. Jakých hodnot může ve výsledcích nabývat součet reziduí? Zdůvodněte. 16. Parametry β 0, β 1 modelu y = β 0 + β 1x + u máme v plánu odhadovat pomocí momentové metody. Jaký předpoklad o náhodné složce zpravidla pro účely odhadu přijímáme? Plyne z něj nějaký závěr ohledně korelace x a u? 17. Vysvětlete pojem výběrové rozdělení odhadové statistiky. Můžete třeba konkrétně použít příklad statistiky pro odhad parametru β 1 v jednoduché regresi. 18. Uveďte příklad proměnných x a y takový, aby byla náhodná složka v modelu y = β 0 + β 1x + u heteroskedastická. Zdůvodněte. 19. Uvažujte lineární regresní model splňující předpoklady SLR.1 SLR.5. Jaký používáme estimátor pro rozptyl náhodné složky? Je tento estimátor nestranný? 20. Vysvětlete pojem směrodatná chyba ˆβ Co je to normovaná (či standardizovaná) odhadová statistika β ˆ 1? Jaké má výběrové rozdělení v klasickém lineárním regresním modelu? 22. Ukažte, že výběrový průměr hodnot závisle proměnné y je roven průměru vyrovnaných hodnot ( y ˆ) po odhadu MNČ. 23. Zapište předpoklad MLR Zapište předpoklad MLR Zapište předpoklad MLR Máme silně heteroskedastickou náhodnou složku v modelu, který nicméně splňuje předpoklady MLR.1 MLR.4. Může být v tomto případě estimátor MNČ nestranný? 27. Po odhadu modelu y = β 0 + β 1x 1 + β 2x 2 + β 3x 3 + β 4x 4 + u na vzorku n = 21 respondentů vyšlo R 2 = Vypočtěte upravený koeficient determinace. 28. Která z následujících situací může teoreticky po odhadu lineárního regresního modelu nastat? Uveďte odpověď může nastat / nemůže nastat pro každou položku a až c, záporné odpovědi pečlivě zdůvodněte. a) R 2 = 0.50, výběrová korelace mezi y a ŷ je b) R 2 2 = 1.25, R c) R 2 2 = 0.01, R Proměnné x 1 a x 2 jsou silně korelované, výběrový korelační koeficient činí Způsobí tato skutečnost vychýlení v MNČ-odhadech koeficientů lineárního regresního modelu y = β 0 + β 1x 1 + β 2x 2 + u? Vysvětlete.

4 30. Pomocí MNČ jsme odhadli regresní funkci mzda ˆ výška, kde mzda je hrubá měsíční mzda v Kč a výška je měřena v cm. Zapište, jak by vypadala regresní funkce v případě, že bychom proměnnou výška vyjádřili v palcích (1 palec = 2.54 cm) a proměnnou mzda bychom místo Kč vyjádřili v tisících Kč. 31. Výběrový průměr proměnných x a y je 4.5 a 6. Určete hodnotu vynechaného parametru v zápisu odhadnuté regresní funkce: yˆ 3 x. Zdůvodněte. 32. Pomocí MNČ jsme odhadli regresní funkci yˆ x. Nyní se stejným datovým souborem odhadujeme model vícenásobné regrese: k vysvětlující proměnné x přidáme ještě proměnnou z, přičemž výběrová kovariance x a z je nulová. Doplňte chybějící údaj v nové regresní funkci: yˆ 1.5 x 3.6 z. Zdůvodněte. 33. Vysvětlete podstatu anglického termínu bias-variance tradeoff (ve vztahu k odhadu mezního efektu x na y). 34. Metodou nejmenších čtverců jsme odhadli regresní funkci na výběrovém vzorku čítajícím pozorování. Směrodatná chyba koeficientu u proměnné x 2 vyšla 4.2. Jak přibližně se tato směrodatná chyba změní, pokud stejný model odhadneme znovu s tím, že z našich dat náhodně vybereme pouze 1000 pozorování? 35. Následující výstup byl pořízen v Gretlu nad průřezovým datovým souborem obsahujícím mj. proměnné mzda (průměrná hrubá hodinová mzda respondenta v USD) a vzdelani (dokončené roky školní docházky). Jaká je přibližná šířka 95% intervalu spolehlivosti pro úrovňovou konstantu (intercept)? Uveďte a zdůvodněte výpočetní postup. Model 1: OLS, using observations Dependent variable: mzda const vzdelani e-022 *** 36. Vysvětlete, co je to hladina významnosti statistického testu. 37. Ukažte korektnost našeho vzorce pro výpočet mezí 95% intervalu spolehlivosti, tj. dokažte, že z předpokladů klasického lineárního regresního modelu plyne, že je-li c rovno 97.5% kvantilu studentova t rozdělení s n k 1 stupni volnosti, platí Pr βˆ c se( βˆ ) β βˆ c se( βˆ ) j j j j j Při důkazu můžete bez důkazu využít tvrzení o rozdělení normovaného estimátoru koeficientu β j. 38. Vysvětlete, co je to p-hodnota t-testu o hodnotě regresního parametru β j. 39. Nad průřezovým datovým souborem obsahujícím proměnné mzda (průměrná hodinová mzda respondenta v Kč), praxe (léta pracovních zkušeností), vzdelani (roky dokončeného vzdělání) jsme odhadli níže uvedenou regresní funkci. ^mzda = *praxe *vzdelani (5.120) (0.0067) (1.600) n = 8165, R-squared = (standard errors in parentheses) Určete p-hodnotu testu s nulovou hypotézou H 0: β vzdelani = 0 a oboustrannou alternativou. Postup zdůvodněte.

5 40. Následující výstup byl pořízen v Gretlu nad průřezovým datovým souborem obsahujícím mj. proměnné mzda (průměrná hrubá hodinová mzda respondenta v USD) a vzdelani (dokončené roky školní docházky): Model 1: OLS, using observations Dependent variable: mzda const vzdelani e-022 *** (a) Určete 95% interval spolehlivosti pro β vzdelani; můžete použít přibližný výpočet. (b) Předpokládejme, že náhodná složka je nezávislá na vzdělání a má normální rozdělení. Popište, jak byste získali přesnou hodnotu mezí 95% intervalu spolehlivosti. 41. Následující výstup byl pořízen v Gretlu nad průřezovým datovým souborem o mladých zaměstnaných mužích, obsahujícím mj. proměnné mzda (měsíční mzda respondenta v USD), vysoka (dokončené roky vzdělání na vysoké škole), odborna (dokončené roky vzdělání na vyšší odborné škole), vek (věk v letech) a zenaty (= 1 pro ženaté respondenty): ^l_mzda = *vysoka *odborna *vek *zenaty (0.159)( ) ( ) ( ) (0.0413) n = 935, R-squared = (standard errors in parentheses) Vaším cílem je testovat, zdali se liší odměna (nárůst mzdy) za roky strávené na vysoké škole, oproti rokům stráveným na vyšší odborné škole (tj. zdali se z finančního hlediska vyplatí studovat jinak těžší vysokou školu). Zapište formálně, jakou nulovou hypotézu byste testovali, a stručně komentujte, jaký test byste pro tento účel použili. 42. V níže uvedeném výstupu je modelována logaritmická cena domu (l_price) pomocí několika sledovaných charakteristik. Testujte nulovou hypotézu H 0: β colonial = 0 oproti alternativní hypotéze, že domy v koloniálním stylu (colonial = 1) jsou dražší než ostatní (colonial = 0). Model 1: OLS, using observations 1-88 Dependent variable: l_price const e-064 *** bdrms lotsize e e *** sqrft e e-014 *** colonial * Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid S.E. of regression R-squared Adjusted R-squared Následující výstup byl pořízen v Gretlu nad průřezovým datovým souborem o mladých zaměstnaných mužích, obsahujícím mj. proměnné mzda (měsíční mzda respondenta v USD), vysoka (dokončené roky vzdělání na vysoké škole), odborna (dokončené roky vzdělání na vyšší odborné škole), vek (věk v letech) a zenaty (= 1 pro ženaté respondenty): ^l_mzda = *vysoka *odborna *vek *zenaty

6 (0.159)( ) ( ) ( ) (0.0413) n = 935, R-squared = (standard errors in parentheses) Uveďte, jaký je podle odhadnuté rovnice přesný efekt rodinného stavu na výslednou mzdu. 44. Následující výstup byl pořízen v Gretlu nad průřezovým datovým souborem o mladých zaměstnaných mužích, obsahujícím mj. proměnné mzda (měsíční mzda respondenta v USD), vysoka (dokončené roky vzdělání na vysoké škole), odborna (dokončené roky vzdělání na vyšší odborné škole), vek (věk v letech) a zenaty (= 1 pro ženaté respondenty). Je mezní efekt proměnné vek statisticky významný na běžné 5% hladině významnosti? Uveďte formální podobu testované hypotézy i vyhodnocení testu včetně výpočetního postupu. ^l_mzda = *vysoka *odborna *vek *zenaty (0.159)( ) ( ) ( ) (0.0413) n = 935, R-squared = (standard errors in parentheses) 45. V Gretlu byl pořízen následující výstup nad průřezovými daty, zahrnujícími mj. proměnné l_wage (přirozený logaritmus respondentovy mzdy), age (věk v letech) a sq_age = age 2. Spočtěte bod zlomu pro odhadnutý vztah mezi mzdou a věkem. Je tento vztah popsán křivkou ve tvaru u nebo obráceného u? Model 1: OLS, using observations Dependent variable: l_wage const *** educ e-025 *** age sq_age married e-07 *** 46. V Gretlu byl pořízen následující výstup nad průřezovými daty, zahrnujícími mj. proměnné l_wage (přirozený logaritmus respondentovy mzdy), age (věk v letech) a sq_age = age 2. Určete, o kolik procent se podle odhadnuté rovnice zvýší mzda mezi 35. a 36. rokem. (Můžete použít aproximativní interpretace regresního koeficientu). Model 1: OLS, using observations Dependent variable: l_wage const *** educ e-025 *** age sq_age married e-07 *** 47. Následující výstup byl pořízen v Gretlu pro datový soubor s ojetými škodovkami, ve kterém byla ponechána pouze vozidla na benzín a diesel. Připomeňme, že cena vozu je uvedena v korunách (l_cena je její přirozený logaritmus), proměnná stari udává stáří v letech, km je počet najetých kilometrů, diesel = 1 pro dieselová vozidla a starixdiesel = stari diesel. Vaším cílem je zkoumat

7 výzkumnou hypotézu, že dieselová auta ztrácí s věkem na hodnotě pomaleji než auta benzínová. Jaký je závěr? Model 1: OLS, using observations Dependent variable: l_cena const *** km e e ** stari e-059 *** diesel *** starixdiesel Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid S.E. of regression R-squared Adjusted R-squared F(4, 315) P-value(F) 1.7e-111 Log-likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn Následující výstup byl pořízen v Gretlu pro datový soubor s ojetými škodovkami, ve kterém byla ponechána pouze vozidla na benzín a diesel. Připomeňme, že cena vozu je uvedena v korunách (l_cena je její přirozený logaritmus), proměnná stari udává stáří v letech, km je počet najetých kilometrů, diesel = 1 pro dieselová vozidla a starixdiesel = stari diesel. Jaký je predikovaný rozdíl v ceně jinak srovnatelného benzínového a dieselového vozu, který je starý 5 let? Model 1: OLS, using observations Dependent variable: l_cena const *** km e e ** stari e-059 *** diesel *** starixdiesel Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid S.E. of regression R-squared Adjusted R-squared F(4, 315) P-value(F) 1.7e-111 Log-likelihood Akaike criterion Popište podstatu Ramseyova RESET testu. 50. Popište, na základě čeho byste se rozhodovali, zda zařadit vysvětlující proměnnou do regresního modelu v původní netransformované podobě, či zda raději použít logaritmované hodnoty. 51. Po odhadu mzdové rovnice jsme vypočetli VIF faktory, výstup je uveden níže. Použité proměnné jsou následující: exper jsou respondentova léta pracovních zkušeností; educ jeho vzdělání v letech; female, nonwhite a smsa jsou indikátory pohlaví, barvy pleti a urbánní lokality; ostatní proměnné byly vypočteny jako sq_educ = educ 2, femalexeduc = female educ. Máme důvod podezřívat naše výběrová data ze silné multikolinearity? Vysvětlete. Variance Inflation Factors Minimum possible value = 1.0

8 Values > 10.0 may indicate a collinearity problem exper sq_exper educ female femalexeduc nonwhite smsa Následující výstup byl pořízen v Gretlu pro datový soubor s ojetými škodovkami (z první přednášky). Připomeňme, že cena vozu je uvedena v korunách, l_cena je přirozený logaritmus proměnné cena, proměnná stari udává stáří vozu v letech, km je počet najetých kilometrů a kategoriální proměnná model má tři možné hodnoty: felicia, octavia a superb. Predikujte cenu ojetého vozu Felicia Combi, který má najeto km a je 10 let starý. Model 1: OLS, using observations Dependent variable: l_cena const *** km e e e-05 *** stari e-046 *** combi e-06 *** octavia e-066 *** superb e-060 *** Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid S.E. of regression R-squared Adjusted R-squared F(5, 322) P-value(F) 1.7e-178 Log-likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn Následující výstup byl pořízen v Gretlu pro datový soubor s ojetými škodovkami (z první přednášky). Připomeňme, že cena vozu je uvedena v korunách, proměnná stari udává stáří vozu v letech, km je počet najetých kilometrů a kategoriální proměnná model má tři možné hodnoty: felicia, octavia a superb. Najděte predikční interval pro cenu ojetého vozu Felicia Combi, který má najeto km a je 10 let starý. Model 1: OLS, using observations Dependent variable: cena const e-060 *** km e-06 *** stari e-020 *** combi e-06 *** octavia e-023 *** superb e-060 *** Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid 1.70e+12 S.E. of regression R-squared Adjusted R-squared F(5, 322) P-value(F) 2.7e-135 Log-likelihood Akaike criterion

9 Schwarz criterion Hannan-Quinn Vysvětlete, proč v lineárním pravděpodobnostním modelu automaticky očekáváme přítomnost heteroskedasticity. 55. Proměnné v průřezovém datovém souboru použitém pro získání následujícího výstupu mají následující význam: podnikani = 1, pokud respondent podniká formou OSVČ či jako (spolu)vlastník společnosti (dummy proměnná), zena = 1 pro ženy a 0 pro muže, vek je věk respondenta v letech. Interpretujte získané regresní koeficienty. Model 1: OLS, using observations (n = 1885) Missing or incomplete observations dropped: 13 Dependent variable: podnikani const zena e-07 *** vek sq_vek e e ** Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid S.E. of regression R-squared Adjusted R-squared F(3, 1881) P-value(F) 4.59e-11 Log-likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn Vysvětlete, jakým způsobem se určují váhy v lineárním pravděpodobnostním modelu za účelem výpočtu metodou vážených nejmenších čtverců. Jaké problémy s určením vah mohou nastat? 57. Jaké jsou dopady přítomnosti heteroskedasticity v lineárním regresním modelu na estimátor MNČ? 58. Co je to metoda vážených nejmenších čtverců? Za jakých podmínek zvažujeme její použití namísto MNČ? Jaký je vztah mezi velikostí váhy i-tého pozorování a rozptylem i-té náhodné složky? 59. Popište Breuschův-Paganův test heteroskedasticity. Jaký je tvar pomocné regrese v tomto testu? Jaká je nulová a alternativní hypotéza? 60. Popište Whiteův test heteroskedasticity. Jaký je tvar pomocné regrese v tomto testu? Jaká je nulová a alternativní hypotéza? 61. Co popisují při odhadu lineárního regresního modelu zkratky HC0, HC1, HC2 a HC3? (Není třeba uvádět vzorce, stačí vysvětlit podstatu k jakému výpočtu se zkratky vztahují, jakému problému se snažíme s jejich pomocí čelit a v jakém smyslu je daný problém úspěšně vyřešen.) 62. Při použití časových řad často potřebujeme očistit závisle proměnnou od dlouhodobého lineárního trendu. Popište, jakým způsobem byste mohli získat trendově očištěnou verzi časové řady {y t : t = 1,, n}. 63. V následujícím výstupu se vyskytují proměnné x a y představující roční časové řady a jejich trendově očištěné verze x_detrended a y_detrended, které byly pořízeny pomocí jednoduché regrese s proměnnou rok (podobně jako proměnné salmon a gdp v přednášce). a) Doplňte chybějící údaje (vyznačené podtržítky) v následujícím výstupu. b) Uveďte, které z obou uvedených R 2 byste použili pro vyjádření síly závislosti mezi x a y. Svoji volbu zdůvodněte.

10 Model 1: ^y_detrended = 1.73*x_detrended (0.218) T = 55, R-squared = Model 2 ^y = *x *time (1.30) ( ) ( ) T = 55, R-squared = Při studiu sezónnosti a trendu čtvrtletní časové řady {y t : t = 1,, n} jsme odhadli v Gretlu model, jehož výstup je uveden níže. Proměnná time představuje aritmetickou řadu čísel 1 až n a proměnná dqj je indikátorovou (dummy) proměnnou pro čtvrtletí j. Jaký statistický test byste použili, chceteli ověřit, že vykazuje signifikantní sezónní chování? Uveďte nulovou hypotézu a rozdělení testové statistiky při platnosti H 0 (stačí jméno rozdělení a stupně volnosti, nemusíte uvádět žádné vzorce). ^y = 1.48e *dq *dq3-67.3*dq4-21.5*time (76.2) (60.6) (60.7) (61.0) (4.57) T = 36, R-squared = Zapište model, kterým byste zachytili exponenciální trend časové řady {y t : t = 1,, n}. Popište interpretaci koeficientů v uvedeném modelu. 66. V Gretlu jsme odhadli model, jehož výstup je uveden níže. Proměnná qdgp představuje čtvrtletní časovou řadu pro HDP v USA (mld. USD), do modelu vstoupila ve zlogaritmované podobě, jak je z výstupu patrné. Proměnná time představuje aritmetickou řadu čísel 1 až n a proměnná dqj je indikátorovou (dummy) proměnnou pro čtvrtletí j. Jaký je podle odhadnuté rovnice průměrný meziroční procentuální růst HDP za sledované období? Uveďte co nejpřesnější odpověď. ^l_qgdp = *dq *dq *dq *time (0.0217)(0.0231) (0.0232) (0.0232) ( ) T = 258, R-squared = (standard errors in parentheses) 67. V modelu s konečně rozděleným zpožděním (FDL), např. y t = β 0 + δ 0x t + δ 1x t 1+ δ 2x t 2+ δ 2x t 3 + u t, bývají často velmi široké intervaly spolehlivosti pro mezní efekty impulsní změny x t v jednotlivých letech (v uvedeném modelu by šlo o intervaly spolehlivosti pro δ 0, δ 1, δ 2 a δ 3), zatímco dlouhodobý multiplikátor bývá odhadnut o poznání přesněji (jeho interval spolehlivosti je výrazně užší). Proč tomu tak bývá? 68. Uvažujte model s konečně rozděleným zpožděním (FDL), y t = β 0 + δ 0x t + δ 1x t 1+ δ 2x t 2+ δ 3x t 3 + u t. a) Co v tomto modelu představuje krátkodobý a dlouhodobý multiplikátor? b) Chceme-li získat interval spolehlivosti pro dlouhodobý multiplikátor, můžeme použít vhodné transformace vysvětlujících proměnných tak, aby se dlouhodobý multiplikátor stal jedním z odhadovaných parametrů výsledného modelu. Popište, jak by taková transformace mohla vypadat. 69. Načrtněte graf rozdělení zpoždění pro regresní funkci yˆ t xt 1.3xt 1 0.5xt x t 3.

11 70. Uveďte hodnotu dlouhodobého multiplikátoru v odhadnuté regresní funkci modelu s konečně rozděleným zpožděním ve tvaru yˆ t xt 1.3xt 1 0.5xt x t 3. Jaká je interpretace této hodnoty (předpokládejte, že x t a yt jsou roční časové řady)? 71. Formulujte předpoklady TS.1 TS.3 pro regresi s časovými řadami. Vysvětlete, proč by byl předpoklad TS.3 patrně porušen v modelu, který vysvětluje počet krádeží automobilů na obyvatele konkrétního města za rok (krádeže t) pomocí průměrného počtu policejních hlídek na obyvatele (hlídky t). 72. Co je to striktně stacionární a kovariančně stacionární náhodný proces? 73. Popište, jaké náhodné procesy se označují zkratkami AR(1) a MA(1), a uveďte předpis obou těchto procesů. 74. Uveďte příklad slabě a silně závislého náhodného procesu. 75. Vysvětlete pojem křivka impulsní odezvy. Jako příklad uveďte křivku impulzní odezvy pro AR(1) proces. 76. Formulujte předpoklady o homoskedasticitě a absenci autokorelace v regresi s časovými řadami (vycházejte z verze Gaussových-Markovových podmínek, která předpokládá striktní exogenitu regresorů). 77. Uveďte předpoklady TS.1 TS.3 pro regresi s časovými řadami. K čemu zhruba potřebujeme předpoklady o stacionaritě a slabé závislosti použitých časových řad? 78. Co to znamená, že odhadová technika je konzistentní? Můžete vše vysvětlit na příkladu odhadu konkrétního parametru lineárního regresního modelu.