Systém bonus - malus s více typy ²kod

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁ SKÁ PRÁCE Martina Kaplanová Systém bonus - malus s více typy ²kod Katedra pravd podobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalá ské práce: Studijní program: Studijní obor: RNDr. Lucie Mazurová, Ph.D. Matematika Finan ní matematika Praha 2013

2 Ráda bych pod kovala své vedoucí práce RNDr. Lucii Mazurové, Ph.D., bez které by tato práce nemohla ani vzniknout, hlavn d kuji za v²echny rady a p ipomínky, které mi poskytla. Mé pod kování také pat í v²em, kte í m kdy u ili, nebo bez nich bych nem la znalosti k napsání této práce. V neposlední ad chci pod kovat své rodin a p átel m za podporu a trp livost.

3 Prohla²uji, ºe jsem tuto bakalá skou práci vypracovala samostatn a výhradn s pouºitím citovaných pramen, literatury a dal²ích odborných zdroj. Beru na v domí, ºe se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném zn ní, zejména skute nost, ºe Univerzita Karlova v Praze má právo na uzav ení licen ní smlouvy o uºití této práce jako ²kolního díla podle Ÿ60 odst. 1 autorského zákona. V dne Podpis autora

4 Název práce: Systém bonus - malus s více typy ²kod Autor: Martina Kaplanová Katedra: Katedra pravd podobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalá ské práce: RNDr. Lucie Mazurová, Ph.D., Katedra pravd podobnosti a matematické statistiky Abstrakt: Tato bakalá ská práce se zabývá bonus - malus systémy pro automobilová poji²t ní, která rozli²ují typy ²kod. Sou ástí práce je zavedení bonus - malus systém, které ²kody nerozli²ují, a dále jejich roz²í ení práv na bonus - malus systémy s více typy ²kod. Hlavním zam ením práce jsou výpo ty stacionárních rozd lení, tedy rozd lení t íd, na kterém se systém stabilizuje. Dále je provedeno n kolik simulací pr chodu poji²t nc systémem na základ po tu a typu nehod, které zp sobili. Nakonec jsou porovnány relativní etnosti t íd, ve kterých poji²t nci skon í na konci simulace, se stacionárním rozd lením daného systému. Klí ová slova: bonus, malus, stacionární rozd lení, rizikový parametr, Markov v et zec Title: Multi - event Bonus - Malus System Author: Martina Kaplanová Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: RNDr. Lucie Mazurová, Ph.D., Department of Probability and Mathematical Statistics Abstract: This work deals with bonus - malus systems for automobile insurance that distinguish types of claim. The rst part of this work is denition of bonus - malus systems that do not distinguish types of claim and then their expansion just to multi - event bonus - malus systems. The main focus of the work is computation of stationary distribution for dierent systems, which means the distribution of classes in which the system stabilizes. Furthermore, there are several simulations of trajectory of insured through the system based on the number and type of accidents that they have caused. Finally, relative frequencies of classes in which insured is at the end of the simulation and the stationary distribution of the system are compared. Keywords: bonus, malus, stationary distribution, risk parameter, Markov chain

5 Obsah Seznam obrázk 2 Seznam tabulek 3 Úvod 4 1 Bonus - malus systémy Popis systému P íklady systém Modelování systém pomocí Markovových et zc Vlastnosti systém bonus - malus Pravd podobnosti p echodu Matice pravd podobností p echodu Stacionární rozd lení Výpo et stacionárního rozd lení Bonus - malus systémy s více typy ²kod Modelování pomocí Markovových et zc Matice pravd podobností p echodu Stacionární rozd lení P íklady Rozd lení rizikových parametr Stacionární rozd lení poji²t nce Simulace pr chodu systémem Stacionární rozd lení pojistného kmene Simulace pr chodu Záv r 29 Seznam pouºité literatury 30 1

6 Seznam obrázk 4.1 Porovnání stacionárního rozd lení a relativních etností po 10 letech Porovnání stacionárního rozd lení a relativních etností po 10 a 20 letech Porovnání stacionárního rozd lení pojistného kmene a relativních etností po 10 letech Porovnání stacionárního rozd lení pojistného kmene a relativních etností 20 letech Porovnání stacionárního rozd lení pojistného kmene a relativních etností po 30 letech Porovnání stacionárního rozd lení pojistného kmene a relativních etností po 40 letech Porovnání stacionárního rozd lení pojistného kmene s poji²t nci a relativních etností po 10 letech Porovnání stacionárního rozd lení pojistného kmene s poji²t nci a relativních etností po 30 letech Porovnání stacionárního rozd lení pojistného kmene s poji²t nci a relativních etností po 40 letech

7 Seznam tabulek 1.1 Pravidla p echodu pro ²pan lský systém Pravidla p echodu pro britský systém Apriorní rozd lení poji²t nc v kmeni Po ty nehod za 10 let Porovnání stacionárního rozd lení a relativních etností po 10 letech Porovnání stacionárního rozd lení a relativních etností po 10 a 20 letech Porovnání stacionárního rozd lení pojistného kmene a relativních etností po 10 letech Porovnání stacionárního rozd lení a relativních etností po 10, 20, 30 a 40 letech. (Písmeno l zna í roky.) Porovnání stacionárního rozd lení a relativních etností pojistného kmene s poji²t nci po 10, 30 a 40 letech. (Písmeno l zna í roky.)

8 Úvod Tato práce se bude zabývat systémy bonus - malus s více typy ²kod. Tohle téma jsem si vybrala hlavn proto, ºe se jedná o systémy vyuºívané v automobilovém poji²t ní a to je oblast, které m velice zajímá. Také v dne²ní dob, kdy po et automobil stále roste, se jedná o téma velice aktuální. Zárove kaºdý, kdo vlastní automobil, by m l rozum t tomu, jak fungují systémy na jeho poji²t ní. Práce je rozd lená do ty kapitol. V první kapitole uvedeme, co to vlastn je systém bonus - malus. Ve druhé kapitole získá tená náhled, jak fungují základní systémy bonus - malus, které nerozli²ují typy ²kod. Ve t etí kapitole tento model roz²í íme a popí²eme, jak bude vypadat systém, který rozli²uje typy ²kod. Po p e tení t chto t í kapitol bude mít tená p edstavu, jak tyto systémy teoreticky fungují. V celé práci se budeme p edev²ím zabývat studiem stacionárních rozd lení a jejich výpo ty. Cílem práce je otestovat, zda um le vytvo ený pojistný kmen bude v ase konvergovat ke stacionárnímu rozd lení. Tyto simulace budou provedeny a výsledky budou popsány ve tvrté kapitole této práce. Pro provedení v²ech simulací pouºijeme program Wolfram Mathematica 9. Hlavním zdrojem prvních t í kapitol, tedy v t²iny teoretické ásti, je [1]. Tato kniha se zabývá r znými typy modelování ²kodních událostí, v etn práv bonus - malus systém. Dal²ím zdrojem je kniha [2], ze které budou erpány spí²e dopl ující informace k [1] a dále bude vyuºita ve tvrté kapitole p i vytvá ení um lého pojistného kmene. Zdroj [3] jsou skripta k p edm tu Základy matematického modelování, která budeme vyuºívat jako zdroj teorie k Markovovým et zc m. Poslední zdroj [4] jsou data zve ejn ná policií ƒeské republiky a jedná se o statistiky nehodovosti v ƒeské republice. Tato data vyuºijeme ve tvrté kapitole p i vytvá ení um lého pojistného kmene. 4

9 Kapitola 1 Bonus - malus systémy 1.1 Popis systému Jednou z hlavních otázek pojistné matematiky je, jak vytvo it systém, který spravedliv rozd lí zát º nehodovosti v automobilovém poji²t ní mezi poji²t nce. Proto jsou asto poji²t nci rozd leni do rizikových t íd a to tak, ºe ve stejné t íd platí v²ichni poji²t nci stejné pojistné. Je moºné vyuºívat n jaké apriorní roz len ní. Apriorní prom nné jsou takové, jejichº hodnoty mohou být stanoveny p edtím, neº idi vstoupí do systému. Pat í mezi n v k, pohlaví, bydli²t, typ automobilu a mnoho dal²ích. V takovýchto systémech a na takovéto úrovni v²ak nelze vzít v potaz v²echny d leºité faktory, tedy rizikové t ídy mohou být stále celkem heterogenní. Bonus - malus systémy trestají poji²t nce zodpov dné za jednu nebo více nehod p iráºkou k pojistnému (tzv. malus) a zárove oce ují poji²t né bez nehod slevou na pojistném (tzv. bonus). Díky tomu jsou poji²t ní vedeni ke snaze ídit bezpe n ji. V praxi se systémy bonus - malus skládají z kone ného po tu t íd. Na konci kaºdého období (zpravidla roku) se poji²t nci p esunou do vy²²í nebo niº²í t ídy podle pravidel p echodu a po tu nahlá²ených ²kod za minulé období. Nový poji²t nec vstupuje do p edem ur ené t ídy, p ípadn mu m ºe být t ída ur ena na základ p edchozího poji²t ní u jiné poji² ovny. Poji²t ný platí pojistné, které je získáno aplikováním relativního pojistného (tzv. relativity) spojeného s danou t ídou na základní pojistné. Relativita je ást základního pojistného (zpravidla vyjád ená v procentech). Ozna me r l relativitu spojenou se t ídou l. To znamená, ºe poji²t ný ve t íd l bude platit r l krát základní pojistné dané poji² ovnou. Problémem m ºe být správné ur ení o ekávané nehodovosti poji²t ných, p ípadn stanovení základního i relativního pojistného spojeného s jednotlivými t ídami. 1.2 P íklady systém Pro znázorn ní vykládaného problému uve me dva p íklady. Oba budou pouºívány i v dal²ích kapitolách. P íklady jsou pojmenovány podle zemí, ve kterých byly d íve pouºívány. V sou asné dob je na kaºdé poji² ovn, jaký systém si zvolí. Neplatí jeden univerzální systém v celé zemi. P íklady jsou p evzaty z [2] str. 148 a

10 Budoucí t ída p i Sou asná 0 1 t ída nahlá²ených nehodách Tabulka 1.1: Pravidla p echodu pro ²pan lský systém. Budoucí t ída p i Sou asná 0 1 t ída nahlá²ených nehodách Tabulka 1.2: Pravidla p echodu pro britský systém. P íklad 1 ( pan lský systém). Tento systém bonus - malus má 5 rizikových t íd. T ídy jsou íslované od 0 do 4.V p ípad nahlá²ení nehody ztrácí idi v²echny bonusy a dostává se do t ídy 4. T ída poji²t nce je tedy ur ena podle po- tu let bez nehody od poslední nahlá²ené nehody. Jako po áte ní t ída p i vstupu do systému se vºdy volí t ída íslo 4. Za kaºdý rok bez nehody se idi posunuje o 1 t ídu níºe, je - li to moºné. Poznamenejme, ºe pokud jsou pravidla nastavena takto, idi je potrestán pouze za první nehodu, ty ostatní má "zadarmo". Pro lep²í p edstavu jsou pravidla p echod znázorn na v tabulce 1.1. P íklad 2 (Britský systém). V tomto p íklad máme 7 rizikových t íd, op t íslovaných od 0 do 6. Na rozdíl od p edchozího p íkladu je tady po áte ní t ídou t ída 5. Za jeden rok bez nehody je op t posunutí o 1 t ídu níºe, je - li to moºné. Dal²ím rozdílem oproti p edchozímu je trestání nehod. Nech idi uplatnil jeden nárok na výplatu. Pak pokud byl ve t íd 0 posune se o 3 t ídy vý²e, pokud byl v první nebo druhé t íd, posune se o 2 t ídy vý²e. Ve zbylých p ípadech se posune o 1 t ídu vý²e, je - li to moºné (tedy pokud je v ²esté t íd, z stává v ní). Kaºdá dal²í nehoda je potrestána posunem o 2 t ídy vý²e, nezávisle na tom, v jaké t íd se poji²t nec nachází. Pokud je tedy idi v n které z niº²ích t íd a zp sobí jednu nehodu, má pro n j smysl se snaºit nezp sobit ºádnou dal²í. Pravidla p echod jsou zapsána v tabulce 1.2. Zmín né p íklady se dají snadno modikovat r znými volbami po áte ních t íd a r znými volbami pravidel p esouvání mezi t ídami. Moºné je i vymyslet n jaké speciální pravidlo, jako nap íklad pokud je idi v nejvy²²í t íd a dva 6

11 roky nezp sobí ºádnou nehodu, nadále se bude posouvat o dv t ídy níºe místo o jednu. 7

12 Kapitola 2 Modelování systém pomocí Markovových et zc Bonus - malus systémy bývají asto modelovány pomocí Markovových et zc. Riziková t ída, ve které se poji²t nec aktuáln nachází a po et nehod v pr b hu sou asného období nám sta í pro ur ení dal²í rizikové t ídy. Tedy budoucnost (t ída v ase t+1) závisí pouze na sou asnosti (t ída v ase t a po et nehod b hem roku t). To popisuje základní markovskou vlastnost, a to, ºe Markovovy et zce jsou tzv. bez pam ti (závisí pouze na sou asnosti, ne na minulosti). Zárove budeme p edpokládat, ºe po ty nehod v r zných letech jsou nezávislé náhodné veli iny. N kdy se m ºe stát, ºe v d sledku nap íklad n jakého speciálního pravidla, by markovská vlastnost neplatila, to se pak dá napravit vytvo ením ktivních t íd. 2.1 Vlastnosti systém bonus - malus Budeme p edpokládat, ºe systémy mají s + 1 t íd, íslovaných od 0 do s. Nov p íchozí idi je za azen do n jaké dané t ídy (podle pravidel systému). Kaºdý rok bez nehody je ocen n (nap íklad se idi posune o t ídu dol ) a kaºdá nahlá²ená ²koda je potrestaná (nap íklad za kaºdou nehodu idi stoupne o dv t ídy). idi i v nejniº²í t íd platí nejniº²í pojistné a naopak ve vy²²ích t ídách je i vy²²í pojistné. Výhodou pro idi e je, ºe za ur itý po et let bez nehod se mohou dostat do t ídy 0 a uºívat maximální bonus nezávisle na tom, kolik nehod zp sobili p edtím. Pr chod idi e takovýmto systémem, p es t ídy 0 aº s, kde následující t ída závisí jen na sou asné t íd a po tu nehod v sou asném roce (v bec ne na letech 1, 2,..., t 1), m ºe být tedy modelován práv pomocí Markovova et zce. Následn si ukáºeme, jak takový pr chod vypadá. Pro ilustraci nebudeme pouºívat ani jeden z jiº zmín ných p íklad systém, ale jednoduchý systém, který kaºdou nehodu trestá stejn a rok bez nehody oce uje posunem o jednu t ídu níºe. Tento model je p evzat z [1] str P edpokládejme, ºe nový idi je umíst n do t ídy l 0. Trajektorie pr chodu bude modelována jako posloupnost {L 1, L 2,... } náhodných veli in s hodnotami v {0, 1,..., s}. To znamená, ºe v asovém intervalu (k, k +1) (b hem roku k +1) je idi ve t íd L k. Tuto posloupnost m ºeme z ejm doplnit o hodnotu L 0 = l 0. Ozna me N k po et nehod nahlá²ených idi em b hem roku k ( asový interval 8

13 (k 1, k)). Na konci kaºdého roku toto íslo známe a tedy m ºeme p epo ítat, do jaké t ídy má být idi za azen. Hodnoty L 1,..., L k z ejm závisí na hodnotách N 1, N 2,..., N k. Ozna me p jako trest za kaºdou nahlá²enou nehodu (tzn. po et t íd, o které se idi posune vý²e za kaºdou nahlá²enou nehodu). Pro L k pak platí následující vztah { max{l k 1 1, 0}, pokud N k = 0, L k = min{l k 1 + N k p, s}, pokud N k 1. Tedy kde L k = max{min{l k 1 (1 I k ) + N k p, s}, 0}, I k = { 1, pokud N k 1, 0 jinak. Toto vyjád ení hodnot L k jasn ukazuje, ºe budoucí hodnota trajektorie je nezávislá na minulých t ídách, za podmínky, ºe sou asnou t ídu známe. Vý²e uvedená rekurzivní rovnice p edpokládá ztrátu bonusu v p ípad nahlá²ení alespo jedné nehody. Existují v²ak i systémy (jako d ív j²í ze zákona povinný belgický systém), kde bonus je idi i dop án v kaºdém p ípad. Rovnice pak má tvar L k = max{min{l k N k p, s}, 0}. To znamená, ºe za první nehodu je idi potrestán posunutím o p 1 t íd vý²e a aº za kaºdou následující o p t íd vý²e. 2.2 Pravd podobnosti p echodu V Markovových modelech nám pravd podobnosti p echodu udávají, jaká je pravd podobnost, ºe se Markov v et zec dostane z jednoho stavu do jiného. To v na²em p ípad modelování systém bonus - malus znamená pravd podobnost, ºe se idi p esune z jedné t ídy do jiné. Taková pravd podobnost zjevn závisí na tom, zda bude hlásit b hem daného roku ( ekn me k) poji² ovn n jakou nehodu, tedy na hodnot N k. P edpokládejme, ºe náhodné veli iny N 1, N 2,..., N k jsou nezávislé a stejn rozd lené s Poissonovým rozd lením s parametrem ϑ. Parametr ϑ > 0 nám udává ro ní o ekávanou frekvenci nehod. Pravd podobnost p echodu ze t ídy l 1 do t ídy l 2 v roce k + 1 pro idi e s ro ní o ekávanou frekvencí nehod ϑ je p l1 l 2 (ϑ) = P [L k+1 (ϑ) = l 2 L k (ϑ) = l 1 ], kde l 1, l 2 {0, 1,..., s}. Ozna ení L k (ϑ) znamená, ºe rozd lení veli in L k závisí na parametru ϑ. Z ejm hodnoty p l1 l 2 (ϑ) spl ují základní vlastnosti pravd podobnosti s p l1 l 2 (ϑ) 0 pro v²echna l 1 a l 2, a p l1 l 2 (ϑ) = 1. Pravd podobnosti p echodu nám dávají moºnost spo ítat pravd podobnost libovolné trajektorie pr chodu systémem. l 2 =0 9

14 2.2.1 Matice pravd podobností p echodu Matici pravd podobností p echodu ozna íme P(ϑ). Její prvky jsou jednotlivé pravd podobnosti p echodu. Ukáºeme si, jak by vypadaly matice pravd podobností p echodu v na²ich p íkladech systém. P íklad 3 ( pan lský systém). Jednokroková matice pravd podobností p echodu P(ϑ) v tomto p íklad vypadá následovn exp( ϑ) exp( ϑ) exp( ϑ) exp( ϑ) P(ϑ) = 0 exp( ϑ) exp( ϑ) 0 0 exp( ϑ) 0 1 exp( ϑ) exp( ϑ) 1 exp( ϑ) P íklad 4 (Britský systém). Pro zjednodu²ení matice P(ϑ) ozna me p 0 = exp( ϑ) (pravd podobnost, ºe idi nenahlásí ºádnou nehodu). Jednokroková matice pravd podobností p echodu pak vypadá takto ϑ p ϑp p p 0 (1 + ϑ + ϑ2 ) 2 ϑ p ϑp p p 0 (1 + ϑ + ϑ2 ) 2 0 p ϑp p 0 (1 + ϑ) P(ϑ) = 0 0 p 0 0 ϑp p 0 (1 + ϑ) p 0 0 ϑp 0 1 p 0 (1 + ϑ) p p p 0 1 p 0 Z obou matic je vid t, ºe jsou to matice stochastické. Poznámka (Matice pravd podobností p echodu po více krocích). Kdyº známe jednokrokovou matici pravd podobností p echodu, lze z ní snadno ur it matici pravd podobností p echodu po více krocích. Ozna me P (n) (ϑ) matici pravd podobností p echodu po n krocích, n = 1, 2,.... Platí P (n) (ϑ) = P n (ϑ). 2.3 Stacionární rozd lení Nejprve uvedeme denici stacionárního rozd lení z [3] str. 24. Denice 5. Ozna me S mnoºinu v²ech stav Markovova et zce. Pak rozd lení π(ϑ) = (π i (ϑ), i S) nazveme stacionárním rozd lením, pokud platí π j (ϑ) = Σ i S π i (ϑ)p ij (ϑ) pro v²echna j S. Soustavu rovností z denice 5 lze maticov zapsat ve tvaru π T (ϑ) = π T (ϑ)p(ϑ). (2.1) Stacionární rozd lení je tedy n jaké rozd lení, na kterém se et zec po n jaké dob ustálí. Pro ná² p ípad, kdy máme stavy et zce pojmenované jako t ídy a íslované od 0 do s, je stacionární rozd lení vektor π(ϑ) = (π 0 (ϑ), π 1 (ϑ),..., π s (ϑ)) T. 10

15 Poznamenejme, ºe π(ϑ) nezávisí na po áte ní t íd. Zárove ke stacionárnímu rozd lení konvergují ádky n-té mocniny matice p echodu P(ϑ), π T (ϑ) π T (ϑ) lim n Pn (ϑ) = Π(ϑ) =.. π T (ϑ) Tedy pokud budeme matici p echodu stále mocnit, po n jakém ase budou ádky stejné a v kaºdém bude stacionární rozd lení. Takováto metoda v²ak není pro výpo et stacionárního rozd lení vhodná, nebo hodnoty n budou vysoké Výpo et stacionárního rozd lení A jak tedy stacionární rozd lení vypo ítat? Existuje n kolik moºných zp - sob. Jeden z nich je p ímo z denice z formule (2.1). První moºností je (2.1) si ekvivalentn p epsat do tvaru π(ϑ) T (I P(ϑ)) = 0, (2.2) kde I je jednotková matice (má jedni ky pouze na diagonále, jinak jsou její prvky nulové) o rozm rech stejných jako má P(ϑ), tedy v na²em p ípad rozm ry (s + 1) (s + 1). e²ení (2.2) znamená e²ení soustavy s + 1 rovnic o s + 1 neznámých. My v²ak pouºijeme jiný zp sob výpo tu stacionárního rozd lení popsaný v [1] na str Rolski - Schmidli - Schmidt - Teugelsova formule V ta 6. Nech E je matice sloºená z jedni ek o rozm rech (s+1) (s+1), matice I je jednotková matice a vektor e je jeden sloupec matice E. P edpokládejme, ºe matice P(ϑ) je regulární. Pak matice I P(ϑ) + E je invertovatelná a platí, ºe je e²ením (2.1). π T (ϑ) = e T (I P(ϑ) + E) 1 (2.3) D kaz. Nejd íve ukáºeme, ºe matice I P(ϑ) + E je invertovatelná. Musíme ukázat, ºe (I P(ϑ) + E)x = 0 x = 0. Platí (I P(ϑ) + E)x = 0 π T (ϑ)(i P(ϑ) + E)x = 0. (2.4) Z (2.2) plyne π T (ϑ)(i P(ϑ) + E)x = 0 + π T (ϑ)ex. (2.5) Z 2.4 a 2.5 plyne (I P(ϑ) + E)x = 0 π T (ϑ)ex = 0. 11

16 Víme, ºe sou et prvk π T (ϑ) je roven 1, pak platí π T (ϑ)e = e T. Tedy e T x = 0. Z toho plyne, ºe Ex = 0. Následn víme, ºe Z toho plyne, ºe pro kaºdé n 1 platí Platí a protoºe x nezávisí na n platí (I P(ϑ))x = 0 P(ϑ)x = x. x = P n (ϑ)x. lim n Pn (ϑ)x = Π(ϑ)x x = Π(ϑ)x. To znamená, ºe x i = s π j (ϑ)x j pro v²echna i = 0, 1,..., s. Protoºe pravá strana j=0 rovnice nezávisí na i m ºeme zapsat x = ce pro c R. Odtud máme 0 = e T x = ce T e = c(s + 1) c = 0. Tedy x = 0 a matice I P(ϑ) + E je invertovatelná. Navíc z (2.2) máme π T (ϑ)(i P(ϑ) + E) = π T (ϑ)e = e T. A tedy platí To je p esn (2.3). π T (ϑ) = e T (I P(ϑ) + E) 1. Pro výpo et stacionárních rozd lení u na²ich p íklad vyuºijeme práv formuli (2.3). Zvolme ϑ = P íklad 7 ( pan lský systém). Stacionární rozd lení je π T (ϑ) = ( , , , , ). P íklad 8 (Britský systém). Stacionární rozd lení je π T (ϑ) = ( , , , , , , ). V obou p íkladech je rozvrstvení idi podobné a to, ºe v t²ina idi se nachází v nejniº²í t íd a pouze malé procento je ve t íd nejvy²²í. 12

17 Kapitola 3 Bonus - malus systémy s více typy ²kod V této kapitole ukáºeme, jak modelovat systémy bonus - malus, kdyº krom po tu nehod za minulé období chceme brát v potaz i typ nehody. Motivace k tomuto modelu je celkem z ejmá. Brát ohled pouze na po et nehod m ºe být dosti nespravedlivé, vzhledem k tomu, ºe nejsou v bec rozli²eny nehody, kdy idi zp sobí malou ²kodu a kdy idi p i nehod zni í t eba celé auto nebo dokonce n koho zraní. V systému popsaném v p edchozích kapitolách by na tyto nehody bylo pohlíºeno úpln stejn. To není úpln ºádoucí ani pro idi e, ani pro poji² ovny. Pokusíme se tedy rozd lit ²kody do n jakých skupin. Kaºdá skupina bude ur ovat jeden typ nehody a r zné typy nehod budou mít pro poji² ovnu r zné váhy. A jaké tedy mohou být typy ²kod? Nejjednodu²²í rozd lení je do dvou skupin, na ²kody, p i kterých je zran n lov k a na ²kody pouze materiální. Dal²í moºností je rozd lit ²kody do n kolika skupin podle ástek. ekn me, ºe typ nehod je m. Ozna íme N i po et nehod typu i a N celkový po et nehod. Budeme p edpokládat, ºe vektor po t nehod rozd lených podle r zných typ má podmín né multinomické rozd lení. To znamená, ºe kdyº idi nahlásí nehodu, ta se za adí do jedné z m kategorií, s pravd podobnostmi q 1, q 2,..., q m. Potom práv vektor (N 1, N 2,..., N m ) má podmín né multinomické rozd lení s pravd podobnostní funkcí { n! k P [N 1 = k 1,..., N m = k m N = n] = 1!...k qk 1 m! 1... qm km, pokud k k m = n, 0 jinak, kde n je po et v²ech nehod za rok. Náhodné veli iny N i mají z ejm p i daném n binomické rozd lení s parametry n a q i, n = 0,1,..., 0 < q i < 1, (N i Bi (n,q i )). Pro dal²í výklad budeme pot ebovat následující vlastnost p evzatou z [1] str V ta 9. P edpokládejme, ºe celkový po et nehod N má Poissonovo rozd lení s parametrem λ > 0. Nech nehody d líme na m r zných typ, vektor po t m typ nehod má p i daném N = n multinomické rozd lení s pravd podobnostmi q 1, q 2,..., q m. Nech náhodná veli ina N i ur uje po et nehod typu i, i = 1, 2,..., m. Potom náhodné veli iny N 1,..., N m jsou nezávislé a mají Poissonovo rozd lení s parametry λq 1, λq 2,..., λq m. 13

18 D kaz. Náhodná veli ina N i má p i daném N = n rozd lení Bi(n, q i ). Tedy P [N i = k] = P [N i = k N = n]p [N = n] n=k ( n = )q ki (1 q i ) n k exp( λ) λn k n! n=k = exp( λ) (λq i) k n! k! (n k)! (1 q n k λn k i) n! n=k = exp( λ) (λq i) k ((1 q i )λ) n k! n! = exp( λq i ) (λq i) k, k = 0,1,.... k! Z ejm N i P o(λq i ). Zbývá ukázat nezávislost náhodných veli in N i. K tomu pouºijeme vlastnost, ºe náhodné veli iny N i jsou nezávislé práv tehdy kdyº sou in jejich pravd podobnostních funkcí je sdruºenou pravd podobnostní funkcí vektoru (N 1,..., N m ). Vyuºijeme toho, ºe q q m = 1. P [N 1 = n 1,..., N m = n m ] n=0 = P [N 1 = n 1,..., N m = n m N = n n m ]P [N = n n m ] = (n n m )! q n qm nm n 1!... n m! λ n 1+ +n m exp( λ) (n n m )! = (λq 1) n 1... (λq m ) nm exp( λ(q q m )) n 1!... n m! m = exp( λq j ) (λq j) n j n j=1 j! m = P [N j = n j ]. j=1 Tím je d kaz dokon en. 3.1 Modelování pomocí Markovových et zc Modelování systém s více typy ²kod znamená roz²í ení model, ve kterých jsme ²kody nerozli²ovali. Op t budeme mít s + 1 t íd, íslovaných od 0 do s. Stejn jako d íve bude idi ocen n za kaºdý rok bez nehody. Rozdíl bude p i trestání nehod. idi dostane specický trest p íslu²ný k danému typu nehody, kterou zp sobil. Abychom mohli modelovat systémy Markovovými et zci, budeme op t p edpokládat, ºe et zce jsou "bez pam ti". Tedy, ºe znalost sou asné t ídy a po et nehod jednotlivých typ v sou asném období nám sta í k ur ení t ídy pro dal²í období. 14

19 3.1.1 Matice pravd podobností p echodu Do pravd podobností p echodu musíme nyní zahrnout i moºnosti r zných typ nehod. Tedy pravd podobnost p echodu z t ídy l 1 do t ídy l 2 pro poji²t nce s ro ní o ekávanou frekvencí nehod ϑ a vektorem pravd podobností jednotlivých typ nehod (q 1, q 2,..., q m ) T ozna íme p l1 l 2 (ϑ; q). Matici pravd podobností p echodu P(ϑ; q) budeme denovat stejn jako v p edchozí kapitole, op t se skládá z jednotlivých pravd podobností p echodu. Stejn tak i n-tá mocnina této matice udává matici pravd podobností p echodu po n krocích. P edpokládejme, ºe matice P(ϑ; q) je regulární. p 00 (ϑ; q) p 0s (ϑ; q) P(ϑ; q) = p s0 (ϑ; q) p ss (ϑ; q) Nyní uvedeme p íklad p evzatý z [1] str P íklad 10 (Systém -1/ +2/ +3). Ukáºeme matici pravd podobností p echodu systému, kde rozli²ujeme dva typy ²kod. kody pouze materiální a ²kody, kdy je zp sobeno n jaké zran ní lov ka. P edpokládejme 6 rizikových t íd, íslovaných od 0 do 5. Po áte ní t ída je t ída íslo 5. V p ípad, ºe idi nezp sobí ºádnou nehodu, posouvá se o jednu t ídu níºe. V p ípad, ºe zp sobí jednu nehodu pouze s materiální ²kodou, je potrestán zvý²ením o dv t ídy a v p ípad, ºe zp sobí nehodu se zran ním, je potrestán zvý²ením o t i t ídy. Ozna me n 1 po et nehod se zran ním a n 2 po et nehod pouze s materiální ²kodou, pak se idi v následujícím období posune o 3n 1 + 2n 2 t íd vý²e. Pro zjednodu²ení zápisu matice pravd podobností p echodu zavedeme je²t dal²í ozna ení. Nech ϑ je ro ní o ekávaná frekvence nehod a q = (q 1,q 2 ) T je vektor pravd podobností typ nehod. Pak ozna íme P 0 = exp( ϑ), P 1 = ϑq 2 exp( ϑq 2 ) exp( ϑq 1 ), P 2 = exp( ϑq 2 )ϑq 1 exp( ϑq 1 ), P 3 = (ϑq 2) 2 2 exp( ϑq 2 ) exp( ϑq 1 ). Dále ozna me Σ 1 = P 0 + P 1 + P 2 + P 3, Σ 2 = P 0 + P 1 + P 2, Σ 3 = P 0 + P 1. Matice pravd podobností p echodu vypadá následovn P 0 0 P 1 P 2 P 3 1 Σ 1 P P 1 P 2 1 Σ 2 P(ϑ; q) = 0 P P 1 1 Σ P P P P P 0 1 P 0 15

20 3.1.2 Stacionární rozd lení Ozna íme π(ϑ; q) = (π 0 (ϑ; q),..., π s (ϑ; q)) T stacionární rozd lení, na kterém se Markov v et zec po n jakém ase ustálí. ƒíslo π l (ϑ; q) je pravd podobnost pro poji²t nce s ro ní o ekávanou frekvencí nehod ϑ a vektorem pravd podobností jednotlivých typ nehod (q 1, q 2,..., q m ), ºe bude ve t íd l, tedy π l2 (ϑ; q) = lim n p n l 1 l 2 (ϑ; q). Výpo tem stacionárního rozd lení se budeme zabývat v dal²í kapitole a vyuºijeme k n mu formuli (2.3). 16

21 Kapitola 4 P íklady V této kapitole si ukáºeme výpo et stacionárního rozd lení pro jiº zmín ný systém s dv ma typy ²kod (ozna ený jako systém -1/ +2/ +3). Nejprve tak ud láme pro jednoho poji²t nce s daným rizikovým parametrem ϑ a poté vypo ítáme stacionární rozd lení pro celý pojistný kmen. Ke kaºdému z t chto výpo t vytvo íme simulaci pr chodu systémem a budeme porovnávat, jak se rozd lení jednotlivých t íd blíºí v ase ke stacionárnímu rozd lení. 4.1 Rozd lení rizikových parametr Pro rozd lení rizikových parametr vyuºijeme rozd lení pouºitá v [1] a [2]. P edpokládejme portfolio poji²t nc. Náhodn vybereme poji²t nce z portfolia. Ozna me Λ náhodnou veli inu, která vyjad uje apriorní o ekávanou nehodovost (tedy je ur ena na základ pozorovatelných charakteristik poji²t nce). Λ má diskrétní rozd lení, kde P [Λ = λ k ] = w k, λ k 0, w k 0 k (k ur uje skupinu, do které je poji²t nec apriorn za azen). Dále ozna me Θ náhodnou veli inu, která vyjad uje nehodovost poji²t nce a nezávisí na pozorovatelných charakteristikách poji²t nce. Nech N je po et nehod nahlá²ených poji²t ncem za rok. Pak P [N = j Θ = θ, Λ = λ k ] = exp( λ k θ) (λ kθ) j, θ 0, j = 0, 1,.... j! Pokud p edpokládáme d lení ²kod podle m typ je P [N l = j Θ = θ, Λ = λ k ] = exp( λ k θq l ) (λ kθq l ) j, θ 0, 1 q l 0, j = 0, 1,..., j! kde l = 1,..., m jsou typy ²kod a vektor q = (q 1,..., q m ) jsou pravd podobnosti jednotlivých typ ²kod a N l je tedy po et ²kod typu l za rok. Abychom mohli provést konkrétní výpo ty pot ebujeme znát rozd lení náhodných veli in Θ, Λ a náhodného vektoru q. Jak jiº bylo zmín no, Λ má diskrétní rozd lení a platí P [Λ = λ k ] = w k, λ k 0, w k 0 k. Nech rozd lení Θ je spojité. P edpokládejme, ºe Θ má rozd lení gama s ob ma parametry stejnými, Γ(a, a), a > 0. U náhodného vektoru q budeme p edpokládat, ºe má pouze 2 sloºky (to odpovídá na²emu p íkladu, kde máme pouze 2 typy nehod), tedy q = (q 1, q 2 ). Protoºe platí q 2 = 1 q 1, sta í znát rozd lení q 1. P edpokládejme, ºe rozd lení q 1 17

22 V k - pohlaví Vyuºití Typ λ k w k š automobilu bydli²t (v %) (v %) M M O Soukromé Sluºební Venkov M sto Ano Ne Ne Ano Ne Ano Ne Ano Ne Ne Ano Ne Ne Ano Ano Ne Ne Ne Ano Ano Ne Ano Ne Ne Ne Ano Ne Ano Ne Ano Ne Ano Ne Ano Ne Ne Ano Ne Ano Ne Ne Ano Ne Ano Ne Ne Ano Ano Ne Ne Ano Ne Ne Ano Ne Ano Ne Ne Ano Ano Ne Ano Ne Ne Ne Ano Ano Ne Ne Ano Ne Ne Ano Ne Ano Ano Ne Ne Ne Ano Ne Ano Ne Ano Tabulka 4.1: Apriorní rozd lení poji²t nc v kmeni. je beta rozd lení s parametry (g, h), g > 0, h > 0. Tedy hustota je f(q 1 ) = qg 1 1 (1 q 1 ) h 1. β(g,h) Nyní ur íme parametry zmín ných rozd lení. Parametr a rozd lení gama je t eba odhadnout na základ dat o pr b hu ²kod v minulosti. Hodnoty λ k a k nim váhy w k pro ur ení náhodné veli iny Λ je t eba ur it na základ informací o poji²t ncích. Protoºe my ºádná vhodná data k ur ení a nemáme, pouºijeme pro dal²í výpo ty bodový odhad vypo tený z dat v [1] a zmín ný v [1] na str 106. Tedy â = Stejn tak nemáme ani informace o poji²t ncích abychom mohli ur it hodnoty λ k a k nim váhy w k. Pro tyto hodnoty vyuºijeme tabulku z literatury [1] str 91. Tuto tabulku je²t zjednodu²íme. To ud láme tak, ºe nebudeme uvaºovat d lení poji²t nc podle toho, jak platí pojistné. Spojíme tedy n které ádky, jejich váhy w k se teme, nebo ty vyjad ují zastoupení poji²t nc v celém portfoliu a novou λ k ur íme váºeným pr m rem ze dvou hodnot λ i a λ j podle vah w i a w j. Výsledná tabulka je tabulka 4.1. U pohlaví poji²t nc zna íme písmenem M muºe a písmenem š ºeny. Pro muºe a ºeny nad 30 let zavedeme ozna ení ostatní, pro které pouºijeme zkratku O. Zbývá ur it parametry (g, h) beta rozd lení. V na²em p ípad má beta rozd lení náhodná veli ina q 1. Ta vyjad uje pravd podobnost zp sobení nehody se zran ním lov ka. K výpo tu parametr (g, h) vyuºijeme st ední hodnoty a rozptylu beta rozd lení. St ední hodnota beta rozd lení je rovna gh (g+h) 2 (g+h+1) g g+h a rozptyl je roven. Pro ur ení parametr vyuºijeme momentovou metodu odhadu parametr. Pot ebujeme tedy náhodný výb r z beta rozd lení. Máme k dispozici data o celkovém po tu ²kod a celkovém po tu usmrcených a zran ných lidí za rok. Protoºe nemáme data o celkovém po tu nehod se zra- 18

23 Celkový Po et Po et Podíl Rok po et zran ných nehod nehod nehod a usmrcených se zran ním se zran ním (v %) Tabulka 4.2: Po ty nehod za 10 let. n ním, budeme p edpokládat, ºe pr m rn p i jedné nehod se zran ním jsou zran ni nebo usmrceni 3 lidé, tedy za po et ²kod se zran ním budeme uvaºovat t etinu celkového po tu zran ných a usmrcených osob. Tato data máme za posledních 10 let z [4] a jsou uvedena v tabulce 4.2 v prvních t ech sloupcích. V p edposledním sloupci je po et nehod se zran ním vypo ítaný na základ na- ²eho p edpokladu a v posledním sloupci tabulky je uveden podíl po tu nehod se zran ním ku celkovému po tu. Hodnoty tohoto sloupce budeme uvaºovat jako realizace náhodných veli in nezávislých a stejn rozd lených jako náhodná veli ina q 1. Tedy ho m ºeme povaºovat za náhodný výb r z beta rozd lení s parametry (g,h). Z náhodného výb ru vypo ítáme výb rový pr m r a výb rový rozptyl a poloºíme je rovny st ední hodnot a rozptylu beta rozd lení. Máme soustavu rovnic = g g + h gh = (g + h) 2 (g + h + 1). Vy e²ením této soustavy rovnic získáme parametry beta rozd lení. Parametry jsou (g,h) = ( , ). Nyní máme zavedena v²echna pot ebná rozd lení a m ºeme si vytvo it vlastní portfolio poji²t nc s danými vlastnostmi. K tomu pouºijeme program Wolfram Mathematica 9. Ten budeme vyuºívat i k dal²ím výpo t m. P edpokládáme portfolio 1000 poji²t nc. Nejprve si vygenerujeme 1000 rizikových parametr θ z rozd lení gama s parametry (a, a), a = pomocí funkce RandomVariate. Poté si pomocí funkce RandomChoice vygenerujeme 1000 hodnot parametru λ k podle vah w k. Nakonec ke kaºdé z t chto dvojic (θ,λ k ) vygenerujeme íslo q 1 z beta rozd lení s parametry (g,h) = ( , ) také pomocí funkce RandomVariate. Toto portfolio budeme vyuºívat pro dal²í výpo ty. 19

24 4.2 Stacionární rozd lení poji²t nce Stacionární rozd lení vypo ítáme z formule (2.3). Pot ebujeme tedy znát matici pravd podobností p echodu P(ϑ; q). Kaºdý poji²t nec z portfolia je ur en trojicí (θ, λ k, q 1 ). Náhodn vybereme poji²t nce z na²eho portfolia. Jeho trojice je rovna (θ, λ k, q 1 ) = ( , , ). Na základ t chto hodnot sestavíme matici pravd podobností p echodu P(ϑ; q), kde ϑ = θλ k a vypo ítáme stacionární rozd lení π. π T = ( , , , , , ) Simulace pr chodu systémem Budeme simulovat pr chod systémem náhodn vybraného poji²t nce ur eného jiº zmín nou trojicí ( , , ). V na²em systému je po áte ní t ída íslo 5. Poji²t nec tedy za ne ve t íd íslo 5. Pr chod systémem budeme simulovat tak, ºe si pro kaºdý rok nasimulujeme po et nehod (r zných typ ), které poji²t nec zp sobí. Na základ tohoto po tu nehod se poji²t nec p esune do n jaké t ídy. Budeme uvaºovat pr chod systémem v pr b hu 10 let. Zajímat nás bude t ída, v jaké se poji²t nec nachází po on ch 10 letech. Tuto hodnotu si ozna íme jako L 10. Tuto simulaci zopakujeme 1000 krát. Dostaneme tedy posloupnost L (1) 10, L (2) 10,..., L (1000) 10. Vypo teme relativní etnosti jednotlivých t íd v posloupnosti a vektor relativních etností pak porovnáme se stacionárním rozd lením. Nejprve simulujeme po ty ²kod v 10 letech. Máme dva typy ²kod, tedy simulujeme dvojici (N 1, N 2 ) j, kde N i, i = 1,2 zna í po et ²kod typu i a index j = 1,2,...,10 zna í jednotlivé roky. Z v ty 9 víme, ºe (N 1, N 2 ) jsou vzájemn nezávislé a mají Poissonovo rozd lení. N 1 P o(θλ k q 1 ) a N 2 P o(θλ k (1 q 1 )). Pouºijeme funkci RandomVariate v Mathematice a vygenerujeme si posloupnost (n 1,n 2 ) 1, (n 1,n 2 ) 2,..., (n 1,n 2 ) 10. Poji²t nec tedy za ne ve t íde 5 a podle hodnot (n 1,n 2 ) v jednotlivých letech se p esunuje o 3n 1 + 2n 2 t íd vý²e (maximáln v²ak do t ídy 5) a pokud je (n 1,n 2 ) = (0,0) pak se posunuje o 1 t ídu níºe (maximáln do t ídy 0). Po provedení v²ech simulací je vektor relativních etností následující (0.311, 0.110, 0.171, 0.132, 0.135, 0.141). V tabulce 4.3 a grafu 4.1 je porovnání stacionárního rozd lení a vektoru relativních etností jednotlivých rizikových t íd. Pro p ehlednost graf jsou jednotlivé t ídy spojeny, i kdyº nejsou spojité. Je z ejmé, ºe vektor relativních etností se postupn blíºí stacionárnímu rozd lení, ale 10 let je krátká doba na to, aby se mu rovnal. Zárove etnosti páté t ídy se dost vychylují od stacionárního rozd lení. Provedeme tedy stejnou simulaci je²t jednou, tentokrát v²ak budeme uvaºovat pr chod systémem v pr b hu 20 let. 20

25 T ída Stacionární Relativní rozd lení etnosti Tabulka 4.3: Porovnání stacionárního rozd lení a relativních etností po 10 letech Stacionarni rozdeleni Relativni cetnosti po 10 letech Tridy Obrázek 4.1: Porovnání stacionárního rozd lení a relativních etností po 10 letech. Cetnosti Stacionarni rozdeleni Relativni cetnosti po 10 letech Relativni cetnosti po 20 letech Tridy Obrázek 4.2: Porovnání stacionárního rozd lení a relativních etností po 10 a 20 letech. 21

26 Stacionární Relativní Relativní T ída rozd lení etnosti etnosti po 10 letech po 20 letech Tabulka 4.4: Porovnání stacionárního rozd lení a relativních etností po 10 a 20 letech. Po 20 letech je vektor relativních etností následující (0.354, 0.116, 0.165, 0.126, 0.132, 0.107). V tabulce 4.4 a grafu 4.2 je porovnání stacionárního rozd lení, vektoru relativních etností po 10 letech a vektoru relativních etností po 20 letech. Ani tentokrát se relativní etnosti nerovnají stacionárnímu rozd lení, av²ak p iblíºily se mu mnohem více neº relativní etnosti po 10 letech. Z grafu 4.2 je vid t, ºe stacionární rozd lení a relativní etnosti po 20 letech se tém p ekrývají. 4.3 Stacionární rozd lení pojistného kmene Stacionární rozd lení celého pojistného kmene vypo ítáme na základ stacionárních rozd lení v²ech poji²t nc. Ozna íme jej π T = (π 0, π 2,..., π s ), kde π j = P [L = j] je pravd podobnost j-té t ídy. Stacionární rozd lení tedy vypo ítáme pomocí vzorce P [L = j] = k w k + 1 π j (λ k θ, q)df Θ (θ)df q1 (q 1 ), j = 0, 1,..., s, 0 0 kde π j (λ k θ, q) je pravd podobnost j-té t ídy p i daných θ, λ k, q a k ur uje skupinu, do které je poji²t nec apriorn za azen. Pro výpo et tohoto integrálu a sumy vyuºijeme program Mathematica. Stacionární rozd lení je π T = ( , , , , , ) Simulace pr chodu Budeme simulovat pr chod systémem celého portfolia, tedy v²ech 1000 poji²t nc. Kaºdý poji²t nec je ur en trojicí (θ, λ k, q 1 ), která ur uje jeho nehodovost. Po áte ní t ídou je t ída íslo 5. V²ichni poji²t nci tedy za nou ve t íd íslo 5. Pr chod systémem budeme op t simulovat tak, ºe si pro kaºdý rok nasimulujeme po ty nehod (r zných typ ), které jednotliví poji²t nci zp sobí. Na základ 22

27 T ída Stacionární Relativní rozd lení etnosti Tabulka 4.5: Porovnání stacionárního rozd lení pojistného kmene a relativních etností po 10 letech. tohoto po tu nehod se poji²t nci budou p esouvat mezi t ídami podle pravidel p echodu. Budeme uvaºovat pr chod systémem v pr b hu 10 let. Zajímat nás bude t ída, v jaké se poji²t nci nachází po on ch 10 letech. Tuto hodnotu si ozna- íme jako L 10. Protoºe simulaci provedeme pro v²ech 1000 poji²t nc, dostaneme posloupnost L (1) 10, L (2) 10,..., L (1000) 10. Vypo teme relativní etnosti jednotlivých t íd v posloupnosti a vektor relativních etností pak porovnáme se stacionárním rozd lením. Nejprve simulujeme po ty ²kod v 10 letech pro kaºdého poji²t nce. Stejn jako v p edchozí simulaci máme 2 typy ²kod, tedy simulujeme dvojici (N 1, N 2 ) j, kde N i, i = 1,2 zna í po et ²kod typu i a index j = 1,2,...,10 ozna uje jednotlivé roky. Z v ty 9 víme, ºe (N 1, N 2 ) jsou vzájemn nezávislé a mají Poissonovo rozd lení. Pro i-tého poji²t nce tedy platí, ºe N i1 P o(θ i λ ik q i1 ) a N i2 P o(θ i λ ik (1 q i1 )). Pouºijeme funkci RandomVariate v Mathematice a vygenerujeme si posloupnost (n 1,n 2 ) i1, (n 1,n 2 ) i2,..., (n 1,n 2 ) i10. Poji²t nec i tedy za ne ve t íd 5 a podle jeho hodnot n 1,n 2 v jednotlivých letech se p esunuje o 3n 1 + 2n 2 t íd vý²e (maximáln v²ak do t ídy 5) a pokud je (n 1,n 2 ) = (0,0) pak se posunuje o 1 t ídu níºe (maximáln do t ídy 0). Po provedení v²ech simulací je vektor relativních etností následující (0.244, 0.063, 0.107, 0.108, 0.169, 0.309). V tabulce 4.5 a grafu 4.3 je porovnání stacionárního rozd lení pojistného kmene a vektoru relativních etností jednotlivých rizikových t íd. Z tabulky 4.5 i z grafu 4.3 je z ejmé, ºe jiº po 10 letech se vektor relativních etností stacionárnímu rozd lení p ibliºuje. Pro zajímavost provedeme simulaci pr b hu i ve 20, 30 a 40 letech. V tabulce 4.6 a v grafech 4.3, 4.4, 4.5 a 4.6 je porovnání stacionárního rozd lení pojistného kmene a vektor relativních etností postupn po 10, 20, 30 a 40 letech. V tabulce je zavedeno zna ení písmenem l, které zna í roky. Grafy jsou uvedeny takto postupn kv li lep²í p ehlednosti a také, aby bylo moºné porovnávat jednotlivé simulace a sledovat, zda se simulace v ase blíºí stacionárnímu rozd lení. 23

28 Cetnosti 0.30 Relativni cetnosti po 10 letech 0.25 Stacionarni rozdeleni Tridy Obrázek 4.3: Porovnání stacionárního rozd lení pojistného kmene a relativních etností po 10 letech. Cetnosti 0.30 Relativni cetnosti po 20 letech 0.25 Stacionarni rozdeleni Tridy Obrázek 4.4: Porovnání stacionárního rozd lení pojistného kmene a relativních etností 20 letech. 24

29 Cetnosti Relativni cetnosti po 30 letech Stacionarni rozdeleni Tridy Obrázek 4.5: Porovnání stacionárního rozd lení pojistného kmene a relativních etností po 30 letech. Cetnosti 0.30 Relativni cetnosti po 40 letech 0.25 Stacionarni rozdeleni Tridy Obrázek 4.6: Porovnání stacionárního rozd lení pojistného kmene a relativních etností po 40 letech. 25

30 Stacionární Relativní Relativní Relativní Relativní T ída rozd lení etnosti etnosti etnosti etnosti po 10 l po 20 l po 30 l po 40 l Tabulka 4.6: Porovnání stacionárního rozd lení a relativních etností po 10, 20, 30 a 40 letech. (Písmeno l zna í roky.) Stacionární Relativní Relativní Relativní T ída rozd lení etnosti etnosti etnosti po 10 l po 30 l po 40 l Tabulka 4.7: Porovnání stacionárního rozd lení a relativních etností pojistného kmene s poji²t nci po 10, 30 a 40 letech. (Písmeno l zna í roky.) Z tabulky 4.6 i z graf 4.4, 4.5 a 4.6 je vid t, ºe systém se ani po 40 letech úpln nestabilizuje, zárove se stacionárnímu rozd lení nep iblíºil nijak významn ji neº simulace po 10 letech, av²ak v²echny simulace se pohybují blízko stacionárnímu rozd lení. To m ºe být zp sobeno tím, ºe provádíme simulaci pro celý pojistný kmen, který je celkem heterogenní vzhledem k tomu, ºe kaºdý poji²t nec má svoje vlastní rizikové parametry. Zárove to m ºe být zp sobeno tím, ºe 1000 poji²t nc je p íli² malý vzorek pro tento systém, aby se stabilizoval. Provedeme tedy je²t jednu sadu simulací. Protoºe 1000 poji²t nc je nejspí²e málo pro stabilizování systému, vytvo íme si nové portfolio, které bude mít poji²t nc. Budeme postupovat úpln stejn jako p i vytvá ení portfolia s 1000 poji²t nc. Simulaci také provedeme úpln stejn jako p i p edchozí simulaci pr chodu celého pojistného kmene. Simulace provedeme v pr b hu 10, 30 a 40 let. Po provedení v²ech simulací jsou výsledky uvedeny v tabulce 4.7 a v grafech 4.7, 4.8 a 4.9. Grafy jsou op t uvedeny postupn abychom mohli sledovat, jak se relativní etnosti v ase p ibliºují stacionárnímu rozd lení. 26

31 Cetnosti Relativni cetnosti po 10 letech Stacionarni rozdeleni Tridy Obrázek 4.7: Porovnání stacionárního rozd lení pojistného kmene s poji²t nci a relativních etností po 10 letech. Cetnosti 0.30 Relativni cetnosti po 30 letech 0.25 Stacionarni rozdeleni Tridy Obrázek 4.8: Porovnání stacionárního rozd lení pojistného kmene s poji²t nci a relativních etností po 30 letech. 27

32 Cetnosti 0.30 Relativni cetnosti po 40 letech 0.25 Stacionarni rozdeleni Tridy Obrázek 4.9: Porovnání stacionárního rozd lení pojistného kmene s poji²t nci a relativních etností po 40 letech. Z tabulky 4.7 i z graf 4.7, 4.8 a 4.9 je vid t, ºe relativní etnosti se tentokrát postupn za ínají s asem p ibliºovat stacionárnímu rozd lení. Pojistný kmen, který má poji²t nc se tedy s asem za íná stabilizovat. Zejména z graf 4.8 a 4.9 je jasn vid t, ºe vektor relativních etností po 40 letech se více p iblíºil stacionárnímu rozd lení neº vektor relativních etností po 30 letech. 28

33 Záv r Hlavním cílem práce bylo otestovat, zda um le vytvo ený pojistný kmen v ase konverguje ke stacionárnímu rozd lení. To jsme testovali pomocí r zných simulací. P i první sad simulací, kde jsme se zam ili pouze na jednoho poji²t nce a jeho stacionární rozd lení, jsme dosp li k pozitivnímu výsledku. Pr chod poji²t nce systémem se p iblíºil ke stacionárnímu rozd lení. Po 20 letech se mu tém rovnal. V druhé sad simulací jsme se jiº zam ili na celý pojistný kmen s 1000 poji²t nci a jeho pr chod systémem. Tento pr chod jsme zkoumali postupn po 10, 20, 30 a 40 letech. Výsledek ukázal, ºe systém se nestabilizoval, zárove se ani v ase postupn nep ibliºoval stacionárnímu rozd lení, spí²e se v²echny pr chody pohybovaly okolo stacionárního rozd lení. Nakonec jsme provedli je²t t etí sadu simulací pro portfolio s poji²t nci. Tentokrát jsme pr chod sledovali v pr b hu 10, 30 a 40 let a na rozdíl od portfolia s 1000 poji²t nci nám vy²el pozitivní výsledek. Po simulacích byl v ase z ejmý trend p ibliºování ke stacionárnímu rozd lení. M ºeme tedy íct ºe jsme dosáhli kladného výsledku a naplnili cíl této práce. Zárove jsme prokázali, ºe 1000 poji²t nc byl opravdu malý vzorek pro stabilizaci systému. P i výpo tu stacionárního rozd lení pro celý pojistný kmen a následn p i simulacích jsme také narazili na zvlá²tnost námi vytvo eného pojistného kmene. A to, ºe neplatí, ºe nejvíce poji²t nc je v nejniº²í t íd a nejmén ve t íd nejvy²²í, ale naopak nejvíce poji²t nc máme v nejvy²²í t íd. To ukazuje, ºe jsme p edpokládali vy²²í nehodovost poji²t nc. Systém, pro který jsme provád li simulaci, je i p es rozli²ení dvou typ ²kod stále dost jednoduchý. V praxi by bylo nutné rozli²it nap íklad i typ zran ní, nebo je velký rozdíl, zda viník nehody n koho usmrtí, i pouze lehce zraní. Lep²í systém by tedy ur it m l rozli²ovat více neº dva typy ²kod. P i modelování by takový systém byl sloºit j²í v tom, ºe by ne²lo pouºít beta rozd lení pro rozd lení typ ²kod, ale bylo by nutné pouºít n jaké vícerozm rné rozd lení. 29

34 Seznam pouºité literatury [1] Denuit, M., Maréchal, X., Pitrebois, S., Walhin, J.-F., Actuarial Modelling of Claim Counts, 1. vydání, John Wiley & Sons, Chichester 2007, ISBN [2] Lemaire, J., Bonus-Malus Systems in Automobile Insurance, Huebner international series on risk, insurance and economic security, Kluwer Academic Publishers, Boston 1995, ISBN X. [3] Proke²ová, M., Skripta: Základy matematického modelování, 2013, dostupné na prokesov/. [4] Sobotka, P., Tesa ík, J., Informace o nehodovosti na pozemních komunikacích ƒeské republiky za rok 2012, vydáno 2013 dostupné jako soubor PDF za m síc prosinec na aspx?q=Y2hudW09Mg%3d%3d. 30