Základní typy pravděpodobnostních rozdělení
|
|
- Dušan Musil
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Základní typy pravděpodobnostních rozdělení Petra Schreiberová, Jiří Krček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 208
2 OBSAH Diskrétní rozdělení náhodných veličin 3. Rovnoměrné rozdělení Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Hypergeometrické rozdělení Poissonovo rozdělení Další důležitá diskrétní rozdělení Geometrické rozdělení Negativně binomické rozdělení Spojitá rozdělení náhodných veličin 3 2. Rovnoměrné rozdělení Eponenciální rozdělení Normální rozdělení Normované normální rozdělení
3 2.4 Další důležitá spojitá rozdělení Logaritmicko normální rozdělení Weibullovo rozdělení Chí-kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fischerovo-Snedecorovo rozdělení Gamma rozdělení
4 KAPITOLA DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN. Rovnoměrné rozdělení popisuje náhodnou veličinu, která může nabývat n stejně pravděpodobných hodnot Definice. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení R(n), právě když je její pravděpodobnostní funkce dána rovnicí kde n je počet možných výsledků. p() = n, Příklad. Lze hod kostkou popsat rovnoměrným rozdělením? Řešení: Nadefinujeme náhodnou veličinu: X = hod kostkou Množina všech možných výsledků má 6 prvků M = {, 2, 3, 4, 5, 6}, kde pravděpodobnost každé realizace je stejná - pravděpodobnost, že padne je stejná jako pravděpodobnost, že padne 2, atd. jedná se o rovnoměrnou náhodnou veličinu X R(6). 3
5 .2. ALTERNATIVNÍ ROZDĚLENÍ Pravděpodobnostní funkce - tabulka: Grafy p() a F(): i p( i ) p() F() Alternativní rozdělení popisuje náhodnou veličinu, která může nabývat pouze dvou výsledků, pravděpodobnost jednoho z nich je p a druhého p Definice.2 Náhodná veličina X má alternativní rozdělení A(p), právě když je její pravděpodobnostní funkce dána rovnicí { p = p() = p = 0. Vlastnosti E(X) = p D(X) = p( p) Příklad.2 Náhodná veličina je výsledkem teoretické části zkoušky z matematiky, u které by měl student odpovědět na jednu otázku, přičemž prostudoval 70 % učiva. Jaké jsou pravděpodobnosti úspěšného, příp. neúspěšného zvládnutí zkoušky? Řešení: Nadefinujeme náhodnou veličinu: X = výsledek zkoušky Množina všech možných výsledků má 2 prvky: úspěšné vykonání zkoušky a neúspěšné vykonání zkoušky. Definiční obor náhodné veličiny X je dvouprvková množina M = {0, }. 4
6 .3. BINOMICKÉ ROZDĚLENÍ Známe pravděpodobnost úspěchu (student odpoví správně) p = 0, 7 jedná se o alternativní náhodnou veličinu X A(0, 7). Pravděpodobnost úspěšného vykonání zkoušky je P(X = ) = p() = 0, 7 a pravděpodobnost neúspěšného vykonání zkoušky je P(X = 0) = p(0) = p() = 0, 7 = 0, 3 p() F() 0, 7 0, 3 0 0, Binomické rozdělení popisuje četnost výskytu náhodného jevu v n nezávislých pokusech, v nichž má jev stále stejnou pravděpodobnost p Definice.3 Náhodná veličina X má binomické rozdělení Bi(n, p), právě když je její pravděpodobnostní funkce dána rovnicí ( ) n p() = p ( p) n, = 0,,..., n, kde n je počet nezávislých pokusů a p je pravděpodobnost výskytu sledovaného jevu v každém pokusu. Vlastnosti E(X) = np D(X) = np( p) Poznámka Pro n = jde o alternativní rozdělení, tj. A(p) Bi(, p). Funkce v Ecelu: p() = P(X = ) = BINOM.DIST(; n; p; 0) 5
7 .3. BINOMICKÉ ROZDĚLENÍ F() = P(X ) = BINOM.DIST(; n; p; ) Příklad.3 Průměrná zmetkovitost výroby sledovaného výrobku je 2 %. Jaká je pravděpodobnost, že se mezi 300 výrobky vyskytne a) právě pět zmetků b) více než tři zmetky? Dále určete střední hodnotu a rozptyl počtu zmetků mezi těmito 300 výrobky. Řešení: Pravděpodobnost zmetkovitosti jednoho výrobku je p = 0, 02. Uvedených 300 výrobků pak představuje 300 nezávislých pokusů, přičemž v každém je pravděpodobnost úspěchu (výrobek je zmetek) rovna p. Náhodná veličina X popisující počet zmetků mezi sledovanými výrobky má tedy binomické rozdělení s parametry n = 300 a p = 0, 02, tj. X Bi(300; 0, 02). ad a) Máme určit pravděpodobnost toho, že náhodná veličina X nabude hodnoty právě 5: ( ) 300 P(X = 5) = p(5) = 0, , Ecel: P(X = 5) = BINOM.DIST(5; 300; 0, 02; 0). = 0, 62 ad b) Určíme, s jakou pravděpodobností bude hodnota náhodné veličiny X větší než 3: Ecel: P(X > 3) = P(X 3) = 3 p() = =0 3 =0 ( ) 300 0, 02 0, P(X > 3) = P(X 3) = BINOM.DIST(3; 300; 0, 02; ). = 0, 85 Dále E(X) = np = 300 0, 02 = 6 D(X) = np( p) = 300 0, 02 0, 98 = 5, 88. 6
8 .4. HYPERGEOMETRICKÉ ROZDĚLENÍ Úlohy k samostatnému řešení. Pravděpodobnost toho, že žárovka praskne při jednom přepnutí vypínače je 0, 5 %. Jaká je pravděpodobnost, že za jeden rok (nepřestupný) při jednom rozsvícení a zhasnutí denně prasknou nejvýše tři žárovky. 2. Ve skladu je připraveno k epedici 3000 elektronických součástek stejného typu. Pravděpodobnost, že se součástka spálí při testovacím zapojení je 0, 2 %. Jaká je pravděpodobnost, že ze součástek na skladě budou více než tři spáleny při testování? 3. Dlouhodobým pozorováním byla určena pravděpodobnost jarní povodně na řece na 0, 3. Určete pravděpodobnost, že v příštích 30 letech nedojde k více než dvěma povodním. Dále určete střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny, popisující počet povodní v těchto 30 letech..4 Hypergeometrické rozdělení popisuje četnost výskytu sledovaného jevu v n opakovaných závislých pokusech - výběr bez vracení Definice.4 Náhodná veličina X má hypergeometrické rozdělení H(N, M, n), právě když je její pravděpodobnostní funkce dána rovnicí ( )( ) M N M p() = n ( ) N, = 0,,..., n, n kde N je celkový počet prvků základního souboru, M je počet prvků v základním souboru, které mají sledovanou vlastnost, n je počet prvků ve výběru, je počet prvků ve výběru, které mají sledovanou vlastnost. Vlastnosti E(X) = nm N 7
9 D(X) = nm N ( M N ) ( ) N n N.4. HYPERGEOMETRICKÉ ROZDĚLENÍ Poznámka Funkce v Ecelu: P(X = ) = HYPGEOM.DIST(; n; M; N; 0) P(X ) = HYPGEOM.DIST(; n; M; N; ) Příklad.4 Do krabice, která obsahuje 50 žárovek se závitem E27, přidáme 50 žárovek se závitem E4. Z krabice pak náhodně vybereme 30 žárovek. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude alespoň 25 se závitem E27? A jaký je průměrný počet žárovek E27 v takovém výběru? Řešení: Celkem máme v krabici = 200 žárovek, ze kterých náhodně a bez vracení vybíráme 30. Tento výběr tedy představuje 30 závislých pokusů - pravděpodobnost, že vyberete žárovku E27 v každém pokusu závisí na tom, jaké žárovky jste vybrali v předchozích pokusech. Náhodná veličina X popisující počet žárovek E27 ve 30ti prvkovém výběru má tedy hypergeometrické rozdělení s parametry N = 200 (počet všech žárovek), M = 50 (počet žárovek E27) a n = 30 (počet žárovek ve výběru), tj. X H(200, 50, 30). Máme určit pravděpodobnost toho, že náhodná veličina X nabude hodnoty alespoň 25 (tj. 25 X 30): ( )( ) Ecel: P(X 25) = 30 P(X = ) = =25 30 p() = =25 30 =25 30 ( ) P(X 25) = P(X 24) = HYPGEOM.DIST(24; 30; 50; 200; ). = 0, 8 Průměrný počet žárovek E27 ve výběru určíme jako střední hodnotu náhodné veličiny X: E(X) = nm N = = 22, 5. Úlohy k samostatnému řešení. V každé dodávce je 000 kusů výrobků. Při kontrole jich náhodně bez vracení vybereme 20. Dodávka bude přijata, pokud kontrolní výběr obsahuje nejvýše dva zmetky. S jakou pravděpodobností bude odmítnuta dodávka, která obsahuje právě 8
10 .5. POISSONOVO ROZDĚLENÍ 80 zmetků? 2. V dodávce 20 polotovarů je 5 vadných. Náhodně vybereme (najednou, tj. bez vracení ) 6 kusů polotovarů k další kompletaci. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny popisující počet vadných polotovarů v tomto výběru. A jaká je pravděpodobnost, že mezi vybranými prvky bude maimálně jeden vadný? 3. Ve skladu do krabice, ve které je 500 šroubů s metrickým závitem, omylem přisypali 80 šroubů s palcovým závitem. Nezaškoleného pomocníka pošlete do této krabice pro 20 šroubů. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude alespoň 8 s metrickým závitem?.5 Poissonovo rozdělení popisuje četnost výskytu náhodného (Poissonovského) jevu v daném intervalu (časovém, délkovém, prostorovém). Nabývá kladných celých čísel včetně 0. Většinou vyjadřuje počet výskytů málo pravděpodobných jevů v nějakém časovém či objemovém intervalu. Definice.5 Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení Po(λ), právě když je její pravděpodobnostní funkce dána rovnicí p() = λ! e λ, = 0,,..., kde λ je střední hodnota počtu výskytů sledovaného jevu v daném intervalu. Vlastnosti E(X) = λ D(X) = λ A = λ ē = λ Poznámka Poissonovo rozdělení vznikne jako limitní případ binomického rozdělení pro velká n. Binomické rozdělení Bi(n, p) lze tedy pro velká n a p blížící se k nule aproimovat Poissonovým rozdělením s parametrem λ = np, tj. Bi(n, p) Po(np) pro n a p 0. 9
11 .5. POISSONOVO ROZDĚLENÍ Dále pro velké λ se hodnoty Poissonova rozdělení blíží k hodnotám rozdělení normálního. Funkce v Ecelu: P(X = ) = POISSON.DIST(; λ; 0) P(X ) = POISSON.DIST(; λ; ) Příklad.5 Během dvanáctihodinové pracovní směny přijede na myčku s jednou mycí linkou průměrně 44 automobilů. a) Jaká je pravděpodobnost, že jich během 40 min. nepřijede více než 6? b) Jaká je pravděpodobnost, že během 0 min. přijede alespoň jeden automobil? Řešení: a) Průměrný počet automobilů, které přijedou na myčku během min. je , v časovém úseku délky 40 min. jich pak bude průměrně = 8. Náhodná veličina X popisující počet automobilů, které přijedou na myčku během 40 min., má tedy Poissonovo rozdělení s parametrem λ = 8, tj. X Po(8). Určíme pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnot nejvýše 6 (tj. 0 X 6): Ecel: P(X 6) = 6 P(X = ) = =0 6 p() = e 8 =0 6 8 =0!. P(X 6) = POISSON.DIST(6; 8; ). = 0, 33 b) Analogicky, náhodná veličina Y popisující počet automobilů, které přijedou na myčku během 0 min., bude mít Poissonovo rozdělení s parametrem λ = = 2, tj. Y Po(2). Určíme pravděpodobnost, že tato náhodná veličina nabude hodnot alespoň : Ecel: P(Y ) = P(Y = 0) = p(0) = 20 0! e 2 = e 2. = 0, 865. P(Y ) = P(Y = 0) = POISSON.DIST(0; 2; 0). = 0, 865 Úlohy k samostatnému řešení. Při psaní 00 stránkové bakalářské práce jste se dopustili celkem 260 gramatických chyb. Jaká je pravděpodobnost, že na náhodně vybrané stránce nebudou více než dvě chyby? 0
12 .6. DALŠÍ DŮLEŽITÁ DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ 2. Během 8 hod. pracovní směny přijede na čerpací stanici s jedním stojanem průměrně 320 automobilů. Jaká je pravděpodobnost, že jich během 45 min. přijede alespoň 25? 3. Revizor v ostravské MHD dopadne během jednoho pracovního dne průměrně 4 černých pasažérů. Jaká je pravděpodobnost, že jich za jeden pracovní týden (od pondělí do pátku) dopadne alespoň 65? Úlohy k samostatnému řešení Poznejte o jaké rozdělení se jedná a vyřešte:. Kapsář pracující na hlavním nádraží okrade průměrně 42 cestujících za týden. Jaká je pravděpodobnost, že se mu dnes podaří okrást alespoň 5 cestujících? 2. Nově sestavený elektronický přístroj obsahuje 562 součástek stejného typu, u nich výrobce deklaruje pravděpodobnost poruchy při prvním zapojení na 0, 8 %. Jaká je pravděpodobnost, že přístroj bude při prvním zapojení fungovat, jestliže porucha tří a více součástek ho vyřadí z provozu? 3. Do. ročníku je zapsáno 22 dívek a 36 chlapců, které zcela náhodně rozdělíme do studijních skupin po 24. Jaká je pravděpodobnost, že ve skupině bude více dívek než chlapců? 4. Sálový superpočítač má na 500 dní nepřetržitého provozu průměrně 24 poruch. Určete pravděpodobnost poruchy za 00 hodin provozu. 5. Při výstupní kontrole se z každých 000 výrobků vybírá 50. Určete střední hodnotu počtu nekvalitních výrobků ve výběru, je-li zmetkovitost výroby 3 %. 6. V kulometném pásu je 250 nábojů, pravděpodobnost selhání při výstřelu každého z nich je, 5 %. Jaká je pravděpodobnost, že vystřílíme celý pás bez selhání?.6 Další důležitá diskrétní rozdělení.6. Geometrické rozdělení je definováno jako počet neúspěchů před prvním úspěchem. Všechny pokusy musí být nezávislé a mít konstantní pravděpodobnost úspěchu p. Definice.6 Náhodná veličina X má Geometrické rozdělení Ge(p), právě když je její pravděpodobnostní funkce dána rovnicí p() = p ( p).
13 .6.2 Negativně binomické rozdělení.6. DALŠÍ DŮLEŽITÁ DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ je zobecněním geometrického rozdělení, představuje počet neúspěchů před r-tým úspěchem. Bývá označováno i jako Pascalovo rozdělení. Definice.7 Náhodná veličina X má Negativně binomické rozdělení Nbi(r, p), právě když je její pravděpodobnostní funkce dána rovnicí ( ) r + p() = p r ( p). 2
14 KAPITOLA 2 SPOJITÁ ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 2. Rovnoměrné rozdělení popisuje náhodnou veličinu, jejíž realizace vyplňují interval (a, b) se stejnou možností výskytu v každém bodě. Definice 2.8 Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení R(a, b), právě když je její hustota pravděpodobnosti dána funkcí (a, b) f () = b a. 0 / a, b Distribuční funkce 0 (, a a F() = (a, b) b a b, + ) Vlastnosti E(X) = a + b 2 D(X) = (b a)2 2 3
15 2.. ROVNOMĚRNÉ ROZDĚLENÍ Graf hustoty pravděpodobnosti: f () b a a b Graf distribuční funkce: F() a b Příklad 2.6 Z konečné zastávky Studentské koleje odjíždí během dne autobusy pravidelně každých 20 min. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném příchodu na zastávku nebudete čekat déle než 2 min.? Dále určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny popisující dobu čekání na odjezd autobusu při náhodném příchodu na uvedenou zastávku. Řešení: Hodnoty náhodné veličiny X popisující dobu čekání při náhodném příchodu leží v intervalu 0, 20 a všechny mají stejnou možnost výskytu, tato náhodná veličina má tedy rovnoměrné rozdělení s parametry a = 0 a b = 20, tj. X R(0, 20). 4
16 2.2. EXPONENCIÁLNÍ ROZDĚLENÍ Její hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce jsou pak ve tvaru: 0 (, 0 (0, 20) f () = 20, F() = (0, 20). 0 / (0, 20) 20 20, + ) Pravděpodobnost, že doba čekání nepřesáhne 2 min.: P(X 2) = P(X < 2) = F(2) = 2 20 = 0, 6. U spojité náhodné veličiny je P(X = ) = 0, tj. P(X ) = P(X < ) = F(). Střední hodnota: Rozptyl: Směrodatná odchylka: D(X) = σ 2 = σ = E(X) = a + b 2 (b a)2 2 = = (20 0) D(X) = 3 = = 0. = = 5, 77.. = 33, 33. Úlohy k samostatnému řešení. Tramvaje linky č.7 odjíždí během dne ze zastávky Rektorát VŠB pravidelně každých min. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném příchodu na zastávku nebudete čekat déle než 7, 5 min? Dále určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny popisující dobu čekání na tramvaj č.7 při náhodném příchodu na uvedenou zastávku. 2. Z výrobní linky v automobilce vyjíždí každých 42 min. jeden nový automobil. Jaká je pravděpodobnost, že při čtvrhodinové ekurzi uvidíte, jak nový automobil opouští výrobní linku? 3. Počítač dodává výsledky numerických výpočtů zaokrouhlené na celá čísla. Jaká je pravděpodobnost, že hodnota reprezentovaná číslem byla ve skutečnosti větší než, 25? 2.2 Eponenciální rozdělení popisuje dobu čekání na (Poissonovský) náhodný jev, resp. délku intervalu (časového nebo délkového) mezi dvěma takovými jevy. 5
17 2.2. EXPONENCIÁLNÍ ROZDĚLENÍ Definice 2.9 Náhodná veličina X má eponenciální rozdělení E(λ), právě když je její hustota pravděpodobnosti dána funkcí { 0 (, 0) f () = λe λ 0, + ), kde λ je převrácená hodnota střední hodnoty doby čekání na sledovaný jev. Distribuční funkce F() = { 0 (, 0) e λ 0, + ) Vlastnosti E(X) = λ D(X) = λ 2 Poznámka Funkce v Ecelu: f () = EXPON.DIST(; λ; 0) F() = EXPON.DIST(; λ; ) Důležitá role v teorii spolehlivosti a teorii hromadné obsluhy, bývá nazýváno jako rozdělení bez paměti, spojitý ekvivalent dikrétního geometrického rozdělení pravděpodobnosti. Graf hustoty pravděpodobnosti: f () λ 6
18 2.2. EXPONENCIÁLNÍ ROZDĚLENÍ Graf distribuční funkce: F() Příklad 2.7 a) Průměrná doba mezi příjezdy automobilů na hraniční přechod je 7 min. Jaká je pravděpodobnost, že mezi příjezdy nebude větší prodleva než 0 min.? b) Průměrná životnost sledovaného výrobku byla eperimentálně stanovena na 50 hodin. Jakou životnost má uvádět výrobce ve svých materiálech, jestliže chce, aby deklarované životnosti dosáhlo minimálně 80 % výrobků? Řešení: a) Náhodná veličina X popisující dobu mezi příjezdy automobilů na hraniční přechod má eponenciální rozdělení s parametrem λ = 7. Máme určit pravděpodobnost, že hodnota této náhodné veličiny bude nejvýše 0 (tj. 0 X 0). Ecel: P(X 0) = P(X < 0) = F(0) = e 0 7. = 0, 76 P(X 0) = P(X < 0) = F(0) = EXPON.DIST(0; /7; ). = 0, 76 b) Náhodná veličina X popisující životnost sledovaného výrobku má eponenciální rozdělení s parametrem λ = 50. Hledáme takovou hodnotu životnosti, aby platilo P(X ) = 0, 8 P(X < ) = 0, 8 F() = 0, 8 F() = 0, 2 e 50 = 0, 2 = 50 ln(0, 8). = 257 7
19 2.3. NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Úlohy k samostatnému řešení. Průměrná doba mezi příjezdy automobilů na stanici STK je 2 min. Jaká je pravděpodobnost, že mezi dvěma po sobě jdoucími příjezdy bude prodleva větší než 5 min.? 2. Na dvoukilometrovém úseku dálnice D je 23 velmi nebezpečných děr. S jakou pravděpodobností narazíte na takovou díru na úseku o délce 20 m? 3. Průměrná životnost sledovaného typu žárovky je eperimentálně stanovena na 500 hodin. Jakou životnost má uvádět výrobce ve svých materiálech, jestliže chce, aby deklarované životnosti dosáhlo alespoň 75 % vyrobených žárovek? 2.3 Normální rozdělení jedno z nejdůležitějších rozdělení spojiné náhodné veličiny, někdy označováno jako Gaussovo rozdělení dobře aproimuje mnoho jiných rozdělení spojité i diskrétní náhodné veličiny, symetrické kolem střední hodnoty. Definice 2.0 Náhodná veličina X má normální rozdělení N(µ, σ 2 ), právě když je její hustota pravděpodobnosti dána funkcí f () = σ 2π e 2 ( µ σ ) 2, (, + ), kde µ je střední hodnota a σ 2 je rozptyl náhodné veličiny X. Distribuční funkce F() = ( ) σ t µ 2 2π e 2 σ dt, (, + ) Vlastnosti E(X) = µ D(X) = σ 2 A = 0 8
20 2.3. NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ ē = 0 Poznámka f () = NORM.DIST(; µ; σ; 0) F() = NORM.DIST(; µ; σ; ) p = NORM.INV(p; µ; σ) Graf hustoty pravděpodobnosti (Gaussova křivka): f () σ 2π µ σ µ µ + σ Graf distribuční funkce: F() 2 µ Příklad 2.8 Náhodná veličina popisující skutečnou hmotnost epedovaných 25 kg pytlů cementu má při dodržení standardních výrobních podmínek normální rozdělení se středn hodnotou 24, 8 kg a směrodatnou odchylkou 0, 6 kg. a) S jakou pravděpodobností vyhoví náhodně vybraný pytel normě, která předepisuje hmotnost v rozmezí 24 až 25, 5 kg? b) Jaká je pravděpodobnost, že námi zakoupený pytel cementu bude vážit více než 25 kg? 9
21 c) Určete, jakou hmotnost překročí 85 % všech epedovaných pytlů NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ d) V jakém rozsahu (symetrickém kolem střední hodnoty) můžeme předpokládat hmotnost 90 % všech epedovaných pytlů? Řešení: Náhodná veličina X popisující hmotnost epedovaných pytlů cementu má dle zadání normální rozdělení s parametry µ = 24, 8 (střední hodnota) a σ 2 = (0, 6) 2 = 0, 36 (rozptyl), tj. X N(24, 8; 0, 36). a) Hledáme pravděpodobnost toho, že hodnoty náhodné veličiny X leží mezi 24 a 25, 5: P(X > 25) = P(X 25) = F(25) = NORM.DIST(25; 24, 8; 0, 6; ). = 0, 369 b) Potřebujeme určit pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabývá hodnot větších než 25: P(X > 25) = P(X 25) = F(25) = NORM.DIST(25; 24, 8; 0, 6; ). = 0, 369 c) Hledáme hodnotu náhodné veličiny X takovou, aby pravděpodobnost, že X byla 85 %: P(X ) = 0, 85 P(X < ) = 0, 85 P(X < ) = 0, 5 F() = 0, 5 Potřebujeme určit 0, 5-kvantil ( 0,5 ) náhodné veličiny X, tj. hodnotu, která rozdělí plochu pod grafem hustoty pravděpodobnosti v poměru 5 : 85. 0,5 = NORM.INV(0, 5; 24, 8; 0, 6). = 24, 8 d) Jak je patrno z obrázku, hledáme takové hodnoty náhodné veličiny X, které rozdělí plochu pod grafem hustoty pravděpodobnosti v poměru 5 : 90 : 5, tj. kvantily 0,05 a 0,95. f () 5 % 90 % 5 % 0,05 0,95 20
22 2.3. NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ 0,05 = NORM.INV(0, 05; 24, 8; 0, 6). = 23, 8 0,95 = NORM.INV(0, 95; 24, 8; 0, 6). = 25, 79 Dá se tedy předpokládat, že hmotnost 90 % všech epedovaných pytlů cementu bude v rozmezí od 23, 8 do 25, 79 kg. Úlohy k samostatnému řešení. Hmotnost pytle cementu je hodnocena jako vyhovující, pohybuje-li se v rozmezí 23, 20 kg až 25, 60 kg. Při dodržení standardních výrobních podmínek podléhá jeho hmotnost normálnímu rozdělení se střední hodnotou 25, 00 kg a směrodatnou odchylkou, 2 kg. Jaká je pravděpodobnost, že hmotnost náhodně kontrolovaného pytle bude v předepsaných mezích? 2. Hmotnost chlapců v. třídě ZŠ je popsána náhodnou veličinou s normálním rozdělením N(23; 3, 6). Určete, v jakém intervalu (symetrickém kolem střední hodnoty) se dá předpokládat hmotnost 98 % z nich. 3. Náhodná veličina popisující hodnotu IQ má pro celou populaci normální rozdělení N(00, 225). Určete, u kolika procent populace můžeme předpokládat hodnotu IQ vyšší než Normované normální rozdělení speciální případ normálního rozdělení s parametry µ = 0, σ 2 =, hodnoty distribuční funkce tohoto rozdělení lze nalézt v tabulkách. Hustota pravděpodobnosti ϕ() = 2π e 2 2, (, + ) Distribuční funkce Φ() = 2π e t2 2 dt, (, + ) Věta 2. Má-li spojitá náhodná veličina X normální rozdělení N(µ, σ 2 ), pak veličina má normované normální rozdělení N(0, ). T = X µ σ 2
23 2.3. NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Poznámka Hodnoty distribuční funkce Φ() jsou tabelovány pouze pro nezáporná. K určení hodnot pro záporná využijeme vztah Φ() = Φ( ). Binomické rozdělení Bi(n, p) lze pro velká n a hodnotu p blížící se k 0, 5 (obvykle se uvádí pro p 0, 3; 0, 7 ) aproimovat normálním rozdělením s parametry µ = np a σ 2 = np( p), tj. Bi(n, p) N(np, np( p)) pro n a p 0, 5. Graf hustoty pravděpodobnosti (Gaussova křivka): ϕ() 2π Graf distribuční funkce: Φ() 2 22
24 Úlohy k samostatnému řešení Poznejte o jaké rozdělení se jedná a vyřešte: 2.4. DALŠÍ DŮLEŽITÁ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ. Náhodná veličina popisující skutečnou hmotnost 250 g balení dětských piškotů má normální rozdělení se střední hodnotou 247, 5 g a směrodatnou odchylkou 7, 62 g. Jaká je pravděpodobnost, že námi zakoupený balíček piškotů bude vážit více než 255 g? A v jakém rozsahu můžeme předpokládat hmotnost 95 % všech epedovaných balíčků? 2. Autobusy z konečné zastávky Studentské koleje odjíždějí pravidelně každých 8 minut. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném příchodu na zastávku budete čekat déle než 5 min? 3. Průměrná doba, kterou host v nejmenované restauraci čeká na pivo od okamžiku objednávky, je 8 minut. Jaká je pravděpodobnost, že budete čekat na pivo déle než 0 minut? Dále určete dobu čekání, během které budete obslouženi s 95% pravděpodobností. 2.4 Další důležitá spojitá rozdělení 2.4. Logaritmicko normální rozdělení Definice 2. Náhodná veličina X má logaritmicko normální rozdělení LN(µ, σ 2 ), právě když náhodná veličina ln X má normální rozdělení N(µ, σ 2 ) a její funkce hustoty je tvaru 0 (, 0 f () = σ (ln µ) 2 2π e 2 σ 2 (0, + ) Distribuční funkce Vlastnosti 0 ( ) (, 0 F() = ln µ Φ (0, + ) σ σ2 µ+ E(X) = e 2 D(X) = e 2µ+σ2 (e σ2 ) 23
25 2.4. DALŠÍ DŮLEŽITÁ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ Poznámka je asymetrické, zešikmené doleva používá se k modelování ekonomických veličin a v teorii spolehlivosti Weibullovo rozdělení Definice 2.2 Náhodná veličina X má Weibullovo rozdělení Wb(δ, ɛ), právě když je funkce hustoty tvaru 0 (, 0 f () = ɛ ( ) ɛ e ( δ ) ɛ (0, + ), δ δ kde δ > 0 je parametr měřítka a ɛ > 0 je parametr tvaru. Distribuční funkce Vlastnosti F() = { 0 (, 0 ɛ ( δ ) ɛ (0, + ) ( ) E(X) = δγ ɛ + ( ) ( )] 2 ɛ D(X) = δ [Γ 2 ɛ + Γ 2 +, kde Γ() je gamma funkce definovaná pro každé > 0: Γ() = e t t dt. 0 Poznámka představuje dobu čekání na událost, která se může dostavit se šancí úměrnou mocninné funkci pročekané doby řídí se jím doby životnosti zařízení, pro které nevyhovuje eponenciální rozdělení 24
26 2.4. DALŠÍ DŮLEŽITÁ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ modeluje se jím intenzita poruch λ() : 0 (, 0 λ() = ɛ ( ) ɛ (0, + ) δ δ Chí-kvadrát rozdělení Chí-kvadrát rozdělení χ 2 (n) je rozdělení, které vznikne jako n i= U2 i, kde U i jsou nezávislé náhodné veličiny s normovaným normálním rozdělením. Bývá označováno jako Pearsonovo rozdělení. Poznámka je asymetrické kvantily jsou tabelované důležité v testech dobré shody a při testování statistických hypotéz Studentovo rozdělení Studentovo rozdělení t(n) o n stupních volnosti je rozdělení náhodné veličiny U Yn kde U má N(0, ) rozdělení a Y má χ 2 (n) rozdělení, U, X jsou nezávislé náhodné veličiny. Poznámka je symetrické pro hodnoty n > 30 lze aproimovat normovaným normálním rozdělením důležité v oblastech matematické statistiky (regrese, testy shody) Fischerovo-Snedecorovo rozdělení F-rozdělení F(m, n) vzniká jako rozdělení podílu dvou nezávislých náhodných veličin X m a X 2 n s chí-kvadrát rozdělením. 25
27 2.4. DALŠÍ DŮLEŽITÁ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ Vlastnosti E(X) = n n 2 pro n 3 D(X) = 2n2 (m + n 2) m(n 2) 2 (n 4) pro n 5 Poznámka je asymetrické pro m > 00 (n > 00) aproimujeme normálním rozdělením N(E(X), D(X)) důležité v oblastech matematické statistiky (analýza rozptylu) Gamma rozdělení Definice 2.3 Náhodná veličina X má Gamma rozdělení X Gamma(µ, a), pokud její funkce hustoty má tvar f () = { µ a Γ(a) a e µ a > 0, 0, 0 < 0. Funkce Γ je pro a > 0 definována předpisem Γ(a) = Poznámka 0 a e d. Gamma rozdělení se používá především v teorii spolehlivosti, kdy například eponenciální rozdělení modeluje dobu do poruchy u komponent, které nejsou trvale namáhány, speciálním případem pro a = n N je Erlangovo rozdělení, které se využívá pro popis doby života do n-té poruchy pro a = se jedná o eponenciální rozdělení 26
E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =
Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní
VíceVybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
VíceROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
VíceMATEMATIKA III V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 7 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
Více4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY
4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
VíceLIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení
LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru
VíceÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.
ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné
VícePřednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP
IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
VícePřednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení
VI Přednáška Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Příklad Obejít celý areál trvá strážnému 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že u vrátnice budete čekat
VíceNáhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceMATEMATIKA III V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 6 Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 013 Mgr. Petr Otipka
VíceZÁKONY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI
ZÁKOY ROZDĚLEÍ PRAVDĚPODOBOSTI Různá rozdělení pravděpodobnosti náhodných veličin jsou popsána pomocí distribuční funkce, funkce hustoty pravděpodobnosti nebo pravděpodobnostní funkce. Za nejdůležitější
VíceROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceNáhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
VíceSPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení
SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
VíceVYBRANÁ ROZDĚLENÍ. SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová
VYBRANÁ ROZDĚLENÍ SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová Opakování hustota pravděpodobnosti f(x) Funkce f(x) je hustotou pravděpodobností (na intervalu a x b), jestliže splňuje následující podmínky:
VíceNÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?
NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
Více6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení
6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VícePravděpodobnost a statistika I KMA/K413
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,
Více5 ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY
5 ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY 5. Rovnoměrné rozdělení R(a,) - má náhodná veličina X, která má stejnou možnost naýt kterékoliv hodnoty z intervalu < a, >; a, R Definice
VíceVYBRANÁ ROZDĚLENÍ. DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová
VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodná veličina (dále NV)? Číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu. Jaké
VíceDiskrétní náhodná veličina
Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
Více5. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY
5. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V teto kapitole se seznámíte se základními typy rozložení spojité náhodné veličiny. Vašim úkolem y neměla ýt pouze
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceMgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
VíceAlternativní rozdělení. Alternativní rozdělení. Binomické rozdělení. Binomické rozdělení
Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Náhodná veličina X má alternativní rozdělení s parametrem p, jestliže nabývá hodnot 0 a 1 s pravděpodobnostmi
Více15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
Vícey = 0, ,19716x.
Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VícePříklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7
Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n
VíceTestování statistických hypotéz
Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné
VíceLimitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností
VíceJAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová
JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž
VíceTest z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY
VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový
VíceVšechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
Více8. Normální rozdělení
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
VíceTest z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY
VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový
VícePravděpodobnost, náhodná proměnná. Statistické metody a zpracování dat. III. Pravděpodobnost, teoretická rozdělení. Pravděpodobnost, náhodná proměnná
Pravděpodobnost, náhodná proměnná Statistické metody a zpracování dat III. Pravděpodobnost, teoretická rozdělení Petr Dobrovolný Popisné a průzkumové metody umožňují přehledné shrnutí informací, které
VíceBiostatistika Cvičení 7
TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceNormální rozložení a odvozená rozložení
I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět
VíceInovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceUNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.
UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace
VíceÚVOD DO TEORIE ODHADU. Martina Litschmannová
ÚVOD DO TEORIE ODHADU Martina Litschmannová Obsah lekce Výběrové charakteristiky parametry populace vs. výběrové charakteristiky limitní věty další rozdělení pravděpodobnosti (Chí-kvadrát (Pearsonovo),
VícePříklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka
Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní
VíceNáhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036
Příklad : Statistika A, doc. Kropáč, str. 6, příklad 2 K benzínovému čerpadlu přijíždí průměrně 4 aut za hodinu. Určete pravděpodobnost, že během pěti minut přijede nejvýše jedno auto. Pokus: Zjištění,
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VíceVYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY
VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Název NV X Popis Pravděpodobnostní funkce E(X) D(X) Binomická - Bi(n, ) počet úspěchů v n Bernoulliho pokusech P(X = k) = ( n k ) k (1 ) k n n(1 ) Hypergeometrická
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
Vícepravděpodobnosti, popisné statistiky
8. Modelová rozdělení pravděpodobnosti, popisné statistiky Rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení jako statistický model Přehled a aplikace modelových rozdělení Popisné statistiky Anotace Klasickým
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VícePříklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení
Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení. O životnosti 75W žárovky (v hodinách) je známo, že má normální rozdělení s = 5h. Pro náhodný výběr 0 žárovek byla stanovena průměrná životnost
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipa.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden 20.09.-24.09. Data, tp dat, variabilita, frekvenční analýza histogram,
VíceAproximace binomického rozdělení normálním
Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné
VíceTestování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,
VícePravdepodobnosť. Rozdelenia pravdepodobnosti
Pravdepodobnosť Rozdelenia pravdepodobnosti Pravdepodobnosť Teória pravdepodobnosti je matematickým základom pre odvodenie štatistických metód. Základné pojmy náhoda náhodný jav náhodná premenná pravdepodobnosť
VíceStatistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .
Statistika Teorie odhadu statistická indukce Intervalový odhad µ, σ 2 a π Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VícePracovní adresář. Nápověda. Instalování a načtení nového balíčku. Importování datového souboru. Práce s datovým souborem
Pracovní adresář getwd() # výpis pracovního adresáře setwd("c:/moje/pracovni") # nastavení pracovního adresáře setwd("c:\\moje\\pracovni") # nastavení pracovního adresáře Nápověda?funkce # nápověda pro
Více12. cvičení z PST. 20. prosince 2017
1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceJAK MODELOVAT VÝSLEDKY
JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁHODNÝCH POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za
Více15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
VíceTématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"
Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2010/2011 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.
Vícez Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin
Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme
Více