1/15. Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

Transkript

1 1/15 Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

2 2/15 Vsuvka: Vlastní čísla matic Definice: Bud A čtvercová matice a vektor h 0 splňující rovnici A h = λ h pro nějaké číslo λ R. Potom λ nazýváme vlastní číslo matice A a vektor h vlastní vektor (příslušný vlastnímu číslu λ) Pozn. 1 Vlastní vektor h je určen až na násobek. Pozn. 2 Budeme potřebovat jen pro matice 2 2, obecně lze pro matice n n Určování vlastních čísel a vlastních vektorů A h = λ h (A λe) h = 0 Určování vlastních čísel: Protože h 0, homog. soustava musí mít netriviální řešení det(a λe) = 0 Určování vlastních vektorů: Pro každé λ hledáme netriviální řešení rovnice (A λe) h = 0

3 3/15 Základní pojmy Definice: Rovnice tvaru x = f (t, x, y) y = g(t, x, y), t I se nazývají soustava dvou diferenciálních rovnic 1. řádu. Řešením soustavy je dvojice funkcí (x(t), y(t)), které tyto rovnice splňují pro všechna t I. Řešením je tedy parametrizace rovinné křivky. Tuto křivku nazýváme trajektorie řešení. Pozn. Jiný možný zápis (obvyklejší ve fyzice): dx dy = f (t, x, y) = g(t, x, y), t I

4 Autonomní soustavy 4/15 Definice: Autonomní soustava je soustava, kdy funkce f a g nezávisejí na t, tj. x = f (x, y) y = g(x, y) t I Geometricky: Autonomní soustava předepisuje pole tečných vektorů křivek, které jsou řešením dané soustavy (trajektorií řešení). Autonomní soustava může mít i jednobodové trajektorie, tj. x(t) x 0, y(t) y 0, t R To nastává f (x 0, y 0 ) = 0 g(x 0, y 0 ) = 0. Definice: Jestliže f (x 0, y 0 ) = 0, g(x 0, y 0 ) = 0, potom bod S = (x 0, y 0 ) nazýváme rovnovážným stavem soustavy a příslušné řešení x(t) x 0, y(t) y 0 t R nazýváme stacionárním řešením.

5 Autonomní lineární soustavy 5/15 Definice: Soustavu diferenciálních rovnic x = a 11 x + a 12 y y = a 21 x + a 22 y, kde a ij R nazýváme soustava lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu (s konstantními koeficienty). Tyto soustavy se v dalším naučíme řešit. Výhodný bude maticový zápis: ( ) a11 a Matice A = 12 se nazývá matice soustavy. a 21 a 22 ( ) ( ) x(t) x Označme z(t) =, pak z (t) (t) = y(t) y. (t) Soustavu lze pomocí matice A a vektorové funkce z(t) zapsat ve tvaru z (t) = A z(t).

6 Řešení autonomní lineární soustavy 6/15 Podobně jako v předchozí kapitole lze odvodit, že množina všech řešení soustavy z (t) = A z(t) je lineární podprostor (C 1 (I)) 2 dimenze 2 Fundamentální systém bude mít dva prvky { z 1 (t), z 2 (t)}. Hledáme tedy 2 LN vektorové funkce z 1 (t), z 2 (t), které jsou řešením soustavy z (t) = A z(t). Obecné řešení soustavy má pak tvar z(t) = C 1 z 1 (t) + C 2 z 2 (t).

7 Postup řešení soustavy DR 7/15 Nápad: Hledáme řešení ve tvaru z = e λ t h, tj. ( ) ( ) ( z = e λ t h1 e λ t h = 1 h 2 e λ t, potom z = λ e λ t h1 h 2 h 2 ) Dosadíme do soustavy DR a dostaneme λ e λ t ( h1 h 2 ) = A e λ t ( h1 h 2 ) : e λ t λ h = A h, Hledáme tedy vlastní číslo λ a k němu příslušný vlastní vektor h. Mohou nastat tři případy: 1 dvě různá vlastní čísla λ 1 λ 2, λ 1, λ 2 R 2 dvě stejná vlastní čísla λ 1 = λ 2, λ 1, λ 2 R, (nebudeme dělat) 3 dvě komplexně sdružená vlastní čísla.

8 8/15 Případ 1. λ 1 λ 2, λ 1, λ 2 R h 1 vlastní vektor přísl. λ 1 h2 vlastní vektor přísl. λ 2 Fundamentální systém: z 1 (t) = e λ 1 t h1 z 2 (t) = e λ 2 t h2 Obecné řešení: z = C 1 e λ 1 t h1 + C 2 e λ 2 t h2. Příklad: Řešme soustavu x = 4x 2y y = x + y s poč. podmínkou x(0) = 4, y(0) = 3 Řešení: x(t) = 2 e 2t + 2 e 3t y(t) = 2 e 2t + e 3t t R

9 Případ 3. 9/15 λ 1,2 = a ± i b vlastní vektory budou také komplexně sdružené. Fundamentální systém: z 1 (t) = Re( e λ 1 t h1 ) z 2 (t) = Im( e λ 1 t h1 ) Obecné řešení: z(t) = C 1 z 1 (t) + C 2 z 2 (t). Pozn. Místo komplexního fund. systému { e λ 1 t h1, e λ 2 t h2 } jsme našli reálný fundamentální systém {Re( e λ 1 t h1 ), Im( e λ 1 t h1 )}. Příklad: Řešme soustavu x = 3x 8y y = 2x + 3y s poč. podmínkou x(0) = 2, y(0) = 3 Řešení: x(t) = 6 e 3t sin(4t) + 2 e 3t cos(4t) y(t) = 3 e 3t cos(4t) + e 3t sin(4t) t R

10 10/15 Eulerova metoda Metoda pro přibližné řešení soustavy DR 1. řádu. Mějme soustavu DR 1. řádu x = f (t, x, y) y = g(t, x, y) s počáteční podmínkou x(t 0 ) = x 0, y(t 0 ) = y 0. Potom jeden krok Eulerovy metody s krokem h je t i+1 = t i + h x i+1 = x i + h f (t i, x i, y i ) y i+1 = y i + h g(t i, x i, y i ). Připomenutí z MI: Eulerova metoda pro y = f (x, y) s poč. podmínkou y(x 0 ) = y 0. x i+1 = x i + h, y i+1 = y i + f (x i, y i ) h

11 Model "Dravec - kořist" 11/15 V rybníku žijí dva druhy ryb: Malé ryby - kořist - mají dostatek potravy (planktonu) nezávisle na počtu ryb Velké ryby - dravci - požírají malé ryby Sestrojíme jednoduchý matematický model: x(t)... množství malých ryb v čase t [např. kg] y(t)... množství velkých ryb v čase t [např. kg] dx... rychlost změny množství malých ryb dy... rychlost změny množství velkých ryb

12 12/15 Model "Dravec - kořist"- odvození dif. rovnice pro malé ryby Kdyby v rybníku byly jen malé ryby: dx = a x(t), a > 0... přírůstkový koeficient (zahrnuje růst, rozmnožování, vymírání,... ) Jestliže v rybníku jsou i velké ryby, bude přírůstek malých ryb záviset na počtu velkých ryb. Místo koeficientu a bude koeficient ã, kde ã = a α y(t), α > 0. Rovnice pro chování malých ryb má pak tvar dx = (a αy(t)) x(t). Pozn. ã < 0 úbytek malých ryb (např. pro y velké) ã > 0 přírůstek malých ryb

13 13/15 Model "Dravec - kořist"- odvození dif. rovnice pro velké ryby Kdyby v rybníku byly jen velké ryby: dy = b y(t), kde b > 0 je koeficient vymírání. Jestliže v rybníku budou i malé ryby, tak bude vymírání velkých ryb záviset na počtu malých ryb. Místo koeficientu b bude koeficient b, kde b = b β x(t), β > 0. Rovnice pro chování velkých ryb má pak tvar dy = (b βx(t)) y(t). Opět: b < 0 úbytek velkých ryb (např. pro x malé) b > 0 přírůstek velkých ryb

14 Model "Dravec - kořist"- soustava Máme tedy autonomní soustavu dvou diferenciálních rovnic 1. řádu kde α, β, a, b > 0. dx dy Soustava má dva rovnovážné stavy = (a αy(t)) x(t) = (b βx(t)) y(t), S 1 = [0, 0], S 2 = [ b β, a ]. α Nelineární soustavu DR neumíme řešit, ale umíme najít obecnou rovnici pro křivku, která je trajektorií řešení: ln(x a y b ) αx βy + C = 0 Nebo můžeme soustavu DR vyřešit numericky a dostaneme přibližné řešení x(t), y(t) v nějakých uzlových bodech t 0, t 1,, t n. 14/15

15 15/15 Přeji Vám krásné léto a mnoho úspěchů (nejen) u zkoušek.