Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie C

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie C"

Lubomír Beran
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 Řešení úloh kola 49 ročníku fyzikální olympiády Kategorie C Autořiúloh:IČáp6),JJírů5),Kapoun),IVolf3)aPŠedivý,7) 4 úloha převzata z oskevské regionální FO 6 a) Celkovýpohybtělískasestávázvolnéhopádupodobu t zvýšky hazrovnoměrnéhopřímočaréhopohybukonanéhorychlostíovelikosti v= gh podobu t nadráze dzrovnic h= gt, v= gh= d t, t=t + t plyne h t= g + d ) gh body b) Grafy je vhodné sestrojit pomocí počítače, pro ruční sestrojení na milimetrový papír je uvedena tabulka vybraných hodnot: h/m t /s,45,64,78,9,,,9,8,35 t /s -,,7,59,5,45,4,38,36,34 t/s -,47,36,37,4,46,5,58,64,69 t, t, t /s,,5 t, t,5 t Obr R, h/m 4 body

d t, t=t + t plyne h t= g + d ) gh body b) Grafy je vhodné sestrojit pomocí počítače, pro ruční sestrojení na milimetrový papír je uvedena tabulka vybraných

2 c) Nahradíme-li v rovnici) odmocniny racionálním exponentem, dostaneme Po zavedení substituce h t= g ) + d gh ) ) h 4 d A=, B= g gh výrazupravímepropoužitívzorce A + B =A B) +AB: ) ) t= h 4 + d 4 = g gh ) ) = h 4 d ) ) 4 h 4 d + 4 g gh g gh a konečnou úpravou dostaneme ) t= h 4 d g gh ) 4 ) 4 ) d + ) g Poslední člen je z hlediska proměnné výšky h konstantní a druhá mocnina jakéhokoliv výrazu je minimální, když výraz je nulový Tak v podmínce ) 4 = d h g gh položíme h=h adostaneme H= d ) 4, h >, d > Zatétopodmínkyjevrovnici)výrazvhranatézávorcenulový,atedy minimální čas je d t min = g Pro d=4,5mvychází H=,5mat min =,35s 4body

) 4 ) d + ) g Poslední člen je z hlediska proměnné výšky h konstantní a druhá mocnina jakéhokoliv výrazu je minimální, když výraz je nulový Tak v podmínce )

3 a) Vzduch začne probublávat otvorem v přepážce, kdyžjehotlakpřekročítlakvodyuotvoru p=p +h x) g Tlak vzduchu pod přepážkou se mění podle Boylova ariottova zákona V okamžiku, kdy se tlaky vyrovnají, platí psh x)=p Sh, p= p h h x = p +h x) g, kde S je plošný obsah horizontálního průřezu nádoby Úpravou dostaneme kvadratickou rovnici x g h g+ p )x+h g= Úloze vyhovuje kořen x=h+ p g + 4h g ) p Obr R x h x h x Druhý kořen rovnice nesplňuje podmínku x < h) Pro dané hodnoty vychází x=83mm 6bodů b) Budeme-li udržovat hladinu v hodní části nádoby napůvodnívýšceobrr3),budemíttlakvody uotvoruvpřepážcestálouhodnotu p + gh V okamžiku, kdy tlak vzduchu pod přepážkou dosáhne této hodnoty, platí p h h x = p gh + gh x=h p + gh Prodanéhodnotyvychází x=89mm x h h x x Obr R3 4body 3

g + 4h g ) p Obr R x h x h x Druhý kořen rovnice nesplňuje podmínku x < h) Pro dané hodnoty vychází x=83mm 6bodů b) Budeme-li udržovat hladinu v hodní části nádoby

4 3 Celkovou odporovou sílu, výkon automobilu a práci vykonanou automobilem na dráze s určíme ze vztahů F=,5mg+ CS v, P= Fv, W= Fs body ezi teplem Q získaným spálením benzinu a prací vykonanou automobilem je vztah Ztoho W= ηq=ηm p H= η pv p H V p = W η ph S užitím uvedených vztahů byla vyplněna tabulka v Excelu a sestrojen graf YPV ) 3N: :- 9 S O Vp / l, 8, 6, 4,,, v / ms - body 3 body 3 body 4

automobilem je vztah Ztoho W= ηq=ηm p H= η pv p H V p = W η ph S užitím uvedených vztahů byla

5 4 Proberme nejprve síly, které působí na tělesa ve svislém směru Na kvádr působí tíhová síla a reakce listu papíru stejné velikosti mg Na list papíru působí tíhová sílavelikosti m g,tíhakvádruvelikosti mgareakcevozíkuvelikostim+m )g Na vozík působí tíhová síla velikosti g, tíha kvádru a listu papíru velikosti m+m )gareakcestoluvelikosti + m+m )g VesměrupohybupůsobílistpapírunakvádrsiloutřeníFtanavozík silouftnalistpapírupůsobívesměrupohybusílafaprotisměrupohybu třecísíly Ftodkvádrua FtodvozíkuobrR3) Provelikostisiltřeníplatí: F t fmg, F t F fm+m )g,přičemžrovnost nastane, jen když se povrchy těles po sobě smýkají Jinak platí nerovnost a m a m FtFt FtFt a a,b) ohou nastat tyto možnosti: KvádrkloužepopapíruapapírkloužepovozíkuPak F t = fmg, F t = fm+m )g, a = fmg m = fg, Obr R3 a = fm+m )g, a = F fmg fm+m )g m Protože m < a m m, platí a > a Zpředpokladuoklouzání kvádruplyne a > a tedy F fmg fm+m )g > fg F >fm+m m )g KvádrnekloužepopapíruapapírkloužepovozíkuPak F t = fm+m )g, a = a F F t fm+m )g m F t m + ) m = F t m, = F t m+m mm = F fm+m )g m, F t = F fm+m )g m < fmg m+m F <fm+m )g Současně platí 5

VesměrupohybupůsobílistpapírunakvádrsiloutřeníFtanavozík silouftnalistpapírupůsobívesměrupohybusílafaprotisměrupohybu třecísíly Ftodkvádrua FtodvozíkuobrR3) Provelikostisiltřeníplatí: F t fmg, F t F

6 a > a F fm+m )g > fm+m )g, m+m F > fm+m )g + ) = fm+m m+m )g + m+m ) Druhý případ tedy nastane, jestliže fm+m )g + m+m ) <fm+m )g Pokudbyplatilarovnost F=fm+m )g, kvádrprávězačínánepatrně klouzat po papíru 3PapírnekloužepovozíkuakvádrkloužepopapíruPak a = a > a Současně by muselo platit F t = fmg, a = F t m = fg, F t < fm+m )g, a < fm+m )g < fg=a, neboť m+m < Tímjsmealedošlike sporu s výchozím předpokladem Uvažovaná situace při daných hmotnostech těles nemůže nastat 4KvádrnekloužepopapíruapapírnekloužepovozíkuPak F a = a = a = m+m + = F t m = F t, F t = F m+m + < fm+m )g F < fm+m )g + m+m ) Pokudbyplatilarovnost F = fm+m )g + m+m ), papír právě začíná nepatrně klouzat po vozíku Shrnutí:Kvádrjevzhledemklistupapíruvklidu,jestliže F <m+m )g Vozík je vzhledem k listu papíru v klidu, jestliže F < fm+m )g + m+m ) 6bodů c) Pro dané hodnoty dostáváme fm+m )g=3,8n, fm+m )g + m+m ) =9,N Jestliže F=3N, nastanečtvrtásituacevšechnatřitělesasepohybujísestejnýmzrychlenímovelikosti a = a = a =,75m s Jestliže F=N,nastanedruhásituacePapírsezávažímkloužou povozíkusezrychlením a = a = F fm+m )g =4,m s m+m 4body 6

předpokladem Uvažovaná situace při daných hmotnostech těles nemůže nastat 4KvádrnekloužepopapíruapapírnekloužepovozíkuPak F a = a = a = m+m + = F t m = F t, F t = F m+m + < fm+m )g F < fm+m )g + m+m

7 5a) Označme Rpoloměrplanety, R z poloměrzemě, hmotnostplanetya z hmotnost Země Pak platí = 5 = z 5 = pr3 3 p,5r z) 3,5 3 z =,5 z 4 3 pr3 z body b) Gravitační síla působící na těleso o hmotnosti m na povrchu planety je ma g = κ m R Úpravami dostaneme a g = κ R = κ 5 z,5r z ) = 5,5 κ z Rz =,a gz body c) Z rovnosti mezi velikostí dostředivé a gravitační síly pro těleso o hmotnosti m obíhající po kružnici bezprostředně při povrchu planety kruhovou rychlostí ovelikosti v k κ R, m v k= κ m R R plyne v k = Úniková rychlost je κ κ 5 5 v p = v k = R = =,5R z,5 κz =,8v R pz z 3body d) Označmenyní rvzdálenostplanetyodhvězdy, r z vzdálenostzeměodslunce, T perioduoběhuplanetykolemhvězdy, T z =365,5dneperioduoběhu Země kolem Slunce Z rovnosti mezi velikostí dostředivé a gravitační síly pro planetu o hmotnosti m obíhající po kružnici kolem hvězdy mr 4p T = κ m r plyne ) 3 = 4p r 3 4p κ T = 4 r z ) = 3 κ 365,5 T z 4 3 4p 3 rz 3 κt 365,5 z =,9 s 3body 7

po kružnici bezprostředně při povrchu planety kruhovou rychlostí ovelikosti v k κ R, m v k= κ m R R plyne v k = Úniková rychlost je κ κ 5 5 v p = v k = R = =,5R z,5 κz =,8v R pz z 3body d)

8 7a) Přiteplotě t =8 Csedélkastupnice,obsahvnitřníhoprůřezu kapiláry a objem nádobky teploměru zvětší na l = l +αt ), S = S +αt ), V = V +αt ) 3 Hmotnost ethanolu v teploměru je konstantní, proto m= V =V + S l )+αt ) 3 =V + S y )+αt) 3,) kde, a jsouhustotyethanolupřiteplotách C,8 Ca přiměřenéteplotě t C,8 C ay jesouřadniceboduna stupnici, kam by vystoupila hladina ethanolu při teplotě t, měřená alepřiteplotě CZlevéčástivztahu)odvodíme V = S l +αt ) 3 +αt ) 3 ) Prodanéhodnotyvychází V =,96 6 m 3,cm 3 3body b) Zevztahů)a)odvodíme y = V [ +αt) 3] S +αt) 3 = l +αt ) 3 +αt) 3 +αt) 3 +αt ) 3 Pomocí 3) vyplníme tabulku hodnot pro strojení stupnice na obr R4 je v polovičním měřítku): t/ C y /cm y/cm t/ C y / C y/cm t/ C y /cm y/cm,, 3 6,67 6,66 6 4,9 4,9,7,6 4 9,5 9,4 7 6,96 6,95 4,38 4,37 5,69,68 8,, Obr R4 4body c) Zanedbáme-li změny rozměrů kapiláry, tj délku l stupnice a obsah S jejího vnitřního průřezu vezmeme jako konstanty a nebudeme rozlišovat souřadnice y, ybodustupnicepřiteplotě Capřiteplotě t,změnísevztah)na m= V = [ V +αt ) 3 + Sl ] = [ V +αt) 3 + Sy ] ) Ztoho V = Sl +αt ) 3=,496 6 m 3,cm 3, ) y= l +αt) 3 3) +αt ) 3 3 ) Číselné hodnoty vypočtené pomocí zjednodušených vzorců ) a3 ) se od předcházejících liší jen nepatrně V praxi můžeme rozdíl zanedbat

alepřiteplotě CZlevéčástivztahu)odvodíme V = S l +αt ) 3 +αt ) 3 ) Prodanéhodnotyvychází V =,96 6 m 3,cm 3 3body b) Zevztahů)a)odvodíme y = V [ +αt) 3] S +αt) 3 = l +αt ) 3 +αt) 3 +αt) 3 +αt ) 3

Podobné dokumenty

Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie C

Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie C Řešení úloh. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie C Autořiúloh:J.Jírů(),P.Šedivý(2,3,4,5,6),I.VolfaM.Jarešová(7)..Označme v 0souřadnicirychlostikuličkyohmotnosti3mbezprostředněpředrázem a v