Náhodná procházka a její aplikace
|
|
- Břetislav Bohuslav Kolář
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Náhodná procházka a její aplikace Bakalářská práce Vedoucí bakalářské práce RNDr. Martin Kolář, Ph. D. Brno 2007 Michaela Bartuňková
2 Poděkování Chtěla bych poděkovat RNDr. Martinu Kolářovi, Ph. D. za vedení bakalářské práce, cenné rady a připomínky při zpracování daného tématu. Dále bych ráda poděkovala RNDr. Marii Budíkové, Dr. za doporučení vhodné doplňující literatury.
3 Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala sama, pouze za pomoci RNDr. Martina Koláře, Ph. D. a uvedené literatury. V Brně dne Michaela Bartuňková
4 OBSAH Obsah Úvod 4 1 Stochastické procesy 6 2 Jednoduchá náhodná procházka Symetrickánáhodnáprocházka Neférováhra Martingal Zákon arcsinu 18 4 Vícerozměrná náhodná procházka 23 5 Aplikace náhodné procházky Analýzacenakciívpraxi Modelovánípohybucenakcií Martingalsoučinunáhodnýchproměnných Generovánítrajektorií Seznam použité literatury 34 3
5 ÚVOD Úvod Ve své práci se chci věnovat široké problematice stochastického procesu nazývaného náhodná procházka, jeho vlastnostem, využití v praxi a problémům na náhodnou procházku navazujícím. Náhodná procházka mě zaujala svými pozoruhodnými vlastnostmi. Tento jednoduchý proces lze využít při tvorbě pravděpodobnostního stromu náhodných jevů. Pro jeho jednoduchost byl v minulosti a stále je velmi oblíbený a hojně využívaný v nesčetných oborech lidské činnosti, např. při sledování chování zákazníků na trhu, stejně jako odhadování polohy prchajících válečných zajatců. Náhodná procházka je také podpůrný nástroj v mnoha vědních disciplínách pro řešení specifických problémů, ať už se jedná o fyziku, ekonomii či např. ekofyziku. Po představení jednotlivých vlastností a rozdělení stochastických procesů přejdeme k jednoduché náhodné procházce, kterou dělíme na symetrickou a její protiklad, nesymetrickou. Pro komplexnější pohled na problematiku nezůstanou opomenuty martingaly. Skutečnosti o setrvání či pohybu částice konajícího náhodnou procházku zjistíme za pomoci speciální věty, zákona arcsinu. Základním kamenem u jednoduché náhodné procházky je Pólyova věta a nebude tomu jinak ani u kapitoly o vícerozměrné náhodné procházce. Vícerozměrný prostor nabízí široké spektrum možností, které nevyčerpáme. Zá- 4
6 ÚVOD věrečná část pak bude věnována využití náhodné procházky. K teorii náhodné procházky není jednoduché nalézt specifickou literaturu. Mnoho autorů řeší tento problém pouhou zmínkou či odkazem na literaturu jinou. Existuje ale dostatek souborných svazků o teorii pravděpodobnosti a v nich autoři teorii náhodné procházky neopomíjejí. 5
7 KAPITOLA 1. STOCHASTICKÉ PROCESY Kapitola 1 Stochastické procesy Uvažujme měřitelný prostor(ω, A), množinu reálných čísel R a indexovou množinu T,kterámávýznamčasu.Mějmezobrazení X:Ω T R, které má tyto vlastnosti: a)pro t T: X(, t)jenáhodnáveličinavzhledemka(značíme X t ), b) pro ω Ω: X(ω, ) je prvkem množiny reálných funkcí definovaných na T. Takové zobrazení X se pak nazývá stochastický proces definovaný na množině T.Značímejej {X t ; t T }. Jestliže budeme uvažovat o jeho složkách, pak a)pro t Tse X(, t)nazývát-tásložkastochastickéhoprocesu, b) pro ω Ω se X(ω, ) nazývá realizace stochastického procesu příslušná možnému výsledku ω, c)pro t T a ω Ωsečíslo X(ω, t)nazývárealizacít-tésložky stochastického procesu příslušné možnému výsledku ω. 6
8 KAPITOLA 1. STOCHASTICKÉ PROCESY Stochastické procesy můžeme dělit z hlediska času či jejich stavů. Stochastický proces může být z hlediska času diskrétní(množina T je nejvýše spočetná a lineárně uspořádaná) či spojitý(množina T je interval). Stejně takzhlediskastavůmůžebýtdiskrétní( t T je X t diskrétníveličina) nebospojitý( t Tje X t spojitáveličina).vdalšíchkapitoláchsebudeme věnovat stochastickým procesům s diskrétním časem a diskrétními stavy(viz příklad). Příklad 1.PetraPaveldalidohrydohromadyvklad5Kč(Petrvložil 3KčaPavel2Kč).Petrbudeházetmincí.Padne-lipanna,vyhraje1Kč, vopačnémpřípadě1kčprohraje.hrajesedozruinováníjednohozhráčů. Hrupopíšemejakostochastickýproces {X t ; t T },kde X t označujepočet korun,kterémápetrpot-témhodu X t {0,1,...,5}.Poházeníse mohla zrealizovat např. tato posloupnost hodů: {P, O, O, O, P, O, O} {4,3,2,1,2,1,0} y x Obrázek 1.1: Průběh Petrovy hry 7
9 KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA Kapitola 2 Jednoduchá náhodná procházka Stejně jako v Příkladu 1. si představme hráče, tentokrát v kasinu. Hráč hází mincí proti bankéři. Jestliže hodí pannu, vyhraje 1 Kč, jestliže padne orel, 1 Kč vyhraje bankéř. Hra končí po zruinování našeho hráče. Právě tato situacejetypickýmpříkladem,kterýřešímepomocínáhodnéprocházky 1 (odtud jejíalternativnínázev ruinováníhráče ). Zavedemestochastickýproces {X t ; t T },jehožprvkytvoříposloupnost X 1, X 2,...nezávislýchnáhodnýchveličinnabývajícíchhodnot1spravděpodobností pa-1spravděpodobností q=1 p.veličiny X 1, X 2,...budou označovat jednotlivé hody našeho hráče. Dále předpokládejme, že náš hráč přišeldokasinasurčitýmobnosem S 0,aoznačme S n celkovébohatstvínašeho hráče. Tedy S n = S 0 + X 1 + X X n = S 0 + budecelkovébohatstvínašehohráčeponhodech.posloupnost {S n } n=0nazývámejednoduchounáhodnouprocházkou( jednoduchá odpovídájednomu 1 Tentotermínzavedlvroce1906KarlPearson( ),kdyždemonstrovalvětu nejpravděpodobnějšímísto,kdenajítopilce,jeněkdepoblížzačátkujehocesty,jejíž empirický důkaz není těžké najít. 8 i=1 X i
10 KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA rozměru, tedy pohybu částice po přímce). Jednoduchá náhodná procházka se dnes využívá s úspěchem v různých modelových situacích, např. při určení polohy hmotného bodu v roztoku v intervalech jedné sekundy či hodnoty Dow-Jonesova indexu na burze v intervalu jednoho týdne měřeného vždy v pondělí. Těmto aplikacím jednoduché náhodné procházky se budeme věnovat později. 2.1 Symetrická náhodná procházka Jak je uvedeno v úvodu kapitoly, je důležité, s jakou pravděpodobností se částicepohybujejednímnebodruhýmsměrem,aodtohoseodvíjíipravděpodobnostní tabulky možného výsledku. Nejjednodušším případem jistě budestav,kdyse p=q,tedypravděpodobnostpohybuvobousměrechje stejná,ato 1.Takovánáhodnáprocházkasenazývásymetrická. 2 V případě symetrické náhodné procházky je zřejmé, že nezávislé náhodné veličinyposloupnosti X 1, X 2,...nabývajíhodnot1nebo 1sestejnoupravděpodobností. Dále je nutné uvést tři důležité vlastnosti symetrické náhodné procházky, a to prostorovou homogenitu, časovou homogenitu a Markovovu vlastnost. Lemma 2.1. Jednoduchá náhodná procházka je prostorově homogenní, tedy P(S n = j S 0 = a)=p(s n = j+ b S 0 = a+b). Důkaz.Oběstranyjsourovny P( n i=1 X i= j a). Lemma 2.2. Jednoduchá náhodná procházka je časově homogenní, tedy P(S n = j S 0 = a)=p(s m+n = j S m = a). 9
11 KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA Důkaz. Obě strany se rovnají, neboť P( X i = j a)=p( i=1 m+n i=m+1 X i = j a). Lemma 2.3. Jednoduchá náhodná procházka splňuje Markovovu vlastnost, tedypro n 0 P(S m+n = j S 0, S 1,..., S m )=P(S m+n = j S m ). Důkaz.Jezřejmé,žepokudznáme S m, S m+n závisípouzenakrocích X m+1, X m+2,...,x m+n,nikolinapředchozíchkrocích. Je zřejmé, že při zkoumání náhodné procházky nás zajímá, zda se částice vrátí do počátku jeho pohybu. Následující věta ukáže, že při jednoduché symetrické náhodné procházce se částice vždy vrátí do svého počátku. Věta 2.4(Pólyova). Pravděpodobnost návratu částice konající jednoduchou symetrickou náhodnou procházku do své výchozí polohy je rovna 1. Důkaz.Předpokládejme,žečásticejevesvévýchozípolozevčase t=0,dále označme P n pravděpodobnosttoho,žesečásticevčase t=nvrátídosvého počátku, což nastane v případě, kdy částice vykoná v obou směrech stejný početkroků.tedy P 2n+1 =0a P 2n = ( 2n n ) 2 2n = 1 2 2n (2n)! (n!) 2. Použijeme-linyníStirlingovavzorce n! 2πn ( n e) n,dostaneme P 2n 1 πn. Podle této aproximace je P 2n =. n=1 10
12 KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA Abychom ukázali, že se částice skutečně vrátí do své výchozí polohy, musíme vyšetřit délku časového intervalu, po němž se částice do svého počátku poprvé vrátí.nechť Q 2n jepravděpodobnost,žesečásticepřináhodnéprocházce vrátí v 2n-tém kroku poprvé do své původní polohy. Pak zřejmě platí n 1 P 2n = Q 2n + P 2k Q 2n 2k. k=1 V další části důkazu využijeme generující funkce. Položme a Pak dostaneme G(x)= P 2k x k k=1 H(x)= Q 2k x k. k=1 tedy Zřejmě platí Q= G(x)=H(x)+G(x)H(x) k=1 H(x)= G(x) 1+G(x). G(x) Q 2k = H(1)= lim x 1 1+G(x), kde Q značí pravděpodobnost, že se částice vůbec někdy vrátí do své původní polohy.protožejealeřada k=1 P 2kdivergentní,dostanemetedyvýsledek Q= Neférová hra Pro snadnější představu budeme navazovat na předchozí příklad našeho hráče vkasinu.představaférovéhry(tedy p=q= 1)jezdevícenežlákavá,ale 2 v reálném životě to tak bohužel nefunguje. Předpokládejme tedy, že naše 11
13 KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA pravděpodobnostvýhryje p < 1 (jejasné,žebankéřsvoupravděpodobnost 2 výhry zmanipuluje ve svůj prospěch). Budeme uvažovat případ, kdy známe naši pravděpodobnost p a zároveň celkové bohatství naše(označíme A) i bankéřovo(označíme B, A + B = N). V tomto případě je ale lehčí vydat se složitější cestou, tedy spočítat pravděpodobnostinašehozruinování x i připočátečnímstavunašehobohatství ikč pro libovolné i. Nejdřívesiukážemeřešenípro N=5.Hledámepravděpodobnosti x 0, x 1,..., x 5,kdezřejmě x 0 =1,neboťjakmilebudehráčjednouzruinován,hra končí,ax 5 =0,jelikožjestližebudejednouzruinovánbankéř,hráčovavýhra je jistá. Jestliže začneme ve stavu 3, užitím vzorce pro podmíněnou pravděpodobnost dostaneme x 3 = p x 4 + q x 2 Rovnicidáleupravujemeazavedemesubstituci r= p : q (p+q)x 3 = p x 4 + q x 2 p(x 3 x 4 )=q(x 2 x 3 ) x 2 x 3 = p q (x 3 x 4 )=r(x 3 x 4 ), r <1. Tyto rovnice můžeme zapsat pro jakýkoli počáteční stav z daných šesti: x 0 x 1 = r(x 1 x 2 ) x 1 x 2 = r(x 2 x 3 ) x 2 x 3 = r(x 3 x 4 ) x 3 x 4 = r(x 4 x 5 ) Podosazeníhodnot x 0 = 1ax 5 = 0anáslednýchúpraváchdostaneme následující vztahy: x 0 =(1+r+r 2 + r 3 + r 4 )x 4 =1 12
14 KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA x 1 = 1 r4 1 r 5 x 2 = 1 r3 1 r 5 x 3 = 1 r2 1 r 5 x 4 = 1 r 1 r 5. Po zobecnění na libovolnou hodnotu N, A a B získáme obecné řešení x A = 1 rb 1 r N Pokud bude N dostatečně velké, můžeme jmenovatel položit roven 1. Pak pravděpodobnost našeho zruinování závisí pouze na koeficientu r a jmění bankéře B.Jestližebude Bdostatečněvelké,pak r B 0apravděpodobnost našeho zruinování je téměř jistá. Pravděpodobnostizruinovánípři p=0,45, p=0,495ap=0,499jsou uvedeny v následujícíh tabulkách. Z tabulek je zřejmé, že rozdíly při různých pravděpodobnostech výhry hráče jsou opravdu markantní. A B ,550 0,905 0,973 0,997 1, ,260 0,732 0,910 0,988 1, ,204 0,666 0,881 0,984 1, ,185 0,638 0,868 0,982 1, ,182 0,633 0,866 0,982 1,000 Tabulka 2.1: Pravděpodobnost zruinování hráče při p = 0,45 13
15 KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA A B ,505 0,842 0,918 0,961 0, ,175 0,525 0,699 0,838 0, ,100 0,367 0,550 0,731 0, ,058 0,242 0,402 0,599 0, ,031 0,143 0,259 0,438 0,731 Tabulka 2.2: Pravděpodobnost zruinování hráče při p = 0,495 A B ,501 0,833 0,911 0,954 0, ,168 0,504 0,674 0,808 0, ,093 0,339 0,510 0,679 0, ,049 0,208 0,347 0,519 0, ,022 0,100 0,184 0,315 0,549 Tabulka 2.3: Pravděpodobnost zruinování hráče při p = 0,499 V rámci neférové hry můžeme uvést ještě dva speciální příklady využitelné v praxi, a to jednoduchou náhodnou procházku s pohlcujícími stěnami a s odrážejícími stěnami. V rámci řešení využijeme matici přechodu. Maticí přechodu nazýváme matici pravděpodobností přechodu 1. řádu, označujeme P = P(n, n+1),kde i-téčíslovj-témsloupciudávápravděpodobnost, sjakousečásticezbodu idostanedobodu j. Příklad 2(Jednoduchá náhodná procházka s pohlcujícími stěnami). Na ú- sečceodélce3jsouvyznačenybody0,1,2,3.vbodě2senacházíčástice. Tato částice koná náhodnou procházku po úsečce tak, že s pravděpodobností pseposuneojednotkuvpravoaspravděpodobností q=1 pseposune 14
16 KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA o jednotku vlevo. Dosáhne-li částice bodu 0 či 3, setrvá tam. Popište tento proces pomocí vhodného stochastického procesu. Řešení.Zavedemestochastickýproces {X n ; n N 0 }smnožinoujehostavů {0,1,2,3},přičemž X n = j,jestližesevokamžiku nčásticenacházívbodě j. Matice přechodu P pak pro daný proces vypadá následovně q 0 p 0 0 q 0 p Příklad 3(Jednoduchá náhodná procházka s odrážejícími stěnami). Na ú- sečceodélce3jsouvyznačenybody0,1,2,3.vbodě2senacházíčástice. Tato částice koná náhodnou procházku po úsečce tak, že s pravděpodobností pseposuneojednotkuvpravoaspravděpodobností q=1 pseposune ojednotkuvlevo.dosáhne-ličásticebodu0či3,vdalšímkrokusevracízpět po ose. Popište tento proces pomocí stochastického procesu. Řešení.Zavedemestochastickýproces {X n ; n N 0 }smnožinoujehostavů {0,1,2,3},přičemž X n = j,jestližesevokamžiku nčásticenacházívbodě j. Matice přechodu P pak pro daný proces vypadá následovně q 0 p 0 0 q 0 p Martingal Při pokusech pochopit zjevný fakt, že ve férových hrách nelze vydělávat peníze, se začala vytvářet teorie martingalu. Tato teorie se stala jedním z hlav- 15
17 KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA ních nástrojů studia stochastických procesů. V této subkapitole budeme minimalizovat detaily, aby bylo možné uvést intuitivní rysy martingalů. Posloupnostnáhodnýchproměnných {M n ;0 n < }nazvememartingalemvzhledemk{x n ;1 n < },tj.posloupnostináhodnýchproměnných, jestliže splňuje dvě základní vlastnosti: a)pro n 1: f n : R n R:M n = f n (X 1,..., X n ), b)posloupnost {M n }splňujepro n 1základnímartingalovouidentitu E(M n X 1,..., X n 1 )=M n 1. Martingalová identita vede k teorii, která osvětluje skutečnost, že hráč ve férové hře nemůže očekávat peněžní výhru, i když chytře mění své sázky. Ke zběžnému nahlédnutí do této teorie nám poslouží následující ukázky martingalů. Tyto příklady nám ukážou proměnlivost a možnosti martingalu. Příklad 4. Jestliže X n jsou nezávislé náhodné proměnné s E(X n ) = 0 pro n 1,pakparciálnísoučetprocesůdaných S 0 =0aS n = pro n 1jemartingalvzhledemkposloupnosti {X n :1 n< }. Řešení. Použijeme martingalovou identitu, tedy E(S n S n 1 )=E(S n 1 + X n S n 1 )=E(S n 1 S n 1 )+E(X n S n 1 ) = S n 1 +0=S n 1. Příklad 5. Jestliže X n jsou nezávislé náhodné proměnné s E(X n ) = 0 a D(X n )=σ 2 pro n 1,pak M 0 =0aM n = Sn 2 n σ 2 pro n 1 námdávámartingalvzhledemkposloupnosti {X n :1 n< }. Řešení. Nejdříve musíme zkontrolovat, zda martingalová vlastnost platí jak pro podmíněnou, tak pro nepodmíněnou část procesu: E(M n X 1,..., X n 1 )=E(Sn S n 1X n + Xn 2 n σ2 X 1,..., X n 1 ) 16 i=1 X i
18 KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA Nyníje Sn 1funkcíposloupnosti 2 {X 1, X 2..., X n 1 }ajejípodmíněnápravděpodobnostjeprávě Sn 1 2.Jestližesepodívámenadruhýsčítanec,vidíme, že E(S n 1 X n X 1, X 2..., X n 1 )=S n 1 E(X n X 1, X 2..., X n 1 ). Dáleje E(X n X 1, X 2..., X n 1 )=E(X n )=0,kde X n jenezávislénaposloupnosti X 1, X 2..., X n 1.Analogickýmzdůvodněnímnalezneme E(X 2 n X 1, X 2..., X n 1 )=σ 2. Po shrnutí všech těchto dílčích výsledků je ověření martingalové vlastnosti pro M n = S 2 n nσ 2 kompletní. 17
19 KAPITOLA 3. ZÁKON ARCSINU Kapitola 3 Zákon arcsinu Jednou z dalších pomůcek při zkoumání náhodné procházky je tzv. zákon arcsinu. Zde si uvedeme dvě věty s překvapujícími výsledky. Uvažujme částici konající symetrickou náhodnou procházku, jejíž pravděpodobnostnávratudosvéhopočátkuvčase2njerovna ( 2n n ) 2 2n,označíme P 2n.Dásedokázat,žeprvnínávratčásticedosvéhopočátkuprávě včase2nnastanespravděpodobností P 2n 2n 1. Nyní se podívejme na opačný případ, tedy jaká je pravděpodobnost, že se částice nevrátí v čase 2n do svého počátku? Věta 3.1. Pravděpodobnost toho, že se částice konající symetrickou náhodnouprocházkuvčase2nnevrátídosvéhopočátku,je P 2n.Tedy Důkaz. Víme, že P(S 1 0, S 2 0,..., S 2n 0)=P 2n. P(S 1 0, S 2 0,..., S 2n 0)=1 Matematickou indukcí ukážeme, že platí rovnost P 2k P 2n =1 2k 1. k=1 18 k=1 P 2k 2k 1.
20 KAPITOLA 3. ZÁKON ARCSINU Pro n=1zjistíme,že P 2 = 1 2 aoběstranyserovnají.předpokládejme,že tvrzeníplatípro n 1.Máme tedyplatíipro n. 1 k=1 n 1 P 2k 2k 1 =1 k=1 P 2k 2k 1 P 2n 2n 1 = P 2n 2 P 2n 2n 1 = P 2n, Jestliženyníupravímepravděpodobnost P 2n pomocístirlingovyaproximace n! n n+1 2e n 2π,dostaneme P 2n (2n)2n+1 2e 2n 2π n 2n+1 e 2n (2π)2 2n= 1 nπ, cožnámpři P 2n 0an ukážejiždřívedokázanouskutečnost,ato že s pravděpodobností 1 se symetrická náhodná procházka vrátí do svého počátku. Někdy nás ale může zajímat nikoli první, ale poslední návrat částice dosvéhopočátkuastejnětakčassetrvánívkladnéčizáporné(resp.vpravé či levé) části od počátku. Právě k tomu slouží zákon arcsinu. Věta 3.2 (Zákonarcsinuposledníhonávratudopočátku).Nechť p = 1 2 a S 0 =0.Pakpravděpodobnost,ževčasovémintervalu(0,2n)sečástice konající symetrickou náhodnou procházku vrátí do svého počátku naposledy právěvčase2k,jerovna P 2k P 2n 2k. Důkaz. Pravděpodobnost, kterou hledáme(označíme b), je b=p(s 2k =0, S 2k+1 0,..., S 2n 0) = P(S 2k =0)P(S 2k+1 0,..., S 2n 0 S 2k =0) = P(S 2k =0)P(S 2k+1 0,..., S 2n 2k 0)=P 2k P 2n 2k. 19
21 KAPITOLA 3. ZÁKON ARCSINU Věta3.3(Zákonarcsinupročassetrvání).Nechť p= 1 2 a S 0=0.Pakpravděpodobnost, že částice konající symetrickou náhodnou procházku v časovém intervalu(0, 2n) stráví právě 2k časových jednotek v kladné části reálné osy, jerovna P 2k P 2n 2k. Důkaz. Důkaz provedeme pomocí matematické indukce. Označíme pro všechna mtaková,že m < n, c k,m = P 2k P 2m 2k.Pro n=1dostanemepravděpodobnost c 0,1 = c 1,1 = 1 2, kdezvěty3.2.dostaneme P 0 =1aP 2 = 1 2.Nejdříveověřímepřípad,kdy k= n.potompřioznačeníčasuprvníhonávratujako Tdostaneme c n,n = P(E n,n T=2r)P(T=2r)+P(E n,n T >2n)P(T >2n). r=1 Nynímůžemeříct,žepři T =2rsenáhodnáprocházkanacházívkladné (resp. v pravé) části od počátku na celém intervalu(0, 2r). Odtud P(E n,n T=2r)= c n r,n r 2 c n,n = 1 2 = 1 2 r=1 r=1 P(E n,n T >2n)= 1 2 c n r,n r P(T=2r)+ 1 P(T >2n) 2 P 2n 2r P(T=2r)+ 1 P(T >2n), 2 kdeposlednírovnost c n r,n r = u n r u 0 vyplývázindukčníhopředpokladu. Dále, P 2n 2r P(T=2r)= r=1 = P(S 2n 2r =0)P(T=2r) r=1 P(S 2n =0 T=2r)P(T=2r)=P 2n, r=1 20
22 KAPITOLA 3. ZÁKON ARCSINU tedy c n,n = 1 2 P 2n+ 1 P(T >2n) 2 = 1 2 P 2n+ 1 2 P 2n= P 2n. Jetedyzřejmé,žetvrzeníplatípro k = navdůsledku, díkysymetrii, ipro k=0.nynísevěnujmepřípadu,kdy0 < k < n. c k,n = P(E k,n T=2r)P(T=2r). r=1 Znovuvidíme,žepokud T =2r,jenáhodnáprocházkanacelémintervalu (0, 2r) v kladné(resp. v pravé) části od počátku. Tedy, c k,n = 1 c k r,n r P(T=2r) r=1 = 1 2 P 2n 2k c k,n r P(T=2r) r=1 P 2k 2r P(T=2r)+ 1 2 P 2k r=1 r=1 P 2n 2r 2k P(T=2r), kde poslední rovnost vyplývá opět z indukčního předpokladu. Dále vidíme, že P 2k 2r P(T=2r)=P 2k, r=1 P 2n 2r 2k P(T=2r)=P 2n 2k, r=1 c k,n = P 2k P 2n 2k. Mohlo by být matoucí, proč se tyto věty nazývají zákon arcsinu. Důvod je prostý. Zde uvedené důkazy jsou založené na úpravách pravděpodobností. Nenítovšakjedinýzpůsob.Tytodůkazymohoubýtprovedenyisvyužitím 21
23 KAPITOLA 3. ZÁKON ARCSINU již výše zmíněné Stirlingovy aproximace. Po jednoduchých úpravách dostanemeprodostatečněvelká kan P 2k P 2n 2k 1 π k(n k). Odtudprolibovolné x,kde0<x<1,platí,žepravděpodobnost,žepodíl času, který stráví částice v kladné části, na celkovém čase(0, 2n), je menší než x,jedánavztahem nx k=0 P 2k P 2n 2k 1 π nx 0 = 2 π arcsin x. 1 y(n y) dy 22
24 KAPITOLA 4. VÍCEROZMĚRNÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA Kapitola 4 Vícerozměrná náhodná procházka Náhodná procházka se dá samozřejmě zobecnit i na více rozměrů. Mějme poloupnostnezávislýchnáhodnýchproměnných X (r) 1, X (r) 2,..., X n (r) stejnérozdělení,kde X (r) k majících označuje r-rozměrnou náhodnou veličinu udávající pohyb částice během časového intervalu(k 1, k). Pro vícerozměrnou náhodnou procházku platí vztah S (r) n = S(r) 0 + k=1 X (r) k. Tento proces si můžeme přiblížit následovně. Zavedeme množinu mřížovýchbodů G r v r-rozměrnémeukleidovskémprostoru,kdesouřadnicetěchto bodů jsou celočíselné. Řekneme, že částice koná náhodnou procházku na množině G r,jestližesetatočásticevčase t=nnacházívnějakémmřížovémbodě této množiny. S pravděpodobností 1 2r sepaktatočásticevčase t=n+1posune, ale ne do některého ze sousedních mřížových bodů, jak by se intuitivně mohlo zdát. Musíme brát v úvahu, že vícerozměrná náhodná procházka je vlastně několik náhodných procházek složených dohromady. Pokud budeme 23
25 KAPITOLA 4. VÍCEROZMĚRNÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA uvažovatnapř.dvojrozměrnou,paksečásticeposuneo+1nebo 1povodorovnéoseastejnětakposvisléose.Jejínovápolohasetedynenachází v sousedních bodech, nýbrž v bodech[ 1, 1],[ 1, 1],[1, 1],[1, 1]. Částicevykonávápohybpo úhlopříčce. Polohučásticenámudávásoučet S (r) n v r-rozměrném eukleidovském prostoruvčase t=n,kdy S (r) n je homogenní aditivní Markovský řetězec, tzn. stochastický proces splňující Markovovu vlastnost, tedy budoucí stav tohoto řetězce závisí pouze na stavu přítomném, nikoli na stavech minulých. Dosadíme-li za r číslo 1, dostaneme již výše zmíněnou jednoduchou náhodnou procházku. Názorná ukázka možného pohybu částice je uvedena na obrázku. Obrázek 4.1: Možnost pohybu při dvourozměrné náhodné procházce Obrázek 4.2: Možnost pohybu při trojrozměrné náhodné procházce Stejně jako u jednoduché náhodné procházky si i zde uvedeme Pólyovu 24
26 KAPITOLA 4. VÍCEROZMĚRNÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA větu, tentokrát pro r-rozměrnou náhodnou procházku. V jejím důkazu využijeme Borelova-Cantelliho lemmatu uvedeného níže. Lemma4.1(Borelovo-Cantelliho).Nechť A= n m=n A m nastanenekonečně mnohokrát. Pak platí: a) n P(A n) < P(A)=0 b) n P(A n)= P(A)=1prodisjunktní A 1, A 2,... Věta 4.2(Pólyova). Pravděpodobnost toho, že se částice při náhodné procházcenamříži G r vrátínekonečněmnohokrátdosvévýchozípolohy,je pro r=1ar=2rovnajednéapro r 3jerovnanule. Důkaz.Předpokládejme, žesečásticenacházelavčase t = 0vpočátku souřadnic.označme P (r) n pravděpodobnost,žečásticebudevčase t=n opět v počátku, což nastane právě tehdy, když vykoná stejné množství kroků vpravoivlevo.platítedy P (r) 2n+1=0a P (r) 2n = n 1 +n n r=n = 1 ( ) 2n (2r) 2n n (2n)! (n 1!n 2!...n r!) 2 n 1 +n n r=n ( ) 2 n!. n 1!n 2!...n r! Dále platí ( 2n ) P (1) n 2n = 2 ( 2n 2n ) 2 P (2) n 2n = 4 ( 2n 2n ) 3 P (3) n 2n = 6. 2n 25
27 KAPITOLA 4. VÍCEROZMĚRNÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA Použijeme Stirlingovu aproximaci, čímž dostaneme P (1) 2n 1 (πn) P (2) 2n 1 πn P (r) 2n 1. (πn) r 2 Zpředchozíchvztahůplyne,žepro r=1ar=2je apro r 3platí n=1 n=1 P (r) 2n = P (r) 2n <. Z Borelova-Cantelliho lemmatu v posledním případě vyplývá, že se s pravděpodobností 1 částice vrátí do své výchozí polohy nejvýše konečně mnohokrát. Nynípro r=1ar=2ukážeme,žesespravděpodobností1částiceněkdy vrátí do svého počátku. Budeme tedy vyšetřovat délku časového intervalu, poněmžsečásticevrátípoprvédosvévýchozípolohy.vdalšíčástidůkazu využijemegenerujícíchfunkcí.nechť Q (r) 2n jepravděpodobnosttoho,žese částice konající náhodnou procházku na r-rozměrné mříži vrátí v n-tém kroku poprvé do své výchozí polohy. Pak platí Položímeza G r (x)ah r (x) n 1 P (r) 2n = Q (r) 2n+ P (r) 2k Q(r) 2n 2k. k=1 G r (x)= H r (x)= k=1 k=1 P (r) 2k xk Q (r) 2k xk. 26
28 KAPITOLA 4. VÍCEROZMĚRNÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA Potom úpravou předešlého vzorce dostaneme Dále platí Q (r) = G r (x)=h r (x)+g r (x)h r (x) H r (x)= G r(x) 1+G r (x) G r (x)= H r(x) 1 H r (x). k=1 Q (r) 2k = H r(1)=lim x 1 G r (x) 1+G r (x). Q (r) jepravděpodobnost, žesečásticevůbecněkdyvrátídosvévýchozí polohy.pro r=1ar=2jealeřada k=1 P(r) 2k divergentní,dostanemetedy výsledek Q (r) =1.Pro r 3naopakplatí Q (r) = k=1 P(r) 2k 1+ k=1 P(r) 2k, tedy0 < Q (r) <1.Např.pro r=3je Q (3) 0,35. 27
29 KAPITOLA 5. APLIKACE NÁHODNÉ PROCHÁZKY Kapitola 5 Aplikace náhodné procházky 5.1 Analýzacenakciívpraxi Jak již bylo řečeno, náhodná procházka má široké využití. Její předností je totiž jednoduchost, kterou mnoho procesů postrádá. V této kapitole se budeme věnovat aplikaci ekonomické, analýze cen akcií. Široké využití teorie náhodné procházky najdeme ve světě investic, ať už při investování samotném či sestavování optimálního portfolia v Markowitzově modelu. My se budeme věnovat právě investování. Při rozhodování o tom, kam budou proudit naše peníze, nám analytici nabízejí dvě možnosti, vydat se cestou technické nebo fundamentální analýzy. Technická analýza spočívá v dlouhodobém sledování pohybu cen akcií a na základě výsledných pozorování padne rozhodnutí o nákupu či prodeji. Méně praktická, leč velmi oblíbená metoda, je fundamentální analýza. Investiční poradci určují vnitřní hodnotu akcie, která je pro ně směrodatná. Nezáleží tedy na historických datech, jen na aktuálním rozdílu mezi vnitřní hodnotou a tržní cenou akcie. Fundamentální analytici totiž věří, že cena akcie nepodléhá trendu a nelze ji tedy do budoucna určit pomocí zkoumání 28
30 KAPITOLA 5. APLIKACE NÁHODNÉ PROCHÁZKY pohybu cen akcií. Lze jen s určitou pravděpodobností odhadnout budoucí cenu akcie, která závisí pouze na nynější hodnotě. Malý vtip si přichystal Burton G. Malkiel na svého kolegu, technického analytika. Při vyučování požádal studenty, aby házeli mincí a výsledky hodů zakreslovali do grafu. Počátkem měla být cena akcie 50$. Jak již bylo řečeno výše, pokud se částice konající náhodnou procházku nachází v kladné části, je pravděpodobné, že se v ní dlouhodobě bude pohybovat i nadále. Proto počáteční hodnota 50$ plně vyhovovala reálné situaci na trhu a existovalo zde minimální riziko, že by se cena akcie dostala do záporných hodnot. K podivu všech studentů se v grafech začaly objevovat známé obrazce podněcující nákup či prodej akcií. Jeden takový Malkiel odnesl právě svému příteli, který reagoval tak prudce, jak Malkiel předpokládal. Okamžitě chtěl kupovat, protože viděl známou sekvenci pohybu akcií. Pro ilustraci se podívejme na jeden takto náhodně generovaný úsečkový graf. Obrázek 5.1: Pohyb cen dané akcie generovaný hody mincí 29
31 KAPITOLA 5. APLIKACE NÁHODNÉ PROCHÁZKY 5.2 Modelování pohybu cen akcií Jak jsme poznamenali v předchozím textu, fundamentální analýza pracuje s odhadem pravděpodobnosti budoucí ceny akcie. Tento pravděpodobnostní strom můžeme modelovat např. pomocí martingalů. V následujícím textu si uvedeme vhodný martingal doplněný o jednoduchou proceduru v programu Maple, která vykreslí náhodně generovaný graf pohybu cen akcií na burze Martingal součinu náhodných proměnných Vzhledem ke skutečnosti, že ceny akcií rostou nebo klesají a přitom každý pokles či vzestup ceny není roven konstatní částce, jako tomu bylo v případě generování pohybu cen akcií hody mincí, je vhodné tento proces modelovat za pomoci martingalu tvořeného součinem na sobě nezávislých náhodných proměnných. Přesněji si jej nadefinujeme v následujícím příkladu. Příklad 6. Mějme posloupnost na sobě nezávislých náhodných proměnných {X 1, X 2,..., X n },kde X n >0aE(X n )=1pro n 1.Jestližepoložíme M 0 =1aM n = X 1 X 2...X n pro n 1, M n jemartingal. Řešení. Použijeme martingalovou identitu, tedy E(M n M n 1 )=E(M n 1 X n M n 1 )=E(M n 1 M n 1 )E(X n M n 1 ) = X 1 X 2...X n 1 = M n 1 Pomocí tohoto martingalu nyní můžeme přejít ke grafickému znázornění cenových pohybů na burze Generování trajektorií Než začneme vytvářet proceduru v programu Maple, musíme si určit několik počátečních podmínek, které nás přiblíží k dostatečně věrohodnému modelu 30
32 KAPITOLA 5. APLIKACE NÁHODNÉ PROCHÁZKY cenových pohybů akcií. Čeká nás volba vhodného rozdělení. Abychom docílili stejné pravděpodobnosti růstu nebo poklesu ceny, nabízí se nám normální rozdělení. To ale nesplňuje druhou podmínku, tj. cena nikdy nedosáhne záporné hodnoty. Tuto skutečnost splňuje logaritmické rozdělení. Správný výběr bude zřejmě reprezentován logaritmicko-normálním rozdělením, které splňuje obě zmíněné podmínky. Procedura, která generuje náhodný pohyb ceny akcie, může vypadat následujícím způsobem: RW:=proc(n); pozice,cesta,p: P:=lognormal: pozice:=1: cesta:=pozice: from 1 to n do X:=stats[random,P](1): pozice:=pozice*x: cesta:=cesta,pozice: od: with(plots): pointplot([seq([i,cesta[i]],i=1..nops([cesta]))],connect=true); end: VproceduřeRWnámnudávápočetdnů,kdysebudenaburzesdanými akciemi obchodovat. Začínáme na hodnotě 1, tj. 100%. Standardním počtem dnů, po které se bude obchodovat, bude 200. Měřítko osy y je přizpůsobeno velikosti výkyvů ceny akcie. 31
33 KAPITOLA 5. APLIKACE NÁHODNÉ PROCHÁZKY Nyní přejděme k prvnímu grafu, který vychází z logaritmicko-normálního rozdělení se střední hodnotou 0 a rozptylem 1, tj. z předdefinovaného nastavení tohoto rozdělení v programu Maple Obrázek5.2:Modelsestředníhodnotou0arozptylem1 Jak je vidět, tento model nebude zcela realistický, neboť cenové výkyvy jsou příliš vysoké. Dostáváme se tím k druhému grafu, kde střední hodnota buderovna0arozptyltohotorozděleníbude Obrázek5.3:Modelsestředníhodnotou0arozptylem
34 KAPITOLA 5. APLIKACE NÁHODNÉ PROCHÁZKY V druhém modelu se již cenové výkyvy neprojevují takovou mírou. Ještě výraznější je to na dalším grafu, kde střední hodnota bude nadále rovna 0arozptylbuderoven Můžemeříct,žecenovévýkyvyjsouzávislé na hodnotě rozptylu Obrázek5.4:Modelsestředníhodnotou0arozptylem
35 LITERATURA Literatura [1] Grimmett, G.& Stirzaker, D.: Probability and Random Processes. Oxford, New York 2001 [2] Kemeny, J. G.: Úvod do finitní matematiky. SNTL, Praha 1971 [3]Malkiel,B.G.:B l adz acpowallstreet.wig-press,warszawa2003 [4] Rényi, A.: Teorie pravděpodobnosti. Academia, Praha 1972 [5] Ross, S. M.: Stochastic processes. John Wiley& Sons, 1996 [6]Rybička,J.:L A TEXprozačátečníky.Konvoj,Brno2003 [7] Steele, J. M.: Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer, New York
Od Náhodné Procházky Ke Spojitým Modelům. Silvie Kafková. 1.prosince 2014, FIMA
Od Náhodné Procházky Ke Spojitým Modelům Silvie Kafková 1.prosince 2014, FIMA Obsah 1 Motivace 2 3 Aplikace náhodné procházky 4 Jednoduchý model ceny akcie Motivace Obsah 1 Motivace 2 3 Aplikace náhodné
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a
Více1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.
2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:
Více6. T e s t o v á n í h y p o t é z
6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně
Více1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)
1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde
VíceUNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceDnešní program odvozování v Bayesovských sítích exaktní metody (enumerace, eliminace proměnných) aproximační metody y( (vzorkovací techniky)
Umělá inteligence II Roman Barták, KTIML roman.bartak@mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Bayesovská síť zachycuje závislosti mezi náhodnými proměnnými Pro zopakování orientovaný acyklický graf
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír
VíceTeoretická rozdělení
Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické
VíceMgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.
Mnohočleny z různých stran Mgr. Karel Pazourek Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí,
Více(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada
(Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
VícePetr Chvosta. vlevo, bude pravděpodobnost toho, že se tyč na počátku intervalu τ B nachází nad vpravo
MOLEKULÁRNÍ MOTORY Petr Chvosta. Automobil v krupobití aneb brzděním k pohybu Uvažme automobil stojící na mírném svahu a bombardovaný rovnoměrně ze všech stran obrovskými kroupami. Svah stoupá směrem doprava
VíceRegulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.
Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice
Více)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
VíceRozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení.
Rozptyl Základní vlastnosti disperze Var(konst) = 0 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (nezávislé proměnné) Lineární změna jednotek Y = rx + s, například z C na F. Jak vypočítám střední hodnotu a rozptyl? Pozn.:
VíceSTP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA
Poslední aktualizace: 29. května 200 STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY Pro zdárné absolvování předmětu doporučuji věnovat pozornost zejména příkladům označenými hvězdičkou. Příklady
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
VíceRegresní a korelační analýza
Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)
VíceJak pracovat s absolutními hodnotami
Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.
Více9. Úvod do teorie PDR
9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální
VíceKapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů
Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceNěkteré zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení
Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.
VíceFAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:
FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD
VíceKATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Více2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
VíceKongruence na množině celých čísel
121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem
VíceStochastické modely: prezentace k přednášce
Stochastické modely: prezentace k přednášce Jan Zouhar Katedra ekonometrie FIS VŠE v Praze 27. října 2015 Obsah 1 Úvod do náhodných procesů 2 MŘ s diskrétním časem a konečným počtem stavů Základní pojmy
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceČeská republika - ŽENY
2012 Česká republika - ŽENY věk qx px lx dx Lx Tx ex Dx Cx Nx Mx Sx Rx 0 0.002338 0.997662 100000 234 99804 8088058 80.88 100 000.00 229.43 4 164 194.04 22 355.11 130 483 842.84 1 731 180.86 1 0.000144
Více2016 Česká republika ŽENY (aktuální k )
2016 Česká republika ŽENY (aktuální k 27. 11. 2017) věk qx px lx dx Lx Tx ex Dx Cx Nx Mx Sx Rx 0 0.002462 0.997538 100 000.00 246.23 99787 8205207 82.05 100 000.00 243.07 5 066 877.57 34 975.90 176 922
VíceO teleskopických součtech a součinech
O teleskopických součtech a součinech JAROSLAV ŠVRČEK Přírodovědecká fakulta UP, Olomouc Stanovení součtusoučinu) několika číselčlenů číselné posloupnosti vyhovující danému předpisu) a řešení úloh, které
VíceModely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Po(λ) je možné použít jako model náhodné veličiny, která nabývá hodnot 0, 1, 2,... a udává buď počet událostí,
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace
VíceMATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu
MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu
VíceTento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla
Ramseyovy věty Martin Mareš Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla na mé letošní přednášce z Kombinatoriky a grafů I Předpokládá, že čtenář se již seznámil se základní
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceGeometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou
Gymnázium Přírodní škola, o p s Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou Jan Pokorný Petr Martiška, Vojtěch Žák 1 11 2012 Obsah 1 Úvod 3 2 Teoretické základy a použité metody 4 21
Více13. cvičení z PSI ledna 2017
cvičení z PSI - 7 ledna 07 Asymptotické pravděpodobnosti stavů Najděte asymptotické pravděpodobnosti stavů Markovova řetězce s maticí přechodu / / / 0 P / / 0 / 0 0 0 0 0 0 jestliže počáteční stav je Řešení:
Více2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.
Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.
VíceDrsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?
Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
VíceTématické celky { kontrolní otázky.
Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te
VíceACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ
ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 6 Číslo 3, 2004 Gasser-Müllerův odhad J. Poměnková Došlo: 8.
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ. Akce grupy
MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fakulta Bakalářská práce z matematiky Akce grupy Brno 2009 Lenka Macálková Prohlášení: Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala zcela samostatně
Více13. Třídící algoritmy a násobení matic
13. Třídící algoritmy a násobení matic Minulou přednášku jsme probírali QuickSort, jeden z historicky prvních třídících algoritmů, které překonaly kvadratickou složitost aspoň v průměrném případě. Proč
VíceZnačení 1.1 (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů,
Rekurentní jevy Značení. (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů, kde každý má tutéž konečnou nebo spočetnou množinu výsledků E, E,...}. Pak E j,..., E jn } značí
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
VíceMatematika pro studenty ekonomie
w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY
VíceNěkolik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie
Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);
VíceGRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceMarkovské metody pro modelování pravděpodobnosti
Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Marek Dvořák Je Sportka spravedlivá?
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Marek Dvořák Je Sportka spravedlivá? Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Jana Čerbáková
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceVšechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)
Více0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04
0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1
VíceSpojitost funkcí více proměnných
Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.
VíceZápadočeská univerzita. Lineární systémy 2
Západočeská univerzita FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD Lineární systémy Semestrální práce vypracoval: Jan Popelka, Jiří Pročka 1. květen 008 skupina: pondělí 7-8 hodina 1) a) Jelikož byly měřící přípravky nefunkční,
VíceÚvod do teorie her. David Bartl, Lenka Ploháková
Úvod do teorie her David Bartl, Lenka Ploháková Abstrakt Předložený text Úvod do teorie her pokrývá čtyři nejdůležitější, vybrané kapitoly z této oblasti. Nejprve je čtenář seznámen s předmětem studia
Vícestránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
Více3. Matice a determinanty
. Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl
Více12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem)
cvičení z PSI 0-4 prosince 06 Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) Z realizací náhodných veličin X a Y s normálním rozdělením) jsme z výběrů daného rozsahu obdrželi
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
VíceVYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Hlavní specializace: Ekonometrie a operační výzkum Název diplomové práce Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů Diplomant: Vedoucí
VíceMaticový a tenzorový počet
Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice
VíceZákladní radiometrické veličiny
Základní radiometrické veličiny Radiometrické veličiny se v textech, se kterými jsem se setkal, zavádějí velmi formálně, např. iradiance E= dφ da.pokusiljsemsepřesnějipopsat,cojednotlivéfunkceznamenají.formálnízápisyjsouzde
VíceVážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího
VíceMOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod
Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě
VíceDeterminant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.
[] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá
VíceA0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly
Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková
VíceMatematika III přednáška Aplikace vytvořujících funkcí - další úlohy
S Matematika III - 14. přednáška Aplikace vytvořujících funkcí - další úlohy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 18. 12. 2007 Obsah přednášky Řešení rekurencí Q Exponenciální vytvořující
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
Vícezejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.
Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít
Více3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
VíceMETODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VíceVybrané problémy lineární algebry v programu Maple
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.
VíceTeorie informace: řešené příklady 2014 Tomáš Kroupa
Teorie informace: řešené příklady 04 Tomáš Kroupa Kolik otázek je třeba v průměru položit, abychom se dozvěděli datum narození člověka (den v roce), pokud odpovědi jsou pouze ano/ne a tázaný odpovídá pravdivě?
VíceČeské vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská. Matematika ve starověké Babylónii
České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Matematika ve starověké Babylónii Vít Heřman Praha, 22.2.2008 Obsah: 1. Úvod 2. Historický kontext 3. Dostupné historické zdroje
VíceElektrotechnická fakulta
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Elektrotechnická fakulta OPTIMÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ A ŘÍZENÍ Jan Štecha Katedra řídicí techniky 1999 Předmluva Toto skriptum je určeno posluchačům 4. ročníku oboru technická
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Více14. cvičení z PSI. 9. ledna Pro každý stav platí, že všechny hrany z něj vycházející mají stejnou pravděpodobnost.
4. cvičení z PSI 9. ledna 09 4. rozdělení po mnoha krocích) Markovův řetězec je dán obrázkem: 8 9 4 7 6 Pro každý stav platí, že všechny hrany z něj vycházející mají stejnou pravděpodobnost. a) Klasifikujte
VíceSeminární práce k předmětu Didaktika matematiky. Téma práce: Aplikační matematické úlohy
Seminární práce k předmětu Didaktika matematiky Téma práce: Aplikační matematické úlohy Vypracovala: Kateřina Fišerová 25. dubna 2009 Příklad 1 (Derivace funkce jedné proměnné) Do stejnosměrného elektrického
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceExponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
Více28.ročník. Milý řešiteli!
28.ročník 3.leták Milý řešiteli! Máme tady nový rok a s ním i další sérii KOperníkova Korespondenčního Semináře. Chtěli bychom Ti v tomto roce popřát jen to nejlepší, hodně vyřešených matematických úloh
VíceMatematická analýza III.
3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické
Více14. cvičení z PSI. 9. ledna 2018
cvičení z PSI 9 ledna 08 Asymptotické pravděpodobnosti stavů Najděte asymptotické pravděpodobnosti stavů Markovova řetězce s maticí přechodu / / / 0 P / / 0 / 0 0 0 0 0 0 jestliže počáteční stav je Příslušný
VíceMasarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.
Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru
Více