Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Transkript

1 Program

2 Primitivní funkce a Riemannův integrál Program

3 Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program

4 Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program

5 Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Extrémy funkcí více proměnných Program

6 VIII.2. Riemannův integrál opakování VIII.2. Riemannův integrál opakování VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

7 VIII.2. Riemannův integrál opakování VIII.2. Riemannův integrál opakování 2.56 S(f, D) = n M j (x j x j 1 ) j=1 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

8 VIII.2. Riemannův integrál opakování VIII.2. Riemannův integrál opakování S(f, D) = n M j (x j x j 1 ) S(f, D) = j=1 n m j (x j x j 1 ) j=1 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

9 VIII.2. Riemannův integrál opakování VIII.2. Riemannův integrál opakování S(f, D) = n M j (x j x j 1 ) S(f, D) = j=1 n m j (x j x j 1 ) j=1 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

10 VIII.2. Riemannův integrál opakování VIII.2. Riemannův integrál opakování S(f, D) = n M j (x j x j 1 ) S(f, D) = j=1 n m j (x j x j 1 ) j=1 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

11 VIII.2. Riemannův integrál opakování VIII.2. Riemannův integrál opakování S(f, D) = n M j (x j x j 1 ) S(f, D) = j=1 inf S(f, D)? = sup S(f, D) n m j (x j x j 1 ) j=1 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

12 VIII.2. Riemannův integrál opakování VIII.2. Riemannův integrál opakování n n S(f, D) = M j (x j x j 1 ) S(f, D) = m j (x j x j 1 ) j=1 b a j=1 f (x) dx := inf S(f, D) = sup S(f, D) VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

13 VIII.2. Riemannův integrál opakování Věta Necht f je spojitá funkce na intervalu a, b a necht c a, b. Označíme-li F(x) = x pak F (x) = f (x) pro každé x (a, b). c f (t) dt pro x (a, b), VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

14 VIII.3. Primitivní funkce VIII.3. Primitivní funkce VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

15 VIII.3. Primitivní funkce VIII.3. Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f na intervalu I, jestliže pro každé x I existuje F (x) a platí F (x) = f (x). VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

16 VIII.3. Primitivní funkce VIII.3. Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f na intervalu I, jestliže pro každé x I existuje F (x) a platí F (x) = f (x). Věta 7 (jednoznačnost primitivní funkce) Necht F a G jsou primitivní funkce k funkci f na otevřeném intervalu I. Pak existuje c R tak, že F(x) = G(x) + c pro každé x I. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

17 VIII.3. Primitivní funkce Poznámka Množinu všech primitivních funkcí k funkci f značíme symbolem f (x) dx. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

18 VIII.3. Primitivní funkce Poznámka Množinu všech primitivních funkcí k funkci f značíme symbolem f (x) dx. Skutečnost, že F je primitivní funkcí k f na I zapisujeme f (x) dx c = F(x), x I. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

19 VIII.3. Primitivní funkce Poznámka Množinu všech primitivních funkcí k funkci f značíme symbolem f (x) dx. Skutečnost, že F je primitivní funkcí k f na I zapisujeme f (x) dx c = F(x), x I. Věta 8 (o existenci primitivní funkce) Necht f je spojitá funkce na neprázdném otevřeném intervalu I. Pak f má na I primitivní funkci. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

20 VIII.3. Primitivní funkce Věta 9 (linearita neurčitého integrálu) Necht funkce f má na otevřeném intervalu I primitivní funkci F, funkce g má na I primitivní funkci G a α, β R. Potom funkce αf + βg je primitivní funkcí k αf + βg na I. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

21 VIII.3. Primitivní funkce Primitivní funkce k některým důležitým funkcím VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

22 VIII.3. Primitivní funkce Primitivní funkce k některým důležitým funkcím x n dx = c x n+1 na R pro n N {0}; n + 1 na (, 0) a na (0, ) pro n Z, n < 1, VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

23 VIII.3. Primitivní funkce Primitivní funkce k některým důležitým funkcím x n dx = c x n+1 na R pro n N {0}; n + 1 na (, 0) a na (0, ) pro n Z, n < 1, x α dx = c x α+1 na (0, + ) pro α R \ { 1}, α + 1 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

24 VIII.3. Primitivní funkce Primitivní funkce k některým důležitým funkcím x n dx = c x n+1 na R pro n N {0}; n + 1 na (, 0) a na (0, ) pro n Z, n < 1, x α dx = c x α+1 na (0, + ) pro α R \ { 1}, α x dx = c log x na (0, + ), VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

25 VIII.3. Primitivní funkce Primitivní funkce k některým důležitým funkcím x n dx = c x n+1 na R pro n N {0}; n + 1 na (, 0) a na (0, ) pro n Z, n < 1, x α dx = c x α+1 na (0, + ) pro α R \ { 1}, α x dx = c log x na (0, + ), 1 x dx = c log( x) na (, 0), VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

26 VIII.3. Primitivní funkce Primitivní funkce k některým důležitým funkcím x n dx = c x n+1 na R pro n N {0}; n + 1 na (, 0) a na (0, ) pro n Z, n < 1, x α dx = c x α+1 na (0, + ) pro α R \ { 1}, α x dx = c log x na (0, + ), 1 x dx = c log( x) na (, 0), e x dx = c e x na R, VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

27 VIII.3. Primitivní funkce sin x dx c = cos x na R, VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

28 VIII.3. Primitivní funkce sin x dx c = cos x na R, cos x dx c = sin x na R, VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

29 VIII.3. Primitivní funkce sin x dx = c cos x na R, cos x dx = c sin x na R, 1 cos 2 x dx = c tg x na každém z intervalů ( π + kπ, π + kπ), k Z, 2 2 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

30 VIII.3. Primitivní funkce sin x dx = c cos x na R, cos x dx = c sin x na R, 1 cos 2 x dx = c tg x na každém z intervalů ( π + kπ, π + kπ), k Z, sin 2 x dx = c cotg x na každém z intervalů (kπ, (k + 1)π), k Z, VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

31 VIII.3. Primitivní funkce sin x dx = c cos x na R, cos x dx = c sin x na R, 1 cos 2 x dx = c tg x na každém z intervalů ( π + kπ, π + kπ), k Z, sin 2 x dx = c cotg x na každém z intervalů (kπ, (k + 1)π), k Z, x dx = c arctg x na R, 2 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

32 VIII.3. Primitivní funkce sin x dx = c cos x na R, cos x dx = c sin x na R, 1 cos 2 x dx = c tg x na každém z intervalů ( π + kπ, π + kπ), k Z, sin 2 x dx = c cotg x na každém z intervalů (kπ, (k + 1)π), k Z, x dx = c arctg x na R, 2 1 dx = c arcsin x na ( 1, 1), 1 x 2 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

33 VIII.3. Primitivní funkce sin x dx = c cos x na R, cos x dx = c sin x na R, 1 cos 2 x dx = c tg x na každém z intervalů ( π + kπ, π + kπ), k Z, sin 2 x dx = c cotg x na každém z intervalů (kπ, (k + 1)π), k Z, x dx = c arctg x na R, 2 1 dx = c arcsin x na ( 1, 1), 1 x 2 1 dx = c arccos x na ( 1, 1). 1 x 2 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

34 VIII.3. Primitivní funkce Věta 10 (o substituci) (i) Necht F je primitivní funkce k f na (a, b). Necht je ϕ funkce definovaná na (α, β) s hodnotami v intervalu (a, b), která má v každém bodě t (α, β) vlastní derivaci. Pak f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt c = F ( ϕ(t) ) na (α, β). VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

35 VIII.3. Primitivní funkce Věta 10 (o substituci) (i) Necht F je primitivní funkce k f na (a, b). Necht je ϕ funkce definovaná na (α, β) s hodnotami v intervalu (a, b), která má v každém bodě t (α, β) vlastní derivaci. Pak f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt c = F ( ϕ(t) ) na (α, β). (ii) Necht funkce ϕ má v každém bodě intervalu (α, β) vlastní derivaci, která je bud všude kladná, nebo všude záporná, a ϕ ( (α, β) ) = (a, b). Necht funkce f je definovaná na intervalu (a, b) a platí f ( ϕ(t) ) ϕ c (t) dt = G(t) na (α, β). Pak f (x) dx = c G ( ϕ 1 (x) ) na (a, b). VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

36 VIII.3. Primitivní funkce Věta 11 (integrace per partes) Necht I je neprázdný otevřený interval, funkce f a g jsou spojité na I, F je primitivní funkce k f na I a G je primitivní funkce ke g na I. Pak platí g(x)f(x) dx = G(x)F(x) G(x)f (x) dx na I. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

37 VIII.3. Primitivní funkce Integrace racionálních funkcí Definice Racionální funkcí budeme rozumět podíl dvou polynomů, kde polynom ve jmenovateli není identicky roven nule. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

38 VIII.3. Primitivní funkce Integrace racionálních funkcí Definice Racionální funkcí budeme rozumět podíl dvou polynomů, kde polynom ve jmenovateli není identicky roven nule. Věta ( základní věta algebry ) Necht n N, a 0,..., a n C, a n 0. Pak rovnice a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 = 0 má alespoň jedno řešení z C. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

39 VIII.3. Primitivní funkce Lemma 12 (o dělení polynomů) Necht P a Q jsou dva polynomy (s komplexními koeficienty), přičemž polynom Q není identicky roven nule. Pak existují jednoznačně určené polynomy R a Z splňující: Polynom Z je nulový nebo má stupeň menší než stupeň Q. P(x) = R(x)Q(x) + Z (x) pro všechna x C. Pokud mají P a Q reálné koeficienty, mají i R a Z reálné koeficienty. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

40 VIII.3. Primitivní funkce Lemma 12 (o dělení polynomů) Necht P a Q jsou dva polynomy (s komplexními koeficienty), přičemž polynom Q není identicky roven nule. Pak existují jednoznačně určené polynomy R a Z splňující: Polynom Z je nulový nebo má stupeň menší než stupeň Q. P(x) = R(x)Q(x) + Z (x) pro všechna x C. Pokud mají P a Q reálné koeficienty, mají i R a Z reálné koeficienty. Důsledek Je-li P polynom a λ C je jeho kořen (tj. P(λ) = 0), pak existuje polynom R, pro který platí P(x) = (x λ)r(x) pro x C. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

41 VIII.3. Primitivní funkce Věta 13 (o rozkladu na kořenové činitele) Necht P(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 je polynom stupně n. Pak existují čísla x 1,..., x n C taková, že P(x) = a n (x x 1 ) (x x n ), x R. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

42 VIII.3. Primitivní funkce Věta 13 (o rozkladu na kořenové činitele) Necht P(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 je polynom stupně n. Pak existují čísla x 1,..., x n C taková, že P(x) = a n (x x 1 ) (x x n ), x R. Definice Necht P je polynom, λ C a k N. Řekneme, že λ je kořen násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynom R, který splňuje R(λ) 0 a P(x) = (x λ) k R(x) pro x C. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

43 VIII.3. Primitivní funkce Věta 13 (o rozkladu na kořenové činitele) Necht P(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 je polynom stupně n. Pak existují čísla x 1,..., x n C taková, že P(x) = a n (x x 1 ) (x x n ), x R. Definice Necht P je polynom, λ C a k N. Řekneme, že λ je kořen násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynom R, který splňuje R(λ) 0 a P(x) = (x λ) k R(x) pro x C. (Tj. násobnost kořene λ je rovna počtu výskytů čísla λ v n-tici x 1, x 2,..., x n z věty 13.) VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

44 VIII.3. Primitivní funkce Věta 14 (o kořenech polynomu s reálnými koeficienty) Necht P je polynom s reálnými koeficienty a z C je kořen P násobnosti k N. Pak i komplexně sdružené číslo z je kořenem P násobnosti k. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

45 VIII.3. Primitivní funkce Věta 15 (o rozkladu polynomu s reálnými koeficienty) Necht P(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 je polynom stupně n s reálnými koeficienty. Pak existují reálná čísla x 1,..., x k, α 1,..., α l, β 1,..., β l a přirozená čísla p 1,..., p k, q 1,..., q l taková, že P(x) = a n (x x 1 ) p 1 (x xk ) p k (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1 (x 2 + α l x + β l ) q l, VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

46 VIII.3. Primitivní funkce Věta 15 (o rozkladu polynomu s reálnými koeficienty) Necht P(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 je polynom stupně n s reálnými koeficienty. Pak existují reálná čísla x 1,..., x k, α 1,..., α l, β 1,..., β l a přirozená čísla p 1,..., p k, q 1,..., q l taková, že P(x) = a n (x x 1 ) p 1 (x xk ) p k (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1 (x 2 + α l x + β l ) q l, žádné dva z mnohočlenů x x 1, x x 2,..., x x k, x 2 + α 1 x + β 1,..., x 2 + α l x + β l nemají společný kořen, VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

47 VIII.3. Primitivní funkce Věta 15 (o rozkladu polynomu s reálnými koeficienty) Necht P(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 je polynom stupně n s reálnými koeficienty. Pak existují reálná čísla x 1,..., x k, α 1,..., α l, β 1,..., β l a přirozená čísla p 1,..., p k, q 1,..., q l taková, že P(x) = a n (x x 1 ) p 1 (x xk ) p k (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1 (x 2 + α l x + β l ) q l, žádné dva z mnohočlenů x x 1, x x 2,..., x x k, x 2 + α 1 x + β 1,..., x 2 + α l x + β l nemají společný kořen, mnohočleny x 2 + α 1 x + β 1,..., x 2 + α l x + β l nemají žádný reálný kořen. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

48 VIII.3. Primitivní funkce Věta 16 (o rozkladu na parciální zlomky) Necht P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že stupeň P je ostře menší než stupeň Q a Q(x) = a n (x x 1 ) p 1 (x xk ) p k (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1 (x 2 + α l x + β l ) q l je rozklad polynomu Q(x) z věty 15. Pak existují jednoznačně určená reálná čísla A 1 1,..., A1 p 1,..., A k 1,..., Ak p k, B 1 1, C1 1,..., B1 q 1, C 1 q 1,..., B l 1, Cl 1,..., Bl q l, C l q l taková, že platí P(x) Q(x) = VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

49 VIII.3. Primitivní funkce Věta 16 (o rozkladu na parciální zlomky) Necht P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že stupeň P je ostře menší než stupeň Q a Q(x) = a n (x x 1 ) p 1 (x xk ) p k (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1 (x 2 + α l x + β l ) q l je rozklad polynomu Q(x) z věty 15. Pak existují jednoznačně určená reálná čísla A 1 1,..., A1 p 1,..., A k 1,..., Ak p k, B 1 1, C1 1,..., B1 q 1, C 1 q 1,..., B l 1, Cl 1,..., Bl q l, C l q l P(x) Q(x) = A1 1 (x x 1 ) + + A1 p 1 (x x 1 ) p 1 + taková, že platí VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

50 VIII.3. Primitivní funkce Věta 16 (o rozkladu na parciální zlomky) Necht P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že stupeň P je ostře menší než stupeň Q a Q(x) = a n (x x 1 ) p 1 (x xk ) p k (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1 (x 2 + α l x + β l ) q l je rozklad polynomu Q(x) z věty 15. Pak existují jednoznačně určená reálná čísla A 1 1,..., A1 p 1,..., A k 1,..., Ak p k, B 1 1, C1 1,..., B1 q 1, C 1 q 1,..., B l 1, Cl 1,..., Bl q l, C l q l taková, že platí P(x) Q(x) = A1 1 (x x 1 ) + + A1 p 1 (x x 1 ) p Ak 1 (x x k ) Ak p k (x x k ) p k VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

51 VIII.3. Primitivní funkce Věta 16 (o rozkladu na parciální zlomky) Necht P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že stupeň P je ostře menší než stupeň Q a Q(x) = a n (x x 1 ) p 1 (x xk ) p k (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1 (x 2 + α l x + β l ) q l je rozklad polynomu Q(x) z věty 15. Pak existují jednoznačně určená reálná čísla A 1 1,..., A1 p 1,..., A k 1,..., Ak p k, B 1 1, C1 1,..., B1 q 1, C 1 q 1,..., B l 1, Cl 1,..., Bl q l, C l q l taková, že platí P(x) Q(x) = A1 1 (x x 1 ) + + A1 p 1 (x x 1 ) p Ak 1 (x x k ) B1 1 x+c1 1 (x 2 +α 1 x+β 1 ) + + B1 q 1 x+c 1 q 1 (x 2 +α 1 x+β 1 ) q Ak p k (x x k ) p k VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

52 VIII.3. Primitivní funkce Věta 16 (o rozkladu na parciální zlomky) Necht P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že stupeň P je ostře menší než stupeň Q a Q(x) = a n (x x 1 ) p 1 (x xk ) p k (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1 (x 2 + α l x + β l ) q l je rozklad polynomu Q(x) z věty 15. Pak existují jednoznačně určená reálná čísla A 1 1,..., A1 p 1,..., A k 1,..., Ak p k, B 1 1, C1 1,..., B1 q 1, C 1 q 1,..., B l 1, Cl 1,..., Bl q l, C l q l taková, že platí P(x) Q(x) = A1 1 (x x 1 ) + + A1 p 1 (x x 1 ) p Ak 1 (x x k ) B1 1 x+c1 1 (x 2 +α 1 x+β 1 ) + + B1 q 1 x+c 1 q 1 (x 2 +α 1 x+β 1 ) q Bl 1 x+cl 1 (x 2 +α l x+β l ) + + Bl q l x+c l q l (x 2 +α l x+β l ) q l. Ak p k (x x k ) p k VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

53 VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

54 VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu Definice Necht f je spojitá funkce na (a, b), a < b + a necht c (a, b). Nevlastním Riemannovým integrálem od a do b z funkce f rozumíme c lim α a+ α f (x) dx + lim β b β c f (x) dx, pokud limity existují a jejich součet má smysl. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

55 VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu Věta 17 (Newtonův vzorec) Necht f je spojitá na intervalu (a, b), a < b, a necht F je primitivní funkce k f na (a, b). 1. Integrál b f (x) dx existuje, právě když existují limity a lim x a+ F(x), lim x b F(x) a jejich rozdíl má smysl. V tomto případě platí b a f (x) dx = lim x b F(x) lim x a+ F(x). (1) VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

56 VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu Věta 17 (Newtonův vzorec) Necht f je spojitá na intervalu (a, b), a < b, a necht F je primitivní funkce k f na (a, b). 1. Integrál b f (x) dx existuje, právě když existují limity a lim x a+ F(x), lim x b F(x) a jejich rozdíl má smysl. V tomto případě platí b a f (x) dx = lim x b F(x) lim x a+ F(x). (1) 2. Pokud a, b R a f je spojitá na (omezeném!) uzavřeném intervalu a, b, pak existují vlastní limity lim x a+ F(x), lim x b F(x) a platí (1). VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

57 VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu Důsledek 18 (linearita Riemannova Integrálu) Necht f, g jsou spojité na intervalu (a, b), a < b + a mají nevlastní Riemannovy integrály na tomto intervalu. Necht α, β R. Pak platí b a b b αf (x) + βg(x) dx = α f (x) dx + β g(x) dx, a a pokud má výraz na pravé straně smysl. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

58 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

59 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Definice Řekneme, že A R n je buňka, jestliže A = a 1, b 1 a 2, b 2 a n, b n, přičemž < a i < b i < +, i = 1,..., n. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

60 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Definice Řekneme, že A R n je buňka, jestliže A = a 1, b 1 a 2, b 2 a n, b n, přičemž < a i < b i < +, i = 1,..., n. Objem buňky A budeme značit symbolem vol A a definujeme jej jako vol A = n (b i a i ). i=1 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

61 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Definice Necht I = a, b, a < b. Řekneme, že posloupnost intervalů { x j 1, x j } k j=1 je dělením intervalu I, jestliže a = x 0 < x 1 < < x k = b. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

62 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Definice Necht I = a, b, a < b. Řekneme, že posloupnost intervalů { x j 1, x j } k j=1 je dělením intervalu I, jestliže a = x 0 < x 1 < < x k = b. Necht A = I 1 I 2 I n R n je buňka. Řekneme, že systém D složený z buněk je dělením buňky A, jestliže D = {J 1 J n ; J 1 D 1,..., J n D n }, kde D j je dělením intervalu I j, j = 1,..., n. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

63 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Definice Necht A je buňka a D, D 0 jsou dvě dělení buňky A. Řekneme, že dělení D je zjemněním dělení D 0, jestliže každá buňka dělení D je obsažena v nějaké buňce dělení D 0. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

64 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Definice Necht A je buňka a D, D 0 jsou dvě dělení buňky A. Řekneme, že dělení D je zjemněním dělení D 0, jestliže každá buňka dělení D je obsažena v nějaké buňce dělení D 0. Normou dělení D rozumíme číslo ν(d) = max { sup ρ(x, y)}. D D x,y D VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

65 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Integrace funkce přes buňku Definice Necht A R n je buňka a f je funkce definovaná alespoň na A, kde je omezená. Označme S(f, D) = sup f vol D, D D D S(f, D) = D D inf f vol D, D VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

66 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Integrace funkce přes buňku Definice Necht A R n je buňka a f je funkce definovaná alespoň na A, kde je omezená. Označme S(f, D) = sup f vol D, D D D S(f, D) = inf f vol D, D D D f = inf{s(f, D); D je dělení A}, A f = sup{s(f, D); D je dělení A}. A VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

67 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Definice V případě, že f = f, definujeme zobecněný A A Riemannův integrál funkce f přes buňku A jako f = f. A A Někdy používáme také symbol f (x) dx, kde je A vyznačena proměnná funkce f. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

68 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Poznámka Pokud D 1, D 2 jsou dvě dělení buňky A a D je dělení buňky A zjemňující D 1 i D 2, pak S(f, D 1 ) S(f, D) S(f, D) S(f, D 2 ). VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

69 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Poznámka Pokud D 1, D 2 jsou dvě dělení buňky A a D je dělení buňky A zjemňující D 1 i D 2, pak S(f, D 1 ) S(f, D) S(f, D) S(f, D 2 ). Odtud lze snadno odvodit A f A f. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

70 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Lemma 19 (ekvivalentní definice vícerozměrného integrálu) Necht f je funkce omezená na buňce A R n. (a) f = I R právě tehdy, když ke každému ε R, A ε > 0 existuje dělení D buňky A takové, že I ε < S(f, D) S(f, D) < I + ε. (b) Funkce f má na buňce A zobecněný Riemannův integrál právě tehdy, když ke každému ε R, ε > 0 existuje dělení D buňky A takové, že S(f, D) S(f, D) < ε. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

71 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Tvrzení 20 (integrál přes rozdělenou buňku) Necht f je funkce omezená na buňce A R n a necht D je dělení buňky A. Jestliže pro každé D D existuje D f, pak existuje i A f a platí A f = D D D f. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

72 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Tvrzení 20 (integrál přes rozdělenou buňku) Necht f je funkce omezená na buňce A R n a necht D je dělení buňky A. Jestliže pro každé D D existuje D f, pak existuje i A f a platí A f = D D D f. Důsledek 21 Necht A, B R n jsou buňky, A B. Necht f je funkce definovaná alespoň na B, pro kterou platí f (x) = 0 pokud x B \ A. Potom jestliže existuje A f, pak existuje i B f a oba integrály se rovnají. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

73 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Integrace funkce přes množinu Definice Necht M R n a f je funkce n proměnných, která je definována alespoň na M a je na M omezená. Definujme funkci f : R n R takto: f (x) = {f (x) x M, 0 x R n \ M. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

74 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Integrace funkce přes množinu Definice Necht M R n a f je funkce n proměnných, která je definována alespoň na M a je na M omezená. Definujme funkci f : R n R takto: f (x) = {f (x) x M, 0 x R n \ M. Zobecněný Riemannův integrál f definujeme jako M f = lim f, M r + r,r n pokud uvedená limita existuje. (Především tedy musí existovat r,r n f pro všechna r (0, + ).) VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

75 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Pokud integrál funkce f přes množinu M R n existuje a přitom je konečný, pak říkáme, že f konverguje. Pokud M je roven + nebo, pak říkáme, že diverguje. Máme pak následující schéma: reálnému číslu, tj. konverguje; existuje a je roven +, tj. diverguje; f M, tj. diverguje; neexistuje. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

76 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Věta 22 (linearita vícerozměrného integrálu) Necht M R n, α R \ {0} a f a g jsou funkce n proměnných takové, že integrály M f a M g existují. Potom (i) (f + g) existuje a platí M (f + g) = M M f + pokud má výraz na pravé straně rovnosti smysl. M g, (ii) M αf existuje a platí M αf = α f. M VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

77 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Věta 23 (integrál přes sjednocení množin) Necht M, N R n, M N = a f je funkce n proměnných taková, že integrály f a f existují. Potom existuje i M N integrál f a platí M N f = f + f, M N pokud má výraz na pravé straně rovnosti smysl. M N VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

78 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Věta 24 (integrál a uspořádání) Necht M R n a f a g jsou funkce n proměnných takové, že integrály M f a M g existují. (i) Je-li f 0, potom i M f 0. (ii) Je-li f g, potom i M f M g. (iii) f existuje a platí M M f M f. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

79 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Věta 25 (o konvergenci a existenci integrálu) (i) Necht K R n je omezená konvexní množina a f je omezená funkce na K, která je spojitá ve všech bodech K (vzhledem ke K ) vyjma nejvýše konečně mnoha bodů z K. Potom K f konverguje. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

80 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Věta 25 (o konvergenci a existenci integrálu) (i) Necht K R n je omezená konvexní množina a f je omezená funkce na K, která je spojitá ve všech bodech K (vzhledem ke K ) vyjma nejvýše konečně mnoha bodů z K. Potom K f konverguje. (ii) Necht K R n je konvexní množina a f je omezená nezáporná funkce na K, která je spojitá ve všech bodech K (vzhledem ke K ) vyjma nejvýše konečně mnoha bodů z K. Potom K f existuje. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

81 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Věta 26 (Fubiniova věta) (i) Necht M 1 R m a M 2 R n. Předpokládejme dále, že množiny M 1 a M 2 jsou buňky. Necht f je funkce definovaná alespoň na M 1 M 2 a necht existuje M 1 M 2 f. Pokud pro každé x M 1 existuje F(x) = M 2 f (x, y) dy R, potom platí f = F(x) dx. M 1 M 2 M 1 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

82 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Věta 26 (Fubiniova věta) (i) Necht M 1 R m a M 2 R n. Předpokládejme dále, že množiny M 1 a M 2 jsou buňky. Necht f je funkce definovaná alespoň na M 1 M 2 a necht existuje M 1 M 2 f. Pokud pro každé x M 1 existuje F(x) = M 2 f (x, y) dy R, potom platí f = F(x) dx. M 1 M 2 M 1 (ii) Necht f : R m R n R je nezáporná funkce a necht existuje f. Pokud pro každé x R m existuje R m R n F(x) = f (x, y) dy R a pokud existuje R n F(x) dx, pak platí R m f = F(x) dx. R m R n R m VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

83 IX.1. Vektorové prostory IX.1. Vektorové prostory IX. Lineární algebra

84 IX.1. Vektorové prostory IX.1. Vektorové prostory Symbol K značí množinu R nebo C. IX. Lineární algebra

85 IX.1. Vektorové prostory Definice Vektorovým prostorem nad K rozumíme trojici (V, +, ), kde V je neprázdná množina, + je operace z V V do V a je operace z K V do V, přičemž tyto operace mají následující vlastnosti: IX. Lineární algebra

86 IX.1. Vektorové prostory Definice u, v V : u + v = v + u (komutativita sčítání), IX. Lineární algebra

87 IX.1. Vektorové prostory Definice u, v V : u + v = v + u (komutativita sčítání), u, v, w V : (u + v) + w = u + (v + w) (asociativita sčítání), IX. Lineární algebra

88 IX.1. Vektorové prostory Definice u, v V : u + v = v + u (komutativita sčítání), u, v, w V : (u + v) + w = u + (v + w) (asociativita sčítání), množina V obsahuje prvek, který značíme o (a říkáme mu nulový prvek), splňující v V : o + v = v. IX. Lineární algebra

89 IX.1. Vektorové prostory Definice u, v V : u + v = v + u (komutativita sčítání), u, v, w V : (u + v) + w = u + (v + w) (asociativita sčítání), množina V obsahuje prvek, který značíme o (a říkáme mu nulový prvek), splňující v V : o + v = v. v V w V : v + w = o, IX. Lineární algebra

90 IX.1. Vektorové prostory Definice u, v V : u + v = v + u (komutativita sčítání), u, v, w V : (u + v) + w = u + (v + w) (asociativita sčítání), množina V obsahuje prvek, který značíme o (a říkáme mu nulový prvek), splňující v V : o + v = v. v V w V : v + w = o, a, b K v V : a (b v) = (ab) v, IX. Lineární algebra

91 IX.1. Vektorové prostory Definice u, v V : u + v = v + u (komutativita sčítání), u, v, w V : (u + v) + w = u + (v + w) (asociativita sčítání), množina V obsahuje prvek, který značíme o (a říkáme mu nulový prvek), splňující v V : o + v = v. v V w V : v + w = o, a, b K v V : a (b v) = (ab) v, a, b K v V : (a + b) v = a v + b v, IX. Lineární algebra

92 IX.1. Vektorové prostory Definice u, v V : u + v = v + u (komutativita sčítání), u, v, w V : (u + v) + w = u + (v + w) (asociativita sčítání), množina V obsahuje prvek, který značíme o (a říkáme mu nulový prvek), splňující v V : o + v = v. v V w V : v + w = o, a, b K v V : a (b v) = (ab) v, a, b K v V : (a + b) v = a v + b v, a K u, v V : a (u + v) = a u + a v, IX. Lineární algebra

93 IX.1. Vektorové prostory Definice u, v V : u + v = v + u (komutativita sčítání), u, v, w V : (u + v) + w = u + (v + w) (asociativita sčítání), množina V obsahuje prvek, který značíme o (a říkáme mu nulový prvek), splňující v V : o + v = v. v V w V : v + w = o, a, b K v V : a (b v) = (ab) v, a, b K v V : (a + b) v = a v + b v, a K u, v V : a (u + v) = a u + a v, v V : 1 v = v. IX. Lineární algebra

94 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor nad K a U V, U. Řekneme, že U je vektorový podprostor prostoru V, jestliže u, v U : u + v U, IX. Lineární algebra

95 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor nad K a U V, U. Řekneme, že U je vektorový podprostor prostoru V, jestliže u, v U : u + v U, a K u U : a u U. IX. Lineární algebra

96 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor, m N, u 1,..., u m V a λ 1,..., λ m K. Výraz λ 1 u λ m u m nazýváme lineární kombinací vektorů u 1,..., u m. IX. Lineární algebra

97 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor, m N, u 1,..., u m V a λ 1,..., λ m K. Výraz λ 1 u λ m u m nazýváme lineární kombinací vektorů u 1,..., u m. Pokud alespoň jedno z čísel λ 1,..., λ m je nenulové, pak hovoříme o netriviální lineární kombinaci, v opačném případě jde o triviální lineární kombinaci. IX. Lineární algebra

98 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor, m N, u 1,..., u m V a λ 1,..., λ m K. Výraz λ 1 u λ m u m nazýváme lineární kombinací vektorů u 1,..., u m. Pokud alespoň jedno z čísel λ 1,..., λ m je nenulové, pak hovoříme o netriviální lineární kombinaci, v opačném případě jde o triviální lineární kombinaci. Lineární kombinací prázdné množiny vektorů rozumíme nulový vektor. IX. Lineární algebra

99 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor, u 1,..., u m V. Řekneme, že vektory u 1,..., u m jsou lineárně závislé, pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež je rovna nulovému vektoru. IX. Lineární algebra

100 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor, u 1,..., u m V. Řekneme, že vektory u 1,..., u m jsou lineárně závislé, pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež je rovna nulovému vektoru. Pokud vektory u 1,..., u m nejsou lineárně závislé, pak říkáme, že jsou lineárně nezávislé. IX. Lineární algebra

101 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor, u 1,..., u m V. Řekneme, že vektory u 1,..., u m jsou lineárně závislé, pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež je rovna nulovému vektoru. Pokud vektory u 1,..., u m nejsou lineárně závislé, pak říkáme, že jsou lineárně nezávislé. Řekneme, že množina M V je lineárně nezávislá, jestliže libovolná m-tice po dvou různých vektorů z M je lineárně nezávislá. IX. Lineární algebra

102 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor, u 1,..., u m V. Řekneme, že vektory u 1,..., u m jsou lineárně závislé, pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež je rovna nulovému vektoru. Pokud vektory u 1,..., u m nejsou lineárně závislé, pak říkáme, že jsou lineárně nezávislé. Řekneme, že množina M V je lineárně nezávislá, jestliže libovolná m-tice po dvou různých vektorů z M je lineárně nezávislá. Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor, M V. Řekneme, že množina M generuje V, jestliže každý vektor z V je lineární kombinací konečně mnoha vektorů z M. IX. Lineární algebra

103 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor a B V. Řekneme, že B je báze prostoru V, jestliže množina B je lineárně nezávislá a generuje V. IX. Lineární algebra

104 IX.1. Vektorové prostory Věta 1 (o bázi vektorového prostoru) (i) Každou lineárně nezávislou podmnožinu vektorového prostoru lze doplnit na bázi tohoto prostoru. IX. Lineární algebra

105 IX.1. Vektorové prostory Věta 1 (o bázi vektorového prostoru) (i) Každou lineárně nezávislou podmnožinu vektorového prostoru lze doplnit na bázi tohoto prostoru. (ii) Každý vektorový prostor má bázi. IX. Lineární algebra

106 IX.1. Vektorové prostory Věta 1 (o bázi vektorového prostoru) (i) Každou lineárně nezávislou podmnožinu vektorového prostoru lze doplnit na bázi tohoto prostoru. (ii) Každý vektorový prostor má bázi. (iii) Počet prvků báze prostoru V je určen jednoznačně a nazýváme ho dimenze prostoru V (značíme dim V ). IX. Lineární algebra

107 IX.1. Vektorové prostory Věta 1 (o bázi vektorového prostoru) (i) Každou lineárně nezávislou podmnožinu vektorového prostoru lze doplnit na bázi tohoto prostoru. (ii) Každý vektorový prostor má bázi. (iii) Počet prvků báze prostoru V je určen jednoznačně a nazýváme ho dimenze prostoru V (značíme dim V ). Definice Je-li dim V < +, řekneme, že V je konečněrozměrný (konečnědimenzionální). Je-li dim V = +, mluvíme o nekonečněrozměrném (nekonečnědimenzionálním) vektorovém prostoru. IX. Lineární algebra

108 IX.1. Vektorové prostory Tvrzení 2 (o bázi konečněrozměrného prostoru) Necht V je vektorový prostor dimenze n N nad K. (i) Jsou-li v 1,..., v n lineárně nezávislé vektory v prostoru V, pak množina {v 1,..., v n } je bází prostoru V. IX. Lineární algebra

109 IX.1. Vektorové prostory Tvrzení 2 (o bázi konečněrozměrného prostoru) Necht V je vektorový prostor dimenze n N nad K. (i) Jsou-li v 1,..., v n lineárně nezávislé vektory v prostoru V, pak množina {v 1,..., v n } je bází prostoru V. (ii) Jestliže pro vektory v 1,..., v n V platí lin K {v 1,..., v n } = V, je množina {v 1,..., v n } bází prostoru V. IX. Lineární algebra

110 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic IX. Lineární algebra

111 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Definice Necht U a V jsou vektorové prostory nad K. Zobrazení L: U V se nazývá lineární, jestliže platí: u 1, u 2 U : L(u 1 + u 2 ) = L(u 1 ) + L(u 2 ), IX. Lineární algebra

112 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Definice Necht U a V jsou vektorové prostory nad K. Zobrazení L: U V se nazývá lineární, jestliže platí: u 1, u 2 U : L(u 1 + u 2 ) = L(u 1 ) + L(u 2 ), a K u U : L(au) = al(u). IX. Lineární algebra

113 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Definice Necht U a V jsou vektorové prostory nad K, L: U V necht je lineární zobrazení. Jádrem lineárního zobrazení L nazveme množinu Ker(L) = L 1 ({o}) = {u U : L(u) = o}. IX. Lineární algebra

114 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Definice Necht U a V jsou vektorové prostory nad K, L: U V necht je lineární zobrazení. Jádrem lineárního zobrazení L nazveme množinu Ker(L) = L 1 ({o}) = {u U : L(u) = o}. Symbolem Im(L) značíme obor hodnot zobrazení L, tedy Im L = L(U) = {v V ; u U : L(u) = v}. IX. Lineární algebra

115 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Věta 3 (vlastnosti jádra a obrazu) Necht U a V jsou vektorové prostory nad K, L: U V necht je lineární zobrazení. Potom platí: (i) Množina Ker(L) je vektorovým podprostorem U. IX. Lineární algebra

116 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Věta 3 (vlastnosti jádra a obrazu) Necht U a V jsou vektorové prostory nad K, L: U V necht je lineární zobrazení. Potom platí: (i) Množina Ker(L) je vektorovým podprostorem U. (ii) Množina Im(L) je vektorovým podprostorem V. IX. Lineární algebra

117 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Věta 3 (vlastnosti jádra a obrazu) Necht U a V jsou vektorové prostory nad K, L: U V necht je lineární zobrazení. Potom platí: (i) Množina Ker(L) je vektorovým podprostorem U. (ii) Množina Im(L) je vektorovým podprostorem V. (iii) Pro dimenze platí: dim U = dim Ker(L) + dim Im(L). IX. Lineární algebra

118 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Necht U, V jsou vektorové prostory, L: U V je lineární zobrazení a b V. Uvažujme rovnici L(x) = b. (2) IX. Lineární algebra

119 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Necht U, V jsou vektorové prostory, L: U V je lineární zobrazení a b V. Uvažujme rovnici L(x) = b. (2) Věta 4 (řešení nehomogenní rovnice) Necht x 0 U je řešením rovnice (2). Potom množina {x 0 + w : w Ker(L)} je množinou všech řešení rovnice (2). IX. Lineární algebra

120 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Necht A M(m n), b R m. Uvažujme soustavu m rovnic o n neznámých Ax = b. (3) IX. Lineární algebra

121 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Necht A M(m n), b R m. Uvažujme soustavu m rovnic o n neznámých Ax = b. (3) Důsledek 5 Má-li soustava (3) řešení x 0 R n, pak množina všech řešení má tvar {x 0 + w : Aw = o}. IX. Lineární algebra

122 IX.3. Bilineární formy IX.3. Bilineární formy IX. Lineární algebra

123 IX.3. Bilineární formy IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že zobrazení B : R n R n R je bilineární forma, jestliže platí: (i) u, v, w R n : B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w), IX. Lineární algebra

124 IX.3. Bilineární formy IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že zobrazení B : R n R n R je bilineární forma, jestliže platí: (i) u, v, w R n : B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w), (ii) a R u, v R n : B(au, v) = ab(u, v), IX. Lineární algebra

125 IX.3. Bilineární formy IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že zobrazení B : R n R n R je bilineární forma, jestliže platí: (i) u, v, w R n : B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w), (ii) a R u, v R n : B(au, v) = ab(u, v), (iii) u, v, w R n : B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w), IX. Lineární algebra

126 IX.3. Bilineární formy IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že zobrazení B : R n R n R je bilineární forma, jestliže platí: (i) u, v, w R n : B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w), (ii) a R u, v R n : B(au, v) = ab(u, v), (iii) u, v, w R n : B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w), (iv) a R u, v R n : B(u, av) = ab(u, v). IX. Lineární algebra

127 IX.3. Bilineární formy Věta 6 (reprezentace bilineárních forem) Zobrazení B : R n R n R je bilineární forma, právě když existuje matice A M(n n) taková, že u, v R n : B(u, v) = u T Av. IX. Lineární algebra

128 IX.3. Bilineární formy Věta 6 (reprezentace bilineárních forem) Zobrazení B : R n R n R je bilineární forma, právě když existuje matice A M(n n) taková, že u, v R n : B(u, v) = u T Av. Definice Matice A M(n n) z předchozí věty se nazývá reprezentující maticí formy B. IX. Lineární algebra

129 IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že bilineární forma B : R n R n R je symetrická, jestliže platí u, v R n : B(u, v) = B(v, u). IX. Lineární algebra

130 IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že bilineární forma B : R n R n R je symetrická, jestliže platí u, v R n : B(u, v) = B(v, u). Poznámka Bilineární forma B je symetrická, právě když její reprezentující matice A je symetrická, tj. A = A T. IX. Lineární algebra

131 IX.3. Bilineární formy Definice Necht B : R n R n R je symetrická bilineární forma. Řekneme, že B je pozitivně definitní (PD), jestliže u R n, u o : B(u, u) > 0, IX. Lineární algebra

132 IX.3. Bilineární formy Definice Necht B : R n R n R je symetrická bilineární forma. Řekneme, že B je pozitivně definitní (PD), jestliže u R n, u o : B(u, u) > 0, negativně definitní (ND), jestliže u R n, u o : B(u, u) < 0, IX. Lineární algebra

133 IX.3. Bilineární formy Definice Necht B : R n R n R je symetrická bilineární forma. Řekneme, že B je pozitivně definitní (PD), jestliže u R n, u o : B(u, u) > 0, negativně definitní (ND), jestliže u R n, u o : B(u, u) < 0, pozitivně semidefinitní (PSD), jestliže u R n : B(u, u) 0, IX. Lineární algebra

134 IX.3. Bilineární formy Definice Necht B : R n R n R je symetrická bilineární forma. Řekneme, že B je pozitivně definitní (PD), jestliže u R n, u o : B(u, u) > 0, negativně definitní (ND), jestliže u R n, u o : B(u, u) < 0, pozitivně semidefinitní (PSD), jestliže u R n : B(u, u) 0, negativně semidefinitní (NSD), jestliže u R n : B(u, u) 0, IX. Lineární algebra

135 IX.3. Bilineární formy Definice Necht B : R n R n R je symetrická bilineární forma. Řekneme, že B je pozitivně definitní (PD), jestliže u R n, u o : B(u, u) > 0, negativně definitní (ND), jestliže u R n, u o : B(u, u) < 0, pozitivně semidefinitní (PSD), jestliže u R n : B(u, u) 0, negativně semidefinitní (NSD), jestliže u R n : B(u, u) 0, indefinitní (ID), neplatí-li nic z předchozího, tj. u, v R n : B(u, u) > 0 & B(v, v) < 0. IX. Lineární algebra

136 IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že matice A = (a ij ) M(n n) je diagonální, jestliže a ij = 0 pro každé i, j {1,..., n}, i j. IX. Lineární algebra

137 IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že matice A = (a ij ) M(n n) je diagonální, jestliže a ij = 0 pro každé i, j {1,..., n}, i j. Tvrzení 7 (definitnost diagonální matice) Necht A = (a ij ) M(n n) je diagonální. Pak platí: A je PD, právě když a ii > 0, i = 1,..., n; IX. Lineární algebra

138 IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že matice A = (a ij ) M(n n) je diagonální, jestliže a ij = 0 pro každé i, j {1,..., n}, i j. Tvrzení 7 (definitnost diagonální matice) Necht A = (a ij ) M(n n) je diagonální. Pak platí: A je PD, právě když a ii > 0, i = 1,..., n; A je ND, právě když a ii < 0, i = 1,..., n; IX. Lineární algebra

139 IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že matice A = (a ij ) M(n n) je diagonální, jestliže a ij = 0 pro každé i, j {1,..., n}, i j. Tvrzení 7 (definitnost diagonální matice) Necht A = (a ij ) M(n n) je diagonální. Pak platí: A je PD, právě když a ii > 0, i = 1,..., n; A je ND, právě když a ii < 0, i = 1,..., n; A je PSD, právě když a ii 0, i = 1,..., n; IX. Lineární algebra

140 IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že matice A = (a ij ) M(n n) je diagonální, jestliže a ij = 0 pro každé i, j {1,..., n}, i j. Tvrzení 7 (definitnost diagonální matice) Necht A = (a ij ) M(n n) je diagonální. Pak platí: A je PD, právě když a ii > 0, i = 1,..., n; A je ND, právě když a ii < 0, i = 1,..., n; A je PSD, právě když a ii 0, i = 1,..., n; A je NSD, právě když a ii 0, i = 1,..., n; IX. Lineární algebra

141 IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že matice A = (a ij ) M(n n) je diagonální, jestliže a ij = 0 pro každé i, j {1,..., n}, i j. Tvrzení 7 (definitnost diagonální matice) Necht A = (a ij ) M(n n) je diagonální. Pak platí: A je PD, právě když a ii > 0, i = 1,..., n; A je ND, právě když a ii < 0, i = 1,..., n; A je PSD, právě když a ii 0, i = 1,..., n; A je NSD, právě když a ii 0, i = 1,..., n; A je ID, právě když existují taková i, j {1,..., n}, že a ii > 0 a a jj < 0. IX. Lineární algebra

142 IX.3. Bilineární formy Definice Symetrickou elementární úpravou matice A M(n n) budeme rozumět úpravu, kdy provedeme jistou elementární řádkovou úpravu matice A a vzniklou matici upravíme odpovídající sloupcovou úpravou. Symetrickou transformací matice A budeme rozumět konečnou posloupnost symetrických elementárních úprav. IX. Lineární algebra

143 IX.3. Bilineární formy Lemma 8 (o matici transformace) Necht T je transformace matic o m řádcích. Potom existuje regulární matice B M(m m) taková, že kdykoli A M(m n) vznikla z A M(m n) pomocí T, tak platí BA = A. IX. Lineární algebra

144 IX.3. Bilineární formy Lemma 8 (o matici transformace) Necht T je transformace matic o m řádcích. Potom existuje regulární matice B M(m m) taková, že kdykoli A M(m n) vznikla z A M(m n) pomocí T, tak platí BA = A. Věta 9 (o matici symetrické transformace) Uvažujme symetrickou transformaci T matic typu n n. Potom existuje regulární matice B M(n n) taková, že kdykoli matice A M(n n) vznikne z A M(n n) pomocí T, tak platí BAB T = A. IX. Lineární algebra

145 IX.3. Bilineární formy Lemma 10 (o symetrické transformaci symetrické matice) (i) Je-li A M(n n) symetrická matice a C M(n n), pak CAC T je opět symetrická matice. (ii) Symetrická transformace zachovává symetrii matice. IX. Lineární algebra

146 IX.3. Bilineární formy Lemma 10 (o symetrické transformaci symetrické matice) (i) Je-li A M(n n) symetrická matice a C M(n n), pak CAC T je opět symetrická matice. (ii) Symetrická transformace zachovává symetrii matice. Věta 11 (symetrické transformace a definitnost) Necht A M(n n) je symetrická matice a necht B M(n n) vznikla z A pomocí symetrické transformace. Matice A je pozitivně definitní (negativně definitní, pozitivně semidefinitní, negativně semidefinitní, indefinitní), právě když B je pozitivně definitní (negativně definitní,... ). IX. Lineární algebra

147 IX.3. Bilineární formy Věta 12 (diagonalizace symetrické matice) Necht A M(n n) je symetrická matice. Pak ji lze symetrickou transformací převést na diagonální matici. IX. Lineární algebra

148 IX.3. Bilineární formy Věta 13 (Sylvestrovo kritérium) Necht A = (a ij ) M(n n) je symetrická matice. Pak A je pozitivně definitní, právě když a a 1k.. > 0 pro každé k = 1,..., n, a k1... a kk IX. Lineární algebra

149 IX.3. Bilineární formy Věta 13 (Sylvestrovo kritérium) Necht A = (a ij ) M(n n) je symetrická matice. Pak A je pozitivně definitní, právě když a a 1k.. > 0 pro každé k = 1,..., n, a k1... a kk negativně definitní, právě když a a 1k ( 1) k.. > 0 pro každé k = 1,..., n, a k1... a kk IX. Lineární algebra

150 IX.3. Bilineární formy pozitivně semidefinitní, právě když pro každou k-tici přirozených čísel 1 i 1 < < i k n, k = 1,..., n, platí a i1 i 1... a i1 i k.. 0, a ik i 1... a ik i k IX. Lineární algebra

151 IX.3. Bilineární formy pozitivně semidefinitní, právě když pro každou k-tici přirozených čísel 1 i 1 < < i k n, k = 1,..., n, platí a i1 i 1... a i1 i k.. 0, a ik i 1... a ik i k negativně semidefinitní, právě když pro každou k-tici přirozených čísel 1 i 1 < < i k n, k = 1,..., n, platí a i1 i 1... a i1 i k ( 1) k.. 0. a ik i 1... a ik i k IX. Lineární algebra

152 IX.4. Vlastní čísla a vektory IX.4. Vlastní čísla a vektory IX. Lineární algebra

153 IX.4. Vlastní čísla a vektory IX.4. Vlastní čísla a vektory Definice Necht A M(n n). Řekneme, že λ C je vlastní číslo matice A, jestliže existuje nenulový vektor x C n takový, že Ax = λx. Vektor x pak nazýváme vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu λ. IX. Lineární algebra

154 IX.4. Vlastní čísla a vektory IX.4. Vlastní čísla a vektory Definice Necht A M(n n). Řekneme, že λ C je vlastní číslo matice A, jestliže existuje nenulový vektor x C n takový, že Ax = λx. Vektor x pak nazýváme vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu λ. Věta 14 Necht A M(n n). (i) Prvek λ C je vlastním číslem matice A, právě když det(λi A) = 0. IX. Lineární algebra

155 IX.4. Vlastní čísla a vektory IX.4. Vlastní čísla a vektory Definice Necht A M(n n). Řekneme, že λ C je vlastní číslo matice A, jestliže existuje nenulový vektor x C n takový, že Ax = λx. Vektor x pak nazýváme vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu λ. Věta 14 Necht A M(n n). (i) Prvek λ C je vlastním číslem matice A, právě když det(λi A) = 0. (ii) Matice A má nejvýše n různých vlastních čísel. IX. Lineární algebra

156 IX.4. Vlastní čísla a vektory Definice Necht A M(n n). Polynom λ det(λi A) se nazývá charakteristický polynom matice A. Vzhledem k tvrzení (i) předchozí věty definujeme násobnost vlastního čísla matice jako násobnost tohoto čísla jakožto kořene charakteristického polynomu. IX. Lineární algebra

157 IX.4. Vlastní čísla a vektory Definice Necht A M(n n). Polynom λ det(λi A) se nazývá charakteristický polynom matice A. Vzhledem k tvrzení (i) předchozí věty definujeme násobnost vlastního čísla matice jako násobnost tohoto čísla jakožto kořene charakteristického polynomu. Věta 15 (vlastní čísla symetrické matice) Necht A M(n n) je symetrická matice. Pak jsou všechna její vlastní čísla reálná. IX. Lineární algebra

158 IX.4. Vlastní čísla a vektory Definice Řekneme, že matice Q M(n n) je ortogonální, jestliže platí Q T Q = QQ T = I. IX. Lineární algebra

159 IX.4. Vlastní čísla a vektory Definice Řekneme, že matice Q M(n n) je ortogonální, jestliže platí Q T Q = QQ T = I. Věta 16 (spektrální rozklad matice) Necht A M(n n) je symetrická matice. Pak existuje ortogonální matice Q M(n n) taková, že λ QAQ T =....., 0... λ n kde λ 1,..., λ n jsou vlastní čísla matice A. IX. Lineární algebra

160 IX.4. Vlastní čísla a vektory Věta 17 (vlastní čísla a definitnost) Necht A M(n n) je symetrická matice. Pak platí: A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla kladná, IX. Lineární algebra

161 IX.4. Vlastní čísla a vektory Věta 17 (vlastní čísla a definitnost) Necht A M(n n) je symetrická matice. Pak platí: A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla kladná, A je negativně definitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla záporná, IX. Lineární algebra

162 IX.4. Vlastní čísla a vektory Věta 17 (vlastní čísla a definitnost) Necht A M(n n) je symetrická matice. Pak platí: A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla kladná, A je negativně definitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla záporná, A je pozitivně semidefinitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla nezáporná, IX. Lineární algebra

163 IX.4. Vlastní čísla a vektory Věta 17 (vlastní čísla a definitnost) Necht A M(n n) je symetrická matice. Pak platí: A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla kladná, A je negativně definitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla záporná, A je pozitivně semidefinitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla nezáporná, A je negativně semidefinitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla nekladná, IX. Lineární algebra

164 IX.4. Vlastní čísla a vektory Věta 17 (vlastní čísla a definitnost) Necht A M(n n) je symetrická matice. Pak platí: A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla kladná, A je negativně definitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla záporná, A je pozitivně semidefinitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla nezáporná, A je negativně semidefinitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla nekladná, A je indefinitní, právě když má kladné vlastní číslo i záporné vlastní číslo. IX. Lineární algebra

165 IX.4. Vlastní čísla a vektory Definice Necht A = (a ij ) M(n n). Stopou matice A rozumíme číslo n tr(a) = a ii. i=1 IX. Lineární algebra