Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program"

Transkript

1 Program

2 Primitivní funkce a Riemannův integrál Program

3 Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program

4 Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program

5 Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Extrémy funkcí více proměnných Program

6 VIII.2. Riemannův integrál opakování VIII.2. Riemannův integrál opakování VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

7 VIII.2. Riemannův integrál opakování VIII.2. Riemannův integrál opakování 2.56 S(f, D) = n M j (x j x j 1 ) j=1 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

8 VIII.2. Riemannův integrál opakování VIII.2. Riemannův integrál opakování S(f, D) = n M j (x j x j 1 ) S(f, D) = j=1 n m j (x j x j 1 ) j=1 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

9 VIII.2. Riemannův integrál opakování VIII.2. Riemannův integrál opakování S(f, D) = n M j (x j x j 1 ) S(f, D) = j=1 n m j (x j x j 1 ) j=1 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

10 VIII.2. Riemannův integrál opakování VIII.2. Riemannův integrál opakování S(f, D) = n M j (x j x j 1 ) S(f, D) = j=1 n m j (x j x j 1 ) j=1 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

11 VIII.2. Riemannův integrál opakování VIII.2. Riemannův integrál opakování S(f, D) = n M j (x j x j 1 ) S(f, D) = j=1 inf S(f, D)? = sup S(f, D) n m j (x j x j 1 ) j=1 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

12 VIII.2. Riemannův integrál opakování VIII.2. Riemannův integrál opakování n n S(f, D) = M j (x j x j 1 ) S(f, D) = m j (x j x j 1 ) j=1 b a j=1 f (x) dx := inf S(f, D) = sup S(f, D) VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

13 VIII.2. Riemannův integrál opakování Věta Necht f je spojitá funkce na intervalu a, b a necht c a, b. Označíme-li F(x) = x pak F (x) = f (x) pro každé x (a, b). c f (t) dt pro x (a, b), VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

14 VIII.3. Primitivní funkce VIII.3. Primitivní funkce VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

15 VIII.3. Primitivní funkce VIII.3. Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f na intervalu I, jestliže pro každé x I existuje F (x) a platí F (x) = f (x). VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

16 VIII.3. Primitivní funkce VIII.3. Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f na intervalu I, jestliže pro každé x I existuje F (x) a platí F (x) = f (x). Věta 7 (jednoznačnost primitivní funkce) Necht F a G jsou primitivní funkce k funkci f na otevřeném intervalu I. Pak existuje c R tak, že F(x) = G(x) + c pro každé x I. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

17 VIII.3. Primitivní funkce Poznámka Množinu všech primitivních funkcí k funkci f značíme symbolem f (x) dx. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

18 VIII.3. Primitivní funkce Poznámka Množinu všech primitivních funkcí k funkci f značíme symbolem f (x) dx. Skutečnost, že F je primitivní funkcí k f na I zapisujeme f (x) dx c = F(x), x I. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

19 VIII.3. Primitivní funkce Poznámka Množinu všech primitivních funkcí k funkci f značíme symbolem f (x) dx. Skutečnost, že F je primitivní funkcí k f na I zapisujeme f (x) dx c = F(x), x I. Věta 8 (o existenci primitivní funkce) Necht f je spojitá funkce na neprázdném otevřeném intervalu I. Pak f má na I primitivní funkci. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

20 VIII.3. Primitivní funkce Věta 9 (linearita neurčitého integrálu) Necht funkce f má na otevřeném intervalu I primitivní funkci F, funkce g má na I primitivní funkci G a α, β R. Potom funkce αf + βg je primitivní funkcí k αf + βg na I. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

21 VIII.3. Primitivní funkce Primitivní funkce k některým důležitým funkcím VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

22 VIII.3. Primitivní funkce Primitivní funkce k některým důležitým funkcím x n dx = c x n+1 na R pro n N {0}; n + 1 na (, 0) a na (0, ) pro n Z, n < 1, VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

23 VIII.3. Primitivní funkce Primitivní funkce k některým důležitým funkcím x n dx = c x n+1 na R pro n N {0}; n + 1 na (, 0) a na (0, ) pro n Z, n < 1, x α dx = c x α+1 na (0, + ) pro α R \ { 1}, α + 1 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

24 VIII.3. Primitivní funkce Primitivní funkce k některým důležitým funkcím x n dx = c x n+1 na R pro n N {0}; n + 1 na (, 0) a na (0, ) pro n Z, n < 1, x α dx = c x α+1 na (0, + ) pro α R \ { 1}, α x dx = c log x na (0, + ), VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

25 VIII.3. Primitivní funkce Primitivní funkce k některým důležitým funkcím x n dx = c x n+1 na R pro n N {0}; n + 1 na (, 0) a na (0, ) pro n Z, n < 1, x α dx = c x α+1 na (0, + ) pro α R \ { 1}, α x dx = c log x na (0, + ), 1 x dx = c log( x) na (, 0), VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

26 VIII.3. Primitivní funkce Primitivní funkce k některým důležitým funkcím x n dx = c x n+1 na R pro n N {0}; n + 1 na (, 0) a na (0, ) pro n Z, n < 1, x α dx = c x α+1 na (0, + ) pro α R \ { 1}, α x dx = c log x na (0, + ), 1 x dx = c log( x) na (, 0), e x dx = c e x na R, VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

27 VIII.3. Primitivní funkce sin x dx c = cos x na R, VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

28 VIII.3. Primitivní funkce sin x dx c = cos x na R, cos x dx c = sin x na R, VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

29 VIII.3. Primitivní funkce sin x dx = c cos x na R, cos x dx = c sin x na R, 1 cos 2 x dx = c tg x na každém z intervalů ( π + kπ, π + kπ), k Z, 2 2 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

30 VIII.3. Primitivní funkce sin x dx = c cos x na R, cos x dx = c sin x na R, 1 cos 2 x dx = c tg x na každém z intervalů ( π + kπ, π + kπ), k Z, sin 2 x dx = c cotg x na každém z intervalů (kπ, (k + 1)π), k Z, VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

31 VIII.3. Primitivní funkce sin x dx = c cos x na R, cos x dx = c sin x na R, 1 cos 2 x dx = c tg x na každém z intervalů ( π + kπ, π + kπ), k Z, sin 2 x dx = c cotg x na každém z intervalů (kπ, (k + 1)π), k Z, x dx = c arctg x na R, 2 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

32 VIII.3. Primitivní funkce sin x dx = c cos x na R, cos x dx = c sin x na R, 1 cos 2 x dx = c tg x na každém z intervalů ( π + kπ, π + kπ), k Z, sin 2 x dx = c cotg x na každém z intervalů (kπ, (k + 1)π), k Z, x dx = c arctg x na R, 2 1 dx = c arcsin x na ( 1, 1), 1 x 2 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

33 VIII.3. Primitivní funkce sin x dx = c cos x na R, cos x dx = c sin x na R, 1 cos 2 x dx = c tg x na každém z intervalů ( π + kπ, π + kπ), k Z, sin 2 x dx = c cotg x na každém z intervalů (kπ, (k + 1)π), k Z, x dx = c arctg x na R, 2 1 dx = c arcsin x na ( 1, 1), 1 x 2 1 dx = c arccos x na ( 1, 1). 1 x 2 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

34 VIII.3. Primitivní funkce Věta 10 (o substituci) (i) Necht F je primitivní funkce k f na (a, b). Necht je ϕ funkce definovaná na (α, β) s hodnotami v intervalu (a, b), která má v každém bodě t (α, β) vlastní derivaci. Pak f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt c = F ( ϕ(t) ) na (α, β). VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

35 VIII.3. Primitivní funkce Věta 10 (o substituci) (i) Necht F je primitivní funkce k f na (a, b). Necht je ϕ funkce definovaná na (α, β) s hodnotami v intervalu (a, b), která má v každém bodě t (α, β) vlastní derivaci. Pak f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt c = F ( ϕ(t) ) na (α, β). (ii) Necht funkce ϕ má v každém bodě intervalu (α, β) vlastní derivaci, která je bud všude kladná, nebo všude záporná, a ϕ ( (α, β) ) = (a, b). Necht funkce f je definovaná na intervalu (a, b) a platí f ( ϕ(t) ) ϕ c (t) dt = G(t) na (α, β). Pak f (x) dx = c G ( ϕ 1 (x) ) na (a, b). VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

36 VIII.3. Primitivní funkce Věta 11 (integrace per partes) Necht I je neprázdný otevřený interval, funkce f a g jsou spojité na I, F je primitivní funkce k f na I a G je primitivní funkce ke g na I. Pak platí g(x)f(x) dx = G(x)F(x) G(x)f (x) dx na I. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

37 VIII.3. Primitivní funkce Integrace racionálních funkcí Definice Racionální funkcí budeme rozumět podíl dvou polynomů, kde polynom ve jmenovateli není identicky roven nule. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

38 VIII.3. Primitivní funkce Integrace racionálních funkcí Definice Racionální funkcí budeme rozumět podíl dvou polynomů, kde polynom ve jmenovateli není identicky roven nule. Věta ( základní věta algebry ) Necht n N, a 0,..., a n C, a n 0. Pak rovnice a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 = 0 má alespoň jedno řešení z C. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

39 VIII.3. Primitivní funkce Lemma 12 (o dělení polynomů) Necht P a Q jsou dva polynomy (s komplexními koeficienty), přičemž polynom Q není identicky roven nule. Pak existují jednoznačně určené polynomy R a Z splňující: Polynom Z je nulový nebo má stupeň menší než stupeň Q. P(x) = R(x)Q(x) + Z (x) pro všechna x C. Pokud mají P a Q reálné koeficienty, mají i R a Z reálné koeficienty. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

40 VIII.3. Primitivní funkce Lemma 12 (o dělení polynomů) Necht P a Q jsou dva polynomy (s komplexními koeficienty), přičemž polynom Q není identicky roven nule. Pak existují jednoznačně určené polynomy R a Z splňující: Polynom Z je nulový nebo má stupeň menší než stupeň Q. P(x) = R(x)Q(x) + Z (x) pro všechna x C. Pokud mají P a Q reálné koeficienty, mají i R a Z reálné koeficienty. Důsledek Je-li P polynom a λ C je jeho kořen (tj. P(λ) = 0), pak existuje polynom R, pro který platí P(x) = (x λ)r(x) pro x C. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

41 VIII.3. Primitivní funkce Věta 13 (o rozkladu na kořenové činitele) Necht P(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 je polynom stupně n. Pak existují čísla x 1,..., x n C taková, že P(x) = a n (x x 1 ) (x x n ), x R. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

42 VIII.3. Primitivní funkce Věta 13 (o rozkladu na kořenové činitele) Necht P(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 je polynom stupně n. Pak existují čísla x 1,..., x n C taková, že P(x) = a n (x x 1 ) (x x n ), x R. Definice Necht P je polynom, λ C a k N. Řekneme, že λ je kořen násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynom R, který splňuje R(λ) 0 a P(x) = (x λ) k R(x) pro x C. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

43 VIII.3. Primitivní funkce Věta 13 (o rozkladu na kořenové činitele) Necht P(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 je polynom stupně n. Pak existují čísla x 1,..., x n C taková, že P(x) = a n (x x 1 ) (x x n ), x R. Definice Necht P je polynom, λ C a k N. Řekneme, že λ je kořen násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynom R, který splňuje R(λ) 0 a P(x) = (x λ) k R(x) pro x C. (Tj. násobnost kořene λ je rovna počtu výskytů čísla λ v n-tici x 1, x 2,..., x n z věty 13.) VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

44 VIII.3. Primitivní funkce Věta 14 (o kořenech polynomu s reálnými koeficienty) Necht P je polynom s reálnými koeficienty a z C je kořen P násobnosti k N. Pak i komplexně sdružené číslo z je kořenem P násobnosti k. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

45 VIII.3. Primitivní funkce Věta 15 (o rozkladu polynomu s reálnými koeficienty) Necht P(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 je polynom stupně n s reálnými koeficienty. Pak existují reálná čísla x 1,..., x k, α 1,..., α l, β 1,..., β l a přirozená čísla p 1,..., p k, q 1,..., q l taková, že P(x) = a n (x x 1 ) p 1 (x xk ) p k (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1 (x 2 + α l x + β l ) q l, VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

46 VIII.3. Primitivní funkce Věta 15 (o rozkladu polynomu s reálnými koeficienty) Necht P(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 je polynom stupně n s reálnými koeficienty. Pak existují reálná čísla x 1,..., x k, α 1,..., α l, β 1,..., β l a přirozená čísla p 1,..., p k, q 1,..., q l taková, že P(x) = a n (x x 1 ) p 1 (x xk ) p k (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1 (x 2 + α l x + β l ) q l, žádné dva z mnohočlenů x x 1, x x 2,..., x x k, x 2 + α 1 x + β 1,..., x 2 + α l x + β l nemají společný kořen, VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

47 VIII.3. Primitivní funkce Věta 15 (o rozkladu polynomu s reálnými koeficienty) Necht P(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 je polynom stupně n s reálnými koeficienty. Pak existují reálná čísla x 1,..., x k, α 1,..., α l, β 1,..., β l a přirozená čísla p 1,..., p k, q 1,..., q l taková, že P(x) = a n (x x 1 ) p 1 (x xk ) p k (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1 (x 2 + α l x + β l ) q l, žádné dva z mnohočlenů x x 1, x x 2,..., x x k, x 2 + α 1 x + β 1,..., x 2 + α l x + β l nemají společný kořen, mnohočleny x 2 + α 1 x + β 1,..., x 2 + α l x + β l nemají žádný reálný kořen. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

48 VIII.3. Primitivní funkce Věta 16 (o rozkladu na parciální zlomky) Necht P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že stupeň P je ostře menší než stupeň Q a Q(x) = a n (x x 1 ) p 1 (x xk ) p k (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1 (x 2 + α l x + β l ) q l je rozklad polynomu Q(x) z věty 15. Pak existují jednoznačně určená reálná čísla A 1 1,..., A1 p 1,..., A k 1,..., Ak p k, B 1 1, C1 1,..., B1 q 1, C 1 q 1,..., B l 1, Cl 1,..., Bl q l, C l q l taková, že platí P(x) Q(x) = VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

49 VIII.3. Primitivní funkce Věta 16 (o rozkladu na parciální zlomky) Necht P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že stupeň P je ostře menší než stupeň Q a Q(x) = a n (x x 1 ) p 1 (x xk ) p k (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1 (x 2 + α l x + β l ) q l je rozklad polynomu Q(x) z věty 15. Pak existují jednoznačně určená reálná čísla A 1 1,..., A1 p 1,..., A k 1,..., Ak p k, B 1 1, C1 1,..., B1 q 1, C 1 q 1,..., B l 1, Cl 1,..., Bl q l, C l q l P(x) Q(x) = A1 1 (x x 1 ) + + A1 p 1 (x x 1 ) p 1 + taková, že platí VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

50 VIII.3. Primitivní funkce Věta 16 (o rozkladu na parciální zlomky) Necht P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že stupeň P je ostře menší než stupeň Q a Q(x) = a n (x x 1 ) p 1 (x xk ) p k (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1 (x 2 + α l x + β l ) q l je rozklad polynomu Q(x) z věty 15. Pak existují jednoznačně určená reálná čísla A 1 1,..., A1 p 1,..., A k 1,..., Ak p k, B 1 1, C1 1,..., B1 q 1, C 1 q 1,..., B l 1, Cl 1,..., Bl q l, C l q l taková, že platí P(x) Q(x) = A1 1 (x x 1 ) + + A1 p 1 (x x 1 ) p Ak 1 (x x k ) Ak p k (x x k ) p k VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

51 VIII.3. Primitivní funkce Věta 16 (o rozkladu na parciální zlomky) Necht P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že stupeň P je ostře menší než stupeň Q a Q(x) = a n (x x 1 ) p 1 (x xk ) p k (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1 (x 2 + α l x + β l ) q l je rozklad polynomu Q(x) z věty 15. Pak existují jednoznačně určená reálná čísla A 1 1,..., A1 p 1,..., A k 1,..., Ak p k, B 1 1, C1 1,..., B1 q 1, C 1 q 1,..., B l 1, Cl 1,..., Bl q l, C l q l taková, že platí P(x) Q(x) = A1 1 (x x 1 ) + + A1 p 1 (x x 1 ) p Ak 1 (x x k ) B1 1 x+c1 1 (x 2 +α 1 x+β 1 ) + + B1 q 1 x+c 1 q 1 (x 2 +α 1 x+β 1 ) q Ak p k (x x k ) p k VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

52 VIII.3. Primitivní funkce Věta 16 (o rozkladu na parciální zlomky) Necht P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že stupeň P je ostře menší než stupeň Q a Q(x) = a n (x x 1 ) p 1 (x xk ) p k (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1 (x 2 + α l x + β l ) q l je rozklad polynomu Q(x) z věty 15. Pak existují jednoznačně určená reálná čísla A 1 1,..., A1 p 1,..., A k 1,..., Ak p k, B 1 1, C1 1,..., B1 q 1, C 1 q 1,..., B l 1, Cl 1,..., Bl q l, C l q l taková, že platí P(x) Q(x) = A1 1 (x x 1 ) + + A1 p 1 (x x 1 ) p Ak 1 (x x k ) B1 1 x+c1 1 (x 2 +α 1 x+β 1 ) + + B1 q 1 x+c 1 q 1 (x 2 +α 1 x+β 1 ) q Bl 1 x+cl 1 (x 2 +α l x+β l ) + + Bl q l x+c l q l (x 2 +α l x+β l ) q l. Ak p k (x x k ) p k VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

53 VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

54 VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu Definice Necht f je spojitá funkce na (a, b), a < b + a necht c (a, b). Nevlastním Riemannovým integrálem od a do b z funkce f rozumíme c lim α a+ α f (x) dx + lim β b β c f (x) dx, pokud limity existují a jejich součet má smysl. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

55 VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu Věta 17 (Newtonův vzorec) Necht f je spojitá na intervalu (a, b), a < b, a necht F je primitivní funkce k f na (a, b). 1. Integrál b f (x) dx existuje, právě když existují limity a lim x a+ F(x), lim x b F(x) a jejich rozdíl má smysl. V tomto případě platí b a f (x) dx = lim x b F(x) lim x a+ F(x). (1) VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

56 VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu Věta 17 (Newtonův vzorec) Necht f je spojitá na intervalu (a, b), a < b, a necht F je primitivní funkce k f na (a, b). 1. Integrál b f (x) dx existuje, právě když existují limity a lim x a+ F(x), lim x b F(x) a jejich rozdíl má smysl. V tomto případě platí b a f (x) dx = lim x b F(x) lim x a+ F(x). (1) 2. Pokud a, b R a f je spojitá na (omezeném!) uzavřeném intervalu a, b, pak existují vlastní limity lim x a+ F(x), lim x b F(x) a platí (1). VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

57 VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu Důsledek 18 (linearita Riemannova Integrálu) Necht f, g jsou spojité na intervalu (a, b), a < b + a mají nevlastní Riemannovy integrály na tomto intervalu. Necht α, β R. Pak platí b a b b αf (x) + βg(x) dx = α f (x) dx + β g(x) dx, a a pokud má výraz na pravé straně smysl. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

58 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

59 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Definice Řekneme, že A R n je buňka, jestliže A = a 1, b 1 a 2, b 2 a n, b n, přičemž < a i < b i < +, i = 1,..., n. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

60 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Definice Řekneme, že A R n je buňka, jestliže A = a 1, b 1 a 2, b 2 a n, b n, přičemž < a i < b i < +, i = 1,..., n. Objem buňky A budeme značit symbolem vol A a definujeme jej jako vol A = n (b i a i ). i=1 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

61 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Definice Necht I = a, b, a < b. Řekneme, že posloupnost intervalů { x j 1, x j } k j=1 je dělením intervalu I, jestliže a = x 0 < x 1 < < x k = b. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

62 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Definice Necht I = a, b, a < b. Řekneme, že posloupnost intervalů { x j 1, x j } k j=1 je dělením intervalu I, jestliže a = x 0 < x 1 < < x k = b. Necht A = I 1 I 2 I n R n je buňka. Řekneme, že systém D složený z buněk je dělením buňky A, jestliže D = {J 1 J n ; J 1 D 1,..., J n D n }, kde D j je dělením intervalu I j, j = 1,..., n. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

63 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Definice Necht A je buňka a D, D 0 jsou dvě dělení buňky A. Řekneme, že dělení D je zjemněním dělení D 0, jestliže každá buňka dělení D je obsažena v nějaké buňce dělení D 0. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

64 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Definice Necht A je buňka a D, D 0 jsou dvě dělení buňky A. Řekneme, že dělení D je zjemněním dělení D 0, jestliže každá buňka dělení D je obsažena v nějaké buňce dělení D 0. Normou dělení D rozumíme číslo ν(d) = max { sup ρ(x, y)}. D D x,y D VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

65 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Integrace funkce přes buňku Definice Necht A R n je buňka a f je funkce definovaná alespoň na A, kde je omezená. Označme S(f, D) = sup f vol D, D D D S(f, D) = D D inf f vol D, D VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

66 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Integrace funkce přes buňku Definice Necht A R n je buňka a f je funkce definovaná alespoň na A, kde je omezená. Označme S(f, D) = sup f vol D, D D D S(f, D) = inf f vol D, D D D f = inf{s(f, D); D je dělení A}, A f = sup{s(f, D); D je dělení A}. A VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

67 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Definice V případě, že f = f, definujeme zobecněný A A Riemannův integrál funkce f přes buňku A jako f = f. A A Někdy používáme také symbol f (x) dx, kde je A vyznačena proměnná funkce f. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

68 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Poznámka Pokud D 1, D 2 jsou dvě dělení buňky A a D je dělení buňky A zjemňující D 1 i D 2, pak S(f, D 1 ) S(f, D) S(f, D) S(f, D 2 ). VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

69 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Poznámka Pokud D 1, D 2 jsou dvě dělení buňky A a D je dělení buňky A zjemňující D 1 i D 2, pak S(f, D 1 ) S(f, D) S(f, D) S(f, D 2 ). Odtud lze snadno odvodit A f A f. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

70 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Lemma 19 (ekvivalentní definice vícerozměrného integrálu) Necht f je funkce omezená na buňce A R n. (a) f = I R právě tehdy, když ke každému ε R, A ε > 0 existuje dělení D buňky A takové, že I ε < S(f, D) S(f, D) < I + ε. (b) Funkce f má na buňce A zobecněný Riemannův integrál právě tehdy, když ke každému ε R, ε > 0 existuje dělení D buňky A takové, že S(f, D) S(f, D) < ε. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

71 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Tvrzení 20 (integrál přes rozdělenou buňku) Necht f je funkce omezená na buňce A R n a necht D je dělení buňky A. Jestliže pro každé D D existuje D f, pak existuje i A f a platí A f = D D D f. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

72 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Tvrzení 20 (integrál přes rozdělenou buňku) Necht f je funkce omezená na buňce A R n a necht D je dělení buňky A. Jestliže pro každé D D existuje D f, pak existuje i A f a platí A f = D D D f. Důsledek 21 Necht A, B R n jsou buňky, A B. Necht f je funkce definovaná alespoň na B, pro kterou platí f (x) = 0 pokud x B \ A. Potom jestliže existuje A f, pak existuje i B f a oba integrály se rovnají. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

73 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Integrace funkce přes množinu Definice Necht M R n a f je funkce n proměnných, která je definována alespoň na M a je na M omezená. Definujme funkci f : R n R takto: f (x) = {f (x) x M, 0 x R n \ M. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

74 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Integrace funkce přes množinu Definice Necht M R n a f je funkce n proměnných, která je definována alespoň na M a je na M omezená. Definujme funkci f : R n R takto: f (x) = {f (x) x M, 0 x R n \ M. Zobecněný Riemannův integrál f definujeme jako M f = lim f, M r + r,r n pokud uvedená limita existuje. (Především tedy musí existovat r,r n f pro všechna r (0, + ).) VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

75 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Pokud integrál funkce f přes množinu M R n existuje a přitom je konečný, pak říkáme, že f konverguje. Pokud M je roven + nebo, pak říkáme, že diverguje. Máme pak následující schéma: reálnému číslu, tj. konverguje; existuje a je roven +, tj. diverguje; f M, tj. diverguje; neexistuje. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

76 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Věta 22 (linearita vícerozměrného integrálu) Necht M R n, α R \ {0} a f a g jsou funkce n proměnných takové, že integrály M f a M g existují. Potom (i) (f + g) existuje a platí M (f + g) = M M f + pokud má výraz na pravé straně rovnosti smysl. M g, (ii) M αf existuje a platí M αf = α f. M VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

77 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Věta 23 (integrál přes sjednocení množin) Necht M, N R n, M N = a f je funkce n proměnných taková, že integrály f a f existují. Potom existuje i M N integrál f a platí M N f = f + f, M N pokud má výraz na pravé straně rovnosti smysl. M N VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

78 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Věta 24 (integrál a uspořádání) Necht M R n a f a g jsou funkce n proměnných takové, že integrály M f a M g existují. (i) Je-li f 0, potom i M f 0. (ii) Je-li f g, potom i M f M g. (iii) f existuje a platí M M f M f. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

79 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Věta 25 (o konvergenci a existenci integrálu) (i) Necht K R n je omezená konvexní množina a f je omezená funkce na K, která je spojitá ve všech bodech K (vzhledem ke K ) vyjma nejvýše konečně mnoha bodů z K. Potom K f konverguje. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

80 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Věta 25 (o konvergenci a existenci integrálu) (i) Necht K R n je omezená konvexní množina a f je omezená funkce na K, která je spojitá ve všech bodech K (vzhledem ke K ) vyjma nejvýše konečně mnoha bodů z K. Potom K f konverguje. (ii) Necht K R n je konvexní množina a f je omezená nezáporná funkce na K, která je spojitá ve všech bodech K (vzhledem ke K ) vyjma nejvýše konečně mnoha bodů z K. Potom K f existuje. VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

81 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Věta 26 (Fubiniova věta) (i) Necht M 1 R m a M 2 R n. Předpokládejme dále, že množiny M 1 a M 2 jsou buňky. Necht f je funkce definovaná alespoň na M 1 M 2 a necht existuje M 1 M 2 f. Pokud pro každé x M 1 existuje F(x) = M 2 f (x, y) dy R, potom platí f = F(x) dx. M 1 M 2 M 1 VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

82 VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál Věta 26 (Fubiniova věta) (i) Necht M 1 R m a M 2 R n. Předpokládejme dále, že množiny M 1 a M 2 jsou buňky. Necht f je funkce definovaná alespoň na M 1 M 2 a necht existuje M 1 M 2 f. Pokud pro každé x M 1 existuje F(x) = M 2 f (x, y) dy R, potom platí f = F(x) dx. M 1 M 2 M 1 (ii) Necht f : R m R n R je nezáporná funkce a necht existuje f. Pokud pro každé x R m existuje R m R n F(x) = f (x, y) dy R a pokud existuje R n F(x) dx, pak platí R m f = F(x) dx. R m R n R m VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

83 IX.1. Vektorové prostory IX.1. Vektorové prostory IX. Lineární algebra

84 IX.1. Vektorové prostory IX.1. Vektorové prostory Symbol K značí množinu R nebo C. IX. Lineární algebra

85 IX.1. Vektorové prostory Definice Vektorovým prostorem nad K rozumíme trojici (V, +, ), kde V je neprázdná množina, + je operace z V V do V a je operace z K V do V, přičemž tyto operace mají následující vlastnosti: IX. Lineární algebra

86 IX.1. Vektorové prostory Definice u, v V : u + v = v + u (komutativita sčítání), IX. Lineární algebra

87 IX.1. Vektorové prostory Definice u, v V : u + v = v + u (komutativita sčítání), u, v, w V : (u + v) + w = u + (v + w) (asociativita sčítání), IX. Lineární algebra

88 IX.1. Vektorové prostory Definice u, v V : u + v = v + u (komutativita sčítání), u, v, w V : (u + v) + w = u + (v + w) (asociativita sčítání), množina V obsahuje prvek, který značíme o (a říkáme mu nulový prvek), splňující v V : o + v = v. IX. Lineární algebra

89 IX.1. Vektorové prostory Definice u, v V : u + v = v + u (komutativita sčítání), u, v, w V : (u + v) + w = u + (v + w) (asociativita sčítání), množina V obsahuje prvek, který značíme o (a říkáme mu nulový prvek), splňující v V : o + v = v. v V w V : v + w = o, IX. Lineární algebra

90 IX.1. Vektorové prostory Definice u, v V : u + v = v + u (komutativita sčítání), u, v, w V : (u + v) + w = u + (v + w) (asociativita sčítání), množina V obsahuje prvek, který značíme o (a říkáme mu nulový prvek), splňující v V : o + v = v. v V w V : v + w = o, a, b K v V : a (b v) = (ab) v, IX. Lineární algebra

91 IX.1. Vektorové prostory Definice u, v V : u + v = v + u (komutativita sčítání), u, v, w V : (u + v) + w = u + (v + w) (asociativita sčítání), množina V obsahuje prvek, který značíme o (a říkáme mu nulový prvek), splňující v V : o + v = v. v V w V : v + w = o, a, b K v V : a (b v) = (ab) v, a, b K v V : (a + b) v = a v + b v, IX. Lineární algebra

92 IX.1. Vektorové prostory Definice u, v V : u + v = v + u (komutativita sčítání), u, v, w V : (u + v) + w = u + (v + w) (asociativita sčítání), množina V obsahuje prvek, který značíme o (a říkáme mu nulový prvek), splňující v V : o + v = v. v V w V : v + w = o, a, b K v V : a (b v) = (ab) v, a, b K v V : (a + b) v = a v + b v, a K u, v V : a (u + v) = a u + a v, IX. Lineární algebra

93 IX.1. Vektorové prostory Definice u, v V : u + v = v + u (komutativita sčítání), u, v, w V : (u + v) + w = u + (v + w) (asociativita sčítání), množina V obsahuje prvek, který značíme o (a říkáme mu nulový prvek), splňující v V : o + v = v. v V w V : v + w = o, a, b K v V : a (b v) = (ab) v, a, b K v V : (a + b) v = a v + b v, a K u, v V : a (u + v) = a u + a v, v V : 1 v = v. IX. Lineární algebra

94 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor nad K a U V, U. Řekneme, že U je vektorový podprostor prostoru V, jestliže u, v U : u + v U, IX. Lineární algebra

95 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor nad K a U V, U. Řekneme, že U je vektorový podprostor prostoru V, jestliže u, v U : u + v U, a K u U : a u U. IX. Lineární algebra

96 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor, m N, u 1,..., u m V a λ 1,..., λ m K. Výraz λ 1 u λ m u m nazýváme lineární kombinací vektorů u 1,..., u m. IX. Lineární algebra

97 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor, m N, u 1,..., u m V a λ 1,..., λ m K. Výraz λ 1 u λ m u m nazýváme lineární kombinací vektorů u 1,..., u m. Pokud alespoň jedno z čísel λ 1,..., λ m je nenulové, pak hovoříme o netriviální lineární kombinaci, v opačném případě jde o triviální lineární kombinaci. IX. Lineární algebra

98 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor, m N, u 1,..., u m V a λ 1,..., λ m K. Výraz λ 1 u λ m u m nazýváme lineární kombinací vektorů u 1,..., u m. Pokud alespoň jedno z čísel λ 1,..., λ m je nenulové, pak hovoříme o netriviální lineární kombinaci, v opačném případě jde o triviální lineární kombinaci. Lineární kombinací prázdné množiny vektorů rozumíme nulový vektor. IX. Lineární algebra

99 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor, u 1,..., u m V. Řekneme, že vektory u 1,..., u m jsou lineárně závislé, pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež je rovna nulovému vektoru. IX. Lineární algebra

100 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor, u 1,..., u m V. Řekneme, že vektory u 1,..., u m jsou lineárně závislé, pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež je rovna nulovému vektoru. Pokud vektory u 1,..., u m nejsou lineárně závislé, pak říkáme, že jsou lineárně nezávislé. IX. Lineární algebra

101 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor, u 1,..., u m V. Řekneme, že vektory u 1,..., u m jsou lineárně závislé, pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež je rovna nulovému vektoru. Pokud vektory u 1,..., u m nejsou lineárně závislé, pak říkáme, že jsou lineárně nezávislé. Řekneme, že množina M V je lineárně nezávislá, jestliže libovolná m-tice po dvou různých vektorů z M je lineárně nezávislá. IX. Lineární algebra

102 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor, u 1,..., u m V. Řekneme, že vektory u 1,..., u m jsou lineárně závislé, pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež je rovna nulovému vektoru. Pokud vektory u 1,..., u m nejsou lineárně závislé, pak říkáme, že jsou lineárně nezávislé. Řekneme, že množina M V je lineárně nezávislá, jestliže libovolná m-tice po dvou různých vektorů z M je lineárně nezávislá. Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor, M V. Řekneme, že množina M generuje V, jestliže každý vektor z V je lineární kombinací konečně mnoha vektorů z M. IX. Lineární algebra

103 IX.1. Vektorové prostory Definice Necht (V, +, ) je vektorový prostor a B V. Řekneme, že B je báze prostoru V, jestliže množina B je lineárně nezávislá a generuje V. IX. Lineární algebra

104 IX.1. Vektorové prostory Věta 1 (o bázi vektorového prostoru) (i) Každou lineárně nezávislou podmnožinu vektorového prostoru lze doplnit na bázi tohoto prostoru. IX. Lineární algebra

105 IX.1. Vektorové prostory Věta 1 (o bázi vektorového prostoru) (i) Každou lineárně nezávislou podmnožinu vektorového prostoru lze doplnit na bázi tohoto prostoru. (ii) Každý vektorový prostor má bázi. IX. Lineární algebra

106 IX.1. Vektorové prostory Věta 1 (o bázi vektorového prostoru) (i) Každou lineárně nezávislou podmnožinu vektorového prostoru lze doplnit na bázi tohoto prostoru. (ii) Každý vektorový prostor má bázi. (iii) Počet prvků báze prostoru V je určen jednoznačně a nazýváme ho dimenze prostoru V (značíme dim V ). IX. Lineární algebra

107 IX.1. Vektorové prostory Věta 1 (o bázi vektorového prostoru) (i) Každou lineárně nezávislou podmnožinu vektorového prostoru lze doplnit na bázi tohoto prostoru. (ii) Každý vektorový prostor má bázi. (iii) Počet prvků báze prostoru V je určen jednoznačně a nazýváme ho dimenze prostoru V (značíme dim V ). Definice Je-li dim V < +, řekneme, že V je konečněrozměrný (konečnědimenzionální). Je-li dim V = +, mluvíme o nekonečněrozměrném (nekonečnědimenzionálním) vektorovém prostoru. IX. Lineární algebra

108 IX.1. Vektorové prostory Tvrzení 2 (o bázi konečněrozměrného prostoru) Necht V je vektorový prostor dimenze n N nad K. (i) Jsou-li v 1,..., v n lineárně nezávislé vektory v prostoru V, pak množina {v 1,..., v n } je bází prostoru V. IX. Lineární algebra

109 IX.1. Vektorové prostory Tvrzení 2 (o bázi konečněrozměrného prostoru) Necht V je vektorový prostor dimenze n N nad K. (i) Jsou-li v 1,..., v n lineárně nezávislé vektory v prostoru V, pak množina {v 1,..., v n } je bází prostoru V. (ii) Jestliže pro vektory v 1,..., v n V platí lin K {v 1,..., v n } = V, je množina {v 1,..., v n } bází prostoru V. IX. Lineární algebra

110 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic IX. Lineární algebra

111 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Definice Necht U a V jsou vektorové prostory nad K. Zobrazení L: U V se nazývá lineární, jestliže platí: u 1, u 2 U : L(u 1 + u 2 ) = L(u 1 ) + L(u 2 ), IX. Lineární algebra

112 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Definice Necht U a V jsou vektorové prostory nad K. Zobrazení L: U V se nazývá lineární, jestliže platí: u 1, u 2 U : L(u 1 + u 2 ) = L(u 1 ) + L(u 2 ), a K u U : L(au) = al(u). IX. Lineární algebra

113 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Definice Necht U a V jsou vektorové prostory nad K, L: U V necht je lineární zobrazení. Jádrem lineárního zobrazení L nazveme množinu Ker(L) = L 1 ({o}) = {u U : L(u) = o}. IX. Lineární algebra

114 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Definice Necht U a V jsou vektorové prostory nad K, L: U V necht je lineární zobrazení. Jádrem lineárního zobrazení L nazveme množinu Ker(L) = L 1 ({o}) = {u U : L(u) = o}. Symbolem Im(L) značíme obor hodnot zobrazení L, tedy Im L = L(U) = {v V ; u U : L(u) = v}. IX. Lineární algebra

115 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Věta 3 (vlastnosti jádra a obrazu) Necht U a V jsou vektorové prostory nad K, L: U V necht je lineární zobrazení. Potom platí: (i) Množina Ker(L) je vektorovým podprostorem U. IX. Lineární algebra

116 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Věta 3 (vlastnosti jádra a obrazu) Necht U a V jsou vektorové prostory nad K, L: U V necht je lineární zobrazení. Potom platí: (i) Množina Ker(L) je vektorovým podprostorem U. (ii) Množina Im(L) je vektorovým podprostorem V. IX. Lineární algebra

117 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Věta 3 (vlastnosti jádra a obrazu) Necht U a V jsou vektorové prostory nad K, L: U V necht je lineární zobrazení. Potom platí: (i) Množina Ker(L) je vektorovým podprostorem U. (ii) Množina Im(L) je vektorovým podprostorem V. (iii) Pro dimenze platí: dim U = dim Ker(L) + dim Im(L). IX. Lineární algebra

118 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Necht U, V jsou vektorové prostory, L: U V je lineární zobrazení a b V. Uvažujme rovnici L(x) = b. (2) IX. Lineární algebra

119 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Necht U, V jsou vektorové prostory, L: U V je lineární zobrazení a b V. Uvažujme rovnici L(x) = b. (2) Věta 4 (řešení nehomogenní rovnice) Necht x 0 U je řešením rovnice (2). Potom množina {x 0 + w : w Ker(L)} je množinou všech řešení rovnice (2). IX. Lineární algebra

120 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Necht A M(m n), b R m. Uvažujme soustavu m rovnic o n neznámých Ax = b. (3) IX. Lineární algebra

121 IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic Necht A M(m n), b R m. Uvažujme soustavu m rovnic o n neznámých Ax = b. (3) Důsledek 5 Má-li soustava (3) řešení x 0 R n, pak množina všech řešení má tvar {x 0 + w : Aw = o}. IX. Lineární algebra

122 IX.3. Bilineární formy IX.3. Bilineární formy IX. Lineární algebra

123 IX.3. Bilineární formy IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že zobrazení B : R n R n R je bilineární forma, jestliže platí: (i) u, v, w R n : B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w), IX. Lineární algebra

124 IX.3. Bilineární formy IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že zobrazení B : R n R n R je bilineární forma, jestliže platí: (i) u, v, w R n : B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w), (ii) a R u, v R n : B(au, v) = ab(u, v), IX. Lineární algebra

125 IX.3. Bilineární formy IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že zobrazení B : R n R n R je bilineární forma, jestliže platí: (i) u, v, w R n : B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w), (ii) a R u, v R n : B(au, v) = ab(u, v), (iii) u, v, w R n : B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w), IX. Lineární algebra

126 IX.3. Bilineární formy IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že zobrazení B : R n R n R je bilineární forma, jestliže platí: (i) u, v, w R n : B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w), (ii) a R u, v R n : B(au, v) = ab(u, v), (iii) u, v, w R n : B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w), (iv) a R u, v R n : B(u, av) = ab(u, v). IX. Lineární algebra

127 IX.3. Bilineární formy Věta 6 (reprezentace bilineárních forem) Zobrazení B : R n R n R je bilineární forma, právě když existuje matice A M(n n) taková, že u, v R n : B(u, v) = u T Av. IX. Lineární algebra

128 IX.3. Bilineární formy Věta 6 (reprezentace bilineárních forem) Zobrazení B : R n R n R je bilineární forma, právě když existuje matice A M(n n) taková, že u, v R n : B(u, v) = u T Av. Definice Matice A M(n n) z předchozí věty se nazývá reprezentující maticí formy B. IX. Lineární algebra

129 IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že bilineární forma B : R n R n R je symetrická, jestliže platí u, v R n : B(u, v) = B(v, u). IX. Lineární algebra

130 IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že bilineární forma B : R n R n R je symetrická, jestliže platí u, v R n : B(u, v) = B(v, u). Poznámka Bilineární forma B je symetrická, právě když její reprezentující matice A je symetrická, tj. A = A T. IX. Lineární algebra

131 IX.3. Bilineární formy Definice Necht B : R n R n R je symetrická bilineární forma. Řekneme, že B je pozitivně definitní (PD), jestliže u R n, u o : B(u, u) > 0, IX. Lineární algebra

132 IX.3. Bilineární formy Definice Necht B : R n R n R je symetrická bilineární forma. Řekneme, že B je pozitivně definitní (PD), jestliže u R n, u o : B(u, u) > 0, negativně definitní (ND), jestliže u R n, u o : B(u, u) < 0, IX. Lineární algebra

133 IX.3. Bilineární formy Definice Necht B : R n R n R je symetrická bilineární forma. Řekneme, že B je pozitivně definitní (PD), jestliže u R n, u o : B(u, u) > 0, negativně definitní (ND), jestliže u R n, u o : B(u, u) < 0, pozitivně semidefinitní (PSD), jestliže u R n : B(u, u) 0, IX. Lineární algebra

134 IX.3. Bilineární formy Definice Necht B : R n R n R je symetrická bilineární forma. Řekneme, že B je pozitivně definitní (PD), jestliže u R n, u o : B(u, u) > 0, negativně definitní (ND), jestliže u R n, u o : B(u, u) < 0, pozitivně semidefinitní (PSD), jestliže u R n : B(u, u) 0, negativně semidefinitní (NSD), jestliže u R n : B(u, u) 0, IX. Lineární algebra

135 IX.3. Bilineární formy Definice Necht B : R n R n R je symetrická bilineární forma. Řekneme, že B je pozitivně definitní (PD), jestliže u R n, u o : B(u, u) > 0, negativně definitní (ND), jestliže u R n, u o : B(u, u) < 0, pozitivně semidefinitní (PSD), jestliže u R n : B(u, u) 0, negativně semidefinitní (NSD), jestliže u R n : B(u, u) 0, indefinitní (ID), neplatí-li nic z předchozího, tj. u, v R n : B(u, u) > 0 & B(v, v) < 0. IX. Lineární algebra

136 IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že matice A = (a ij ) M(n n) je diagonální, jestliže a ij = 0 pro každé i, j {1,..., n}, i j. IX. Lineární algebra

137 IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že matice A = (a ij ) M(n n) je diagonální, jestliže a ij = 0 pro každé i, j {1,..., n}, i j. Tvrzení 7 (definitnost diagonální matice) Necht A = (a ij ) M(n n) je diagonální. Pak platí: A je PD, právě když a ii > 0, i = 1,..., n; IX. Lineární algebra

138 IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že matice A = (a ij ) M(n n) je diagonální, jestliže a ij = 0 pro každé i, j {1,..., n}, i j. Tvrzení 7 (definitnost diagonální matice) Necht A = (a ij ) M(n n) je diagonální. Pak platí: A je PD, právě když a ii > 0, i = 1,..., n; A je ND, právě když a ii < 0, i = 1,..., n; IX. Lineární algebra

139 IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že matice A = (a ij ) M(n n) je diagonální, jestliže a ij = 0 pro každé i, j {1,..., n}, i j. Tvrzení 7 (definitnost diagonální matice) Necht A = (a ij ) M(n n) je diagonální. Pak platí: A je PD, právě když a ii > 0, i = 1,..., n; A je ND, právě když a ii < 0, i = 1,..., n; A je PSD, právě když a ii 0, i = 1,..., n; IX. Lineární algebra

140 IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že matice A = (a ij ) M(n n) je diagonální, jestliže a ij = 0 pro každé i, j {1,..., n}, i j. Tvrzení 7 (definitnost diagonální matice) Necht A = (a ij ) M(n n) je diagonální. Pak platí: A je PD, právě když a ii > 0, i = 1,..., n; A je ND, právě když a ii < 0, i = 1,..., n; A je PSD, právě když a ii 0, i = 1,..., n; A je NSD, právě když a ii 0, i = 1,..., n; IX. Lineární algebra

141 IX.3. Bilineární formy Definice Řekneme, že matice A = (a ij ) M(n n) je diagonální, jestliže a ij = 0 pro každé i, j {1,..., n}, i j. Tvrzení 7 (definitnost diagonální matice) Necht A = (a ij ) M(n n) je diagonální. Pak platí: A je PD, právě když a ii > 0, i = 1,..., n; A je ND, právě když a ii < 0, i = 1,..., n; A je PSD, právě když a ii 0, i = 1,..., n; A je NSD, právě když a ii 0, i = 1,..., n; A je ID, právě když existují taková i, j {1,..., n}, že a ii > 0 a a jj < 0. IX. Lineární algebra

142 IX.3. Bilineární formy Definice Symetrickou elementární úpravou matice A M(n n) budeme rozumět úpravu, kdy provedeme jistou elementární řádkovou úpravu matice A a vzniklou matici upravíme odpovídající sloupcovou úpravou. Symetrickou transformací matice A budeme rozumět konečnou posloupnost symetrických elementárních úprav. IX. Lineární algebra

143 IX.3. Bilineární formy Lemma 8 (o matici transformace) Necht T je transformace matic o m řádcích. Potom existuje regulární matice B M(m m) taková, že kdykoli A M(m n) vznikla z A M(m n) pomocí T, tak platí BA = A. IX. Lineární algebra

144 IX.3. Bilineární formy Lemma 8 (o matici transformace) Necht T je transformace matic o m řádcích. Potom existuje regulární matice B M(m m) taková, že kdykoli A M(m n) vznikla z A M(m n) pomocí T, tak platí BA = A. Věta 9 (o matici symetrické transformace) Uvažujme symetrickou transformaci T matic typu n n. Potom existuje regulární matice B M(n n) taková, že kdykoli matice A M(n n) vznikne z A M(n n) pomocí T, tak platí BAB T = A. IX. Lineární algebra

145 IX.3. Bilineární formy Lemma 10 (o symetrické transformaci symetrické matice) (i) Je-li A M(n n) symetrická matice a C M(n n), pak CAC T je opět symetrická matice. (ii) Symetrická transformace zachovává symetrii matice. IX. Lineární algebra

146 IX.3. Bilineární formy Lemma 10 (o symetrické transformaci symetrické matice) (i) Je-li A M(n n) symetrická matice a C M(n n), pak CAC T je opět symetrická matice. (ii) Symetrická transformace zachovává symetrii matice. Věta 11 (symetrické transformace a definitnost) Necht A M(n n) je symetrická matice a necht B M(n n) vznikla z A pomocí symetrické transformace. Matice A je pozitivně definitní (negativně definitní, pozitivně semidefinitní, negativně semidefinitní, indefinitní), právě když B je pozitivně definitní (negativně definitní,... ). IX. Lineární algebra

147 IX.3. Bilineární formy Věta 12 (diagonalizace symetrické matice) Necht A M(n n) je symetrická matice. Pak ji lze symetrickou transformací převést na diagonální matici. IX. Lineární algebra

148 IX.3. Bilineární formy Věta 13 (Sylvestrovo kritérium) Necht A = (a ij ) M(n n) je symetrická matice. Pak A je pozitivně definitní, právě když a a 1k.. > 0 pro každé k = 1,..., n, a k1... a kk IX. Lineární algebra

149 IX.3. Bilineární formy Věta 13 (Sylvestrovo kritérium) Necht A = (a ij ) M(n n) je symetrická matice. Pak A je pozitivně definitní, právě když a a 1k.. > 0 pro každé k = 1,..., n, a k1... a kk negativně definitní, právě když a a 1k ( 1) k.. > 0 pro každé k = 1,..., n, a k1... a kk IX. Lineární algebra

150 IX.3. Bilineární formy pozitivně semidefinitní, právě když pro každou k-tici přirozených čísel 1 i 1 < < i k n, k = 1,..., n, platí a i1 i 1... a i1 i k.. 0, a ik i 1... a ik i k IX. Lineární algebra

151 IX.3. Bilineární formy pozitivně semidefinitní, právě když pro každou k-tici přirozených čísel 1 i 1 < < i k n, k = 1,..., n, platí a i1 i 1... a i1 i k.. 0, a ik i 1... a ik i k negativně semidefinitní, právě když pro každou k-tici přirozených čísel 1 i 1 < < i k n, k = 1,..., n, platí a i1 i 1... a i1 i k ( 1) k.. 0. a ik i 1... a ik i k IX. Lineární algebra

152 IX.4. Vlastní čísla a vektory IX.4. Vlastní čísla a vektory IX. Lineární algebra

153 IX.4. Vlastní čísla a vektory IX.4. Vlastní čísla a vektory Definice Necht A M(n n). Řekneme, že λ C je vlastní číslo matice A, jestliže existuje nenulový vektor x C n takový, že Ax = λx. Vektor x pak nazýváme vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu λ. IX. Lineární algebra

154 IX.4. Vlastní čísla a vektory IX.4. Vlastní čísla a vektory Definice Necht A M(n n). Řekneme, že λ C je vlastní číslo matice A, jestliže existuje nenulový vektor x C n takový, že Ax = λx. Vektor x pak nazýváme vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu λ. Věta 14 Necht A M(n n). (i) Prvek λ C je vlastním číslem matice A, právě když det(λi A) = 0. IX. Lineární algebra

155 IX.4. Vlastní čísla a vektory IX.4. Vlastní čísla a vektory Definice Necht A M(n n). Řekneme, že λ C je vlastní číslo matice A, jestliže existuje nenulový vektor x C n takový, že Ax = λx. Vektor x pak nazýváme vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu λ. Věta 14 Necht A M(n n). (i) Prvek λ C je vlastním číslem matice A, právě když det(λi A) = 0. (ii) Matice A má nejvýše n různých vlastních čísel. IX. Lineární algebra

156 IX.4. Vlastní čísla a vektory Definice Necht A M(n n). Polynom λ det(λi A) se nazývá charakteristický polynom matice A. Vzhledem k tvrzení (i) předchozí věty definujeme násobnost vlastního čísla matice jako násobnost tohoto čísla jakožto kořene charakteristického polynomu. IX. Lineární algebra

157 IX.4. Vlastní čísla a vektory Definice Necht A M(n n). Polynom λ det(λi A) se nazývá charakteristický polynom matice A. Vzhledem k tvrzení (i) předchozí věty definujeme násobnost vlastního čísla matice jako násobnost tohoto čísla jakožto kořene charakteristického polynomu. Věta 15 (vlastní čísla symetrické matice) Necht A M(n n) je symetrická matice. Pak jsou všechna její vlastní čísla reálná. IX. Lineární algebra

158 IX.4. Vlastní čísla a vektory Definice Řekneme, že matice Q M(n n) je ortogonální, jestliže platí Q T Q = QQ T = I. IX. Lineární algebra

159 IX.4. Vlastní čísla a vektory Definice Řekneme, že matice Q M(n n) je ortogonální, jestliže platí Q T Q = QQ T = I. Věta 16 (spektrální rozklad matice) Necht A M(n n) je symetrická matice. Pak existuje ortogonální matice Q M(n n) taková, že λ QAQ T =....., 0... λ n kde λ 1,..., λ n jsou vlastní čísla matice A. IX. Lineární algebra

160 IX.4. Vlastní čísla a vektory Věta 17 (vlastní čísla a definitnost) Necht A M(n n) je symetrická matice. Pak platí: A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla kladná, IX. Lineární algebra

161 IX.4. Vlastní čísla a vektory Věta 17 (vlastní čísla a definitnost) Necht A M(n n) je symetrická matice. Pak platí: A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla kladná, A je negativně definitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla záporná, IX. Lineární algebra

162 IX.4. Vlastní čísla a vektory Věta 17 (vlastní čísla a definitnost) Necht A M(n n) je symetrická matice. Pak platí: A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla kladná, A je negativně definitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla záporná, A je pozitivně semidefinitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla nezáporná, IX. Lineární algebra

163 IX.4. Vlastní čísla a vektory Věta 17 (vlastní čísla a definitnost) Necht A M(n n) je symetrická matice. Pak platí: A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla kladná, A je negativně definitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla záporná, A je pozitivně semidefinitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla nezáporná, A je negativně semidefinitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla nekladná, IX. Lineární algebra

164 IX.4. Vlastní čísla a vektory Věta 17 (vlastní čísla a definitnost) Necht A M(n n) je symetrická matice. Pak platí: A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla kladná, A je negativně definitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla záporná, A je pozitivně semidefinitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla nezáporná, A je negativně semidefinitní, právě když jsou všechna její vlastní čísla nekladná, A je indefinitní, právě když má kladné vlastní číslo i záporné vlastní číslo. IX. Lineární algebra

165 IX.4. Vlastní čísla a vektory Definice Necht A = (a ij ) M(n n). Stopou matice A rozumíme číslo n tr(a) = a ii. i=1 IX. Lineární algebra

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Program SMP pro kombinované studium

Program SMP pro kombinované studium Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

(5) Primitivní funkce

(5) Primitivní funkce (5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x

Více

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

11. Číselné a mocninné řady

11. Číselné a mocninné řady 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

+ n( 1)n+1 (x 7) n, poloměr konvergence 6. 3.Poloměr konvergence je vždy +. a) f(x) = x n. (x 7) n, h(x) = 7 + 7(n+1)( 1) n. ( 1)n

+ n( 1)n+1 (x 7) n, poloměr konvergence 6. 3.Poloměr konvergence je vždy +. a) f(x) = x n. (x 7) n, h(x) = 7 + 7(n+1)( 1) n. ( 1)n VÝSLEDKY I. TAYLORŮV POLYNOM. a + b + 4 4 c + 0 d e + + 4 f + + 4 g + 70 4 h 4 4. a b c d - e log a f 0 g h i j k - 4. a 7 b 4. a AK absolutně konverguje b D diverguje c D d AK e D f AK g AK II. MOCNINNÉ

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.

(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus. (1 [B] Nechť A : R 6 R 6 je lineární zobrazební takové, že A 26 = I. Najděte lineární prostory V 1, V 2 a V 3 takové, že R 6 = V 1 V 2 V 3 dim V 1 = dim V 2 = dim V 3 AV 1 V 1, AV 2 V 2 a AV 3 V 3 (2 [B]

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt

Více

22 Základní vlastnosti distribucí

22 Základní vlastnosti distribucí M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající

Více

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V

Více

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

Úvod, základní pojmy, funkce

Úvod, základní pojmy, funkce Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,

Více