O aplikacích matematiky

Transkript

1 Matematika je všude kolem nás O aplikacích matematiky Michal Křížek

2

3 Uvidíme, že mnohé matematické výsledky našly uplatnění až mnoho desítek či stovek let po svém vzniku.

4 Obsah Teorie čísel RSA Radonova transformace JPG Nebeská mechanika MKP Google DNA...

5 Rodná čísla od r Poslední čtyřčíslí je voleno tak, aby celé deseticiferné číslo (bez lomítka) bylo dělitelné 11. Např /0428 Počítač ohlásí chybu, jakmile se při zadávání zmýlíme v jedné cifře. Pak rozdíl mezi správným a špatně zadaným r. č. bude ±c10n pro c z {1,2,,9}, což není dělitelé 11, ale může být děl. slož. čísly 12,14, Napíšeme-li omylem /0728, počítač by při dělení 12 chybu neodhalil, protože obě čísla jsou dělitelná 12.

6 ISBN Internat. Standard Book Number ISBN odpovídá zemi, popř. jazyku (anglosaské země mají kromě 0 vyhrazenu ještě 1, frankofonní 2, německy mluvící země 3, Japonsko 4,, ČR a SR 80, kód nakladatelství Springer identifikační číslo knihy Poslední (kontrolní) cifra je volena tak, aby x1 + 2x2 + 3x x10 bylo dělitelné 11.

7 Studiem prvočísel se lidstvo zabývá již několik tisíciletí. Ale teprve ve 20. stol. se dospělo k tomu, že prvočísla mohou mít řadu užitečných technických aplikací: samodetekující kódy: rodná čísla, ISBN, ISSN, ISMN, IBAN, IČO, samoopravné kódy, čárové kódy, digitální podpis (ochrana dat před nepovolanými čtenáři, falzifikaci či destrukci souborů) hašovací funkce generátory pseudonáhodných čísel algoritmy rychlého násobení řešení akustiky koncertních sálů, návrhy ozubených kol atd. atd.

8 Jednorozměrné a dvourozměrné čárové kódy Čárový kód byl poprvé patentován v USA již v roce Jeho masové použití je však spojeno až s obrovským pokrokem optoelektrotechniky. V supermarketech zvyšuje rychlost prodeje až o 400 %. Největší dvouciferné prvočíslo 97 se používá k zabezpečení kódu IBAN (International Bank Account Number).

9 Šifrování pomocí symetrického klíče Kryptografie se zabývá ochranou přenosu a uchování dat, především zajištěním jejich důvěrnosti, integrity dat (tj. obsahové neporušenosti), autentičnosti informací, nepopiratelnosti jejich původů apod. Na množině {0,1} definujme: = tajná zpráva šifrovací klíč přenášená zašifrovaná zpráva dešifrovací klíč odšifrovaná zpráva

10 RSA Rivest, Shamir, Adelman x* = xe mod n (zašifrovaná zpráva), kde e je veřejně známý šifrovací exponent x je přirozené číslo (utajovaná zpráva) n je známý součin dvou velkých prvočísel, jež nejsou veřejně známa. (x*)^ = (x*)d mod n (odšifrovaná zpráva), kde dešifrovací exponent d není veřejný. Věta: gcd(e,φ(n))=1 > (x*)^ = x.

11 Poselství mimozemským civilizacím z roku 1974 Čísla jsou jediná univerzální řeč ve vesmíru. Nathanael West 1679 = 73 x 23

12 Samoopravné kódy Hammingova vzdálenost d(u,v) mezi binárními vekory u = (u1,,un) a v = (v1,,vn) je počet míst, ve kterých se u liší od v.

13 Radonova transformace V klasickém CT je tělo prozařováno z různých stran rtg. zářením. Detektor naměří různý pokles intenzity, protože kosti pohlcují více záření než měkké tkáně. Ozn. p=p(l,ψ) projekci v jednom řezu, l polohu detektoru, ψ úhel natočení těla, f = f(r,φ) neznámou funkci absorbce záření, která vypovídá o rozložení orgánů. V roce 1917 J. Radon odvodil následující inverzní formuli x p 1 1 f (r, ) 2 (l, ) dl d 2 x 0 l r cos( ) l Pro její výpočet se používá Fourierova transformace a FFT, která umožňuje sledovat např. plíce či srdce v reálnem čase ( F (q))(t ) q( x)e 2 ixt dx

14 JPG (JPEG Joint Photographic Experts Group) Formát JPG používá Fourierovy trigonometrické polynomy. 250 x 375 = pixelů 3 barvy (RGB) dávají bytů, ale JPG komprese dává např. 32 kb. Každý řádek (sloupec) pro každou barvu představuje hodnoty f0, f1,,f7 z množiny {0,1,,255}. Pro C0 =2-½ a Ck = 1 pro k > 0 je diskrétní kosinová transfomace dána vztahem 2 3 x (2 j 1)k Fk Ck f j cos 2 j 0 16

15 Nebeská mechanika x = f(x), x = x0

16

17 Praktický přínos numerického řešení problémů nebeské mechaniky Telekomunikační družice Přistání člověka na Měsíci Unikátní snímky vzdálených planet a jejich měsíců Stanovení fyzikálních vlastností těles ve Sluneční soustavě i vzdáleném vesmíru Hubbleův dalekohled GPS atd. atd.

18 Metoda konečných prvků - Δ u = f v Ω, B.C. Ax = b ODE, PDE, int. rov., integ.-difer. rov., variční nerovnice, systémy alg.-dif. r.: Pružnost, pevnost Vedení tepla Chem. reakce Gravitační pole Elmag. pole Proudění tekutin Schrödingerova r.

19 Pro důkazy existence a jednoznačnosti spojitého a přibližného řešení, konvergence, stability, je důležité se zabývat: Hilbertovými aj. funkcionálními prostory větami o vnoření slabou konvergencí monotónními operátory kompaktními množinami atd. atd.;

20 Internetový vyhledávač Google Vysoké rychlosti vyhledávání se dosahuje předzpracováním prohledávaných dat, jejich organizací do speciálních datových struktur, paralelizací prohledávání webových stránek, použitím efektivních numerických algoritmů a vysokou výkonností soudobých počítačů Google vyvinuli Larry Page a Sergey Brin v r. 1998, kdy už existovalo cca 3000 prohledávačů Nahrazuje zdlouhavé hledání v encyklopediích, kartotékách, mikrofilmech, disketách apod. Používá se teorie grafů, lineární algebra, numerická matematika, výpočetní složitost, zpracování dat, matematická lingvistika, umělá inteligence, matematické modelování, Markovovské řetězce, statistika atd.

21 Příklad Teze: Ocenění webové stránky je vysoké, jestliže na ni odkazují vysoce oceněné stránky a jestliže tyto stránky neodkazují na mnoho dalších stránek. Nechť P1,, Pn jsou webové stránky, tj. vrcholy v orientovaném grafu. Nechť Bj je množina webových stránek Pi, které odkazují na stránku Pj, a nechť Pi je celkový počet odkazů směřujících z Pi. Pak pro ocenění stránky Pj požadujeme, aby 1 r ( Pj ) r ( Pi ) Pi B j Pi 0 0 H = ⅓ ½ 0 ⅓ ½ ⅓ ½½ 0½ 0 ½ Úloha na vl. čísla Gx = λx

22 DNA

23

24

25

26 Před třemi tisíci lety staří Číňané objevili dvojkovou soustavu. Tento fenomenální objev našel uplatnění až v dnešní době. Počítače totiž zpracovávají veškerou informaci ve dvojkové soustavě. A tak fungování u, faxu, scanerů, kopírek, digitálních kamer, kompaktních disků, mobilních telefonů a celosvětové sítě internet je založeno na starých čínských principech jin (= 0) a jang (= 1). Příroda ale objevila v průběhu evoluce dvojkovou soutavu před třemi miliardami let. Na DNA jsou čtyři druhy bází A, C, G a T. Nahradíme-li je postupně 00, 01, 10 a 11, dostaneme posloupnost nul a jedniček, což je vlastně genetická informace ve dvoj. soustavě.

27

28

29

30

31

32