Co jsme udělali: Au = f, u D(A)
|
|
- Nikola Šmídová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení Zobecněná derivace Obecná Dirichletova, Neumanova a Newtonova okrajová podmínka Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Kapitola IV z knihy Karel Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, SNTL, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
2 Co jsme udělali: ( p(x)u ) + q(x)u = f, u(a) = 0 = u(b) Au = f, u D(A) min F(v), v H A kde Au = (p(x)u ) + q(x)u a F(v) = (v, v) A 2(f, v). A je symetrický a pozitivně definitní operátor (p(x) > 0 pro a x b; s q(x) je to složitější, ale q(x) 0 stačí). H A je zúplněníd(a) (doplněníd(a) o další funkce - limity). (Av, w) & int. po částech = (v, w) A Zobecnění do 2D a 3D?
3 Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice. Laplaceův operátor v R 2 (E 2 ) v R 3 (E 3 ) = 2 x 2 1 = 2 x x 2 2 Laplaceova rovnice v R x2 2, u = 2 u x u x x3 2, u = 2 u x u x2 2 u = 0. Řešení např. u = 5x 1 + 9x 2, u = 8x 2 1 8x u x3 2.
4 Poissonova rovnice v R 2 u = f, kde f C(R 2 ) je zadaná funkce. Pro f = 2 sin x 1 cos x 2, řešení např. u = sin x 1 cos x 2. Obdobně Poissonova rovnice v R 3 : u = f. Laplaceův operátor se hojně vyskytuje ve fyzice (rovnice pro elektrický nebo gravitační potenciál, vedení tepla, šíření vln).
5 Okrajové úlohy pro Poissonovu (Laplaceovu) rovnici Oblast R n : otevřená, omezená a souvislá množina v R n. Předpoklady: je omezená oblast a její hranice Γ (často též značeno ) je lipschitzovská. Okrajová úloha: u = f v a na Γ okrajová podmínka Dirichletova: u = g na Γ, kde funkce g je na hranici Γ předepsána; Neumannova: u = h na Γ, kde funkce h je zadaná na ν hranici Γ (derivace řešení podle jednotkové vnější normály ν); Newtonova: u +αu = h na Γ, kde funkce α a h jsou ν zadané na hranici Γ. Dirichletův (Neumannův, Newtonův) problém pro Poissonovu rovnici.
6 Dirichletův problém pro Poissonovu rovnici podrobněji R 2, f C(), g C(Γ) Hledáme funkci u, která splňuje je spojitá v uzavřené oblasti = Γ; má v spojité parciální derivace 2 u a splňuje v rovnici u = f ; x 2 1 v každém bodě hranice Γ platí u = g. Stručně u C 2 () C(), u = f v, u = g na Γ. a 2 u x 2 2 Každou funkci s těmito vlastnostmi nazýváme (klasickým) řešením Dirichletova problému pro Poissonovu rovnici. Obdobně pro R 3, R n a pro f = 0 (Dirichletův problém pro Laplaceovu rovnici).
7 Existuje (klasické) řešení? Ano pro speciální, f a g. Obecně ale existence klasického řešení není zaručena. Je možné úlohu formulovat pomocí operátoru a přejít k variačním metodám? Pro jednoduchost předpokládejme g = 0. Pak operátor A : D(A) C() je dán předpisem Au = u a definičním oborem D(A) = {u C 2 () : u Γ = 0}. V 1D byla pro přechod k zobecněnému řešení klíčová symetrie operátoru a pozitivní definitnost operátoru (pak bylo možné zúplnit/rozšířit D(A) na H A a v H A existovalo minimum funkcionálu energie). Lze podobně postupovat i u Dirichletovy úlohy?
8 Co je obdobou integrace po částech, kterou známe z 1D úloh? Greenova věta Necht je oblast s lipschitzovskou hranicí a necht funkce f(x) = f(x 1,...,x n ) a g(x) = g(x 1,...,x n ) jsou spojité v Γ včetně parciálních derivací f/ x i, g/ x i pro některý index i. Pak platí f g dx = fgν i ds f g dx, x i Γ x i kde ν i je i-tá souřadnice jednotkového vektoru vnější normály. Poznámka: Greenova věta z MA3 pro vektorovou funkci f, tj. f νds = div f dx, plyne z nynější verze Gr. věty při volbě g = 1. Γ
9 Připomeňme, že i pro funkce u, v C() je skalární součin definován analogicky jako v případě 1D, tj. (u, v) = u(x)v(x)dx, jde tedy o dvojný (případně trojný, vícerozměrný) integrál. Operátor daný předpisem Au = u je na D(A) = {u C 2 () : u Γ = 0} symetrický. Díky Greenově větě totiž pro u, v D(A) platí (Au, v) = (u, Av) = u v dx, nebot integrály přes hranici Γ jsou nulové.
10 Operátor A je pozitivní: u D(A), u 0 (Au, u) = u u dx > 0. Je pozitivně definitní?
11 Friedrichsova nerovnost [K. Rektorys:Variační metody..., SNTL, Praha, 1974 (upraveno)] Necht je oblast s lipschitzovskou hranicí; uvažujme funkce z prostoru C 1 ( Γ). Pak existuje kladná konstanta c, závislá na, ale nezávislá na funkcích z C 1 ( Γ) a taková, že pro každou funkci u C 1 ( Γ) platí n k=1 ( ) u 2 dx + u 2 (S) ds c x k Γ u 2 (x) dx = c u 2 L 2 ().
12 Díky Friedrichsově nerovnosti pro u D(A) (je tedy u = 0 na Γ) platí (Au, u) = c u u dx = n k=1 u 2 (x) dx = c u 2 L 2 (). Operátor A je tudíž pozitivně definitní. ( ) u 2 dx x k
13 Můžeme tedy (vyšedše z operátorové rovnice Au = f ) definovat energetický skalární součin (u, v) A = (Au, v) a energetickou normu u A = (Au, u); definovat prostor H A jako zúplnění prostoru D(A); definovat na H A funkcionál energie F(u) = (u, u) A 2(f, u); definovat zobecněné řešení rovnice Au = f jako funkci u H A, v níž F nabývá svého minima na H A (minimum existuje); hledat přibližné řešení u k Ritzovou metodou, tj. hledat koeficienty a 1,...,a k v lineární kombinaci u k = a 1 v 1 + +a k v k, kde funkce v 1,..., v k jsou pevně dány a u k minimalizuje hodnotu funkcionálu energie na prostoru všech lineárních kombinací funkcí v 1,...,v k.
14 Několik obrázků bázových funkcí pro Ritzovu metodu = (0, L 1 ) (0, L 2 ) (obdélník) Trigonometrická báze v 1 = sin πx 1 L 1 sin πx 2 L 2, v 2 = sin 2πx 1 L 1 sin πx 2 L 2, v 3 = sin πx 1 L 1 sin 2πx 2 L 2, v 4 = sin 3πx 1 L 1 sin πx 2 L 2, v 5 = sin 2πx 1 L 1 sin 2πx 2 L 2, v 6 = sin πx 1 L 1 sin 3πx 2 L 2,...
15 sin 2πx 1 L 1 sin 2πx 2 L 2 sin 3πx 1 L 1 sin πx 2 L 2 sin πx 1 L 1 sin 3πx 2 L 2
16 Polynomiální báze g = x 1 x 2 (L 1 x 1 )(L 2 x 2 ) v 1 = g, v 2 = x 1 g, v 3 = x 2 g, v 4 = x 2 1 g, v 5 = x 1 x 2 g, v 6 = x 2 2 g,... 1,0 0,5 1,0 0,5 0,0 0 0,0 0 1 x_2 0,0 0,5 2 x_1 1,0 1 0,0 x_2 2 1,0 0,5 x_1 1,5 1,0 0,5 1,0 0,5 0,0 0,0 0,5 0,0 0 1,0 x_2 1,5 2,0 1,0 0,5 x_1 0,0 1 0,0 x_2 2 1,0 0,5 x_1
17 Metoda konečných prvků (MKP) různé typy spojitých bázových funkcí s malým nosičem. Nejjednodušší po částech lineární. Na rozdíl od předchozí báze (Ritzova metoda), tato báze zajistí, že výsledná soustava lineárních algebraických rovnic bude mít řídkou matici
18 Obě metody (Ritzova, MKP) opět vedou k řešení soustavy lineárních algebraických rovnic přímou nebo iterační metodou. Sestavení soustavy (její matice a pravé strany) je pracné kvůli integraci, používá se integrace numerická. Vrat me se ještě k původní úloze a minimalizaci funkcionálu energie.
19 Necht u H A je bodem minima energetického funkcionálu a v H A. Definujme φ(t) = F(u + tv) a upravme φ(t) = F(u + tv) = (u + tv, u + tv) A 2(f, u + tv) = (u, u) A + 2t(u, v) A + t 2 (v, v) A 2(f, u) 2t(f, v). Z podmínky minima φ (0) = 0 (čárka značí derivaci dle t). Tedy (u, v) A = (f, v) musí platit pro v H A. Opět se tedy setkáváme s ekvivalentní úlohou: Najdi u H A takové, že platí (u, v) A = (f, v) v H A, která má totéž zobecněné řešení u jako minimalizace funkcionálu energie. Tuto formulaci můžeme odvodit i bez minimalizace funkcionálu energie.
20 Jiná cesta k zobecněnému řešení Jestliže u = f v R 2, pak uv dx = fv dx (1) pro každou funkci v z vhodného velkého" prostoru?. S užitím Greenovy věty a u = 0 na Γ odvodíme slabě formulovanou úlohu: Najdi funkci u? takovou, aby platilo ( u v + u ) v dx = fv dx v?. (2) x 1 x 1 x 2 x 2 Potřebujeme, aby takto formulovaná úloha měla jednoznačné řešení u, které sice nemusí ležet v C 2 (), avšak v případě, že náhodou u C 2 (), aby platilo u = f v a u = 0 na Γ. Ukáže se (netriviálně), že na místě? potřebujeme prostor (Sobolevův), jenž splývá s prostorem H A známým z úvah o minimu funkcionálu energie (zúplnění D(A)).
21 Jak si představit funkce z H A = Sobolevova prostoru W 1,2 ()? W 1,2 () = {u L 2 () : u/ x 1, u/ x 2 L 2 (), u Γ = 0}, kde však derivace jsou zobecněné: Řekneme, že funkce v,i L 2 () je zobecněnou první parciální derivací podle proměnné x i funkce u L 2 (), platí-li pro každou funkci φ C0 () v,i φ dx = u φ dx, (3) x i kde C0 () je prostor všech funkcí nekonečně spojitě diferencovatelných v a nulových v nějakém okolí hranice oblasti. Jestliže u C 1 (), pak v,i u/ x i a v,i je parciální derivace funkce u v klasickém smyslu. V pozadí (3) stojí Greenova věta. Platnost u Γ = 0 též v jistém zobecněném smyslu (nulová stopa funkce).
22 Prostor H A byl sice původně definován pomocí operátoru A, ale lze jej definovat přímo, bez operátoru A. Značí se W 1,2 (); pro R 2 W 1,2 () = {u L 2 () : u/ x 1, u/ x 2 L 2 (), u Γ = 0}. Ještě obecnější (bez podmínky nulovosti na hranici) je prostor W 1,2 () (Sobolevův prostor) W 1,2 () = {u L 2 () : u/ x 1, u/ x 2 L 2 ()}. Jest W 1,2 () W 1,2 (). Na obou prostorech je definován speciální skalární součin funkcí (užívá i derivace!) ( ) u v (u, v) W 1,2 () = (u, v) L 2 () +, x 1 x 1 L 2 () u v = uv dx + dx + x 1 x 1 Norma u W 1,2 () = (u, u) W (). 1,2 ( u +, x 2 ) v x 2 u v dx. x 2 x 2 Prostor W 1,2 () (i W 1,2 ()) je úplný (každá posloupnost cauchyovská v normě u W 1,2 () má limitu z W 1,2 ()). L 2 ()
23 Shrnutí Klasické řešení úlohy: najít u C 2 () C(), aby u = f v R 2, u = 0 na Γ. Slabé řešení úlohy: najít u W 1,2 (), aby u v dx = fv dx v W 1,2 (). (4) (Odpovídá nulové derivaci funkcionálu energie v každém směru v W 1,2 ().) Díky symetrii operátoru je (4) ekvivalentní minimalizaci funkcionálu energie na H A W 1,2 (), řešení u je v obou případech stejné.
24 Přibližné řešení rovnice ( u v + u ) v dx = x 1 x 1 x 2 x 2 fv dx v W 1,2 () na podprostoru V m W 1,2 () konečné dimenze opět ve tvaru lineární kombinace bázových funkcí v i, tj. u m = m i=1 c iv i, ( m i=1 c iv i v + m i=1 c ) iv i v dx = fv dx, x 1 x 1 x 2 x 2 m ( vi v c i + v ) i v dx = fv dx v V m. x 1 x 1 x 2 x 2 i=1 Místo testování funkcemi v V m stačí užít jen v 1,..., v m. Dostaneme soustavu m lin. alg. rovnic pro neznámý vektor c = (c 1,...,c m ) T, (v i, v 1 ) A c 1 +(v i, v 2 ) A c 2 + +(v i, v m ) A c m = (f, v i ), i = 1, 2,..., m. Tuto soustavu známe z Ritzovy metody a z MKP!!!
25 Obecná Dirichletova okrajová podmínka, říká se jí stabilní a ovlivňuje prostor funkcí. 1 Klasické řešení úlohy: najít u C 2 () C(), aby u = f v R 2, u = g na Γ. Slabé řešení úlohy: Vezměme takovou funkci w W 1,2 (), aby splňovala w = g na Γ, pak hledáme funkci u W 1,2 (), pro niž u w W 1,2 (), u v dx = fv dx v W 1,2 (). Lze řešit např. užitím u = w + u 0, kde u 0 W 1,2 (): u 0 v dx = fv dx w v dx v W 1,2 (). 1 Obsahuje jen funkce s nulovu stopou na Γ.
26 Obecná Neumannova okrajová podmínka, říká se jí nestabilní a neovlivňuje prostor funkcí, 2 objevuje se ve slabé formulaci. Klasické řešení úlohy: najít u C 2 () C 1 (), aby u = f v R 2, u = h na Γ. ν Při aplikaci Greenovy věty na cestě od (1) k (2) zjistíme, že Γ ( u/ ν)v ds = Γ hv ds. Slabé řešení úlohy: Hledáme funkci u W 1,2 (), pro niž u v dx = fv dx + hv ds v W 1,2 (). (5) Poznámka: Povšimněte si, že v = konstanta W 1,2 (). Z (5) pak plyne nutná podmínka pro existenci řešení: 0 = f dx + Γ h ds 2 Není omezení na nulovou stopu na hranici Γ. Γ
27 Obecná Newtonova okrajová podmínka, říká se jí nestabilní a neovlivňuje prostor funkcí, 3 objevuje se ve slabé formulaci. Klasické řešení úlohy: najít u C 2 () C 1 (), aby u ν u = f v R 2, +αu = h na Γ. Při aplikaci Greenovy věty na cestě od (1) k (2) zjistíme, že Γ ( u/ ν)v ds = Γ αuv ds Γ hv ds. Slabé řešení úlohy: Najít u W 1,2 (), aby v W 1,2 () u v dx + αuv ds = fv dx + hv ds. Γ Γ 3 Není omezení na nulovou stopu na hranici Γ.
28 Příklad v 1D (obecná Dirichletova OP): Okrajová úloha u + e x u = cos x v (0, 3), u(0) = 1, u(3) = 5. Zvolíme například w(x) = 1 2x, tj. u = u 0 + w, navíc dokonce u = u 0. Pak OÚ pro neznámou funkci u 0: u 0 + ex (u 0 + w) = cos x v (0, 3), u 0 (0) = 0, u 0 (3) = 0. Slabá formulace: Najít u 0 W 1,2 (0, 3), aby v W 1,2 (0, 3) 3 0 ( u 0 (x)v (x)+e x u 0 (x)v(x) ) dx = 3 0 (cos x e x (1 2x))v(x) dx. Řešení původní úlohy je u = u x W 1,2 (0, 3).
Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
Více(Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.)
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy: zúplnění prostoru funkcí přibližné řešení minim. úlohy metoda konečných prvků jiný pohled na zobecněné řešení stejný způsob numerické aproximace
VíceLiteratura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních
VíceHomogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky
Předmět: MA4 Dnešní látka Variační formulace okrajových úloh. Přibližné řešení minimalizační úlohy Ritzova metoda. Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky Literatura:
VíceHomogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky
Předmět: MA4 Dnešní látka Diferenciální operátory Variační formulace okrajových úloh. Přibližné řešení minimalizační úlohy Ritzova metoda. Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové
Vícekteré charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic.
1. Přednáška Obsah: Úvod do tvorby matematických modelů jako okrajové úlohy pro diferenciální rovnici. Příklad 1D vedení tepla a lineární pružnost. Diferenciální, variační, energetická formulace úloh.
VíceVěta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa
Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Petr Tomiczek Fakulta Aplikovaných věd Západočeská univerzita Plzeň 2006 obsah 1 Rozklad Hilbertova prostoru Uzavřený lineární a samoadjungovaný operátor
VíceLiteratura: Text o lineární algebře na webových stránkách přednášejícího (pro opakování). Kapitoly 4 a 5 ze skript Ondřej Zindulka: Matematika 3,
Předmět: MA4 Dnešní látka Motivační úloha: ztráta stability nosníku Obyčejné diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami a jejich řešitelnost Vlastní čísla a vlastní funkce Obecnější pohled na řešitelnost
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceMetoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)
Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009 Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr.
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Vícestránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
Víceterminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
Víceem do konce semestru. Obsah Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda
Zápočtové problémy Na následujících stránkách naleznete druhou sérii zápočtových problémů věnovanou nosníkům. Ti, co ještě nemají žádný problém přidělený, si mohou vybrat libovolný z nich. Řešení můžete
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceMATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu
MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu
VíceDnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceZákladní spádové metody
Základní spádové metody Petr Tichý 23. října 2013 1 Metody typu line search Problém Idea metod min f(x), f : x R Rn R. n Dána počáteční aproximace x 0. Iterační proces (krok k): (a) zvol směr d k, (b)
VíceLiteratura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí v 1D. Myšlenka náhrada derivací diferenčními podíly Přibližné řešení okrajových úloh Aproximace vlastních čísel Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys:
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceObsah. 1 Lineární prostory 2
Obsah 1 Lineární prostory 2 2 Úplné prostory 2 2.1 Metrické prostory.................................... 2 2.2 Banachovy prostory................................... 3 2.3 Lineární funkcionály..................................
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceZS: 2017/2018 NMAF061 F/2 J. MÁLEK. Matematika pro fyziky I. Posluchárna: T2 T1 Konzultační hodiny: pátek 9:40-10:30, posluchárna T5
ZS: 2017/2018 NMAF061 F/2 J. MÁLEK Matematika pro fyziky I OBECNÉ INFORMACE A SYLABUS Přednášející: Cvičící: Josef Málek Michal Báthory, Tomáš Los, Michal Pavelka, Vít Průša Termíny přednášek: Čtvrtek
Více12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceBudeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1
ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceNetradiční výklad tradičních témat
Netradiční výklad tradičních témat J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi I. VUTIUM, Brno 2006 (291 s.), 2009 (349 s.). J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VíceMatematika V. Dynamická optimalizace
Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceParciální diferenciální rovnice
Parciální diferenciální rovnice Obsah kurzu Co bude obsahovat... úvod do PDR odvození některých PDR klasická teorie lineárních PDR 1. a 2. řádu řešení poč. a okraj. úloh vlastnosti řešení souvislost s
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
VíceÚvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce
Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VícePružnost a plasticita II CD03
Pružnost a plasticita II CD3 uděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechanik tel: 5447368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Více2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceMatice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
VícePRUŽNOST A PEVNOST II
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ PRUŽNOST A PEVNOST II Navazující magisterské studium, 1. ročník Alois Materna (přednášky) Jiří Brožovský (cvičení) Kancelář: LP C 303/1
VíceObsah. Matematika. Obsah. Ljapunovova metoda. Volba LF
Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 1/27 Obsah Obsah Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 2/27 Obsah přednášky
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VícePřednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012
Přednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012 Robert Mařík 23. ledna 2015 2 Obsah 1 Přednášky 2012 5 2 Písemky 2012 9 3 4 OBSAH Kapitola 1 Přednášky 2012 1. prednaska, 16.2.2012 -----------------------
VíceZS: 2018/2019 NMAF063 F/3 Josef MÁLEK. Matematika pro fyziky III
ZS: 2018/2019 NMAF063 F/3 Josef MÁLEK Matematika pro fyziky III OBECNÉ INFORMACE A SYLABUS Přednášející: Cvičící: Josef Málek Tomáš Los, Michal Pavelka, Michal Pavelka, Vít Průša Termíny přednášek: čtvrtek
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více