Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Transkript

1 Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

2 Jak Google používá vlastní čísla a vlastní vektory Stránka P j a její ocenění r(p j ) (to chceme vypočítat; vyšší ocenění = důležitější či populárnější stránka): r(p j ) = P i {stránky odkazující na P j } 1 P i r(p i), j = 1, 2,...,6, kde P i je celkový počet odkazů směřujících z P i. Obrázek: P 1 = 2, P 2 = 0, P 3 = 3, P 4 = 2, P 5 = 2, P 6 = 1. v T = ( r(p 1 ), r(p 2 ),..., r(p 6 ) ) (v je sloupcový vektor)

3 r(p j ) = P i {stránky odkazující na P j } 1 P i r(p i), j = 1, 2,...,6, P 1 = 2, P 2 = 0, P 3 = 3, P 4 = 2, P 5 = 2, P 6 = 1 r(p 1 ) 0 0 1/ r(p 1 ) r(p 2 ) 1/2 0 1/ r(p 2 ) r(p 3 ) r(p 4 ) = 1/ r(p 3 ) /2 1 r(p 4 ) r(p 5 ) 0 0 1/3 1/2 0 0 r(p 5 ) r(p 6 ) /2 1/2 0 r(p 6 ) Hv = v, vl. č. 1 je dáno, vl. v. v je neznámý vypočítat!

4 Výpočet vl. vektoru mocninnou metodou pro dominantní vl. č. 1: v T 0 = 1 6 (1, 1, 1, 1, 1, 1), v k+1 = Hv k pro k = 0, 1, 2, Prubeh iteracniho procesu Slozky vl. vektoru k v T = (0, 0, 0, 4, 2, 3)q, q R (C). Graf odpovídá q = 0, 0667.

5 Je třeba, aby rovnice Hv = v měla vždy právě jedno řešení mocninná metoda k němu konvergovala konvergence byla dostatečně rychlá (počet stránek 10 10, uložení matice!) vl. vektor v vzájemně rozlišil všechny stránky Matematický model, na němž je Google postaven, je složitější, tj. nestačí použít matici H, je třeba ji dále,,zvelebit".

6 Například odchod z koncové stránky na jinou, náhodně vybranou stránku změní H takto 0 1/6 1/ /2 1/6 1/ Ĥ = 1/2 1/ / / /6 1/3 1/ /6 0 1/2 1/2 0 Další úpravy odpovídající brouzdání po internetu (teleportační matice). Podrobnosti v článku J. Brandts, M. Křížek: Lineární algebra ukrytá v internetovém vyhledávači Google, Pokroky matematiky, fyziky & astronomie, ročník 52 (2007), číslo 3, str

7 Vektorový (lineární) prostor V Pro každé u, v V a každé α,β R je LK αu +βv opět prvkem V. Dále x + y = y + x x, y V, (1) x +(y + z) = (x + y)+z x, y, z V, (2)! 0 V x + 0 = x, x V, (3) x V! x V x +( x) = 0, (4) α R x V αx V, (5) 1x = x, (6) α,β R α(βx) = (αβ)x, (7) α(x + y) = αx +αy, (8) (α+β)x = αx +βx. (9) Vektory (uspořádané n-tice), matice téhož typu, funkce... Poznámka: Vektorový prostor nad komplexními čísly: α, β C.

8 Normovaný lineární prostor X Reálný vektorový prostor X se nazývá normovaný lineární prostor, je-li každému x X přiřazeno reálné číslo x, které se nazývá norma x, a jsou splněny tyto podmínky: Též platí x 0 x X, (10) x + y x + y x, y X, (11) αx = α x x X, α R, (12) x = 0 x = 0. (13) u v u w + w v u, v, w X. (14) Nerovnost (11) i (14) se nazývá trojúhelníková nerovnost. Poznámka: Stejná definice normy i pro komplexní vektorový prostor, jen α C.

9 Normy vektorů (s reálnými nebo i komplexními složkami) x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, případně C n x 1 = n x i (oktaedrická norma), i=1 ( n ) 1/2 x 2 = x i 2 (euklidovská norma), i=1 x = max i {1,2,...,n} x i (max-norma).

10 V dalším se pro jednoduchost omezíme na reálné matice a reálné vektory. (I když uvedená tvrzení platí i pro matice s komplexními prvky.) Norma matice A typu (m, n) generovaná normami vektorů: A YnX m = Ax max Ym, (15) {x X n: x 0} x Xn kde X n a Y m jsou prostory vektorů s n a m složkami. Jestliže y = Ax, kde x X n a y Y m, pak y Ym A YmX n x Xn. Jsou-li v obou prostorech použity normy stejného typu ξ, kde ξ odpovídá 1, 2 nebo, pak i normu matice A generovanou normami ξ budeme značit A ξ. Ve speciálních případech se A ξ nemusí počítat dle (15).

11 Konkrétně A 1 = max k {1,2,...,n} A 2 = ( (A T A)) 1/2 m a ik, A = max i=1 (spektrální norma). Pokud A je reálná a symetrická, pak A 2 =( (A T A)) 1/2 = ( (A 2 )) 1/2 = (A). i {1,2,...,m} k=1 n a ik, ( m ) 1/2 n Frobeniova norma A F = a ik 2 i=1 k=1 není generovaná. Platí (A) A pro Frobeniovu i každou generovanou normu. Všechny normy NLP konečné dimenze jsou ekvivalentní, např. c 1, c 2 > 0 x R n c 1 x 1 x 2 c 2 x 1, obdobně pro normy matic.

12 Skalární součin reálných vektorů x = (x 1,...,x n ) R n a y = (y 1,...,y n ) R n je číslo (x, y) = Pro x, y, z R n a α R platí n x k y k. (16) k=1 (y, x) = (x, y), (17) (x + z, y) = (x, y)+(z, y), (18) (αx, y) = α(x, y), (x,αy) = α(x, y), (19) (x, x) 0, (20) (x, x) = 0 x = 0. (21) Navíc předpisem x 2 = (x, x) je definována norma na R n. Poznámka: Definiční požadavky (17)-(21) splňuje i skalární součin funkcí (u, v) = b a u(x)v(x) dx, kde u, v C([a, b]).

13 Schwarzova (Cauchyova) nerovnost (x, y) x 2 y 2 x, y R n. Důkaz: y = 0 tvrzení platí. Jestliže y 0, pak (x, y) 0 x y 2 y 2 = x (x, y)2 y 2 2 = + ( x (x, y)2 y 2 2 (x, y) y 2 y, x 2 = x 2 2 ) (x, y) y 2 y 2 (x, y)2 y 2. 2 Poznámka: V důkazu nebyla použita konkrétní definice skalárního součinu, jen jeho vlastnosti (18)-(19)! Nerovnost tedy platí i pro skalární součin funkcí.

14 Pozitivně definitní matice Matice A = (a ij ) typu (n, n) se nazývá pozitivně definitní, platí-li pro každý nenulový n-rozměrný reálný vektor x (Ax, x) > 0, tj. n n a ij x i x j > 0. i=1 j=1 Důležité: Lze ukázat, že symetrická (!) matice A je pozitivně definitní právě tehdy, když všechna vlastní čísla matice A jsou kladná. Souvislost mezi řešením soustavy rovnic a minimalizací funkce více proměnných; A je symetrická pozitivně definitní matice typu (n, n), b je sloupcový n-složkový vektor: Necht g(x) = 1 (Ax, x) (b, x) a minima funkce g se nabývá 2 v bodě x, pak platí x = arg min g(x) grad g( x) = 0 A x = b x R n

15 Gaussova eliminační metoda Řešení soustavy Ax = b převodem ekvivalentními úpravami na soustavu s horní trojúhelníkovou maticí U, tj. Ux = b. Zpětný chod. LU rozklad, tj. LUx = b, kde L je dolní trojúhelníková matice. Pivotace. Je-li matice A symetrická a pozitivně definitní, jsou hlavní prvky nenulové. Navíc Choleského rozklad (metoda) A = LL T, kde L je dolní trojúhelníková matice (úspora paměti). Řídká matice: Nejvýše 5% prvků je nenulových. Zaplnění. Pásovost. Počet operací.

16 Číslo podmíněnosti Necht je nějaká generovaná norma a necht A je regulární matice. Pak číslo κ(a) = A A 1 se nazývá číslo podmíněnosti matice A vzhledem k normě. Je-li A symetrická a pozitivně definitní a použijeme-li normu 2, je κ(a) = λ max /λ min. Necht Ax 0 = b 0 a Ax 1 = b 1, kde b 0 b 1, pak platí x 1 x 0 x 0 κ(a) b 1 b 0. (22) b 0 K A existují b 0 0 a b 0 b 1 takové, že v (22) nastane rovnost.

17 O matici, která má velké číslo podmíněnosti, říkáme, že je špatně podmíněná. Soustavy lineárních algebraických rovnic se špatně podmíněnou maticí jsou numericky obtížně řešitelné. Selhání numerické metody, ztráta přesnosti výsledku. Hrubý odhad čísla podmíněnosti pomocí Geršgorinovy věty, příklady ve sbírce.

18 Hilbertova matice H(n) 1 H(n) = (a ij ), kde a ij =, i, j = 1, 2,...,n. i + j 1 1 1/2 1/3 Například H(3) = 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 1 Řešme soustavu H(n)x =. pro n = 2, 3,...,12. 1

19 6 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 1.9E+01 Ax b = 2.22E

20 40 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 5.2E+02 Ax b = 8.88E

21 200 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 1.6E+04 Ax b = 3.55E

22 1000 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 4.8E+05 Ax b = 2.84E

23 x 104 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 1.5E+07 Ax b = 8.53E

24 2 4 x 104 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 4.8E+08 Ax b = 1.25E

25 4 x 105 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 1.5E+10 Ax b = 3.64E

26 1 2 x 106 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 4.9E+11 Ax b = 1.82E

27 x 107 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 1.6E+13 Ax b = 1.02E

28 5 x 107 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 5.2E+14 Ax b = 9.31E

29 2 x 108 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 1.7E+16 Ax b = 2.79E

30 Presne reseni. Ax b 2 x = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 1.8E+18 Ax b = 2.51E