III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).

Transkript

1 III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0, y 0 )h 1 ; ( ) = f(x 0, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) y (x 0, y 0 )h 2. =. ( ) + ( ) = x (x 0, y 0 )h 1 + y (x 0, y 0 )h 2. Definice. Diferenciál funkce. Je-li a vnitřním bodem definičního oboru D f funkce y = f(x), f : R n R, pak lineární funkci ( ) L(h) = A 1 h 1 + A 2 h A n h n = pro kterou je ( ) A k h k, h R n, f(a + h) f(a) L(h) = 0, 0 nazýváme diferenciálem funkce y = f(x) v bodě a. Označujeme jej symbolem ( ) df(a) = df(a; h). Výpočet diferenciálu Přepišeme výraz ( ) pro dvě proměnné, kde Dostaneme podmínku ( ) a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ). f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) A 1 h 1 A 2 h 2 (h 1, h 2 ) 0. K tomu, aby existovala a rovnala se nule tato ita, musí existovat a být nulové i ity pro (h 1, h 2 ) = (h, 0), h 0 a (h 1, h 2 ) = (0, h), h 0. 10

2 Dostaneme tedy: f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) A 1 h = 0 A 1 = h 0 x (x 0, y 0 ); f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ) A 2 h = 0 A 2 = h 0 y (x 0, y 0 ). Nutná podmínka pro existenci diferenciálu Jestliže existuje diferenciál df(a) v bodě a, pak má funkce parciální derivace v bodě a a ve vzorci ( ) je A k = (a), 1 k n. Věta. Podmínka pro existenci diferenciálu Nechť má funkce y = f(x) spojité parciální derivace ve vnitřním bodě definičního oboru D f. Potom existuje diferenciál funkce f v bodě a a je ( ) df(a) = df(a; h) = Kanonický tvar diferenciálu (a)h k, h R n. Definujeme v R n k tou souřadnicovou funkci x k, 1 k n předpisem x k (x) = x k (x 1, x 2,..., x n ) = x k, 1 k n Tato funkce je definována v R n a má všude spojité parciální derivace x i (a) = 1, i = k, 0, i k. Existují tudíž diferenciály souřadnicových funkcí v libovolném bodě a a podle vzorce ( ) je dx k (a) = dx k (a; h) = h k, 1 k n. 11

3 Lze tedy vzorec ( ) zapsat ve tvaru df(a; h) = nebo častěji v tzv kanonickém tvaru df(a) = (a)dx k (a; h), (a)dx k, kde vynecháváme proměnnou h a v symbolu dx k hodnotu bodu a, neboť tyto diferenciály mají všude stejnou hodnotu. Poznámka. Všimneme si, že kanonický tvar zápisu diferenciálu je jeho vyjádření ve tvaru lineární kombinace lineárních zobrazení dx k, 1 k n, která jsou diferenciály souřadnicových funkcí x k. Snadno nahlédneme, že jsou lineárně nezávislá a tedy tvoří bázi. Souřadnice diferenciálu df v této bázi jsou vektorem ( grad f(a) = (a), (a),..., ) (a), x 1 x 2 x n který nazýváme gradientem funkce v bodě a. Derivace ve směru Porovnejme podmínku pro diferenciál a derivaci ve směru: Je-li u = 1, pak t 0 f(a + t u) f(a) f u (a).t t = 0 f(a + t u) f(a) df(a; t u) = 0. t 0 t Je tedy pro obecný vektor Pro derivaci ve směru dostaneme f u (a) = df(a; u) = grad f(a). u. f u (a) = grad f(a). u. cos (grad f(a), u) = grad f(a). cos (grad f(a), u). 12

4 Je tedy grad f(a) f u (a) grad f(a). grad f(a) Maximální je pro směr u 0 = grad f(a), minimální pro směr opačný a je rovna nule pro u.grad f(a) = 0, tedy pro směry. kdy u 0 grad f(a). Vektor grad f(a) určuje směr, ve kterém funkce nejvíce roste, v opačném nejvíce klesá. 9. Tečná rovina grafu funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak má její diferenciál df tvar lineární formy (funkce) df(a, h) = x (a)h 1 + y (a)h 2, h = (h 1, h 2 ) nebo v kanonickém tvaru df(a) = (a)dx + x y (a)dy, kde diferenciály dx a dy jsou lineární funkce, pro které je dx(h) = h 1 a dy(h) = h 2 v každém bodě a. Diferenciál je nejlepší lineární aproximací funkce f v okolí bodu a. Pro malé hodnoty h přírůstku proměnné je možné použít přibližného vyjádření funkce ve tvaru f(a + h). = f(a) + df(a, h) = f(a) + x (a)h 1 + y (a)h 2, Lineární funkce, která takto aproximuje funkci f = f(x, y) v okolí bodu a má graf, který je tečnou rovinou ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) R 3. Její rovnice je tedy τ : z = f(a) + x (a)(x a 1) + y (a)(y a 2), a = (a 1, a 2 ). 13

5 Normálovým vektorem tečné roviny (grafu funkce) v bodě (a, f(a)) je vektor ( n = ) (a), x y (a), 1 a odtud dostaneme parametrickou rovnici normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) ve tvaru x = a 1 t x (a) y = a 2 t y (a) z = f(a) + t, t R. 14