APROXIMACE CHLADICÍCH ÚČINKŮ VODNÍCH TRYSEK MATEMATICKÝMI FUNKCEMI APPROXIMATION OF THE COOLING EFFECTS OF WATER NOZZLES BY MATHEMATICAL FUNCTIONS

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS APROXIMACE CHLADICÍCH ÚČINKŮ VODNÍCH TRYSEK MATEMATICKÝMI FUNKCEMI APPROXIMATION OF THE COOLING EFFECTS OF WATER NOZZLES BY MATHEMATICAL FUNCTIONS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR VERONIKA HŘIBOVÁ doc. Ing. JOSEF ŠTĚTINA, Ph.D. BRNO 2013

2

3 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství Ústav matematiky Akademický rok: 2012/2013 ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE student(ka): Veronika Hřibová který/která studuje v bakalářském studijním programu obor: Matematické inženýrství (3901R021) Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č.111/1998 o vysokých školách a se Studijním a zkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma bakalářské práce: v anglickém jazyce: Aproximace chladicích účinků vodních trysek matematickými funkcemi Approximation of the cooling effects of water nozzles mathematical functions Stručná charakteristika problematiky úkolu: Cílem je nalézt vhodné spojité 3D matematické funkce, kterými by se aproximovala měřená data chladicích účinků vodních trysek. Po nalezení vhodných funkcí je cílem je otestovat na vzorových měřených datech. Cíle bakalářské práce: Nalezení vhodných 3D funkcí. Sestavení postupu určování jejich parametrů. Provedení aproximace pro vzorová měřená data pro 2 až 3 trysky. Testové výpočty nejlépe realizovat v prostředí MATLAB.

4 Seznam odborné literatury: [1] Villani M., Larsson R.:The Multivariate Split Normal Distribution and Asymmetric Principal Components Analysis. Stockholm [2] Cohen H.: Numerical Approximation Metthods. Springer [3] Hunt B., Lipsman R., Rosenberg J.: A guide to MATLAB for Beginners and Experienced Users. Cambridge Vedoucí bakalářské práce: doc. Ing. Josef Štětina, Ph.D. Termín odevzdání bakalářské práce je stanoven časovým plánem akademického roku 2012/2013. V Brně, dne L.S. prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc. prof. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc., dr. h. c. Ředitel ústavu Děkan fakulty

5 Abstrakt Bakalářská práce se zabývá chlazením vodními tryskami s kuželovým rozstřikem. V práci je uveden princip procesu plynulého odlévání oceli, během kterého se tyto trysky velmi často využívají. Dále jsou vysvětleny základní mechanismy přenosu tepla a průběh chlazení ostřikem. Je zde rovněž shrnut postup při experimentálním měření chladicích účinků těchto trysek. Cílem práce je pak nalézt vhodnou 3D matematickou funkci, která by popisovala rozložení součinitele přestupu tepla pod tryskou, a sestavit algoritmus pro určení parametrů této funkce. Celý model je naprogramován v prostředí MATLAB a je implementován na vzorová měřená data pro dva typy trysek. Summary The Bachelor thesis deals with a cooling process of full cone water nozzles. It explains the principle of the continuous steel casting which these nozzles are used for. The basics of heat transfer and spray cooling are also described. The thesis then summarizes the way of the experiment with these nozzles. The purpose of the thesis is to choose an appropriate 3D mathematical function which would well characterize the distribution of the heat transfer coefficient under the nozzle and then create an algorithm for finding its parameters. The algorithm is programmed in MATLAB and implemented on the data gained by the experimental way for two types of full cone water nozzles. Klíčová slova chlazení ostřikem, kuželová tryska, plynulé odlévání oceli, split normální rozdělení Keywords spray cooling, full cone nozzle, continuous steel casting, split normal distribution HŘIBOVÁ, V. Aproximace chladicích účinků vodních trysek matematickými funkcemi. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, s. Vedoucí doc. Ing. Josef Štětina, Ph.D.

6

7 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci Aproximace chladicích účinků vodních trysek matematickými funkcemi vypracovala samostatně pod vedením doc. Ing. Josefa Štětiny, Ph.D., a uvedla v ní všechny použité zdroje. Veronika Hřibová

8

9 Chtěla bych na tomto místě poděkovat vedoucímu mé bakalářské práce doc. Ing. Josefu Štětinovi, Ph.D., za ochotu, trpělivost a odborné rady při psaní této práce. Také bych chtěla poděkovat Ing. Lubomíru Klimešovi za čas a rady, které mi při konzultacích této práce věnoval. Veronika Hřibová

10

11 Obsah 1 Úvod Plynulé odlévání oceli Zařízení pro plynulé odlévání oceli Princip činnosti ZPO Historický vývoj metody plynulého odlévání oceli Základy chlazení povrchů v hutnictví Principy přenosu tepla Chlazení ostřikem a Leidenfrostův jev Princip chlazení Chlazení ostřikem Chladicí trysky Katalogové údaje trysek Experimentální měření chladicích účinků trysek Laboratorní stand Průběh experimentu Termočlánky Inverzní úloha Volba aproximační funkce Základní myšlenka ve 2D Volba rozdělení Vliv posuvu trysky Vícerozměrné split normální rozdělení Definice funkce hustoty Algoritmus Aproximace měřených dat Úprava aproximační funkce Hledání parametrů aproximační funkce Výsledky aproximací pro trysku Teplota povrchu C Teplota povrchu 520 C Závěr 30 Literatura 31 Seznam veličin 33 Seznam příloh 34

12 A Výsledky aproximací pro trysku A.1 Teplota povrchu 1000 C A.2 Teplota povrchu 520 C B Pseudokód hlavního programu 40 C Tabulky nalezených parametrů 42 D Zdrojové kódy v MATLABu 43

13 1. Úvod Bakalářská práce je zaměřena na popis chladicích účinků vodních trysek, které jsou využívané především v procesu výroby oceli plynulým odléváním. Jako míra intenzity chlazení je v práci uvažován součinitel přestupu tepla α [Wm 2 K 1 ]. Součinitel přestupu tepla je závislý nejen na vlastnostech materiálu, z kterého odvádíme teplo, a jeho povrchové teplotě, ale také na podmínkách chlazení, jako je teplota chladicího media, průtok chladicího media apod., a proto je stanovení jeho hodnoty v praxi velmi složité. Všechny vztahy používané pro jeho výpočet jsou založeny na experimentálních měřeních Plynulé odlévání oceli Plynulé odlévání oceli je poměrně novou technologií pro výrobu oceli. Byla vyvinuta až v 50. letech minulého století. Dříve se používalo odlévání do stacionárních forem, tzv. kokil, což ale bylo nevýhodné z hlediska efektivity i energetických úspor. Metoda plynulého odlévání oceli odstranila nedostatky odlévání do kokil, zefektivnila a zkvalitnila výrobu oceli, a proto je dnes nejvyužívanější technologií pro výrobu oceli Zařízení pro plynulé odlévání oceli Zařízení pro plynulé odlévání oceli (ZPO) zahrnuje licí stroj a jeho příslušenství. ZPO je možné rozdělovat podle konstrukčního uspořádání na vertikální, radiální a horizontální, jak je znázorněno na obr Další možné dělení ZPO je podle tvaru průřezu odlévaného předlitku. Bramové ZPO se používá pro výrobu předlitků s obdélníkovým průřezem a poměrem stran obvykle větším než 1,5. Pro menší poměry obdélníkových průřezu se používá ZPO blokové. Posledním typem je ZPO sochorové, kde jsou průřezy kruhového nebo čtvercového tvaru. Nákres sochorového radiálního ZPO je na obr. 1.2 [7, 8]. Obrázek 1.1: Zařízení pro plynulé odlévání oceli: (A) vertikální, (B) radiální, (C) horizontální [7, 16] Popišme nyní hlavní části zařízení pro plynulé odlévání oceli [7, 8]: Pánev, která zajišťuje dopravu tekuté roztavené oceli do ZPO. Mezipánev je umístěna pod stojanem s pánvemi a jejím úkolem je zásobování a homogenizace oceli při lití do krystalizátoru. Může velmi ovlivnit produktivitu ZPO i kvalitu předlitků. 3

14 Krystalizátor (primární oblast chlazení) slouží k prvotnímu odvodu tepla z roztavené oceli a vytvoření pevné vrstvy na povrchu předlitku, určuje tedy tvar předlitku. Oblast sekundárního chlazení je tvořena okruhy vodních nebo vodovzdušných trysek a vodicím systémem válců. Tryskami pro tuto oblast chlazení se tato práce zabývá. Oblast terciálního chlazení, kde je předlitek veden systémem vodicích válců. Jeho ochlazování probíhá především pomocí radiace a přirozené konvekce. Dělicí zařízení je většinou pálicí stroj na konci ZPO, který slouží k dělení předlitku na jednotlivé bramy nebo sochory požadované délky Princip činnosti ZPO Roztavená ocel se z pecí nebo konvektorů lije do pánví a z nich pak do mezipánve a dále do krystalizátoru, který je chlazený vodou. Začíná docházet k tuhnutí povrchové vrstvy oceli a vytváří se tak charakteristický tvar předlitku. Ocel je dále ochlazována v oblasti sekundárního chlazení, kde prochází systémem válců a je ostřikována tryskami vodními, vodovzdušnými nebo jejich kombinací. Když předlitek vstupuje do oblasti sekundárního chlazení, je ocel pod jeho pevným povrchem stále v tekutém stavu. Účelem trysek je postupné systematické chlazení tak, aby při výstupu ze ZPO byl již předlitek v celém průřezu ve stavu tuhém a bylo tedy možné jej dělit. Tuhnutí oceli je dokončeno přirozenou konvekcí a radiací v terciální chladicí oblasti. Na konci ZPO je umístěn dělicí stroj, který předlitek řeže na požadovanou délku [7, 8]. Obrázek 1.2: Nákres sochorového radiálního ZPO [7, 12] Historický vývoj metody plynulého odlévání oceli První pokusná zařízení pro plynulé odlévání oceli se začala objevovat před více než sto lety. Přesto ještě dlouho trvalo, než došlo k jejich rozvoji a silnému uplatnění při výrobě oceli. Počátky této metody můžeme najít už v roce 1840, kdy G. E. Sellers sestrojil zařízení pro plynulé lití olověných trubek. O tři roky později podobné zařízení zkonstruoval J. Laing. V roce 1857 nechal H. Bessemer patentovat stroj na výrobu ocelových plechů. Tekutý kov byl odléván mezi dva otáčivé válce chlazené vodou. Zařízení, které pracovalo 4

15 na podobném principu, sestrojil v roce 1934 A. V. Ulitovskij. Sloužilo k odlévání tekutých pásů ze šedé litiny i oceli. Vývoj plynulého odlévání oceli však opustil myšlenku použití válců a zaměřil se na rozvoj krystalizátorů. V roce 1886 si principy plynulého odlévání ve vertikální poloze nechal patentovat Američan B. Atha. Stroje zkonstruované podle jeho pravidel byly v provozu až do roku S. Junghaus pak navrhl asynchronní oscilaci v roce Následně se použití zařízení pro plynulé odlévání oceli začalo rozmáhat v SSSR, USA, Velké Británii, Japonsku, Německu a postupně v dalších zemích světa. V Československu se poprvé zavedlo bramové ZPO roku 1961 v Podbrezové. [2, 7] Při prvních aplikacích plynulého odlévání oceli docházelo na stěnách krystalizátorů k ulpívání předlitku, a proto mohlo dojít k poškození tuhé povrchové vrstvy předlitku. Tento problém byl odstraněn až zavedením oscilačního pohybu krystalizátoru. Samotná konstrukce ZPO byla postupem času výrazně zkvalitněna. První ZPO, která byla uvedena do provozu, byla vertikální. Dále bylo vyvinuto vertikální zařízení s ohybem předlitku, čímž se výška konstrukce zařízení snížila asi o 20 %. Další snížení se podařilo v roce 1963, kdy bylo do provozu uvedeno radiální ZPO se zakřiveným krystalizátorem. Později bylo sestrojeno i horizontální ZPO. [2] 5

16 2. Základy chlazení povrchů v hutnictví 2.1. Principy přenosu tepla Podle fyzikální podstaty dějů lze přenos tepla rozdělit do tří základních způsobů: přenos tepla vedením (kondukcí), prouděním (konvekcí) nebo zářením (radiací). Na obrázku 2.1 je názorně poukázáno na hlavní rozdíly mezi nimi. Obrázek 2.1: Základní mechanismy přenosu tepla [3] Základem vedení je výměna energie mezi částicemi. Částice má tím větší kinetickou energii, čím vyšší je její teplota. Při přenosu tepla vedením předávají více energetické částice prostřednictvím srážek část své energie částicím o energii menší. Hustotu tepelného toku q [Wm 2 ] (tedy množství tepla, které za jednotku času přenese jednotková plocha) můžeme popsat pomocí Fourierova zákona: q = k T, (2.1) kde T = T x i + T y j + T z k [Km 1 ] je teplotní gradient a konstantou přímé úměrnosti k [Wm 1 K 1 ] je součinitel tepelné vodivosti látky. Vedení může probíhat v látkách pevných, kapalných i plynných [1, 5]. Proudění je způsob přenosu tepla složený ze dvou mechanismů, a to vedení tepla (kondukce) a objemového pohybu tekutin (advekce). Může k němu dojít pouze v tekutinách, tedy kapalinách a plynech. V případě experimentu, který je popsaný v kapitole 3, nastává přenos tepla prouděním mezi chladicí vodou a povrchem desky za předpokladu jejich odlišných teplot. Děj (hustotu tepelného toku) lze vyjádřit i matematicky, a to pomocí Newtonova ochlazovacího zákona q = α(t w T ), (2.2) tedy jako funkci součinitele přestupu tepla α [Wm 2 K 1 ] a rozdílu teplot povrchu T w [K] a okolní tekutiny v dostatečné vzdálenosti od povrchu (tzv. teploty volného proudu) T [K]. Směr tohoto toku je kolmý k povrchu desky [1, 5]. 6

17 Třetím způsobem přenosu tepla je záření. Teplo je při teplotách větších, než je teplota okolí, přenášeno elektromagnetickým zářením a nepotřebuje tedy látkové prostředí. V experimentu z kapitoly 3 představuje záření tepelnou ztrátu v průběhu měření. Přenos, který je realizován převážně infračerveným zářením, nazýváme přenosem tepla sáláním [1, 5] Chlazení ostřikem a Leidenfrostův jev Termín chlazení ostřikem zahrnuje velké množství chladicích procesů, které se týkají odnímání tepla pomocí chladicího média dopadajicího na horký povrch. Hlavním smyslem je především odvod tepla ze součástí za účelem zachování struktury materiálu s určitými fyzikálními vlastnostmi a s požadovanou mírou a rozložením napětí. Součinitel přestupu tepla je mírou odvodu tepla z horkého povrchu. Při chlazení ostřikem je součinitel přestupu tepla přímo závislý na průtoku a působení tlaků chladicího média na povrch. Tyto parametry je možno upravovat a docílit tak lepších chladicích účinků než jinými způsoby chlazení. Chlazení ostřikem obvykle vyžaduje dražší vybavení než je třeba pro chlazení ponořením, navíc i jeho údržba je náročnější. Všechny nevýhody jsou však převáženy faktem, že chlazením ostřikem může uživatel dosáhnout optimálních chladicích podmínek pro konkrétní situaci [14] Princip chlazení Průběh chlazení horkého povrchu ponořením do vody popisuje křivka na obrázku 2.2. Znázorňuje závislost hustoty tepelného toku jako funkci povrchové teploty. Obrázek 2.2: Závislost hustoty tepelného toku na povrchové teplotě [14] (Film - blánový var, Boiling Regime - bublinkový var, Free convection - volná konvekce, Leidenfrost point - Leidenfrostův bod) 7

18 Prvotní průběh chlazení nazýváme blánový var. Ihned po ponoření je na povrchu vytvořena vrstva páry, která je posléze v průběhu ochlazování zničena. Přenos tepla přes tuto vrstvu je slabý a kov se proto v této oblasti ochlazuje velmi pomalu. Chlazení poté přechází do oblasti tzv. bublinkového varu. Tomu odpovídá prudký přenos tepla způsobený přímým kontaktem vody s povrchem tělesa. Kov je zde stále velice horký a voda silně vře. Vysoká teplota vodních výparů je důvodem dalšího výrazného přenosu tepla. Na závěr, v oblasti volné konvekce, se povrch kovu ochlazuje pouze prouděním [14]. Rychlost chlazení je možné zvýšit, podaří-li se snížit stabilitu vrstvy páry obklopující chlazený povrch během počáteční fáze chlazení. Asi nejtypičtějším případem, jak toho dosáhnout, je použití proudu vody o dané rychlosti k ostřiku chlazeného povrchu. Čím větší je rychlost tohoto proudu, tím vyšší je teplota povrchu, při které je vrstva páry narušena a chlazení přechází do další fáze, již zmíněné oblasti bublinkového varu [14]. Chlazení způsobené dopadajícím proudem během chlazení ostřikem opět popisuje křivka na obrázku 2.2. Tok kapaliny urychluje narušení vrstvy páry, a tím tedy celý průběh chlazení. Vyšší rychlosti chladicího proudu zvyšují intenzitu chlazení i v oblasti bublinkového varu a přirozené konvekce. Navíc lze dokázat, že chlazení ostřikem je ve své podstatě druhem turbulentního proudění, a to ve všech třech svých fázích. Později se ukázalo užitečným, že je možné pomocí stejných pojmů vysvětlit průběh přenosu tepla jak při chlazení ostřikem, tak při chlazení ponořením [14]. Před uvedením bližšího popisu chlazení ostřikem jsou pro lepší pochopení definovány některé důležité pojmy. Teplota varu je teplota, při které se látka nachází ve stavu syté kapaliny a přechází do stavu syté páry, nebo naopak. Teplota přehřátí vyjadřuje teplotu vyšší, než je teplota varu [14] Chlazení ostřikem Uvažujme sérii vodních kapek pohybujících se proti povrchu horké kovové desky. První kapka dopadá na desku a její povrchová teplota v bodě dotyku okamžitě roste. Jestliže je deska dostatečně horká a teplota kapaliny v kontaktní oblasti se zvýší nad její teplotu přehřátí (pro vodu 260 C), pak se část kapaliny téměř okamžitě odpaří, a proto není zaznamenán žádný významný přenos tepla z desky. Vrstva páry, která se vytvoří na povrchu, nepropouští další kapky k povrchu a zajišťuje tak povrchu částečnou izolaci. Pouze kapky s dostatečně velkou kinetickou energií jsou schopny prorazit tuto vrstvu páry a dostat se až na povrch chlazené desky. Výsledkem je povlak kapaliny oddělený od desky vrstvou páry. Tento jev nazýváme fáze blánovitého varu [14]. Rychlost přenosu tepla v této fázi je poměrně nízká, a proto se teplota povrchu desky snižuje relativně pomalu. Jak povrchová teplota klesá, zmenšuje se i tloušťka vrstvy páry. Při charakteristické teplotě, která závisí na chladicích podmínkách a fyzikálních vlastnostech materiálu desky, kapky s vysokou kinetickou energií poruší tuto vrstvu, přichází do kontaktu s deskou a začínají se šířit po jejím povrchu. Tuto teplotu nazýváme Leidenfrostova teplota nebo také Leidenfrostův bod [14]. Přibývající kontakt kapek s chlazeným povrchem má za následek nárůst přenosu tepla z desky, čímž její povrchová teplota prudce klesá. Stále větší množství kapek proniká přes vrstvu páry a intenzita přenosu tepla roste až do doby, kdy je celá deska smáčena vařící kapalinou. Tehdy je proces přenosu tepla charakterizován jako bublinkový var. Další snižování teploty povrchu desky vede ke konci varu a přenos tepla se stává závislým na konvektivním chlazení [14]. 8

19 2.3. Chladicí trysky Navržený způsob chlazení při procesu výroby oceli může mít hlavní vliv na kvalitu povrchu i výrobní ceny. Proto je volba vhodné trysky velmi důležitá. Volíme ji podle toho, k čemu bude v praxi použita. Chlazení plynule odlévané oceli Při výběru trysek vycházíme z konkrétních požadavků, jako jsou vlastnosti konečného výrobku, jakost oceli, nastavení licího stroje, licí rychlost a další. Používají se jak trysky pro rozprašování vzduchem, tak trysky vodní, ale také trysky vodovzdušné, které jsou určitou kombinací obou předchozích. a) Vzduchové trysky nabízí největší chladicí účinnost a navíc je jejich vnitřní prostor obvykle větší než u vodních trysek, což snižuje možnost ucpání. Jsou sice potřebné další výdaje za spotřebu stlačeného vzduchu, ale jejich provozní výhody snadno převáží cenu [10]. b) Vodní trysky jsou pro provoz nejlevnější, na druhou stranu jsme ale limitovaní při jejich použití. Při větších velikostech kapek není přenos tepla tak intenzivní jako při použití vzduchových trysek. Jsou proto používány především pro menší průřezy výrobků a nižší jakosti slitin [10]. Odstraňování okují Konečná kvalita povrchu závisí na efektivním odstraňování okují. Vrstvu okují tvoří oxidy železa, které vznikají na horkém povrchu. Je velmi důležité okuje odstranit, aby nebyly vtlačovány do povrchu materiálu, a tím neznehodnocovaly jeho jakost. Pro různé tvary a jakosti oceli je tedy nutné volit hlavice s optimální výškou, rozmístěním trysek, průtokem, provozním tlakem a dalšími vlastnostmi potřebnými pro požadovanou jakost povrchu [10]. Válcování Systém chlazení hraje při válcování důležitou roli. Pokud pracuje dobře, může hodně přispět k delší životnosti válců i k řízení jakosti konečného povrchu a tvaru předlitku. Správně navržená chladicí hlavice zajišťuje přesné nanášení chladiva pro optimální přenos tepla z válců a jejich důkladné promazávání [10]. Sprejové sušení Povrchová úprava a pokovování Konkrétní trysku volíme také podle tvaru rozstřiku. Popišme si nyní trysky s plným kuželovým a s plochým rozstřikem. Trysky s plným kuželovým rozstřikem Tyto trysky vytváří kulatou nebo oválnou ostřikovou plochu, která je vždy zcela pokryta kapkami. Charakter rozstřiku je vytvořen vnitřním frézovaním, nebo použitím vířivého tělíska, které způsobuje řízenou turbulenci (víření) kapaliny, a to těsně před vstupem do ústí trysky. Jsou vhodné především pro čištění povrchu, potahování a mnoho dalších aplikací, hlavně s nepohyblivým cílem ostřikování. Rozlišujeme dvě provedení trysek s plným kuželovým rozstřikem: axiální a tangenciální. 9

20 a) Axiální U axiálních trysek je voda přiváděna ve směru osy kuželového rozstřiku. Vyrábí se pro mnoho různých úhlů rozstřiku a v širokých škálách průtoků. Kromě toho je velkou výhodou i rovnoměrné nanášení tekutiny po celé oblasti dopadu. b) Tangenciální U tangenciálních trysek směr přívodu vody svírá s osou kuželového rozstřiku úhel 90. Jsou vhodné především pro tekutiny s velkým objemem částic a také pro hašení. Mezi jejich výhody patří větší odolnost vůči ucpání, rovnoměrné rozložení tekutiny a neměnný úhel rozstřiku i při různých tlacích tekutiny. a) b) Obrázek 2.3: a) Axiální a b) tangenciální tryska s plným kuželovým rozstřikem [10] Trysky s plochým rozstřikem Jde o běžně užívané trysky vhodné pro mnoho aplikací. Pokud je vyžadován větší účinek, mohou být uzpůsobeny pro rozstřik pod úhlem až do 60. Trysky s menšími průtoky se používají ke zvlhčování. Šířka ostřiku v jednom směru je výrazně větší než ve směru druhém. Vzhledem k samotnému tvaru stopy dopadu se nejvíc hodí k ostřiku pohybujících se dopravníkových pásů. Trysky s plochým rozstřikem jsou navrhovány ve dvou způsobech: parabolické a rovnoměrné. Termíny samotné popisují rozdělení tekutiny po celé šířce postřikované oblasti. Obrázek 2.4: Tryska s plochým rozstřikem [10] Existují samozřejmě trysky s dalšími možnými tvary rozstřiku, jako jsou trysky s dutým kuželovým rozstřikem a trysky s plným nebo jemným rozstřikem, těmi se ale v této práci nebudeme více zabývat. 10

21 Katalogové údaje trysek Obrázek 2.5: Náhled do katalogu společnosti Jato [4] Jak je vidět na obr. 2.5, v katalogu chladicích trysek je možné nalézt informace o velikosti trysky a úhlu rozstřiku a tabelované hodnoty průtoků vody pro několik hodnot provozního tlaku. V praxi je ale možné použít i jiné hodnoty tlaku. Pro určení průtoku vody tryskou pak slouží vztah [4]: V 2 = V p2 S, (2.3) p S kde p 2 [bar] je požadovaný tlak, p S [bar] je standardní tlak uvedený v katalogu a V S [l/min] je průtok vody při tomto tlaku. Jelikož bar není typickou jednotkou, která se pro tlak používá, uveďme ještě převod: 1 bar = 10 5 Pa. Pokud tedy používáme například trysku 6065 L při tlaku 5 bar, pak průtok vody je 5 V = = 8, 0178 l/min. 11

22 3. Experimentální měření chladicích účinků trysek 3.1. Laboratorní stand Laboratorní stand používaný v Laboratoři přenosu tepla a proudění FSI VUT v Brně má několik částí: zařízení, které zvedá a spouští zkušební desku, lineární posuvnou část s testovanou tryskou a elektrickou pec. Celý stand je názorně zobrazen na obr Deska, která je vyrobena z austenitické oceli, je ostřikována zkoumanou tryskou (dvojicí trysek) zespodu, shora je pokryta keramickou izolací a je do ní zapuštěno 18 termočlánků pro měření teplot během procesu chlazení. Deska s termočlánky je schematicky znázorněna na obr Obrázek 3.1: Laboratorní stand [6] 3.2. Průběh experimentu Před začátkem experimentu je pod desku vsunuto topné těleso a deska je spuštěna do ohřívací pozice. Následně je elektroradiačně ohřívána až do předem stanovené teploty (1 250 C). Proces ohřívání a následně i chlazení desky je sledován měřicím systémem, který zaznamenává průběžné teploty. Ve chvíli, kdy je dosaženo předepsané teploty, je deska zdvižena nahoru, topné těleso se vysune a pod desku je do chladicí pozice nastavena tryska zakrytá deflektorem. Jakmile je odstraněno topné těleso, teplota povrchu desky začne klesat. Samotný experiment začíná tehdy, když deska dosáhne zvolené počáteční teploty experimentu. Je odklopen deflektor a tryska začne ostřikovat desku. Tryska se pohybuje až na konec desky předem zvolenou rychlostí a zpět se vrací se zavřeným deflektorem. Obr. 3.3 zachycuje reálný experiment. Po celou dobu se v digitální formě ukládají záznamy o pozici trysky a průběhu teplot naměřených pomocí termočlánků [6]. 12

23 a) b) Obrázek 3.2: a) Poloha trysky vůči desce [6, 13] b) Schéma desky s polohou termočlánků [6, 13] Pro měření povrchových teplot existuje několik metod přímých (kontaktních i bezkontaktních). V Laboratoři přenosu tepla a proudění VUT FSI v Brně se však používá nepřímá metoda pomocí termočlánků typu K umístěných v určité hloubce pod povrchem desky. Termočlánky jsou navíc chráněny pláštěm před poškozením. Více o termočláncích je uvedeno v dalším odstavci práce (3.3). Zjištěné teploty použijeme jako vstupní data pro inverzní úlohu (viz 3.4), kterou jsou spočteny průběhy povrchových teplot a součinitele přestupu tepla [6]. Obrázek 3.3: Průběh chlazení [6] 13

24 3.3. Termočlánky Termočlánky jsou tvořeny dvěma různými elektricky vodivými drátky, které jsou na jednom konci svařeny nebo jinak pevně spojeny a na druhém konci zapojeny na svorkovnici. Pracují na principu vytvoření potenciálního rozdílu při zahřívání jejich spoje. Z toho lze následně odvodit teplotu v místě spojení. Přehled nejpoužívanějších termočlánků je uveden v tab V praxi se ale využívají i další typy. Materiály, které se na výrobu termočlánků používají, by měly mít se vzrůstající teplotou velký lineární nárůst termoelektrického napětí a být odolné vůči chemickým a mechanickým vlivům [11]. Tabulka 3.1: Přehled termočlánků dle ČSN [11] Termočlánky mohou být zapojeny různým způsobem (nákres je na obr. 3.4). U přímého zapojení vystupuje pouze jeden termočlánkový spoj (ts) v místě, které měříme. Na volných koncích termočlánku pozorujeme napětí úměrné teplotnímu rozdílu mezi termočlánkovým spojem (ts) a svorkami, které fungují jako studené referenční spoje (rs). Častěji se ale používá vhodnější diferenční zapojení, kde je druhý termočlánkový spoj, který slouží jako referenční, umístěn v prostředí se stálou neměnnou teplotou. Kvůli zvýšení napětí na svorkách je možné termočlánky řadit sériově za sebe [11]. a) přímé b) diferenční c) sériové Obrázek 3.4: Způsoby zapojení termočlánků [11] 14

25 3.4. Inverzní úloha Výsledkem experimentu popsaném v odstavci 3.2 jsou teploty naměřené pomocí termočlánků zabudovaných pod povrchem desky. Pro zjištění okrajových podmínek (pro nás především součinitelů přestupu tepla) je však nutné další matematické zpracování. Je známých několik způsobů, jak součinitele přestupu tepla určit. V Laboratoři přenosu tepla a proudění VUT FSI v Brně se využívá inverzní úloha vedení tepla, která vychází z metody Beckova Sekvenčního algoritmu, který je založen na posloupnosti odhadů časově proměnné okrajové podmínky. Jde o metodu citlivou na chyby ve vstupních datech, a proto je výpočet stabilizován použitím dat z dopředných kroků. Přesný popis metody není předmětem této práce, proto je uveden pouze stručný popis dostatečný k pochopení. Další informace je možno nalézt např. v [1, 5, 8]. Základním požadavkem celé metody je, aby se teploty změřené termočlánky co možná nejvíce blížily teplotám vypočteným pomocí metody konečných diferencí. Tento požadavek je možné matematicky vyjádřit tak, že chceme minimalizovat výraz: n+n t m T τ=n+1 s r,r=1 (T,τ r T τ s ) 2, (3.1) kde T,τ r je teplota naměřená v časovém kroku τ r-tým termočlánkem a T τ s je teplota vypočítaná v časovém kroku τ v místě s, shodném s pozicí termočlánku r. m T označuje počet termočlánků, n aktuální časový krok a n t počet dopředných časových kroků vedoucích ke stabilizaci výpočtu [8]. Postupnou minimalizací výrazu můžeme odvodit vzorec pro tepelný tok q n v časovém kroku n: = T τ r q n = q n 1 + n+nt mt,τ τ=n+1 s r,r=1 (Tr n+nt τ=n+1 Ts τ )ζr τ mt, (3.2) r=1 (ζτ r ) 2 kde ζr τ je koeficient udávající citlivost termočlánku r na změnu toku v čase τ [8]. q τ Teplotní pole Ts τ ze vzorce 3.2 je v každém časovém kroku n určeno z předchozího vypočteného toku q n 1 numerickým řešením rovnice vedení tepla, v níž q n 1 vystupuje jako okrajová podmínka druhého druhu (Neumannova). Odtud pak dostáváme měrný tepelný tok q n v časovém kroku n. Na závěr každého časového kroku je jako okrajová podmínka třetího druhu (Newtonova) spočten součinitel přestupu tepla α pomocí následujícího vzorce, v němž vystupuje právě měrný tepelný rok q n : α n = q n T T n surf +T n+1 surf 2, (3.3) kde T n surf je vypočtená teplota v časovém kroku n a T teplota okolí [8]. Vzdálenost termočlánku od chlazeného povrchu nesmí být příliš velká. Pak se totiž ztrácí informace o povrchových teplotních změnách, neboť teplotní gradient je v hloubce tělesa nižší než na jeho povrchu. Malý teplotní rozdíl někdy není termočlánkem vůbec zaznamenán, nebo splývá se šumem v měřených teplotách. Inverzní úloha pak nekonverguje k žádnému výsledku [8]. 15

26 4. Volba aproximační funkce Po seznámení se samotným experimentem je cílem této práce nalézt vhodnou funkci, která by aproximovala naměřená a následně zpracovaná data o intenzitě chlazení trysek. Budeme uvažovat kuželovou trysku nasměrovanou kolmo k povrchu. Pokud by se nepohybovala, dalo by se předpokládat, že intenzita chlazení bude největší ve směru osy trysky a bude téměř symetricky klesat směrem od ní. Vzhledem k této teoretické představě bylo zvoleno jako výchozí normální (Gaussovo) rozdělení. Normální rozdělení pravděpodobností je jedním z nejvýznamnějších rozdělení spojité náhodné veličiny. Uplatňuje se často v matematické statistice i v teorii pravděpodobnosti. Za určitých podmínek totiž dobře aproximuje jiná rozdělení pravděpodobností, spojitá i diskrétní. Často se podle něj řídí také rozdělení fyzikálních a technických veličin. Vše nejprve vysvětleme ve dvourozměrném prostoru. Všechny pomocné programy pro vykreslení grafů byly vytvořené v MATLABu Základní myšlenka ve 2D Volba rozdělení Uveďme nyní matematickou definici normálního rozdělení [9]. Definice Spojitá náhodná veličina X má normální rozdělení N(µ, σ 2 ), kde µ R a σ (0, ), právě když funkce hustoty má tvar f(x) = 1 } { σ 2π exp (x µ)2 pro x R. (4.1) 2σ 2 Distribuční funkce normálního rozdělení je pak F (x) = x f(t)dt = 1 σ 2π x } (t µ)2 exp { dt pro x R. (4.2) 2σ 2 Grafy těchto funkcí pro µ = 0 a σ 2 = 1 jsou na obr Tvar obou z nich je závislý na parametru σ 2. Graf funkce hustoty bývá často nazýván Gaussova křivka. Je symetrický 1 kolem bodu x = µ, ve kterém nabývá maxima σ, a má inflexní body x = µ ± σ. 2π Obrázek 4.1: Funkce hustoty a distribuční funkce N(0, 1) 16

27 Pro popis intenzity chlazení budeme vycházet z tvaru grafu funkce hustoty. Není tedy nutné se podrobněji zabývat distribuční funkcí, a proto nebude dále v práci zmiňována. Na obrázku 4.2 je zobrazen vliv parametrů µ a σ 2 na polohu a tvar funkce hustoty. a) b) Obrázek 4.2: Funkce hustoty pro a) σ 2 = 1 a i) µ = 0, ii) µ = 5, iii) µ = Vliv posuvu trysky b) µ = 0 a i) σ 2 = 1, ii) σ 2 = 2, iii) σ 2 = 4 Z průběhu experimentu je však zřejmé, že intenzita chlazení v konkrétním místě bude mimo jiné ovlivněna jedním důležitým faktorem, a to posuvem trysky. Jelikož se tryska vždy pohybuje jedním směrem a vrací se zpět se zavřeným deflektorem, nebude intenzita chlazení symetrická, ale bude vychýlena ve směru pohybu trysky. Proto není možné použít přímo normální (symetrické) rozdělení. Kdybychom však chtěli pro popis chlazení ve směru pohybu trysky použít jinou funkci než ve směru opačném, nebo uvažovali normální rozdělení o různých parametrech, mohlo by se stát, že bychom nedostali spojitou funkci. Proto byla zvolena modifikace normálního rozdělení, tzv. split normální rozdělení neboli nesouměrné normální rozdělení. Při jeho popisu ve dvourozměrném i vícerozměrném případě je čerpáno z [15]. Definice x R má split normální rozdělení SN(µ, σ 2, τ 2 ), kde µ R, σ > 0 a τ > 0, právě když funkce hustoty má tvar { { c exp 1 (x µ) 2} pro x µ 2σ f(x) = 2 c exp { 1 (x µ) 2} (4.3) pro x > µ, 2τ 2 σ 2 2 kde c = 1. π σ(1+τ) Hustota split normálního rozdělení SN(µ, σ 2, τ 2 ) nabývá svého maxima opět v bodě x = µ, ale už kolem něj není symetrická. Na levou stranu je úměrná hustotě normálního rozdělení N(µ, σ 2 ), zatímco na pravou stranu je úměrná hustotě normálního rozdělení N(µ, σ 2 τ 2 ). Pro τ < 1 se hustota vychyluje doleva a pro τ > 1 doprava. Při τ = 1 jde o obvyklou hustotu normálního rozdělení N(µ, σ 2 ). Vliv τ na tvar grafu funkce hustoty je znázorněn na obr To, že se split normální rozdělení chová spojitě na každé straně jinak, ale na obou jako známé normální rozdělení, je považováno za velmi užitečné pro mnoho praktických aplikací. 17

28 Obrázek 4.3: Funkce hustoty pro µ = 0, σ 2 = 1 a i) τ = 1, ii) τ = 2, iii) τ = 0, Vícerozměrné split normální rozdělení Definice funkce hustoty Definice x R p má q-split normální rozdělení SN p (µ,σ,τ,q), když jeho hlavní složky mají nezávislé rozdělení v jx { SN(v j µ, σ 2 j, τ 2 j ) pro j Q N(v jµ, σ 2 j ) pro j Q c, (4.4) kde Q {1,..., p} o velikosti q, Q c = {1, 2,..., p}\q je doplněk Q, v j je vlastní vektor odpovídající j-té největší vlastní hodnotě spektrálního rozkladu Σ=V DV, dále matice D= diag(λ 2 1,..., λ 2 p) a τ = (τ j ) j Q je q-rozměrný vektor parametrů zkrácení/rozšíření. Budeme-li předpokládat případ Q = {r}, kde pouze r-tá složka má vychýlené rozdělení, můžeme hustotu x zapsat následovně: f(x) = { c exp{ 1 2 (x µ) Σ 1 (x µ)} pro v r(x µ) 0 c exp{ 1 2 (x µ) ˆΣ 1 (x µ)} pro v r(x µ) > 0, (4.5) kde ˆΣ=V ˆDV, ˆD= diag(λ 2 1,..., τ 2 1 λ 2 r,..., λ 2 p) a c 1 = 1 2 (2π)p/2 D 1/2 (1 + τ 1 ). Pro aproximaci rozložení součinitele přestupu tepla pod chladicí tryskou je uvažováno ( ) ( ) ( ) x = x1 x R 2, µ = µ1 2 µ, Σ = σ11 ρ 2 ρ σ, Q = 1, τ = (τ 1 ) = τ. 22 Funkce hustoty split normálního rozdělení v R 2 má potom tvar: f(x) = { c exp{ 1 2 (x µ) Σ 1 (x µ)} pro v 1(x µ) 0 c exp{ 1 2 (x µ) ˆΣ 1 (x µ)} pro v 1(x µ) > 0. (4.6) 18

29 Vlastní vektor v 1 je dán spektrálním rozkladem Σ = V DV, kde V ( = (v 1,v ) 2 ) je matice vlastních vektorů, pro kterou musí platit V V = V V = E 2 = a matice ( ) λ1 0 0 λ 2 D = je matice vlastních čísel. Matici ˆΣ můžeme vyjádřit podobně jako ( ) matici Σ ve tvaru ˆΣ = V ˆDV, kde ˆD = τ 2 λ λ Algoritmus Dále bude uveden algoritmus pro programování a na obrázcích 4.4 a 4.5 znázorněn vliv parametrů ρ a τ. Vstupními parametry pro řešenou úlohu jsou: µ 1 střední hodnota 1, µ 2 střední hodnota 2, σ 11 rozptyl 1, platí σ 11 > 0, σ 22 rozptyl 2, platí σ 22 > 0, ρ rotace, ρ 0, τ vychýlení, τ > 0, s korekční koeficient strmosti, c funkční hodnota ve vrcholu. Pro funkci hustoty nebudeme uvažovat požadavek R 2 f(x)dx = 1 a funkční hodnotu c tedy nebudeme uvažovat podle dříve zmíněného vztahu 4.5. Bylo by to zbytečné, protože celou funkci budeme později pro náš účel dále upravovat. Navíc zavedeme s jako koeficient strmosti. Řešení rozdělíme do dvou kroků. Krok 1 a) Případ ρ = 0 D = ( ) λ1 0 0 λ = 2 ( ) ˆΣ = V ˆDV = τ 2 λ λ. 2 ( ) ( σ σ, V = ) ( ), ˆD = λ1 τ λ, 2 Pro další postup volíme podle následujícího případu A = 1 a B = 0. b) Případ ρ > 0 D = ( ) λ1 0 0 λ je matice vlastních čísel matice Σ = 2 ( ) σ11 ρ ρ σ, a proto: 22 λ 1 = 1 2 {σ 11 + σ 22 (σ 11 + σ 22 ) 2 4(σ 11 σ 22 ρ 2 )}, (4.7) 19

30 λ 2 = 1 2 {σ 11 + σ 22 + (σ 11 + σ 22 ) 2 4(σ 11 σ 22 ρ 2 )}. (4.8) ( ) Pro matici V vlastních vektorů platí V = A B B A, a tedy ( ) ( ) σ11 ρ ρ σ = Σ = V DV = A 2 λ 1 + B 2 λ 2 ABλ 1 + ABλ 2 22 ABλ 1 + ABλ 2 B 2 λ 1 + A 2 λ. 2 Odtud potom: B = σ 22 λ 2 A = ( ) Dále ˆΣ = V ˆDV = ˆσ11 ˆσ 12 ˆσ 21 ˆσ, kde 22 λ 1 σ 11 λ 1 λ2 2 λ 1, (4.9) σ 11 λ 2 B 2 ˆσ 11 = τ 2 λ 1 A 2 + λ 2 B 2, ˆσ 12 = ˆσ 21 = τ 2 λ 1 AB + λ 2 AB, ˆσ 22 = τ 2 λ 1 B 2 + λ 2 A 2. λ 1. (4.10) Krok 2 Funkci hustoty nyní můžeme psát ve tvaru: c exp{ 1s (x 1 µ 1 ) 2 σ 22 (x 1 µ 1 )(x 2 µ 2 )(σ 12 +σ 21 )+(x 2 µ 2 ) 2 σ 11 2 σ 11 σ 22 σ 12 σ 21 } f(x 1, x 2 ) = pro A(x 1 µ 1 ) + B(x 2 µ 2 ) 0 c exp{ 1 2 s (x 1 µ 1 ) 2ˆσ 22 (x 1 µ 1 )(x 2 µ 2 )(ˆσ 12 +ˆσ 21 )+(x 2 µ 2 ) 2ˆσ 11 ˆσ 11ˆσ 22 ˆσ 12ˆσ 21 } pro A(x 1 µ 1 ) + B(x 2 µ 2 ) > 0. (4.11) Tento algoritmus byl naprogramován v prostředí MATLAB. Obrázky 4.4 a 4.5 slouží k ilustraci vlivu τ a ρ na tvar funkce hustoty. Obr 4.4 ukazuje vliv τ (asymetrie), která může být v reálných aplikacích způsobena posuvem trysky. Obr. 4.5 znázorňuje vliv ρ (natočení), které může být způsobeno např. chybou při montáži trysky. Vliv natočení se uplatní zejména u plochých křivek. 20

31 a) b) Obrázek 4.4: Funkce hustoty pro µ 1 = 0, 5, µ 2 = 1, σ 11 = σ 22 = 1, ρ = 0 a) τ = 1, b) τ = 2 a) b) Obrázek 4.5: Funkce hustoty pro µ 1 = 0, 5, µ 2 = 1, σ 11 = σ 22 = 1, τ = 2 a) ρ = 0, b) ρ = 0, 7 21

32 5. Aproximace měřených dat V předchozí kapitole byla popsána zvolená aproximační funkce, která bude nyní upravena tak, aby její pomocí bylo možné popsat rozložení součinitele přestupu tepla pod kuželovou vodní chladicí tryskou. Součástí práce je i provedení aproximace pro vzorová data, která byla naměřena při experimentech provedených v Laboratoři přenosu tepla a proudění FSI VUT v Brně. Teoretický model popsaný v odstavcích 5.1 a 5.2 je proto naprogramován v prostředí MATLAB (viz příloha B). Výsledky aproximace pro trysku Jato 2545 jsou shrnuty v kapitole 6. Model byl ověřen také použitím pro aproximaci dat získaných při experimentu s tryskou Jato Tyto výsledky jsou v příloze A Úprava aproximační funkce Stanovení hodnoty součinitele přestupu tepla je obecně velmi složité. Závisí nejen na vlastnostech materiálu a jeho povrchové teplotě, ale také na průtoku chladicí vody, rychlosti posuvu trysky, vzdálenosti trysky od chlazeného povrchu apod. Existujte mnoho vztahů, jako jsou: α = 0, 581W 0,451 (1 0, 0075T v ), (5.1) α = 708W 0,75 T 1,2 w + 0, 116, (5.2) α = 2, W 0,616 Tw 2,445, (5.3) kde T v [ C] je teplota chladící vody, T w [ C] je teplota povrchu a W [l/m 2 s] je hustota vodního toku. Tyto vztahy ale nelze použít vždy, a proto je nutné vycházet z experimentálních měření [8]. V této práci byl použit vztah 5.1. Aproximační funkce 4.11 je nejprve aplikována na hustotu vodního toku. Položíme c = W a funkci je tedy možné přepsat do tvaru: f W (x 1, x 2 ) = W exp{ 1 2 s (x 1 µ 1 ) 2 σ 22 (x 1 µ 1 )(x 2 µ 2 )(σ 12 +σ 21 )+(x 2 µ 2 ) 2 σ 11 σ 11 σ 22 σ 12 σ 21 } pro A(x 1 µ 1 ) + B(x 2 µ 2 ) 0 W exp{ 1 2 s (x 1 µ 1 ) 2ˆσ 22 (x 1 µ 1 )(x 2 µ 2 )(ˆσ 12 +ˆσ 21 )+(x 2 µ 2 ) 2ˆσ 11 ˆσ 11ˆσ 22 ˆσ 12ˆσ 21 } pro A(x 1 µ 1 ) + B(x 2 µ 2 ) > 0. (5.4) Při výpočtu součinitele přestupu tepla budeme uvažovat také vliv rychlosti posuvu trysky a teploty povrchu. Součinitel přestupu tepla bude výrazně větší, pokud teplota povrchu bude nižší než Leidenfrostova. Jelikož ale z experimentálních měření neznáme součinitel přestupu tepla v každém bodě pro každou teplotu povrchu, ale většinou pouze pro dva teplotní intervaly, nedokážeme sestavit spojitou funkci, která by popisovala vliv teploty povrchu pro konkrétní materiál a chladicí podmínky. Proto vztah pro výpočet součinitele přestupu tepla α založený na vztahu 5.1 zapíšeme ve tvaru: α(x 1, x 2 ) = 0, 581f W (x 1, x 2 ) 0,451 (1 0, 0075T v )v t β, (5.5) kde v t [ms 1 ] je rychlost posuvu trysky a koeficientem β vyjádříme vliv teploty povrchu. 22

33 5.2. Hledání parametrů aproximační funkce Uveďme nyní přehled parametrů, které v aproximační funkci po všech úpravách vystupují. Indexem 1 budeme značit směr osy desky, indexem 2 směr k němu kolmý. µ 1 střední hodnota 1, µ 2 střední hodnota 2, σ 11 rozptyl 1, platí σ 11 > 0, σ 22 rozptyl 2, platí σ 22 > 0, ρ rotace, ρ 0, τ vychýlení, τ > 0, s korekční koeficient strmosti, β vliv teploty povrchu. Některé z těchto parametrů můžeme nastavit pevně, a to střední hodnotu µ 2 ve směru kolmém na směr posuvu trysky, rotaci ρ a koeficient s. Korekční koeficient s je možné zvolit podle potřeby aproximace. Ostatní parametry jsou na něm totiž spojitě závislé. V modelu naprogramovaném v MATLABu je uvažováno s = 0, 005. Výsledky získané experimentálně jsou vyhodnocovány jen v jednom směru od osy desky a uvažovány symetricky shodné na druhou stranu. Proto můžeme stanovit µ 2 = 0. Dále budeme v modelu uvažovat ρ = 0. Jde o rotaci, jejíž vliv na tvar grafu funkce byl zobrazen na obr Toto natočení může být způsobeno např. chybou při montáži trysky apod. Natočení může mít výrazný vliv především u plochých trysek. U experimentů s kuželovými tryskami, kterými se tato práce zabývá, můžeme tuto chybu zanedbat. Postup hledání ostatních koeficientů je založen na myšlence metody nejmenších čtverců. Ta minimalizuje kvadráty reziduií, tedy rozdíly mezi experimentem a modelem. Rezidua můžeme zapsat vztahem: r(x 1, x 2 ) = α exp (x 1, x 2 ) α tab (x 1, x 2 ), (5.6) kde α exp je součinitel přestupu tepla vyhodnocený z experimentálního měření a α tab je součinitel přestupu tepla vypočtený aproximační funkcí podle vztahu 5.5. Jelikož hodnoty součinitele přestupu tepla přímo pod tryskou (na ose desky) jsou pro představu o průběhu chlazení desky důležitější než hodnoty na okrajích desky, použijeme tzv. váženou metodu nejmenších čtverců. Jednotlivým hodnotám tedy přisoudíme různé váhy ω(x 2 ) > 0, závislé na vzdálenosti od osy desky. Můžeme tedy psát: r 2 ω = ω(x 2 )r 2 (x 1, x 2 ) min, (5.7) (x 1,x 2 ) M kde M je množina všech bodů (x 1, x 2 ), ve kterých známe hodnoty součinitele přestupu tepla z experimentálního měření. Ve stejných bodech jsme hodnoty součinitele přestupu tepla vypočetli aproximační funkcí 5.5. V modelu byla zvolena váhová funkce: ω(x 2 ) = 12 x 2. (5.8) Parametry, pro které je součet kvadrátů reziduí minimální, hledáme v určité síti parametrů, kterou postupně zhušťujeme, dokud nedosáhneme požadované přesnosti. Zjednodušený pseudokód je uveden v příloze B. 23

34 6. Výsledky aproximací pro trysku 2545 Model popsaný v kapitole 5 založený na pseudokódu uvedeném v příloze B byl naprogramován v MATLABu a byl použit k aproximaci naměřených dat při experimentech JA1 až JA5 pro trysku Jato 2545 a experimentech JB1 až JB3 pro trysku Jato Podmínky experimentů jsou uvedeny v tabulce na obr Obrázek 6.1: Přehled experimentů [6] Aproximaci musíme rozdělit na dva případy. Hodnoty součinitele přestupu tepla budou totiž mnohem vyšší při teplotách povrchu nižších než je Leidenfrostova teplota. Proto byla pro každý z experimentů provedena aproximace pro teplotu povrchu vyšší než je teplota Leidenfrostova (T w = C) a pro teplotu povrchu nižší než je teplota Leidenfrostova (T w = 520 C). Vždy byly nalezeny parametry µ 1, σ 11, σ 22, τ a β a zapsány do tabulek v příloze C Teplota povrchu C Obrázek 6.2: Graf nalezených parametrů (tryska 2545, T w = C) 24

35 Z grafu 6.2 stejně jako z grafu 6.7 je zřetelné, že se u parametrů nedá sledovat žádná jasná závislost na tlaku. Pro každou trysku je tedy důležité zajistit praktická měření, abychom dostali představu o jejích chladicích účincích. Na obrázcích 6.3 až 6.6 jsou ilustrovány výsledky aproximace pro trysku Jato 2545 při teplotě povrchu C a tlacích 1 a 9 bar. a) b) Obrázek 6.3: Graf a) α exp a b) α tab [Wm 2 K 1 ] při povrchové teplotě T w = C a tlaku p = 1 bar 25

36 Obrázek 6.4: Porovnání α exp a α tab v µ1 a µ2 (T w = C, p = 1 bar) a) b) Obrázek 6.5: Graf a) α exp a b) α tab [Wm 2 K 1 ] při povrchové teplotě T w = C a tlaku p = 9 bar 26

37 Obrázek 6.6: Porovnání α exp a α tab v µ1 a µ2 (T w = C, p = 9 bar) Z obrázků 6.3 až 6.6 je zřetelné, že aproximace je poměrně přesná. K absolutní shodě nedojde nikdy, odchylky však nejsou závažné. Pro náhradu experimentálně získáných dat aproximační funkcí je nejdůležitější, aby tato funkce popisovala co nejpřesněji rozložení součinitele přestupu tepla především v okolí osy trysky, hodnoty na okrajích desky jsou méně podstatné. Výchylky mezi α exp a α tab, které lze vidět v grafech závislosti na x 2 a jsou patrnější u výsledků pro trysku Jato 5045 (viz příloha A), jsou způsobené tím, že v praxi neleží nejvyšší hodnoty součinitele přestupu tepla přímo v místě střední hodnoty µ 1, jako je tomu u aproximační funkce. Velikosti součinitele přestupu tepla však hledáme především pro popis celkového teplotního pole pod tryskou, a proto je tato odlišnost pro nás nedůležitá Teplota povrchu 520 C Obrázek 6.7: Graf nalezených parametrů (tryska 2545, T w = 520 C) 27

38 a) b) Obrázek 6.8: Graf a) α exp a b) α tab [Wm 2 K 1 ] při povrchové teplotě T w = 520 C a tlaku p = 4 bar Obrázek 6.9: Porovnání α exp a α tab v µ1 a µ2 (T w = 520 C, p = 4 bar) 28

39 a) b) Obrázek 6.10: Graf a) α exp a b) α tab [Wm 2 K 1 ] při povrchové teplotě T w = 520 C a tlaku p = 6 bar Obrázek 6.11: Porovnání α exp a α tab v µ1 a µ2 (T w = 520 C, p = 6 bar) 29

40 7. Závěr Cílem práce bylo nalezení spojité funkce, která by aproximovala data o chladicích účincích kuželových vodních trysek naměřených při reálných experimentech provedených v Laboratoři přenosu tepla a proudění FSI VUT v Brně. Před samotným řešením tohoto problému bylo důležité seznámit se s procesem výroby oceli plynulým odléváním a se základy teorie přenosu tepla a chlazení ostřikem. Dále bylo nutné pochopit, jak probíhá experiment na testování chladicích účinků trysek a postup výpočtu povrchových teplot a součinitele přestupu tepla pomocí inverzní úlohy z teplot naměřených termočlánky zabudovanými pod povrchem chlazené desky. Po zvolení aproximační funkce byl vytvořen model v programu MATLAB a výsledky byly ověřeny na datech naměřených pro trysky Jato 2545 a V kapitole 6 a příloze A je uvedena grafická ukázka získaných výsledků. Velikost součinitele přestupu tepla je třeba znát především proto, že vystupuje jako okrajová podmínka při určování teplotního pole pod tryskou. Nalezení aproximační funkce pak značně usnadňuje zadávání těchto podmínek, a to i při změně geometrie chlazené desky atd. Práce mi však především poskytla důkladný náhled do problematiky, kterou se zabývají na Odboru termomechaniky a techniky prostředí na Energetickém ústavu a v Laboratoři přenosu tepla a proudění FSI VUT v Brně, a také příležitost se těmto záležitostem po matematické stránce dále věnovat. Práce samotná přináší několik možností dalšího rozvíjení. Jednou z otázek je, jak by aproximace dopadla při využití jiné aproximační funkce. Zůstaneme-li v teorii pravděpodobnosti, nabízí se kromě funkce hustoty split normálního rozdělení využití funkce hustoty např. logaritmicko normálního rozdělení nebo rozdělení Weibullova. Další z možností, jak by se na této práci dalo pokračovat, je využití některé z optimalizačních metod při výpočtech parametrů aproximační funkce, a tím nejen dosažení větší přesnosti, ale také snížení výpočtové náročnosti. Další variantou je úprava programu pro využití i u jiných typů trysek než kuželových. 30

41 Literatura [1] BELLEROVÁ, H. Rozvoj inverzních úloh vedení tepla se zaměřením na velmi rychlé procesy v mikroskopických měřítcích. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, s. Vedoucí dizertační práce prof. Ing. Miroslav Raudenský, CSc. [2] BÖHM, Z., CAGAŠ, J., DOLEJŠÍ, Z., KUČERA, J., PETROŠ, J., ŠMRHA, L. Plynulé odlévání oceli. 1. vyd. Praha: SNTL Nakladatelství technické literatury, s. ISBN [3] Energy and Work. State College of Florida. [online]. [cit ]. Dostupné z: [4] Full cone nozzle type L. Jato-Düsenbau AG. [online]. [cit ]. Dostupné z: FULL%20CONE%20NOZZLE- L.pdf. [5] HNÍZDIL, M. Vývoj Metod In-line Tepelného Zpracování. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, s. Vedoucí diplomové práce prof. Ing. Miroslav Raudenský, CSc. [6] HORSKÝ, J., RAUDENSKÝ, M., KOTRBÁČEK, P.: Chladící účinky trysek na sochorovém ZPO, pro Třinecké železárny, a.s. Technická zpráva, Laboratoř přenosu tepla a proudění, FSI VUT v Brně, [7] KLIMEŠ, L. Optimalizace parametru sekundárního chlazení plynulého odlévání oceli. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, s. Pojednání ke státní doktorské zkoušce. Školitel doc. Ing. Josef Štětina, Ph.D. [8] MAUDER, T. Optimalizace bramového plynulého odlévání oceli za pomoci numerického modelu teplotního pole. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, s. Vedoucí dizertační práce prof. Ing. František Kavička, CSc. [9] NEUBAUER, J., SEDLAČÍK, M., KŘÍŽ, O. Základy statistiky: aplikace v technických a ekonomických oborech. 1. vyd. Praha: Grada, s. ISBN [10] Nozzle technology. Lechler inc. [online]. [cit ]. Dostupné z: AAABeREAAAEvnIoh.E.Aen US. [11] PAVELEK, M., ŠTĚTINA, J. Experimentální metody v technice prostředí. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, s. ISBN [12] SANTOS, C., SPIM, J., GARCIA, A. Mathematical modeling and optimization strategies (genetic algorithm and knowledge base) applied to the continuous casting of steel. Engineering Applications of Artificial Intelligence, ročník 16, č. 5 6, 2003: s ISSN

42 [13] ŠTĚTINA, J. Optimalizace parametrů odlévání na sochorovém kontilití pomocí modelu teplotního pole. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, Habilitační práce. [14] TOTTEN, G. E., BATES, C. E., CLINTON, N. A. Handbook of quenchants and quenching technology. Ohio: ASM International, s. ISBN X. [15] VILLANI, M., LARSSON, R. The multivariate split normal distribution and asymmetric principal components analysis. Communications in statistics: theory and methods, ročník 35,č. 6, 2006: s ISSN [16] WOLF, M. M. Making, Shaping and Treating of Steel: Casting. 11. vyd. Warrendale: Assn of Iron & Steel Engineers, ISBN Kapitola Historical Aspects and Key Technologies. 32

43 Seznam použitých veličin a symbolů Symbol Rozměr Veličina k Wm 1 K 1 Měrná tepelná vodivost p bar, Pa Tlak p s bar Standardní tlak, katalogová hodnota q Wm 2 Hustota tepelného toku s - Korekční koeficient strmosti T v K, C Teplota chladící vody T w K, C Teplota povrchu T K, C Teplota okolí, volného proudu tekutiny V l min 1 Průtok vody tryskou V s l min 1 Tabelovaný průtok vody tryskou při tlaku p s v t m s 1 Rychlost posuvu trysky W lm 2 s 1 Hustota vodního toku x, x 1, x 2 - Kartézské souřadnice α Wm 2 K 1 Součinitel přestupu tepla β - Vliv teploty povrchu µ - Střední hodnota ρ - Rotace σ 2 - Rozptyl τ - Parametr zkrácení/rozšíření ω - Váhová funkce Σ - Varianční matice 33

44 Seznam příloh A Výsledky aproximací pro trysku 5045 B C D Pseudokód hlavního programu Tabulky nalezených parametrů Zdrojové kódy v MATLABu 34

45 A. Výsledky aproximací pro trysku 5045 A.1. Teplota povrchu 1000 C Obrázek A.1: Graf nalezených parametrů (tryska 5045, T w = C) a) b) Obrázek A.2: Graf a) α exp a b) α tab [Wm 2 K 1 ] při povrchové teplotě T w = C a tlaku p = 6 bar 35

46 Obrázek A.3: Porovnání α exp a α tab v µ1 a µ2 (T w = C, p = 6 bar) a) b) Obrázek A.4: Graf a) α exp a b) α tab [Wm 2 K 1 ] při povrchové teplotě T w = C a tlaku p = 9 bar 36

47 Obrázek A.5: Porovnání α exp a α tab v µ1 a µ2 (T w = C, p = 9 bar) A.2. Teplota povrchu 520 C Obrázek A.6: Graf nalezených parametrů (tryska 5045, T w = 520 C) 37

48 a) b) Obrázek A.7: Graf a) α exp a b) α tab [Wm 2 K 1 ] při povrchové teplotě T w = 520 C a tlaku p = 6 bar Obrázek A.8: Porovnání α exp a α tab v µ1 a µ2 (T w = 520 C, p = 6 bar) 38

49 a) b) Obrázek A.9: Graf a) α exp a b) α tab [Wm 2 K 1 ] při povrchové teplotě T w = 520 C a tlaku p = 15 bar Obrázek A.10: Porovnání α exp a α tab v µ1 a µ2 (T w = 520 C, p = 15 bar) 39