MĚŘENÍ INDUKČNOSTI A KAPACITY

Transkript

1 Úloha č. MĚŘENÍ NDKČNOST A KAPATY ÚKO MĚŘENÍ:. Změřte ndkčnost cívky bez jádra z její mpedance a stanovte nejstot měření.. Změřte na Maxwellově můstk ndkčnost cívky a rčete nejstot měření. Porovnejte výsledky měření podle bodů a.. Stanovte kapact kondenzátor z jeho mpedance. Vypočtěte nejstot měření 4. rčete fázový posn ϕ napětí a prod měřené cívky. Vypočtěte ztrátový čntel měřeného kondenzátor. 5. Změřte závslost = f () sérového rezonančního obvod. 6. Změřte napětí na cívce a kondenzátor př rezonanc a rčete velkost kapacty kondenzátor př rezonanc.. TEOETKÝ ÚVOD. ndkčnost ndkčnost je statcky defnována sočtem všech magnetckých toků φ zavřených jednotlvým závty, vyvolaných jednotkovým prodem : φ =. () Vlastní ndkčnost závsí na geometrckém spořádání obvod, jeho rozměrech a na magnetckých vlastnostech prostředí. Kromě statcké defnce je možno ndkčnost též defnovat ze vztah d ε =. () dt Jednotko ndkčnost je henry (H); je to ndkčnost zavřeného obvod, ve kterém vznkne elektromotorcké napětí V, když se elektrcký prod, který tímto obvodem teče, rovnoměrně změní o A za s. V elektrckém obvod se ndkčnost chová jako zásobník energe magnetckého pole. Ve sktečnost každá cívka má nejen vlastní ndkčnost, ale ohmcký odpor, který je tvořen odporem vodče. Jso-l závty cívky navnty na feromagnetckém jádře, pak je její ndkčnost vzhledem k cívce bez jádra vždy větší a je závslá na velkost protékajícího prod. Přpojíme-l ke zdroj střídavého napětí snsového průběh o ampltdě = snω t () ohmcký odpor (obr. a), pak z Ohmova zákona plyne pro okamžto hodnot prod : = = snω t = sn ω t, (4) 8

2 kde je ampltda prod, ω = π f a f je frekvence střídavého napětí. Ze vztahů () a (4) je zřejmé, že průběh napětí prod je snsový (obr. b). Vektor napětí ˆ na odpor a vektor prod Î jím tekocí jso ve fáz (obr. c) a tdíž fázový posn ϕ je nlový: ϕ =. (5) b Obr. a) Odpor přpojený ke zdroj b) Časový průběh napětí a prod na odpor c) ˆ, ˆ na odpor Přpojíme-l ke zdroj střídavého napětí, popsaného rovncí (), deální bezeztrátovo ndkčnost (obr. a), pak pro prod ndkčností tekocí lze odvodt: = cosω t = sn ω t π. (6) ω Ampltda prod je úměrná ampltdě napětí: = X = ω, (7) kde X = ω je mpedance ndkčnost nebo též ndktance. ndktance představje odpor, který klade ndkčnost střídavém prod. Je závslá na frekvenc f. Prod je zpožděn za napětím (obr. b) o úhel ϕ : π ϕ =. (8) Vektory napětí (obr. c). ˆ na deální ndkčnost a prod Î jí tekocí jso posnty o úhel 9, t Obr. a) ndkčnost přpojená ke zdroj b) Časový průběh napětí a prod na ndkčnost c) ˆ, ˆ na ndkčnost Náhradní schéma sktečné cívky je tvořeno ndkčností a odporem cívky zapojeným v sér (obr. a). Vektorový dagram sktečné cívky (obr. c) se sestrojí podle předchozích poznatků. Obvodem teče prod Î, napětí ˆ zdroje se dělí na napětí ˆ na odpor a 9

3 napětí ˆ na deální ndkčnost. Prod Î je ve fáz s napětím ˆ na odpor a zpožděn o 9 za napětím ˆ. Pro napětí ˆ zdroje platí ˆ = ˆ ˆ. Mez napětím ˆ a prodem Î vznkne fázový posn ϕ, pro který platí: π < ϕ <. (9), t Obr. a) ívka přpojená ke zdroj b) Časový průběh napětí a prod na cívce c) Vektorový dagram napětí a prod na cívce Průběh napětí a prod vzájemně posntých na sktečné cívce o úhel ϕ, je na obr. b. Z vektorového dagram na obr. c pro velkost napětí platí: kde ( ) ( ω ) = ω = =, () Z = Z, () = ω. () Z je mpedance sktečné cívky a vádí se v ohmech. Je to odpor, který klade sktečná cívka průchod střídavého prod. Z vektorového dagram na obr. c též plyne pro fázový posn ϕ prod Î a napětí ˆ ω ω tgϕ = = =. (). Kapacta Kapacta je defnována jako poměr mez nábojem Q a napětím mez deskam kondenzátor: Q =. (4) Jednotko kapacty je farad (F). Velm často se žívají menší jednotky: pf = - F, nf = -9 F, µf = -6 F. Přpojíme-l ke zdroj střídavého napětí o ampltdě, = sn ω t bezeztrátový kondenzátor o kapactě (obr. 4a), pak pro prod, tekocí kondenzátorem, lze odvodt:

4 π = ω cosω t = sn ω t. (5) Prod předbíhá napětí o úhel ϕ = 9 (obr. 4b). Vektorový dagram napětí prod Î kondenzátor je na obr. 4c. ˆ a, t Obr. 4 a) Kapacta přpojená ke zdroj b) Časový průběh napětí a prod na kapactě c) ˆ, ˆ na kapactě Ze vztah (5) plyne = ω = =, ω X X = = ω, (6) π f kde X je mpedance nebo též kapactance bezeztrátového kondenzátor. vádí se v ohmech. Představje odpor, který klade deální bezeztrátový kondenzátor průchod střídavého prod. Kapactance je tdíž závslá na frekvenc f prod napájecího zdroje. Ze vztah (6) je zřejmé, že pro stejnosměrný prod je f = a X =. Kondenzátor stejnosměrný prod nepropstí. Kondenzátor se v elektrckém obvod chová jako zásobník energe elektrckého pole. Je tvořen dvěma elektrodam, mez nmž je delektrkm (vzdch, slída apod.). Př průchod střídavého prod každý kondenzátor vykazje ztráty, které jso způsobeny nedokonalo zolací delektrka, ohmckým odporem elektrod ztrátam v delektrk př střídavé polarzac. Ztráty se projeví ohříváním delektrka. Proto s lze sktečný kondenzátor představt jako bezeztrátový kondenzátor (obr. 5a), k němž je paralelně přpojen svodový odpor, jehož velkost je úměrná ztrátám. Prod Î (obr. 5b), tekocí kondenzátorem, předbíhá napětí ˆ na kondenzátor o úhel 9 a prod Î, Obr. 5 a) Kondenzátor přpojený ke zdroj b) Vektorový dagram prod a napětí na kondenzátor

5 protékající svodovým odporem, je s napětím ˆ ve fáz. Z vektorového dagram je zřejmé, že ˆ = ˆ ˆ. Mez napětím ˆ a prodem Î vznkne π fázový posn ϕ, pro který platí: < ϕ <. Velkost celkového prod v obvod je: = = = ω. (7) ω mpedance sktečného kondenzátor je: Z = =. (8) ω Představje odpor, který klade sktečný kondenzátor průchod střídavého prod. Většno je svodový odpor kondenzátor velký, proto ve vztah (8) lze často člen zanedbat, takže mpedance kondenzátor se pak rovná jeho kapactanc: Z = =. (9) ω Z vektorového dagram (obr. 5b) je fázový posn ϕ : ω tgϕ = = = ω. V prax se však pro posození kvalty kondenzátor važje tzv. ztrátový úhel δ, pro nějž platí δ = ϕ, z něhož se rčje ztrátový čntel tg δ : π tgδ = =. () ω Velkost ztrátového čntele závsí na požtém delektrk kondenzátor (bývá v rozmezí -5 až - ) a na frekvenc, pro níž je dán.. Sérová rezonance Sérový rezonanční obvod tvoří cívka o ndkčnost a odpor a kondenzátor o kapactě, zapojené v sér (obr. 6). Obvodem teče prod a je přpojen na napětí. Napětí ˆ na odpor je ve fáz s prodem Î (obr. 7). Napětí ˆ na ndkčnost předbíhá prod o úhel 9 a napětí na kapactě je za prodem Î o 9 zpožděno. Napětí ˆ a napětí ˆ jso tedy opačného směr. Pro výsledné napětí ˆ napájecího zdroje platí ˆ = ˆ ˆ ˆ, proto = ( ).

6 - Obr. 6 Obvod,, přpojený ke zdroj Obr. 7 Vektorový dagram napětí a prod,, obvod Po dosazení: = ω = Z. () ω Z rovnce () plyne, že mpedance Z je obecně větší než ohmcký odpor cívky. Avšak ndktance X a kapactance X se ve vzorc odečítají a v rčtém případě může dojít k jejch vzájemné kompenzac. Jestlže platí: a) ω =, nebo b) =, případně c) ϕ =, () ω pak je sérový rezonanční obvod v rezonanc. Všechny tř rovnce jso ekvvalentní, platí-l jedna, platí zbývající dvě. (ma) Př sérové rezonanc se obvod chová tak, jako by v něm byl zapojen poze ohmcký odpor. Výsledná mpedance Z obvod je nejmenší a platí Z =. Obvodem teče rezonanční prod r, který př konstantním napětí zdroje nabývá maxmální hodnoty. Jelkož př rezonanc f ω r f (Hz) platí = r, pak také platí = = ω r =. Z toho je zřejmé, že napětí na cívce kondenzátor př Obr. 8 ezonanční křvka rezonanc může být několkrát vyšší než napětí napájecího zdroje. Ze vztah (a) můžeme zjstt rezonanční frekvenc obvod (Thompsonův vztah): fr =. () π Obdobně můžeme zjstt rezonanční ndkčnost nebo rezonanční kapact. Grafcké znázornění průběh prod v závslost na frekvenc = f (f ) (obr. 8), případně prod na kapactě = f (), př konstantním napětí se nazývá rezonanční křvka. Čím bde ohmcký odpor menší, tím bde křvka strmější.

7 . PNP METODY. Měření ndkčnost z mpedance Měření ndkčnost cívky z mpedance je založeno na vztazích () a (). Pro ndkčnost plyne kde ω = π f. = ω, (4) V požtém zapojení ampérmetr měří prod daný sočtem prod tekocího cívko a voltmetrem (obr. 9). rčení mpedance Z cívky lze provést ze vztah () jen tehdy, jestlže vntřní odpor V voltmetr je velký ve srovnání s měřeno mpedancí. Pak lze prod tekocí voltmetrem zanedbat. Tato podmínka bývá splněna. P A (, ) Obr. 9 Zapojení pro měření ndkčnost z mpedance Z V. Měření ndkčnost cívky na Maxwellově můstk Obecný můstek, přpojený na zdroj střídavého prod (obr. ), je tvořen čtyřm větvem, v nchž moho být odpory, ndkčnost a kondenzátory. Můstek je vyrovnán, pokd nlovým ndkátorem - elektronkovým voltmetrem - zapojeným mez body B - D můstk, neprochází prod. To nastane poze tehdy, když střídavé napětí mez body B - D je nlové; ˆ =. BD V tom případě mpedancem Z a Z teče týž prod a mpedancem Z a Z 4 teče prod. Zároveň msí také platt ˆ = ˆ, ˆ ˆ B = D. (5) AB AD ovnc (5) lze přepsat do tvar Z ˆ ˆ ˆ ˆ = Z, Z ˆ ˆ ˆ ˆ = Z 4. Vyločením prodů obdržíme podmínk rovnováhy můstk v komplexním tvar: Z ˆ Z ˆ = Z ˆ Z ˆ. (6) 4 která reprezentje dvě rovnce mez parametry vyrovnaného můstk. Pro výpočet podmínek rovnováhy na Maxwellově můstk (obr. ) se vyjde ze vztah (6), kde komplexní mpedance ve větvích jso Z ˆ = jω, Z ˆ =, Z ˆ =, Př rovnováze msí platt: ω jω. ( j ) = Zˆ 4 =. jω 4

8 B Z Z A Z Z 4 D V Obr. Obecný můstek Obr. Maxwellův můstek Po vynásobení a úpravě obdržíme ω. jω = j Z rovnost reálných a magnárních částí komplexního čísla vypočteme podmínky rovnováhy, kde pro odpor vntí cívky a ndkčnost platí: = a =. (7). Měření kapacty kondenzátor z mpedance Měření kapacty kondenzátor je založeno na vztah (9). Ampérmetrem a voltmetrem změříme prod a napětí v obvod dle obr.. Jelkož vntřní odpor voltmetr je často větší než mpedance měřeného kondenzátor, je toto zapojení vhodné, protože prod voltmetrem je zanedbatelný vzhledem k prod kondenzátorem. Měření provedeme několkrát a nejstot měření stanovíme statstcky..4 Měření rezonanční křvky Úkolem je změřt závslost = f ( ) sérového rezonančního obvod tvořeného cívko se železným jádrem a kondenzátorem, jehož velkost lze po stpních měnt. Průběh křvky je p Obr. Zapojení pro měření kapacty z mpedance A V A, V V V Obr. Zapojení pro měření rezonanční křvky 5

9 obdobný průběh z obr. 8. Pro měření požjeme schéma podle obr.. Zároveň změřením napětí na voltmetr V a napětí na voltmetr V př rezonanc, tj. v případě, kdy obvodem protéká největší prod, ověříme vztah (b).. POSTP MĚŘENÍ A VYHODNOENÍ VÝSEDKŮ. Měření ndkčnost z mpedance a) Zapojte obvod dle obr. 9. Př opakovaném nastavování téže hodnoty napětí na voltmetr zjstíme, že výchylka ampérmetr bde vždy téměř stejná a tdíž není možné spolehlvě odečíst měřtelno odchylk. Proto se toto měření neprovádí. b) Změno polohy jezdce potencometr nastavte 5 hodnot napětí a prod tak, aby se napětí jednotlvých měření přílš nelšla. analogových měřcích přístrojů nastavte takové rozsahy, abyste výchylky mohl odečítat ve drhé polovně stpnce. c) Změřte frekventoměrem kmtočet napětí zdroje. d) Vypočtěte ndkčnost cívky ze vztah (4). Odpor vntí cívky je veden na cívce. Z naměřených hodnot vypočtěte průměrno hodnot ndkčnost. e) Ze vztah () vypočtěte fázový posn ϕ mez prod a napětí. f) Naměřené a vypočtené hodnoty zpracjte do tablky č.. ívka číslo: Tablka č. číslo měření (V) (A) Z (Ω) (H) (H) (H ) f = = ϕ = Hz Ω =... (H), = =...% r =... (H) ( ± ) = H. Měření ndkčnost na Maxwellově můstk a) Zapojte obvod dle obr.. Nastavte všechny odporové dekády na stejno hodnot odpor (např. 5 Ω). b) Nastavení rovnováhy na můstk provádějte odporovým dekádam a. Nejprve změno odpor na dekádě najděte napěťové mnmm na elektronkovém voltmetr. Pak požjte dekád a změno tohoto odpor najděte opět mnmální napětí na voltmetr. Další snížení napětí provedete opět dekádo. Toto střídavo reglací dekádam dospějete ke konečném mnmálním napětí v úhlopříčce můstk a tím k jeho vyrovnání. Odpor na dekádě neměňte. Postpné vyhledávání napěťových mnm je zapotřebí provést vždy velm pečlvě, protože jakékolv nepřesnost během měření způsobí, že výsledné napěťové mnmm bde poměrně dost vysoké a můstek tdíž nebde dobře vyrovnán. c) Kapact ve větv můstk volte = µf, =,5 µf. 6

10 7 d) Odpor vntí cívky a ndkčnost vypočtěte ze vztah (7). Odpor porovnejte s odporem vedeným na cívce.. Měření kapacty kondenzátor z mpedance a) Zapojte obvod dle obr.. b) Nastavte v obvod postpně 5 hodnot napětí a odečtěte příslšné prody (vz.b). c) Sestavte tablk naměřených a vypočtených hodnot obdobno tablce. d) Kapact kondenzátor vypočtěte ze vztah (9). e) rčete ztrátový čntel kondenzátor ze vztah ()..4 Měření rezonanční křvky a) Obvod zapojte dle obr., na kapactní dekádě nastavte nejmenší kapact. b) Jezdcem potencometr nastavte na voltmetr V napájecí napětí na zadano hodnot. Během měření držjte toto napětí konstantní. c) Postpně do obvod zařazjte kondenzátory o vyšších kapactách a měřte prod. Př rezonanc prod dosáhne maxma. d) Měřením napětí př rezonanc ověřte vztah ( b). e) Nakreslete graf = f (). 4. PŘESNOST MĚŘENÍ a) Stanovte nejstot měření ndkčnost z mpedance. K výpočt nejstoty typ B je třeba zaznamenat tříd přesnost a zvolený rozsah měřcích přístrojů. Př stanovení nejstoty frekvence předpokládejte bmodální rozdělení, jemž odpovídá parametr θ =. Z rovnce (4) vyplývá pro nejstot ndkčnost vztah: = f f. b) Z měření na Maxwellově můstk rčete nejstot odpor cívky ze vztah: = a nejstot ndkčnost ze vztah: =. c) Porovnejte vypočtené nejstoty pro měření ndkčnost z mpedance a na Maxwellově můstk. d) rčete nejstot měření kapacty z mpedance ze vztah: = f f.