ESTIMATION OF DENSITY FUNCTION PARAMETERS WITH CENSORED DATA FROM PRODUCT LIFE TESTS

Transkript

1 ESTIMATION OF DENSITY FUNCTION ARAMETERS WITH CENSORED DATA FROM RODUCT LIFE TESTS J.Tůa * Suary: The paper deals wih a saisial ehod for he evaluaio of life es resuls. I is supposed ha oly soe of he es speies are observed uil breakig while observaio of ohers is eriaed prior o breakig. Tha is, soe observaios are esored. The esiaio of probabiliy desiy fuio paraeers is based o he axiu-likelihood ehod. The Weibull disribuio fuio is preferably used o desribe he oplee life disribuio. I is suggesed ha esiaio be perfored sequeially afer eah observed breakage reaig speies sill o es as esored uil he paraeer esiaes beoe sable. Soe resuls of siulaio are preseed usig a exaple of ruk suspesio ess.. Úvod Živoos určiého provedeí výrobku předsavuje poče provozíh hodi ebo poče ujeýh kiloerů a ebo aké poče sepuí koaku spíače do poruhy ebo zičeí. Záje o saisiké harakerisiky živoosi je dá pořebou saovi záruky bezhybé fuke zařízeí. V případě poruhy je vyžadováa oprava a v případě zičeí před uplyuí záručí lhůy zase áhrada škody, ož předsavuje pro výrobe ebo prodeje vzik dodaečýh ákladů. Daa harakerizujíí živoos zařízeí jsou dvojího druhu, a o buď údaje o době provozu do poruhy a ebo údaje o době provozu aiž by vzikla poruha. Z hlediska aeaiké saisiky i eo druh eurčiýh da o době provozu obsahuje užiečé iforae, keré ohou zpřesi výpoče paraerů rozděleí doby provozu bez závad. osup výpoču je popsá apříklad v příruče, kerá je k dispozii a webovskýh srákáh Naioal Isiue of Sadards ad Tehology, USA (hp:// Dále popisovaý posup se opírá o algorius, kerý byl vyviu v podiku Tara Kopřivie (Tůa, 989) a později publiková ve sboríku praí VŠB, Fakula srojí (Tůa, 996). Idividuálí živoos kokréího výrobku je áhodá veličia τ. Určiá (fixí) hodoa éo áhodé veličiy bude začea písee a bude předsavova obeě rověž živoos apříklad ve výzau doby provozu. U živoosi je řeba zá rozděleí pravděpodobosi, keré souvisí s pravděpodobosí vziku poruh. Například pravděpodobos, že poruha vzike v časové iervalu od do +, lze vyjádři ve varu { < + } = f ( ; Θ) τ, () * rof. Ig. Jiří Tůa, CS.: Fakula srojí, VŠB Tehiká uiverzia Osrava; 7. lisopadu 5; Osrava; el.: , fax: ; e-ail: jiri.ua@vsb.z

2 kde fuke f ( ;Θ) je husoa rozděleí pravděpodobosi se skupiou paraerů, keré jsou syboliky ozačey Θ a keré obeě předsavují vekor. Další harakerisika živoosi je disribučí fuke F ( ;Θ), kerá souvisí s husoou pravděpodobosi podle ásledujíího vzahu { < } = F( ; Θ) = f ( Θ) τ ; d. () ravděpodobos, že idividuálí živoos bude věší ež doba provozu, je dáa vzahe { > } = F( ; Θ) = f ( ; Θ)d τ. (3) Tesy živoosi probíhají obvykle u souboru vzorků určiého výrobku ajedou ebo posupě. Sraegie zkoušeí se ůže opíra o pravidlo, podle kerého se usí všehy zkoušeé výrobky přivés provoze k poruše ebo zičeí. Teo popis předpokládá, že zkoušky všeh výrobků eusí bý vedey až k poruše ebo zičeí a že řada zkoušek bude přerušea bez vziku poškozeí, j. yo zkoušky budou eukočey. Výsledek esu předsavuje soubor o poču hodo idividuálíh živoosí,, 3,..., (doby provozu do vziku poruhy ebo poškozeí) a soubor o poču hodo, keré iforují je o skuečosi, že ěkeré výrobky vydržely es bez poruhy, j. jejih idividuálí živoosi jsou iiálě rovy ebo věší ež doby provozu,, 3,...,. Zkouší se edy elke + vzorků výrobku, přičež je u čási z ih vzike poruha. Takový soubor da se azývá ezorovaý. Výsledke vyhodoeí souboru da z esu živoosi jsou odhady paraerů rozděleí pravděpodobosi, ze kerýh lze vypočía apříklad sředí hodou živoosi, rozpyl živoosi a hlavě kvaily, keré saovují jaký podíl výrobků á dosáhou saoveou živoos, ož je údaj obvykle uváděý v ehikýh podíkáh provozu výrobku. Cíle předložeého sděleí je popsa a zdůvodi posup výpoču zíěýh harakerisik.. Odhad paraerů rozděleí ezorovaého saisikého souboru araery rozděleí pravděpodobosi se odhadují ěkolika způsoby (Hále a Likeš, 974). Nejvíe záý posup užívá eodu oeů, podle keré se paraery odhadují a základě relaí ezi ěio oey a paraery rozděleí ebo yo oey, j. sředí hodoa, rozpyl, ad., jsou přío paraery rozděleí jako apříklad u orálího (Gaussova) rozděleí. Další způsobe odhadu paraerů je eoda axiálí věrohodosi. Teo způsob odhadováí je zvlášě vhodý pro ezorovaá daa, a proo bude k jejih vyhodoeí použi. Zdůvoděí eody spočívá ve výpoču pravděpodobosi výskyu daého souboru zěřeýh da, jejihž jedolivá ěřeí předsavují ezávislé jevy (pokusy), proo Σ ; (, Θ)... f (, Θ) f ( ; Θ) d... f ( Θ) = f d. (4) Tao pravděpodobos je kroě zěřeýh da aké fukí vekoru paraerů Θ. V eorii pravděpodobosi se defiují axiálě věrohodé odhady paraerů ak, že axializují

3 výše uvedeou pravděpodobos Σ. ooí éo pravděpodobosi se defiuje věrohodosí fuke L (,,..., + ;Θ) vzore, 3 j. plaí (, )( ),..., Θ Σ = L + ;, (5) L ; Θ i ( ; Θ) = f ( ; Θ) f ( ),..., d. (6) ro výpočy je vhodější logarius věrohodosí fuke i ; Θ i (,..., ; Θ) = l f ( ; Θ) + l f ( ) l L d. (7) 3. Volba ypu rozděleí pravděpodobosi Vzik poruh hodoeého výrobku harakerizuje veličia, kerá je azýváa iezia poruh λ ( ;Θ). Tao veličia je fuki doby provozu a vekoru paraerů Θ. Defiičí vzah je { < + } = λ( Θ) { τ > } + O( ) kde O( ) je řádově eší ež, j. li O( ) = 0 0 ( ) { τ < } O( ) Θ = { τ > } τ ;. (8). Z předhozí rovie lze získa vzah λ ;, (9) ož je podíěá pravděpodobos výskyu poruhy při době provozu až +, a o u výrobků s vyšší idividuálí živoosi ež je doba provozu. o děleí předházejíí rovie veličiou, keré vzahuje uo podíěou pravděpodobos a jedokový ierval doby provozu a dává éo pravděpodobosi výza ieziy, a po liií přehodu 0 lze získa vzore pro výpoče ieziy poruh ve varu (Maixer a Kolíková, 984) f ( ) ( ; Θ) F ( ; Θ) ; Θ = = F( ; Θ) F( ; Θ) Z posledího vzore lze vyvoři vzhlede k ezáé fuki ( ;Θ) λ. (0) F lieárí difereiálí rovii prvího řádu v ezávisle proěé. Řešeí difereiálí rovie s použií eody variae koefiieů je ásledujíí ( Θ) = + exp ( ; Θ) d F ; λ. () 0 osledí vzore á obeý var. ro další úvahy je řeba kokreizova fukčí závislos ieziy poruh a době provozu. ři aalýze da z esu živoosi se ejlépe osvědčilo Weibullovo rozděleí pravděpodobosi. Jesliže jsou všehy zkoušky ukočey, pak je časo použio logariiko-orálí rozděleí.

4 Weibullovo rozděleí W(,δ) Too rozděleí á dva paraery s kladýi hodoai, a proo Θ = {,δ } pro oo rozděleí je defiováa vzore. Iezia poruh λ ( ; {, δ }) =. () δ δ říslušá husoa rozděleí pravděpodobosi a disribučí fuke pro > 0 jsou ro čas 0 f ( ; {, δ }). = δ je f ( ; {, δ }) = 0 a { } E{} = δ. Γ + kde Γ ( ) je zv. gaa fuke exp, F( ; {, δ} ) = exp. (3) δ δ F ( ;, δ ) = 0. Sředí hodoa E {}. a rozpyl var (). jsou τ, var( ) = δ Γ + + Γ τ Γ, (4) 0 ( ) = x ( x) exp dx. (5) Kvail éo husoy pravděpodobosi pro zvoleou pravděpodobos je ( ( ) ) = δ l. (6) Speiálí případy Weibullova rozděleí daé určiou hodoou paraeru jsou ásledujíí: =... expoeiálí rozděleí =... Rayleighovo rozděleí Charakerisiká je aké závislos ieziy poruh a době provozu. ro > iezia poruh rose s dobou provozu, ož lze spojova s provozí opořebeí. Naproi ou pro < iezia poruh s dobou provozu klesá, proože a začáku provozu se vyřadí výrobky se skryýi vadai. Jesliže = (výše zíěé expoeiálí rozděleí), pak iezia poruh ezávisí a čase, a proo expoeiálí rozděleí je ozačováo jako bez paěi. říklad závislosi ieziy poruh a čase je uvede a obrázku. Obrázek Iezia poruh u Weibullova rozděleí U složiého zařízeí s oha saosaě porouhaelýi a zovu opravielýi kopoeai, agregáy ebo jedokai je při sledováí ieziy poruh pozorovaelá závislos ve varu zv. vaové křivky, kerá v počáečí fázi reprezeuje zvýšeou ieziu výskyu skryýh vad, pak ásleduje období s vyrovaou ieziou poruh a při koi živoosi ásleduje vzrůs ieziy poruh vlive opořebeí. Je řeba edy

5 zdůrazi, že aproxiae ieziy poruh vzore, kerý je odvoze z Weibullova rozděleí pravděpodobosi, harakerizuje je jedu ze zíěýh ří fází provozu zařízeí. ro odhad paraerů rozděleí pravděpodobosi je řeba urči ejprve logarius věrohodosí fuke je l ( L) = l + ( ) l( ) i i. (7) δ δ Exré éo fuke lze vypočía pooí saioáríh bodů fuke l ( L), ve kerýh jsou ulové derivae éo fuke podle proěýh a δ, ož předsavuje sousavu rovi ( L) l l L = 0, = 0. (8) δ Expliií vzore však lze vypočía pouze pro paraer δ ( ) = + δ i. (9) Naproi ou paraer lze urči ueriky výpoče exréu fuke ( L) l eodou jedoparaerové opializae. Měí se je paraer, zaío δ se počíá z posledího vzore. Logariiko-orálí rozděleí pravděpodobosi Too rozděleí pravděpodobosi á paraery = { µ,σ } pravděpodobosi a disribučí fuke pro > 0 jsou Θ. Husoa rozděleí ( { }) ( l µ ) l µ f ;, σ = exp, F( { µ, σ} ) = Φ µ ;, (0) σ π σ σ kde Φ (). je obvykle abelovaý iegrál husoy rozložeí pravděpodobosi. Sředí hodoa a rozpyl jsou ásledujíí E, ( ) ( )[ ( ) ] {} = exp + τ µ var τ = exp µ + σ exp σ. () Kvail éo husoy pravděpodobosi je ( µ + σ ) = exp. () u kde u je kvail orálího rozděleí pro pravděpodobos. Logarius věrohodosí fuke á ásledujíí var i µ l ( L) = l( σ ) π l( i ) ( l( i ) µ ) + l Φ l. (3) σ σ Maxiálě věrohodé odhady axializují uo fuki. Vzhlede ke způsobu defiie fuke Φ (). elze odvodi expliií vzore pro paraery Θ = { µ,σ }, a proo je ué použí ueriký výpoče. ( )

6 4. říklad V příkladu je hodoea živoos lisovýh pruži u eréího ákladího auoobilu při uryhleýh eréíh zkouškáh (Tůa, 989). Součiiel uryhleí zkoušek eí v oo příkladu podsaý. Výsledek zkoušek je pro výrobe auoobilu veli důležiý, proože lisové pružiy v syséu pérováí vozidla jsou vědoě diezováy pro koečou živoos, kerou je řeba sladi s garaovaou živoosí elého vozidla. Živoos je vyjádřea v proběhu kiloerů do vziku lou prvého lisu pružiy a u eukočeýh zkoušek poče ujeýh kiloerů. Ve saisiké souboru je 5 výsledků zkoušek, z oho je 8 ukočeýh a 7 eukočeýh. Rozděleí pravděpodobosi proběhů je aproxiováo Weibullový rozděleí. Tabulka obsahuje posupé odhady paraerů Weibullova rozděleí v souladu s árůse poču ujeýh kiloerů. Tabulka ořadí roběh Lo (L) δ sř.hodoa 0 3 k Neukoč.(N) 0 3 k 0 3 k. 6 L L L 6, L L L L L L L L L L L N N N L L N N sěr.odh. 0 3 k Odhad paraerů při každé lou předpokládá, že osaí zkoušky jsou eukočey s proběhe daý poče kiloerů shodý s proběhe příslušý k ouo lou. Koečé odhady paraerů odpovídají savu z posledího řádku předházejíí abulky, j. =,64, δ = 4,6 is. k. Odhad sředí hodo je 0,5 is. k a sěrodaé odhylky 64, is. k. Z posupého výpoču je zřejé, že saisiké odhady paraerů se éěř usálí při proběhu kole 60 až 80 is. k a porušeí je 8 pruži. osupé odhady jsou zázorěy rověž v obrázíh a 3. V obrázku je zázorěa závislos a pořadí vziku poruh a v obrázku 3 a poču ujeýh kiloerů do lou lisovýh pruži. Oba obrázky dávají užiečé iforae o volbě okažiku, kdy je výhodé zkoušku zasavi.

7 Kvaily rozděleí a koi esu jsou shruy v abule. Tabulka ravděpodobos % roběh v is.k Tao abulka uvádí, že apř. 0 % pruži se poruší již při proběhu 9. is.k, ož se ůže jevi ve srováí s garaovaou živoosí auoobilu víe ež 500 is.k veli álo. rezeovaá daa, jak bylo uvedeo, přísluší uryhleé zkouše. Na obrázku 4 je závislos epiriké a eoreiké ieziy poruh a proběhu (doba provozu). Teoreiká křivka byla vypočea pro výše uvedeé odhady paraerů Weibullova rozděleí pravděpodobosi. Epiriká iezia byla vypočea pro iervaly o déle δ [is.k] δ [is.k] pořadí loů pro elke proběh v is. k δ [-] 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00,00,00 0,00 Obrázek osupé odhady paraerů Weibullova rozděleí [-] 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00,00,00 0,00 Obrázek 3 osupé odhady paraerů Weibullova rozděleí δ = 0 is. k, a o ak, že se jedá o podíl poču poruh k elkovéu poču pruži v provozu a začáku hodoeého iervalu. Tao relaiví čeos byla dále podělea délkou iervalu. Epiriká iezia poruh sleduje eoreikou ieziu je do proběhu 90 is. k. V iervaleh se sředíi proběhy 0 a 30 is. k jsou epiriké hodoy vzdáley eoreiké ieziě. Důvode je zešeý poče eporušeýh pruži v závěru esu, ož ovlivňuje výpoče relaivíh čeosí. odíl ukočeýh zkoušek v uvedeé příkladu lze kofroova s příklade z lieraury (Kropáč, 987). U zkoušky ložisek je předepsáo, aby byla zasavea při poruše prvýh 3 ložisek ze skupiy 30 současě zkoušeýh vzorků, ož se jeví podle uvedeého příkladu edosaečé.

8 Kroě popsaého aalyikého posupu odhadu paraerů rozděleí pravděpodobosi je ožé využí grafiké eody, při keré je použio speiálího ěříka pro graf disribučí fuke. Too ěříko rasforuje disribučí fuki Weibullova rozděleí a příku ak, aby bylo ožé sado (rověž příkou) aproxiova epirikou disribučí fuki. Trasforačí vzahy lze získa z disribučí fuke Weibullova rozděleí dvojiý logariováí l ( l( () )) = ( l( ) l( δ) ) F. Vodorová osa v oo grafu á logariiké ěříko pro proěou a svislá osa se rasforuje podle vzore l( l( /00)), kde je pravděpodobos v proeeh, a lieárí ěříko. Sklo aproxiačí příky souvisí s paraere a její posuuí s paraere δ. Teo posup však vyžaduje, aby ukočeé zkoušky ěly eší dobu provozu ež eukočeé zkoušky. V obrázku 5 jsou zázorěy výsledky pro předpoklad, že posledíh 9 zkoušek je eukočeýh. Jesliže budou paraery rozděleí odhadováy 0,5 0-0,5 - -,5 - -,5-3 -3,5 5. Závěr l(-l(-/00)) eukočeé zkoušky proběh v is.k Obrázek 5 Grafiká eoda odhadu paraerů Weibullova rozděleí ( je pravděpodobos v %) Obrázek 4 Teoreiká a epiriká iezia poruh pouze z prvýh ří ěřeí, pak zřejě oba paraery budou určey veli epřesě jak je zřejé z obrázků a 3. roože poloha aproxiačí příky pro prvé ři body grafu pro pravděpodobosi %, 5% a popřípadě i 0% je éěř shodá s příkou pro odhady z 6 ukočeýh zkoušek, odhady kvailů pro pravděpodobosi %, 5% a 0% se ebudou liši od hodo přesýh, avšak kvaily pro pravděpodobosi 90%, 95% a 99% budou zela hybé. Odhad paraerů rozděleí pravděpodobosi ezorovaýh souborů, kerý je popsá v oo referáu, je pro libovolé relae ezi výsledky ukočeýh a eukočeýh esů živoosi výrobků. Na rozdíl od grafiké eody eusí í eukočeé zkoušky delší dobu provozu ež zkoušky ukočeé poruhou ebo zičeí vzorku. Z aproxiovaé závislosi ieziy poruh a době provozu lze saovi kvaily rozděleí pravděpodobosi, keré saovují dobu bezporuhového provozu pro povoleý podíl poruh, resp. zičeí výrobku ebo součásky. Teo údaj je ejčasěji používaou saisikou harakerisikou pro ehiké podíky provozu výrobku dojedaé ezi dodavaele a odběraele.

9 V příkladu je deosrováo, že průběh a usáleí paraerů rozděleí a saisikýh harakerisik lze průběžě oiorova ak, aby zkoušky ebyly eúčelě prodlužováy. V daé příkladu je usáleí odhadu dosažeo při poruše řeiy zkoušeýh vzorků pruži. 6. oděkováí Výzkué práe v oboru zpraováí ěřeí hluku a vibraí jsou podporováy Graovou ageurou České republiky jako projek č. 0/04/ Lieraura Egieerig saisi Hadbook hp:// Tůa, J. Rozbor způsobu vyhodoováí souboru ukočeýh a eukočeýh zkoušek pro saoveí živoosi dílů a agregáů, Tehiká zpráva TATRA Kopřivie č , 989. Tůa, J. Odhad paraerů rozděleí ezorovaýh da z esů živoosi výrobků. Sborík vědekýh praí VŠB-TU Osrava, řada srojí, 996, roč. XLII, č., čláek 68. ISSN Hále, J. & Likeš, J. Základy poču pravděpodobosi a aeaiké saisiky, SNTL/ALFA. raha 974. Maixer, L. & Kolíková, Z. Spolehlivos auoaikýh výrobíh syséů. SNTL raha 984. Kropáč, O. Náhodé jevy v ehaikýh sousaváh, SNTL TKI, raha 987.