1.6. Srovnání empirických a teoretických parametrů (4.-5.předn.)

Transkript

1 .6. rováí empirických a eoreických paramerů (4.-5.před.) Cíle: - pravděpodobosí zkoumáí výběrového saisického souboru: kvaifikace eoreických paramerů, srováí eoreických a empirických paramerů (Probable ivesigaio of selecive saisical se: Quaificaio of heoreical parameers, Compariso of heoreical ad empirical parameers). - pravděpodobosí obraz výběrového saisického souboru: bodový a iervalový odhad apř. ierval spolehlivosi, Tesováí paramerických hypoéz (Probable picure of selecive saisical se: Poi & ierval esimaio e.g. cofidece ierval, Tesig of parameric hypoheses). Osvojovaé pojmy a pozaky: Bodový odhad (poi esimaio), iervalový odhad (ierval esimaio), ierval spolehlivosi (cofidece ierval), ierval spolehlivosi pro sředí hodou (cofidece ierval for Mea), ierval spolehlivosi pro sadardí odchylku (cofidece ierval for adard Deviaio), esováí paramerických hypoéz (esig of parameric hypoheses), aplikace u-esu (compued u-saisic), aplikace -esu (compued -saisic), aplikace F-esu (compued F-saisic), aplikace χ -esu (compued Chi-square saisic). Další z hlavích meod saisiky rováí empirických a eoreických paramerů avazuje a Přiřazeí eoreického rozděleí rozděleí empirickému. Teoreické rozděleí je ideifikováo a eparamerickým esováím přiřazeo, obsahuje však dosud ezámé hodoy eoreických paramerů. Před provedeím srováí empirických a eoreických paramerů je pořebé eoreické paramery odhadou. Pak lze přisoupi ke srováváí empirických a eoreických paramerů s použiím aparáu paramerického esováí.

2 .6.. Základy eorie odhadů Teoreické paramery (apř. sředí hodou E() = µ a rozpyl D() = u rozděleí ormálího) je zapořebí odhadou. Odhady eoreických paramerů mohou bý dvojího druhu: bodové a iervalové. Dobré bodové odhady by měly splňova podmíky koziseosi, esraosi, vydaosi a dosaečosi. Zde jsou yo podmíky je připomeuy, podrobější iformace lze získa v lierauře zabývající se eorií odhadů. Bodový odhad lze provés momeovou meodou ebo meodou maimálí věrohodosi. Momeová meoda spočívá v om, že se empirické paramery považují za odhady odpovídajících eoreických paramerů. Meoda maemaické věrohodosi je podsaě maemaicky áročější. Nevýhodou bodových odhadů je především ezalos přesosi, s kerou byl odhad učiě. Iervalové odhady odsraňují problém ezalosi přesosi odhadu. aží se sesroji ierval, kerý by poskyoval rozumou záruku (dosaečě vysokou pravděpodobos), že skuečá hodoa eoreického parameru leží uviř iervalu. Tao pravděpodobos souvisí opě s volbou hladiy výzamosi α a sesrojeý ierval pak ese ázev 00 ( - α)% ierval spolehlivosi (apř. pro α = 0,05 půjde o 95% ierval spolehlivosi). Kosrukce iervalu spolehlivosi pro sředí hodou µ ormálího rozděleí pomocí u esu (podmíka kosrukce rozpyl je předem zadá): aisické kriérium : u = - µ Kriické hodoy : Podmíka pro kosrukci iervalu spolehlivosi: -u (α/) ; u(α/) -u (α/) < u< u(α/) Zápisy iervalu spolehlivosi (iervalové odhady µ): - u( α /) < µ < + u( α /)

3 µ - u( α /) ; + u( α /) Kosrukce iervalu spolehlivosi pro sředí hodou µ ormálího rozděleí pomocí esu (podmíka kosrukce rozpyl eí předem zadá, uo vypočía empirický rozpyl ): aisické kriérium : = - µ Kriické hodoy : Podmíka pro kosrukci iervalu spolehlivosi: - - (α/) ; - (α/) - - (α/) < < - (α/) Zápisy iervalu spolehlivosi (iervalové odhady µ): - - ( α /) < µ < + - ( α /) µ - - ( α /) ; + - ( α /) Kosrukce iervalu spolehlivosi pro rozpyl ormálího rozděleí pomocí χ -esu (podmíka kosrukce uo vypočía empirický rozpyl ): aisické kriérium : χ ( -) = Kriické hodoy: Podmíka pro kosrukci iervalu spolehlivosi: χ (-(α/) ), - χ (α/) - χ (-(α/)) < χ < - χ (α/) - Zápisy iervalu spolehlivosi (iervalové odhady ): - χ ( α ) < < - χ - - ( α )

4 - χ ( α ) ; - - χ ( α - ) Zadaý příklad - kosrukce iervalu spolehlivosi pro sředí hodou µ pomocí -esu: aisické kriérium : = - µ - 49 Kriické hodoy : - 49 (α/) ; + 49 (α/) Podmíka pro kosrukci iervalu spolehlivosi: - 49 (α/) < < 49 (α/) Kosrukce iervalu spolehlivosi: - ( 49 α /) < µ < + ( 49 α /) µ - ( 49 α /) ; + ( 49 α /) 49 (α/) = 49 ( 0,05 ) =,96 ( > 33 použií abulek pro u-es) µ,;,779 Zadaý příklad - kosrukce iervalu spolehlivosi pro rozpyl pomocí χ -esu: aisické kriérium : χ ( -) = Kriické hodoy : χ (-(α/) ) = 49 χ (0,975) = 30,60, 49 χ (α/) = 49 χ (0,05) = 70, 49 Podmíka pro kosrukci iervalu spolehlivosi: χ -( - (α/) ) < χ < χ -(α/) Kosrukce iervalu spolehlivosi: - χ ( α ) < < χ ( α ) =,0 0,705;,67 0,839;,7

5 .6.. Základy esováí paramerických hypoéz Tesováí paramerických hypoéz opě vychází z aparáu ulové hypoézy H 0 a aleraiví hypoézy H a. Teo apará je doplě obvyklým aparáem kriického oboru W. Vzhledem k cerálí limií věě je přirozeým předpokladem, že empirickému rozděleí lze přiřadi jako ejvhodější eoreické rozděleí rozděleí ormálí. Paramerické esováí lze rozčlei a jedovýběrové esováí hypoézy o sředí hodoě ebo o rozpylu (pak jsou požíváy jedovýběrové esy u-es a -es pro sředí hodou a jedovýběrový χ -es pro rozpyl) a a dvojvýběrové esováí hypoézy o rovosi sředích hodo ebo rozpylů (pak jsou používáy dvojvýběrové esy u-es a -es pro rovos sředích hodo a dvojvýběrový F-es pro rovos rozpylů). V případě jedovýběrového esováí lze hypoézu H 0 a H a psá ve varu apř. H 0 : µ = µ 0 ebo H 0 : = ο 0, H a : µ µ 0 ebo H a : ο 0. Jedovýběrové paramerické esováí vychází ze srováváí empirického parameru µ ebo empirického parameru (ěmio symboly jsou ozačey výsledky elemeárího saisického zpracováí výběrového saisického souboru V, jejichž prosředicvím byly odhaduy příslušé eoreické paramery µ, odpovídajícího ormálího rozděleí) s ějakými vějšími eoreickými údaji µ 0, 0, jejichž původ může bý rozmaiý (sudium lieraury, výzkumé zprávy, komerčí ukazaele apod.). polečým jmeovaelem ěcho vějších údajů může bý zjišěí, že zřejmě charakerizují určiý výzamý základí saisický soubor Z. Jedovýběrové paramerické esováí pak z pohledu maemaické saisiky odpovídá a oázku, zda zkoumaý výběrový saisický soubor V mohl bý vybrá z popsaého výzamého základího saisického souboru Z. Při povrzeí hypoézy H 0 lze a výsledky zkoumáí výběrového souboru V ahlíže v koeu vyvořeém základím souborem Z, při přijeí hypoézy H a elze z ohoo koeu vycháze. V případě dvojvýběrového esováí lze hypoézu H 0 a H a psá ve varu apř.

6 H 0 : µ = µ ebo H 0 : ο = ο, H a : µ µ ebo H a : ο ο Dvojvýběrové paramerické esováí vychází ze srováváí empirického parameru µ ebo empirického parameru (ěmio symboly jsou ozačey výsledky elemeárího saisického zpracováí výběrového saisického souboru V, jejichž prosředicvím byly odhaduy příslušé eoreické paramery µ, odpovídajícího ormálího rozděleí) s ějakými vějšími eoreickými údaji µ,, jejichž původ lze obvykle aléz ve výsledcích zkoumáí jiého výběrového saisického souboru V. Dvojvýběrové paramerické esováí pak z pohledu maemaické saisiky odpovídá a oázku, zda oba výběrové saisické soubory V a V zkoumaly obdobou oázku a zda yo soubory mohou spolupracova. Při povrzeí hypoézy H 0 lze a výběrové soubory V a V pohlíže jako a výběrové soubory vybraé z éhož základího souboru Z a obvykle se vyplaí saha soubor Z ideifikova. Při přijeí hypoézy H a je uo z pohledu maemaické saisiky vyslovi pochybosi o kompaibiliě souborů V a V. Posup při paramerickém esováí je obdobý jako při esováí eparamerickém. Nejdříve je pořebé aformulova ulovou a aleraiví hypoézu a zvoli hladiu výzamosi α. Pak je pořebé vybra vhodé saisické kriérium (u-es, -es, χ -es, F-es), aléz jeho kriickou hodou a zapsa odpovídající kriický obor W. Posléze je zapořebí přikroči k výpoču empirické hodoy saisického kriéria a zjisi zda je či eí prvkem kriického oboru W. Je-li empirická hodoa prvkem oboru W, je zapořebí přijmou aleraiví hypoézu H a, v opačém případě pak ulovou hypoézu H 0. Přehled ejobecějších saisických kriérií: a) Jedovýběrový u-es (esováí hypoézy o sředí hodoě při zámém rozpylu ) u ep = - µ 0, W = (-, -u(α/) u(α/), ) b) Jedovýběrový -es (esováí hypoézy o sředí hodoě při ezámém rozpylu )

7 ep = - µ 0, W = (-, - - (α/) - (α/), ) c) Dvojvýběrový u-es (esováí hypoézy o rovosi sředích hodo při zámých rozpylech, ) u ep = y +, W = (-, -u(α/) u(α/), ) d) Dvojvýběrový -es (esováí hypoézy o rovosi sředích hodo při ezámých rozpylech, ) ep = ( ) - y y + + ( ) ( + ) W = (-, - +- (α/) +- (α/), ) e) Párový -es (převod dvojvýběrového -esu a -es jedovýběrový a základě ulové hypoézy H 0 : µ - µ =, kde ejčasěji = 0) f) Jedovýběrový χ -es (esováí hypoézy o rozpylu při ezámých paramerech µ, ) ( -) χ ep =, W = 0, χ - (-α/) χ - (α/), )

8 g) Dvojvýběrový F-es (esováí hypoézy o rovosi rozpylů při ezámých paramerech µ, µ,, ) F ep =, W = 0, F-, - (-α/) F -, - (α/), ) y.6.3. Ilusrace paramerického esováí a) Zadaý příklad - esováí hypoézy o sředí hodoě Zjisěe, zda zkoumaý výběrový saisický soubor V (µ =,5) mohl bý při hladiě výzamosi α = 0,05 vybrá ze základího saisického souboru Z, kerý je charakerizová sředí hodoou a) µ 0 =,6, a) µ 0 =,9 (iformace o rozpylu chybí - je uo použí jedovýběrový -es). Formulace ulové a aleraiví hypoézy: H 0 : µ = µ 0, H a : µ µ 0 aisické kriérium : ep = - µ 0 Kriické hodoy : - - (α/), - (α/) Kriický obor : W = (- ; - - (α/) - (α/) ; + ) 49 ( 0,05 ) = u ( 0,05 ) =,96 W = (- ; -,96,96 ; + ) Výpoče eperimeálí hodoy saisického kriéria pro případ a): Hodoy vypočíaé při elemeárím saisickém zpracováí jsou = µ =,5, =,005 vější základí saisický soubor je charakerizová hodoou µ 0 =,6. Po dosazeí lze získa

9 - µ ep = 0 = -0,704 ep W Ierpreace výsledku: Eperimeálí hodoa ep epaří do kriického oboru, a hladiě výzamosi α = 0,05 lze přijmou ulovou hypoézu H 0. Zkoumaý výběrový soubor V mohl bý vybrá z vějšího souboru Z. Rozdíl mezi = µ a µ 0 je a hladiě výzamosi α = 0,05 saisicky evýzamý. Výpoče eperimeálí hodoy saisického kriéria pro případ a): Hodoy vypočíaé při elemeárím saisickém zpracováí jsou = µ =,5, =,005 vější základí saisický soubor je charakerizová hodoou µ 0 =,9. Po dosazeí lze získa ep = - µ 0 = -,84 ep W Ierpreace výsledku: Eperimeálí hodoa ep je prvkem kriického oboru, a hladiě výzamosi α = 0,05 lze zamíou ulovou hypoézu H 0. Zkoumaý výběrový soubor V emohl bý vybrá z vějšího souboru Z. Rozdíl mezi = µ a µ 0 je a hladiě výzamosi α = 0,05 saisicky výzamý. b) Zadaý příklad - esováí hypoézy o rozpylu Zjisěe, zda zkoumaý výběrový saisický soubor V (µ =,5, =,005) mohl bý při hladiě výzamosi α = 0,05 vybrá ze základího saisického souboru Z, kerý je charakerizová směrodaou odchylkou b) 0 =, b) 0 = 0,5 (bude použi jedovýběrový χ -es) Formulace ulové a aleraiví hypoézy: H 0 : = = 0, H a : = 0 aisické kriérium : ( -) χ ep =

10 Kriické hodoy : χ (-α/ ), - χ (α/) - Kriický obor : W = ( 0; χ ( - α/ ) - χ (α/); + ) - W = ( 0; 30,60 70,; + ) Výpoče eperimeálí hodoy saisického kriéria pro případ b): Hodoy vypočíaé při elemeárím saisickém zpracováí jsou =,005, vější základí saisický soubor je charakerizová hodoou 0 =. Po dosazeí lze získa ( -) χ ep = = 49,49 χ ep W Ierpreace výsledku: Eperimeálí hodoa χ ep epaří do kriického oboru, a hladiě výzamosi α = 0,05 lze přijmou ulovou hypoézu H 0. Zkoumaý výběrový soubor V mohl bý vybrá z vějšího souboru Z. Rozdíl mezi = a 0 je a hladiě výzamosi α = 0,05 saisicky evýzamý. Výpoče eperimeálí hodoy saisického kriéria pro případ b): Hodoy vypočíaé při elemeárím saisickém zpracováí jsou =,005, vější základí saisický soubor je charakerizová hodoou 0 = 0,5. Po dosazeí lze získa ( -) χ ep = = 97,96 χ ep W Ierpreace výsledku:

11 Eperimeálí hodoa χ ep paří do kriického oboru, a hladiě výzamosi α = 0,05 lze odmíou ulovou hypoézu H 0. Zkoumaý výběrový soubor V emohl bý vybrá z vějšího souboru Z. Rozdíl mezi = a 0 je a hladiě výzamosi α = 0,05 saisicky výzamý. c) Zadaý příklad - esováí hypoézy o rovosi sředích hodo Obdobé sledováí ekoomického savu jako u zadaého příkladu (zde byl zkoumá výběrový saisický soubor V 50 podiků s výsledkem = µ =,5) vedlo u 00 podiků k průměré hodoě supě eporí schoposi c) y = µ =,6, c) y = µ =,9 (rozpyly byly srovaelé, iformace o velikosi rozpylů však chybí je uo použí dvojvýběrový -es). Zjisěe, zda eo výběrový saisický soubor V mohl bý a hladiě výzamosi α = 0,05 vybrá z éhož základího saisického souboru Z jako soubor V. Formulace ulové a aleraiví hypoézy: H 0 : µ = µ, H a : µ µ aisické kriérium: ep = ( ) - y y + + ( ) ( + ) Kriické hodoy : (α/), + - (α/) Kriický obor : W = (- ; (α/) + - (α/) ; + ) 48( 0,05 ) =,96 W = (- ; -,96,96 ; + ) Výpoče eperimeálí hodoy saisického kriéria pro případ c): Hodoy vypočíaé při elemeárím saisickém zpracováí jsou = y =,0, = µ =,5, y = µ =,6, = 50, = 00. Po dosazeí lze získa ep = ( ) - y y + + ( ) ( + ) = - 0,574 ep W

12 Ierpreace výsledku: Eperimeálí hodoa ep epaří do kriického oboru, a hladiě výzamosi α = 0,05 lze přijmou ulovou hypoézu H 0. Zkoumaý výběrový soubor V a další výběrový soubor V mohly bý vybráy z jedoho a éhož vějšího souboru Z. Rozdíl mezi = µ a y = µ je a hladiě výzamosi α = 0,05 saisicky evýzamý. Výpoče eperimeálí hodoy saisického kriéria pro případ c): Hodoy vypočíaé při elemeárím saisickém zpracováí jsou = y =,0, = µ =,5, y = µ =,9, = 50, = 00. Po dosazeí lze získa ep = ( ) - y y + + ( ) ( + ) = -,98 ep W Ierpreace výsledku: Eperimeálí hodoa ep paří do kriického oboru, a hladiě výzamosi α = 0,05 lze zamíou ulovou hypoézu H 0. Zkoumaý výběrový soubor V a další výběrový soubor V emohly bý vybráy z jedoho a éhož vějšího souboru Z. Rozdíl mezi = µ a y = µ je a hladiě výzamosi α = 0,05 saisicky výzamý. d) Zadaý příklad - esováí hypoézy o rovosi rozpylů Obdobé sledováí ekoomického savu jako u zadaého příkladu (zde byl zkoumá výběrový saisický soubor V 50 podiků s výsledkem = =,0) vedlo u 00 podiků k průměré hodoě supě eporí schoposi, kerá umožila výpoče rozpylu d) = y =, d) = y =,63 (je uo použí dvojvýběrový F-es). Zjisěe, zda eo výběrový saisický soubor V mohl bý a hladiě výzamosi α = 0,05 vybrá z éhož základího saisického souboru Z jako soubor V.

13 Formulace ulové a aleraiví hypoézy: H 0 : = ( = ), H a : (při aplikaci F-esu je zapořebí použí pravosraou hypoézu H a : d) a pravosraou hypoézu H a : y > pro případ d) ) > > pro případ aisické kriérium: F = y pro případ d), F = y pro případ d) Kriický obor: W = F ν, ν (α) ; + ) = F 49, 99 (0,05) ; + ) ν = = 49, ν = = 99 F 49,99 (0,05) =,545 W =,545 ; + ) Výpoče eperimeálí hodoy saisického kriéria pro případ d): Hodoy vypočíaé při elemeárím saisickém zpracováí jsou =,03, y =,0. Po dosazeí lze získa F ep = y =,0 =,0 F ep W Ierpreace výsledku: Eperimeálí hodoa F ep epaří do kriického oboru, a hladiě výzamosi α = 0,05 lze přijmou ulovou hypoézu H 0. Zkoumaý výběrový soubor V a další výběrový soubor V mohly bý vybráy z jedoho a éhož vějšího souboru Z. Rozdíl mezi = =,0 a = y = je a hladiě výzamosi α = 0,05 saisicky evýzamý. Výpoče eperimeálí hodoy saisického kriéria pro případ d): Hodoy vypočíaé při elemeárím saisickém zpracováí jsou =,63. Po dosazeí lze získa y =,0,

14 y F ep = =,63,0 =,65 F ep W Ierpreace výsledku: Eperimeálí hodoa F ep paří do kriického oboru, a hladiě výzamosi α = 0,05 lze odmíou ulovou hypoézu H 0. Zkoumaý výběrový soubor V a další výběrový soubor V emohly bý vybráy z jedoho a éhož vějšího souboru Z. Rozdíl mezi = =,0 a = =,63 je a hladiě výzamosi α = 0,05 saisicky y Korolí oázky: - Proč odhady eoreických paramerů předcházejí srováváí eoreických a empirických paramerů? - Jaké podmíky musí splňova dobré bodové odhady? - Jaké jsou meody bodových odhadů? - Jaké jsou předosi iervalových odhadů? - Popiše způsob kosrukce iervalů spolehlivosi. - Kerá saisická kriéria jsou používáa pro kosrukci iervalů spolehlivosi? - Jaký je apará paramerického esováí? - Jaký je rozdíl mezi jedovýběrovým a dvojvýběrovým esováím paramerických hypoéz? - Jaký je posup při paramerickém esováí? - Uveďe přehled ejobecějších saisických kriérií? Korolí příklad: Farmaceuická firma má vyrábě abley o průměru mm. Teo průměr má v jedokách mm podle dalších výrobců rozděleí N(µ, 0,5). Při korole 36 áhodě vybraých able byla zjišěa hodoa korolovaého průměru,7 mm. Ověře a hladiě výzamosi α = 0,05 hypoézu, že firma produkuje abley o požadovaém průměru.