f(x) f(x 0 ) = a lim x x0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim f(x + h) f(x) (x) = lim

Transkript

1 KAPITOLA 4: 4 Úvod Derivace fkce [MA-8:P4] Moivačí příklady: okamžiá ryclos, směrice ečy Defiice: Řekeme, že fkce f má v bodě derivaci [ derivaci zleva derivaci zprava ] rov čísl a, jesliže exisje [ x x 0 fx f fx f x a x x + 0 a fx f a ] Píšeme f a f a f + a Další začeí: f df dx d dx f a R vlasí derivace, a ± evlasí derivace f má derivaci a ierval a, b exisje f pro každé a, b a exisje f +a aalogicky pro iervaly a, b, a, b, a, b Pozámka: f exisje a je rova a právě edy, když exisjí f, f + a obě jso rovy a Pozámka: Z Věy 4 o iě složeé fkce je vyecáváme a píšeme f f + f Ide x zde věšio 0 f fx + fx x 0 Pozámka: Derivace jako fkce je defiováa am, kde exisje vlasí derivace Zřejmě vždy plaí Df Df Příklad 4: Určee derivace fkcí fx c R, fx x, fx e x, fx cos x a fx six pomocí defiice Řešeí: Např pro fkci fx si x máme fx f si x si ebo fx + fx cos cos + cos + Teča a ormála six + si x si x+ si x x0 si cos x+x0 si x x0 x cos x + si x cos + cos x si si x cos x si si cos + si x+ si cos x cos + si x + si cos cos x x x0 cos x 0 si x+ cos x cos x přímka v roviě: s s, s směrový vekor A [a, a ] p pro s 0 : p : y a + s s x a k p s s směrice přímky p q -s s A s s s p kolmá přímka: q p směrový vekor pro s 0 :, s, s k q s s k p Veroika Soboíková, FEL ČVUT Praa

2 eča a ormála graf fkce f v bodě [, f ] ěkdy:,,v bodě jso kolmé přímky procázející bodem [, f ] akové, že [MA-8:P4] pro f R \ {0} : y f + f : y f f f j k f, k f pro f 0 : y f : x f j k 0 pro f ± : x : y f f j k 0 Příklad 4: Najděe eč a ormál graf fkce fx x v bodě [3,?] v bodě 3 Řešeí: Máme 3, f3 j A [3, ], Df R Spočíáme f x 3 x 3 x 3 x 3 x Tedy k f 3 6, k f 3 6 Rovice ečy a ormály odd jso : y + 6x 3 eboli : 6x y 0 a : y 6 x 3 eboli : x + 6y Věy o derivacíc Věa 4: Má-li fkce f v bodě vlasí derivaci, pak je v spojiá Důkaz: Pro x x Df máme fx f fx fx0 x f 0 0 soči je defiovaý, proože f R Tedy x x0 fx f a fkce f je v bodě spojiá Příklad 43: a Fkce fx x je spojiá, f 0 ale eexisje je oiž f +0 f 0 - edy spojios k exiseci derivace esačí b Fkce fx sg x eí spojiá v le, přeso am má derivaci, ale evlasí - edy exisece evlasí derivace spojios ezarčje Věa 4: Nec exisjí vlasí f, g Poom x0 a f ± g f ± g b c x0 f g f g + f g x0 speciálě pro c R : c f c f f f g f g g g, je-li g 0 Veroika Soboíková, FEL ČVUT Praa

3 [MA-8:P43] Důkaz: Dokážeme je čás ýkající se derivace soči Proože má fkce f v bodě vlasí derivaci, je v ěm spojiá, a edy fx f R pro x Nec P Df Dg Pro x P máme fxgx f g fx gx gx0 + fx f g fx gx g + fx f g x x0 f g + f g Posledí výraz je přiom defiová, proože všecy jeo čley jso koečá čísla Tedy derivace fkce f g v bodě exisje a plaí pro i vedeý vzorec Příklad 44: g x si x si x cos x si xcos x cos x cos x cos x cos x si x si x cos x cos x Pozámka: a f + f + + f f + f + + f f + f + f f f + f + + f b f f f f f f f f f + f f f f f f + f f f 3 f f f f + f f f 3 f + f f 3 f f f f + f f f 3 f + f f 3 f 4 f Príklad 45: Ukaže, že pro N plaí x x Řešeí: Dokážeme maemaicko idkcí: pro máme: x x x předpokládejme, že vza plaí pro, kážeme, že plaí i pro + : x + x x x x + x x x + x x x + x + x + x + Věa 43 o derivaci složeé fkce : Nec exisjí vlasí f a g f Poom exisje vlasí derivace fkce g f v bodě a plaí x0 g f g f f Pozámka: g f g f g f g f gf g f f aalogicky pro fkci vziklo složeím více fkcí Věa 44 o derivaci iverzí fkce : Nec f je prosá a spojiá a a, b, a, b, f y 0 Jesliže exisje vlasí f 0, pak exisje aké f y 0 a plaí f y 0 f f f y 0 Příklad 46: Derivace fkce a l y, b arcsi y, y, Příklad 47: Derivace fkce a fx a x, a > 0, x R, b fx x α, α R, x > 0 Pozámka logarimické derivováí: vx, Derivace fkcí yp x x kde x > 0 pro všeca x D : Máme x e vx lx, edy x e vx lx vx l x x vx l x x v x l x + vx l x x v x l x + vx x x x v x l x + vx x x Veroika Soboíková, FEL ČVUT Praa

4 [MA-8:P44] Kde se vzal ázev,,logarimické derivováí? Pro x x vx e vx lx je lx vx lx Odd vx lx x l x x Tedy x x vx lx Věa 45: Nec f je spojiá a ějakém ierval, + δ a exisje x + f x a Poom exisje f + a plaí f + a Aalogicky pro f a f Příklad 46, b : Určeí f + pro fx arcsi x pomocí Věy 45 Příklad 48: Pro fkci fx x cos, x 0, f0 0, kerá je spojiá a R, eexisje x f x, exisje x 0 ale f vrzeí Věy 45 edy elze obrái Přeled derivací elemeáríc fkcí: e x e x x R l x x x R \ {0} a x a x l a, a 0, pevé x R log a x, a 0,, pevé x R \ {0} x l a x α α x α, α pevé x R pro α N 0 x R \ {0} pro α Z x 0, pro α R \ Z si x cos x x R cos x si x x R g x cos x { π } x R \ + kπ k Z cog x si x x R \ {kπ k Z} arcsi x arccos x arcg x x x x, x, + x x R arccog x + x x R si x cos x x R cos x si x x R g x cos x cog x si x x R x R \ {0} pro α x 0 pokládáme ovšem poze zde: pro ěkeré racioálí expoey lze rozšíři a R ebo R \ {0} Veroika Soboíková, FEL ČVUT Praa

5 43 Derivace vyššíc řádů [MA-8:P45] -á derivace derivace řád fkce f f defijeme idkcí: : f f > : předpokládejme, že exisje vlasí f a ějakém okolí U a fkce f má v derivaci - pak pokládáme: f f x0 pro 0 píšeme: f 0 f Začeí: f f df dx f f d f dx f 6 f V I d6 f dx 6 f d f dx Příklad 4: Pro fx l x, x > 0, máme f x /x x, f x x, f x x 3,, f x! x Věa 46 Leibizův vzorec : Nec exisjí vlasí é derivace f a g fkcí f, g v bodě R Poom f g k0 f k g k k Příklad 40: Najděe pomocí Věy 46 x si x Řešeí: Sado ověříme, že pro derivace fkcí fx x a gx si x plaí: f 0 x x, f x x, f x, f k x 0 pro k 3 a g 4l x si x, g 4l+ x cos x, g 4l+ x si x, g 4l+3 x cos x l N 0 Tedy podle Leibizova vzorce V56 máme: x si x 0 x cos x si x + x cos x + x si x 8 x si x si x 8 + cos x + si x 7 cos x x cos x + 8x si x 7 cos x 0 si x si x 6 Veroika Soboíková, FEL ČVUT Praa