1.1 Typy úloh LP. Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1. Formulace ekonomického modelu.

Transkript

1 Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1 Úlohy Lineárního programování Lineární programování je jednou z částí operačního výzkumu a zpravidla se používá pro řešení optimalizačních úloh ekonomických modelů. Řešení těchto úloh si můžeme rozdělit do 4 kroků: 1. Formulace ekonomického modelu. ujasnění problému, popisuje procesy (činnosti), činitele (podmínky) a cíl optimalizace, v ek. modelu musí být stanoveny všechny kvantitativní vztahy mezi procesy, činitely a cílem a stanoveny jednotky ve kterých je měříme. 2. Formulace matematického modelu. přeformulování ekonomického modelu, proměnné x i, i = 1...n, vlastní omezení (nerovnice typu,, =, nevlastní omezení (x i 0, účelovou funkci. 3. Řešení matematického modelu. různé metody pro jednotlivé typy příkladů, univerzální Simplexová metoda. 4. Rozbor výsledného řešení. ekonomická interpretace, verifikace, analýza změn. 1.1 Typy úloh LP Typickými úlohami lineárního programování jsou: úlohy výrobního plánování směšovací problémy 1

2 úlohy o optimálním dělení materiálu distribuční úlohy Mezi další aplikace patří: úlohy finančního plánování, plánování reklamy, rozvrhování pracovníků, úlohy LP s podmínkami celočíselnosti (problém batohu, problém obchodního cestujícího, přiřazovací problém) atd Úlohy výrobního plánování určení druhu a množství výrobků, které se budou vyrábět z celkové nabídky, omezené kapacity, dodržet požadavky, cílem optimalizace obvykle maximalizace zisku, tržeb nebo množství výrobků, popř. minimalizace nákladů apod., proměnná označuje druh výrobku, její hodnota určuje množství vyráběného výrobku ve stanovených jednotkách. Příklad 1 Firma vyrábí šroubky a matice. Šroubky i matice jsou lisovány vylisování krabičky šroubků trvá 1 minutu, krabička matic je lisována 2 minuty. Šroubky i matice balí do krabiček, ve kterých je pak prodává krabička šroubků se balí 1 minutu, krabička matic 4 minuty. Firma má k dispozici 2 hodiny času pro lisování a 3 hodiny času pro balení výrobků. Vzhledem k poptávce je třeba vyrobit alespoň o 90 krabiček šroubků více než krabiček matic. Z technických důvodů nelze vyrobit více než 110 krabiček šroubků. Zisk z jedné krabičky šroubků je 40 Kč, z jedné krabičky matic 60 Kč. Firma nemá potíže s odbytem výrobků. Kolik krabiček šroubků a matic má firma vyrobit, chce-li dosáhnout maximálního zisku? Příklad 2 Čokoládovna vyrábí 5 druhů výrobků. Spotřebovává 3 základní suroviny: tuk, kakao a cukr, jež jsou k dispozici v omezeném množství : 1500 kg, 300 kg, a 450 kg na den. Kapacita strojového zařízení je dostatečná, stejně tak energie, pracovní síly i další zdroje jsou k dispozici v dostatečném množství. Spotřeba surovin na výrobky je uvedena v tabulce. 2

3 Tab. 1: Koeficienty spotˇreby surovin v kg na 1kg výrobku a odbytové ceny za 1kg výrobku: Směšovací úlohy V1 V2 V3 V4 V5 kapacita TUK 0,4 0,3 0,6 0, KAKAO 0,05 0,2 0,1 0,1 300 CUKR 0,1 0,2 0,2 0,1 0,2 450 Cena vytvoření směsi požadovaných vlastností, dána nabídka složek (komponent), omezení disponibilního množství složek, jsou určeny požadované vlastnosti směsi (např. váha, obsah složky v %, obsah výživné látky), cílem je většinou minimalizovat náklady na vytvoření směsi, proměnné určují použité složky a jejich množství. Příklad 3 Denní jídelníček sestavený dle zásad racionální výživy je zapotřebí doplnit o 21 g tuků, nejvýše 57 g sacharidů a alespoň 35 g bílkovin a 2 mg vitaminu C. Jaké množství sojových bobů a nízkoenergetického jogurtu uspokojí tyto požadavky při minimálních výdajích? Podkladové údaje pro vyřešení tohoto problému, vztažené na 100 g uvedených potravin, jsou obsaženy v tab. 2. Tab. 2: obsah potˇrebných ˇzivin ve výrobcích: bílkoviny (g) tuky (g) sacharidy (g) vitamín C (mg) cena (Kˇc) boby jogurt , Řezné úlohy jinak,,úlohy o optimálním dělení materiálu, řeší se problém dělení větších celků na menší části, v LP jde o jednorozměrné celky (délka), např. provazy, tyče, trubky apod., 3

4 je známa délka dělených kusů a jejich počet, je určena délka a počet požadovaných kusů, požadavky na to, vjakém poměru mají vzniklé menší části být, kolik minimálně resp. maximálně jich má vzniknout, kolik je k dispozici větších kusů apod. cílem je většinou minimalizace odpadu, ale také minimalizace spotřeby materiálu nebo nákladů, každý větší celek lze na menší části rozřezat celou řadou způsobů je známo nebo je třeba sestavit tzv. řezné schéma, procesem a tudíž i proměnnou je zde použití jednoho z možných způsobů dělení většího celku, hodnota proměnné ukazuje četnost jeho použití, úloha o dělení materiálu může být i vícerozměr-ná, tzn. dělení plošných nebo prostorových předmětů. V tomto případě již nejde o úlohy LP. Příklad 4 V zámečnické fimě je třeba nařezat 3 druhy kovových tyčí T1, T2, T3, přičemž tyče T1 mají délku 110 cm, tyče T2 90 cm a tyče T3 60 cm. K dispozici jsou tyče standardní délky 240 cm, které je třeba rozřezat. Přípustný je takový způsob řezání tyčí, při kterém nebude odpad přesahovat 40 cm. Je třeba nařezat 700 tyčí T1, 400 tyčí T2 a 1500 tyčí T3. Máme stanovit takový plán řezání tyčí, při kterém se na splnění požadavků: použije co nejmenší počet tyčí standardní délky, prořeže co nejméně materiálu (bude minimalizován celkový odpad), použije co nejmenší počet řezů. 2 Formulace matematického modelu Pro výše uvedené úlohy si naformulujme matematické modely. 3 Domácí úkol Na procvičení naformulujte matematický model: 4

5 Příklad 5 Podnik vyrábí výrobky V1, V2, V3, V4 ze surovin S1 a S2, které jsou k dispozici v množství 10,05 t a 8,04 t. Výrobek V1 slouží též jako polotovar pro výrobu výrobků V2 a V3. Spotřeba surovin (v kg) a polotovaru V1 (v ks) na 1 kus jednotlivých výrobků je patrna z tab. 3, která obsahuje též ceny prodaných výrobků (v Kč). Tab. 3: V1 V2 V3 V4 S S V1 1 2 cena Stanovte takovou strukturu výroby, při které by prodejem výrobků získaných z daného množství surovin bylo dosaženo maximálních tržeb. Příklad 6 Investiční společnost má investovat 50 mil. Kč do cenných papírů. V úvahu pro tuto investici přichází pět variant (akcie tří různých společností A1, A2, A3 a dva druhy obligací O1, O2). Každá z těchto pěti variant je charakterizována očekávanou mírou výnosu v procentech za rok a bezrozměrným koeficientem, který udává míru rizika této investice (čím vyšší koeficient, tím vyšší riziko). Charakteristiky daných pěti variant jsou uvedeny v následujícím přehledu: A1 A2 A3 O1 O2 výnos [%] míra rizika Investiční strategie společnosti předpokládá: do obligací bude investováno minimálně 50 % celkově investované částky, celková míra rizika by neměla být vyšší než 5 (celková míra rizika se vypočte jako vážený aritmetický průměr měr rizika jednotlivých variant váhy jsou v tomto případě investované částky), každá z variant bude nakoupena v minimálním objemu 5 mil. Kč. Cílem modelu je najít takovou strukturu portfolia, která bude maximalizovat celkový očekávaný výnos a přitom bude respektovat uvedenou investiční strategii. 5