Příklady modelů lineárního programování
|
|
- Dana Vítková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených předpokladů. Na výrobním zařízení, na kterém se z nakoupených plechů zhotovují plechovky, trvá výroba 100 plechovek bez rozdílu velikosti 1 hodinu. Zařízení může být v provozu nejvýše 70 hodin týdně. Týdně lze k plnění do plechovek připravit kg výrobku a při plnění nevzniká žádný odpad. Prodejní oddělení může týdně zabezpečit odbyt 6000 kg výrobku v 1 kg konzervách a 8000 kg ve 2 kg konzervách. Konzervy se prodávají v celcích po 100 kusech. Zisk za kus je u 1 kg konzervy 2 Kč a u 2 kg konzervy 3 Kč. Kolik a kterých konzerv má podnik týdně vyrábět, aby za těchto předpokladů dosáhl maximálního zisku? Specifikace veličin modelu: Neřiditelné veličiny jsou zadány v předchozím textu. Jak uvidíme dále, v průběhu tvorby modelu u některých z nich dojde ke změně jednotek. Rozhodovací proměnné (v závorkách jsou jednotky): x 1 množství 1 kg konzerv (100 ks) x 2 množství 2 kg konzerv (100 ks) Výsledková proměnná: z celkový zisk (100 Kč) Pozn.: Volba jednotek u rozhodovacích proměnných vyplývá ze zadání (konzervy se prodávají v celcích po 100 ks), kdežto volba jednotky u výsledkové proměnné je vedena snahou o zjednodušení modelu. Často vhodnou volbou jednotek můžeme zlepšit výpočetní vlastnosti modelu. Účelová funkce: Kritériem rozhodování je hodnota celkového zisku a účelová funkce vyjadřuje závislost této veličiny na rozhodovacích proměnných. z = 2 x x 2 Pozn.: Zde došlo ke změně jednotky neřiditelných veličin, jimiž jsou zisky za jednotku výrobku. Novou jednotkou hodnot 2 a 3 je 100 Kč /100 ks. Výrobní omezení: Omezení výroby plechovek (závorkách je jednotka): x 1 + x 2 70 (hod) Výraz na levé straně představuje spotřebu kapacity zařízení na výrobu plechovek pro plán výroby konzerv určený hodnotami x 1 a x 2. Koeficienty 1 na levé straně mají jednotku hod /100 ks
2 Omezení přípravy výrobku: 100 x x (kg) Na 100 ks 1 kg konzerv se spotřebuje 100 kg výrobku a na 100 ks 2 kg konzerv se spotřebuje 200 kg výrobku. Omezení můžeme zjednodušit volbou jednotky 100 kg pro kapacitu linky na přípravu výrobku. x x (100 kg) Jednotkou koeficientů 1 a 2 je 100 kg / 100 ks. Omezení rozhodovacích proměnných: Odbytová omezení: x 1 60 (100 ks) x 2 40 (100 ks) Zde došlo ke změně jednotky možností odbytu z kg na 100 ks. Podmínky nezápornosti: x 1 0 x 2 0 Nemůžeme vyrábět záporná množství konzerv. Podmínky celočíselnosti (Z označuje množinu celých čísel): Vyrábět můžeme pouze v celcích po 100 ks. maximalizovat x 1 Z x 2 Z z = 2 x x 2 x 1 + x 2 70 x x x 1 60 x 2 40 x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z - 2 -
3 Tento model je možno řešit graficky nebo pomocí simplexové metody. Řešením modelu jsou optimální hodnoty rozhodovacích proměnných a optimální hodnota účelové funkce x 1,opt = 40, x 2,opt = 30 z opt = 170 Při interpretaci získaného řešení musíme specifikovat, co tyto hodnoty znamenají, a převést je do jednotek odpovídajících zadání. V případě potřeby musíme také předtím provést úpravy související se zjednodušením modelu či postupu řešení (např. úpravu na celočíselné hodnoty). Odpověď na zadaný úkol je tedy následující: podnik má týdně vyrábět 4000 ks 1 kg konzerv a 3000 ks 2 kg konzerv; přitom bude dosahovat zisku Kč. Dosazením vypočtených hodnot do modelu můžeme získat další užitečné informace. Prvá dvě omezení jsou splněna jako rovnice, což znamená, že kapacity výrobních zařízení jsou plně využity. Nevyužité zůstávají možnosti odbytu na trhu by bylo možno ještě uplatnit 2000 ks 1 kg konzerv a 1000 ks 2 kg konzerv
4 Příklad 2 Optimalizace výrobního programu Podnik vyrábí dva typy zaměnitelných výrobků za těchto podmínek: slévárna může vyrobit odlitky nejvýše buď pro 80 ks typu I nebo pro 100 ks typu II. lisovna může vyrobit výlisky nejvýše pro buď pro 200 ks typu I nebo pro 60 ks typu II. montáž typu I má kapacitu 60 ks montáž typu II má kapacitu 80 ks. Cena obou typů za 1 ks je Kč. Je třeba stanovit výrobní program, který zajistí maximální hodnotu produkce. x 1 množství výrobků typu I (ks) x 2 množství výrobků typu II (ks) z celková hodnota produkce (1000 Kč) V zadání nejsou explicitně zadány spotřeby kapacit slévárny a lisovny na jednotky výrobků I a II, můžeme je ale odvodit následujícím způsobem. Jestliže slévárna má kapacitu 100 %, pak na 1 ks výrobku typu I je zapotřebí 5/4 % kapacity (100/80) a na 1 ks výrobku typu II je zapotřebí 1 % kapacity (100/100). Jestliže lisovna má kapacitu 100 %, pak na 1 ks výrobku typu I je zapotřebí 1/2 % kapacity (100/200) a na 1 ks výrobku typu II je zapotřebí 5/3 % kapacity (100/60). maximalizovat z = 28 x x 2 5 x1 + x (%) 4 1 x x2 100 (%) 3 x 1 60 (ks) x 2 80 (ks) x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z - 4 -
5 Příklad 3 Optimalizace nákupu surovin Tři prvky P 1, P 2, P 3 jsou obsaženy ve čtyřech různých sloučeninách S 1, S 2, S 3, S 4. Obsahy prvků v jednotlivých sloučeninách, jakož i ceny sloučenin a potřebná množství prvků jsou uvedeny v tabulce. Ve sloupcích 2 5 je množství prvku v g, které lze získat z 1 kg sloučeniny. V posledním sloupci je minimálně potřebné množství prvků v kg. Název prvku množství prvku v g z 1kg sloučeniny S 1 S 2 S 3 S 4 minimálně potřebné množství v kg P P P cena sloučeniny v Kč/kg Má se zjistit, které sloučeniny a v jakém množství je třeba nakoupit, aby bylo získáno potřebné množství prvků za nejnižší cenu. x j z množství suroviny S j (kg) celková cena surovin (Kč) minimalizovat z = 15 x x x x 4 2 x x x (g) 2 x x x (g) 10 x x x x (g) x 1, x 2, x 3, x 4 0 Při tvorbě modelu je nutno si dát pozor na to, že jednotky v zadání nejsou konzistentní. Množství prvků, které lze získat ze sloučenin, jsou v gramech, kdežto potřeba prvků je udána v kilogramech. Vhodnější v tomto případě bylo upravit jednotky požadovaných množství prvků
6 Příklad 4 Nutriční problém (jedná se o zvláštní případ směšovacího problému) Krmná směs musí obsahovat alespoň 60 jednotek látky L 1, 160 jednotek látky L 2 a 180 jednotek látky L 3. Směs lze vyrábět ze dvou surovin S 1 a S 2, přičemž 1 kg suroviny S 1 obsahuje 3 jednotky látky L 1, 4 jednotky látky L 2 a 2 jednotky látky L 3 ; 1 kg suroviny S 2 obsahuje 1 jednotku látky L 1, 3 jednotky látky L 2 a 4 jednotky látky L 3. 1 kg suroviny S 1 stojí 14 Kč a 1 kg suroviny S 2 stojí 13 Kč. Je třeba určit množství surovin S 1 a S 2, jejichž smícháním dostaneme krmnou směs s požadovaným obsahem látek L 1, L 2 a L 3 tak, aby celkové náklady na použité suroviny byly co nejnižší. x j z množství suroviny S j (kg) celková cena surovin (Kč) minimalizovat z = 14 x x 2 3 x x 2 60 (j) 4 x x (j) 2 x x (j) x 1, x
7 Příklad 5 Řezný problém Strojírenský závod potřebuje pro svoji výrobu 3 druhy kovových tyčí T 1, T 2, T 3, přičemž tyče T 1 mají délku 90 cm, tyče T 2 mají délku 70 cm a tyče T 3 mají délku 50 cm. K dispozici jsou pouze tyče délky 190 cm, které je třeba rozřezat. Přípustné jsou pouze takové způsoby řezání tyčí standardní délky, při kterých nebude odpad větší než 40 cm. Požaduje se 400 tyčí T 1, 400 tyčí T 2 a 1300 tyčí T 3. Má se určit takový řezný plán, při kterém budou splněny požadavky při použití co nejmenšího počtu kusů tyčí standardní délky. Než začneme sestavovat model, musíme nejdříve zjistit všechny možné přípustné způsoby rozřezání tyče standardní délky na požadované tyče. Tyto způsoby, neboli tzv. řezné plány, jsou uvedeny v následující tabulce Požadované tyče řezné plány P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 potřebné množství v ks T 1 (90 cm) T 2 (70 cm) T 3 (50 cm) odpad v cm x j z počet standardních tyčí rozřezaných podle j-tého řezného plánu (ks) celkový počet rozřezaných tyčí (ks) minimalizovat z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 2 x 1 + x 2 + x 3 = 400 (ks) x x 4 + x 5 = 400 (ks) + 2 x 3 + x x x 6 = 1300 (ks) x 1, x 2,..., x 6 0 x 1, x 2,..., x 6 Z Poznamenejme, že v této úloze máme ještě jednu možnost volby kritéria: můžeme požadovat, aby celkový odpad byl minimální. Pak účelová funkce vypadá takto (jednotkou jsou centimetry): z = 10 x x x x 6-7 -
8 Příklad 6 Dopravní problém Závod na výrobu cementu zásobuje ze dvou skladů S 1 a S 2 tři stálé zákazníky Z 1, Z 2 a Z 3. Tabulka udává měsíční zásoby cementu na skladech (v tunách), měsíční požadavky zákazníků (v tunách) a náklady na přepravu 1 tuny cementu z každého skladu ke každému zákazníkovi. Je třeba určit takový plán rozvozu cementu, při kterém nebudou překročeny kapacity skladů, budou uspokojeny požadavky zákazníků a přepravní náklady budou co nejnižší. Sklady zákazníci Z 1 Z 2 Z 3 zásoby v tunách S S požadavky v tunách x ij množství cementu dopravené z i-tého skladu j-tému zákazníkovi (t) z celkové náklady na přepravu minimalizovat z = 5 x x x x 21 + x 22 + x 23 x 11 + x 12 + x (t) x 21 + x 22 + x (t) x 11 + x 21 = 35 (t) x 12 + x 22 = 25 (t) x 13 + x 23 = 45 (t) x 11, x 12, x 13, x 21, x 22, x 23 0 Prvá dvě omezení se týkají skladů a vyjadřují, že celkové množství dodané z určitého skladu nesmí být větší než jeho kapacita. Další tři omezení vyjadřují, že každý zákazník dostane přesně to množství, které požaduje. Vzhledem k tomu, že součet požadavků zákazníků je roven součtu kapacit skladů (oba mají hodnotu 105), můžeme i prvá dvě omezení zapsat jako rovnice. V takovém případě říkáme, že dopravní problém je vyvážený
Lineární programování
24.9.205 Lineární programování Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 203/204 Obsah Úloha lineárního programování. Formulace úlohy lineárního programování. Typické úlohy lineárního programování.
Více4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
VíceKonvexní množiny Formulace úloh lineárního programování. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Euklidovský prostor E n Pod pojmem n-rozměrný euklidovský prostor budeme rozumnět prostor, jehož prvky jsou uspořádané n-tice reálných čísel X = (x 1, x 2,...,
Více4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
Více4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1
4EK311 Operační výzkum 4. Distribuční úlohy LP část 1 4. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování
Více4EK212 Kvantitativní management. 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP
4EK212 Kvantitativní management 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
VíceObr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat
Více4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení
4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování
VíceEkonomická formulace. Matematický model
Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest
Více12. Lineární programování
. Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)
VíceSimplexové tabulky z minule. (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25
Simplexové tabulky z minule (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25 Simplexová metoda symbolicky Výchozí tabulka prom. v bázi zákl. proměné přídatné prom. omez. A E b c T 0 0 Tabulka po přepočtu
VíceMetody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1 OÚLP = obecná úloha lineárního
VícePřílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat
Více1.1 Typy úloh LP. Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1. Formulace ekonomického modelu.
Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1 Úlohy Lineárního programování Lineární programování je jednou z částí operačního výzkumu a zpravidla se používá pro řešení optimalizačních úloh ekonomických
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. GARANT KURZU Prof. Ing. Josef Jablonský, CSc. Místnost: NB 437 Konzultační hodiny: úterý 13:00 15:00 E-mail: jablon@vse.cz
Vícee-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
Víceskladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi):
Klíčová slova: simplexová metoda 1 Simplexová metoda Postup výpočtu: 1. Nalezení výchozího řešení. 2. Test optima: pokud je řešení optimální výpočet končí, jinak krok 3. 3. Iterační krok, poté opět test
Více7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém
Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů
Více1 Úvod do celočíselné lineární optimalizace
Úvod do celočíselné lineární optimalizace Martin Branda, verze 7.. 7. Motivace Reálné (smíšeně-)celočíselné úlohy Optimalizace portfolia celočíselné počty akcií, modelování fixních transakčních nákladů,
VíceMatematické modelování 4EK201
Matematické modelování 4EK0 Ukázkový test Maimum 00 bodů. Pokud má úloha lineárního programování více optimálních řešení, pak (a) jich může být nekonečně mnoho, (b) jich musí být nekonečně mnoho.. Doplňte
VíceParametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
Více4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování
4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy
Více6 Simplexová metoda: Principy
6 Simplexová metoda: Principy V této přednášce si osvětlíme základy tzv. simplexové metody pro řešení úloh lineární optimalizace. Tyto základy zahrnují přípravu kanonického tvaru úlohy, definici a vysvětlení
VíceOperační výzkum. Přiřazovací problém.
Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326
Více4EK201 Matematické modelování. 4. Typické úlohy lineárního programování
4EK201 Matematické modelování 4. Typické úlohy lineárního programování 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy
VíceObecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
Více4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení
VíceVícekriteriální programování příklad
Vícekriteriální programování příklad Pražírny kávy vyrábějí dva druhy kávy (Super a Standard) ze dvou druhů kávových bobů KB1 a KB2, které mají smluvně zajištěny v množství 4 t a 6 t. Složení kávy (v procentech)
VíceKvantitativní metody v rozhodování. Marta Doubková
Kvantitativní metody v rozhodování Marta Doubková Seminární práce 28 OBSAH 1 LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ KAPACITNÍ ÚLOHA... 3 2 DISTRIBUČNÍ ÚLOHA... 7 3 ANALÝZA KRITICKÉ CESTY METODA CPM... 13 4 MODEL HROMADNÉ
Více4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování
4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a
VíceEKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY
UNIVERZITA OBRANY KATEDRA EKONOMETRIE UČEBNÍ TEXT PRO DISTANČNÍ STUDIUM EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY RNDr. Michal ŠMEREK doc. RNDr. Jiří MOUČKA, Ph.D. B r n o 2 0 0 8 Anotace: Skriptum Ekonomicko-matematické
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
VíceOběžný majetek. Peníze Materiál Nedokončená výroba Hotové výrobky Pohledávky Peníze. Plánování a normování materiálových zásob.
Součástí oběžného majetku jsou: zásoby oběžný finanční majetek pohledávky Oběžný majetek Charakteristickým rysem oběžného majetku je jednorázová spotřeba, v procesu výroby mění svoji formu. Tato změna
Více13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
VíceVyužití simplexového algoritmu v projektování výroby
JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH Ekonomická fakulta Katedra řízení Studijní program: B6208 Ekonomika a management Studijní obor: Řízení a ekonomika podniku Využití simplexového algoritmu v projektování
VíceMANAŽERSKÉ ÚČETNICTVÍ
zahrnuje: 1. rozpočetnictví 2. kalkulace 3. vnitropodnikové účetnictví 4. podnikovou statistiku 5. operativní evidenci MANAŽERSKÉ ÚČETNICTVÍ Finanční účetnictví Manažerské účetnictví Eviduje účetní případy
VícePŘÍKLAD 6: Řešení: Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika 29. Určete, pro které x je hodnota výrazu 8x 6 rovna: a) 6 b) 0 c) 34
Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika 29 PŘÍKLAD 6: Určete, pro které x je hodnota výrazu 8x 6 rovna: a) 6 b) 0 c) 34 Chceme-li vypočítat hodnotu výrazu za daného předpokladu, pak
Více1. Úloha o optimálnom výrobnom pláne (optimálne využitie výrobných faktorov)
2. cvičenie formulácia a výsledky - LINGO 1. Úloha o optimálnom výrobnom pláne (optimálne využitie výrobných faktorov) a) maximalizácia zisku NECELOČÍSELNE!zadani ucelove fce; [UCELOVA_FCE] max = 120*x1+50*x2+150*x3+100*x4;!zadani
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
VíceMatematický model. omezující podmínky. Tab. 2.1 Prvky ekonomického a matematického modelu
16 Čeho chceme dosáhnout? Co můžeme ovlivnit? Jaké jsou překážky? Ekonomický model cíl analýzy procesy činitelé Matematický model účelová funkce proměnné omezující podmínky Příklady maximalizace zisku
VícePřednáška č.7 Ing. Sylvie Riederová
Přednáška č.7 Ing. Sylvie Riederová 1. Aplikace klasifikace nákladů na změnu objemu výroby 2. Modelování nákladů Podstata modelování nákladů Nákladové funkce Stanovení parametrů nákladových funkcí Klasifikační
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VícePříklady k T 2 (platí pro seminární skupiny 1,4,10,11)!!!
Příklady k T 2 (platí pro seminární skupiny 1,4,10,11)!!! Příklad 1.: Obchodník prodává pouze jeden druh zboží a ten také výhradně nakupuje. Činí tak v malém rozsahu, a proto koupil 500 výrobků po 10 Kč
VíceP ílohy. P íloha 1. ešení úlohy lineárního programování v MS Excel
P ílohy P íloha 1 ešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této p íloze si ukážeme, jak lze ešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat
VícePříklady ke cvičením. Modelování produkčních a logistických systémů
Modelování produkčních a logistických systémů Katedra logistiky, kvality a automobilové techniky Garant, přednášející, cvičící: Jan Fábry 10.12.2018 Příklady ke cvičením Opakování lineárního programování
Více4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr
4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu
Více4EK311 Operační výzkum. 1. Úvod do operačního výzkumu
4EK311 Operační výzkum 1. Úvod do operačního výzkumu Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka Garant kurzu:
Vícekoncentraci jsme získali roztok o koncentraci 18 %. Urči koncentraci neznámého roztoku.
2.2.2 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice III Předpoklady: 22 Pedagogická poznámka: Příklady na míchání směsí jsou do dvou hodin rozděleny schválně. Snažím se tak zvýšit šanci, že si hlavní myšlenku
VíceSystémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování
Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a
VíceLineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.
Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme
VíceOSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU Distanční opora RNDr. Miroslav Liška, CSc. OSTRAVA 2002 1 Simplexová metoda je iterační výpočetní postup pro nalezení optimálního
Více3 Úloha lineární optimalizace
3 Úloha lineární optimalizace Od této přednášky se začneme zabývat jistou obsáhlou a dobře prozkoumanou třídou optimalizačních úloh zvanou úlohy lineární optimalizace, neboli lineární programování LP.
VíceNalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
Více4EK212 Kvantitativní management. 3. Typické úlohy LP
4EK212 Kvantitativní management 3. Typické úlohy LP 3. Typické úlohy LP a ILP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování
VíceLineární programování
Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.
Více10. přednáška (slovní úlohy vedoucí na extrémy - pokračování)
10. přednáška (slovní úlohy vedoucí na extrémy - pokračování) Extremální úlohy Krabice Ze čtvercového kartónu o straně 60 cm odřízneme v rozích 4 menší čtverce. Ze zbytku poskládáme krabici bez víka (viz
VíceV exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto:
Eponenciální rovnice V eponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v eponentu. Obecně bychom mohli eponenciální rovnici zapsat takto: a ( ) f ( ) f kde a > 0, b > 0 b Příkladem velmi jednoduché eponenciální
VíceObsah. Vymezení použitých pojmů
Obsah Vymezení použitých pojmů Základní pravidla pro svazování kvadrantů v Karnaughových mapách Základní pravidla pro tvorbu rovnic Postup při zápisu rovnice z Karnaughovy mapy Příklady řešení Vymezení
VíceM - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
Více15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace
@173 15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace Jak jsme se dozvěděli v 3. lekci tohoto kurzu, je obrazem rovnice ax + by + c = 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) přímka a obrazem nerovnic ax + by + c 0, a,b,c
VíceANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
Více4EK311 Operační výzkum. 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP
4EK311 Operační výzkum 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP 3.1 Příklad matematický model Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček]
Více6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou
@06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou
Více3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
VíceCVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceNyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje
Více4EK213 Lineární modely. 5. Dualita v úlohách LP
4EK213 Lineární modely 5. Dualita v úlohách LP 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického
VíceRNDr. Sousedíková Radmila, Ph.D.
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Eaktní metody rozhodování - operační výzkum RNDr. Sousedíková Radmila,
VíceJIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH EKONOMICKÁ FAKULTA OPERAČNÍ ANALÝZA
JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH EKONOMICKÁ FAKULTA OPERAČNÍ ANALÝZA Ing. Jana Friebelová, Ph.D. České Budějovice 2009 Operační analýza Jana Friebelová Recenzent: doc. Ing. Mgr. Martin Dlouhý,
VíceMetodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel
Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci
Více16. Goniometrické rovnice
@198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny
VíceNástroje pro analýzu dat
7 Nástroje pro analýzu dat V té to ka pi to le: Ověřování vstupních dat Hledání řešení Řešitel Scénáře Citlivostní analýza Rychlá analýza Kapitola 7 Nástroje pro analýzu dat Součástí Excelu jsou nástroje
Více2, ZÁSOBY VLASTNÍ VÝROBY
Otázka: Zásoby v podniku Předmět: Účetnictví Přidal(a): Bárbra Zásoby dělíme na: 1, materiál 2, zásoby vlastní výroby 3, zboží 1, MATERIÁL a, základní materiál (podstata výrobku) b, pomocné látky (k doplnění
Více4 Kriteriální matice a hodnocení variant
4 Kriteriální matice a hodnocení variant V teorii vícekriteriálního rozhodování pracujeme s kritérii, kterých je obecně k, a s variantami, kterých je obecně p. Hodnotu, které dosahuje varianta i pro j-té
VíceJednoduchá exponenciální rovnice
Jednoduchá exponenciální rovnice Z běžné rovnice se exponenciální stává, pokud obsahuje proměnnou v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: a f(x) = b g(x), kde a, b > 0. Typickým
VíceStavebnictví NÁKLADY, CENA A OBJEM PRODUKCE
Nákladové funkce Cílem managementu podniku je většinou minimalizace celkových nákladů vynaložených na výrobní a jinou činnost podniku. Pro analýzu činitelů, které toto mohou ovlivňovat, se v manažerské
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Více2.2 Grafické ešení úloh LP
2. Lineární programování 21 zabránili záporným hodnotám produkce, nezabývali jsme se pípady, kdy jako výsledný objem produkce získáme desetinné číslo. Nápravu lze snadno sjednat zahrnutím tzv. podmínek
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
Více4EK314 Diskrétní modely Příklady
4EK314 Diskrétní modely Příklady Jan Fábry Fakulta informatiky a statistiky Katedra ekonometrie fabry@vse.cz http://nb.vse.cz/~fabry Únor 2016, Praha Jan Fábry Diskrétní modely - příklady 1 / 28 Cvičení
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd. Ivana Kozlová. Modely analýzy obalu dat
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ Ivana Kozlová Modely analýzy obalu dat Plzeň 2010 Obsah 1 Efektivnost a její hodnocení 2 2 Základní
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,
Více2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
VíceM - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
VíceObecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis
Více6. Teorie výroby Průvodce studiem: 6.2 Produkční analýza v krátkém období celkový (fyzický) produkt (TP)
6. Teorie výroby Firma vystupuje na trhu finální produkce v pozici nabízejícího a současně na trhu výrobních faktorů v pozici poptávajícího. Firma používá různé vstupy (výrobní faktory), které ve výrobě
VíceOperační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.
Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu
Více2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. 1 Úvodní pojmy Metody na podporu rozhodování lze obecně dělit na: Eaktní metody metody zaručující nalezení optimální řešení, např. Littlův algortimus,
VíceFORMULACE SPECIÁLNÍCH PODMÍNEK V OPTIMALIZAČNÍCH MODELECH
FORMULACE SPECIÁLNÍCH PODMÍNEK V OPTIMALIZAČNÍCH MODELECH LINEARIZACE PO ČÁSTECH LINEÁRNÍ FUNKCE, NEKONVEXNÍ MNOŽINA PŘÍPUSTNÝCH ŘEŠENÍ, ÚLOHY VÝROBNÍHO PLÁNOVÁNÍ (ÚLOHA S FIXNÍMI NÁKLADY, MODELOVÁNÍ DISKRÉTNÍ
VíceObchodní přirážka. Procento obchodní přirážky
Obchodní přirážka Žádná maloobchodní firma by nemohla přežít, kdyby nabízela zboží k prodeji za ceny, za které je nakoupila. O jakou částku může prodejní cena zboží převyšovat nákupní cenu, jak jsme již
VíceMODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické
MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných
VíceSystematická tvorba jízdního řádu 2. cvičení
Projektování dopravní obslužnosti Systematická tvorba jízdního řádu 2. cvičení Ing. Zdeněk Michl Ústav logistiky a managementu dopravy ČVUT v Praze Fakulta dopravní Rekapitulace zadání Je dána následující
Více