Konvexní množiny Formulace úloh lineárního programování. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Transkript

1 Přednáška č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno

2 Euklidovský prostor E n Pod pojmem n-rozměrný euklidovský prostor budeme rozumnět prostor, jehož prvky jsou uspořádané n-tice reálných čísel X = (x 1, x 2,..., x n ), které budeme nazývat body.

3 Nadrovina Nadrovinou nazveme množinu bodů X = (x 1, x 2,..., x n ) E n, které vyhovují rovnici a 1 x 1 + a 2 x a n x n = a 0.

4 Nadrovina Nadrovina N dělí prostor E n na 3 disjunktní části: množina bodů P 1, pro něž platí a 1 x 1 + a 2 x a n x n < a 0 otevřený poloprostor

5 Nadrovina Nadrovina N dělí prostor E n na 3 disjunktní části: množina bodů P 1, pro něž platí a 1 x 1 + a 2 x a n x n < a 0 otevřený poloprostor množina bodů N, pro něž platí a 1 x 1 + a 2 x a n x n = a 0 nadrovina

6 Nadrovina Nadrovina N dělí prostor E n na 3 disjunktní části: množina bodů P 1, pro něž platí a 1 x 1 + a 2 x a n x n < a 0 otevřený poloprostor množina bodů N, pro něž platí a 1 x 1 + a 2 x a n x n = a 0 nadrovina množina bodů P 2, pro něž platí a 1 x 1 + a 2 x a n x n > a 0 otevřený poloprostor

7 Příklad Konvexní množiny Prostor E 1... nadrovinou je bod A = 5 P 1 N P 2 5 P 1 x < 5 polopřímka N x = 5 nadrovina P 2 x > 5 polopřímka

8 Příklad Konvexní množiny Prostor E 2... nadrovinou je přímka 3x 1 2x 2 = 12 x 2 P x 1-6 P 1 P 1 3x 1 2x 2 > 12 polopřímka N 3x 1 2x 2 = 12 přímka P 2 3x 1 2x 2 < 12 polopřímka

9 Příklad Konvexní množiny Znázorněte v rovině množinu bodů splňující x 1 + x 2 5 2x 1 + 4x 2 8 x 1 0

10 Přímka Konvexní množiny Množina bodů X, pro které platí X = (1 λ)a + λb, kde λ R, A, B E n se nazývá přímka procházející body A, B.

11 Příklad Konvexní množiny Napište rovnici přímky procházející body A[1, 2] a B[0, 1]. X = (1 λ)[1, 2] + λ[0, 1]

12 Příklad Konvexní množiny Napište rovnici přímky procházející body A[1, 2] a B[0, 1]. X = (1 λ)[1, 2] + λ[0, 1] x 2 T 0 B S A x 1 Volbou λ = 1 2 dostaneme bod S = (1 1 2 )[1, 2] [0, 1] = 1 2 [1, 2] [0, 1] = [ 1 2, 1 2 ] Volbou λ = 2 dostaneme bod T = (1 2)[1, 2] + 2[0, 1] = [1, 2] + 2[0, 1] = [ 1, 4]

13 Úsečka Konvexní množiny Množina bodů X splňující X = (1 λ)a + λb, kde λ 0, 1, A, B E n se nazývá úsečka spojující body A, B.

14 Konvexní množina Řekneme, že množina K E n je konvexní, obsahuje-li s každými 2 body A, B i úsečku spojující tyto body.

15 Konvexní množina Řekneme, že množina K E n je konvexní, obsahuje-li s každými 2 body A, B i úsečku spojující tyto body. A B konvexní množina nekonvexní množina

16 Krajní bod Bod X K E n se nazývá krajním bodem konvexní množiny K, neexistují-li 2 různé body A, B (přičemž X A, X B) takové, že bod X leží na úsečce AB.

17 Krajní bod Bod X K E n se nazývá krajním bodem konvexní množiny K, neexistují-li 2 různé body A, B (přičemž X A, X B) takové, že bod X leží na úsečce AB. množina konvexnost krajní body trojúhelník ano vrcholy kruh ano kružnice kružnice ne

18 Ohraničená a neohraničená množina Konvexní množina K se nazývá ohraničená, neobsahuje-li žádnou polopřímku. Obsahuje-li alespoň 1 polopřímku, nazývá se neohraničená.

19 Věta o průniku Průnik konvexních množin je opět konvexní množina.

20 Úloha výrobního plánování Podnik vyrábí 2 druhy výrobků V 1 a V 2. Tabulka udává spotřebu surovin S 1 a S 2 v kg potřebných na výrobu 1 kusu výrobku. Zisk z 1 výrobku V 1 je 18 Kč a z 1 výrobku V 2 je 8 Kč. Dále je v tabulce uvedeno množství surovin, kterým podnik disponuje. Stanovte optimální výrobní plán, aby podnik dosáhl maximálního zisku. Ekonomický Výrobky Disponibilní model V 1 V 2 množství S 1 [kg/ks] S 2 [kg/ks] zisk [Kč/ks] 18 8 max

21 Úloha výrobního plánování Matematický model: proměnné x 1... počet výrobků V 1 x 2... počet výrobků V 2 výrobní plán x = (x 1, x 2 ), kde x 1 0, x 2 0

22 Úloha výrobního plánování Matematický model: proměnné x 1... počet výrobků V 1 x 2... počet výrobků V 2 výrobní plán x = (x 1, x 2 ), kde x 1 0, x 2 0 např. x = (300, 100) Spotřeba surovin při tomto výrobním plánu bude S 1 : = 1400 kg < 2000 S 2 : = 1300 kg < 1600

23 Úloha výrobního plánování Matematický model: proměnné x 1... počet výrobků V 1 x 2... počet výrobků V 2 výrobní plán x = (x 1, x 2 ), kde x 1 0, x 2 0 např. x = (300, 100) Spotřeba surovin při tomto výrobním plánu bude S 1 : = 1400 kg < 2000 S 2 : = 1300 kg < 1600 Jedná se tedy o přípustné řešení úlohy LP. Zisk je = 6200 Kč.

24 Úloha výrobního plánování např. x = (250, 700) Spotřeba surovin při tomto výrobním plánu bude S 1 : = 2400 kg > 2000 S 2 : = 1700 kg > 1600

25 Úloha výrobního plánování např. x = (250, 700) Spotřeba surovin při tomto výrobním plánu bude S 1 : = 2400 kg > 2000 S 2 : = 1700 kg > 1600 Jedná se tedy o nepřípustné řešení úlohy LP.

26 Úloha výrobního plánování obecně x = (x 1, x 2 ) 4x 1 + 2x x 1 + x

27 Úloha výrobního plánování obecně x = (x 1, x 2 ) účelová funkce má tvar 4x 1 + 2x x 1 + x z(x 1, x 2 ) = 18x 1 + 8x 2 max Taková úloha se označuje za maximalizační úlohu.

28 Úloha výrobního plánování Postup při řešení: soustavu lin. nerovnic přepíšeme na soustavu lin. rovnic 4x 1 + 2x 2 + x 1 = x 1 + x 2 + x 2 = 1600 x 1 0, x 2 0, x 1 0, x 2 0

29 Úloha výrobního plánování Postup při řešení: soustavu lin. nerovnic přepíšeme na soustavu lin. rovnic 4x 1 + 2x 2 + x 1 = x 1 + x 2 + x 2 = 1600 x 1 0, x 2 0, x 1 0, x 2 0 řešíme simplexovou případně grafickou metodou

30 Úloha výrobního plánování Postup při řešení: soustavu lin. nerovnic přepíšeme na soustavu lin. rovnic 4x 1 + 2x 2 + x 1 = x 1 + x 2 + x 2 = 1600 x 1 0, x 2 0, x 1 0, x 2 0 řešíme simplexovou případně grafickou metodou optimální řešení je x = (300, 400, 0, 0), což znamená, že z hlediska maximalizace zisku je třeba vyrobit 300 ks výrobků V 1 a 400 ks výrobků V 2, přičemž se spotřebuje veškerá surovina S 1 a S 2 (x 1 = 0, x 2 = 0). Dosáhne se zisku z = = 8600 Kč.

31 Směšovací úloha Podnik má vytvořit krmnou směs, která by obsahovala alespoň 308 mg vápníku a 214 mg hořčíku. Používají přitom 2 typů krmiv: 1 kg krmiva K 1 obsahuje 10 mg Ca a 8 mg Mg a stojí 1500 Kč

32 Směšovací úloha Podnik má vytvořit krmnou směs, která by obsahovala alespoň 308 mg vápníku a 214 mg hořčíku. Používají přitom 2 typů krmiv: 1 kg krmiva K 1 obsahuje 10 mg Ca a 8 mg Mg a stojí 1500 Kč 1 kg krmiva K 2 obsahuje 8 mg Ca a 1 mg Mg a stojí 240 Kč

33 Směšovací úloha Podnik má vytvořit krmnou směs, která by obsahovala alespoň 308 mg vápníku a 214 mg hořčíku. Používají přitom 2 typů krmiv: 1 kg krmiva K 1 obsahuje 10 mg Ca a 8 mg Mg a stojí 1500 Kč 1 kg krmiva K 2 obsahuje 8 mg Ca a 1 mg Mg a stojí 240 Kč Úkolem je připravit co možná nejlevnější krmnou směs. Krmivo Požadované K 1 K 2 množství Ca [mg/kg] Mg [mg/kg] cena [Kč/kg] min

34 Směšovací úloha Matematický model: proměnné x 1... množství krmiva K 1 ve výsledné směsi x 2... množství krmiva K 2 ve výsledné směsi výrobní plán x = (x 1, x 2 ), kde x 1 0, x 2 0

35 Směšovací úloha Matematický model: proměnné x 1... množství krmiva K 1 ve výsledné směsi x 2... množství krmiva K 2 ve výsledné směsi výrobní plán x = (x 1, x 2 ), kde x 1 0, x 2 0 Použijeme-li x 1 kg krmiva K 1 a x 2 krmiva K 2, bude ve výsledné směsi Ca : 10x 1 + 8x 2 Mg : 8x 1 + x 2

36 Směšovací úloha Vlastní omezení mají tvar 10x 1 + 8x x 1 + x 2 214

37 Směšovací úloha Vlastní omezení mají tvar 10x 1 + 8x x 1 + x Celková cena směsi je dána účelovou funkcí z = 1500x x 2 min Jedná se o minimalizační úlohu.

38 Rozdělovací úloha Máme dostatečné množství základních lan o délce 32 m. K dalšímu použití potřebujeme alespoň 12 kusů 20 m lan, 20 kusů 11 m lan a 26 kusů 6 m lan. Určete optimální skladbu řezných plánů vzhledem k minimálnímu odpadu.

39 Rozdělovací úloha Máme dostatečné množství základních lan o délce 32 m. K dalšímu použití potřebujeme alespoň 12 kusů 20 m lan, 20 kusů 11 m lan a 26 kusů 6 m lan. Určete optimální skladbu řezných plánů vzhledem k minimálnímu odpadu. Řezný plán Požadované I. II. III. IV. V. množství 20 m m m odpad [m] min

40 Rozdělovací úloha Proměnné x 1,..., x 5 Proměnná x j, j = 1, 2, 3, 4, 5 udává počet základních lan rozřezaných podle řezného plánu j, x j 0.

41 Rozdělovací úloha Proměnné x 1,..., x 5 Proměnná x j, j = 1, 2, 3, 4, 5 udává počet základních lan rozřezaných podle řezného plánu j, x j 0. Rozřežeme-li x 1 lan podle řezného plánu I.,..., x 5 lan podle řezného plánu V., nařežeme x 1 + x 2 ks 20 m lan

42 Rozdělovací úloha Proměnné x 1,..., x 5 Proměnná x j, j = 1, 2, 3, 4, 5 udává počet základních lan rozřezaných podle řezného plánu j, x j 0. Rozřežeme-li x 1 lan podle řezného plánu I.,..., x 5 lan podle řezného plánu V., nařežeme x 1 + x 2 ks 20 m lan x 1 + 2x 3 + x 4 ks 11 m lan

43 Rozdělovací úloha Proměnné x 1,..., x 5 Proměnná x j, j = 1, 2, 3, 4, 5 udává počet základních lan rozřezaných podle řezného plánu j, x j 0. Rozřežeme-li x 1 lan podle řezného plánu I.,..., x 5 lan podle řezného plánu V., nařežeme x 1 + x 2 ks 20 m lan x 1 + 2x 3 + x 4 ks 11 m lan 2x 2 + x 3 + 3x 4 + 5x 5 ks 6 m lan

44 Rozdělovací úloha x 1 + x 2 12 x 1 + 2x 3 + x x 2 + x 3 + 3x 4 + 5x 5 26 x 1 0,..., x 5 0

45 Rozdělovací úloha x 1 + x 2 12 x 1 + 2x 3 + x x 2 + x 3 + 3x 4 + 5x 5 26 x 1 0,..., x 5 0 Celkový odpad určuje účelová funkce z = x 1 + 4x 3 + 3x 4 + 2x 5 min