Kvantitativní metody v rozhodování. Marta Doubková

Transkript

1 Kvantitativní metody v rozhodování Marta Doubková Seminární práce 28

2 OBSAH 1 LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ KAPACITNÍ ÚLOHA DISTRIBUČNÍ ÚLOHA ANALÝZA KRITICKÉ CESTY METODA CPM MODEL HROMADNÉ OBSLUHY... 16

3 1 LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ KAPACITNÍ ÚLOHA Společnost Drevounia s. r. o. vyrábí 5 typů židlí, které se zhotovují ve 4 střediscích, jejichž měsíční kapacita je postupně 2 6 h, 3 3 h, 4 2 h a 3 9 h. Aby společnost mohla vyrábět jednotlivé typy židlí, musí počítat s hodinovou spotřebou času, jak je uvedeno v tabulce. Společnost Drevounia musí na základě smluv uzavřených s odběrateli měsíčně vyrábět minimálně 8 ks židlí typu 1, 5 ks židlí typu 3 a 6 ks židlí typu 4, maximálně však 3 6 ks každého typu židle. Hrubý zisk, který plyne z výroby těchto židlí je 13, 1 2, 1 4, 1 6 a 2 Kč/ks. Úkolem je sestavit takový výrobní program, který bude maximalizovat celkový zisk. Tabulka 1 Spotřeba času na výrobu 1. Rozbor činitelů Vstupní činitelé: Strojové hodiny Výstupní činitelé: Ž1, Ž2, Ž3, Ž4, Ž5 2. Definice proměnných x 1 počet vyrobených kusů židlí typu 1 x 2 počet vyrobených kusů židlí typu 2 x 3 počet vyrobených kusů židlí typu 3 x 4 počet vyrobených kusů židlí typu 4 x 5 počet vyrobených kusů židlí typu 5

4 3. Omezení na vstupu,3 x 1 +,2 x 2 +,4 x 3 +,4 x 4 +,5 x 5 2 6,3 x 1 +,5 x 2 +,5 x 3 +,4 x 4 +,6 x 5 3 3,7 x 1 +,9 x 2 +,8 x 3 +,8 x 4 +,5 x 5 4 2,4 x 1 +,4 x 2 +,5 x 3 +,4 x 4 +,8 x Omezení na výstupu x 1 x 2 x x x Účelová funkce z 13 x1 12x2 14x3 16x4 2x5 MAX 6. Řešení pomocí programu WinQSB

5 7. Interpretace výsledku: Z hlediska primárního modelu vstupních a výstupních omezení, která firma Drevounia musí při své výrobě zohlednit, bude optimální výroba činit 1 44 ks židlí 2. typu (tržby Kč), 873 ks židlí 4. typu (tržby Kč) a 3 24 ks židlí 5. typu (tržby 6 48 ). Dále musí zmíněná firma z důvodu smluvního omezení s odběrateli vyrábět 8 ks židle 1. typu (tržby 1 4 Kč) a 5 ks židlí 3. typu (tržby 1 6 Kč), i když je výroba ztrátová. Celkové měsíční tržby (tj. maximální hodnota účelové funkce) jsou ve výši Kč. Z pohledu řešení duálního modelu můžeme vidět, že kapacity střediska 1, střediska 3 a střediska 4 jsou plně využity. Pouze kapacita střediska 2 není plně využita. Z tohoto důvodu není nutné u tohoto střediska rozšiřovat kapacitu. Naopak tomu je u střediska 1, kde pokud bychom zvýšili kapacitu o 1 hodinu, zvýšila by se nám hodnota účelové funkce o 2 24 Kč. Pokud bychom zvýšili kapacitu 3. střediska o 1 h, účelová funkce by se nám zvýšila o 48 Kč a v případě 4. střediska by se zvýšila o 8 Kč. V tomto případě je důležitá úvaha nad tím, jaké náklady jsou spojeny s 1 h kapacity ve střediscích 1, 3 a 4 a zda se vzhledem k těmto skutečnostem vyplatí navýšit hodinovou kapacitu při výrobě. Skladba výroby se nebude měnit, jestliže se kapacita bude pohybovat v rozmezí 2 554, ,273 h v 1. středisku, dále alespoň 3 283,6 h v 2 středisku, v rozmezí ,571 h v 3. středisku a v rozmezí ,5 h v posledním, 4. středisku. Dále se kapacita nebude měnit, jestliže u ztrátového typu židle 1 dodržíme podmínku doporučené ceny Kč a více a u 2. typu židle minimálně 1 68 Kč a více. Ceny ostatních druhů židlí, tj. židle typu 2, 4 a 5 by se měly postupně pohybovat v intervalech 1112,5 1 79,1 Kč;1 536, ,6 Kč a 1 766,7 2 6 Kč.

6

7 2 DISTRIBUČNÍ ÚLOHA Metoda VAM (Vogelova aproximační metoda) Společnost SIT s. r. o. se zabývá nákupem a prodejem židlí, který je spojen i s jejich montáží. V ČR má pronajaty celkem 4 sklady, které se nacházejí v Ústí nad Labem, Českých Budějovicích, Brně a Vsetíně. Kapacita těchto skladů je 15, 21, 25 a 19 ks židlí. Z těchto skladů se židle distribuují do pěti prodejen v Hradci Králové, Táboře, Jihlavě, Olomouci a Zlíně. Podle uzavřených smluv společnost SIT postupně svým odběratelům dodá 11, 14, 21, 17 a 12 ks židlí. Z důvodu výpovědi nájemní smlouvy ve skladu v Ústí nad Labem, bude společnost SIT nucena tento sklad zcela vyprázdnit. Úkolem je sestavit takový distribuční plán, aby celkové náklady na přepravu byly minimální. Tabulka 2 Distribuční náklady na 1 ks židle ve stovkách Kč Z důvodu nevyrovnanosti problému, kdy se požadavky prodejen nerovnají kapacitě skladů firmy SIT, jsme nuceni v řešení zavést fiktivní prodejnu. Při řešení musíme vzít rovněž v úvahu podmínku úplného vyprázdnění skladu v Ústí nad Labem. Z tohoto důvodu u fiktivní prodejny zvolíme vysokou sazbu tak, aby by se přeprava nemohla uskutečnit.

8 Z výše uvedené tabulky nám vyplývá výchozí základní řešení. Hodnota účelové funkce, znázorněné následujícím výpočtem, činí 49 Kč. z 11 *5 4 *13 14 *3 7 *5 14 * 4 11 *9 2 *5 12 *5 z 49Kč Matice přeprav je následující: Dalším bodem v řešení tohoto úkolu je provedení testu optimality, jehož úkolem je zjištění, jestli je výše uvedené řešení optimální popř. jestli existuje lepší řešení, s nižší hodnotou účelové funkce. Pro provedení testu je nutné nejdříve zjistit, zda-li je řešení nedegenerované, tzn. musí platit podmínka: (m + n - 1) počet obsazených polí. Příklad: m + n Z uvedeného výpočtu vyplývá, že podmínka je splněna, výchozí základní řešení je nedegenerované a lze tedy provést test optimality. Test optimality je založen na porovnání sazby c ij s tzv. nepřímou sazbou c ij v každém neobsazeném poli. Zavedou se pomocná řádková čísla u i a pomocná sloupcová čísla v j. Jestliže poté bude platit že c ij - c ij, bude řešení optimální. Jestliže c ij - c ij >, řešení optimální nebude.

9 Z výše uvedené tabulky vyplývá, že z důvodu platnosti podmínky, kdy c ij - c ij >, která platí pro 2 existující pole, řešení není optimální. V tomto případě budeme postupovat tak, že na neobsazené pole, kde je c ij - c ij > největší (tj. pole České Budějovice a P f ), přesuneme určitou přepravu t (tzv. nově obsazované pole). K tomuto nově obsazovanému poli vyhledáme ve výchozím řešení taková obsazená pole, aby spolu tvořila uzavřený okruh. t se přitom bude rovnat nejmenší přepravě z těch, které jsou umístěny na polích uzavřeného okruhu, kde se t odečítá (tj. pole Vsetín a P f ). V tomto případě t = 5. Výše uvedenou tabulku přepočítáme a provedeme u ní test optimality.

10 Z výše uvedené tabulky nám vyplývá nové základní řešení. Hodnota účelové funkce, znázorněné následujícím výpočtem, činí 384 Kč. z 11*5 4 *13 14*3 2 *5 5 * 19* 4 6 *9 7 *5 12*5 z 384Kč Matice přeprav je následující: Jelikož v tomto případě již splňujeme podmínku kdy c ij - c ij, můžeme prohlásit toto řešení za optimální. Skutečnost, že předchozí řešení nebylo optimální se potvrdilo i ve snížení účelové funkce (ze 49 Kč na 384 Kč, tj. snížení o 25 Kč). Alternativní řešení u tohoto příkladu neexistuje, protože zde neexistuje neobsazené pole, ve kterém by se rovnala sazba c ij s nepřímou sazbou c ij tj. c ij = c ij. Nové základní řešení je tedy jediné možné řešení, při kterém můžeme dosáhnout minimální hodnoty účelové funkce, tj. kdy náklady na přepravu jsou minimální.

11 Řešení pomocí programu WinQSB

12 Interpretace dosaženého výsledku: Jak lze vidět z výsledku řešení programu WinQSB, výpočet, který byl proveden pomocí samostatné úvahy, byl potvrzen. Řešení nám ukazuje pouze jednu vhodnou variantu distribuce, která při podmínce minimalizace nákladů činí 384 Kč. Společnost SIT s. r. o. bude židle distribuovat pomocí následujícího schématu: Sklad v Ústí nad Labem bude dodávat 11 ks židlí do prodejny v Hradci Králové a 4 ks židlí do Olomouce. Sklad v Českých Budějovicích bude dodávat 14 ks židlí do Tábora, 2 ks židlí do Jihlavy, přičemž 5 ks židlí zůstane na skladě. Sklad v Brně bude dodávat 19 ks židlí do Jihlavy a 6 ks židlí do Olomouce. Sklad ve Vsetíně bude dodávat 7 ks židlí do Olomouce a 12 ks židlí do Zlína.

13 3 ANALÝZA KRITICKÉ CESTY METODA CPM Příprava valašského frgálu V rámci plánované oslavy je třeba napéct cukroví a několik koláčů. Z množství různých receptů byl zvolen recept na valašský frgál, jehož příprava je relativně snadná a výsledek se vždy setká s velkým ohlasem stolujících. V rámci upečení tohoto frgálu bylo stanoveno několik následujících činností a rovněž byla odhadem stanovena doba trvání v minutách. Všechny potřebné informace jsou uvedeny v tabulce. Úkolem je sestrojit síťový graf a vypočítat nejkratší dobu pro přípravu a upečení valašského frgálu.. Výsledek síťového grafu: Kritická cesta: A B D E F G H I K L M O Doba trvání: 175 min = tj. 2 h 55 min

14

15 Řešení pomocí programu WinQSB Interpretace výsledku: Ruční výpočet i softwarové řešení nám poskytlo řešení v podobě nalezení kritické cesty: A B D E F G H I K L M O. V návaznosti na tyto údaje jsme schopni zjistit nejkratší možnou dobu pro přípravu a následné zhotovení valašského frgálu. Tato doba stanovena na 175 min, tj. 2 h a 55 min. Celkovou časovou rezervu nacházíme v činnostech C vymazání plechů (65 min), J příprava posýpky (15 min) a N příprava na polití (45 min).

16 4 MODEL HROMADNÉ OBSLUHY Pobočka České pošty v Bystřici pod Hostýnem má v provozu celkem 4 přepážky pro peněžní služby. Dostavující se klienti se řadí do jedné fronty, přičemž přicházejí průměrně každé 1,5 minuty a tyto intervaly mají exponenciální rozdělení. Potřebná doba pro vyřízení požadavku klienta je náhodnou veličinou s exponenciálním rozdělením, se střední hodnotou cca 5 minut. Náklady na provoz jedné přepážky jsou 4 Kč/hod a náklady na pobyt jedné jednotky v systému je 16 Kč/hod. Úkolem je zvážit, zda bude za stávajících podmínek výhodné provozovat 5 přepážek nebo zda bude lepší i nadále zůstat u stávající situace. Kendellova notace: M / M / 4/ / / FIFO M / M / 5/ / / FIFO Řešení: Nejprve určíme hodnoty λ, µ a ρ. c c , c * c * *12 4 5*12,833,666 c * 1 λ průměrný počet klientů, kteří přijdou na pobočku České pojišťovny za 1 hodinu µ - průměrný počet vyřízených klientů za 1 hodinu ρ podmínka stabilizace je v obou situacích splněna, protože platí 1

17 Řešení pomocí programu WinQSB Queuing analysis V případě 4 přepážek v provozu:

18 Celková využitelnost systému při provozu 4 přepážek je 83, 33 %. Průměrný počet klientů na přepážce za 1 hodinu je 6,62, průměrný počet klientů ve frontě je 3,29 a průměrný počet klientů ve frontě a v zaplněném systému je roven 5-ti. Klient stráví v systému průměrně,1655 hodiny (tj. cca 9,93 min), ve frontě stráví průměrně,822 hodiny (tj. cca 4,9 min) a ve frontě a zaplněném systému stráví,125 h (tj. cca 7,5 minuty). Pravděpodobnost, že přepážka nebude v provozu je 2,131 %. Pravděpodobnost, že příchozí klient bude čekat z důvodu zaplněnosti systému je 65,77 %. Celkové náklady na provoz jedné přepážky v provozu dosahují 1 333,33 Kč/hod, celkové náklady na čekajícího klienta dosahují 526,18 Kč/hod a celkové náklady na provoz celé pobočky za 1 hodinu činí 2 659,51 Kč.

19 V případě provozu 5-ti přepážek:

20 Celková využitelnost systému při chodu 5-ti přepážek je 66,67 %. Průměrný počet klientů na pobočce za 1 hodinu je 3,99, průměrný počet klientů ve frontě je,6533 a průměrný počet klientů ve frontě a v zaplněném systému je roven 2. Klient stráví v systému průměrně,997 hodiny (tj. cca 5,982 min), ve frontě stráví průměrně,163 hodiny (tj. cca,978 min) a ve frontě a zaplněném systému stráví průměrně,5 h (tj. 3min). Pravděpodobnost, že přepážka nebude v provozu je 3,1752 %. Pravděpodobnost, že příchozí klient bude čekat z důvodu zaplněnosti systému je 32,67 %. Celkové náklady na provoz jedné přepážky v provozu dosahují 1 333,33 Kč/hod, celkové náklady na čekajícího klienta dosahují 14,53 Kč/hod a celkové náklady na provoz celé pobočky za 1 hodinu činí 2 637,87 Kč.

21 Interpretace výsledku: Zavedením 5-té přepážky dojde ke snížení celkové využitelnosti systému na 66,67 %. Z pohledu pobočky České pošty dojde k výraznému snížení čekajících klientů u jednotlivých přepážek i v zaplněném systému. Z pohledu klienta dojde k výraznému zlepšení poskytovaných služeb. Ve frontě a zaplněném systému stráví v konečném důsledku o 4,5 minuty méně času. I přes vyšší pravděpodobnost, že přepážky nebudou v provozu, celková pravděpodobnost, že klient bude čekat v důsledku zaplněnosti systému je o ½ nižší. Z pohledu celkových nákladů, zavedením 5-té přepážky nedojde k jejich výraznějšímu snížení, přesto bych však především z důvodu většího pohodlí pro klienty zavedla do provozu zmiňovanou 5-tou přepážku s celkovými hodinovými náklady na provoz 2 637,87 Kč.