4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
|
|
|
- Božena Dušková
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování
2 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n R b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n R b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n R b 3 a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n R b m za podmínek nezápornosti x j 0, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2
3 2.2 Matematický model úlohy LP kde je x j a ij b i c j... proměnná modelu (strukturní)... strukturní koeficient... pravá strana i-tého omezení... cenový koeficient j-té proměnné (cena) R... jedno z relačních znamének,, = n m... počet strukturních proměnných modelu... počet vlastních omezení modelu i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 3
4 2.3 Příklad - zadání Firma vyrábí šroubky a matice Šroubky i matice jsou lisovány vylisování krabičky šroubků trvá 1 minutu, krabička matic je lisována 2 minuty Šroubky i matice firma balí do krabiček, ve kterých je pak prodává - krabička šroubků se balí 1 minutu, krabička matic 4 minuty Firma má k dispozici 2 hodiny času pro lisování a 3 hodiny času pro balení výrobků Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 4
5 2.3 Příklad - zadání Vzhledem k poptávce je třeba vyrobit alespoň o 90 krabiček šroubků více než krabiček matic Z technických důvodů nelze vyrobit více než 110 krabiček šroubků Zisk z jedné krabičky šroubků je 40 Kč, z jedné krabičky matic 60 Kč Firma nemá potíže s odbytem výrobků Kolik krabiček šroubků a matic má firma vyrobit, chce-li dosáhnout maximálního zisku? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 5
6 2.3 Příklad ekonomický model Procesy Jednotky Výroba šroubků (Š) 1 krabička (kr.) Výroba matic (M) 1 krabička Činitelé na straně vstupu Čas na lisu 1 min. Čas pro balení 1 min. Činitelé na straně výstupu Vztah počtu KŠ a KM 1 krabička Max. počet KŠ 1 krabička Cíl Maximální zisk Kč Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 6
7 2.3 Příklad kvantitativní vztahy Šroubky Matice Kapacita Jednotky Jednotky [krabička] [krabička] Lis 1 [min./kr.] 2 [min./kr.] 2 [hod.] Balení 1 [min./kr.] 4 [min./kr.] 3 [hod.] Zisk 40 [Kč/kr.] 60 [Kč/kr.] [Kč] Kapacitu lisu a balicí linky bude třeba převést na srovnatelné jednotky Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 7
8 2.3 Příklad matematický model LIS BALENÍ POPTÁVKA ŠROUBKY Šroubky x 1 Matice x 2 [krabička] [krabička] 1 x x 2 1 x x min 180 min 1 x 1-1 x 2 90 krabiček 1 x x krabiček NEZÁPORNOST x 1, x 2 0 ZISK 40 x x 2 max Kč Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 8
9 2.3 Příklad srovnání EM a MM Ekonomický model: Procesy Výroba Š [KŠ] Výroba M [KM] Činitelé Cíl Čas na lisu [min.] Čas balení [min.] Poptávka [krabičky] Max. KŠ[krabičky] Maximální zisk [Kč] Matematický model: Proměnné x 1 [KŠ] x 2 [KM] Omezení spotřeba 120 [min.] spotřeba 180 [min.] KŠ KM 90 [krabičky] KŠ 110 [krabičky] Účelová funkce Maximální zisk [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 9
10 2.4 Grafické řešení úlohy LP Jednoduchou úlohu vyřešíme graficky: zvolíme souřadnicový systém os x 1 a x 2 znázorníme všechna omezení modelu najdeme jejich průnik v prvním kvadrantu znázorníme účelovou funkci rovnoběžně ji posuneme tak, aby se dotkla průniku množin (shora nebo zdola) v bodě (popř. bodech) dotyku účelové funkce a množiny přípustných řešení je optimální řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 10
11 x OPTIMUM (2) x 1 (1) Z max -90 (3) (4) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 11
12 2.4 Grafické řešení úlohy LP Optimální řešení zadané úlohy leží na průsečíku dvou hraničních přímek omezení (1) a (4): x 1 + 2x 2 = 120 x 1 = 110 Odtud je x 1 = 110, x 2 = 5 Bod optimálního řešení je tedy x = 110, 5 Hodnota účelové funkce je po dosazení z = 40x x 2 = = 4700 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 12
13 2.5 Interpretace řešení úlohy LP Ekonomická interpretace optimálního řešení x 1 = 110, x 2 = 5, z = 4700 Vyrobíme 110 krabiček šroubků Vyrobíme 5 krabiček matic Celkový zisk bude 4700 Kč Kolik spotřebujeme času na lisu? Lis bude v provozu 120 minut. Kolik zbyde času na lisu? Na lisu zbyde 0 minut. Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] Šroubky: 1 x x [krabiček] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: 40 x x 2 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 13
14 2.5 Interpretace řešení úlohy LP Ekonomická interpretace optimálního řešení x 1 = 110, x 2 = 5, z = 4700 Kolik spotřebujeme času na balení? Kolik zbyde času na balení (jaká je rezerva)? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 14
15 2.5 Interpretace řešení úlohy LP Ekonomická interpretace optimálního řešení x 1 = 110, x 2 = 5, z = 4700 O kolik šroubků vyrobíme více než matic? Jaká je rezerva v poptávce? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 15
16 2.5 Interpretace řešení úlohy LP Ekonomická interpretace optimálního řešení x 1 = 110, x 2 = 5, z = 4700 Kolik šroubků vyrobíme? Jaká je technologická rezerva? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 16
17 2.5 Interpretace řešení úlohy LP Vypočtené rezervy jsou ekonomickou interpretací tzv. přídatných proměnných. Metody pro řešení úloh lineárního programování pracují s řešením soustavy rovnic, nikoliv se soustavou nerovnic. Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] Šroubky: 1 x x [krabiček] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] 1 x x 2 + x 3 = 120 min 1 x x 2 + x 4 = 180 min 1 x 1 1 x 2 x 5 = 90 [krabiček] 1 x x 2 + x 6 = 110 [krabiček] x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 Zisk: z = 40 x x 2 max [Kč] z 40 x 1 60 x 2 = 0 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 17
18 2.5 Interpretace řešení úlohy LP Strukturní proměnné: x 1 = 110 x 2 = 5 Přídatné proměnné: x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = Optimální řešení: 1 x x 2 + x 3 = 120 min 1 x x 2 + x 4 = 180 min 1 x 1 1 x 2 x 5 = 90 [krabiček] 1 x x 2 + x 6 = 110 [krabiček] z 40 x 1 60 x 2 = 0 max [Kč] x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T z = 4700 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 18
19 2.6 Přídatné proměnné Přídatné proměnné slouží k převodu soustavy vlastních omezení ve tvaru nerovnic na ekvivalentní soustavu rovnic Ekvivalentní soustava rovnic (s podmínkami nezápornosti) má stejné (ekvivalentní) řešení jako původní soustava vlastních omezení Omezení ve tvaru rovnice: a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i není třeba upravovat Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 19
20 2.6 Přídatné proměnné Omezení ve tvaru nerovnice typu : a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i k levé straně nerovnice přičteme přídatnou proměnnou x n+i a i1 x 1 + a i2 x a in x n + x n+i = b i Omezení ve tvaru nerovnice typu : a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i od levé strany nerovnice odečteme přídatnou proměnnou x n+i a i1 x 1 + a i2 x a in x n x n+i = b i Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 20
21 2.6 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení Přídatná proměnná v omezení typu ukazuje objem nevyužité kapacity Přídatná proměnná v omezení typu ukazuje velikost překročení požadavku Cena přídatné proměnné je vzhledem k její ekonomické interpretaci rovna nule Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 21
22 2.7 Základní pojmy LP Přípustné řešení úlohy LP je vektor x = x 1, x 2,, x n+m T, jehož složky splňují vlastní omezení úlohy a podmínky nezápornosti Počet přípustných řešení (PŘ): protože počet proměnných (n+m) je větší než počet rovnic (m), má úloha LP buď: 1. nekonečně mnoho přípustných řešení nebo 2. žádné přípustné řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 22
23 x (2) x 1 (1) (3) (4) Množina přípustných řešení (konvexní polyedr) -90 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 23
24 2.7 Základní pojmy LP Základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic je takový vektor x = x 1, x 2,, x n+m T, který má maximálně m nenulových složek (zbývajících n složek je rovných 0) Základní řešení (ZŘ) ekvivalentní soustavy rovnic (ESR): protože ekvivalentní soustava rovnic obsahuje m rovnic (lineárně nezávislých) a m+n proměnných má v typickém případě nekonečně mnoho řešení některá z nich lze najít tak, že hodnoty n proměnných zvolíme libovolně (základní proměnné s hodnotou 0) a zbývajících m proměnných dopočítáme řešením soustavy Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 24
25 2.7 Základní pojmy LP Příklad Počet strukturních proměnných: n = 2 Počet rovnic ekvivalentní soustavy: m = 4 Počet proměnných v ESR: m + n = = 6 1 x x 2 + x 3 = x x 2 + x 4 = x 1 1 x 2 x 5 = 90 1 x x 2 + x 6 = 110 Základní řešení: x = x 1, x 2,, x T T n+m = x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 x = 0, 0, x 3, x 4, x 5, x T 6 x = 0, 0, 120, 180, 90, 110 T x = 0, x 2, 0, x 4, x 5, x T 6 x = 0, 60, 0, 60, 150, 110 T x = x 1, x 2, 0, x 4, x 5, 0 T x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 25
26 2.7 Základní pojmy LP Počet základních řešení ESR: Kolika způsoby lze z m+n proměnných vybrat těch n proměnných, které budou základní (a budou tedy rovny 0)? m + n n = m + n! n! m + n n! = m + n! n! m! Kolika způsoby lze z m+n proměnných vybrat těch m proměnných, které nebudou základní (a budou tedy dopočítány)? m + n m = m + n! m! m + n m! = m + n! m! n! Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 26
27 2.7 Základní pojmy LP Počet základních řešení ESR: m + n n = m + n! m! n! Pokud jsou m a n konečná čísla, je počet základních řešení ESR také konečný. Kolik ZŘ má ESR pro náš příklad? 1 x x 2 + x 3 = x x 2 + x 4 = x 1 1 x 2 x 5 = 90 1 x x 2 + x 6 = 110 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 27
28 x (2) x 1 (1) (3) (4) Základní řešení ESR -90 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 28
29 2.7 Základní pojmy LP Jsou všechna základní řešení ESR přípustnými řešeními původní úlohy LP? Základní řešení: x = x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 T x = 0, 0, 120, 180, 90, 110 T x = 0, 60, 0, 60, 150, 110 T x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] Šroubky: 1 x x [krabiček] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: 40 x x 2 max [Kč] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 29
30 2.7 Základní pojmy LP Základní řešení úlohy LP neboli základní přípustné řešení úlohy LP je takové základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic, které splňuje všechna vlastní omezení úlohy LP i podmínky nezápornosti. Základní přípustné řešení (ZPŘ) úlohy LP: Má všechny složky nezáporné Strukturní proměnné jsou nezáporné vzhledem k podmínkám nezápornosti v úloze LP Přídatné proměnné jsou nezáporné z definice (záporná hodnota přídatné proměnné znamená, že vlastní omezení není splněno) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 30
31 2.7 Základní pojmy LP Základní přípustné řešení úlohy LP je takové přípustné řešení, které má maximálně tolik kladných složek, kolik je lineárně nezávislých vlastních omezení, tj. m, zbývající složky (alespoň n) jsou rovny nule. Vektory strukturních koeficientů u proměnných s kladnou hodnotou jsou lineárně nezávislé. Degenerované základní přípustné řešení (ZPŘ): Má-li řešení méně než m kladných složek Má-li řešení více než n nulových složek Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 31
32 Počet základních přípustných řešení (ZPŘ) úlohy LP: Kolik PŘ má úloha LP? Buď žádné nebo nekonečně mnoho Kolik základních přípustných řešení má úloha LP? Buď žádné 2.7 Základní pojmy LP nebo maximálně m + n m Kolik ZŘ má ESR? = m + n! m! n! Maximálně m + n m + n! = m m! n! Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 32
33 x D 0 A C B (2) x 1 (1) (3) (4) Množina Základní přípustných přípustná Základní řešení ESR řešení řešení úlohy LP -90 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 33
34 2.7 Základní pojmy LP Výpočet základních přípustných řešení: Bod A: (3) + (x 2 0) A = 90, 0, x = 90, 0, 30, 90, 0, 20 T Bod B: (4) + (x 2 0) B = 110, 0, x = 110, 0, 10, 70, 20, 0 T Bod C: (1) + (4) C = 110, 5, x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T Bod D: (1) + (3) D = 100, 10, x = 100, 10, 0, 40, 0, 10 T Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] Šroubky: 1 x x [krabiček] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] 1 x x 2 + x 3 = 120 min 1 x x 2 + x 4 = 180 min 1 x 1 1 x 2 x 5 = 90 [krabiček] 1 x x 2 + x 6 = 110 [krabiček] x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 34
35 2.7 Základní pojmy LP Optimální řešení úlohy LP je takové přípustné řešení x = x 1, x 2,, x n+m T, které má nejvyšší (nejnižší) hodnotu účelové funkce. Optimální řešení (OŘ): Přípustné řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce Nejlepší přípustné řešení Z grafického zobrazení je zřejmé, že existuje-li, musí ležet na hranici množiny přípustných řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 35
36 2.7 Základní pojmy LP Počet optimálních řešení: Optimální řešení úlohy LP je přípustné řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce. Pokud úloha LP nemá žádné přípustné řešení Nemá žádné optimální řešení Pokud má úloha LP nekonečně mnoho přípustných řešení Pak je optimální to s nejlepší hodnotou účelové funkce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 36
37 2.7 Základní pojmy LP Musí OŘ existovat? Musí být jediné? Může jich být více? Dokážeme ho vždy najít? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 37
38 O počtu optimálních řešení rozhoduje: Množina přípustných řešení Počet přípustných řešení (žádné, nekonečně mnoho) Tvar množiny přípustných řešení (prázdná, omezená, neomezená) Účelová funkce 2.7 Základní pojmy LP Sklon účelové funkce Extrém účelové funkce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 38
39 a) MPŘ - prázdná Žádné OŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 39
40 b) MPŘ - omezený konvexní polyedr z... max. x 2 OPTIMUM Kolik OŘ? Jedno OŘ x 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 40
41 b) MPŘ - omezený konvexní polyedr z... max. x 2 OPTIMUM Nekonečně Kolik OŘ? mnoho OŘ OPTIMUM x 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 41
42 c) MPŘ - neomezená konvexní množina x 2 z... max. Kolik Jedno OŘ? OPTIMUM Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 42 x 1
43 c) MPŘ - neomezená konvexní množina x 2 z... max. OPTIMUM Nekonečně Kolik OŘ? mnoho OŘ OPTIMUM Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 43 x 1
44 x 2 c) MPŘ - neomezená konvexní množina z... max. Kolik Žádné OŘ? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 44 x 1
45 2.7 Základní pojmy LP Počet optimálních řešení: Žádné optimální řešení Prázdná množina přípustných řešení nebo Neomezená hodnota účelové funkce Má jediné optimální řešení MPŘ je omezená ve směru hledaného optima a Účelová funkce se MPŘ dotkne v jediném bodě Má nekonečně mnoho optimálních řešení MPŘ je omezená ve směru hledaného optima a Účelová funkce je rovnoběžná s hranou (stěnou) MPŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 45
46 2.7 Základní pojmy LP Má-li úloha LP optimální řešení: Buď je toto optimální řešení jediné MPŘ je omezená ve směru hledaného optima a Účelová funkce se MPŘ dotkne v jediném bodě OŘ je ve vrcholu konvexního polyedru je ZPŘ Nebo je optimálních řešení nekonečně mnoho MPŘ je omezená ve směru hledaného optima a Účelová funkce je rovnoběžná s hranou (stěnou) MPŘ Alespoň jedno OŘ je ve vrcholu konvexního polyedru ZPŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 46
47 2.7 Základní pojmy LP Má-li úloha LP optimální řešení, pak má také základní optimální řešení Základní věta lineárního programování (ZVLP) Věta nic neříká o případu, kdy úloha LP nemá optimální řešení! Pokud existuje OŘ, pak existuje také základní OŘ. Co je to základní OŘ? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 47
48 2.7 Základní pojmy LP Základní optimální řešení: Základní řešení Optimální řešení Přípustné řešení Řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce Základní optimální řešení = základní přípustné řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 48
49 2.7 Základní pojmy LP Důsledek základní věty lineárního programování: Má-li úloha LP optimální řešení, pak alespoň jedno z nich je základní přípustné řešení. Význam základní věty lineárního programování: Optimální řešení stačí hledat mezi základními přípustnými řešeními. ZPŘ je konečný počet Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 49
50 2.7 Základní pojmy LP Výpočet základních přípustných řešení: A = 90, 0, x = 90, 0, 30, 90, 0, 20 T B = 110, 0, x = 110, 0, 10, 70, 20, 0 T C = 110, 5, x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T D = 100, 10, x = 100, 10, 0, 40, 0, 10 T z A = 3600 z B = 4400 z C = 4700 z D = 4600 Lis: 1 x x [min] Balení: 1 x x [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] Šroubky: 1 x x [krabiček] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: z = 40 x x 2 max [Kč] Optimální řešení: x = 110, 5, 0, 50, 15, 0 T z = 4700 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 50
51 2.8 Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování reklamy) Směšovací problémy Nutriční problém (spec. případ směšovacího problému) Úlohy o dělení materiálu (řezné problémy) Rozvrhování pracovníků Distribuční úlohy (dopravní problém a další) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 51
52 2.8 Typické úlohy LP 1. Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Jsou dány výrobky, které lze vyrábět, a struktura výroby. Úkolem je určit druh a množství výrobků, které se budou vyrábět. Proměnné: vyráběné druhy výrobků (hodnoty určují množství vyráběného výrobku) Omezení: omezené kapacity surovin na straně vstupů, nutnost dodržet požadavky na straně výstupů Cíl: obvykle maximalizace zisku, tržeb nebo množství výrobků, popř. minimalizace nákladů apod. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 52
53 2.8 Typické úlohy LP 2. Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Jsou dány různé investiční varianty s příslušnými parametry. Úkolem je určit objem investic do jednotlivých investičních variant. Proměnné: investiční varianty (hodnoty určují objemy investic do daných variant) Omezení: limity pro jednotlivé typy investic, celková investovaná částka, zajištěný výnos či maximální výše rizika, apod. Cíl: obvykle maximalizace výnosu nebo minimalizace rizika Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 53
54 2.8 Typické úlohy LP 3. Úlohy plánování reklamy (media selection problem) Jsou dána různá reklamní média s příslušnými parametry. Úkolem je určit objem investic do jednotlivých médií, případně určit časové okno, do kterého má být reklama umístěna. Proměnné: umístění reklamy do daného média (hodnoty určují objemy investic nebo počty opakování) Omezení: celková investovaná částka, oslovení cílové skupiny, reklamní strategie, apod. Cíl: obvykle maximalizace reklamních ukazatelů (kolik oslovíme diváků, kolikrát je divák osloven, apod.) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 54
55 4. Směšovací úlohy 2.8 Typické úlohy LP Je dána nabídka složek (komponent) s příslušnými parametry uvádějícími většinou složení. Úkolem je vytvořit směs požadovaných vlastností. Proměnné: jednotlivé složky (hodnoty určují množství použitých složek) Omezení: vlastnosti celkové směsi (zejména složení často v %, celková váha, apod.) Cíl: obvykle minimalizace nákladů Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 55
56 2.8 Typické úlohy LP 5. Nutriční problémy (speciální případ směšovacích) Je dána nabídka složek (jídel) s příslušnými parametry uvádějícími většinou složení. Úkolem je vytvořit jídelníček požadovaných vlastností. Proměnné: jednotlivá jídla (hodnoty určují množství zahrnutého jídla) Omezení: vlastnosti jídelníčku (zejména množství bílkovin, vitamínů, apod.) Cíl: obvykle minimalizace ceny Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 56
57 2.8 Typické úlohy LP 6. Úlohy o dělení materiálu (řezné problémy) Úkolem je rozdělit větší celky (v úlohách LP jednorozměrné, např. prkna, trubky, role, pásy, apod.) na menší. Proměnné: jednotlivé způsoby dělení větších celků na menší (hodnoty určují počet opakování jednotlivých způsobů či počet větších celků, které budou děleny příslušnými způsoby) Omezení: většinou množství menších celků (i poměrově) Cíl: obvykle minimalizace odpadu nebo spotřebovaného materiálu Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 57
58 2.8 Typické úlohy LP 6. Úlohy o dělení materiálu - příklad Na vnitřní dřevěné obložení chaty je třeba: maximálně 120 ks prken délky 35 cm 180 až 330 ks prken délky 120 cm alespoň 30 ks prken délky 95 cm Koupit lze jen prkna délky 4 metry Celkový odpad nesmí být větší než 360 cm Náklady na koupi prken musí být minimální Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 58
59 Řezné schéma Způsob cm cm cm Odpad Pozn.: Řezné schéma je vhodné uspořádat tak, aby způsoby řezání i nařezané kusy byly seřazeny podle velikosti Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 59
60 7. Rozvrhování pracovníků 2.8 Typické úlohy LP Úkolem je rozdělit pracovníky do jednotlivých časových oken (směn) s ohledem na související požadavky. Proměnné: přiřazení konkrétních pracovníků na konkrétní směny (hodnoty určují, zda je pracovník na konkrétní směnu přiřazen 1, nebo není přiřazen - 0) Omezení: kvalifikace pracovníků, počet pracovníků, apod. Cíl: obvykle minimalizace nákladů, časových prodlev nebo celkového počtu pracovníků Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 60
61 8. Distribuční úlohy 2.8 Typické úlohy LP Úkolem celé velké skupiny distribučních úloh je zajistit distribuci čehokoliv (např. zboží) z jedné oblasti (např. dodavatelé) do druhé oblasti (např. odběratelé). Proměnné: přiřazení jednotky z první skupiny k jednotce z druhé skupiny (např. doprava od daného dodavatele k danému odběrateli), hodnoty určují, zda k přiřazení dojde či ne (0/1) nebo jak intenzivní přiřazení je (množství převáženého zboží) Omezení: kapacity a požadavky Cíl: obvykle minimalizace nákladů Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 61
62 Detaily k přednášce: skripta, kapitola 2 KONEC Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 62
4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
4EK212 Kvantitativní management. 3. Typické úlohy LP
4EK212 Kvantitativní management 3. Typické úlohy LP 3. Typické úlohy LP a ILP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování
4EK212 Kvantitativní management. 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP
4EK212 Kvantitativní management 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka
4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení
4EK201 Matematické modelování. 4. Typické úlohy lineárního programování
4EK201 Matematické modelování 4. Typické úlohy lineárního programování 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. GARANT KURZU Prof. Ing. Josef Jablonský, CSc. Místnost: NB 437 Konzultační hodiny: úterý 13:00 15:00 E-mail: jablon@vse.cz
4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr
4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
Lineární programování
24.9.205 Lineární programování Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 203/204 Obsah Úloha lineárního programování. Formulace úlohy lineárního programování. Typické úlohy lineárního programování.
4EK311 Operační výzkum. 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP
4EK311 Operační výzkum 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP 3.1 Příklad matematický model Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček]
Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis
4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení
4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování
4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1
4EK311 Operační výzkum 4. Distribuční úlohy LP část 1 4. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování
e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
1.1 Typy úloh LP. Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1. Formulace ekonomického modelu.
Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1 Úlohy Lineárního programování Lineární programování je jednou z částí operačního výzkumu a zpravidla se používá pro řešení optimalizačních úloh ekonomických
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
4EK213 Lineární modely. 5. Dualita v úlohách LP
4EK213 Lineární modely 5. Dualita v úlohách LP 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování
4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a
Matematický model. omezující podmínky. Tab. 2.1 Prvky ekonomického a matematického modelu
16 Čeho chceme dosáhnout? Co můžeme ovlivnit? Jaké jsou překážky? Ekonomický model cíl analýzy procesy činitelé Matematický model účelová funkce proměnné omezující podmínky Příklady maximalizace zisku
Příklady modelů lineárního programování
Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených
Lineární programování
Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.
4EK311 Operační výzkum. 1. Úvod do operačního výzkumu
4EK311 Operační výzkum 1. Úvod do operačního výzkumu Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka Garant kurzu:
4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování
4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy
Ekonomická formulace. Matematický model
Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest
15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace
@173 15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace Jak jsme se dozvěděli v 3. lekci tohoto kurzu, je obrazem rovnice ax + by + c = 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) přímka a obrazem nerovnic ax + by + c 0, a,b,c
Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování
Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a
Parametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
2.2 Grafické ešení úloh LP
2. Lineární programování 21 zabránili záporným hodnotám produkce, nezabývali jsme se pípady, kdy jako výsledný objem produkce získáme desetinné číslo. Nápravu lze snadno sjednat zahrnutím tzv. podmínek
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1 OÚLP = obecná úloha lineárního
12. Lineární programování
. Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)
Konvexní množiny Formulace úloh lineárního programování. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Euklidovský prostor E n Pod pojmem n-rozměrný euklidovský prostor budeme rozumnět prostor, jehož prvky jsou uspořádané n-tice reálných čísel X = (x 1, x 2,...,
Lineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
4EK201 Matematické modelování. 10. Teorie rozhodování
4EK201 Matematické modelování 10. Teorie rozhodování 10. Rozhodování Rozhodování = proces výběru nějaké možnosti (varianty) podle stanoveného kritéria za účelem dosažení stanovených cílů Rozhodovatel =
Matematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.
@021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské
Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,
1. Úloha o optimálnom výrobnom pláne (optimálne využitie výrobných faktorov)
2. cvičenie formulácia a výsledky - LINGO 1. Úloha o optimálnom výrobnom pláne (optimálne využitie výrobných faktorov) a) maximalizácia zisku NECELOČÍSELNE!zadani ucelove fce; [UCELOVA_FCE] max = 120*x1+50*x2+150*x3+100*x4;!zadani
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi):
Klíčová slova: simplexová metoda 1 Simplexová metoda Postup výpočtu: 1. Nalezení výchozího řešení. 2. Test optima: pokud je řešení optimální výpočet končí, jinak krok 3. 3. Iterační krok, poté opět test
6 Simplexová metoda: Principy
6 Simplexová metoda: Principy V této přednášce si osvětlíme základy tzv. simplexové metody pro řešení úloh lineární optimalizace. Tyto základy zahrnují přípravu kanonického tvaru úlohy, definici a vysvětlení
JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH EKONOMICKÁ FAKULTA OPERAČNÍ ANALÝZA
JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH EKONOMICKÁ FAKULTA OPERAČNÍ ANALÝZA Ing. Jana Friebelová, Ph.D. České Budějovice 2009 Operační analýza Jana Friebelová Recenzent: doc. Ing. Mgr. Martin Dlouhý,
Vícekriteriální programování příklad
Vícekriteriální programování příklad Pražírny kávy vyrábějí dva druhy kávy (Super a Standard) ze dvou druhů kávových bobů KB1 a KB2, které mají smluvně zajištěny v množství 4 t a 6 t. Složení kávy (v procentech)
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Funkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Lineární funkce, rovnice a nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je
Operační výzkum. Přiřazovací problém.
Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY
UNIVERZITA OBRANY KATEDRA EKONOMETRIE UČEBNÍ TEXT PRO DISTANČNÍ STUDIUM EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY RNDr. Michal ŠMEREK doc. RNDr. Jiří MOUČKA, Ph.D. B r n o 2 0 0 8 Anotace: Skriptum Ekonomicko-matematické
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
RNDr. Sousedíková Radmila, Ph.D.
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Eaktní metody rozhodování - operační výzkum RNDr. Sousedíková Radmila,
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Grafické řešení úloh LP se dvěma neznámými
. přenáška Grafické řešení úloh LP se věma nenámými Moel úlohy lineárního programování, který obsahuje poue vě nenámé, le řešit graficky v rovině pravoúhlých souřaných os. V této rovině se nejprve obraí
Využití simplexového algoritmu v projektování výroby
JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH Ekonomická fakulta Katedra řízení Studijní program: B6208 Ekonomika a management Studijní obor: Řízení a ekonomika podniku Využití simplexového algoritmu v projektování
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Přednáška č.7 Ing. Sylvie Riederová
Přednáška č.7 Ing. Sylvie Riederová 1. Aplikace klasifikace nákladů na změnu objemu výroby 2. Modelování nákladů Podstata modelování nákladů Nákladové funkce Stanovení parametrů nákladových funkcí Klasifikační
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU
![OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU](/thumbs/55/37186771.jpg "OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU")
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU Distanční opora RNDr. Miroslav Liška, CSc. OSTRAVA 2002 1 Simplexová metoda je iterační výpočetní postup pro nalezení optimálního
Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.
Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Přiřazovací problém. Přednáška č. 7
Přiřazovací problém Přednáška č. 7 Přiřazovací problém je jednou podtřídou logistických úloh. Typickým problémem může být nejkratší převoz materiálu od dodavatelů ke spotřebitelům. spotřebitelé a i dodavatelé
Funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
Optimalizace úvěrových nabídek. EmbedIT 7.11.2013 Tomáš Hanžl
Optimalizace úvěrových nabídek EmbedIT 7.11.2013 Tomáš Hanžl Obsah Spotřebitelský úvěr Popis produktu Produktová definice v HC Kalkulace úvěru Úloha nalezení optimálního produktu Shrnutí Spotřebitelský
Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
Grafické řešení rovnic a jejich soustav
.. Grafické řešení rovnic a jejich soustav Předpoklady: 003 Pedagogická poznámka: V této hodině kreslíme na čtverečkovaný papír tak, aby jeden čtvereček představovala vzdálenost. Př. : Vyřeš graficky soustavu
CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.
7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň
2. Řešení algebraické
@016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax
3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
Funkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 1. V obdélníku ABCD o stranách AB = 9, BC = 8 leží vzájemně se dotýkající kružnice k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) tak,
2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
Lineární programování(optimalizace) a soustavy lineárních nerovností
Lineární programování(optimalizace) a soustavy lineárních nerovností 2017 tuma@karlin.mff.cuni.cz 0-1 Příklad úlohy lineárního programování najdětemaximálníhodnotufunkce x 1 +x 2 přesvšechnyvektoryx =
= - rovnost dvou výrazů, za x můžeme dosazovat různá čísla, tím měníme
- FUNKCE A ROVNICE Následující základní znalosti je nezbytně nutné umět od okamžiku probrání až do konce kapitoly (většinou do napsání čtvrtletní písemné práce, na výjimky z tohoto pravidla bude upozorněno).
9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Obecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.
Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu
KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
![x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.](/thumbs/83/87395437.jpg "x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.")
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
KVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí,
KVADRATICKÉ FUNKCE Definice Kvadratická funkce je každá funkce na množině R (tj. o definičním ooru R), daná ve tvaru y = ax + x + c, kde a je reálné číslo různé od nuly,, c, jsou liovolná reálná čísla.