FYZIKÁLNÍ SEKCE P írodov decká fakulta Masarykovy univerzity v Brn KORESPONDEN NÍ SEMINÁ Z FYZIKY 8. ro ník μ 2001/2002 Vzorová e ení druhé série úloh

Transkript

1 FYZIKÁLNÍ SEKCE P írodov decká fakulta Masarykovy univerzity v Brn KOESPONDEN NÍ SEMINÁ Z FYZIKY 8. ro ník μ 001/00 Vzorová e ení druhé série úloh (5 bod ) Vzorové e ení úlohy. 1 (4 body) Kniha na válci Na ka dou olovinu otev ené knihy sobí v t i ti tíhová síla ~ F G, v bod kontaktu s válcem tlaková síla ~ N kolmá k ovrchu válce a ve h bet druhá olovina knihy silou ~ F (viz obrázek 1). Podmínka momentové rovnováhy ro ka dou z ástí knihy, formulovaná vzhledem k vodorovné ose jdoucí h betem, má tvar l F G sin ff = N tan ff : (1) Sou asn latí, e r m t síly ~ N do svislého sm ru je stejn velk, ale oa n orientovan ne tíhová síla, tj. Ze vztah (1) a()vychází 1 N sin ff = F G: () l sin 3 ff = cos ff : (3) Dosadíme-li cos ff =+ q1 sin ff a umocníme, dostaneme l x 3 =4 (1 x) ; kde x =sin ff : (4) 1 Pokud uva ujeme knihu jako celek, jsou síly sobící ve h betu knihy vnit ními silami soustavy. V odmínce silové a momentové rovnováhy ak figurují ouze tíhové síly a tlakové síly sobící na jednotlivé oloviny knihy. Uv domme si, e umocn ní je zde ekvivalentní úravou, nebo ff 0; ß a ob dv strany rovnice jsou roto nezáorné. 1

2 Tato rovnice ro x = sin ff má ráv jeden reáln ko en v intervalu (0; 1), jak je vid t z obrázku, v n m jsou schematicky znázorn ny r b hy funkcí f (x) =l x 3 a g (x) =4 (1 x) : e ení rovnice (4) ro konkrétní hodnoty l a ur íme na. numericky nebo u itím Cardanov ch vzorc 3. ~N } ff ~F - g(x) f(x) ; g(x) 6 f(x) ff? x ~F G Obrázek 1 Obrázek Vzorové e ení úlohy. (10 bod ) Kondenzátor s kaaln m dielektrikem P i e ení této úlohy vyjdeme z oznatku, e ve stálé rovnová né oloze má soustava minimální energii. Energie E soustavy je zde sou tem energie elektrického ole nabitého kondenzátoru E E, otenciální energie tíhové E P1 dielektrika vlevé ásti sojené nádoby, otenciální energie tíhové E P dielektrika vravé ásti sojené nádoby a otenciální energie tíhové E P3 dielektrika vevodorovné sojovací ásti. Poslední veli ina je v ak i jakékoli oloze hladin v dy stejná, a roto ji i v o tu minimální hodnoty energie soustavy nemusíme uva ovat. Vyjád eme tedy jednotlivé veli iny ve vztahu E = E E + E P1 + E P : (1) Kondenzátor m eme ova ovat za dva sériov zaojené kondenzátory s kaacitami C 1 a C. Mezi deskami dolního kondenzátoru je dielektrikum, mezi deskami horního kondenzátoru je vzduch, jeho relativní ermitivita je ibli n rovna ermitivit vakua ffl 0. Proto e se na hladin dielektrika indukuje náboj ±Q, latí ro elektrostatickou energii celého kondenzátoru vztah kde E E = Q C 1 + Q C ; () C 1 = ffl 0S 1 c x ; C = ffls 1 x : (3) 3 Naleznete je v ehledech matematiky, na. ektorys, K. a kol.: P ehled u ité matematiky nebo Bartsch, H. J.: Matematické vzorce.

3 V znam ou it ch symbol je z ejm z obrázku 3. Dosazením (3) do () dostáváme o úravách E E = Q ffl 0 ffls 1 [fflc x (ffl ffl 0 )] : (4) K ur ení otenciální energie tíhové dielektrika zvolíme hladinu nulové otenciální energie tíhové vodorovnou rovinu rocházející dnem sojené nádoby. Potom latí E P1 = m 1 g x + b (x + b) = ρgs 1 ; (5) y E P = m g y = ρgs ; (6) kde m 1, res. m je hmotnost dielektrika v levé, res. ravé ásti sojené nádoby, g je tíhové zrychlení a ρ je hustota dielektrika (v znam ostatních veli in je o t z ejm z obrázku 3). V ku y hladiny dielektrika v ravé ásti sojené nádoby ur íme ze vztahu ro celkov objem dielektrika: (S 1 + S ) a = S 1 (x + b)+s y =) y = (S 1 + S ) a S 1 (x + b) S : (7) U itím (4) (7) a(1) dostáváme kde = ρgs 1 E = E (x) =x + qx + r; (8) + ρgs 1 S ; (9) q = ρgs 1 b + ρgs 1 b ρgs 1 (S 1 + S ) a Q (ffl ffl 0 ) ; (10) S S ffl 0 ffls 1 r = ρgs 1 b + ρgs 1 b + ρg (S 1 + S ) a ρgs 1 (S 1 + S ) ab + Q ffl 0 c: (11) S S S ffl 0 ffls 1 Proto e > 0, je grafem funkce E (x) arabola otev ená sm rem vzh ru a funkce E (x) nab vá svého minima v bod vrcholu araboly. Hledanou sou adnici x vrcholu ur íme evedením vztahu (8) na úln tverec, tj. ψ! E = x + qx + r = x + q + r q 4 : (1) Funkce E (x) tedy nab vá minima v bod co o dosazení (9)a(10)dává v sledek x = q ; (13) x = Q S ρgffl 0 ffls 1 (S 1 + S ) (ffl ffl 0)+(a b) : (14) Proto e je odle nákresu v zadání a>b, je x>0. Sou asn ov em ro obecn v sledek (14) musíme ijmout omezení x» c (ro x>cby se ást dielektrika nacházela nad horní deskou kondenzátoru, tedy mimo elektrické ole, a roto by vlivem gravita ního sobení klesala). Pokud by odle zadání bylo b a, dielektrikum by mezi 3

4 desky kondenzátoru v bec nevystouilo, roto e by se v o áte ním stavu nacházelo mimo elektrické ole v rovnová né oloze stálé. V imn me si, e v sledek (14) nezávisí na olarit ole mezi deskami kondenzátoru. Poznámka: Parametr oisující zm nu olohy hladiny dielektrika (zde x) lze samoz ejm volit i jinak, na. ode ítat od vodní rovnová né olohy hladin. Po etní ostu je ak zcela analogick. S 1 S c b x y Obrázek 3 Vzorové e ení úlohy. 3 (6 bod ) Dva ísty ve válci Na o átku okusu je odle zadání tlak mezi ob ma ísty roven atmosferickému tlaku 0, a roto je ru ina nenajatá. Uva ujme nyní bez ohledu na konkrétní r b h okusu stav, v n m je rav íst na konci válce a soustava je v klidu. Ozna me x rodlou ení ru iny (tj. osunutí levého ístu) a tlak lynu uzav eného mezi ísty (viz obrázek 4). Podmínka silové rovnováhy ro lev íst má tvar F = kx = 0 S S; (1) kde ~ F je síla, jí na íst sobí ru ina. Pro rav íst odobn latí F = 0 S S: () Pova ujeme-li lyn za ideální a edokládáme-li, e jeho telota je na za átku i na konci okusu stejná, vychází ze stavové rovnice 0 H = (H x) : (3) ovnice (1) (3) tvo í soustavu o t ech neznám ch F, x a. Jejím e ením dostaneme F F (Hk + 0 S)+Hk 0 S =0 (4) aodtud F = Hk + 0S ± q (Hk) +( 0 S) : (5) 4

5 x H x ff - ~F 0 ~F H Obrázek 4 Vzorové e ení úlohy. 4 (5 bod ) Vodovodní trubka Uva ujme vodorovnou ást trubky znázorn nou na obrázku 5. Na tuto ást sobí v t i ti síla ~F 1 =(m + M) ~g; (1) kde M je hmotnost uva ované ásti trubky, m je hmotnost v ní obsa ené vody a ~g je vektor tíhového zrychlení. Dále na ni v ohybech sobí tlakové síly ~ F a ~ F vody, její roud ní v t chto oblastech m ní sm r ( edokládáme, e roud ní je ustálené). Kone n na trubku sobí okolní ásti otrubí silami, jejich v slednici ozna íme ~F 0 a jejich moment ~ M 0. Má-li b t ro vodorovnou ást trubky sln na odmínka silové rovnováhy, musí latit ~ F 0 = ~ F 1. P sobi t síly ~ F 0 ani v sledn moment ~ M 0 v ak neznáme (tyto veli iny závisí mj. na ru nosti materiálu trubky). Zde budeme ro jednoduchost edokládat, e ~ M 0 = ~ 0 a trubka má natolik mal r ez, e vektorovou ímku síly ~ F 0 m eme olo it do levé st ny trubky (viz obrázek 5). Momentová rovnováha vzhledem k vodorovné ose rocházející lev m dolním rohem trubky má otom tvar F 1 l = F l cos 45 o ; () tj. (m + M) g = F : (3) K ur ení F ~ ou ijeme Newtonov ch zákon. Podle zákona akce a reakce sobí voda na trubku stejn velkou, ale oa n orientovanou silou ne trubka na vodu. Podle druhého Newtonova zákona latí F = j ~j t ro t! 0; (4) kde ~ je zm na hybnosti vody, která rojde ohybem trubky za velmi krátkou dobu t! 0. P edokládejme, e trubka má nem nn r ez S avoda je ideální kaalinou. Za dobu t rojde ka d m z ohyb voda o hmotnosti m = ρsv t; (5) kde ρ je hustota vody a v konstantní velikost rychlosti jejího roud ní. Sou asn je ~ = m ~v; (6) 5

6 kde ~v je zm na vektoru rychlosti roud ní o r chodu dan m ohybem. Uva ujme r chod rav m ohybem (ro lev ohyb ostuujeme analogicky). Podle obrázku 6 latí ~v = ~v ~v 1 ; j ~vj = v: (7) Z(4) (7)vychází F = ρsv : (8) Dosazením tohoto vztahu do odmínky momentové rovnováhy (3) dostaneme u itím m = ρsl; (9) kde l a S je délka a r ez trubky, ro rychlost roud ní vody otrubím v sledek v = vu ψ! u t g l + M : (10) ρs Aby byla trubka vodorovná, musí v ní voda roudit rychlostí ur enou vztahem (10). K jejímu v o tu ot ebujeme znát hmotnost trubky, délku a r ez trubky, hustotu vody a tíhové zrychlení. Poznámka: Nejv t ím roblémem zde bylo ur ení sm ru síly ~ F a dále fakt, e na velikost zm ny hybnosti má vliv zm na sm ru roud ní kaaliny. Toto bylo srávn rozmy leno ouze u jednoho e ení. Dále se tém nikdo nezab val echodem od reality k modelu, tedy diskusí o sobi ti síly ~ F 0. ~ F Ψ ~F 0 6? ~F 1 ~F?Ψ ~v 1 ~v ~v - l Obrázek 5 Obrázek 6 Vzorové e ení úlohy. 5 rémiové Nebesk v tah Uva ujme lano o takové délce, e je vzhledem k neinerciální vzta né soustav sojené se Zemí v klidu. Na lano jako celek sobí v sledná gravita ní síla ~ F g a v sledná síla setrva ná odst edivá F ~ Λ o, ro n latí ~F g + ~ F Λ o = ~ 0; tj: Fg = F Λ o : (1) 6

7 V imn me si velmi malého elementu lana o hmotnosti m umíst ného ve vzdálenosti r od st edu Zem. Ozna íme-li S r ez lana, ρ jeho hustotu a r délku íslu ného elementu, má gravita ní síla, která na element sobí, velikost F g =»M m r =»MSρ r r ; () kde» je gravita ní konstanta a M je hmotnost Zem. Podobn síla setrva ná odst edivá sobící na element má velikost F Λ o =! r m =! Sρr r; (3) kde! je úhlová rychlost zemské rotace. Velikost v sledné gravita ní síly, res. velikost v sledné síly setrva né odst edivé sobící na lano získáme se tením sil sobících na jednotlivé elementy o celé délce lana, tj. F g = X F g ; F Λ o = X F Λ o : (4) Vztahy () (4) latí tím esn ji, ím men í elementy lana uva ujeme. Limitním echodem m! 0, res. r! 0 echází sumace ve vztahu (4) v integraci. Ozna íme-li olom r Zem a L hledanou délku lana, latí F g = F Λ o +L Z Z = +L»MSρ 1 dr =»MSρ r 1 ; (5) + L! Sρrdr =! Sρ h ( + L) i : (6) Ze vztah (5), (6) a (1) získáme kvadratickou rovnici ro délku lana L +3L +»M =0; (7)! její nezáorné e ení je L = r (3) 4»M! 3 : (8) Dosazením hodnot = 6; 38 :10 6 m,» = 6; 7:10 11 N.m.kg, M = 6:10 4 kg a! =, kde T =4hod, vychází ß T L : = km: (9) Porovnejme tento údaj s olom rem l stacionární dráhy. Pro t leso ohybující se o stacionární dráze úhlovou rychlostí! je gravita ní zrychlení zrychlením dost ediv m, roto s! l =»M ) l = 3»M : = km: (10) l! Vidíme tedy, e lano musí skute n sahat daleko za stacionární dráhu. Odhadn me maximální na tí v lan. Na tí ff (x) v míst ve vzdálenosti x od st edu Zem vyvolává v slednice gravita ní síly a síly setrva né odst edivé sobící 7

8 na ást lana o délce L x (odle okynu v zadání zanedbáváme gravita ní sobení jednotliv ch ástí lana na sebe). Platí F gx = +x Z Z»MSρ r +x Fox Λ =! Sρrdr =! Sρ Na tí v lan je tedy v závislosti na x ur eno vztahem fi fi ff (x) = fi fi F fi fi gx Fox Λ fi fifififi fi 1 S fi =»Mρ 1! ρ + x 1 dr =»MSρ 1 ; (11) + x h ( + x) x i : (1) h ( + x) ifi fi fififi : (13) V o tem rvní a druhé derivace se esv d íme, e funkce ff (x) nab vá lokálního maxima v bod s x max = l = 3»M : = km: (14)! Dosazením této hodnoty ahustoty oceli ρ : = 8000 kg.m 3 do vztahu (13) vychází ro maximální na tí v lan ff max : = MPa; (15) co je tém dv st krát v t í hodnota ne mez evnosti oceli ff = 000 MPa. Poznamenejme je t, e ff (0) = ff (L) = 0, tj. lano nebude sobit ádnou silou na Zemi. Záv rem si aleso kvalitativn v imneme nebeského v tahu. ealizovat jej m eme dv mi sojen mi t lesy o hmotnostech m 1, m (viz obrázek 7), jejich vzdálenost je taková, aby velikost v sledné síly setrva né odst edivé sobící na soustavu esáhla velikost v sledné síly gravita ní. Pohyb t les v ak nezle jednodu e matematicky osat, roto e velikost v sledné síly se v r b hu ohybu m ní. Sou asn je nutno uva ovat také vliv síly setrva né Coriolisovy, která je kolmá na vektor úhlové rychlosti Zem a na vektor rychlosti obou t les. stacionární dráha Zem m 1 m s s lano Obrázek 7 8