Proč nepoužívat Numerical Recipes (algoritmy pro vlastní čísla a vlastní vektory) Martin Stachoň

Transkript

1 Proč nepoužívat Numerical Recipes (algoritmy pro vlastní čísla a vlastní vektory) Martin Stachoň

2 Numerical Recipes O William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery O O Kuchařka numerických metod O Lineární algebra, interpolace, integrace, náhodná čísla, FFT, statistika, diferenciální rovnice. O Pascal, Fortran 77, 90, C++

3 Numerical Recipes

4 Numerical Recipes O Neformální, čitelný text, bez vět a důkazů O Zaměřeno na praktické techniky, včetně implementace v daném jazyce O Nejprodávanější kniha v oblasti vědeckého programování, citací

5 Proč ne NR? O Copyright O Implementace algoritmů nejsou efektivní (neobsahují ruční optimalizace) O Ne všechny algoritmy jsou aktuální, občas chyby

6 Copyright O If you are the individual owner of a copy of this book, we hereby authorize you to type into your computer, for your own personal and noncommercial use,

7 Copyright O Many people, including the Numerical Recipes authors, believe that there ought to be good sources of non-copyrighted numerical software available. Indeed, there are such sources. However, Numerical Recipes is not one of them! When people want to create freely redistributable programs, we urge them to use these other, freeware, program libraries.

8 Licence NR O Licenci NR porušíte pokud : O Nevlastníte knihu O Algoritmus zkopírujete na svůj druhý počítač O Necháte někoho, kdo nevlastní knihu, přepsat za vás algoritmy z knihy do PC O Používáte dva monitory (single screen license) O Cena licence pro VŠB : cca Kč/rok O Máte dobré právníky?

9 Efektivita implementace O Whaley, R. Clint; Petitet, Antoine; and Dongarra, Jack J.; "Automated empirical optimization of software and the ATLAS project," Parallel Computing 27, 3-35 (2001). O Rozdělením maticových operací do bloků (vs. tříkrát vnořené cykly) lze lépe využít paměť cache a urychlit maticové operace ~10x

10 Alternativy k NR O BLAS+LAPACK/ATLAS O GNU Scientific Library (C/C++) O Trilinos

11 Algoritmy pro vl. čísla, vl. vektory O Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů komplexní Hermitovské matice (a ij = a ji* ) O Subrutina DEVCHF v MULTIDYN zabírá většinu procesorového času O O O O O O 36.1% % devchf$math_ 26.7% % _CABS 11.1% % calculate_hh$hamilton_ 7.3% % _COSS_VW 5.9% % get_topical_vec$eldyn_ 4.4% % deriv_h$nucdyn_

12 O You have probably gathered by now that the solution of eigensystems is a fairly complicated business. It is. It is one of the few subjects covered in this book for which we do not recommend that you avoid canned routines.

13 Algoritmy O Jacobi O Tridiagonalizace+QR O Dividide and Conquer O Relative Robust Representation

14 Jacobiho algoritmus O Carl Gustav Jacob Jacobi, 1846 O Použito v MULTIDIS O Transformace matice na podobnou diagonální matici QDQ T O Q ortogonální matice rovinné rotace, která vynuluje jeden prvek matice O Jednou vynulovaný prvek se může znova stát nenulový O Přesnost, nejpomalejší

15 Tridiagonalizace O Ortogonální transformace na podobnou tridiagonální matici O Konečný počet kroků O Transformace O Givensovy (stejné jako u Jacobiho metody) O Householderovy matice zrcadlení, poloviční počet operací

16 QR algoritmus O Nalezení vl. čísel a vl. vektorů pomocí QR rozkladu O A = RQ, U = I O A k+1 = R k Q k, U k+1 = U k Q k O A k konverguje k horní trojúhelníkové matici s vl. čísly na diagonále, U k vlastní vektory

17 Divide and conquer O Nová metoda, 90. léta O Rychlejší než QR O Rekurzivní rozdělení matice na diagonální bloky + doplněk O Diagonalizace bloků (např. pomocí QR) O Řešení původní úlohy sekulární rovnice (Newtonova metoda) O Problémy s konvergencí v MULTIDIS

18 Relatively Robust Representation O Nejnovější metoda, O(n 2 ) O Nejrychlejší O Vl. čísla pomocí DQDS O Vl. Vektory pomocí LDL T reprezentací O "A new O(n^2) algorithm for the symmetric tridiagonal eigenvalue/eigenvector problem", by Inderjit Dhillon, Computer Science Division Technical Report No. UCB/CSD , UC Berkeley, May 1997.

19 Měření - diagonalizace Obrázek 1: Porovnání výpočet ních časů jednot livých met od. Výpočet vlast ních čísel i vektorů. Na horizontální ose je zanesena logaritmicky počet at omů n, na vert ikální logarit micky čas výpočt u.

20 Diagonalizace matice 6000 x 6000 Metoda Čas (s) Urychlení Jacobi NR (17h) QR LAPACK x Divide and Conquer LAPACK x MRRR LAPACK 898 (15min) 68x

21 Obrázek 1: Porovnání výpočet ních časů jednot livých met od. Výpočet vlast ních čísel i vektorů. Na horizontální ose je zanesena logaritmicky počet at omů n, na vert ikální logarit micky čas výpočt u. Obrázek 2: Porovnání výpočet ních časů jednot livých met od. Výpočet pouze vlast ních čísel. Na horizont ální ose je zanesena logarit micky počet at omů n, na vert ikální logarit micky čas výpočt u. Měření vl. čísla

22 Time Měření - MULTIDIS time LAPACK time Numerical Recipes NN

23 Výhled do budoucna O Vyzkoušet další metody O Využít speciálních vlastností Hamiltoniánu

24 Reference O oficiální stránka O ipes O e/boycottnr.html Boycott Numerical Recipes O html Why not use Numerical Recipes