M5960 Vybrané partie z aplikované matematiky seminář QR- -ROZKLAD
|
|
- Blažena Marie Kubíčková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 M596 Vybrané partie z aplikované matematiky seminář QR- -ROZKLAD Petr Zemánek, Brno 6 petrzemanek@mailmunicz
2 Obsah Trocha historie Motivace QR-rozklad 4 4 Konstrukce QR-rozkladu 5 4 QR-rozklad pomocí Gram-Schmidtova algoritmu 5 4 Householderova matice zrcadlení 7 4 QR-rozklad pomocí Householderovy matice 44 Givensova matice rovinné rotace 5 45 QR-rozklad pomocí Givensovy matice 9 46 Srovnání algoritmů 5 Aplikace QR-rozkladu 5 Řešení systémů rovnic pomocí QR-rozkladu 5 QR-rozklad a Moore-Penroseova zobecněná inverse 5 QR-rozklad a vlastní čísla matice A QR-algoritmus 4 Seznam použité literatury 6
3 Trocha historie RUTISHAUSER, H: Solution of Eigenvalue Problems with the LR-transformation Nat Bur Standards Appl Math Ser, No 49, str 47-8, 958 FRANCIS, JGF: The QR Transformation: a Unitary Analogue to the LR Transformation I The Computer Journal, 4, str 65-7, 96/96 KUBLANOVSKAYA, VN: On Some Algorithms for the Solution of the Complete Eigenvalue Problem USSR Comput Math and Math Phys,, str , 96 FRANCIS, JGF: The QR Transformation: a Unitary Analogue to the LR Transformation II The Computer Journal, 4, str -45, 96/96 PARLETT, B: The Development and Use of Methods of LR Type SIAM Review, Vol 6(), str 75-95, 964 PARLETT, B: Convergence of the QR Algorithm Numerische Mathematik, 7, str 87-9, 965 TOP DONGARRA, J and SULLIVAN, F: The top ten algorithms Computing in Science and Engineering, : Algoritmus Metropolis pro Monte Carlo Simplexová metoda pro lineární programování Iterace Krylovových podprostorů Dekompenzační přístup k maticovým výpočtům Choleského metoda, QR-rozklad, LU- -rozklad s pivotem, spektrální rozklad, Schurův rozklad, singulární rozklad Optimalizační kompilátor Fortranu QR-algoritmus pro výpočet vlastních hodnot Quick sort FFT rychlá Fourierova transformace Integer relation detection FMM rychlá multipólová metoda
4 Motivace Řešení rovnic pomocí Gaussovy eliminace se dá zapsat jako rozklad na součin dvou matic LU, kde L je dolní trojúhleníková matice a U je ve schodovitém tvaru, tzn nulové řádky jsou až) na konci a každý nenulový řádek začíná větším počtem nul než ten předchozí, např ( 4 spec pro regulární matice je U horní trojúhelníková, přičemž L lze chápat jako součin (řádkových) elementárních matic I (i, j) což popisuje právě kroky v Gaussově eliminaci Podmíněnost soustavy (matice): c(a) = A A Řekneme, že matice A je dobře podmíněná, pokud c(a), a že je špatně podmíněná, pokud c(a) Ovšem při Gaussově eliminaci platí pro podmíněnost c(a) c(l)c(u), takže se celková podmíněnost ještě zhorší (výjimku tvoří pozitivně definitní matice, kde A = L a c (A) = c (L)) Tomuto se můžeme vyhnout, pokud matici A rozložíme na součin ortogonální a horní trojúhelníkové matice, tedy na tzv QR-rozklad Potom při řešení soustavy rovnic Ax = QRx = b Rx = Q T b x = R Q T b Nebot ortogonální transformace zachovává velikost euklidovské normy, bude Q = a c (Q) =, takže A = R a c (A) = c (R) Tedy nezhoršuje se podmíněnost dvou přechodných soustav Rx = y a Qy = b ani nedochází k růstu prvků
5 QR-rozklad Definice Dvojici matic Q a R nazveme QR-rozkladem matice A, pokud platí, že A = QR, přičemž Q je ortogonální matice a R je horní trojúhelníková matice Věta O existenci QR-rozkladu K libovolné reálné matici A R m n, kde m n, existuje ortogonální matice Q R m m a horní trojúhelníková matice R R m n tak, že platí A = QR Věta O jednoznačnosti QR-rozkladu Jsou-li sloupce matice A R m n, m n, lineárně nezávislé, potom v QR-rozkladu jsou matice R a prvních n sloupců matice Q určeny až na znaménko jednoznačně Důkaz: QR-rozklad existuje vždy, a jak později uvidíme, lze jej získat různými algoritmy To ovšem nic nemění na tom, že pokud má matice A lineárně nezávislé sloupce, pak až na znaménka existuje právě jeden QR-rozklad Mějme dva takové QR-rozklady matice A, tj necht A = Q R = Q R Nebot platí dostaneme Dále také platí, že Q R = Q R, R R = Q Q = Q T Q (R R ) = (Q T Q ) = Q (Q T ) = Q T Q = (Q T Q ) T = (R R ) T, tedy matice R R je ortogonální a diagonální Taková je však pouze matice E Takže R R = E, což znamená, že R = R, tedy i Q = Q 4
6 4 Konstrukce QR-rozkladu 4 QR-rozklad pomocí Gram-Schmidtova algoritmu Věta Gram-Schmidtův QR-rozklad K libovolné reálné matici A R m n, kde m n, existuje ortogonální matice Q R m m a horní trojúhelníková matice R R m n s nezápornými prvky na diagonále tak, že platí A = QR V případě lineárně nezávislých sloupců matice A jsou prvky na diagonále kladné Základní myšlenka důkazu: Máme-li matici A R m n, pak aplikací zobecněného Gram- -Schmidtova ortogonalizačního procesu na sloupce matice A (ty mohou být lineárně závislé i nezávislé) a doplněním těchto vektorů na bázi v R m získáme sloupce matice Q Uvažujme matici A = (a a n ) složenou ze sloupcových vektorů Pak u = a, e = u u, u = a proj e a, e = u u, u = a proj e a proj e a, e = u u, k u k = a k proj ej a k, e k = u k u k, j= kde proj u v = <v, u> <v, v> u Po úpravě obdržíme vzorce pro vektory a i a = e u, a = proj e a + e u, a = proj e a + proj e a + e u, k a k = proj ej a k + e k u k j= Označme Q = (e e n ) Nyní máme < e, a > < e, a > < e, a > < e, a n > < e, a > < e, a > < e, a n > R = Q T A = < e, a > < e, a n >, < e n, a n > nebot QQ T = E a < e j, a j >= u j, < e j, a k >= pro j > k 5
7 5 4 Příklad Proved me QR-rozklad matice A = Gram-Schmidtovým procesem dostaneme U = (u u u ) = Matici Q potom získáme jako Q = ( u u u u ) u = u 6/7 69/75 58/75 /7 58/75 6/75 /7 6/5 /5 Pak A = QQ T A = QR, takže 4 4 R = Q T A = Algoritmus? Mějme matici A Položme pro k =,, n spočítejme: r = a, q = a r, r jk = < q j, a k > pro j =,, k, k z k = a k r jk q j, j= r kn = < z k, z n > q k = z k r kk Metodu lze také upravit tak, že zaměníme pořadí oprací Tedy položme Pak pro k =,, n spočtěme r kk = a (k ) k, A A q k = a(k ) k, r kk r ki = q T k a (k ) i pro i = k +,, n, A (k) = A (k ) q k r T k Z formálního hlediska jde o změnu pořadí operací, ovšem z numerického hlediska obdržíme kvalitativně různé výsledky 6
8 4 Householderova matice zrcadlení Definice Matice tvaru H(u) : = E uut u T u = E uut u se nazývá Householderova matice (někdy též elementární zrcadlení (odraz), Householderova transformace) Vlastnosti: označení matice zrcadlení se používá proto, že aplikujeme-li matici H(u) pro nějaké u na vektor x R n, pak je vektor H(u)x souměrný s vektorem x podle nadroviny ortogonální k vektoru v; u(u T x) u T x u x P u(u T x) u T u H x = (I uut )x = x u(ut x) u T u u T u Obrázek : Householderova transformace geometrický význam matice E bývá považována za speciální případ Householderovy transformace pro u = je H() = E; Hx = x pro každé x R n, tj zrcadlení tedy nemění délku vektoru; Hy = y pro každé y P = {v R n v T u = } H má jednoduchou vlastní hodnotu - a (n )-násobnou vlastní hodnotu ; Důkaz: Nebot y P = {v R n v T u = } má n lineárně nezávislých vektorů y,, y n a Hy i = y i pro i =,,, n Takže je (n )-násobná vlastní hodnota H také zrcadlí u na u, tj Hu = u Takže - je vlastní hodnota matice H, která musí být jednoduchá, nebot H má pouze n vlastních hodnot 7
9 z věty o spektrálním rozkladu plyne Matice H je ortogonální a symetrická; Důkaz: Symetrie plyne z Nebot platí H (u) = det(h) = ( ) = ; ( uu H T (u) = E T T ) T uu T = E u T u u = H(u) ) ) (E (E uut uut = E 4 uut u T u u T u u + uu T 4uuT = E, u 4 je matice H(u) ortogonální Historická poznámka Poslední tvrzení, které má velmi široký význam především v aplikacích, dokázal v článku Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix z roku 958 Alston S Householder (94-99), americký matematik, který se zabýval numerickou analýzou Věta 4 Pro každé dva vektory y, z R n takové, že y z a y = z, platí y = H(y z)z Jinými slovy, každé dva různé vektory o stejné normě lze převést jeden na druhý Householderovou transformací Důkaz: Platí H(y z)z = (E (y z)(y z)t y z = z + y + z y T z y z ) z = z yt z z y z (y z) = (y z) = z + y z (y z) = y y z Důsledek Jsou-li y, z dva vektory o stejné normě, potom existuje ortogonální matice Q taková, že y = Qz Důkaz: Pro y z stačí vzít Q = H(y z), jinak Q = E Věta 5 Pro každé x R n je { H(x + sgn(x ) x e ) pro x x, H = E pro x = x ortogonální matice s vlastností Hx = x e Neboli, aplikujeme-li vhodnou matici H na vektor x, dostaneme vektor, který má všechny složky až na první nulové 8
10 Důkaz: Je-li x = x, potom z x = x + + x n plyne, že x = = x n = Tedy x = x e = = x e = Ex = Hx Je-li x x, potom x + sgn(x ) x e, takže vektory y = sgn(x ) x e a z = x jsou různé a platí pro ně y = x = z, a odsud podle Věty 4 je y = sgn(x ) x e = H(y z)z = H( x sgn(x ) x e )x Poznámka Pro vektor určující Householderovu matici lze volit bud + x e nebo x e Z důvodu minimalizace numerických chyb volíme stejné znaménko jako u první složky vektoru x Věta 6 Pro každé x takové, že x =, je { H(x + sgn(x ) e ) pro x e, H = E pro x = e ortogonální matice, jejímž prvním sloupcem je vektor x Důkaz: Pro x = e je zřejmý Necht tedy x e Protože x = = e, je podle Věty 5 x = H(x + sgn(x ) e ) = He = H, což je tvrzením věty Díky těmto větám tedy umíme najít vektor u tak, že daný nenulový vektor x se transformuje na vektor, který má nenulovou pouze první složku Příklad Lze x = (,, 7) T H(u) (α,, ) T? Protože x = 6, položíme u = x x e = ( 6,, 7) T a u = 6(8+ 6 ) Dále uu T = 6 ( ,, 7) = , takže H(u) = Snadno lze ověřit, že ( ) H(u)x = ( 6,, ) T 9
11 4 QR-rozklad pomocí Householderovy matice Věta 7 Householderův QR-rozklad Každou matici A R m n lze pomocí s = min{n, m } Householderových matic rozložit na součin QR, a to tak, že platí ( R ) m > n, H s H H A = Q T A = (R, ) m < n, R m = n Mějme reálnou matici A a a n a a n A = a m a mn Krok : Zkonstruujme Householderovu matici H tak, aby H A měla v prvním sloupci pouze samé s výjimkou pozice (, ), tj aby H A = K tomu stačí získat vektor u n (dle předchozího) tak, že pro platí H H = E u nu T n u T nu n a a a m = Označme A () : = H A Ta je tvaru a A () = Krok : Zkonstruujme Householderovu matici H tak, že H A () má ve druhém sloupci pod pozicí (, ) při zachování požadavku prvního kroku, tj A () : = H A () =
12 Matici H získáme takto: Nejdříve zkonstruujeme Householderovu matici o rozměru (m ) (n ) takovou, že a definujme Tím získáme matici A () = H A () Analogicky pokračujeme dále Ĥ : = E n u n u T n u T n u n Ĥ a a a m =, H : = Ĥ Pro k s Krok k-tý: Obecně vytváříme Householderovu matici Ĥ k : = E n k+ u n k+u T n k+ u T n k+ u n k+ o rozměru (m k + ) (n k + ) takovou, že a kk Ĥ k = a mk Definujeme čili můžeme spočítat A (k) = H k A (k ) ( ) Ek H k : =, Ĥ k Tímto způsobem po s krocích obdržíme matici A (s), která bude v horním trojúhelníkovém tvaru a bude právě maticí R Protože A (k) = H k A (k ) k =,, s, máme Položme R = A (s) = H s A (s ) = H s H s A (s ) = = H s H s H H A Q T = H s H s H H
13 Máme naši hledanou ortogonální matici (nebot každá z H i je ortogonální) Celkem R = Q T A, tj A = QR (Uvědomme si, že Q = H T H T H T s = H H H s ) Příklad Uvažme matici Krok : Konstrukce H A = H = Potom tedy dle Příkladu spočteme u = + =, takže H = E u u T u T u = = Určeme A () = H A = + + Krok : Zkonstruujeme ( ) ( ), 7 Ĥ = =,, 7 ( ) ( ) ( ), 7, 48 u =, 47 =,, 7, 7 ( ), 69, 9856 Ĥ =,, 9856, 69 tzn H =, 69, 9856,, 9856, 69
14 a spočítáme, 44,, 884 A () = H A () = H H A =, 47, 6 = R, 5774 Pro Q nyní platí, 865, 5774 Q = H H =, 77, 48, 5774, 77, 48, 5774 Celkem tedy A = =, 865, 5774, 44,, 884 =, 77, 48, 5774, 47, 6 = QR, 77, 48, 5774, 5774 Příklad 4 Uvažme nyní obdélníkovou matici A =,, Platí s = min{, } Krok : Konstrukce H u =, + +, =, H = E u u T, =, u T u A () = H A =,, Krok : Zkonstruujeme Ĥ ( ), u = ( ) (, ), +, Ĥ = ( ), 77, 77,, 77, 77, ( ), 44 = 4,,
15 a H =, 77, 77,, 77, 77 A () = H A () =,,, Q = H H =,, 77, 77, 77, 77 R = ( ), Celkem tedy,, A =, =,, 77, 77, = QR,, 77, 77 Poznámka Pokud matice A nemá zaručenu plnou hodnost, je vhodné upravit výpočet tak, abychom případné nulové (resp malé ) diagonální prvky r kk dostali až na závěr výpočtu Můžeme modifikovat QR-rozklad výběrem největšího sloupce v normě tzv QR-rozklad s pivotem Znamená to, že QR-rozklad matice AP = QR, kde P = P P P s a P k je permutační matice výměny k-tého a j -tého sloupce v k-tém kroku metody (v případě, že řešíme soustavu rovnic, je třeba učinit příslušné permutace i složek vektoru řešení) V této modifikaci bude pro matici R platit j rkk r ij, j = k +,, n, i=k tedy také r > > r nn Nulové, resp téměř lineárně závislé sloupce se takto přesunou na konec matice a snadno se budou moci v případě potřeby oddělit Později uvidíme výhody této modifikace Stejné výsledky obdržíme i v modifikovaném Gram-Schmidtově postupu s výběrem pivota, pokud ještě před k-tým krokem najdeme index i tak, že a i = max a (k ) i a vyměníme i -tý a k-tý sloupec matice A (k ) 4
16 44 Givensova matice rovinné rotace Definice Matice tvaru c s G(i, j, c, s) : = = s c = E + (c )(e i e T i + e j e T j ) + s(e i e T i e j e T j ), kde c + s =, se nazývá Givensova matice Historická poznámka Matice nese jméno amerického matematika Wallace Givense (9-99), který se zabýval především numerickou analýzou Můžeme volit c = cos Θ a s = sin Θ pro nějaké Θ Pak značíme Givensovu matici jako G(i, j, Θ) Geometricky můžeme matici G(i, j, Θ) chápat jako rotaci (otočení) R n kolem počátku o úhel Θ v rovině (e i, e j ) To je také důvod, proč se matice nazývá i Givensova matice rotace nebo Givensova matice rovinné rotace v (e i, e j ) rovině e j Θ u = ( ) cos α sin α v = ( ) cos(α Θ) = sin(α Θ) ( cos Θ sin Θ sin Θ cos Θ ) u α e i Obrázek : Givensova transformace geometrický význam Givensova matice je ortogonální, nebot z c + s = plyne G T (i, j, Θ)G(i, j, Θ) = G(i, j, Θ)G T (i, j, Θ) = E Vzhledem k tvaru matice G platí, že pokud jí vynásobíme nějaký vektor x x x =, 5 x n
17 tak se změní pouze i-tá a j-tá komponenta vektoru x, ostatní se nezmění Pokud máme vektor x = ( x x ), pak lze snadno ověřit, že při volbě c = x, s = x + x x x + x () (pak totiž platí x sin Θ + x cos Θ = ) bude pro ( ) c s G(,, Θ) = s c platit G(,, Θ) ( x x ) = ( ), tedy vynulujeme druhou složku vektoru x Chceme-li vynulovat první složku vektoru x, položíme x x c =, s = x + x x + x Příklad 5 Necht x = 4 5 ( ) 4 Položme (dle vztahu ()) c = a s = 4 Transformací Givensovou maticí dostaneme 5 5 ( ) ( ) ( ) 4 G(,, Θ)x = 5 5 = 4 Při násobení vektoru x T zprava obdržíme Při volbě c = 4 5 a s = 5 dostaneme a Nulování na specifických pozicích 5 x T G T (,, Θ) = ( ) G(,, Θ)x = ( ) x T G T (,, Θ) = ( ) Givensova rotace je zvláště užitečná, pokud chceme vytvořit nulu na určité pozici ve vektoru Necht x x x x = i x k x n 6
18 a požadujme pouze nulu na pozici x k Můžeme sestrojit rotaci G(i, k, Θ) (i < k) tak, že G(i, k, Θ) x bude mít nulu na k-té pozici Konstrukce: Nejdříve sestavíme Givensovu matici G(i, k, Θ) = ( s c s c ), tak aby ( ) ( ) ( ) c s xi = s c x k Tvar matice G(i, k, Θ) získáme tak, že na pozice (i, i) a (k, k) vložíme c, na pozici (i, k) vložíme s a na pozici (k, i) vložíme s, zbytek doplníme na identickou matici Příklad 6 Bud x = Sestavme Givensovu matici tak, aby vytvořila nulu na třetí pozici, tj k = Zvolme i = Krok : ( ) ( ) ( ) c s =, s c kde c =, s = Krok : Pak G(,, Θ) = G(,, Θ)x = = Nulování všech prvků ve vektoru pod pozicí (, ) Mějme n-vektor x Jestliže požadujeme nulu na všech pozicích v x s výjimkou první, musíme sestrojit G(,, Θ), x () = G(,, Θ)x, x () = G(,, Θ)x (), x () = G(, 4, Θ)x (), x (n) = G(, n, Θ)x (n ) Pak pro matici P : = G(, n, Θ) G(,, Θ)G(,, Θ) 7
19 platí, že Px je násobek vektoru e Protože každá rotace je orotgonální, je ortogonální i matice P Příklad 7 Bud Nyní x = G(,, Θ) = x () = G(,, Θ)x =, G(,, Θ) = Dále Tedy a 6 G(,, Θ)x () = P = G(,, Θ)G(,, Θ) = 6 Px = Vytváření nul v maticích Myšlenku nulování určitého prvku ve vektoru lze triviálně převést na vytváření nul na specifických pozicích matice Pokud chceme vytvořit nulu na pozici (j, i), j > i, můžeme to udělat tak, že zkonstruujeme Givensovu matici G(i, j, Θ) působící pouze na i-tý a j-tý řádek tak, že G(i, j, Θ)A bude mít nulu na pozici (j, i) Příklad 8 V matici A =
20 vytvořme nulu na pozici (, ) s pomocí matice G(,, Θ) Krok : Najdeme c a s tak, aby platilo ( ) ( ) ( ) ( ) c s aii c s = = s c s c a ji ( ) Takže c =, s = Krok : Sestavení G(,, Θ) Je G(,, Θ) =, pak 5 5 G(,, Θ)A = QR-rozklad pomocí Givensovy matice Opět chceme setrojit matice Q, Q,, Q s tentokrát však pomocí Givensových matic tak, aby A () = Q A měla nuly pod prvkem (, ) v prvním sloupci, matice A () = Q A () měla nuly pod (, ) ve druhém sloupci, atd Každou z matic Q i lze sestrojit jako součin Givensových matic ten je možné sestrojit takto: Q : = G(, m, Θ)G(, m, Θ) G(,, Θ)G(,, Θ) Q : = G(, m, Θ)G(, m, Θ) G(,, Θ) Bud s = min{m, n} Pak R = A (s) = Q s A (s ) = = Q s Q s Q Q A = Q T A Nyní máme A = QR, kde Q T = Q s Q Q To lze zformulovat do následující věty Věta 8 Givensův QR-rozklad Bud A matice m n a necht s = min{m, n} Existuje s ortogonálních matic Q,, Q s definovaných jako že pro platí Q i : = G(i, m, Θ)G(i, m, Θ) G(i, i +, Θ), Q = Q T Q T Q T s A = QR, kde R je matice m n s nulami pod hlavní diagonálou 9
21 Znázorněme si schématicky Givensovu metodu redukce matice A R na horní trojúhelníkový tvar (symbol značí prvky, které se transformací nezměnily, a ± značí prvky, které se změnily): ± ± ± G(,, Θ) G(,, Θ) A = ± ± ± ± ± G(,, Θ) G(,, Θ) ± ± = R ± ± ± Příklad 9 Necht Krok : Najděme c a s tak, aby A = ( ) ( ) c s a = s c a ( ) Nebot a = a a =, musí být c = a s =, tedy G(,, Θ) = Pak dostneme à = G(,, Θ)A = = Nyní najděme c a s tak, aby ( c s s c ) (ã ã ) = Nebot ã = a ã =, bude c = a s =, tedy ( ) G(,, Θ) = Celkem A () = G(,, Θ)à = =
22 Krok : Určeme c a s tak, aby ( c s s c ) ( a () a () ) = ( ) Nebot a () = a a () =, bude c = a s =, tedy G(,, Θ)A () = Což je tentýž výsledek jako v Příkladě 46 Srovnání algoritmů = = R Při výpočtu QR-rozkladu pomocí Householderovy matice je počet provedených operací roven číslu n ( n ) K explicitnímu vyjádření matice Q je navíc potřeba (m n mn + n ) operací, tedy celkem m n mn + n Zatímco pro QR-rozklad pomocí Givensovy matice je tento počet dvojnásobný, tj n ( n ) Ovšem pokud v metodě s Givensovou maticí nahradíme matici rotace ( s c s c ) a matice odrazu ( s c c s ) maticemi ( ) ( a a a a ) a s ortogonálními sloupci, pak se nám podaří snížit počet operací na úroveň metody využívající Householderovy matice jedná se o tzv matice rychlé Givensovy transformace Householderova matice má však tu nevýhodu, že v matici, kterou ji násobíme, nám změní všechny prvky (zatímco Givensova matice jen i-tý a k-tý řádek), takže nám například může z řídké matice vytvořit matici plnou V modifikované metodě s Gram-Schmidtovým algoritmem je počet operací mn
23 5 Aplikace QR-rozkladu 5 Řešení systémů rovnic pomocí QR-rozkladu Při řešení soustavy Ax = b pomocí Gaussovy eliminace (tj pomocí LU-rozkladu) je nutné provést mn n operací Tedy méně než při QR-rozkladu Ovšem na rozdíl od LU-rozkladu 6 existuje QR-rozklad vždy, je jednoznačný, numericky stabilnější a nezvyšuje podmíněnost soustavy Mějme tedy soustavu Ax = b s regulární n n maticí A a její rozklad, tj necht A = QR Pak můžeme soustavu přepsat tedy QR = b, Rx = Q T b = b, kde R je horní trojúhelníková matice, a její řešení lze nalézt pomocí zpětné substituce Příklad Necht Z Příkladu víme, že a H = Vypočítejme b Dostáváme a tedy A =, b = 6, 44,, 884 R =, 47, 6,, 577, 77, 77 =, 77, 5, 5, 77, 5, 5 H =, 69, 9856, 9856, 69 y = b = 6, 6, 64 y = H y =, 858,, 945 6, 64 b = y = H y =, 8577, 5774
24 Vektor b lze spočítat bez explicitního vyjádření matice Q proto je výhodnější použití QR- -rozkladu pomocí Householderových matic Vyřešme Rx = b což dává řešení, 44,, 884 6, 64, 47, 6 =, 8577,, 577, 5774 x = 5 QR-rozklad a Moore-Penroseova zobecněná inverse Definice 4 Matici A R n m nazveme pseudoinversní maticí k matici A R m n, jestliže pro ni platí A AA = A, AA A = A, (A A) T = A A, (AA ) T = AA Přičemž lze dokázat, že matice A je určena jednoznačně Věta 9 Má-li matice A lineárně nezávislé sloupce, je matice A T A regulární a platí A = (A T A) A T Důkaz: I Předpokládejme, že A T A není regulární Pak existuje nenulový vektor y tak, že A T Ay = = Potom však = y T A T Ay =< Ay, Ay >, tedy Ay =, což je spor s tím, že sloupce matice A jsou lineárně nezávislé II Stačí ověřit, že matice (A T A) A T splňuje podmínky definice pseudoinversní matice Pro matici s lineárně nezávislými sloupci lze použít QR-rozklad i na výpočet pseudoinversní matice Věta Necht matice A má lineárně nezávislé sloupce a necht A = QR je její QR-rozklad Potom pro pseudoinversní matici A platí A = R Q T Důkaz: Necht A = QR Podle předchozí věty platí, že A = (A T A) A T, takže A = (R T Q T QR) R T Q T = R (R T ) R T Q T = R Q T
25 5 QR-rozklad a vlastní čísla matice A QR-algoritmus Základní QR-algoritmus: Mějme matici A Sestrojme její QR-rozklad, tj A = A = Q R, určeme A : = R Q Nyní sestrojme QR-rozklad matice A, tj A = Q R, a spočtěme Takto pokračujme analogicky dále Jistě platí A = R Q A k+ = R k Q k = Q T k A k Q k = Q T k R k Q k Q k = = Q T k Q T k A k Q k Q k = = (Q Q Q k ) T A(Q Q Q k ) Tedy matice A, A, jsou kongruentní (tj A B A = P T BP) Navíc díky ortogonálnosti matic Q, Q, jsou matice A, A, také podobné (tj A B (též A B) A = P BP) Tyto matice mají díky podobnosti stejná vlastní čísla jako matice A Posloupnost těchto matic konverguje za určitých předpokladů k horní trojúhelníkové (resp horní blokově trojúhelníkové) matici, která má vlastní čísla na diagonále (resp diagonální bloky mají vlastní čísla se stejnou absolutní hodnotou) seřazena podle velikosti počínaje největším vlastním čísel Poddiagonální prvky (resp poddiagonální bloky ) konvergují k nule Ovšem důkazy konvergence existují jen pro některé speciální typy matic Například má-li matice A kladná vlastní čísla, pak Q k konverguje k jednotkové matici a posloupnost matic A k k horní trojúhelníkové matici, přičemž diagonální prvky této matice jsou vlastní čísla matice A Příklad Určeme vlastní čísla matice A = 5 9 Lze snadno ověřit, že vlastní čísla matice A jsou λ =, λ = a λ = Výsledky získané QR-algoritmem: 5 k a (k) a (k) a (k), -, , ,7874 -,6,478949, ,9477, ,596 -,646,468, ,99957, ,4 -,98,
26 Ke zrychlení konvergence lze využít tzv posunutí a počítat nikoli rozklad matice A k = Q k R k, nýbrž matice A k σ k E = Q k Rk Původní spektrum matice A se tímto posune o σ k (je výhodné volit jej jako nějakou aproximaci vlastního čísla; matice A k σ k E má vlastní čísla λ j σ k, jsou-li λ j vlastní čísla matice A k ) Zaznamenáváme-li velikosti posunutí σ k, snadno ze znalosti spektra matice A k najdeme spektrum matice A Protože ještě (v metodě bez posunutí) je A k = (Q Q Q k ) T A(Q Q Q k ), A = (Q Q Q k ) T A k (Q Q Q k ) Vlastní vektory y matice A dostaneme z vlastních vektorů matice A k podle vzorce y = Q Q Q k z Týž vzorec (s maticemi Q j ) zůstává v platnosti i pro metodu s posunutími, protože při posunutí se vlastní vektory nemění Volí-li se posunutí speciálně, dostáváme v některých důležitých případech i kubickou konvergenci (tzn zhruba řečeno, počet platných míst se v každém kroku přibližně ztrojnásobí) Poznámka Nejvýhodnější se jeví upravit nejdříve matici A do tzv Hessenbergova tvaru (tj a ij = pro j < i, i, j =,, n) pomocí Gaussovy eliminace a pak na tuto upravenou matici použít QR-rozklad Konvergence je potom rychlejší (obzvláště použijeme- -li metodu posunu, kde za σ k volíme tzv Rayleighův podíl et k H e k, kde H je právě matice A e T k e k v Hessenbergově tvaru) Navíc platí, že je-li matice A v Hessenbergově tvaru, pak každá z matic H k je také v Hessenbergově tvaru, a to i při metodě posunutí 5
27 Seznam použité literatury [] Miroslav Fiedler: Numerické metody lineární algebry SNTL Praha, 978 Str -, 4-49 [] Biswa Nath Datta: Numerical linear algebra and applications Brooks and Cole Publishing Company, Pacific Grove, California, 995 Str -8, 5-7, 6, 7 [] Anthony Rahlston: Základy numerické matematiky Academia Praha, 978 Str , [4] Kubíček Milan, Dubcová Miroslava, Janovská Drahoslava: Numerické metody a algoritmy VŠCHT Praha, 5 Str
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceFP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
Vícea vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VícePřipomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Více4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
VíceOrtogonální transformace a QR rozklady
Ortogonální transformace a QR rozklady 1 Úvod Unitární (ortogonální) transformace, Gram-Schmidtova ortogonalizace Příklad Schurovy věty unitární transformace nezvětšují chyby ve vstupních datech. Tato
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceLineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceCvičení z Numerických metod I - 12.týden
Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceOrtogonální transformace a QR rozklady
Ortogonální transformace a QR rozklady Petr Tichý 9. října 2013 1 Úvod Unitární (ortogonální) transformace, Gram-Schmidtova ortogonalizace Příklad Schurovy věty unitární transformace nezvětšují chyby ve
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceSingulární rozklad. Petr Tichý. 31. října 2013
Singulární rozklad Petr Tichý 31. října 2013 1 Outline 1 Úvod a motivace 2 Zavedení singulárního rozkladu a jeho vlastnosti 3 Výpočet a náklady na výpočet singulárního rozkladu 4 Moor-Penroseova pseudoinverze
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceDnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceNumerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 9. přednáška: Ortogonalita Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
VíceDRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma
DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma Algoritmus (GEM: Gaussova eliminace s částečným pivotováním pro převod rozšířené regulární matice na horní trojúhelníkový tvar). Zadána matice C = (c i,j
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
Více2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012
2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci
Více5. Singulární rozklad
5. Singulární rozklad Petr Tichý 31. října 2012 1 Singulární rozklad matice Jeden z nejdůležitějších teoretických i praktických nástrojů maticových výpočtů. Umožňuje určit hodnost či normu matice, ortogonální
VíceLineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
Více[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VícePodobnostní transformace
Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy
VíceSymetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
VíceDeterminanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA. Rozklady matic
MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Rozklady matic Bakalářská práce Brno 8 Antonín Tulach PODĚKOVÁNÍ Chtěl bych poděkovat RNDr. Martinovi Tajovskému za vedení bakalářské práce, cenné rady a připomínky
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
spektra e Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 70 spektra e 1 2 3 spektra e Hessenbergovy 4 2 / 70 - aplikace (eigenvalues and eigenvectors)
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Více[1] LU rozklad A = L U
[1] LU rozklad A = L U někdy je třeba prohodit sloupce/řádky a) lurozklad, 8, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p. d. 4/2010 Terminologie BI-LIN, lurozklad,
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
VíceNumerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceKapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceNumerické řešení soustav lineárních rovnic
Numerické řešení soustav lineárních rovnic irko Navara Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky elektrotechnická fakulta ČVUT, Praha http://cmpfelkcvutcz/~navara 30 11 2016 Úloha: Hledáme řešení
Vícestránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
VíceUspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
VíceP 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
VíceOrtogonální projekce a ortogonální zobrazení
Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení
Více11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Více4. LU rozklad a jeho numerická analýza
4 LU rozklad a jeho numerická analýza Petr Tichý 24 října 2012 1 Úvod Nechť A je regulární matice Řešíme Ax = b LU rozklad (Gaussova eliminace) je jeden z nejdůležitějších nástrojů pro problém řešení soustav
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceNumerické řešení soustav lineárních rovnic
Numerické řešení soustav lineárních rovnic Mirko Navara http://cmpfelkcvutcz/~navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 04a http://mathfeldcvutcz/nemecek/nummethtml
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
VíceLineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.
VíceD 11 D D n1. D 12 D D n2. D 1n D 2n... D nn
Inversní matice 1 Definice Nechť je čtvercová matice řádu n Čtvercovou matici B řádu n nazveme inversní maticí k matici, jestliže platí B=E n =B, kdee n jeodpovídajícíjednotkovámatice 2 Tvrzení Inversní
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
VíceAVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceDefinice : Definice :
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceSoustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
VíceNumerické metody pro nalezení
Masarykova univerzita Brno Fakulta přírodovědecká Katedra aplikované matematiky Numerické metody pro nalezení vlastních čísel matic Diplomová práce květen 006 Alena Baštincová Poděkování V úvodu bych ráda
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
VíceVšechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
Více