Paralelní a distribuované výpočty (B4B36PDV)
|
|
|
- Dominik Prokop
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Paralelní a distribuované výpočty (B4B36PDV) Branislav Bošanský, Michal Jakob bosansky@fel.cvut.cz Artificial Intelligence Center Department of Computer Science Faculty of Electrical Engineering Czech Technical University in Prague
2 Dnešní přednáška Motivace
3 Dnešní přednáška Techniky paralelizace 3 Chci paralelizovat maticový algoritmus Jak na to?
4 Násobení matice vektorem a11 a12 a13 a14 a15 x1 y1 a21 x2 y2 x3 X = y3 x4 y4 a55 x5 y5 y 1 = i=1,,5 a 1i. x i
5 Násobení matice vektorem Jak paralelizovat? a11 a12 a13 a14 a15 x1 y1 a21 x2 y2 x3 X = y3 x4 y4 a55 x5 y5 y 1 = i=1,,5 a 1i. x i
6 Násobení matice vektorem Zřejmá paralelizace výpočet každé složky y je nezávislý a všechny mohou být spočteny paralelně P1 a11 a12 a13 a14 a15 x1 y1 P2 a21 x2 y2 x3 X = y3 x4 y4 a55 x5 y5 y 1 = i=1,,5 a 1i. x i
7 Násobení matice vektorem Zřejmá paralelizace výpočet každé složky y je nezávislý a všechny mohou být spočteny paralelně void multiply(std::vector<int>& A, std::vector<int>& x, std::vector<int>& y) { #pragma omp declare reduction(vec_int_plus : std::vector<int> : \ std::transform(omp_out.begin(), omp_out.end(), omp_in.begin(), omp_out.begin(), std::plus<int>())) \ initializer(omp_priv = omp_orig) #pragma omp parallel for num_threads(thread_count) reduction(vec_int_plus : y) for (int i=0; i<rows; i++) { for (int j=0; j<cols; j++) { y[i] += A[i * COLS + j]*x[j];
8 Násobení matice vektorem Zřejmá paralelizace výpočet každé složky y je nezávislý a všechny mohou být spočteny paralelně void multiply(std::vector<int>& A, std::vector<int>& x, std::vector<int>& y) { #pragma omp declare reduction(vec_int_plus : std::vector<int> : \ std::transform(omp_out.begin(), omp_out.end(), omp_in.begin(), omp_out.begin(), std::plus<int>())) \ initializer(omp_priv = omp_orig) #pragma omp parallel for num_threads(thread_count) reduction(vec_int_plus : y) for (int i=0; i<rows; i++) { for (int j=0; j<cols; j++) { y[i] += A[i * COLS + j]*x[j]; Co můžeme zlepšit?
9 Násobení matice vektorem Zřejmá paralelizace výpočet každé složky y je nezávislý a všechny mohou být spočteny paralelně void multiply(std::vector<int>& A, std::vector<int>& x, std::vector<int>& y) { #pragma omp declare reduction(vec_int_plus : std::vector<int> : \ std::transform(omp_out.begin(), omp_out.end(), omp_in.begin(), omp_out.begin(), std::plus<int>())) \ initializer(omp_priv = omp_orig) #pragma omp parallel for num_threads(thread_count) reduction(vec_int_plus : y) for (int i=0; i<rows; i++) { for (int j=0; j<cols; j++) { y[i] += A[i * COLS + j]*x[j]; Co můžeme zlepšit? Lze využít vektorizaci?
![Násobení matice vektorem void multiply(std::vector<int>& A, std::vector<int>& x,](/docs-images/95/125625462/images/10-0.jpg "std::vector<int>& y) { #pragma omp declare reduction(vec_int_plus : std::vector<int> : \")
10 Násobení matice vektorem void multiply(std::vector<int>& A, std::vector<int>& x, std::vector<int>& y) { #pragma omp declare reduction(vec_int_plus : std::vector<int> : \ std::transform(omp_out.begin(), omp_out.end(), omp_in.begin(), omp_out.begin(), std::plus<int>())) \ initializer(omp_priv = omp_orig) #pragma omp parallel for num_threads(thread_count) reduction(vec_int_plus : y) for (int i=0; i<rows; i++) { for (int j=0; j<cols; j++) { y[i] += A[i * COLS + j]*x[j]; a11 x1 a11.x1 a12 x2 a12.x2 a13. x3 = a13.x3 + = y1 a14 x4 a14.x4 a15 x5 a15.x5
11 Násobení matice vektorem Co když budeme násobit po sloupcích? P1 P2 a11 a12 a13 a14 a15 x1 y1 a21 x2 y2 a31 x3 X = y3 a41 x4 y4 a51 a55 x5 y5 z ij = a ij. x j y i = z ij j=1,,5
12 Násobení matice vektorem a11 x1 a11.x1 z1 a21 x1 a21.x1 a31. x1 = a31.x1 a41 x1 a41.x1 a11.x1 a12.x2 y1 a51 x1 a51.x1 a21.x1 a22.x2 y2 a12 a22 a32 x2 x2. x2 = a12.x2 a22.x2 a32.x2 z2 a31.x1 a41.x1 a51.x1 + a32.x2 ++ = a42.x2 a52.x2 y3 y4 y5 a42 x2 a42.x2 a52 x2 a52.x2
13 Násobení matice vektorem Bude to fungovat?
14 Násobení matice vektorem Bude to fungovat? Operace sice mohou být vektorizovány, nicméně přístup není vhodný pro cache (mnoho dotazů) Můžeme data v matici uspořádat po sloupcích a11 a12 a13 a14 a15 a21 a31 a11 a21 a31 a41 a51 a41 a51 a55
15 Násobení matice vektorem Bude to teď fungovat?... // data has to be ordered by columns in memory for (int i = 0; i < COLS; i++) { x[i] = rand() % 1000; for (int j = 0; j < ROWS; j++) { A[i * ROWS + j] = rand() % 1000;... void multiply_column(std::vector<int> &A, std::vector<int> &x, std::vector<int> &y) { #pragma omp declare reduction(vec_int_plus : std::vector<int> : \ std::transform(omp_out.begin(), omp_out.end(), omp_in.begin(), omp_out.begin(), std::plus<int>())) \ initializer(omp_priv = omp_orig) #pragma omp parallel for num_threads(thread_count) reduction(vec_int_plus : y) for ( int i = 0; i < COLS ; i ++) { for (int j = 0; j < ROWS; j++) { y[j] += A[i * ROWS + j]*x[i];
16 Násobení matice vektorem Lze dále zefektivnit původní přístup? Vzpomeňte si na falsesharing void multiply(std::vector<int>& A, std::vector<int>& x, std::vector<int>& y) { #pragma omp declare reduction(vec_int_plus : std::vector<int> : \ std::transform(omp_out.begin(), omp_out.end(), omp_in.begin(), omp_out.begin(), std::plus<int>())) \ initializer(omp_priv = omp_orig) #pragma omp parallel for num_threads(thread_count) reduction(vec_int_plus : y) for (int i=0; i<rows; i++) { for (int j=0; j<cols; j++) { y[i] += A[i * COLS + j]*x[j];
17 Násobení matice vektorem Lze dále zefektivnit původní přístup? Vzpomeňte si na falsesharing void multiply(std::vector<int>& A, std::vector<int>& x, std::vector<int>& y) { #pragma omp declare reduction(vec_int_plus : std::vector<int> : \ std::transform(omp_out.begin(), omp_out.end(), omp_in.begin(), omp_out.begin(), std::plus<int>())) \ initializer(omp_priv = omp_orig) #pragma omp parallel for num_threads(thread_count) reduction(vec_int_plus : y) for (int i=0; i<rows; i++) { for (int j=0; j<cols; j++) { y[i] += A[i * COLS + j]*x[j]; Nahradíme pole lokální proměnnou
18 Násobení matice vektorem Lokální proměnná void multiply(std::vector<int> &A, std::vector<int> &x, std::vector<int> &y) { #pragma omp declare reduction(vec_int_plus : std::vector<int> : \ std::transform(omp_out.begin(), omp_out.end(), omp_in.begin(), omp_out.begin(), std::plus<int>())) \ initializer(omp_priv = omp_orig) int tmp; #pragma omp parallel for num_threads(thread_count) reduction(vec_int_plus : y) for (int i=0; i<rows; i++) { tmp = 0; for (int j=0; j<cols; j++) { tmp += A[i * COLS + j]*x[j]; y[i] += tmp;
19 Násobení dvou matic a11 a12 a13 b11 b12 b13 c11 c12 c13 a21 X b21 = c21 c ij = k=1,,n a ik. b kj
20 Násobení dvou matic a11 a12 a13 b11 b12 b13 c11 c12 c13 a21 X b21 = c21 Výpočet prvků c je opět nezávislý a lze paralelizovat c ij = k=1,,n a ik. b kj Nevýhody? Velké množství úloh, malé úlohy
21 Násobení dvou matic a11 a12 a13 b11 b12 b13 c11 c12 c13 a21 X b21 = c21 Můžeme zvětšit úkoly spojením několika řádků void multiply(std::vector<int>& A, std::vector<int>& B, std::vector<int>& C) { #pragma omp declare reduction(vec_int_plus : std::vector<int> : \ std::transform(omp_out.begin(), omp_out.end(), omp_in.begin(), omp_out.begin(), std::plus<int>())) \ initializer(omp_priv = omp_orig) int tmp; #pragma omp parallel for collapse(2) num_threads(thread_count) reduction(vec_int_plus : C) for (int i=0; i<rows; i++) { for (int j=0; j<cols; j++) { tmp = 0; for (int k=0; k<rows; k++) { tmp += A[i * COLS + k] * B[k * COLS + j]; C[i * COLS + j] += tmp;
22 Násobení dvou matic Rozdělení na bloky 1 úkol odpovídá částečnému výsledku submatice
23 Násobení dvou matic Rozdělení na bloky 1 úkol odpovídá částečnému výsledku submatice ( např. c11,c12,c21,c22) b11 b12 b13 b14 b21 a11 a12 a13 a14 a21 c11 c12 c13 c14 c21 c 11 += a 11. b 11 + a 12. b 21 c 12 += a 11. b 12 + a 12. b 22
24 Násobení dvou matic void multiply_blocks(std::vector<int>& A, std::vector<int>& B, std::vector<int>& C) { #pragma omp declare reduction(vec_int_plus : std::vector<int> : \ std::transform(omp_out.begin(), omp_out.end(), omp_in.begin(), omp_out.begin(), std::plus<int>())) \ initializer(omp_priv = omp_orig) const int ROWS_IN_BLOCK = 10; const int BLOCKS_IN_ROW = ROWS/ROWS_IN_BLOCK; int tmp; #pragma omp parallel for collapse(2) num_threads(thread_count) reduction(vec_int_plus : C) private(tmp) for (int br1=0; br1<blocks_in_row; br1++) { for (int bb=0; bb<blocks_in_row; bb++) { for (int bc2 = 0; bc2 < BLOCKS_IN_ROW; bc2++) { for (int r = br1 * ROWS_IN_BLOCK; r < (br1 + 1) * ROWS_IN_BLOCK; r++) { for (int c = bc2 * ROWS_IN_BLOCK; c < (bc2 + 1) * ROWS_IN_BLOCK; c++) { tmp = 0; for (int k = 0; k < ROWS_IN_BLOCK; k++) { tmp += A[r * COLS + (k + bb*rows_in_block)] * B[(bb*ROWS_IN_BLOCK + k) * COLS + c]; C[r * COLS + c] += tmp;
25 Násobení dvou matic a11 a12 a13 b11 b12 b13 c11 c12 c13 a21 X b21 = c21 A co dál? Lze využít vektorizaci? Můžeme najednou spočítat vektor částečných hodnot?
26 Násobení dvou matic a11 a12 a13 b11 b12 b13 c11 c12 c13 a21 X b21 = c21 A co dál? Lze využít vektorizaci? Můžeme najednou spočítat vektor částečných hodnot? Co když budeme násobit řádek i matice A a řádek j matice B? a11 a12 a13 b11 b12 b13 a21 X b21 = z21
27 Násobení dvou matic a11 a12 a13 b11 b12 b13 a21 X b21 = z21 Opět máme vektor dílčích výsledků z Násobení je vektorové, součet různých vektorů z lze také vektorizovat void multiply(std::vector<int>& A, std::vector<int>& B, std::vector<int>& C) { #pragma omp declare reduction(vec_int_plus : std::vector<int> : \ std::transform(omp_out.begin(), omp_out.end(), omp_in.begin(), omp_out.begin(), std::plus<int>())) \ initializer(omp_priv = omp_orig) #pragma omp parallel for collapse(2) num_threads(thread_count) reduction(vec_int_plus : C) for (int r1=0; r1<rows; r1++) { for (int r2=0; r2<rows; r2++) { for (int k=0; k<rows; k++) { C[r1 * COLS + k] += A[r1 * COLS + r2] * B[r2 * COLS + k];
28 Gaussova eliminace Dalším typickým úkolem je řešení soustavy lineárních rovnic Lze využít Gaussovu eliminaci a11 a12 a13 b1 a21 b2 a11 a12 a13 b1 0 a 22 a 23 b 2 b3 0 0 a 33 b 3 Jak můžeme paralelizovat?
29 Gaussova eliminace Jaké jsou závislosti mezi hodnotami? Po výběru pivota se změní všechny hodnoty pro řádky a sloupce větší než pozice pivota
30 Gaussova eliminace Jaké jsou závislosti mezi hodnotami? Po výběru pivota se změní všechny hodnoty pro řádky a sloupce větší než pozice pivota Kterou část můžeme paralelizovat? void gauss(std::vector<double>& A) { for (int i=0; i<rows; i++) { // Make all rows below this one 0 in current column for (int k=i+1; k<rows; k++) { double c = -A[k * COLS + i]/a[i*cols + i]; for (int j=i; j<rows; j++) { if (i==j) { A[k * COLS + j] = 0; else { A[k * COLS + j] += c * A[i * COLS + j];
31 Gaussova eliminace Jaké jsou závislosti mezi hodnotami? Po výběru pivota se změní všechny hodnoty pro řádky a sloupce větší než pozice pivota void gauss_par(std::vector<double>& A) { #pragma omp declare reduction(vec_int_plus : std::vector<double> : \ std::transform(omp_out.begin(), omp_out.end(), omp_in.begin(), omp_out.begin(), std::plus<double>())) \ initializer(omp_priv = omp_orig) for (int i=0; i<rows; i++) { // Make all rows below this one 0 in current column #pragma omp parallel for num_threads(thread_count) for (int k=i+1; k<rows; k++) { double c = -A[k * COLS + i]/a[i*cols + i]; for (int j=i; j<rows; j++) { if (i==j) { A[k * COLS + j] = 0; else { A[k * COLS + j] += c * A[i * COLS + j];
32 Gaussova eliminace Co lze dále zefektivnit?
33 Gaussova eliminace Co lze dále zefektivnit?
34 Shrnutí paralelní části Základní nástroje pro psaní paralelního programu vlákna a práce s nimi Atomické proměnné OpenMP (Vektorizace, SIMD paralelizace)
35 Shrnutí paralelní části Základní nástroje pro psaní paralelního programu vlákna a práce s nimi Atomické proměnné OpenMP (Vektorizace, SIMD paralelizace) Základní techniky paralelizace Rozděluj a panuj Threadpool Dekompozice, nalezení co možná nejvíc paralelně bezkonfliktně vykonatelných operací
36 Shrnutí paralelní části Základní nástroje pro psaní paralelního programu vlákna a práce s nimi Atomické proměnné OpenMP (Vektorizace, SIMD paralelizace) Základní techniky paralelizace Rozděluj a panuj Threadpool Dekompozice, nalezení co možná nejvíc paralelně bezkonfliktně vykonatelných operací Základní algoritmy Řazení
37 Shrnutí paralelní části Paralelizujete s cílem zefektivnit běh programu/algoritmu Musíte (alespoň částečně) rozumět vykonávání programu na HW Falsesharing Cache optimization
38 Shrnutí paralelní části Paralelizujete s cílem zefektivnit běh programu/algoritmu Musíte (alespoň částečně) rozumět vykonávání programu na HW Falsesharing Cache optimization Vynechali jsme spoustu věcí Úvodní kurz, aby jste získali základní znalosti a zkušenosti Pokud Vás paralelní programování zaujalo Paralelní algoritmy (B4M35PAG) Obecné výpočty na grafických procesorech (B4M39GPU)
39 Shrnutí paralelní části Na zkoušku programujte, programujte, programujte! Dostanete problém + sériový algoritmus Cílem bude vytvořit rychlou paralelní verzi
40 Shrnutí paralelní části Na zkoušku programujte, programujte, programujte! Dostanete problém + sériový algoritmus Cílem bude vytvořit rychlou paralelní verzi Dále paralelizujte, pokud je to potřeba! Pracujte iterativně (mám verzi 1, pokud je pomalá zrychlím, atd.)
Paralelní a distribuované výpočty (B4B36PDV)
Paralelní a distribuované výpočty (B4B36PDV) Branislav Bošanský, Michal Jakob bosansky@fel.cvut.cz Artificial Intelligence Center Department of Computer Science Faculty of Electrical Engineering Czech
Paralelní a distribuované výpočty (B4B36PDV)
Paralelní a distribuované výpočty (B4B36PDV) Branislav Bošanský, Michal Jakob bosansky@fel.cvut.cz Artificial Intelligence Center Department of Computer Science Faculty of Electrical Engineering Czech
Paralení programování pro vícejádrové stroje s použitím OpenMP. B4B36PDV Paralelní a distribuované výpočty
Paralení programování pro vícejádrové stroje s použitím OpenMP B4B36PDV Paralelní a distribuované výpočty Minulé cvičení: Vlákna a jejich synchronizace v C++ 11... 1 Minulé cvičení: Vlákna a jejich synchronizace
Úvod do B4B36PDV. Organizace předmětu a seznámení se s paralelizací. B4B36PDV Paralelní a distribuované výpočty
Úvod do B4B36PDV Organizace předmětu a seznámení se s paralelizací B4B36PDV Paralelní a distribuované výpočty Osnova Čím se budeme zabývat? Hodnocení předmětu Úvod do paralelního hardwaru a softwaru 1
Paralelní a distribuované výpočty (B4B36PDV)
Paralelní a distribuované výpočty (B4B36PDV) Branislav Bošanský, Michal Jakob bosansky@fel.cvut.cz Artificial Intelligence Center Department of Computer Science Faculty of Electrical Engineering Czech
Vlákna a přístup ke sdílené paměti. B4B36PDV Paralelní a distribuované výpočty
Vlákna a přístup ke sdílené paměti B4B36PDV Paralelní a distribuované výpočty Minulé cvičení: Paralelizace nám může pomoct... 1 Minulé cvičení: Paralelizace nám může pomoct... B4B36PDV: Ale ne všechny
Paralelní LU rozklad
Paralelní LU rozklad Lukáš Michalec Katedra fyziky, Přírodovědecká fakulta Univerzity J.E. Purkyně v ročník, specializace Ústí n.l. Abstract Seminární práce se zabývá řešení soustavy lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Co je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
Paralelní algoritmy v lineární algebře. Násobení matic
Paralelní algoritmy v lineární algebře Násobení matic Násobení matic mějme matice A, B, C R n,n počítáme součin C = AB mějme p procesu a necht p je mocnina dvou matice rozdělíme blokově na p p bloků pak
Aplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Paralelní výpočetní jádro matematického modelu elektrostatického zvlákňování
Paralelní výpočetní jádro matematického modelu elektrostatického zvlákňování Milan Šimko Technická univerzita v Liberci Interní odborný seminář KO MIX 19. prosince 2011 Obsah prezentace 1 MOTIVACE 2 VLÁKNOVÝ
Rekurze. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 12.
Rekurze doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 12. září 2016 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Rekurze 161 / 344 Osnova přednášky
Motivace. Software. Literatura a odkazy
Využití paralelních výpočtů ve stavební mechanice Motivace Paralelní počítače Software Možnosti využití ve stavební mechanice Příklady Literatura a odkazy 1 Motivace Časová náročnost výpočtů Rozsáhlé úlohy
DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma
DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma Algoritmus (GEM: Gaussova eliminace s částečným pivotováním pro převod rozšířené regulární matice na horní trojúhelníkový tvar). Zadána matice C = (c i,j
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
Paralelní grafové algoritmy
Paralelní grafové algoritmy Značení Minimální kostra grafu Nejkratší cesta z jednoho uzlu Nejkratší cesta mezi všemi dvojicemi uzlů Použité značení Definition Bud G = (V, E) graf. Pro libovolný uzel u
Numerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Martin Flusser. Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague. October 17, 2016
ZPRO cvičení 2 Martin Flusser Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague October 17, 2016 Outline I 1 Outline 2 Proměnné 3 Proměnné - cvičení 4 Funkce 5 Funkce
Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
2) Napište algoritmus pro vložení položky na konec dvousměrného seznamu. 3) Napište algoritmus pro vyhledání položky v binárním stromu.
Informatika 10. 9. 2013 Jméno a příjmení Rodné číslo 1) Napište algoritmus pro rychlé třídění (quicksort). 2) Napište algoritmus pro vložení položky na konec dvousměrného seznamu. 3) Napište algoritmus
4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
Martin Flusser. Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague. October 23, 2016
ZPRO cvičení 3 Martin Flusser Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague October 23, 2016 Outline I 1 Outline 2 Relační a logické operátory 3 Relační a logické
Základy algoritmizace a programování
Základy algoritmizace a programování Příklady v MATLABu Přednáška 10 30. listopadu 2009 Řídící instrukce if else C Matlab if ( podmínka ) { } else { } Podmíněný příkaz if podmínka elseif podmínka2... else
Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a
Úvod do OpenMP. Jiří Fürst
Úvod do OpenMP Jiří Fürst Osnova: Úvod do paralelního programování Počítače se sdílenou pamětí Základy OpenMP Sdílené a soukromé proměnné Paralelizace cyklů Příklady Úvod do paralelního programování Počítač
Základy programování (IZP)
Základy programování (IZP) Osmé počítačové cvičení Brno University of Technology, Faculty of Information Technology Božetěchova 1/2, 612 66 Brno - Královo Pole Petr Veigend, iveigend@fit.vutbr.cz 20.11.2017,
Implementace numerických metod v jazyce C a Python
Fakulta elektrotechnická Katedra matematiky Dokumentace k semestrální práci Implementace numerických metod v jazyce C a Python 2013/14 Michal Horáček a Petr Zemek Vyučující: Mgr. Zbyněk Vastl Předmět:
Obsah. Kapitola 1 Hardware, procesory a vlákna Prohlídka útrob počítače...20 Motivace pro vícejádrové procesory...21
Stručný obsah 1. Hardware, procesory a vlákna... 19 2. Programování s ohledemna výkon... 45 3. Identifikování příležitostí pro paralelizmus... 93 4. Synchronizace a sdílení dat... 123 5. Vlákna v rozhraní
1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
Paralelní programování
Paralelní programování cvičení Jan Outrata únor duben 2011 Jan Outrata (KI UP) Paralelní programování únor duben 2011 1 / 13 Cvičení 1 Jazyk C POSIX Threads (UNIX) hlavičkový soubor pthread.h, knihovna
Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
Ústav technické matematiky FS ( Ústav technické matematiky FS ) / 35
Úvod do paralelního programování 2 MPI Jakub Šístek Ústav technické matematiky FS 9.1.2007 ( Ústav technické matematiky FS ) 9.1.2007 1 / 35 Osnova 1 Opakování 2 Představení Message Passing Interface (MPI)
IAJCE Přednáška č. 8. double tprumer = (t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7) / 7; Console.Write("\nPrumerna teplota je {0}", tprumer);
Pole (array) Motivace Častá úloha práce s větším množstvím dat stejného typu o Př.: průměrná teplota za týden a odchylka od průměru v jednotlivých dnech Console.Write("Zadej T pro.den: "); double t = Double.Parse(Console.ReadLine());
Numerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
Martin Lísal. Úvod do MPI
Martin Lísal září 2003 PARALELNÍ POČÍTÁNÍ Úvod do MPI 1 1 Co je to paralelní počítání? Paralelní počítání je počítání na paralelních počítačích či jinak řečeno využití více než jednoho procesoru při výpočtu
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
Vícevláknové programování na CPU: POSIX vlákna a OpenMP I. Šimeček
Vícevláknové programování na CPU: POSIX vlákna a OpenMP I. Šimeček xsimecek@fit.cvut.cz Katedra počítačových systémů FIT České vysoké učení technické v Praze Ivan Šimeček, 2011 MI-PRC, LS2010/11, Predn.2
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Lingebraické kapitolky - Počítání s maticemi
Lingebraické kapitolky - Počítání s maticemi Jaroslav Horáček KAM MFF UK 20 Rozehřívačka: Definice sčítání dvou matic a násobení matice skalárem, transpozice Řešení: (A + B ij A ij + B ij (αa ij α(a ij
1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35
1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8
1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry Tomáš Matoušek Tělesa, vektorové prostory Definice. Tělesem nazveme množinu M, na které jsou definována zobrazení, : M M M(binární operace) splňující následující axiomy: (1) (
Lineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
Úvod do GPGPU J. Sloup, I. Šimeček
Úvod do GPGPU J. Sloup, I. Šimeček xsimecek@fit.cvut.cz Katedra počítačových systémů FIT České vysoké učení technické v Praze Ivan Šimeček, 2011 MI-PRC, LS2010/11, Predn.3 Příprava studijního programu
OPS Paralelní systémy, seznam pojmů, klasifikace
Moorův zákon (polovina 60. let) : Výpočetní výkon a počet tranzistorů na jeden CPU chip integrovaného obvodu mikroprocesoru se každý jeden až dva roky zdvojnásobí; cena se zmenší na polovinu. Paralelismus
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE. Leptání plasmou. Ing. Pavel Bouchalík
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Leptání plasmou Ing. Pavel Bouchalík 1. ÚVOD Tato semestrální práce obsahuje písemné vypracování řešení příkladu Leptání plasmou. Jde o praktickou zkoušku znalostí získaných při přednáškách
D 11 D D n1. D 12 D D n2. D 1n D 2n... D nn
Inversní matice 1 Definice Nechť je čtvercová matice řádu n Čtvercovou matici B řádu n nazveme inversní maticí k matici, jestliže platí B=E n =B, kdee n jeodpovídajícíjednotkovámatice 2 Tvrzení Inversní
Obecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A
ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je
Paralelní programování
Paralelní programování přednášky Jan Outrata únor květen 2011 Jan Outrata (KI UP) Paralelní programování únor květen 2011 1 / 15 Simulátor konkurence abstrakce = libovolné proložení atom. akcí sekvenčních
Matematika 2 pro PEF PaE
Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Programování bez vláken. OpenMP
Programování bez vláken Tradiční přístup je vytvoření vícevláknového programu, kde se řekne, co má které vlákno dělat Ale jde to i jinak, lze vytvořit program tak, že se řekne, co se má udělat paralelně
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
Lineární diskriminační funkce. Perceptronový algoritmus.
Lineární. Perceptronový algoritmus. Petr Pošík Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering Dept. of Cybernetics P. Pošík c 2012 Artificial Intelligence 1 / 12 Binární klasifikace
Příklad 1/23. Pro rostoucí spojité fukce f(x), g(x) platí f(x) Ω(g(x)). Z toho plyne, že: a) f(x) Ο(g(x)) b) f(x) Θ(g(x)) d) g(x) Ω(f(x))
Příklad 1/23 Pro rostoucí spojité fukce f(x), g(x) platí f(x) Ω(g(x)). Z toho plyne, že: a) f(x) Ο(g(x)) b) f(x) Θ(g(x)) c) g(x) Θ(f(x)) d) g(x) Ω(f(x)) e) g(x) Ο(f(x)) 1 Příklad 2/23 Pro rostoucí spojité
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Vyhledávání. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 21.
Vyhledávání doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 21. září 2018 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Vyhledávání 242 / 433 Osnova přednášky
GPGPU. Jan Faigl. Gerstnerova Laboratoř pro inteligentní rozhodování a řízení České vysoké učení technické v Praze
GPGPU Jan Faigl Gerstnerova Laboratoř pro inteligentní rozhodování a řízení České vysoké učení technické v Praze 8. cvičení katedra kybernetiky, FEL, ČVUT v Praze X33PTE - Programovací techniky GPGPU 1
Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.
[] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá
Přehled paralelních architektur. Dělení paralelních architektur Flynnova taxonomie Komunikační modely paralelních architektur
Přehled paralelních architektur Přehled paralelních architektur Dělení paralelních architektur Flynnova taxonomie Komunikační modely paralelních architektur Přehled I. paralelní počítače se konstruují
Vyhledávání. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 12.
Vyhledávání doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 12. září 2016 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Vyhledávání 201 / 344 Osnova přednášky
Slajdy k přednášce Lineární algebra I
Slajdy k přednášce Lineární algebra I Milan Hladík Katedra Aplikované Matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze, http://kammffcunicz/~hladik 22 října 203 Intro Nejstarší zaznamenaná
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY
KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY cvičící: Tomáš Ptáček zimní semestr 2012 MS EXCEL MATICE (ÚVOD) Vektor: (1D) v = [1, 2, 3, 5, 8, 13] Např.: matice sousednosti Matice: (2D)
A4B33ALG 2010/05 ALG 07. Selection sort (Select sort) Insertion sort (Insert sort) Bubble sort deprecated. Quicksort.
A4B33ALG 2010/05 ALG 07 Selection sort (Select sort) Insertion sort (Insert sort) Bubble sort deprecated Quicksort Stabilita řazení 1 Selection sort Neseřazeno Seřazeno Start T O U B J R M A K D Z E min
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Transformace obrazu Josef Pelikán KSVI MFF UK Praha
Transformace obrazu 99725 Josef Pelikán KSVI MFF UK Praha email: Josef.Pelikan@mff.cuni.cz WWW: http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca/ Transformace 2D obrazu dekorelace dat potlačení závislosti jednotlivých
Paralelní programování
Paralelní programování přednášky Jan Outrata únor duben 2011 Jan Outrata (KI UP) Paralelní programování únor duben 2011 1 / 11 Literatura Ben-Ari M.: Principles of concurrent and distributed programming.
Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
/ 94 - a LU LU Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague - a LU LU 2-3 4 a LU 5 LU 6 7 8 9 2 / 94 Gaussova eliminační metoda - a LU LU jde o přímou metodu
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0548 Název školy: Gymnázium, Trutnov, Jiráskovo náměstí 325 Název materiálu: VY_32_INOVACE_156_IVT Autor: Ing. Pavel Bezděk Tematický okruh:
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
AVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Okruh Lineární rovnice v Z m Těleso Gaussova eliminace (GEM) Okruh Z m. Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20
Okruh Z m Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20 Minule: 1 Slepování prvků Z modulo m: množina Z m. 2 Operace na Z m : m (sčítání), m (násobení). 3 Speciální prvky: [0] m a [1] m. 4 Vlastnosti
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
C# konzole Podíl dvou čísel, podmínka IF
C# konzole Podíl dvou čísel, podmínka IF Tematická oblast Datum vytvoření 2013 Ročník 3 Stručný obsah Způsob využití Autor Kód Internetové technologie, programování Výpočet podílu v konzolové aplikaci